Математическое моделирование структуры сложных социальноэкономических объектов на основе аналогий с физическими фракталами
Запропоновано атрибутивну і структурну аналогію між фізичними фракталами і соціально-економічними системами. Синтезовано алгоритм моделювання динаміки розвитку соціально-економічної системи. Досліджено механізм появи стагнації і самоорганізації системи в процесі еволюції. Встановлено функціональну а...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210833 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Математическое моделирование структуры сложных социальноэкономических объектов на основе аналогий с физическими фракталами / Я.И. Виклюк // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 5. — С. 52-65. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860001729144160256 |
|---|---|
| author | Виклюк, Я.И. |
| author_facet | Виклюк, Я.И. |
| citation_txt | Математическое моделирование структуры сложных социальноэкономических объектов на основе аналогий с физическими фракталами / Я.И. Виклюк // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 5. — С. 52-65. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Запропоновано атрибутивну і структурну аналогію між фізичними фракталами і соціально-економічними системами. Синтезовано алгоритм моделювання динаміки розвитку соціально-економічної системи. Досліджено механізм появи стагнації і самоорганізації системи в процесі еволюції. Встановлено функціональну аналогію між ентропією кристала і середнім рівнем конкуренції системи. Досліджено і обгрунтовано явище фазового переходу другого роду при зміні симетрії фрактала.
Attributive and structural analogy is established between physical fractals and social economic systems. The algorithm of modeling the dynamics of social economic systems development is synthesized. The mechanism of stagnation occurring and system self-organization in evolution process is studied. The functional analogy between crystal entropy and average level of system competition is established.
|
| first_indexed | 2026-03-18T12:11:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Я.И. ВИКЛЮК, 2010
52 ISSN 0572-2691
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И
ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 004.942, 004.891.2
Я.И. Виклюк
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
СТРУКТУРЫ СЛОЖНЫХ СОЦИАЛЬНО-
ЭКОНОМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА ОСНОВЕ
АНАЛОГИЙ С ФИЗИЧЕСКИМИ ФРАКТАЛАМИ
Введение
Возможность моделирования и управления развитием разных видов сложных
социально-экономических систем способствует эффективному принятию решений
на разных уровнях. К таким системам можно отнести развитие различных форм ту-
ризма, инфраструктуры, курортных поселков, информационных потоков и др.
Развитие региона происходило бы динамичней, если бы программа развития
базировалась на научных результатах, полученных с помощью количественных
методов, которые дают возможность решать конкретные задачи с построением
прогностических сценариев и возможностью предусмотреть формирование и раз-
витие сложных социально-экономических процессов. На сегодняшний день раз-
работан эффективный математический аппарат, который позволяет моделировать
развитие сложных физических систем: фрактальный рост кристаллов, моделиро-
вание диффузии и перенос энергии, кристаллизацию, поверхностные эффекты,
зонные и оптические спектры.
Цель настоящего исследования — моделирование развития сложных соци-
ально-экономических систем на основе аналогий между явлениями фрактального
роста кристаллов с дальнейшим установлением функциональных аналогий.
Актуальность исследования заключается в разработке методов прогнозиро-
вания структуры сложных социальных процессов на основе изученных в физике
твердого тела методов фрактального роста кристаллов и молекулярной динамики,
а также методов нечеткой логики. К таким процессам можно отнести функцио-
нальное переустройство городов и населенных пунктов, которые связаны с актив-
ным развитием различных форм туризма, адаптацией сопутствующей инфра-
структуры и др.
Прогнозирование геометрии роста населенных пунктов и их внутренней
структуры позволит планировать перестройку соответствующей инфраструктуры
и коммуникаций с максимальной экономической выгодой. Возникает возмож-
ность предусмотреть структуру новостроек в окрестности вновь созданных турис-
тических рекреационных систем (ТРС). Это, в свою очередь, позволит оптимизи-
ровать стратегию перестройки ТРС, определить специализацию отдельных сег-
ментов населенного пункта и предусмотреть денежные потоки такой системы [1].
Обоснование аналогии
Развитие ТРС, как правило, обусловлено наличием и развитием привлека-
тельных центров для рекреации, например, горнолыжный подъемник, целебный
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 5 53
источник, историко-культурный объект и др. В процесс развития данных центров
постепенно включается местное население, которое отвечает за сервисные функ-
ции: гостиничный и мотельный сервис, прокат, питание и прочие. Как правило,
наиболее активно развиваются те отрасли, в которых деловая активность проис-
ходит вблизи центра привлекательности. В связи с этим можно констатировать,
что урбанизация территории будет проходить от центра, вдоль дорог, поскольку
именно транспортное сообщение — основной временнóй фактор перемещения к
центру от места получения сервисных услуг. Можно отметить, что схожий меха-
низм в физических системах приводит к дендритному росту, например кристаллов.
Развитие GPS-технологий (Global Positioning System), разнообразных между-
народных программ дистанционного зондирования и фотографирования Земли,
создание цифровых карт открывают новые возможности исследования и разра-
ботки научных подходов в геоинформатике, геоинженерии, архитектуре и в дру-
гих сферах. В частности, можно отметить, что фотоснимки урбанизированых си-
стем макроуровня — населенные пункты и элементы инфраструктуры — дей-
ствительно имеют много общего с физическими фракталами (рис. 1, а — п.г.т.
Мамаивцы, б — с. Будилов, в — центральная часть г. Санкт-Петербурга, г, д —
кристаллы льда, е — микроструктура суперсплава никеля ЖС32 — ВІ [2]),
а именно: ярко выраженные центры зарождения, дендритный рост и наличие упо-
рядоченной структуры. Согласно определению Мандельброта физический фрак-
тал — это геометрический объект (линия, поверхность, тело), имеющий сильно
изрезанную структуру и обладающий свойством самоподобия в ограниченном
масштабе [3]. Математический аппарат моделирования роста физических фракта-
лов на сегодня хорошо исследован, поэтому будем рассматривать физический
фрактал (A) как базис (аналог) для моделирования социально-экономической си-
стемы (B). Для последующего исследования на основе аналогий выделим собст-
венные свойства (атрибутивная аналогия) объектов A и B, т.е. свойства, всегда
присущие объекту независимо от ситуаций или процессов, в которых он участву-
ет [4]. К ним можно отнести затравку (аттрактор) — центр зарождения физиче-
ского кристалла. В роли аттракторов социально-экономических систем выступа-
ют: историко-культурные памятники, горнолыжные подъемники, развлекатель-
ные центры, пляжи, производственные предприятия и т.д. Дендритный рост в
кристаллах обусловлен свободными атомами (молекулами), которые в процессе
броуновского движения агрегируют на конденсируемом кластере. Новые соци-
ально-экономические элементы аналогично появляются в непосредственной бли-
зости от аттрактора или соседей. Деформация кристаллов вызвана анизотропно-
стью среды, которая может быть описана потенциальным полем. Роль потенци-
ального поля в социальных процессах играет поле аттрактивности, которое
зависит от расстояния до аттрактора, инфраструктуры, рельефных, юридических
и других факторов [5]. Изменение внутренней симметрии физических фракталов
вызвано спонтанным испарением атомов, которые имеют слабые межмолекуляр-
ные связи. Исчезновение элементов социально-экономической системы можно
связать с конкурентной борьбой. Иными словами, исчезают объекты, которые
имеют высокий уровень конкуренции и низкую конкурентоспособность. Инерт-
ность: в физике масса m — мера инертности тела, т.е., чем больше масса части-
цы, тем меньше потенциальное поле влияет на ее движение. Уменьшение массы
увеличивает ускорение в сторону максимального градиента потенциального поля.
В социально-экономических системах потенциальное поле аттрактивности мак-
симально в окрестности существующей инфраструктуры. Элементы с низким
уровнем инвестиционной возможности будут тяготеть к существующей инфра-
структуре (например, дороге). Элементы большого бизнеса, как правило, либо са-
ми создают инфраструктуру, либо локализуются в непосредственной близости от
54 ISSN 0572-2691
аттракторов, поэтому масса может интерпретироваться как мера инвестиционной
способности определенного объекта населенного пункта (санаторий, гостиница,
офис, коттедж, дача и тому подобное) или инфраструктуры (супермаркет, мага-
зин, киоск и тому подобное). Вязкость среды уменьшает кинетическую энергию
свободных частиц, препятствуя движению в сторону максимума градиента потен-
циального поля. Плотность среды может быть интерпретирована как величина,
обратная инвестиционному содействию региону. Чем больше вязкость, тем мень-
ше содействие образованию новых элементов в окрестности аттрактора. Аналоги
собственных свойств физических фракталов и социально-экономических систем
(атрибутивная аналогия) приведены в таблице.
а б в
г д е
Рис. 1
Таблица
Собственные свойства Физический фрактал Социально-экономическая система
Аттрактор
Затравка, неоднородность,
дефект
Историко-культурные памятники, горнолыж-
ные подъемники, развлекательные центры и т.д.
Элементарная частица Атом, молекула Элементы инфраструктуры, дома и т.д.
Дендритный рост
Броуновское движение
свободных частиц с агрега-
цией на растущем кластере
Новые социально-экономические объекты по-
являются в непосредственной близости от за-
строек или существующей инфраструктуры
Деформация
в процессе роста
Анизотропность среды, по-
тенциальное поле
Привлекательность (аттрактивность) терри-
тории
Испарение
Флуктуация энергии в пе-
риферийных атомах
Прекращение предпринимательской деятельно-
сти объектами с низким уровнем конкуренто-
способности
Инертность Масса Инвестиционная способность
Уменьшение кинети-
ческой энергии
Сопротивление среды Инвестиционное содействие развитию региона
Существование аналогов собственных свойств и схожесть объектов между
собой (см. рис. 1) позволяют выдвинуть гипотезу о существовании между ними
структурной аналогии. Обозначим )(iS внутреннюю связь i-го объекта . Тогда
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 5 55
структурная аналогия определяется как ),(ASi )(BS j .))()(( BSAS ji Если
данная гипотеза справедлива, то между объектами должна существовать функци-
ональная аналогия. Обозначим )(iF функцию i-го объекта . Существование
функциональной аналогии предусматривает выполнение условия ),(AFi )(BF j
)).()(( BFAF ji
Для доказательства функциональных аналогий нужно смоделировать рост
социально-экономической системы методами фрактального роста кристаллов и
исследовать функциональные зависимости полученного фрактала.
Алгоритм моделирования роста населенных пунктов методами фрактального
роста кристаллов следующий [5].
Определение входных параметров и ограничений. С помощью современ-
ных геоинформационных систем (ГИС) определяются географические координа-
ты аттракторов (см. таблицу). В зависимости от типа социально-экономической
системы входные параметры потенциального поля аттрактивности, которое влия-
ет на деформацию, будут разными. Например, инвестиционная привлекательность
территории может зависеть от уровня коррупции, инфраструктуры, территори-
альных особенностей и т.д. [6]. Привлекательность туристической рекреационной
системы определяется, в основном, возможностью быстро добраться до аттрак-
тора. В связи с этим можно предположить, что ключевые факторы привлекатель-
ности территории небольших туристических поселков — расстояние (качествен-
ной дорогой) до ближайшего аттрактора l, расстояние (грунтовой дорогой) до
трассы ,h а также особенности рельефа. Последние, в свою очередь, являются
ограничениями. В ГИС содержится информация о дорогах, представленная
в векторном виде. Для расчета l и h необходимо провести следующие преобра-
зования.
Пусть транспортные сети исследуемой территории заданы массивом
},,,,{ 2211 fffff yxyxw ,,1 kf (1)
где k — количество векторов дорог на исследуемой территории, ,1fx ,1fy
22 , ff yx — географические координаты вектора дороги.
Тогда расстояние h точки с географическими координатами yx , до бли-
жайшей дороги определяется следующим образом: рассмотрим треугольник
с вершинами ),,( yxA ),,( 11 ff yxB ),,( 22 ff yxC длина сторон которого опре-
деляется так:
;)()( 2
21
2
21 ffff yyxxBCa (2)
;)()( 2
1
2
1 yyxxACb ff (3)
.)()( 2
2
2
2 ff yyxxABc (4)
Высота треугольника, опущенная на прямую, которой принадлежит сторо-
на а (отрезок дороги):
,
))()((2
a
cpbpapp
h f
(5)
где
.
2
cba
p
(6)
56 ISSN 0572-2691
Отрезки 1a и 2a — расстояние от основы высоты до вершин В и С соответ-
ственно, и координаты основы высоты ),( hh yx определяются так:
;
22
1 fhca (7)
;
22
2 fhba (8)
;)( 1
211
a
a
xxxx fffhf (9)
.)( 1
211
a
a
yyyy fffhf (10)
Высота (5) является кратчайшим расстоянием до дороги, если точка
),( fhfh yx лежит на отрезке дороги .BCa В противном случае кратчайшее
расстояние fh до дороги f будет определяться как
.и,
,и,
,,
21
21
21
cbaaac
cbaaab
aaah
h
f
f (11)
Координаты ),( hfhf yx точки пересечения отрезка fh с дорогой f соответ-
ственно запишем
.и),(
,и),,(
,),,(
),(
2122
2111
21
cbaaayx
cbaaayx
aaayx
yx
ff
ff
hfhf
hfhf (12)
Тогда расстояние к ближайшей дороге определяется
).(min
,1
f
kf
hh
(13)
Расчет длины оптимального пути от точки ),( hfhf yx до ближайшего аттрактора
определятся решением следующей оптимизационной задачи линейного программи-
рования. Вначале fw необходимо преобразовать в массив, который содержит все
различные координаты вершин векторов из ,fw а также координаты точки пересе-
чения ),( hfhf yx и ближайшего аттрактора :),( attatt yx },,{ jj yxv ,2,1 mj
где ),,(),( 11 hfhf yxyx );,(),( attatt22 yxyx mm ,jx jy — географические
координаты из массива ;fw m — количество различных географических коор-
динат, которые содержит массив .fw
На основе массива v создается симметричная матрица расстояний },{ ijaA
,2,1, mji столбцы и строки которой соответствуют географическим коорди-
натам из массива v, ija равно длине вектора между соответствующими координа-
тами в случае наличия прямого транспортного сообщения между ними и 0 в про-
тивном случае:
.]}2,[],1,[],2,[],1,[{,0
,]}2,[],1,[],2,[],1,[{,])2,[]2,[(])1,[]1,[( 22
wjvjviviv
wjvjvivivjvivjviv
aij (14)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 5 57
В качестве переменных решения выступает бинарная матрица },{ ijbB
,2,1, mji ijb равно 1 в случае проезда по соответствующему маршруту, 0 в
противном случае. Тогда
2
1
out
m
i
ijbb
j
— количество отбытий из точки, географи-
ческие координаты которой равны ],1,[ jv ]2,[ jv , соответственно
2
1
in
m
j
iji bb —
количество прибытий в точку ].2,[],1,[ iviv Тогда задача оптимизации принимает
вид
.1
,1
,1,2,0
min,
out
2
in
2
out
1
in
1
outin
2
1,
mm
ii
ijij
m
ji
bb
bb
mibb
ba
(15)
Расчет потенциального поля. Как было показано в [7], потенциальное поле
привлекательности удобно описать с помощью аппарата нечеткой логики [8].
В общем случае потенциал U запишем
),,,,( 21 naaaFU (16)
где ia — входные параметры, F — функция, которая определяет вид потенциала.
Вид функции и выбор алгоритма нечеткого выведения (Мамдани, Сугено,
Цукамото и др. [8]) зависит от механизма построения нечетких продукционных
правил. В расчетах использовался алгоритм Сугено и гауссовские функции при-
надлежности нечетких термов. Выбор этого алгоритма обусловлен тем, что он
может использоваться независимо от способа построения продукционных правил.
Для нечеткого выведения Сугено необходимо иметь нечеткую базу знаний [9]:
jnjnjjjjj yaxaxax )~~~( 2211
,,1,22110 mjxbxbxbb njnjjj (17)
где nxxx ,,, 21 — входные лингвистические переменные, ija~ — нечеткий терм,
которым оценивается переменная ix в j-м правиле, j — логическая операция,
которая связывает фрагменты антецедента j-го правила — нечеткая имплика-
ция, jnjj bbb ,,, 10 — некоторые вещественные числа, которые формируют вы-
воды j-го правила jy , n — количество входных параметров, m — число элемен-
тов нечеткой базы знаний.
Степень принадлежности входного вектора ),,,( 21
nxxxX к выводам
нечеткой базы знаний jy определяют таким образом:
,,11),()()()( 21 mxxxX njjjjjjy j
(18)
где )( ij x — функция принадлежности входа ix нечеткому терму ,~
ija )( X
jy —
функция принадлежности выхода ,jy j — t-норма.
В результате нечеткого выведения для входного вектора X
*
определяется не-
четкое множество
m
dmdd
d
X
d
X
d
X
y
)(
,,
)(
,
)(~
2
*
2
1
1 , (19)
где множество нечетких термов )...,,,( 21 mddd — носитель нечеткого множества .~y
58 ISSN 0572-2691
Для получения исходного значения ỹ дефаззифицируют, рассчитывая урав-
новешенную сумму
,)( *
1
jy
m
j
yXy
j
(20)
где y — нечеткий вывод.
В настоящей работе использован метод Сугено 0-го порядка, когда логиче-
ское выведение является константой:
,)~~~( 02211 byaxaxax jnjnjjjjj .,1 mj (21)
Для построения продукционных правил используются ландшафтные данные
исследуемого региона. Определяются входные параметры l и h случайным обра-
зом выбранной географической координаты. Если урбанизация данной террито-
рии не противоречит ограничениям (водоем, обрыв и т.д.), выводом базы данных
служит текущее состояние урбанизации данной точки.
Для расчета формы потенциального поля привлекательности можно восполь-
зоваться методом построения карт рекреационных потенциалов [10]. Для этого
карта территории Т накрывается прямоугольником .],[],[ dcbaP Очевидно,
что прямоугольник P содержит множество (территорию) Т ).( PT Прямоуголь-
ник P разбивается сеткой ,yx где
};{
0
k
N
k
x x
(22)
;}{
0
M
l
ly y
(23)
;,0,0 Nkkhxx xk (24)
;,0,0 Mllhyy yl (25)
;
N
ab
hx
(26)
,
M
cd
hy
(27)
),(),,( dbca — координаты противоположных вершин прямоугольника P, ,x
y — длины граней сетки, }{},{ lk yx — координаты узлов сетки, N, M — коли-
чество частей, на которые разбивается грань ],[ ba и ],[ dc прямоугольника P со-
ответственно.
Для каждого узла сетки определяется значение входных параметров. Полу-
ченные матрицы являются входными параметрами нечеткой функции потенци-
ального поля привлекательности (16). Результатом расчета является матрица, ко-
торая определяет форму потенциала территории Т.
Симуляция дендритного роста модифицированным методом диффузно
ограниченной агрегации. Классическая модель диффузно ограниченной агрега-
ции (ДОА) следующая: частицы, которые осуществляют броуновское движение,
в результате агрегации образуют кластер, т.е. частица, начиная движение из слу-
чайно выбранной отдаленной точки, присоединяется либо к точечному центру
кластеризации, либо к ранее агрегированным частицам. Компьютерные исследо-
вания показали, что в результате такого процесса образуются сложные разветв-
ленные фракталы [11, 12] сферической формы.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 5 59
В данном случае частица должна двигаться в потенциальном поле, которое
влияет на форму фрактала. Для моделирования этого движения можно воспользо-
ваться методами молекулярной динамики [13].
Пусть в момент времени t частица описывается вектором ).(tri
В потенци-
альном поле на частицу действует сила :UiF
.
)(
))((
)(
tr
trU
tF
i
i
Ui
(28)
Для корректного учета потенциального поля и предотвращения резкого роста
скорости предлагаем рассматривать движение частиц в среде с вязким трением.
Аналогом является движение тел в воздухе, сила сопротивления которого lF
при
дозвуковых скоростях пропорциональна скорости
),()( trtF ili
(29)
где — коэффициент сопротивления среды. Тогда движение частицы описыва-
ется следующим дифференциальным уравнением:
),(
)(
))((
)( tr
tr
trU
trm i
i
i
i
(30)
где m — масса частицы.
Аналитическое решение данного уравнение осложнено тем, что оно зависит
от формы потенциального поля, которое, в свою очередь, базируется на нечетком
выводе и продукционных правилах, поэтому для решения данного дифференци-
ального уравнения использовался метод моделирования Verlet третьего поряд-
ка [14]. Этот алгоритм — комбинация двух разложений в ряд Тейлора для момен-
тов времени t и :tt
).(
)(
!3
1)(
2
1)(
)()( 43
3
3
2
2
2
tOt
dt
trd
t
dt
trd
t
dt
trd
trttr iii
ii
(31)
Данный алгоритм имеет ошибку обрезания, которая лежит в пределах .4t
Агрегация частицы происходит в случае, когда во время движения она стал-
кивается с центром кластера или ранее агрегированными частицами. Если ло-
кальные ограничения препятствуют агрегации (побережье, болото, водоем), ча-
стица изымается из расчета.
Эмпирическими показателями этой теории выступают масса частицы и ко-
эффициент сопротивления среды.
Определяющую роль при моделировании фрактального роста играет испаре-
ние [15, 16]. Количество окружающих агрегированных объектов, при котором ис-
парение возможно, будем интерпретировать как конкурентоспособность. Предпо-
ложим, что вероятность испарения уменьшается с приближением к центру ат-
трактора. Действительно, в реальных системах вероятность выживания объектов
с одинаковым уровнем конкуренции выше там, где больше денежные потоки и
аттрактивность, т.е. в окрестности аттракторов: в области с высоким потенциаль-
ным полем.
Для моделирования испарения предложено рассматривать подвижную части-
цу в двух состояниях: «темная» и «прозрачная». При инициализации частица по-
лучает статус «темная», и моделируется аккреция по указанным законам. После
агрегирования частица изменяет свой статус на «прозрачный» и продолжает ак-
60 ISSN 0572-2691
крецию. Если в ходе роста аттрактора «прозрачная» частица попадает в область,
окруженную dN агрегированными частицами, то с вероятностью dp агрегиро-
ванная частица испаряется:
,,0
,),,(1
d
d
d
NN
NNyxUd
p (32)
где d — эмпирический коэффициент испарения, N — количество соседних агре-
гированных частиц, dN — уровень конкурентоспособности.
Как только «прозрачная» частица попадает в область, где в небольшом ради-
усе R нет агрегированных частиц (частица попала в пустую область), она изменя-
ет свой статус на «темный» и алгоритм аккреции продолжается по классическим
правилам. Это препятствует образованию пустот в середине фракталов со слож-
ной структурой.
Рассмотрим эмпирические параметры модели: dm ,, определялись миними-
зацией разницы квадратов площади полигона, который окружает населенный пункт,
и площади фрактала при одинаковых значениях периметров этих полигонов
min)),,(( 2 dmSS fs (33)
при ),,,( dmPP fs ,0,, dm где ss PS , — площадь и периметр полигона,
который ограничивает населенный пункт, ff PS , — площадь и периметр поли-
гона, который ограничивает фрактал.
Схематически алгоритм моделирования представлен на рис. 2.
Расчет входных
параметров
ГИС Уровень
урбанизации
ограничений
Нечеткая база
знаний
Нечеткие термы,
функции
принадлежности
Обучение
Расчет входных
параметров Расчет привлекательности
территории
Координаты
аттракторов
Ограничения
Инициализация аттракторов
Моделирование роста
фрактала
Эмпирические
параметры
Случайные
параметры
Моделирование
ГИС
Рис. 2
Компьютерный эксперимент
Для апробации модели проведен эксперимент, в ходе которого моделирова-
лась фрактальная структура населенных пунктов: Ворохта Ивано-Франковской
обл. и Будилов Черновицкой обл.
Такой выбор мотивируется тем, что Ворохта имеет статус поселка городского
типа и характеризуется сложной структурой (несколько подъездных путей, гор-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 5 61
нолыжные подъемники и турбазы). Будилов, в отличие от Ворохты, — небольшое
село, здания расположены вдоль дороги, имеется несколько подъездных путей
и железнодорожная станция.
Входными параметрами модели выступали: Ворохта — аттракторы: коорди-
наты горнолыжных подъемников, трамплинов, центра поселка; векторы подъезд-
ных дорог; Будилов — аттратор: центр села; векторы дорог и улиц; железная до-
рога. Для формирования продукционных правил нечеткой модели использовались
ландшафтные данные урбанизированных территорий Карпатского региона, полу-
ченные с помощью ГИС. Особенности рельефа не учитывались.
Расчеты методом модифицированной ДОА осуществлялись с такими при-
ближениями: начальная скорость частицы выбиралась случайным образом; ис-
пользовались зеркальные предельные условия [16], т.е., пересекая грань исследу-
емой области, частица появлялась с противоположной стороны, сохраняя при
этом все другие динамические показатели. В ходе решения оптимизационной за-
дачи для Ворохты наилучший результат получен при ,5,0m ,10 4 .1d
На рис. 3 представлена прогнозная фрактальная структура (б) Ворохты по-
строенная согласно предложенной методологии, которая состоит из около 21 тыс.
аггрегированных частиц, по сравнению с фотографией данной местности из кос-
моса (а). Относительная погрешность прогнозируемой урбанизированной площа-
ди по сравнению с реальной составила 6 %.
а б
Рис. 3
При моделировании фрактальной структуры Будилова наилучшее согласова-
ние с данными ГИС получено при ,1,0m ,10 3 01,0d (рис. 4, а — фото-
графия из космоса, б — прогнозная фрактальная структура). Погрешность в этом
случае составила 8 %. Из рисунка видно, что наличие железной дороги не влияет
ни на форму фрактала, ни на форму населенного пункта. Из найденных значений
массы, плотности среды и коэффициента испарения можно сделать вывод, что
Будилов представляет собой небольшое село, так как фрактал образован легкими
частицами, которые соответствуют малым денежным потокам. В моделировании
формы Ворохты участвуют частицы большей массы, что соответствует большм
денежным и инвестиционным процессам. Эти процессы и меньшее сопротивление
среды Ворохты создают более благоприятную для развития атмосферу. Следует
отметить, что здесь также наблюдаются процессы испарения, в отличие от Буди-
лова, где они практически отсутствуют, т.е. в Ворохте наблюдается конкурентная
борьба, в ходе которой одни элементы исчезают, а другие появляются.
62 ISSN 0572-2691
а б
Рис. 4
Как известно, хаотическое изменение внутренней структуры во многих слу-
чаях может привести к упорядочению системы. В термодинамике мерой «порядка
системы» является энтропия. Компьютерная модель позволяет определить состо-
яние системы в любой момент времени, поэтому энтропию удобно определить по
формуле Больцмана [17]:
),(ln kS (34)
где k — постоянная Больцмана, — число микросостояний, возможных в данном
макросостоянии системы.
Для расчета энтропии полученный фрактал разбивался на элементарные
ячейки и проводился анализ их возможных состояний. Под состоянием подразу-
мевается количество соседей частицы и их пространственная конфигурация.
Для чистоты эксперимента рассчитан фрактал, который рос в изотропной среде
на одной затравке. На рис. 5 представлены графики зависимости энтропии системы,
рассчитанной согласно (32) для 85,0k (кривая 1), изменения среднего уровня
конкуренции системы (кривая 2), термодинамической энтропии системы от итера-
ций алгоритма (кривая 3). Из рисунка видно, что у всех кривых наблюдается экс-
тремум, после которого происходит асимптотический спад. Положения максимумов
кривых и асимптоты хорошо коррелируют между собой. Уменьшение энтропии
объясняется тем, что система термодинамически открыта. Следовательно, можно
констатировать наличие функциональной аналогии между средним уровнем конку-
ренции и энтропией системы.
1
3
2
0
2000
2 4 6 8
4000
6000
8000
10000
12000
14000 4
Рис. 6
На рис. 6 приведены расчетные зависимости количества частиц от их уровня
конкуренции: кривая 1 — 100 тыс. итераций, кривая 2 — момент стагнации, кри-
вые 3, 4 — аппроксимация распределением Максвелла. Кривые можно аппрокси-
мировать распределением Максвелла. Как известно, в термодинамике распреде-
0 200 400 600 800 1000
2
2,5
3
3,5
4
1
3
2
Рис. 5
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 5 63
ление частиц по внутренней или кинетической энергии и другими динамическими
показателями также описывается зависимостью Максвелла. Следовательно, мож-
но предположить наличие функциональной зависимости между кинетической
энергией в кристалле и уровнем конкуренции в социально-экономической систе-
ме. Если предположение верно, то термодинамическая энтропия должна совпасть
с энтропией, вычисленной по формуле Больцмана. Для расчета термодинамиче-
ской энтропии необходимо определить внутреннюю энергию частицы:
,iii UEQ (35)
где iE — кинетическая энергия, iU — потенциальная. Тогда термодинамическая
энтропия будет иметь вид
,
T
Q
S i
i
(36)
где T — температура системы.
Как показали расчеты, при 84,0T термодинамическая энтропия практиче-
ски идентична среднему уровню конкуренции (см. рис. 6), что подтверждает
функциональную аналогию между кинетической энергией частицы и средним
уровнем конкуренции системы.
Большинство населенных пунктов имеют транспортное сообщение. Поэтому
более достоверным приближением является модель населенного пункта, где есть
дорога к аттрактору. Результаты расчета изменения энтропии по формуле Больц-
мана, а также соответствующая форма фрактала в данном приближении представ-
лены на рис. 7: а — изменение симметрии на двумерную (фазовый переход), ха-
рактерную для города; б — фрактал, соответствующий второму пику; в — фрак-
тал, соответствующий первому пику; г — одномерная симметрия характерная для
села; д — зависимость энтропии от итераций алгоритма (по формуле Больцмана).
На графике видны два ярко выраженных пика. Появление второго пика обуслов-
лено изменением внутренней симметрии кристалла и является индикатором фазо-
вого перехода второго рода. Действительно, в небольших поселках дома распола-
гаются вдоль дорог, а улицы параллельны дороге, т.е. симметрия является одно-
мерной. Эта структура присуща большинству сел. Упорядочению по данному
правилу отвечает первый пик (рис. 7, в, г). В дальнейшем населенный пункт начи-
нает разрастаться вглубь от дороги. Соответственно изменяется и симметрия кри-
сталла, которая становится двумерной. Появляются перпендикулярные и ради-
альные улицы (рис. 7, а, б). Такая структура присуща городам. Изменение сим-
метрии вызывает появление второго пика.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
а
г д
б
в
Рис. 7
64 ISSN 0572-2691
На рис. 8 представлены графики из-
менения энтропии для фракталов Будилова
(кривая 1) и Ворохты (кривая 2). Для
удобства анализа максимальное значение
на оси ординат соответствует значению
энтропии для фракталов, представленных
на рис. 3 и 4. Начало отсчета совпадает с
моментом рождения фрактала. Из рисунка
видно, что Ворохта находится в состоя-
нии второго фазового перехода, т.е. фрак-
тал, который моделирует данный насе-
ленный пункт, миновал в своем развитии
структуру, присущую селу, и изменяет ее
на городскую структуру, т.е. можно кон-
статировать, что Ворохта на данном этапе
имеет черты, присущие городу, в окрестности центра, а околицам присуща одно-
мерная симметрия, что действительно наблюдается на практике. Фрактал Будило-
ва находится на начальном этапе формирования и еще не вышел на экстремум эн-
тропии. Значение энтропии на порядок ниже, чем в Ворохте, что подтверждает
факт небольшого количества конфигураций, присущего одномерной симметрии,
т.е. Будилов — классическое небольшое село.
Заключение
В настоящей работе установлена атрибутивная и структурная аналогии меж-
ду физическими фракталами и социально-экономическими системами. Приведена
и обоснована методология моделирования развития социально-экономических си-
стем методами нечеткой логики, фрактального роста кристаллов и молекулярной
динамики. Предложен метод моделирования испарения в процессе роста кристал-
ла, позволивший объяснить основные явления, которые наблюдаются в реальных
социально-экономических системах. В частности, в процессе эволюции наблюда-
ется точка стагнации, после которой уменьшается уровень общей конкуренции
открытой системы, что подтверждает факт самоорганизации системы.
Установлена функциональная аналогия между энтропией кристалла и сред-
ним уровнем конкуренции социально-экономической системы, а также между ки-
нетической энергией и уровнем конкуренции. Исследовано появление фазовых
переходов второго рода, которые определяют изменение типа симметрии насе-
ленных пунктов и могут служить индикаторами состояния социально-эконо-
мической системы. Предложенная методология апробирована в Ворохте и Буди-
лове. Полученные фракталы хорошо описывают как внешние, так и внутренние
характеристики реальных объектов, что подтверждает адекватность методологии.
Я.І. Виклюк
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ СТРУКТУРИ
СКЛАДНИХ СОЦІАЛЬНО-ЕКОНОМІЧНИХ
ОБ’ЄКТІВ НА ОСНОВІ АНАЛОГІЙ
З ФІЗИЧНИМИ ФРАКТАЛАМИ
Запропоновано атрибутивну і структурну аналогію між фізичними фракталами
і соціально-економічними системами. Синтезовано алгоритм моделювання ди-
наміки розвитку соціально-економічної системи. Досліджено механізм появи
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
2
1
0 200 400 600 800 1000
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Рис. 8
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 5 65
стагнації і самоорганізації системи в процесі еволюції. Встановлено функціона-
льну аналогію між ентропією кристала і середнім рівнем конкуренції системи.
Досліджено і обгрунтовано явище фазового переходу другого роду при зміні
симетрії фрактала.
Ya.I. Vyklyuk
MATHEMATICAL MODELING OF COMPLEX
SOCIAL ECONOMIC OBJECTS STRUCTURE BASED
ON ANALOGIES WITH PHYSICAL FRACTALS
Attributive and structural analogy is established between physical fractals and social
economic systems. The algorithm of modeling the dynamics of social economic sys-
tems development is synthesized. The mechanism of stagnation occurring and system
self-organization in evolution process is studied. The functional analogy between
crystal entropy and average level of system competition is established.
1. Qingsheng Yanga, Xia Lia, Xun Shid. Cellular automata for simulating land use changes based on
support vector machines // Comput. & Geosciences. — 2008. — N 34. — P. 592–602.
2. Потапов А.А. Разработка и структура ансамбля фрактальных признаков классов целей для
задач линейной и нелинейной радиолокации // Нелинейный мир. — 2006. — 4, № 7–9. —
С. 19–43.
3. Свердлов В.Я. Совершенствование структуры и свойств металлических материалов в нерав-
новесном состоянии // Материаловедение. — 2008. — № 8. — C. 3–14.
4. Гладун В.П., Величко В.Ю., Киселева Н.Н., Москалева Н.М. Вывод гипотез о составе и свойст-
вах объектов на основе аналогии // Искусственный интеллект. — 2000. — № 1. — С. 44–52.
5. Виклюк Я.І. Прогнозування геометричної структури населених пунктів методом модифікова-
ної дифузно-обмеженої аґреґації в нечіткому потенціальному полі // Інформаційні технології
та комп’ютерна інженерія. — 2008. — № 1. — C. 61–68.
6. Виклюк Я.І. Методологія прогнозування соціально-економічних процесів методами фракталь-
ного росту кристалів у нечіткому потенціальному полі // Вісн. Тернопільського держ. техн.
ун-ту. — 2008. — № 2. — C. 153–162.
7. Виклюк Я.І. Побудова fuzzy-моделі для визначення рекреаційного потенціалу єврорегіону
«Верхній прут»// Вестник НТУ «ХПИ». Сб. научн. тр. Тем. выпуск «Системный анализ,
управление и информационные технологии». — Харьков : НТУ «ХПИ», 2007. — № 41. —
C. 193–201.
8. Дьяконов В.П., Круглов В.В. MATLAB 6.5 SP1/1 SP2 + Simulink 5/6. Инструменты искус-
ственного интеллекта и биоинформатики. Сер. «Библиотека профессионала». — М. : СО-
ЛОН-ПРЕСС, 2006. — 456 с.
9. Ротштейн А.П., Штовба С.Д. Влияние методов дефаззификации на скорость настройки
нечеткой модели // Кибернетика и системный анализ. — 2002. — № 5. — С. 169–176.
10. Кифяк В.Ф., Виклюк Я.І., Кифяк О.В. Визначення оптимальних рекреаційно-туристичних
зон в умовах транскордонного співробітництва // Формування ринкових відносин в
Україні. — 2007. — № 1 (68). — C. 132–136.
11. Фракталы в физике / Под. ред Л. Пьетронеро // Тр. VI Междунар. симпозиума по фракталам
в физике. — М. : Мир, 1988. — 670 с.
12. Кроновер Р. Фракталы и хаос в динамических системах. — М. : Техносфера, 2006. — 488 с.
13. Haile J.M. Molecular dynamics simulation: Elementary methods. — New York; Chishester;
Weinheim; Brisbane; Singapure; Toronto : John Wiley & Sons, 1997. — 512 p.
14. Verlet L. Computer «experiments» on classical fluids. I. Thermodynamical properties of Len-
nard–Jones molecules // Phys. Rev. — 1967. — N 159. — P. 98–103.
15. Numerical simulation of the production processes of layered materials / G.J. Sibona, S. Schreiber,
R.H.W. Hoppe et al. // Materials Sci. in Semiconductor Proces. — 2003. — N 6. — P. 71–76.
16. Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике : Пер. с англ. В 2-х ч. — М. :
Мир, 1990. — Ч. 1. — 349 с.
17. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 5. Статистическая физика. — М. : На-
ука, 1976. — 584 с.
Получено 26.05.2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210833 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-03-18T12:11:17Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Виклюк, Я.И. 2025-12-17T19:57:08Z 2010 Математическое моделирование структуры сложных социальноэкономических объектов на основе аналогий с физическими фракталами / Я.И. Виклюк // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 5. — С. 52-65. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210833 004.942, 004.891.2 10.1615/JAutomatInfScien.v42.i9.60 Запропоновано атрибутивну і структурну аналогію між фізичними фракталами і соціально-економічними системами. Синтезовано алгоритм моделювання динаміки розвитку соціально-економічної системи. Досліджено механізм появи стагнації і самоорганізації системи в процесі еволюції. Встановлено функціональну аналогію між ентропією кристала і середнім рівнем конкуренції системи. Досліджено і обгрунтовано явище фазового переходу другого роду при зміні симетрії фрактала. Attributive and structural analogy is established between physical fractals and social economic systems. The algorithm of modeling the dynamics of social economic systems development is synthesized. The mechanism of stagnation occurring and system self-organization in evolution process is studied. The functional analogy between crystal entropy and average level of system competition is established. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование структуры сложных социальноэкономических объектов на основе аналогий с физическими фракталами Математичне моделювання структури складних соціально-економічних об’єктів на основі аналогій з фізичними фракталами Mathematical modeling of complex social economic objects structure based on analogies with physical fractals Article published earlier |
| spellingShingle | Математическое моделирование структуры сложных социальноэкономических объектов на основе аналогий с физическими фракталами Виклюк, Я.И. Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| title | Математическое моделирование структуры сложных социальноэкономических объектов на основе аналогий с физическими фракталами |
| title_alt | Математичне моделювання структури складних соціально-економічних об’єктів на основі аналогій з фізичними фракталами Mathematical modeling of complex social economic objects structure based on analogies with physical fractals |
| title_full | Математическое моделирование структуры сложных социальноэкономических объектов на основе аналогий с физическими фракталами |
| title_fullStr | Математическое моделирование структуры сложных социальноэкономических объектов на основе аналогий с физическими фракталами |
| title_full_unstemmed | Математическое моделирование структуры сложных социальноэкономических объектов на основе аналогий с физическими фракталами |
| title_short | Математическое моделирование структуры сложных социальноэкономических объектов на основе аналогий с физическими фракталами |
| title_sort | математическое моделирование структуры сложных социальноэкономических объектов на основе аналогий с физическими фракталами |
| topic | Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| topic_facet | Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210833 |
| work_keys_str_mv | AT viklûkâi matematičeskoemodelirovaniestrukturysložnyhsocialʹnoékonomičeskihobʺektovnaosnoveanalogiisfizičeskimifraktalami AT viklûkâi matematičnemodelûvannâstrukturiskladnihsocíalʹnoekonomíčnihobêktívnaosnovíanalogíizfízičnimifraktalami AT viklûkâi mathematicalmodelingofcomplexsocialeconomicobjectsstructurebasedonanalogieswithphysicalfractals |