Чисельно-аналітичне розвʼязання однієї задачі моделювання дробово-диференціальної динаміки компʼютерних вірусів
Розглядається задача моделювання динаміки поширення комп’ютерних вірусів на основі моделі, що базується на математичній теорії біологічних епідемій. Актуальність даної задачі обумовлена необхідністю побудови ефективних систем антивірусного захисту комп’ютерних мереж, що базуються на результатах мате...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2022 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2022
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210863 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Чисельно-аналітичне розвʼязання однієї задачі моделювання дробово-диференціальної динаміки компʼютерних вірусів / В.О. Богаєнко, В.М. Булавацький // Проблеми керування та інформатики. — 2022. — № 1. — С. 56-65. — Бібліогр.: 24 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860115074623995904 |
|---|---|
| author | Богаєнко, В.О. Булавацький, В.М. |
| author_facet | Богаєнко, В.О. Булавацький, В.М. |
| citation_txt | Чисельно-аналітичне розвʼязання однієї задачі моделювання дробово-диференціальної динаміки компʼютерних вірусів / В.О. Богаєнко, В.М. Булавацький // Проблеми керування та інформатики. — 2022. — № 1. — С. 56-65. — Бібліогр.: 24 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Розглядається задача моделювання динаміки поширення комп’ютерних вірусів на основі моделі, що базується на математичній теорії біологічних епідемій. Актуальність даної задачі обумовлена необхідністю побудови ефективних систем антивірусного захисту комп’ютерних мереж, що базуються на результатах математичного моделювання поширення шкідливого програмного коду. Розглядається SIES-модель (Gan C., Yang X., Zhu Q.), що вивчає динаміку поширення комп’ютерних вірусів, розділяючи ефекти дії комп’ютерів доступних і недоступних в мережі Інтернет. З метою врахування у даній моделі нелокальних ефектів, зокрема ефектів пам’яті, запропоновано її модифікацію, що грунтується на ідеях теорії інтегро-диференціювання дробового порядку. Викладено методику отримання чисельно-аналітичного розв’язку задачі моделювання динаміки поширення комп’ютерних вірусів на основі дробово-диференціального аналога SIES-моделі. Отримано замкнені форми розв’язків задач щодо функцій кількості вразливих і зовнішніх комп’ютерів, а також побудовано скінченно-різницеву схему дробового методу Адамса для задачі визначення кількості інфікованих комп’ютерів. Результати обчислювальних експериментів на основі розробленої методики чисельно-аналітичного розв’язання показують, що має місце субдифузійна еволюція системи до усталеного стану. При цьому для функції кількості зовнішніх комп’ютерів спостерігається швидке нетривале зростання на початкових стадіях розвитку процесу, а потім — плавне і повільне зменшення до сталого стану. Для середніх і великих значень часової змінної еволюція числа інфікованих комп’ютерів до усталеного стану відбувається в надповільному режимі. Таким чином, запропонована методика дає можливість вивчення сімейств динамічних реакцій у процесі поширення комп’ютерних вірусів, що включають швидкі перехідні процеси і надповільну еволюцію системи з пам’яттю.
The problem of modeling the dynamics of computer virus spread is considered, based on a model rooted in the mathematical theory of biological epidemics. The relevance of this problem is determined by the need to build effective antivirus protection systems for computer networks, which are based on the results of mathematical modeling of the spread of malicious software code.
|
| first_indexed | 2026-03-19T18:12:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.О. БОГАЄНКО, В.М. БУЛАВАЦЬКИЙ, 2022
56 ISSN 1028-0979
УДК 517.9: 519.6
В.О. Богаєнко, В.М. Булавацький
ЧИСЕЛЬНО-АНАЛІТИЧНЕ РОЗВ’ЯЗАННЯ
ОДНІЄЇ ЗАДАЧІ МОДЕЛЮВАННЯ
ДРОБОВО-ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЇ ДИНАМІКИ
КОМП’ЮТЕРНИХ ВІРУСІВ
Ключові слова: динаміка поширення комп’ютерних вірусів, SIES-модель, ма-
тематичне і комп’ютерне моделювання, дробово-диференціальні математичні
моделі, метод Адамса.
Keywords: dynamics of computer viruses spreading, SIES-model, mathematical and
computer modeling, fractional-differential mathematical models, Adams method.
Вступ
Через велику пропускну спроможність систем зв’язку та Інтернету поширення
мережевих епідемій набуває все загрозливіших масштабів, призводячи, зокрема,
і до суттєвого зростання матеріальних втрат. У зв’язку з цим важливою задачею
є побудова ефективних систем антивірусного захисту комп’ютерних мереж, що
базуються на результатах математичного моделювання поширення шкідливого
програмного коду. При цьому за допомогою розроблених математичних моделей
поширення комп’ютерних вірусів та дослідження на цій основі еволюції системи
вивчається динаміка чисельності заражених вузлів та відповідні умови поширення
шкідливого коду [1–4]. Численні дослідження показують, що часто поширення
комп’ютерних вірусів адекватно описують моделі, в основі яких знаходяться ма-
тематичні теорії біологічних епідемій (математична епідеміологія) [2, 4, 5]. Слід
зазначити, що наразі з метою моделювання динаміки комп’ютерних вірусів вико-
ристовуються математичні моделі типу SIR, SEIR, SIES та ін. [5–10]. Так, у SIR-
моделі [5] розглядають три стани: S — susceptible (схильний до інфікування), I —
infected (інфікований), R — recovered (той, що одужав). Таким чином, модель пе-
редбачає розгляд груп об’єктів, що знаходяться в одному із трьох станів, які опи-
суються співвідношеннями [1, 3, 5, 8]
,
,
,
S IS
I IS I
R I
= −
= −
=
де параметри і характеризують швидкість передачі вірусу та швидкість оду-
жання відповідно. Susceptible-Exposed-Infected-Removed (SEIR)-модель є модифі-
кацією SIR-моделі. У ній враховується можливість наявності деякого «інкубацій-
ного періоду», під час якого вірус не завдає шкоди інфікованому вузлу. Протягом
латентного періоду (E) вузол є зараженим, але не поширює вірус. Через деякий
час він стає здатним до зараження інших (I) і далі стає «таким, що одужав» (R) [3].
У SIES-моделі [11] вивчається динаміка поширення комп’ютерних вірусів за
наявності ефекту дії зовнішніх комп’ютерів. Передбачається, що в будь-який
момент часу комп’ютер є внутрішнім або зовнішнім залежно від того, чи доступ-
ний він у Інтернет. При побудові математичної моделі процесу використані такі
змінні величини [11]:
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 1 57
( )S t — кількість вразливих комп’ютерів на момент часу ;t
( )I t — кількість інфікованих комп’ютерів у момент ;t
( )E t — кількість зовнішніх комп’ютерів у момент .t
Загальна кількість комп’ютерів у мережі на момент часу t визначається спів-
відношенням ( ) ( ) ( ) ( ).N t S t I t E t= + +
Процес деструктивних впливів вірусу на мережу описується модельною сис-
темою диференціальних рівнянь [11]:
2 2 1
1 2 1
1 1 1 2
,
,
S I E S SI S
I SI I I I E
E S I E E E
= + − − −
= − − − +
= + + − − −
(1)
з початковими умовами (0) 0, (0) 0, (0) 0.S I E
Функції ( ), ( ), ( )S t I t E t вважатимемо неперервними, а коефіцієнти , , ,
1 2 1 2, , , — постійними та відомими параметрами моделі, характеристики
яких наводяться у [11].
Як відомо, з метою врахування нелокальних ефектів, зокрема ефектів пам’яті,
у процесі моделювання динаміки різних еволюційних процесів широкого поши-
рення набув підхід, заснований на ідеях теорії інтегро-диференціювання дробово-
го порядку [12–18]. У рамках даного підходу, дробово-диференціальний аналог
системи (1) набуває вигляду
( )
2 2 1
( )
1 2 1
( )
1 1 1 2
,
,
,
t
t
t
D S I E S SI S
D I SI I I I E
D E S I E E E
= + − − −
= − − − +
= + + − − −
(2)
де
( )
tD
— оператор дробового диференціювання Капуто порядку (0 1) за
змінною t [13–17]. Параметри 1 2 1 2, , , , , , вводяться у модельну систе-
му (2) задля забезпечення коректності розмірностей величин (надалі знак «штрих»
над зазначеними параметрами опускається).
Необхідно відзначити, що вивчена в [11] SIES-модель є окремим випадком
свого дробово-диференціального аналога, оскільки з (2) при 1→ отримуємо
систему рівнянь (1).
Таким чином, у розглядуваному випадку задача моделювання дробово-
диференціальної динаміки комп’ютерних вірусів для дробового аналога SIES-мо-
делі з урахуванням дії ефекту зовнішніх комп’ютерів, а також нелокальних ефек-
тів зводиться до розв’язання задачі Коші для нелінійної модельної дробово-дифе-
ренціальної системи (2) при таких початкових умовах:
(0) (0) (0) (0) (0) (0)(0) , (0) , (0) ( , , 0).S S I I E E S I E= = = (3)
Нижче викладається методика отримання чисельно-аналітичного розв’язку
зазначеної задачі та наводяться деякі результати комп’ютерного моделювання
дробової динаміки розповсюдження комп’ютерних вірусів на основі дробово-
диференціального аналога SIES-моделі.
Попередні відомості
Нижче наведено деякі основні визначення теорії дробового числення [13–17].
Визначення 1 [14–16]. Дробовий інтеграл Рімана–Ліувілля порядку 0 від
функції ( 1)f C − визначається наступним чином:
58 ISSN 1028-0979
1
0
0
1
( ) ( ) ( ) ( 0),
( )
( ) ( ),
t
J f t t f d
J f t f t
−= −
=
(4)
де ( ) — гамма-функція Ейлера [14, 15], C
— функціональний простір такий,
що 1( ) ( )pf t t h t= , де 1( ) [0, ),h t C p [19].
Для ( 1),f C − , 0, 1 − мають місце такі властивості оператора :J
( ) ( )J J f t J f t += ;
( ) ( )J J f t J J f t = ;
( 1)
( 1)
J t t + +
=
+ +
.
Визначення 2 [14–16]. Дробова похідна від функції ( )f t у сенсі Капуто ви-
значається співвідношенням
( ) 1 ( )
0
1
( ) ( ) ( )
( )
t
n n
tD f t t f d
n
−−= −
−
(5)
для 11 ( ), 0, nn N n N t f C−− .
При цьому для 1 ( )n n n N− та ( 1)f C − має місце співвід-
ношення
1
( ) ( )
0
( ) ( ) ( ) (0 )
!
kn
k
t
k
t
J D f t f t f
k
−
=
= − + .
Зокрема, при 0 1 маємо
( )
( ) ( ) ( ) (0)tJ D f t f t f
= − . (6)
Визначення 3 [14, 15, 20]. Двопараметрична функція Міттаг–Лефлера визна-
чається співвідношенням
,
0
( ) ( 0,
( )
k
k
z
E z
k
=
=
+
, z) (7)
та є узагальненням класичної однопараметричної функції Міттаг–Лефлера
,1
0
( ) ( ) ( 0)
( 1)
k
k
z
E z E z
k
=
= =
+
. (8)
Необхідно відзначити також наступне інтегральне співвідношення, наведене,
наприклад, у [20]. Якщо 1 2, , та 1 2Re 0, Re 0, Re 0, то має місце
формула
1 2
1 2
1 1
, ,
0
( )( ) ( ( ) )
x
E x E x d
− −
− − =
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 1 59
1 2
1 2 1 2
1
, ,( ) ( ) ,
x
E x E x
+ −
+ += −
−
(9)
де и ( ) — деякі комплексні параметри.
Методика отримання чисельно-аналітичного розв’язку задачі
У результаті елементарних перетворень (підсумовування всіх рівнянь систе-
ми (2) та подальшого виключення з отриманої системи функції ( ))S t розглядува-
ну задачу запишемо у вигляді
( ) (0)( ) ( ) , (0)tD N t N t N N
+ = = , (10)
( ) (0)
1( ) ( ) ( ), (0)tD E t E t N t E E
+ = + = , (11)
( ) 2 (0)( ) ( ) ( , ) ( ) ( ), (0)tD I t A E B N E I t I t I I
= + − = , (12)
де введено позначення 1( )A E E= , 1 2( , ) ( )B N E N E= − −− − , 1= ++
1 2+ + , N S E I= + + , (0) 0N , (0) 0E , (0) 0I ,
( )
( )tD f t
— оператор дро-
бової похідної Капуто [14–16] порядку (0 1), який визначається співвід-
ношенням (5). Задача Коші (10) має точний розв’язок, який на підставі результатів
робіт [14–16] можна записати у вигляді
(0)
, 1( ) ( ) ( )N t N E t t E t
+= − + − , (13)
де ( )E , , ( )E — відповідно одно- та двопараметрична функції Міттаг–Леф-
лера [20], що визначаються співвідношеннями (7), (8).
Аналогічно для задачі (11), на підставі [14–16] отримуємо
(0) 1
, 1 1 ,
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
t
E t E E t t E t t E t N d −
+
= − + − + − − −
(14)
Враховуючи співвідношення (13) для ( ),N t з (14) знаходимо
(0)
, 1
1 (0)
1 , , 1
0
(0) (0)
, 1 1
1
,
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) {
( ) ( ) ( )
t
t
E t E E t t E t
t E t N E E d
E E t t E t N
t E t E d
+
−
+
+
−
= − + − +
+ − − − − + − =
= − + − +
− − − − +
1
, , 1
0
( ) ( ) ( ) }.
t
t E t E d−
+
+ − − − −
(15)
Обчислюючи інтеграли у фігурних дужках співвідношення (15) та врахо-
вуючи (9), отримуємо
(0) (0)1
, 1( ) ( ) ( )E t E E t t N E t
+
= − + + − −
−
(0)1 1
, 1 ,1 2 ,1 2( ) ( ) ( ) .N E t E t E t
+ + +
− − + − − − − −
(16)
60 ISSN 1028-0979
Таким чином, співвідношення (16) — це замкнена форма розв’язку задачі (11).
Отже, після визначення функції ( )N t згідно з (13), а потім — функції ( )E t згідно
з (16), розглядувана задача зводиться до розв’язання наступної задачі Коші для рів-
няння дробового порядку типу Ріккаті щодо невідомої функції ( )I t :
( ) (0)( ) ( ( )), (0)tD I t f I t I I
= = , (17)
де
2
2
1 1 2
( ( )) ( ) ( , ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ),
f I t A E B N E I t I t
E N E I t I t
= + − =
= + − − − − −
(18)
та ( )N N t= , ( )E E t= — відомі функції, що визначаються співвідношеннями
(13), (16) відповідно.
Розв’язок задачі (17), (18), зважаючи на її нелінійність, знаходиться чисельно.
При цьому ефективно розв’язати цю задачу можна за допомогою дробового мето-
ду Адамса, запропонованого в роботі [21] (подальше вивчення та розвиток дробо-
вого методу Адамса проведено, зокрема, у [22]). Відповідний цьому методу алго-
ритм розрахунку на сітці jt j= ( 0, 1, 2, ...j = , 0 — крок сітки) згідно
з [21, 22] запишемо як
(0)
, 11
0
(0)
1 , 1 1, 1 1
0
( ) ( 0, 1, 2, ...),
( 1)
( ) ( ) ( 0, 1, 2, ...),
( 2)
j
p
k j kj
k
j
p
j k j k j j j
k
I I b f I j
I I a f I a f I j
++
=
+ + + + +
=
= + =
+
= + + = +
(19)
де введено такі позначення:
1
1 1 1
, 1
( )( 1) ( 0),
( 2) 2( 1) ( ) (1 ),
1 ( 1),
k j
j j j k
a j k j k j k k j
k j
+
+ + +
+
− − + =
= − + − − + + −
= +
, 1 ( 1) ( )k jb j k j k
+ = − + − −
,
2
1 1 2( ) ( )k k k k k kf I E N E I I= + − −− − − ,
2
1 1 1 1 1 21 1 1( ) ( ) ( )
p p p
j j jj j jf I E N E I I+ + ++ + +
= + − − − − − ,
(0)
0( ) , ( 0,1, 2, ...).j jI t I I I j = =
Ефективність даної обчислювальної схеми неодноразово підтверджена, зок-
рема, щодо динаміки хаотичних атракторів у дробово-диференціальних систе-
мах [22, 23]. Стосовно оцінки похибки схеми дробового методу Адамса необхідно
зазначити, що, як показано в роботі [21], для 2( ) [0, ]I t C T та 0 1 має місце
співвідношення
2
0
1
( ) (0 ),
2
max ( )
1
( ) ( 1).
2
j j
j N
O
I t I
O
− =
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 1 61
У ряді випадків (зокрема, при малих значеннях часової змінної t ) може бути
корисною методика відшукання наближено-аналітичного розв’язку задачі (17), (18).
Для цього можна скористатися, наприклад, декомпозиційним алгоритмом роз-
в’язання дробового рівняння Ріккаті, описаним у [24]. Відповідно до зазначе-
ного алгоритму, застосовуючи до обох частин (17) дробовий інтеграл Рімана–Ліу-
вілля (0 1),J який визначається співвідношенням (4), з урахуванням спів-
відношення (6) отримуємо ( ) ( ) ( )I t t I= + , де
(0)
1( )t I J E = + , 2( ) ( , ) ( ) ( )I J B N E I t I t = −
. (20)
Представляючи ( )I t та ( )I у вигляді [24]
0 0 1 0 0 1 2 0 1
0
( ) ( ), ( ) ( ) { ( ) ( )} { ( ) ( )}... ,n
n
I t I t I I I I I I I I I I
=
= = + + − + + + − +
отримуємо
0 1 0 2 0 1 0( ), ( ), ( ) ( ), ....I t I I I I I I= = = + −
Виконання наступних викладок щодо отримання аналітичних співвідношень
для членів ряду 1 2, , ...I I є ефективним із залученням пакетів програм символьних
перетворень.
Результати комп’ютерної реалізації розв’язку
Комп’ютерна реалізація викладеної вище методики чисельно-аналітичного
розв’язання задачі моделювання дробової динаміки комп’ютерних вірусів у рам-
ках дробово-диференціального аналога розглядуваної SIES-моделі виконана для
вихідних даних, наведених у [11].
Деякі з отриманих результатів графічно зображені на рис. 1–5. Так, на рис. 1
представлена загальна картина еволюції всіх шуканих функцій задачі ( )N t , ( )E t
та ( )I t при фіксованому значенні показника порядку похідних 0,8 = та почат-
кових умовах (0) 800,N = (0) 200,E = (0) 500.I =
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1 — N
2 — E
3 — I
t
N,E,I
1
2
3
Рис. 1
На рис. 2 представлені графіки ( )N t (загальної кількості комп’ютерів) як
функції часової змінної t для різних значень показника дробової похідної
(1 1,0; 2 0,9; 3 0,8; 4 0,7; 5 0,6; 6 0,5; 7 0,4;− = − = − = − = − = − = − =
(0) 800),N = а на рис. 3 — графіки ( )E t (множини зовнішніх комп’ютерів
у момент t ) для тих же значень показника : (1 1,0; 2 0,9;− = − =
3 0,8; 4 0,7; 5 0,6; 6 0,5;− = − = − = − = 7 0,4; (0) 200).Е− = =
62 ISSN 1028-0979
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
t
N
1
2
3
4
5
6 7
Рис. 2
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
t
E
1
2
3
4
5
6 7
Рис. 3
Графіки еволюції кількості інфікованих комп’ютерів ( )I t до усталеного
стану для різних значень показника порядку дробової похідної (1 1,0;− =
2 0,8; 3 0,6; 4 0,5; 5 0,4; (0) 600)I− = − = − = − = = представлені на рис. 4.
На рис. 5 наведені графіки функції ( )I t для малих значень часової змінної t
та різних значень показника порядку дробової похідної (1 1,0; 2− = − =
0,8; 3 0,6; 4 0,5; 5 0,4)= − = − = − = за умов впливу перехідних процесів.
Наведений графічний матеріал дозволяє зробити такі висновки.
1. Спостерігається зменшення величини ( )N t з часом від початкового стану і
субдифузійна еволюція до усталеного стану. При значенні 0, 4 = маємо найпо-
вільнішу еволюцію, а при 1 = (випадок математичної моделі у класичній поста-
новці [11]) — найшвидшу (див. рис. 2).
2. Динаміка зміни функції ( )E t може мати складніший характер: від по-
чаткового стану спостерігається швидке нетривале зростання даної функції, а
потім — плавне і повільне її спадання до усталеного стану. Швидкість такого
спадання ( )E t зменшується зі зменшенням показника порядку дробової похі-
дної (див. рис. 3).
3. Для середніх та великих значень часової змінної t еволюція числа ( )I t
інфікованих комп’ютерів до усталеного стану відбувається у надповільному ре-
жимі (рис. 4). Величина ( )I t при фіксованому t приймає тим більше значення,
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 1 63
чим менший показник порядку дробової похідної . Найменше значення ( )I t , що
спостерігається при 1, = відповідає випадку класичної математичної моделі [11]
динамічної системи (крива 1, та 2–5 на рис. 4).
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
100
200
300
400
500
600
700
t
I
1 2 3 4 5
Рис. 4
4. Для малих значень часової змінної t має місце складніша картина еволюції
( )I t . Зокрема, у цьому випадку спостерігаються різні динамічні реакції, включа-
ючи швидкий початковий перехідний процес та надповільну збіжність до фіналь-
ної еволюції (див. рис. 5, криві 1 та 2–5). Слід зазначити, що така властивість має
місце і для деяких інших дробово-диференціальних моделей динаміки
комп’ютерних вірусів, наприклад для дробового аналога SIR-моделі [12].
0 0,5 1 1,5 2 2,5
300
350
400
450
500
550
600
I
t
1 2
3 4 5
Рис. 5
Таким чином, моделюючи динаміку процесу поширення комп’ютерних вірусів у
рамках аналізованого дробово-диференціального аналога відомої [11] SIES-моделі,
отримано можливість вивчення сімейств різноманітних динамічних реакцій, що
включають швидкі перехідні процеси та надповільну еволюцію систем з пам’яттю.
Висновок
Для дробово-диференціального аналога SIES-моделі [11] комп’ютерної вірусоло-
гії розроблена методика отримання чисельно-аналітичного розв’язку відповідної за-
дачі Коші для нелінійної системи рівнянь дробового порядку, заснована на наступно-
му комбінованому підході: одна частина шуканих функціональних залежностей ви-
значається аналітично, тоді як інша — на основі використання чисельних методів
(зокрема, дробового методу Адамса [21]). Наведено результати комп’ютерної реаліза-
ції викладеного підходу та відповідні висновки якісного характеру щодо особливос-
тей динамічних реакцій у процесі поширення комп’ютерних вірусів.
64 ISSN 1028-0979
В.О. Богаєнко, В.М. Булавацький
ЧИСЕЛЬНО-АНАЛІТИЧНЕ РОЗВ’ЯЗАННЯ
ОДНІЄЇ ЗАДАЧІ МОДЕЛЮВАННЯ
ДРОБОВО-ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЇ
ДИНАМІКИ КОМП’ЮТЕРНИХ ВІРУСІВ
Розглядається задача моделювання динаміки поширення комп’ютерних вірусів
на основі моделі, що базується на математичній теорії біологічних епідемій.
Актуальність даної задачі обумовлена необхідністю побудови ефективних сис-
тем антивірусного захисту комп’ютерних мереж, що базуються на результатах
математичного моделювання поширення шкідливого програмного коду. Роз-
глядається SIES-модель (Gan C., Yang X., Zhu Q.), що вивчає динаміку поши-
рення комп’ютерних вірусів, розділяючи ефекти дії комп’ютерів доступних і
недоступних в мережі Інтернет. З метою врахування у даній моделі нелокаль-
них ефектів, зокрема ефектів пам’яті, запропоновано її модифікацію, що грун-
тується на ідеях теорії інтегро-диференціювання дробового порядку. Викладено
методику отримання чисельно-аналітичного розв’язку задачі моделювання ди-
наміки поширення комп’ютерних вірусів на основі дробово-диференціального
аналога SIES-моделі. Отримано замкнені форми розв’язків задач щодо функцій
кількості вразливих і зовнішніх комп’ютерів, а також побудовано скінченно-
різницеву схему дробового методу Адамса для задачі визначення кількості ін-
фікованих комп’ютерів. Результати обчислювальних експериментів на основі
розробленої методики чисельно-аналітичного розв’язання показують, що має
місце субдифузійна еволюція системи до усталеного стану. При цьому для функ-
ції кількості зовнішніх комп’ютерів спостерігається швидке нетривале зростан-
ня на початкових стадіях розвитку процесу, а потім — плавне і повільне змен-
шення до сталого стану. Для середніх і великих значень часової змінної еволю-
ція числа інфікованих комп’ютерів до усталеного стану відбувається в
надповільному режимі. Таким чином, запропонована методика дає можливість
вивчення сімейств динамічних реакцій у процесі поширення комп’ютерних ві-
русів, що включають швидкі перехідні процеси і надповільну еволюцію систе-
ми з пам’яттю.
V.O. Bohaienko, V.M. Bulavatsky
NUMERICAL-ANALYTIC SOLUTION
OF ONE MODELING PROBLEM
OF FRACTIONAL-DIFFERENTIAL
DYNAMICS OF COMPUTER VIRUSES
The paper considers the problem of modeling the dynamics of computer viruses
spreading using a model based on the mathematical theory of biological epidemics.
The urgency of the considered problem arises from the need to build effective anti-
virus protection systems for computer networks based on the results of mathematical
modeling of the spread of malicious software. We consider the SIES-model (Gan C.,
Yang X., Zhu Q.), that studies spread dynamics of computer viruses separating the
influence of the action of computers accessible and unavailable on the Internet. In or-
der to take into account non-local effects in this model, in particular memory effects,
its modification on the ideas of the theory of fractional-order integro-differentiation
is proposed. The technique of obtaining a numerical-analytical solution of the prob-
lem of modeling of computer viruses spread dynamics on the base
of the fractional-differential counterpart of the SIES-model is presented. Closed
forms solutions of the problems for the number of vulnerable and external computers
are obtained, and a finite-difference scheme of the fractional Adams method for the
problem of determining the number of infected computers is constructed. The results
of computational experiments based on the developed technique of numerical-
analytical solution show that there is a subdiffusion evolution of the system to the
steady state. At the same time, for the number of external computers, a fast short-
term growth is observed at the initial stages of process development with subsequent
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 1 65
smooth and slow decrease towards the steady state. For medium and large values of
the time variable, the evolution of the number of infected computers to the steady
state occurs in an ultra-slow mode. Thus, the proposed technique makes it possible to
study the families of dynamic reactions in the process of computer viruses spreading,
including fast transient processes and ultra-slow evolution of systems with memory.
REFERENCES
1. Семыкина Н.А. Исследование устойчивости системы, моделирующей распространение
вредоносного кода. Вестник Кемеровского гос. университета. 2014. 1, № 3(59). С. 41–46.
2. Семыкина Н.А., Шавыкина Н.В. Математическая модель защиты компьютерной сети от
вирусов. Программные продукты и системы. 2016. 29, № 4. С. 125–128.
3. Котенко И.В., Воронцов В.В. Аналитические модели распространения сетевых червей.
Труды СПИИРАН. 2007. Вып. 4. С. 208–224.
4. Семенов С.Г., Давыдов В.В. Математическая модель распространения компьютерных ви-
русов в гетерогенных компьютерных сетях автоматизированных систем управления техно-
логическим процессом. Вестник НТУ «ХПИ». 2012. № 38. С. 163–171.
5. Бейли Н. Математика в биологии и медицине. М.: Мир, 1970. 327с.
6. Gan C., Yang X., Zhu Q. Propagation of computer virus under the influences of infected external
computers and removable storage media. Modeling and analysis. Nonlinear Dynamics. 2014. 78.
P. 1349–1356.
7. Gan C., Yang X., Liu W., Zhu Q. A propagation model of computer virus with nonlinear vaccina-
tion probability. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 2014. 19. P. 92–100.
8. Yang L., Yang X., Liu J., Zhu Q., Gan C. Epidemics of computer viruses: A complex–network
approach. Applied Mathem. And Comput. 2013. 219. P. 8705–8717.
9. Zhu Q., Yang X., Yang L., Zhang X. A mixing propagation model of computer viruses and coun-
termeasures. Nonlinear Dynamics. 2013. 73. P. 1433–1441.
10. Ren J., Yang X., Zhu Q., Yang L., Zhang C. A novel computer virus model and its dynamics.
Nonlin. Analysis: Real World Appl. 2012. 13. P. 376–384
11. Gan C., Yang X., Zhu Q. The spread of computer virus under the effect of external computers.
Nonlinear Dynamics. 2013. 73. P. 1615–1620.
12. Pinto C.M.A., Machado J.A. Fractional dynamics of computer virus propagation. Mathematical
problems in engineering. 2014. 2014, Article ID 476502.
13. Mainardi F. Fractional calculus and waves in linear viscoelasticity. London: Imperial College
Press. 2010. 350 p.
14. Podlubny I. Fractional differential equations. New York : Academic Press, 1999. 341 p.
15. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equa-
tions. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 p.
16. Sandev T., Tomovsky Z. Fractional equations and models. Theory and applications. Cham, Swit-
zerland: Springer Nature Switzerland AG, 2019. 344 p.
17. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.
18. Bulavatsky V.M. Some modeling problems of fractional-differential geofiltrational dynamics
within the framework of generalized mathematical models. Journal of Automation and Infor-
mation Science. 2016. 48, N 5. P. 27–41.
19. Hilfer R., Luchko Y., Tomovski Z. Operational method for the solution of fractional differential
equations with generalized Riemann–Liouville fractional derivatives. Fract. Calc. Appl. Anal.
2009. 12. N 3. P. 299–318.
20. Gorenflo R., Kilbas A.A., Mainardi F., Rogosin S.V. Mittag–Leffler functions, related topics and
applications. Berlin: Springer Verlag. 2014. 454 p.
21. Diethelm K., Ford N.J., Freed A.D. Detailed error analysis for a fractional Adams method.
Numer. Algorithms. 2004. 3. P. 31–52.
22. Li C., Tao C. On the fractional Adams method. Comput. and Mathemat. With Applications. 2009.
58. P. 1573–1588.
23. Li C.P., Peng G.J., Chaos in Chen’s system with a fractional order. Chaos, Solitons, Fractals.
2004. 22. P. 443–450.
24. Odetunde O.S., Taiwo O.A. A decomposition algorithm for the solution of fractional quadratic
Riccati differential equations with Caputo derivatives. American Journal of Computational and
Applied Mathematics. 2014. 4(3). P. 83–91.
Отримано 10.12.2021
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210863 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-03-19T18:12:52Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Богаєнко, В.О. Булавацький, В.М. 2025-12-19T14:42:45Z 2022 Чисельно-аналітичне розвʼязання однієї задачі моделювання дробово-диференціальної динаміки компʼютерних вірусів / В.О. Богаєнко, В.М. Булавацький // Проблеми керування та інформатики. — 2022. — № 1. — С. 56-65. — Бібліогр.: 24 назв. — укр. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210863 517.9: 519.6 10.34229/1028-0979-2022-1-5 Розглядається задача моделювання динаміки поширення комп’ютерних вірусів на основі моделі, що базується на математичній теорії біологічних епідемій. Актуальність даної задачі обумовлена необхідністю побудови ефективних систем антивірусного захисту комп’ютерних мереж, що базуються на результатах математичного моделювання поширення шкідливого програмного коду. Розглядається SIES-модель (Gan C., Yang X., Zhu Q.), що вивчає динаміку поширення комп’ютерних вірусів, розділяючи ефекти дії комп’ютерів доступних і недоступних в мережі Інтернет. З метою врахування у даній моделі нелокальних ефектів, зокрема ефектів пам’яті, запропоновано її модифікацію, що грунтується на ідеях теорії інтегро-диференціювання дробового порядку. Викладено методику отримання чисельно-аналітичного розв’язку задачі моделювання динаміки поширення комп’ютерних вірусів на основі дробово-диференціального аналога SIES-моделі. Отримано замкнені форми розв’язків задач щодо функцій кількості вразливих і зовнішніх комп’ютерів, а також побудовано скінченно-різницеву схему дробового методу Адамса для задачі визначення кількості інфікованих комп’ютерів. Результати обчислювальних експериментів на основі розробленої методики чисельно-аналітичного розв’язання показують, що має місце субдифузійна еволюція системи до усталеного стану. При цьому для функції кількості зовнішніх комп’ютерів спостерігається швидке нетривале зростання на початкових стадіях розвитку процесу, а потім — плавне і повільне зменшення до сталого стану. Для середніх і великих значень часової змінної еволюція числа інфікованих комп’ютерів до усталеного стану відбувається в надповільному режимі. Таким чином, запропонована методика дає можливість вивчення сімейств динамічних реакцій у процесі поширення комп’ютерних вірусів, що включають швидкі перехідні процеси і надповільну еволюцію системи з пам’яттю. The problem of modeling the dynamics of computer virus spread is considered, based on a model rooted in the mathematical theory of biological epidemics. The relevance of this problem is determined by the need to build effective antivirus protection systems for computer networks, which are based on the results of mathematical modeling of the spread of malicious software code. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Керовані процеси з дробовою динамікою Чисельно-аналітичне розвʼязання однієї задачі моделювання дробово-диференціальної динаміки компʼютерних вірусів Numerical-analytical solution to a modeling problem of fractional-differential dynamics of computer viruses Article published earlier |
| spellingShingle | Чисельно-аналітичне розвʼязання однієї задачі моделювання дробово-диференціальної динаміки компʼютерних вірусів Богаєнко, В.О. Булавацький, В.М. Керовані процеси з дробовою динамікою |
| title | Чисельно-аналітичне розвʼязання однієї задачі моделювання дробово-диференціальної динаміки компʼютерних вірусів |
| title_alt | Numerical-analytical solution to a modeling problem of fractional-differential dynamics of computer viruses |
| title_full | Чисельно-аналітичне розвʼязання однієї задачі моделювання дробово-диференціальної динаміки компʼютерних вірусів |
| title_fullStr | Чисельно-аналітичне розвʼязання однієї задачі моделювання дробово-диференціальної динаміки компʼютерних вірусів |
| title_full_unstemmed | Чисельно-аналітичне розвʼязання однієї задачі моделювання дробово-диференціальної динаміки компʼютерних вірусів |
| title_short | Чисельно-аналітичне розвʼязання однієї задачі моделювання дробово-диференціальної динаміки компʼютерних вірусів |
| title_sort | чисельно-аналітичне розвʼязання однієї задачі моделювання дробово-диференціальної динаміки компʼютерних вірусів |
| topic | Керовані процеси з дробовою динамікою |
| topic_facet | Керовані процеси з дробовою динамікою |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210863 |
| work_keys_str_mv | AT bogaênkovo čiselʹnoanalítičnerozvʼâzannâodníêízadačímodelûvannâdrobovodiferencíalʹnoídinamíkikompʼûternihvírusív AT bulavacʹkiivm čiselʹnoanalítičnerozvʼâzannâodníêízadačímodelûvannâdrobovodiferencíalʹnoídinamíkikompʼûternihvírusív AT bogaênkovo numericalanalyticalsolutiontoamodelingproblemoffractionaldifferentialdynamicsofcomputerviruses AT bulavacʹkiivm numericalanalyticalsolutiontoamodelingproblemoffractionaldifferentialdynamicsofcomputerviruses |