Реалізація зближення коливних систем на основі принципу розтягування часу

Розглянуто задачу зближення двох керованих систем, що описують динаміку математичних маятників, в якій один із обʼєктів прагне досягти цієї зустрічі, а інший — уникнути її. З метою застосування схеми першого прямого методу Л.С. Понтрягіна до її вирішення знадобилася модифікація цього методу, що базу...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Проблемы управления и информатики
Date:	2022
Main Authors:	Чикрій, Г.Ц., Кузьменко, В.М.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2022
Subjects:	Конфліктно-керовані процеси та методи прийняття рішень
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210861
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Реалізація зближення коливних систем на основі принципу розтягування часу / Г.Ц. Чикрій, В.М. Кузьменко // Проблеми керування та інформатики. — 2022. — № 1. — С. 25-36. — Бібліогр.: 19 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859761590532833280
author	Чикрій, Г.Ц. Кузьменко, В.М.
author_facet	Чикрій, Г.Ц. Кузьменко, В.М.
citation_txt	Реалізація зближення коливних систем на основі принципу розтягування часу / Г.Ц. Чикрій, В.М. Кузьменко // Проблеми керування та інформатики. — 2022. — № 1. — С. 25-36. — Бібліогр.: 19 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто задачу зближення двох керованих систем, що описують динаміку математичних маятників, в якій один із обʼєктів прагне досягти цієї зустрічі, а інший — уникнути її. З метою застосування схеми першого прямого методу Л.С. Понтрягіна до її вирішення знадобилася модифікація цього методу, що базується на застосуванні принципу розтягування часу. Причина полягає у тому, що для цієї задачі не виконано умову Понтрягіна, що лежить в основі першого прямого методу і фактично забезпечує можливість побудови керування переслідувача у кожний момент часу за поточним керуванням втікача. Ця умова відображає перевагу переслідувача над втікачем в ресурсах керування, що виражена через параметри систем. Використовується модифікація умови Понтрягіна, що містить так звану функцію розтягування часу, яка грає вирішальну роль при побудові керування переслідувача по керуванню втікача у минулому. Це тотожно до використання інформації, що запізнюється. Для досліджуваної задачі запропоновано функцію розтягування часу та виводяться умови, що забезпечують можливість зустрічі обʼєктів у визначений скінченний момент. Також приведено формули, що описують спосіб побудови керування переслідувача керуванням супротивника у минулому. Використовуючи програмні засоби, створено візуальну ілюстрацію процесу зближення на площині за умови, що втікач рухається по сталій орбіті. Описаний алгоритм розрахунку формули поточного керування переслідувача гарантує зустріч обʼєктів. The problem of rapprochement between two controlled systems describing the dynamics of mathematical pendulums is considered, in which one object seeks to achieve this meeting, while the other tries to avoid it. In order to apply the first direct method of L.S. Pontryagin to solve this problem, a modification of this method was required, based on the use of the time-stretching principle.
first_indexed	2026-03-15T20:34:23Z
format	Article
fulltext	© Г.Ц. ЧИКРІЙ, В.М. КУЗЬМЕНКО, 2022 Міжнародний науково-технічний журнал «Проблеми керування та інформатики», 2022, № 1 25 КОНФЛІКТНО-КЕРОВАНІ ПРОЦЕСИ ТА МЕТОДИ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ УДК 517.9 Г.Ц. Чикрій, В.М. Кузьменко РЕАЛІЗАЦІЯ ЗБЛИЖЕННЯ КОЛИВНИХ СИСТЕМ НА ОСНОВІ ПРИНЦИПУ РОЗТЯГУВАННЯ ЧАСУ Ключові слова: диференціальна гра, умова Понтрягіна, інтеграл Ауманна, за- пізнення інформації, функція розтягування часу, геометрична різниця множин, селектор багатозначного відображення. Keywords: differential game, Pontryaginʼs condition, Aumannʼ integral, information delay, function of time dilation, geometric difference of sets, selection of set-valued mapping. Вступ У теорії диференціальних ігор існує низка ефективних методів прийняття рі- шень в умовах конфлікту та невизначеності, які беруть початок в роботах Р. Ай- зекса [1], Л.С. Понтрягіна [2], М.М. Красовського [3], Л.В. Берковиця [4], О. Хайека [5], Б.М. Пшеничного [6] та їх учнів. Різні застосування ігрових методів до вирішення прикладних проблем містяться в [7]. При застосуванні першого прямого методу Понтрягіна [2], одного з найефек- тивніших та простих за своєю структурою методів теорії диференціальних ігор, ключовою є умова Понтрягіна — умова переваги переслідувача над втікачем в ре- сурсах керування. Для широкого кола задач, зокрема для протидіючих сторін, ди- наміка яких описується рівняннями з різною інерційністю або коливними систе- мами, в задачах про мʼяку зустріч ця умова не виконується на певних інтервалах часу [8, 9]. Результатом глибокого вивчення цієї умови [10] була її модифіка- ція [11], що передбачає можливість побудови керування переслідувача по керу- ванню втікача в минулому. Встановлення звʼязку цієї модифікації з переходом до гри зі змінним запіз- ненням інформації [12] стимулювало розвиток нового підходу, повʼязаного з «роз- тягуванням часу», який дозволяє забезпечити виконання певного аналогу умови Понтрягіна та привести траєкторію процесу на задану термінальну множину дещо пізніше [13, 14]. Проте ціль — закінчення гри за скінченний час — досягається. Зміст цього підходу полягає у штучному погіршенні інформаційних можли- востей переслідувача, а саме, в переході від вихідної гри з повною інформацією до гри з тією ж динамікою і тією ж термінальною множиною, але з запізненням інформації, яке зменшується в процесі наближення траєкторії гри до термінальної множини та перетворюється в нуль при попаданні на неї. Далі одержана гра з за- пізненням інформації аналізується на основі її еквівалентності грі з повною інфор- мацією [15], для якої умова Понтрягіна вже містить функцію розтягування часу. Вводиться числова функцію ( ),I t яка за змістом є функцією розтягування часу. Схему ігрового підходу, в якому модифікована умова Понтрягіна використовує 26 ISSN 1028-0979 функцію ( ),I t називають принципом розтягування часу. Його використання до- зволило провести повний аналіз задачі про мʼяку зустріч диференційних систем другого порядку, що описують динаміку згідно з другим законом Ньютона за ная- вності тертя [14]. Отримані достатні умови на параметри гри, які забезпечують пересліду- вачу можливість здійснення за скінченний час мʼякої зустрічі обʼєктів. Окремо встановлено умови на початкові стани обʼєктів, при яких переслідування здій- снюється строго вздовж сліду втікача. Аналогічні результати отримані для за- дачі про мʼяку зустріч керованих коливних систем другого порядку, що опи- сують динаміку математичного маятника, затухаючих коливань та різнотип- них обʼєктів [14–16]. Задача про зустріч коливних систем загального вигляду розглядалася в [17]. Зауважимо, що принцип розтягування часу працює і у випадку динамічної гри загального вигляду [15, 16], яка охоплює широке коло конфліктно-керованих процесів, а саме процесів, динаміка яких задається системами звичайних дифере- нціальних, диференціально-різницевих, інтегральних, інтегро-диференціальних рівнянь та системами з дробовими похідними. У даній роботі розглянуто задачу зближення двох коливних систем, що опи- сують динаміку математичних маятників. Для досліджуваної задачі запропонова- но адекватну функцію розтягування часу та виводяться прості умови на парамет- ри систем, що забезпечують переслідувачу можливість зустрічі з втікачем у ви- значений скінченний момент за довільних початкових умов. Також наведено формули, що описують спосіб побудови керування переслідувача по керуванню супротивника у минулому. Наведено розвʼязок задачі для коливних систем у двовимірному просторі у припущенні, що керування втікача є сталим. Наведені приклади побудованих ке- рувань переслідувача та траєкторій переслідувача та втікача для трьох різних по- чаткових умов. Принцип розтягування часу в лінійних диференціальних іграх Нехай динаміка конфліктно-керованого процесу описується системою ліній- них диференціальних рівнянь ,z A z u v= − + (1) де z — вектор n -мірного евклідового простору ,nR A — квадратна матриця порядку ;n u та v — керування переслідувача та втікача, що вибираються в кож- ний момент часу з множин U та V відповідно, ( ),nU K R ( ),nV K R де ( )nK R — сукупність всіх компактів з простору .nR При цьому реалізації цих керу- вань у часі повинні бути вимірними функціями. Такі керування назвемо допустимими. Задано початковий стан системи 0(0) .z z= Гра розглядається з точки зору переслідувача, метою якого є приведення у скінченний момент часу траєкторії си- стеми (1) на термінальну множину 0 0, ,nM M R при довільному допустимому керуванні втікача. Припустимо, що множина 0M є лінійним підпростором в .nR Позначимо  оператор ортогонального проектування з nR на ,L де L — орто- гональне доповнення до 0M в .nR Тоді вихід траєкторії гри на множину 0M в момент T еквівалентний співвідношенню ( ) 0.z T = Міжнародний науково-технічний журнал «Проблеми керування та інформатики», 2022, № 1 27 Переслідувач для досягнення цілі використовує контрстратегії, тобто у ко- жний момент часу будує своє керування на основі знання миттєвого керування супротивника. Перший прямий метод Понтрягіна, як і інші прямі методи переслідування з пов- ною інформацією, передбачає, що в процесі гри переслідувач обирає своє керування з огляду на повну інформацію про поточне керування втікача, і базується на умові Пон- трягіна, яка відображає перевагу переслідувача над втікачем в ресурсах керування. У подальшому використовується операція геометричної різниці Мінковського [2]. Визначення 1. Нехай X і Y — непорожні множини з .nR Геометрична різ- ниця множин визначається формулою { : } ( ), y Y X Y z z Y X X y   = +  =  − ,nX R .nY R Умова 1 (Понтрягіна [2]) 0.tA tAe U e V t     Якщо ця умова не виконується на певному проміжку часу, то пропонується її модифікація, яка передбачає, що переслідувач в процесі гри будує своє керу- вання з огляду не на поточне керування втікача, а на його керування у минуло- му, так ніби інформація про керування втікача надходить до нього зі змінним у часі запізненням. Визначення 2. Функцією розтягування часу будемо називати невідʼємну монотонно зростаючу кусково-неперервну функцію ( ),I t [0, ),t + (0) 0,I = ( ) ,I t t 0,t  яка може мати зліченну кількість розривів першого роду, абсо- лютно неперервну на інтервалах своєї неперервності, та таку, що ( ) 0,I t  [0, ) \ ,t +  [0, )\ sup ( ) , t I t  +   + де  — множина точок розриву та недиферен- ційованості ( ).I t Умова 2. Існує абсолютно неперервна функція розтягування часу ( ),I t така що багатозначне відображення ( ) 1( ) ( )tA I t AW t e U I t e V=    (2) має непорожні образи при ,t [0, ).t + У подальшому буде використано поняття інтегралу Ауманна від багатознач- ного відображення [18]. Визначення 3. Нехай ( )F t — багатозначне відображення, 0:[ , ]F t T → ( ),nP R→ де ( )nP R — сукупність всіх замкнених множин з простору .nR Обʼєднання, взяте по всіх вимірним вибірках ( ),f t ( ) ( ) :f t F t 0 ( ) ( ) ( ) , T f F t f t dt     називають інтегралом Ауманна від багатозначного відображення ( )F t і познача- ють 0 ( ) . T t F t dt 28 ISSN 1028-0979 Теорема. Нехай для диференціальної гри (1) з термінальною множиною 0M — лінійним підпростором, виконана умова 2 та для заданого початкового стану 0z існує скінченний момент часу ( ) ( ) ( ( ) ) 1 1 0 0 1 0 0 ( ) min 0 : ( ) I t t t I t A I t At t z t e z e Ud W d − −      = =   +               . (3) Тоді з початкового стану 0z гра може бути завершена в момент часу 1( )I t при будь-яких допустимих керуваннях втікача. У силу непорожності перетину у визначенні часу 1t (3) та непорожності об- разів багатозначного відображення 1( )W  (умова 2) існують допустиме керування 0 ( ),u   0[0, ),  0 1 1( )I t t = − та вимірний селектор 1( ),  1 1( ) ( ),W    10 ,t   багатозначного відображення 1( )W  такі, що виконується рівність 1 1 1 01 1 ( ) ( ) ( ( ) ) 0 1 0 0 ( ) ( ) . I t t t I t A I t A e z e u d d − −     +   =          (4) Поділимо інтервал часу 1[0, ( )]I t на дві частини: пів інтервал 0[0, ) та відрізок часу 0 1[ , ( )].I t Пропонується спосіб керування переслідувача на проміжках часу 0[0, ) та 0 1[ , ( )].I t На пів інтервалі часу 0[0, ) керування переслідувача покладаємо рів- ним 0 ( ),u   0[0, ),  а на відрізку часу 0 0 1[ , ]t  + керування переслідувача будується у вигляді вимірного розвʼязку рівняння 1( ) 0( ) t A e u −   + = 1( ) 1 1 1 1 1( ) ( ( ) ( )) ( ), I t A I t e v I t I t t − = −  − − + − 1[0, ],t (5) існування якого забезпечує теорема Філіпова–Кастена про вимірний вибір [19]. Отже, починаючи з моменту часу 0 , тобто в кожний поточний момент часу 0 , +  10 ,t   переслідувач будує своє керування з огляду на керування вті- кача в момент часу 1 1( ) ( ).I t I t− − Оскільки 1 0 1( ) ,I t t=  + то момент часу 1 1( ) ( )I t I t− − може бути представлений у вигляді 1 1 0 1 1 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )).I t I t t I t I t t− − =  + − − =  +− − − − Звідси робимо висновок, що, починаючи з моменту часу 0 , переслідувач обирає своє керування по керуванню втікача в минулому, так ніби інформація про поточне керування втікача приходить до нього із запізненням у часі 0( ).  + За- стосувавши описане вище керування на проміжку часу 1[0, ( )),I t переслідувач у момент 1( )I t виведе траєкторію системи (1) на термінальну множину 0.M Зближення за геометричними координатами коливних систем Нехай рух обʼєктів описується системами другого порядку: 2 1 0 0, , 1, (0) , (0) ,nx x u x R u x x x x+ =    = = (6) Міжнародний науково-технічний журнал «Проблеми керування та інформатики», 2022, № 1 29 2 2 0 0, , 1, (0) , (0) .ny x v y R v y y y y+ =    = = (7) Тут ,x y — геометричні координати відповідно переслідувача та втікача, 0 0,x y u та v — їх керування, параметри 1, 2 визначають частоту коливань, ,  — силові коефіцієнти, 1 2, , , 0.     Розглядається випадок, коли 1 2.   (8) Мета переслідувача — у деякий момент часу t досягти збігу геометричних коор- динат, тобто ( ) ( ),x t y t= при довільних допустимих керуваннях втікача. За допомогою стандартної заміни змінних 1 2 1 2, , ,x x x x y y y y= = = = переходимо до системи першого порядку для змінної 1 2 1 2( , , , ),z x x y y= 4 ,nz R з початковою умовою 0 0 0 0(0) ( , , , ).z x x y y= При цьому термінальною множиною стає лінійний підпростір в 4 :nR 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1{ ( , , , ), , , , : }.nM z x x y y x x y y R x y= =  = Динаміка змінної стану ( )z t в 4nR описується системою рівнянь вигляду (1), де 2 1 2 2 O E O O E O O O A O O O E O O E O     − =     −  , а множини керувань такі: T ( ) ,U O S O O= T( ) ,V O O O S= E і O — відповідно одинична і нульова n -мірні матриці, S — n -мірна куля одиничного радіуса. Ортогональне доповнення до 0M в 4nR є підпростір простору 4 :nR 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2{( , , , ), , , , : , 0, 0},nL x x y y x x y y R x y x y=  = − = = а оператор ортогонального проектування з 4nR на L визначається матрицею 2 2 2 2 E O E O   −     . В момент t геометричні координт співпадуть, якщо виконана умова ( ) 0.z t = Фундаментальна матриця tAe обʼєднаної системи є такою: 1 2 tA tA tA e O e O e   =       , де sin cos 1 sin cos i i i tA i i i i t t E E e t E t E       =   −     , 1, 2.i = (9) 30 ISSN 1028-0979 Тоді умова Понтрягіна (умова 1) набуває вигляду 1 2 1 2 ( ) sin sinW t t S t S   =       0.t  Вона виконується тоді й тільки тоді, коли на всій напівосі [0, )+ виконується нерівність 1 2 1 2 sin sin 0.t t    −     Якщо 1 2 ,   то це — нерівність, а отже, умова Понтрягіна не виконується. Застосуємо принцип розтягування часу. Умова 2 у даному випадку має вигляд 1 1 0 2 0 1 2 ( ) sin ( ) sin ( )W t t S I t I t S   =       0.t  Вона зводиться до співвідношення, яке має виконуватись при всіх [0, ) :t + 1 2 1 2 sin ( ) sin ( ) 0t I t I t    −     0.t  (10) Введемо функцію розтягування часу 1 2 ( ) ,I t t  =  [0, ).t + (11) Тоді 2 1sin ( ) sin ,I t t =  [0, ).t + Ця функція задовольняє усім вимогам означення функції розтягування часу, а саме (0) 0,I = ( )I t t при 0.t  Підставивши функцію розтягування часу (11) у співвідношення (10), одер- жимо нерівність 1 1 1 1 2 2 sin sin 0,t t    −      [0, ).t + Звідси випливає умова, що забезпечує виконання цієї нерівності, а отже , і умови (10): 2 2 1 2 .      (12) Покажемо, що за умов (8), (12) для довільних початкових станів систем (6), (7) існує скінченний момент часу 1,t при якому має місце включення ( ) 0 1 0 ( ) . t I t Ae z W d    Припустимо, що ( ) 0,u   0[0, ),  де 0 1 1( ) .I t t = − Тоді 1t стає першим мо- ментом часу, коли виконується співвідношення 2 0 2 02 sin ( ) cos ( ) , I t y I t E E y      −       1 0 1 1 01 0 sin ( ) cos ( ) , ( ) . t I t x I t E E W d x     −            (13) Міжнародний науково-технічний журнал «Проблеми керування та інформатики», 2022, № 1 31 З ростом t вектор, що стоїть у лівій частині включення (13), лишатиметь- ся у межах певної кулі ,rS ,nrS R радіуса r з центром у початку координат. Із попередніх міркувань випливає, що множина правої частини включення (13) має вигляд 1 1 12 1 20 0 ( ) sin , t t W d d S      = −           (14) яка, в свою чергу, містить множину 1( )W t = 11 1 12 2 11 2 0 sin t k d S         =     −    =        = 2 2 1 1 2 2 . t S      −            Вище знаком [.] позначена ціла частина числа. При {}t →+ ця куля прямує до кулі нескінченного радіуса з центром в ну- лі, яка у певний момент часу поглине кулю ,rS і буде виконана умова (13) теоре- ми. Отже, в момент 1( )I t відбудеться зустріч обʼєктів (6) та (7). У процесі зближення ( ) 0,u   0[0, ),  а на відрізку 0 1[ , ( )]I t керування переслідувача будується на підставі вимірного рішення рівняння (5), яке у даному конкретному випадку має вигляд 1 1 0 1 2 1 1 1 1 1 1 2 sin ( ) ( ) ( )sin ( ) ( ( ) ( )) ( ),t u I t I t v I t I t t    −  + = −  − − − + −   1[0, ].t (15) Тут 1( )  — селектор багатозначного відображення 1( ),W t що існує з огляду на включення (13). Реалізація принципу розтягування часу для коливних систем у двовимірному просторі Для демонстрації результатів застосування принципу розтягування часу для коливних систем розглянуті приклади руху на площині. Керування втікача бралося сталим вектором ( ) const.v  = Воно позначено .v Керування переслідувача на відрізку часу 0[0, ),  де 0 1 1( ) ,I t t = − дорів- нювало 0: ( ) 0.u   Для інтервалу 0 0 1[ , ]t  + керування аналітично розрахо- вувалося на основі рівняння (15). А саме, підставивши в (15) функцію ( )I t = 1 2 t  =  і її похідну, отримуємо 2 1 1 1 0 1 1 1 1 12 2 sin ( ( )) ( ) sin ( ( )) ( ).g gt u t v t   −   + =  −  +  −  (16) Тут вектори v та u замінено на gv та ( ),gu  оскільки після виконання проек- ції  відбувається перехід у двовимірний простір геометричних координат. Век- тор 1( )  також розглядається у двовимірному просторі. 32 ISSN 1028-0979 Для розвʼязання рівняння (16) необхідно, щоб селектор 1 1( )t − дорів- нював 0 тоді, коли і 1 1sin ( ( )) 0.t − = Якщо 1 1sin ( ( )) 0,t −  то 0( )gu  +  = 2 1 1 1 1 2 1 12 ( ) . sin ( ( )) 0 g t v t    − = +    − = Селектор 1 1 1 1 12 1 2 ( ) sin ( ) ,t t S     −  −  −       який вибирається згідно з (14), задовольняє умові на sin( ) 0 = і його можна представити як 1 1( )t − = 1 1 1 1 12 1 2 sin ( ) ( ),t w t    = −  −  −       1( ) ,w S  де S — одиничний шар у двови- мірному просторі. Тоді 2 2 1 1 0 1 1 1 12 2 2 2 1 ( ) sign (sin ( )) ( ).g gu v t w t     +  = + −   − −       Оскільки додаткових обмежень на вибір вектора 1( )w  не накладено, то можемо вільно змінювати його напрям на протилежний, і це дає можливість прибрати функ- цію sign ( ) у наведеному вище виразі, а також змінити аргумент цього вектора на . Отже, пошук ( )gu  здійснюється за формулою 2 2 1 1 0 12 2 2 2 1 ( ) ( ).g gu v w     +  = + −         Керування 0( )gu  +  залишається припустимим при виборі буть-якого вектора 1( ) .w S  Для знаходження потрібного вектора керування повертаємося до мети пере- слідувача — побудувати таке керування, щоб виконувалося 1( ( )) 0.z I t = Врахо- вуючи спосіб знаходження стану системи в момент 1( ),I t маємо таку умову: 1 1 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) 0 1 0 ( ( )) 0. I t I t I t A I t A I t A u ue z e vd e av bw d − −      +  +  +   =       (17) Тут ,v V 1, ,u uv w U а ненульові координати вектора uv такі ж, як у .gv Кое- фіцієнти ,a b дорівнюють 2 2 1 1 2 2 2 2 1 ,a b    = = −        . Враховуючи ці коефіцієнти, визначення 0 та зміст фундаментальної матриці (9), приходимо до висновку, що у виразі (17) 1 1 ( ) ( ( ) ) 0 I t I t A e vd −    +    1 1 0 ( ) ( ( ) ) ( ) 0. I t I t A ue av d −   +   =    Отже, для частини, що залишилася, має виконува- тися умова 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ( ) ) 0 1( ( )) 0. I t I t A I t A ue z e bw d −      +    =      Міжнародний науково-технічний журнал «Проблеми керування та інформатики», 2022, № 1 33 Проекція першого члена цього виразу дорівнює правій частині включен- ня (14) в момент часу 1( ).I t Позначимо цей вектор 1( ( )).I t Тоді, використовуючи зменшення змінної  на 0 , маємо умову на вектор 1( ) :w  1 0 ( ) 1 1 1 1 1 sin ( ( ) ) ( ( )) ( ) I t I t I t b w d   −  = −   =   1 1 1 1 1 02 1 2 0 sin ( ( )) ( ) . t t w d    = − −  − +         (18) Виходячи з того, що 1t знаходиться з умови (14), можемо записати 1 1 1 12 2 1 2 0 ( ( )) sin . t I t d     =  −          Використовуючи останні дві рівності, отримуємо таку умову на 1( ) :w  1 1 1 1 1 0 1 0 0 sin ( ( )) ( ) sin . t t t w d d − +   =     (19) З (19) витікає, що 1( )w  може бути одиничним кусково-фіксованим вектором, який змінює тільки напрямок на протилежний у моменти, коли змінюється знак 1 1sin ( ( )).t − Щоб виконати рівняння (18), вектор 1( )w  на інтервалі 1 1[ ( ) , ( )]I t I t− може рівнятися 1 1( ( )),I t−  де  — мале значення, а 1 1( ( ))I t = 1 1( ( )) / ( ( ))I t I t=   . Далі 1( )w  змінюється, як сказано вище. Отже, 1 1 1 1 1( ) ( ( )) sign(sin ( ( ) )).w t I t I t t= −   − Таким чином, знайдено керування переслідувача: ( ) 0,u t = 0,t   2 2 1 1 1 1 1 12 2 2 2 1 ( ) ( ( )) sign (sin ( ( ) )),gu t v I t I t t    = −  −   −       0 1.t t   Траєкторія переслідувача у двовимірному просторі геометричних координат обчислюється за формулами: 0 1 0 1 1 1 ( ) cos sin ,x t x t x t=  +   0,t   0 1 0 1 1 02 1 2 1 1 ( ) cos sin (1 cos ( ))gx t x t x t v t=  +  +  −  −  −   1 1 0 1 1 1 02 2 1 2 ( ( )) (( 1) 2 cos ( ) cos ( )),tk tI t z k t t    −  − − +  −  −  −       0 1,t t   34 ISSN 1028-0979 де 0 1 1sign(sin ),z t=  1 1 1 0 1 1 t t      =  + −      , 1 1( ) 1.t t k −    = +   Нижче наведено результати побудови керувань та траєкторій для показу за- стосування принципу розтягування часу до коливних систем у двовимірному про- сторі (на площині). На рис. 1–3 показано траєкторії втікача та переслідувача та керування переслідувача. На рис. 1 показано, що початкові умови втікача та пересліду- вача співмірні. На рис. 2 переслідувач знаходиться в середині еліпса втікача і «розгойдує» свою траєкторію. На рис. 3 втікач знаходиться в середині еліпса переслідувача, який «стискає» свою траєкторію. Зліва показані траєкторії, справа — компоненти вектора керування та його норма. Тут керування пере- слідувача помножено на силовий коефіцієнт , який дорівнював 10 (горизон- тальні лінії справа). Втікач має траєкторію у формі еліпса. Переслідувач також має початкову траєкторію у формі еліпса з центром в точці (0, 0), яка з моменту часу 0 по- чинає змінюватися. Кружечками показані початкові положення, стрілками — початкові швидкості, хрестиком — точка зіткнення. Рис. 1 Рис. 2 – 2 0 1 2 3 – 2 0 2 4 6 0 2 4 6 8 0,0 – 10,0 10,0 – 5,0 5,0 0 0 l(t1) z1 time (s) – 1 0 1 2 3 – 2 0 2 4 6 0 2 4 6 8 0,0 – 10,0 10,0 – 5,0 5,0 0 0 l(t1) z1 time (s) – 2 – 3 – 4 10 12 14 Міжнародний науково-технічний журнал «Проблеми керування та інформатики», 2022, № 1 35 Рис. 3 Висновок Для задачі зближення двох керованих обʼєктів другого порядку на базі прин- ципу розтягування часу виведені прості умови на параметри систем і ресурси ке- рування, за яких зустріч відбудеться у певний скінченний момент часу при довіль- них початкових положеннях та швидкостях систем. У випадку, коли керування втікача кусково-стале, можлива побудова керування переслідувача та його траєк- торії в аналітичному вигляді. При цьому, якщо навіть керування переслідувача достатньо просте, траєкторія його руху має складний вигляд. Г.Ц. Чикрій, В.М. Кузьменко РЕАЛІЗАЦІЯ ЗБЛИЖЕННЯ КОЛИВНИХ СИСТЕМ НА ОСНОВІ ПРИНЦИПУ РОЗТЯГУВАННЯ ЧАСУ Розглянуто задачу зближення двох керованих систем, що описують динаміку мате- матичних маятників, в якій один із обʼєктів прагне досягти цієї зустрічі, а інший — уникнути її. З метою застосування схеми першого прямого методу Л.С. Понтрягіна до її вирішення знадобилася модифікація цього методу, що базується на застосуванні принципу розтягування часу. Причина полягає у тому, що для цієї задачі не виконано умову Понтрягіна, що лежить в основі першого прямого методу і фактично забезпе- чує можливість побудови керування переслідувача у кожний момент часу за поточ- ним керуванням втікача. Ця умова відображає перевагу переслідувача над втікачем в ресурсах керування, що виражена через параметри систем. Використовується моди- фікація умови Понтрягіна, що містить так звану функцію розтягування часу, яка грає вирішальну роль при побудові керування переслідувача по керуванню втікача у ми- нулому. Це тотожно до використання інформації, що запізнюється. Для досліджува- ної задачі запропоновано функцію розтягування часу та виводяться умови, що забез- печують можливість зустрічі обʼєктів у визначений скінченний момент. Також при- ведено формули, що описують спосіб побудови керування переслідувача керуванням супротивника у минулому. Використовуючи програмні засоби, створено візуальну ілюстрацію процесу зближення на площині за умови, що втікач рухається по сталій орбіті. Описаний алгоритм розрахунку формули поточного керування переслідувача гарантує зустріч обʼєктів. G.Ts. Chikrii, V.M. Kuzmenko IMPLEMENTATION OF THE APPROACH OF OSCILLATORY SYSTEMS BASED ON THE PRINCIPLE OF TIME DILATION The paper considers the problem of the approach of two controlled systems describing the dynamics of mathematical pendulums, in which one of the objects seeks to achieve thе – 10 5 0 5 10 – 10 0 5 10 15 0 10 20 30 40 0,0 – 10,0 10,0 – 5,0 5,0 0 0 l(t1) z1 time (s) – 15 – 20 – 15 5 36 ISSN 1028-0979 meeting, and the other to avoid it. In order to apply the first direct method of L.S. Pontryagin, to solve the problem, a modification of this method was required, based on the application of the time dilation principle. The reason is that the Pontryagin condition, which is the basis of the first direct method and, in fact, provides the possibility of con- structing the control at each instant of time according to the current control of the evader, is not satisfied for the problem at hand. This condition reflects the advantage of the pursuer over the evading object in control resources, expressed through the parameters of the sys- tems. A modification of the Pontryagin condition is used, which includes the so-called time dilation function, which plays a decisive role in the construction of the control of the pursuer on the basis of the evaderʼs control in the past, as it were, on the basis of delayed information. For the problem under study, an appropriate function of time dilation is intro- duced and conditions are derived that ensure the possibility of meeting of the objects in a prescribed finite time. Also, formulas are given that describe the way of constructing the pursuer control on the basis of the adversary control in the past. Using software, a visual il- lustration of the process of convergence of the objects on the plane, provided the evader is moving in a stable orbit, is created. The algorithm for constructing the current control of the pursuer that leads to the meeting is described. REFERENCES 1. Isaacs R.F. Differential Games. New York-London-Sydney: Wiley Interscience, 1965. 479 p. 2. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды: в 3 т. Дифференциальные уравнения. Теория опера- торов. Оптимальное управление. Дифференциальные игры. Т 2. М. : Наука, 1988. 576 с. 3. Красовский Н.Н., Cубботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М. : Мир, 1974. 456 с. 4. Berkovitz L.D. Differential games of generalized pursuit and evasion. SIAM, Control and Optimi- zation. 1986. 24, N 53. P. 361–373. https://doi.org/10.1137/0324021. 5. Hayek O. Pursuit Games. New York: Academic Press, 1975. 266 p. 6. Pshenitchny B.N.  -strategies in Differential Games. Topics in Differential Games. New York, London, Amsterdam: North Holland Publ. Co., 1973. P. 45–49. 7. Siouris G. Aerospace avionics systems: A modern synthesis. San Diego: Academic Press, 1993. 466 p. 8. Chikrii A.A. Conflict-controlled processes. Dordrecht, Boston, London: Springer Science and Busines Media, 2013. 424 p. 9. Mezentsev A.V. On some class of differential games. Izvestia AN SSSR, Techn. kib. 1971. 6. P. 3–7. 10. Никольский М.С. О применении первого прямого метода в линейных дифференциальных играх. Изв. АН СССР. Сер. техн. кибернетики. 1972. № 10. С. 51–56. 11. Зонневенд Д. Об одном типе превосходства игрока. ДАН СССР. 1973. 208, № 3. С. 520–523. 12. Chikrii G.Ts. Using impact of information delay for solution of game problems of pursuit. Dopo- vidi Natsionalʼnoi Akademii Nauk Ukrainy. 1999. 12. P. 107–111. 13. Chikrii G.Ts. One approach to solution of complex game problems for some quasi-linear evolu- tionary systems. Game Theory and Applications. 2005. 10. P. 47–55. https://doi.org/ 10.1016/S0898-1221(02)00197-9 14. Chikrii G.Ts. Using the effect of information delay in differential pursuit games. Cybernetics and Systems Analysis. 2007. 43, № 2. P. 233–245. https://doi.org/10.1007/s10559-007-0042-x 15. Chikrii G.Ts. Principle of time stretching in evolutionary games of approach . Journal of Automation and Information Sciences. 2016. 48, N 5. P. 12–26. https://doi.org/10.1615/ JAutomatInfScien.v48.i5.20 16. Chikrii G.Ts. Principle of time stretching for motion control in condition of conflict. Book chap- ter in the book «Advanced control systems: Theory an applications», River Publishers, 2021. P. 52–82. 17. Chikrii G.Ts., Rastvorova K.I. On game problem for oscillatory systems. Cybernetics and Com- puter Technologies. 2021. 1. P. 5–15. https://doi.org/10.34229/2707-451X.21.1.1 18. Aumann R.J. Integrals of set-valued functions. J. Math. Anal. Appl. 1965. 12. Р. 1–12. https://doi.org/10.1016/0022-247X(65)90049-1 19. Filippov A.F. Differential equations with discontinuous right-hand sides. Dordrecht, Boston: Kluwer Publishers, 1988. 258 p. https://doi.org/10.1007/978-94-015-7793-9 Отримано 19.01.2022 https://doi.org/10.1137/0324021 https://doi.org/%0b10.1016/S0898-1221(02)00197-9 https://doi.org/%0b10.1016/S0898-1221(02)00197-9 https://doi.org/10.1007/s10559-007-0042-x https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v48.i5.20 https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v48.i5.20 https://doi.org/10.34229/2707-451X.21.1.1 https://doi.org/10.1016/0022-247X(65)90049-1 https://doi.org/10.1007/978-94-015-7793-9
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210861
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0572-2691
language	Russian
last_indexed	2026-03-15T20:34:23Z
publishDate	2022
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Чикрій, Г.Ц. Кузьменко, В.М. 2025-12-19T14:17:05Z 2022 Реалізація зближення коливних систем на основі принципу розтягування часу / Г.Ц. Чикрій, В.М. Кузьменко // Проблеми керування та інформатики. — 2022. — № 1. — С. 25-36. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210861 517.9 10.34229/1028-0979-2022-1-3 Розглянуто задачу зближення двох керованих систем, що описують динаміку математичних маятників, в якій один із обʼєктів прагне досягти цієї зустрічі, а інший — уникнути її. З метою застосування схеми першого прямого методу Л.С. Понтрягіна до її вирішення знадобилася модифікація цього методу, що базується на застосуванні принципу розтягування часу. Причина полягає у тому, що для цієї задачі не виконано умову Понтрягіна, що лежить в основі першого прямого методу і фактично забезпечує можливість побудови керування переслідувача у кожний момент часу за поточним керуванням втікача. Ця умова відображає перевагу переслідувача над втікачем в ресурсах керування, що виражена через параметри систем. Використовується модифікація умови Понтрягіна, що містить так звану функцію розтягування часу, яка грає вирішальну роль при побудові керування переслідувача по керуванню втікача у минулому. Це тотожно до використання інформації, що запізнюється. Для досліджуваної задачі запропоновано функцію розтягування часу та виводяться умови, що забезпечують можливість зустрічі обʼєктів у визначений скінченний момент. Також приведено формули, що описують спосіб побудови керування переслідувача керуванням супротивника у минулому. Використовуючи програмні засоби, створено візуальну ілюстрацію процесу зближення на площині за умови, що втікач рухається по сталій орбіті. Описаний алгоритм розрахунку формули поточного керування переслідувача гарантує зустріч обʼєктів. The problem of rapprochement between two controlled systems describing the dynamics of mathematical pendulums is considered, in which one object seeks to achieve this meeting, while the other tries to avoid it. In order to apply the first direct method of L.S. Pontryagin to solve this problem, a modification of this method was required, based on the use of the time-stretching principle. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Конфліктно-керовані процеси та методи прийняття рішень Реалізація зближення коливних систем на основі принципу розтягування часу Implementation of the approximation of oscillatory systems based on the time-stretching principle Article published earlier
spellingShingle	Реалізація зближення коливних систем на основі принципу розтягування часу Чикрій, Г.Ц. Кузьменко, В.М. Конфліктно-керовані процеси та методи прийняття рішень
title	Реалізація зближення коливних систем на основі принципу розтягування часу
title_alt	Implementation of the approximation of oscillatory systems based on the time-stretching principle
title_full	Реалізація зближення коливних систем на основі принципу розтягування часу
title_fullStr	Реалізація зближення коливних систем на основі принципу розтягування часу
title_full_unstemmed	Реалізація зближення коливних систем на основі принципу розтягування часу
title_short	Реалізація зближення коливних систем на основі принципу розтягування часу
title_sort	реалізація зближення коливних систем на основі принципу розтягування часу
topic	Конфліктно-керовані процеси та методи прийняття рішень
topic_facet	Конфліктно-керовані процеси та методи прийняття рішень
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210861
work_keys_str_mv	AT čikríigc realízacíâzbližennâkolivnihsistemnaosnovíprincipuroztâguvannâčasu AT kuzʹmenkovm realízacíâzbližennâkolivnihsistemnaosnovíprincipuroztâguvannâčasu AT čikríigc implementationoftheapproximationofoscillatorysystemsbasedonthetimestretchingprinciple AT kuzʹmenkovm implementationoftheapproximationofoscillatorysystemsbasedonthetimestretchingprinciple

Реалізація зближення коливних систем на основі принципу розтягування часу

Institution

Similar Items