The nonlocal problem for fractal diffusion equation
Over the past few decades, the theory of pseudodifferential operators (PDO) and equations with such operators (PDE) has been intensively developed. The authors of the new direction of the theory of PDE, called parabolic PDE with nonsmooth homogeneous symbols (PPDE), are Yaroslav Drin and Samuel Eide...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2022 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2022
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210864 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | The nonlocal problem for fractal diffusion equation / Ya.M.Drin, I.I.Drin, S.S.Drin // Проблеми керування та інформатики. — 2022. — № 1. — С. 47-55. — Бібліогр.: 43 назв. — англ. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1862674275669901312 |
|---|---|
| author | Drin, Ya.M. Drin, I.I. Drin, S.S. |
| author_facet | Drin, Ya.M. Drin, I.I. Drin, S.S. |
| citation_txt | The nonlocal problem for fractal diffusion equation / Ya.M.Drin, I.I.Drin, S.S.Drin // Проблеми керування та інформатики. — 2022. — № 1. — С. 47-55. — Бібліогр.: 43 назв. — англ. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Over the past few decades, the theory of pseudodifferential operators (PDO) and equations with such operators (PDE) has been intensively developed. The authors of the new direction of the theory of PDE, called parabolic PDE with nonsmooth homogeneous symbols (PPDE), are Yaroslav Drin and Samuel Eidelman.
Протягом останніх кількох десятиліть інтенсивно розвивається теорія псевдодиференціальних операторів (ПДО) та рівнянь із такими операторами (ПДР). Авторами нового напрямку теорії ПДР, названого параболічні ПДР з негладкими однорідними символами (ППДР), є Ярослав Дрінь і Самуїл Ейдельман. На початку 70-х років минулого століття вони побудували приклад задачі Коші для модифікованого рівняння теплопровідності, що містить замість оператора Лапласа ПДО, що є його квадратним коренем. Такий ПДО має однорідний символ |σ|, негладкий у початку координат. Фундаментальний розв’язок задачі Коші (ФРЗК) для такого рівняння є точною степеневою функцією. Для рівняння теплопровідності ФРЗК є точною експонентною функцією. Оператор Лапласа можна тлумачити як ПДО з однорідним гладким символом |σ|^2, σ ∈ Rn. Узагальненням рівняння теплопровідності є ППДР, що містять ПДО з однорідними негладкими символами. Вони мають важливе застосування в теорії випадкових процесів, зокрема, при побудові розривних марківських процесів з твірними інтегро-диференціальними операторами, які відносяться до ПДО, у сучасній теорії фракталів, яка останнім часом бурхливо розвивається. Якщо символ ПДО не залежить від просторових координат, то задача Коші для ППДР коректно розв’язна у просторі узагальнених функцій типу розподілів. Розв’язок при цьому записується як згортка ФРЗК із початковою узагальненою функцією. Ці результати належать низці вітчизняних та зарубіжних математиків, зокрема С. Ейдельману та Я. Дріню (які першими визначили ППДО з негладкими символами та розпочали дослідження задачі Коші для відповідних ППДР), М. Федорюку, О. Кочубею, В. Городецькому, Літовченку та ін. Для певних нових класів ППДР доведено коректну розвʼязність задачі Коші у просторі гельдерових функцій, побудовано класичні ФРЗК, отримано точні оцінки їх похідних степеневого характеру [1–4]. Принципово важливим є запропоноване А. Кочубеєм тлумачення ПДО через гіперсингулярні інтеграли (ГСІ). При цьому за відомим символом ПДО будується символ ГСІ і навпаки [6]. Теорія ГСІ, що суттєво розширює клас ПДО, розроблена С. Самком [7]. Це поняття розповсюджено на матричні ГСІ [5]. Узагальненням задачі Коші є нелокальні багатоточкові за часовою змінною задачі та задача з відхиленням аргументу. Тут доведено розвʼязність нелокальної задачі з використанням методу кроків. Розглядаємо еволюційне нелінійне рівняння з регуляризованою фрактальною похідною дробового порядку α ∈ (0, 1] за часовою змінною та еліптичний оператор зі змінними коефіцієнтами просторової змінної. Це рівняння описує фрактальні властивості реальних даних, що виникають у таких прикладних областях, як турбулентність, гідрологія, екологія, геофізика, забруднення середовища, економіка та фінанси.
|
| first_indexed | 2026-03-16T20:00:40Z |
| format | Article |
| fulltext | |
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210864 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-16T20:00:40Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Drin, Ya.M. Drin, I.I. Drin, S.S. 2025-12-19T14:51:54Z 2022 The nonlocal problem for fractal diffusion equation / Ya.M.Drin, I.I.Drin, S.S.Drin // Проблеми керування та інформатики. — 2022. — № 1. — С. 47-55. — Бібліогр.: 43 назв. — англ. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210864 517.98 10.34229/1028-0979-2022-1-6 Over the past few decades, the theory of pseudodifferential operators (PDO) and equations with such operators (PDE) has been intensively developed. The authors of the new direction of the theory of PDE, called parabolic PDE with nonsmooth homogeneous symbols (PPDE), are Yaroslav Drin and Samuel Eidelman. Протягом останніх кількох десятиліть інтенсивно розвивається теорія псевдодиференціальних операторів (ПДО) та рівнянь із такими операторами (ПДР). Авторами нового напрямку теорії ПДР, названого параболічні ПДР з негладкими однорідними символами (ППДР), є Ярослав Дрінь і Самуїл Ейдельман. На початку 70-х років минулого століття вони побудували приклад задачі Коші для модифікованого рівняння теплопровідності, що містить замість оператора Лапласа ПДО, що є його квадратним коренем. Такий ПДО має однорідний символ |σ|, негладкий у початку координат. Фундаментальний розв’язок задачі Коші (ФРЗК) для такого рівняння є точною степеневою функцією. Для рівняння теплопровідності ФРЗК є точною експонентною функцією. Оператор Лапласа можна тлумачити як ПДО з однорідним гладким символом |σ|^2, σ ∈ Rn. Узагальненням рівняння теплопровідності є ППДР, що містять ПДО з однорідними негладкими символами. Вони мають важливе застосування в теорії випадкових процесів, зокрема, при побудові розривних марківських процесів з твірними інтегро-диференціальними операторами, які відносяться до ПДО, у сучасній теорії фракталів, яка останнім часом бурхливо розвивається. Якщо символ ПДО не залежить від просторових координат, то задача Коші для ППДР коректно розв’язна у просторі узагальнених функцій типу розподілів. Розв’язок при цьому записується як згортка ФРЗК із початковою узагальненою функцією. Ці результати належать низці вітчизняних та зарубіжних математиків, зокрема С. Ейдельману та Я. Дріню (які першими визначили ППДО з негладкими символами та розпочали дослідження задачі Коші для відповідних ППДР), М. Федорюку, О. Кочубею, В. Городецькому, Літовченку та ін. Для певних нових класів ППДР доведено коректну розвʼязність задачі Коші у просторі гельдерових функцій, побудовано класичні ФРЗК, отримано точні оцінки їх похідних степеневого характеру [1–4]. Принципово важливим є запропоноване А. Кочубеєм тлумачення ПДО через гіперсингулярні інтеграли (ГСІ). При цьому за відомим символом ПДО будується символ ГСІ і навпаки [6]. Теорія ГСІ, що суттєво розширює клас ПДО, розроблена С. Самком [7]. Це поняття розповсюджено на матричні ГСІ [5]. Узагальненням задачі Коші є нелокальні багатоточкові за часовою змінною задачі та задача з відхиленням аргументу. Тут доведено розвʼязність нелокальної задачі з використанням методу кроків. Розглядаємо еволюційне нелінійне рівняння з регуляризованою фрактальною похідною дробового порядку α ∈ (0, 1] за часовою змінною та еліптичний оператор зі змінними коефіцієнтами просторової змінної. Це рівняння описує фрактальні властивості реальних даних, що виникають у таких прикладних областях, як турбулентність, гідрологія, екологія, геофізика, забруднення середовища, економіка та фінанси. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Керовані процеси з дробовою динамікою The nonlocal problem for fractal diffusion equation Нелокальна задача для рівняння фрактальної дифузії Article published earlier |
| spellingShingle | The nonlocal problem for fractal diffusion equation Drin, Ya.M. Drin, I.I. Drin, S.S. Керовані процеси з дробовою динамікою |
| title | The nonlocal problem for fractal diffusion equation |
| title_alt | Нелокальна задача для рівняння фрактальної дифузії |
| title_full | The nonlocal problem for fractal diffusion equation |
| title_fullStr | The nonlocal problem for fractal diffusion equation |
| title_full_unstemmed | The nonlocal problem for fractal diffusion equation |
| title_short | The nonlocal problem for fractal diffusion equation |
| title_sort | nonlocal problem for fractal diffusion equation |
| topic | Керовані процеси з дробовою динамікою |
| topic_facet | Керовані процеси з дробовою динамікою |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210864 |
| work_keys_str_mv | AT drinyam thenonlocalproblemforfractaldiffusionequation AT drinii thenonlocalproblemforfractaldiffusionequation AT drinss thenonlocalproblemforfractaldiffusionequation AT drinyam nelokalʹnazadačadlârívnânnâfraktalʹnoídifuzíí AT drinii nelokalʹnazadačadlârívnânnâfraktalʹnoídifuzíí AT drinss nelokalʹnazadačadlârívnânnâfraktalʹnoídifuzíí AT drinyam nonlocalproblemforfractaldiffusionequation AT drinii nonlocalproblemforfractaldiffusionequation AT drinss nonlocalproblemforfractaldiffusionequation |