The nonlocal problem for fractal diffusion equation
Over the past few decades, the theory of pseudodifferential operators (PDO) and equations with such operators (PDE) has been intensively developed. The authors of the new direction of the theory of PDE, called parabolic PDE with nonsmooth homogeneous symbols (PPDE), are Yaroslav Drin and Samuel Eide...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2022 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2022
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210864 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | The nonlocal problem for fractal diffusion equation / Ya.M.Drin, I.I.Drin, S.S.Drin // Проблеми керування та інформатики. — 2022. — № 1. — С. 47-55. — Бібліогр.: 43 назв. — англ. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859850065899683840 |
|---|---|
| author | Drin, Ya.M. Drin, I.I. Drin, S.S. |
| author_facet | Drin, Ya.M. Drin, I.I. Drin, S.S. |
| citation_txt | The nonlocal problem for fractal diffusion equation / Ya.M.Drin, I.I.Drin, S.S.Drin // Проблеми керування та інформатики. — 2022. — № 1. — С. 47-55. — Бібліогр.: 43 назв. — англ. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Over the past few decades, the theory of pseudodifferential operators (PDO) and equations with such operators (PDE) has been intensively developed. The authors of the new direction of the theory of PDE, called parabolic PDE with nonsmooth homogeneous symbols (PPDE), are Yaroslav Drin and Samuel Eidelman.
Протягом останніх кількох десятиліть інтенсивно розвивається теорія псевдодиференціальних операторів (ПДО) та рівнянь із такими операторами (ПДР). Авторами нового напрямку теорії ПДР, названого параболічні ПДР з негладкими однорідними символами (ППДР), є Ярослав Дрінь і Самуїл Ейдельман. На початку 70-х років минулого століття вони побудували приклад задачі Коші для модифікованого рівняння теплопровідності, що містить замість оператора Лапласа ПДО, що є його квадратним коренем. Такий ПДО має однорідний символ |σ|, негладкий у початку координат. Фундаментальний розв’язок задачі Коші (ФРЗК) для такого рівняння є точною степеневою функцією. Для рівняння теплопровідності ФРЗК є точною експонентною функцією. Оператор Лапласа можна тлумачити як ПДО з однорідним гладким символом |σ|^2, σ ∈ Rn. Узагальненням рівняння теплопровідності є ППДР, що містять ПДО з однорідними негладкими символами. Вони мають важливе застосування в теорії випадкових процесів, зокрема, при побудові розривних марківських процесів з твірними інтегро-диференціальними операторами, які відносяться до ПДО, у сучасній теорії фракталів, яка останнім часом бурхливо розвивається. Якщо символ ПДО не залежить від просторових координат, то задача Коші для ППДР коректно розв’язна у просторі узагальнених функцій типу розподілів. Розв’язок при цьому записується як згортка ФРЗК із початковою узагальненою функцією. Ці результати належать низці вітчизняних та зарубіжних математиків, зокрема С. Ейдельману та Я. Дріню (які першими визначили ППДО з негладкими символами та розпочали дослідження задачі Коші для відповідних ППДР), М. Федорюку, О. Кочубею, В. Городецькому, Літовченку та ін. Для певних нових класів ППДР доведено коректну розвʼязність задачі Коші у просторі гельдерових функцій, побудовано класичні ФРЗК, отримано точні оцінки їх похідних степеневого характеру [1–4]. Принципово важливим є запропоноване А. Кочубеєм тлумачення ПДО через гіперсингулярні інтеграли (ГСІ). При цьому за відомим символом ПДО будується символ ГСІ і навпаки [6]. Теорія ГСІ, що суттєво розширює клас ПДО, розроблена С. Самком [7]. Це поняття розповсюджено на матричні ГСІ [5]. Узагальненням задачі Коші є нелокальні багатоточкові за часовою змінною задачі та задача з відхиленням аргументу. Тут доведено розвʼязність нелокальної задачі з використанням методу кроків. Розглядаємо еволюційне нелінійне рівняння з регуляризованою фрактальною похідною дробового порядку α ∈ (0, 1] за часовою змінною та еліптичний оператор зі змінними коефіцієнтами просторової змінної. Це рівняння описує фрактальні властивості реальних даних, що виникають у таких прикладних областях, як турбулентність, гідрологія, екологія, геофізика, забруднення середовища, економіка та фінанси.
|
| first_indexed | 2026-03-16T20:00:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
© YA.M. DRIN, I.I. DRIN, S.S. DRIN, 2022
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 1 47
КЕРОВАНІ ПРОЦЕСИ З ДРОБОВОЮ ДИНАМІКОЮ
UDC 517.98
Ya.M. Drin, I.I. Drin, S.S. Drin
THE NONLOCAL PROBLEM
FOR FRACTAL DIFFUSION EQUATION
Ключові слова: рівняння фрактальної дифузії, відхилення змінної, покро-
ковий метод.
Keywords: fractal diffusion equation, deviation variable, step by step method.
Introduction
In recent decades, fractional diffusion equations are studied very intensively. The
fractional reaction-diffusion models are studied due to their usefulness and importance
in many areas of science and engineering. The first works in this direction include [1–7].
Any close-to-complete analysis of the multitude of works devoted to the diffusion-wave
equation would require a separate special study [8–12].
The result of the analytic theory of heat and mass transfer are represented in [13–15],
with a view to the development of computational techniques to determine the fluxes of
matter and heat at the interface, including the presence of chemical reactions. Last but
not least, the concepts of fractal geometry have entered recently in optics, where they
have been successfully used for classification and characterization of rough surfaces and
solving numerous related applied problems [16–31].
In [32] we present a formula for classical solutions for time- and space-fractional
kinetic equation (also known as fractional diffusion equation) and deviation time varia-
ble is given in terms of the Fox’s H-function, using the step by step method. This equa-
tion describes fractal properties of real data arising in applied fields such turbulence,
hydrology, ecology, geography, air pollution, economics and finance.
The experimental results of the study of statistical, correlations and fractal parame-
ters, which characterize the real component of the Jones-matrix image of polycrystalline
network of flat layers of the main types of human amino acids, are presented in [33].
The use of fractional calculus in mathematical modelling of nonlocal process has been
studied by A.M. Nakhushev [34, 35], V.A. Nakhusheva [36], Y.Z. Povstenko [37–39].
It has been noted [35] that the fractional differential and integral calculus in the theory
of fractal and systems with memory becomes as important as the classical analysis in
physics (mechanics) continua. Thus, fundamental research on non-local problems for
pseudo-differential equation is well-timed and relevant.
The Cauchy problem for the fractional diffusion equations is studied in [40–42].
In [40] construction Green-function of Levi-method, and in [41] by method from [43],
construction the integral equation.
In this paper we consider a new class of the fractional equation (1) with deviation
time variable always supposing that the solution satisfies the nonlocal initial condi-
tion (2) using the step by step method. Such equations describe diffusion on inhomo-
geneous fractals. A fundamental solution of the Cauchy problem is constructed and
investigated.
48 ISSN 1028-0979
1. Fractional diffusion equation
Introduce into consideration a new class of the following fractional equation with
deviation time variable
2
2
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
u t x u t x u t x
a t x b t x c t x u t x
xt x
= + + +
( , , ( , )), , .f t x u t h x t h x+ − (1)
Assume that the function u(t, x) satisfies the nonlocal initial condition
0 0( , ) | ( , ), ,t hu t x u t x x = (2)
where u = u(t, x), 0 ≤ t < T, x is the function to be found and (0,1] .
The time derivative of (0,1] order is defined as follows:
( , )
, 1,( , )
( )( , ), (0,1),t
u t x
ifu t x
t
t
D u t x if
=
=
(3)
where
1 ( , )
( )( , ) ( ) ( , ) ,
(1 ) ( )
[ ]
t
t
h
u h x
D u t x t u x d h t T
t t h
−
= − −
− −
,
is the regulised fractional derivative or fractional derivative in Caputo–Djrbashian
sense.
We prove the solvability of the Cauchy problem (1), (2) using the step by step
method. The Riemann–Liouville fractional integral of order 0 is defined for α = 0
as J 0: = I, where I denotes the identity operator, and for α > 0 as
1
0
1
( ) : ( ) ( ) ( * )( ),
( )
t
J f t t f d g f t −
= −
(4)
where
1
( )
( )
t
g t
−
=
is the Riemann–Liouville kernel and (*) denotes the convolution in time.
Definition. Let 0 1 . Suppose 0 ([0, ) )u C , ([0, ) );f C
2([0, ) )xC . Then a function 2([0, ) )xu C is a classical solution of the non-
local problem (1), (2) if:
1) the coefficients a(t, x), b(t, x), c(t, x), is bounded by number M;
2) a polynomial is ranger if its leading coefficient is a(t, x) ≥ a0 > 0,
/2| ( , ) ( , ) | (| | ( ) )a t x a x t − − + − , ( , ) (0, ) Rt x T , ( , ) (0, ) RT ;
3) 0 (0, ) Ru C h ,
( )1 ((0, ) R)xf C T
, ( )t , 1( )t satisfies the Dini condi-
tions [42, p. 11];
4) for every x R the fractional integral
1J u−
, as defined in (4), is continuously
differentiable with respect to t > 0, and
5) the function u(t, x) satisfies the pseudodifferential equation of (1) this
( , )u t x
t
(3)
for every ( , ) ( , ) Rt x h and the initial condition (2) for every ( , ) (0, ) Rt x h .
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 1 49
Let us denote by
2
2
( , ) ( , )
( , ) := ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), > , R.
u t x u t x
Au t x a t x b t x c t x u t x t h x
xx
+ +
2. Step method
By the step method we reduce the nonlocal problem for a fractional diffusion equa-
tion with deviating argument to the nonlocal problem for an equation with nondeviating
argument.
Let < 2h t h and Rx , and 0 0( , , ( , )) ( , , )f t x u t h x f t x h− . Then
0 < t h h− and 0( , ) = ( , )u t h x u t x− , Rx , and problem (1), (2) takes the form
0
( , )
( , ) ( , , ), 2
u t x
Au t x f t x h h t h
t
= +
, (5)
= 0( , ) | = ( , ), Rt hu t x u h x x , (6)
To construct a solution of problem (5), (6) we fixed a point ( , )y , < 2h h ,
y R and consider the Cauchy problem
2
02
( , ) ( , )
( , ) ( , , ), 2
u t x u t x
a y f t x h h t h
t x
= +
, (7)
0( , ) | ( , ),t hu t x u h x x= = , (8)
The Green’s function of this problem according to [40, 42] has the components
1 2
1( , ; , ) ( ( , ) )yG t x y F E a y t−
→ = − ,
1
2 1( , ; , ) ( , ; , )tG t x y t D G t x y− =
and there are estimates of their derivatives that are uniform with respect to ( , )y
1
2
1
( 1) 1
2
2
| ( , ; , ) | exp{ ( , )},
| ( , ; , ) | exp{ ( , )},
m
m
x m
m
m
x m
D G t x y c t c t x
D G t x y c t c t x
+
−
− + +−
−
−
, (9)
1 1 1 1 2 2
1
2 2
1 2 1 2
| ( , ; , ) ( , ; , ) |
(| | | | ) exp{ ( , )},
m m
x x
m
D G t x y D G t x y
c y y t c t x
+
−
−
− + − −
,
where
/2
| |
( , ) = ( )qx
t x
t
,
2
=
2
q
−
, 3m , ( )h is a function on [0, ∞) as a module of
continuity type, ie non-decreasing, non-negative, half-additive, bounded function.
The solution of the problem (5), (6) we will find as a sum
1 0( , ) ( , ; , ) ( , )u t x G t x h u h d
−
= − 2 ( , ; , ) ( , )
t
h
d G t x d
−
+ − − , (10)
when we suppose that function µ(t, x) is integrable function and its module of continuity
by x satisfies the Dini condition when t > 0. Let’s apply the operator of equation (5)
50 ISSN 1028-0979
to (10) for defining function µ(t, x) and satisfy non-homogeneous equation (5). Con-
sidering the properties of differentiation of potentials with kernel G1 and G2 we have
2
2
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )Lu t x a t x b t x c t x u t x
xt x
− − − =
1 0( , ; , ) ( , ) ( , )LG t x h u h d t x
−
= − + +
2 0( , , ; , ) ( , ) ( , , ), , R
t
h
d LG t x t d f t x h t h x
−
+ − + .
We have the integral equation of second order Volterra–Fredholm
( , ) = ( , ) ( , , , ) ( , ) , > , R,
t
h
t x F t x d K t x d t h x
−
+ (11)
for defining the function ( , )t x .
In (11) the functions F and K found via known functions G1 and G2. These func-
tions are the solutions of problem (7) and data of original problem as
0 1 0 0( , ) ( , , ) ( , ; , ) ( , ) ( , , )F t x f t x h LG t x h u h d f t x h
−
= − − = +
2
1 1
1 0 0 02
( ( , ) ( , )) ( , ) ( , ) ( , ) ,[ ] h
G G
a t x a h b t x c t x G u h d f K u
x
−
+ − + + +
2
2 2
2 22
( , ; , ) ( ( , ) ( , )) ( , ) ( , ; , ) .
G G
K t x a t x a b t x cG t x LG
xx
= − + + − − −
Let’s estimate the functions F(t, x) and K(t, ; x, ) using the estimates of (9) and
the properties of the module of continuity [43]
1 1( ) 2 ( ) , 0 .t t t− −
Thus, we have
(1 2)
( , ) /2 2
0| ( , ) | | | (| | ) | |c x t
c cF t x f c e x t t d
− +
− −
−
+ − +
2
22 2
0 /2
| |
( ) exp | |{( ) } x
x
c t t t d
t
−
− −
−
−
2
22 2
0 /2
| |
( ) exp | |{( ) } x
x
c t t t d
t
−
− −
−
−
2
0| | ( ) | |c cf C t t
− + , (12)
/2
( , )
0 /2 3/2 1
(| | ( ) )
| ( , ; , ) |
( )
c t xx t
K t x C e
t
− − −
+ + −
− + −
−
2
0| | ( ) | |c cf C t t
− + . (13)
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 1 51
Since for module of continuously ( ) =t t , (0,1) and the kernel ( , ; , )K t x
is quasi-regular, then the resolvent
1
( , ; , ) ( , ; , ) ( , ; , ) ( , ; , )
t
i
i
R t x K t x d K t x K y dy
= −
= +
defined from uniformly and absolutely convergent Neman series satisies the inequali-
ty (13) but with other constants, where
1( , ; , ) ( , ; , ), ( , ; , ) ( , , ),hK t x K t x K t h x K t x
1( , ; , ) = ( , ; , ) ( , ; , ) .
t
i iK t x d K t x K y dy
+
−
If for module of continuously ( )t the integral
0
( )
( ) =
T
t d
converges, then
Neman series is estimated by series
1 ( , , )/2 2 2
=1
| ( , ; , ) | ( ( )) (( ) )( ) .
c t xI
i
R t x C T t t e
− − − − − −
This series is converging series for ( ) <1C T , 0, [0, ]t T , T0 < T, ie locally
converges.
3. The solution of integral equation
Let’s write the integral equation (11) using a resolvent to finding of its solution
µ(t, x) and substitute it into (10). Then we found the components of Green function for
problem (5), (6)
0 0 0( , ) ( , , ) ( , , )* ( , ) ( , ; , )**( ( , , )ht x f t x h K t x u h x R t x f t x h = + + +
0 0( , , )* ( , )) ( , , ) ( , ; , )** ( , , ) ( ( , , )h hK t x u h x F t x h R t x f t x h K t x+ = + + +
0( , ; , )** ( , , )* ( , )).hR t x K t x u h x+ (14)
If we substitute (14) into (10) we obtain that the solution of the problem (5), (6) we
can write in the form
( ) ( )1 0 2 0 0 2 0* ** ** ** ** *h hu G u G f R f G K R K u= + + + + =
( ) ( )1 2 2 2 0** * * + ** **h hG G K R K G G R f + = + + (15)
and the components of Green function in the form
1 1 2( , , ) ( , ; , ) **( ),h hZ t x G t x h G K RK + + (16)
2 2( , ; , ) ( , ; , )Z t x G t x − − + 2 ( , ; , ) ( , ; , ) .
t
d G t x y y R y dy
−
− − (17)
So, we construct the classical solution of the problem (1), (2) on first step
2h t h :
1 0 2 0( , ) ( , ; ) ( , ) ( , ; , ) ( , , ) ,
t
h
u t x Z t x u h d d Z t x f h d
− −
= + (18)
where Z1 and Z2 defined via equalities (16) and (17) respectively.
52 ISSN 1028-0979
We can prove using the method of mathematical induction that formulas (15)–(18)
are correct when ( 1)nh t n h + and if we substitute nh instead of h and define Green
function component respectively. So, theorem takes place.
Theorem. The solution of the problem (1), (2) is constructed using the step by step
method and it is determined by the formula
1 0 2 0( , ) ( , , ) ( , ) ( , ; , ) ( , , )
t
nh
u t x Z t x u nh d d Z t x f nh d
− −
= + ,
( 1)nh t n h + , x R .
Conclusion
In this paper we prove the solvability of the nonlocal problem using the step by
step method for the first time. We consider a new class of the fractional equation with
deviation time variable always supposing that the solution satisfies the nonlocal initial
condition using the step by step method. These equations describe diffusion on inhomo-
geneous fractals. A fundamental solution of the Cauchy problem is constructed and in-
vestigated.
Я.М. Дрінь, І.І. Дрінь, С.С. Дрінь
НЕЛОКАЛЬНА ЗАДАЧА
ДЛЯ РІВНЯННЯ ФРАКТАЛЬНОЇ ДИФУЗІЇ
Протягом останніх кількох десятиліть інтенсивно розвивається теорія псевдо-
диференціальних операторів (ПДО) та рівнянь із такими операторами (ПДР).
Авторами нового напрямку теорії ПДР, названого параболічні ПДР з негладки-
ми однорідними символами (ППДР), є Ярослав Дрінь і Самуїл Ейдельман. На
початку 70-х років минулого століття вони побудували приклад задачі Коші
для модифікованого рівняння теплопровідності, що містить замість оператора
Лапласа ПДО, що є його квадратним коренем. Такий ПДО має однорідний сим-
вол ||, негладкий у початку координат. Фундаментальний розв’язок задачі
Коші (ФРЗК) для такого рівняння є точною степеневою функцією. Для рівнян-
ня теплопровідності ФРЗК є точною експонентною функцією. Оператор Лап-
ласа можна тлумачити як ПДО з однорідним гладким символом ||^2, Rn. Уза-
гальненням рівняння теплопровідності є ППДР, що містять ПДО з однорідними
негладкими символами. Вони мають важливе застосування в теорії випадкових
процесів, зокрема, при побудові розривних марківських процесів з твірними ін-
тегро-диференціальними операторами, які відносяться до ПДО, у сучасній тео-
рії фракталів, яка останнім часом бурхливо розвивається. Якщо символ ПДО не
залежить від просторових координат, то задача Коші для ППДР коректно
розв’язна у просторі узагальнених функцій типу розподілів. Розв’язок при
цьому записується як згортка ФРЗК із початковою узагальненою функцією.
Ці результати належать низці вітчизняних та зарубіжних математиків, зокре-
ма С. Ейдельману та Я. Дріню (які першими визначили ППДО з негладкими
символами та розпочали дослідження задачі Коші для відповідних ППДР),
М. Федорюку, О. Кочубею, В. Городецькому, Літовченку та ін. Для певних
нових класів ППДР доведено коректну розвʼязність задачі Коші у просторі
гельдерових функцій, побудовано класичні ФРЗК, отримано точні оцінки їх
похідних степеневого характеру [1–4]. Принципово важливим є запропоноване
А. Кочубеєм тлумачення ПДО через гіперсингулярні інтеграли (ГСІ). При цьо-
му за відомим символом ПДО будується символ ГСІ і навпаки [6]. Теорія ГСІ,
що суттєво розширює клас ПДО, розроблена С. Самком [7]. Це поняття розпов-
сюджено на матричні ГСІ [5]. Узагальненням задачі Коші є нелокальні багато-
точкові за часовою змінною задачі та задача з відхиленням аргументу. Тут до-
ведено розвʼязність нелокальної задачі з використанням методу кроків. Розгля-
даємо еволюційне нелінійне рівняння з регуляризованою фрактальною похідною
дробового порядку α (0, 1] за часовою змінною та еліптичний оператор зі змін-
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 1 53
ними коефіцієнтами просторової змінної. Це рівняння описує фрактальні влас-
тивості реальних даних, що виникають у таких прикладних областях, як турбу-
лентність, гідрологія, екологія, геофізика, забруднення середовища, економіка
та фінанси.
Ya.M. Drin, I.I. Drin, S.S. Drin
THE NONLOCAL PROBLEM
FOR FRACTAL DIFFUSION EQUATION
Over the past few decades, the theory of pseudodifferential operators (PDO) and
equations with such operators (PDE) has been intensively developed. The authors of
a new direction in the theory of PDE, which they called parabolic PDE with non-
smooth homogeneous symbols (PPDE), are Yaroslav Drin and Samuil Eidelman. In
the early 1970s, they constructed an example of the Cauchy problem for a modified
heat equation containing, instead of the Laplace operator, PDO, which is its square
root. Such a PDO has a homogeneous symbol ||, which is not smooth at the origin.
The fundamental solution of the Cauchy problem (FSCP) for such an equation is an
exact power function. For the heat equation, FSCP is an exact exponential function.
The Laplace operator can be interpreted as a PDO with a smooth homogeneous sym-
bol ||^2, Rn. A generalization of the heat equation is PPDE containing PDO
with homogeneous non-smooth symbols. They have an important application in the
theory of random processes, in particular, in the construction of discontinuous Mar-
kov processes with generators of integro-differential operators, which are related to
PDO; in the modern theory of fractals, which has recently been rapidly developing. If
the PDO symbol does not depend on spatial coordinates, then the Cauchy problem
for PPDE is correctly solvable in the space of distribution-type generalized functions.
In this case, the solution is written as a convolution of the FSCP with an initial ge-
neralized function. These results belong to a number of domestic and foreign mathe-
maticians, in particular S. Eidelman and Y. Drin (who were the first to define PPDO
with non-smooth symbols and began the study of the Cauchy problem for the corre-
sponding PPDE), M. Fedoruk, A. Kochubey, V. Gorodetsky, V . Litovchenko and
others. For certain new classes of PPDE, the correct solvability of the Cauchy prob-
lem in the space of Hölder functions has been proved, classical FSCP have been con-
structed, and exact estimates of their power-law derivatives have been obtained [1–4].
Of fundamental importance is the interpretation of PDO proposed by A. Kochubey in
terms of hypersingular integrals (HSI). At the same time, the HSI symbol is con-
structed from the known PDO symbol and vice versa [6]. The theory of HSI, which
significantly extend the class of PDO, was developed by S. Samko [7]. We extends
this concept to matrix HSI [5]. Generalizations of the Cauchy problem are non-local
multipoint problems with respect to the time variable and the problem with argument
deviation. Here we prove the solvability of a nonlocal problem using the method of
steps. We consider an evolutionary nonlinear equation with a regularized fractal frac-
tional derivative α (0, 1] with respect to the time variable and a general elliptic op-
erator with variable coefficients with respect to the second-order spatial variable.
Such equations describe fractal properties in real processes characterized by turbu-
lence, in hydrology, ecology, geophysics, environment pollution, economics and fi-
nance.
REFERENCES
1. Drin Ya.M. Investigation of a class of parabolic pseudo-differential operators on classes of
Hölder continuous functions. Dopovidi AN UkrSSR. Ser. A. 1974. N 1. P. 19–22 (in Ukrainian).
2. Drin Ya.M. The fundamental solution of the Cauchy problem for a class of parabolic pseudo-
differential equation. Dokl. UkrSSR. Ser. A. 1977. N 3. P. 189–203 (in Russian).
3. Drin Ya.M., Eidelman S.D. Necessary and sufficient conditions for stabilization of solutions of
the Cauchy problem for parabolic pseudo-differential equations. In Approximate methods of
mathematical analysis. 1974. 1. P. 60–69 (in Russian).
4. Drin Ya.M., Eidelman S.D. Construction and investigation of classical fundamental solution of
the Cauchy problem for uniformly parabolic pseudo-differential equations. Math. Issled. 1981.
63. P. 18–33 (in Russian).
54 ISSN 1028-0979
5. Drin Ya.M., Eidelman S.D. On the theory of systems of parabolic pseudo-differential equations.
Dokl. AN UkrSSR. Ser. A. 1989. N 4. P. 35–37 (in Russian).
6. Kochubei A.N. Parabolic pseudo-differential equations, hypersingular integrals and Markov pro-
cesses. Mat. USSR Izvestiya. 1989. 33. P. 233–259.
7. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional integral derivatives: theory and applications,
New York : Gordon and Breach Science Publishers, 1993. 973 p.
8. Wyss W. The fractional diffusion equation. J. Math. Phys. 1986. 27. P. 2782–2785. https://
doi.org/10.1063/1.527251
9. Schneider W.R., Wyss W. Fractional diffusion and wave equations. J. Math. Phys. 1989. 30.
P. 134–144. https://doi.org/10.1063/1.528578.
10. Kochubei A.N. Diffusion of fractal order. J. Diff. Eqs. 1990. 26. P. 485–492.
11. Fujita Y. Integrodifferential equation which interpolates the heat equation and the wave equation.
Part I, II. Osaka J. Math. 1990. 27. P. 309–321; 797–804.
12. Pschu A., Rekhviashvili S. Fractional diffusion-wave equation with application in electrodynam-
ics. Mathematics. 2020. 8. 2086 p. doi: 10.3390/math8112086.
13. Nigmatulin L.L. Fractional integral and its physical interpretation. Theor. and Math. Physics.
1992. 90, N 3. P. 242–251. doi: 10.1007/BF01036529.
14. Serbina L.I. Non-local mathematical models of transport in aquifer systems. Moscow : Nauka,
2007. 167 p.
15. Babenko Y. Method of fractional differentiation in applications of the theory of heat and mass
transfer. St. Petersburg : NPO «Professional». 2009. 584 p. (in Russian).
16. Angelsky O.V., Maksimyak P.P., Ryukhtin V.V., Hanson S.G. New feasibilities for charac-
terizing rough surfaces by optical-correlation techniques. Applied Optics. 2001. 40, N 31.
P. 5693–5707.
17. Angelsky O.V., Burkovets D.N., Kovalchuk A.V., Hanson S.G. Fractal description of rough sur-
faces. Applied Optics. 2002. 41, N 22. P. 4620–4629.
18. Angelsky O.V., Burkovets D.N., Maksimyak P.P., Hanson S.G. Applicability of the singular-
optics concept for diagnostics of random and fractal rough surfaces. Applied Optics. 2003. 42,
N 22. P. 4529–4540.
19. Spectral and selective laser autofluorescent microscopy of blood films. Yu. Tomka, M. Gorsky,
I. Soltys, M. Talakh, Ya. Drin, O. Yatsko, O. Dubolazov, V. Prisyaznyuk, B. Bodnar, M. Shap-
lavskiy. Proc. of SPIE. 2019. doi: 10.1117/12.2529321.
20. Muller-matrix invariants of linear and circular birefringence of polycrystalline films of biological
liquids pathologically and necrotic changed human bodies. M. Grytsyuk, Yu. Tomka, M. Gorsky,
I. Soltys, M. Talakh, Ya. Drin, O. Yatsko, P. Gurina, M. Garazdyuk, P. Litvinenko, O. Dubo-
lazov. Proc. of SPIE. 2019. doi: 10.1117/12.2529186.
21. Jones matrix mapping of polycrystalline networks of layers of main types of amino acids.
V.D. Mishalov, V.T. Bachinsky, O.Ya. Vanchuliak, A.Y. Zavolovitch, Yu.V. Sarkisova,
A.G. Ushenko, S.V. Pavlov, O.V. Dubolazov, V.A. Ushenko, A.V. Motrich, Ya.M. Drin,
A. Kociubinski, M. Kalmoldayev. Proc. of SPIE. 2019. doi: 10.1117/12.2536245.
22. Methods and means of «single-point» phasometry of microscopic images of optical-anisotropic
biological objects. N. Pavlyukovich, O.V. Pavlyukovich, O.V. Dubolazov, Yu.A. Ushenko,
Yu.Ya. Tomka, N.I. Zabolotna, I.V. Soltys, Ya.M. Drin, T.V. Knignitska, M.V. Talakh,
A.Ya. Dovgun, A. Kotyra, A. Kozbakova. Proc. of SPIE. 2019. doi: 10.1117/12.2537168.
23. Drin I.I., Drin S.S., Drin Ya.M. Representation of solution for fully nonlocal diffusion equations
with deviation time variable. Proc. of SPIE. 2018. doi: 10.1117/12.2304312.
24. Drin Ya.M., Petryshyn R.I. Nonlocal problem for autonomous quasilinear parabolic pseudodiffer-
ential equations with deviating argument. J. of Math. Sci. 2016. 217, N 4. P. 427–440. doi:
10.1007/s10958-016-2983-y.
25. Drin Ya.M., Petryshyn R.I. Cauchy problem for autonomous quasilinear parabolic pseudodiffer-
ential equations with deviating argument. J. of Math. Sci. 2014. 197, N 1. P. 29–38, doi: 10.
1007/s10958-14-1699-0.
26. Drin Ya.M. Classical solvability of direct and inverse boundary value problems for parabolic
pseudodifferential equations with variable inhomogeneous symbol. Journal of Automation and
Information Sciences. 2014. 46, N 12. P. 27–35. doi: 10.1615/ JautomatInfScien.v46.i12.40.
https://doi.org/10.1063/1.527251
https://doi.org/10.1063/1.527251
https://doi.org/10.1063/1.528578
https://ui.adsabs.harvard.edu/link_gateway/1992TMP....90..242N/doi:10.1007/BF01036529
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 1 55
27. Horodets’kyi V.V., Drin Ya.M. Multipoint (in time) problem for one class of evolutionary pseu-
dodifferential equations. Ukrainian Mathematical Journal. 2014. 66, N 5. 690 p. doi: 10.1007/
s11253-014-0965-0.
28. Gorodetsky V.V., Drin Ya.M. Time-nonlocal two-point problem and optimal control problem for
evolutionary pseudodifferential equations. Journal of Automation and Information Sciences.
2014. 46, N 4. P. 20–37. doi: 10.1615/JautomatInfScien.v46.i4.30.
29. Drin Ya.M. Nonlocal problem for one class equations of diffusion in space of generalized func-
tions. Proc. of SPIE. 2013. 12 p. doi: 10.1117/12.2052898.
30. Gorodetsky V.V., Drin Ya.M. Investigation of Cauchy and nonlocal problems of diffusion equa-
tion. Proc. of SPIE. 2013. doi: 10.1117/12.2049042.
31. Gorodetskii V.V., Drin Ya.M. Method of hybrid integral transforms for analyzing direct and
inverse problems for a class of equations with a pseudodifferential operator. Differential Equa-
tions. 2013. 49, N 4. P. 468–474. doi: 10.1134/ S0012266113040071.
32. Drin Ya.M., Ushenko V.A., Drin I.I., Drin S.S. Representation of solution for fractional kinetic
equations with deviation time variable. Fourteenth International Conference on Correlation Op-
tics. Proc. of SPIE. 2019. doi: 10.1117/12.2554987.
33. Nakhushev A.M. Equations of mathematical biology. Moscow : Higher School, 1995. 301 p.
(in Russian).
34. Nakhushev A.M. Fractional calculus and its application. Moscow : Fizmatgiz, 2003. 272 p. (in
Russian).
35. Nakhusheva V.A. Differential equations of mathematical models of non-local processes.
Moscow : Nauka, 2006. 173 p.
36. Povstenko Y.Z. Termoelasticity which uses fractional heat conduction equation. Mat. Methods
and Physics-fur. field. 2008. 51, N 2. P. 239–246.
37. Povstenko Y.Z. Theory of termoelasticity based on the space-time-fractional heat conduction
equation. Phys. Scr. 2009. 136 (014017). 6 p. doi:10.1088/0031-8949/2009/T136/014017.
38. Povstenko Y.Z. Non-axisymmetric solutions to time-fractional heat conduction equation in a half-
space in cylindrical coordinates. Math. Methods Phys.-mech. fields. 2011. 54, N 1. P. 212–219.
39. Povstenko Y.Z. Fundamental solutions to Robin boundary-value problems for the time-fractional
heat-conduction equation in a half line. Journal Mathematical Sciences. 2013. 194. P. 322–329.
40. Eidelman S.D., Ivasyshen S.D., Kochubei A.N. Analytic methods in the theory of differential and
pseudo-differential equations of parabolic type. Birkhäuser Verlag, 2004. 390 p. doi: 10.1007/
978-3-0348-7844-9.
41. Matiychuk M.I. On parabolic and elliptic boundary value problems on Dini space: monograph.
Chernivtsi, 2010. 248 p.
42. Matiychuk M.I. Parabolic singular value problems. Kyiv : Institute of Mathematics. 1999. 175 p.
43. Timan A.F. The theory of approximations of a real variable functions. Moscow : Fizmatgiz,
1960. 624 p. (in Russian).
Submited 15.01.2022
http://dx.doi.org/10.1088/0031-8949/2009/T136/014017
http://dx.doi.org/10.1007%2F978-3-0348-7844-9
http://dx.doi.org/10.1007%2F978-3-0348-7844-9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210864 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-16T20:00:40Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Drin, Ya.M. Drin, I.I. Drin, S.S. 2025-12-19T14:51:54Z 2022 The nonlocal problem for fractal diffusion equation / Ya.M.Drin, I.I.Drin, S.S.Drin // Проблеми керування та інформатики. — 2022. — № 1. — С. 47-55. — Бібліогр.: 43 назв. — англ. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210864 517.98 10.34229/1028-0979-2022-1-6 Over the past few decades, the theory of pseudodifferential operators (PDO) and equations with such operators (PDE) has been intensively developed. The authors of the new direction of the theory of PDE, called parabolic PDE with nonsmooth homogeneous symbols (PPDE), are Yaroslav Drin and Samuel Eidelman. Протягом останніх кількох десятиліть інтенсивно розвивається теорія псевдодиференціальних операторів (ПДО) та рівнянь із такими операторами (ПДР). Авторами нового напрямку теорії ПДР, названого параболічні ПДР з негладкими однорідними символами (ППДР), є Ярослав Дрінь і Самуїл Ейдельман. На початку 70-х років минулого століття вони побудували приклад задачі Коші для модифікованого рівняння теплопровідності, що містить замість оператора Лапласа ПДО, що є його квадратним коренем. Такий ПДО має однорідний символ |σ|, негладкий у початку координат. Фундаментальний розв’язок задачі Коші (ФРЗК) для такого рівняння є точною степеневою функцією. Для рівняння теплопровідності ФРЗК є точною експонентною функцією. Оператор Лапласа можна тлумачити як ПДО з однорідним гладким символом |σ|^2, σ ∈ Rn. Узагальненням рівняння теплопровідності є ППДР, що містять ПДО з однорідними негладкими символами. Вони мають важливе застосування в теорії випадкових процесів, зокрема, при побудові розривних марківських процесів з твірними інтегро-диференціальними операторами, які відносяться до ПДО, у сучасній теорії фракталів, яка останнім часом бурхливо розвивається. Якщо символ ПДО не залежить від просторових координат, то задача Коші для ППДР коректно розв’язна у просторі узагальнених функцій типу розподілів. Розв’язок при цьому записується як згортка ФРЗК із початковою узагальненою функцією. Ці результати належать низці вітчизняних та зарубіжних математиків, зокрема С. Ейдельману та Я. Дріню (які першими визначили ППДО з негладкими символами та розпочали дослідження задачі Коші для відповідних ППДР), М. Федорюку, О. Кочубею, В. Городецькому, Літовченку та ін. Для певних нових класів ППДР доведено коректну розвʼязність задачі Коші у просторі гельдерових функцій, побудовано класичні ФРЗК, отримано точні оцінки їх похідних степеневого характеру [1–4]. Принципово важливим є запропоноване А. Кочубеєм тлумачення ПДО через гіперсингулярні інтеграли (ГСІ). При цьому за відомим символом ПДО будується символ ГСІ і навпаки [6]. Теорія ГСІ, що суттєво розширює клас ПДО, розроблена С. Самком [7]. Це поняття розповсюджено на матричні ГСІ [5]. Узагальненням задачі Коші є нелокальні багатоточкові за часовою змінною задачі та задача з відхиленням аргументу. Тут доведено розвʼязність нелокальної задачі з використанням методу кроків. Розглядаємо еволюційне нелінійне рівняння з регуляризованою фрактальною похідною дробового порядку α ∈ (0, 1] за часовою змінною та еліптичний оператор зі змінними коефіцієнтами просторової змінної. Це рівняння описує фрактальні властивості реальних даних, що виникають у таких прикладних областях, як турбулентність, гідрологія, екологія, геофізика, забруднення середовища, економіка та фінанси. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Керовані процеси з дробовою динамікою The nonlocal problem for fractal diffusion equation Нелокальна задача для рівняння фрактальної дифузії Article published earlier |
| spellingShingle | The nonlocal problem for fractal diffusion equation Drin, Ya.M. Drin, I.I. Drin, S.S. Керовані процеси з дробовою динамікою |
| title | The nonlocal problem for fractal diffusion equation |
| title_alt | Нелокальна задача для рівняння фрактальної дифузії |
| title_full | The nonlocal problem for fractal diffusion equation |
| title_fullStr | The nonlocal problem for fractal diffusion equation |
| title_full_unstemmed | The nonlocal problem for fractal diffusion equation |
| title_short | The nonlocal problem for fractal diffusion equation |
| title_sort | nonlocal problem for fractal diffusion equation |
| topic | Керовані процеси з дробовою динамікою |
| topic_facet | Керовані процеси з дробовою динамікою |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210864 |
| work_keys_str_mv | AT drinyam thenonlocalproblemforfractaldiffusionequation AT drinii thenonlocalproblemforfractaldiffusionequation AT drinss thenonlocalproblemforfractaldiffusionequation AT drinyam nelokalʹnazadačadlârívnânnâfraktalʹnoídifuzíí AT drinii nelokalʹnazadačadlârívnânnâfraktalʹnoídifuzíí AT drinss nelokalʹnazadačadlârívnânnâfraktalʹnoídifuzíí AT drinyam nonlocalproblemforfractaldiffusionequation AT drinii nonlocalproblemforfractaldiffusionequation AT drinss nonlocalproblemforfractaldiffusionequation |