Метод та алгоритми обчислення високоточної орієнтації та взаємної прив’язки систем координат кластера астродатчиків космічного апарата за неточними вимірюваннями
Розглядається задача підвищення точності визначення орієнтації космічного апарата (КА) за допомогою системи астродатчиків (АД). Запропоновано методи, що дозволяють використовувати спільне поле зору та уточнення взаємного становища астродатчиків для підвищення точності визначення орієнтації. The pro...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Datum: | 2022 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2022
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210867 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Метод та алгоритми обчислення високоточної орієнтації та взаємної прив’язки систем координат кластера астродатчиків космічного апарата за неточними вимірюваннями / В.Ф. Губарев, С.В. Мельничук, М.М. Сальніков // Проблеми керування та інформатики. — 2022. — № 1. — С. 74-92. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859608710617235456 |
|---|---|
| author | Губарев, В.Ф. Мельничук, С.В. Сальніков, М.М. |
| author_facet | Губарев, В.Ф. Мельничук, С.В. Сальніков, М.М. |
| citation_txt | Метод та алгоритми обчислення високоточної орієнтації та взаємної прив’язки систем координат кластера астродатчиків космічного апарата за неточними вимірюваннями / В.Ф. Губарев, С.В. Мельничук, М.М. Сальніков // Проблеми керування та інформатики. — 2022. — № 1. — С. 74-92. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Розглядається задача підвищення точності визначення орієнтації космічного апарата (КА) за допомогою системи астродатчиків (АД). Запропоновано методи, що дозволяють використовувати спільне поле зору та уточнення взаємного становища астродатчиків для підвищення точності визначення орієнтації.
The problem of improving the accuracy of spacecraft (SC) orientation determination using a star tracker (ST) system is considered. Methods are proposed that allow the use of a common field of view and refinement of the relative position of the star trackers to improve orientation determination accuracy.
|
| first_indexed | 2026-03-14T04:04:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.Ф. ГУБАРЕВ, С.В. МЕЛЬНИЧУК, М.М. САЛЬНІКОВ, 2022
74 ISSN 1028-0979
КОСМІЧНІ ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ ТА СИСТЕМИ
УДК 681.518.5
В.Ф. Губарев, С.В. Мельничук, М.М. Сальніков
МЕТОД ТА АЛГОРИТМИ ОБЧИСЛЕННЯ
ВИСОКОТОЧНОЇ ОРІЄНТАЦІЇ ТА ВЗАЄМНОЇ
ПРИВ’ЯЗКИ СИСТЕМ КООРДИНАТ КЛАСТЕРА
АСТРОДАТЧИКІВ КОСМІЧНОГО АПАРАТА
ЗА НЕТОЧНИМИ ВИМІРЮВАННЯМИ
Ключові слова: кластер астродатчиків, орієнтація по зіркам, високоточна оріє-
нтація, інтервальне оцінювання, обмежена невизначеність.
Keywords: cluster of star trackers, orientation by stars, high-precision orientation,
interval estimation, limited uncertainty.
Вступ
У наш час астродатчик (АД) є основним вимірювальним пристроєм для ви-
значення орієнтації космічних, а іноді й літальних апаратів [1, 2]. Визначення орієн-
тації зводиться до розвʼязування задачі Вахби [3], яка, однак, не набула широкого за-
стосування. Замість неї використовувалися інші підходи та методи, що зводяться до
знаходження оптимального кватерніона орієнтації. У перших роботах розглядала-
ся задача визначення орієнтації при використанні одного астродатчика. У такому
випадку через порівняно невелике поле зору типових АД (близько 10–25 °) парамет-
ри орієнтації оцінюються з досить великою похибкою. Пояснюється це тим, що
близьке взаємне розташування зірок призводить до поганої обумовленості мат-
риць, які доводиться обертати при обчисленні параметрів орієнтації. Для усунення
цього недоліку було запропоновано [4–6] одночасно використовувати не один, а два
і більше астродатчиків, що встановлюються на борту космічного апарата (КА). При
цьому кут між напрямками на зірки з різних датчиків може бути значно більшим
за вищезазначені величини. У такому випадку розрахунок проводиться по всіх
зірках, що потрапили в поле зору всіх астродатчиків. Для досягнення більш точ-
ного оцінювання з використанням групи АД необхідні відповідні методи і алгори-
тми. Є низка публікацій, присвячених цьому. Так, у [7] показано, що навіть при
використанні двох астродатчиків можна істотно зменшити норму вектора похиб-
ки в порівнянні з одним астродатчиком. При цьому в роботі [7] для обчислення
кватерніона орієнтації застосовувався рекурентний метод найменших квадратів з
регуляризацією. У статті [8] описано комбінаторний метод інтервального оціню-
вання кватерніона орієнтації КА з довільним числом астродатчиків, тобто з клас-
тером астродатчиків. На відміну від [7], для обчислення кватерніона орієнтації не
використовувалася процедура лінеаризації нелінійних рівнянь, до яких зводилася
задача знаходження кватерніона орієнтації, а для достатньо великої кількості зі-
рок різних астродатчиків розвʼязувалася лінійна задача інтервального оцінювання
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 1 75
компонентів ортогональної матриці орієнтації методом, описаним у [9], тобто ця
задача споріднена задачі Вахби. На останньому етапі розглянутого підходу обчи-
слювався нормований кватерніон, при якому відповідна йому матриця орієнтації
задовольняє отриманим інтервальним оцінкам. При розвʼязанні цієї задачі вважа-
лося, що взаємна орієнтація внутрішніх систем координат (ВСК) усіх астродатчиків
відома. Однак у реальній ситуації наявна попередня оцінка взаємної привʼязки ас-
тродатчиків може мати похибку, яка може перевищувати похибки вимірювання
кутових координат зірок. Тому в роботі [10] запропоновано метод розвʼязування
задачі про уточнення взаємної привʼязки внутрішніх систем координат пари дат-
чиків як самостійної задачі, після розвʼязання якої вже можна вирішувати осно-
вну задачу підвищення точності орієнтації КА згідно з алгоритмами, описаними
в [7, 8]. Хоча чисельним моделюванням підтверджується реалізованість такого
підходу, необхідні інші способи обчислення орієнтації КА з урахуванням похибки
привʼязки астродатчиків.
У цій роботі запропоновано інший підхід до розвʼязання задачі високоточно-
го визначення рівноточної орієнтації КА на основі кластера астродатчиків з ура-
хуванням наявності похибок як при вимірюваннях, так і в параметрах взаємної
привʼязки астродатчиків. Як і в роботі [8], в основі запропонованих методу та ал-
горитмів розвʼязання такої комплексної задачі лежать інтервальні оцінки ортого-
нальних матриць орієнтації.
1. Початкові дані і постановка задачі
Нехай кластер містить М астродатчиків із
m
n зірками в полі зору m-го датчи-
ка ( 1, ),m M= так що загальна кількість зірок у полі зору значно більша за М.
Звʼяжемо зі світлочутливими матрицями астродатчиків праві ортогональні внут-
рішні системи координат ( , , , ),
m m m m
O x y z які позначимо як ВСКm, що відпові-
дають m-му астродатчику АДm. Напрямки на зірки в інерціальній системі коорди-
нат (ІСК), позначеній
0 0 0 0
( , , , ),O x y z що потрапили в поле зору m-го датчика,
подамо у вигляді одиничних векторів
T= ( , , ) ,i i i i
m m m m
x y z
r r r r = 1, ,
m
i n
де Т позначає транспонування. Із цими зірками у ВСКm ототожнюються відповід-
ні їм напрямки у вигляді одиничних векторів
T= ( , , ) ,i i i i
m m m m
x y z
b b b b = 1, .
m
i n
Вважаємо, що вектори i
m
r відомі з високою точністю, а вектори i
m
b задаються
оцінками
= ,i i i
m m m
b b + = 1, ,
m
i n (1)
отриманими при вимірюванні відповідними АДm. Тут оцінкою =i
m
b
T( , , )i i i
m m m
x y z
b b b= виміряні одиничні вектори, а T= ( , , )i i i i
m m m m
x y z
— похиб-
ки вимірювання, про які апріорі відомо, що вони обмежені за величиною
,i i
m m
x x
,i i
m m
y y
,i i
m m
z z
= 1, ,m M = 1, .
m
i n (2)
76 ISSN 1028-0979
Якщо всі АДm ідентичні, то для простоти покладемо
1
,i
m
x
=
2
,i
m
y
=
3
,i
m
z
= 1, ,m M= = 1, .
m
i n (3)
Із (1)–(3) можна зробити висновок, що
[ ],i i
m m
b b
де
T 3
1 2 3 1 1 2 2 3 3
[ ] = { ( , , ) }: , ,i i i i
m m m m
x y z
b b b b b R b b b b b b= − − −
— інтервальна множина векторів. Аналогічні означення будемо використовувати
для інтервальних матриць, а для алгебраїчних операцій над ними будемо користу-
ватися методами інтервальної математики [11–13].
Визначимо матрицю переходу від ІСК до ВСКm у вигляді ортогональних ма-
триць повороту:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
m m m
m m m m
m m m
s s s
S s s s
s s s
=
, 1, .m M= (4)
Аналогічно визначимо матриці переходу від ВСКm до ВСКp :
11 12 13
21 22 23
31 32 33
mp mp mp
mp mp mpmp
mp mp mp
s s s
S s s s
s s s
=
, , 1, , .m p M p m= (5)
Вирази (4) і (5) називають ще матрицями напрямних косинусів. Вони є ортогона-
льними, і для них виконується співвідношення
1 T .S S− =
Будемо припускати, що матриці взаємної орієнтації
mpS відомі з похибкою,
тобто замість точних матриць маємо оцінки ,mpS що задаються співвідношенням
,mp mp mpS S S= + (6)
де
mpS — матриці похибок, які мають вигляд
11 12 13
21 22 23
31 32 33
mp mp mp
mp mp mpmp
mp mp mp
S
=
. (7)
Елементи (7) відповідають малим кутам відхилення, що задовольняють обмеження
, , 1, 3,mp mp
ij ij
i j = (8)
де , , 1, 3mp
ij
i j = — досить малі величини. Умови (6)–(8) будемо записувати у
вигляді
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 1 77
0 0
[ ] [ ] ,mp mp mp mpS S S S = +
де
0
[ ] ,mpS
0
[ ]mpS — інтервальні матриці, а індекс «0» означає, що це апріорні
значення, відомі заздалегідь. Інтервальна матриця
0
[ ]mpS містить усі матриці
виду (7), елементи яких задовольняють умову (8).
Елементи матриць переходу не є незалежними змінними. Вони є функціями
або трьох незалежних кутів Крилова, що задають кути поворотів при переході від
однієї системи координат до іншої, або компонент кватерніона орієнтації. Зокре-
ма, вираз матриці
mS через кватерніон T
0 1 2 3
( , , , )
m
= повороту ВСКm
відносно ІСК має вигляд [14]
3 0
(Λ ) 2 2 ,m
m
S S I= = − + (9)
де 3
I — одинична матриця розмірності 3, кососиметрична матриця
3 2
3 1
2 1
0
0
0
−
= −
−
.
Кватерніон m
повинен задовольняти умову нормування
2 2
0 1
( ) ( ) + +
2 2
2 3
( ) ( ) 1.+ + = Тому число незалежних елементів матриці
mS також дорів-
нює трьом.
Вектор напрямку i
m
b на i-у зірку у ВСК m-го астродатчика, можна ототож-
нити з відповідним їй напрямком — вектором i
m
r в ІСК співвідношенням
.i i
m mmS r b= (10)
За допомогою матриці взаємної орієнтації астродатчиків з номерами p й m
можна записати ще одне співвідношення:
.m pm pS S S= (11)
Завдяки властивості ортогональності маємо
T( ) .p pm mS S S= (12)
Співвідношення (10)–(12) дають можливість звести вимірювання всіх АД у
систему рівнянь, записану відносно :mS
, 1, ,
, 1, , .
i i
i i
m mm
m
p pm pm
p
S r b i n
S r S b i n p m
= =
= =
. (13)
Подамо (13) у матричному вигляді
,m m mS R B= (14)
78 ISSN 1028-0979
де матриця mR складається з векторів , 1,i
m
m
r i n= і , 1, , ,i
p
r p n p m=
1, ,
p
i n= а матриця mB — з векторів , 1,i
m
m
b i n= і , 1, ,i
ppmS b p n=
, 1, .
p
p m i n = Використовуючи (14) для кожного з АД, можна знайти всі мат-
риці ,mS 1, ,m M= а з них визначити попарно матриці взаємної орієнтації .pmS
Зазначимо, що матриці
mS можуть бути різними при кожному вимірюванні, а ма-
триці
pmS є постійними. Оскільки інформація про вектори i
m
b і i
p
b за припу-
щенням задана у вигляді інтервалів, оцінки для матриць
mS і
pmS також будемо
отримувати у вигляді інтервалів.
При загальній кількості зірок, рівній трьом, розвʼязок находиться зі співвід-
ношення
1( ) .m m mS B R −=
Для більшої кількості зірок система (14) є перевизначеною. Збільшення кількості
зірок може привести до отримання точніших оцінок, як показано в роботі [8] для
випадку із точно заданими .pmS При цьому використання групи АД замість од-
ного еквівалентне розширенню загального поля зору, що дає змогу отримати мат-
рицю mR з меншим числом обумовленості.
При неточно заданих
pmS до похибок вимірювань напрямків на зірки дода-
ються похибки взаємних орієнтацій АД, що призводить до розширення інтервалів
невизначеності правих частин другої групи рівнянь системи (13).
Розглянемо кластер з трьох АД, які позначено індексами ,m p і .q Запише-
мо систему (13) для АДm :
, 1 ,
, 1 ,
, 1 ,
,
,
,
i i
i i
i i
m mm
m
p pm pm
p
q qm qm
q
S r b i n
S r S b i n
S r S b i n
= =
= =
= =
(15)
де ,i
m
b ,i
p
b i
q
b — вектори напрямків на зірки, що перебувають у полі зору цих
датчиків. У дискретні моменти часу
0
, 1 2, …,
k
t t k T k= + = кожен АД розпізнає
зірки, що потрапили у його поле зору, і видає координати напрямків на них. У ди-
намічному процесі зміни орієнтації КА матриці
mS в (15) будуть функціями ча-
су .
k
t Права частина (15) містить похибки вимірювань напрямків на зірки ,i
m
b
,i
p
b i
q
b і похибки взаємних орієнтацій астродатчиків
pmS та .qmS
Ставиться задача — розробити алгоритм розвʼязування систем виду (15) у
моменти часу ,
k
t що дає змогу знаходити оцінки матриці орієнтації ,€mS відпові-
дного кватерніона ,€
m
а також уточнені оцінки матриць €pmS і € .qmS
2. Покращена оцінка параметрів орієнтації астродатчиків
Для розвʼязування задачі пропонується використовувати двоступінчасту схе-
му. На першому етапі в момент
k
t знаходиться розвʼязок задачі
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 1 79
1
1
[ ], 1, ,
[ ] [ ], 1, ,
[ ] [ ], 1, ,
i i
i i
i i
m mm
m
p pm pm
k p
q qm qm
k q
S r b i n
S r S b i n
S r S b i n
−
−
= =
= =
= =
(16)
де
1
[ ]pm
k
S
−
і
1
[ ]qm
k
S
−
— інтервальні матриці взаємної орієнтації астродатчиків,
отримані на попередній момент часу. Для 1k = беруться апріорні значення цих
матриць
0
[ ]pmS і
0
[ ] ,qmS які припускаються відомими. Система рівнянь (16) яв-
ляє собою систему лінійних нерівностей відносно невідомих рядків матриці .mS
Можна показати, що її точним розвʼязком будуть багатогранні множини (триви-
мірні багатогранники), яким гарантовано належать рядки матриці .mS Однак з
метою спрощення обчислень для матриць ,mS що задовольняють (16), будуються
інтервальні оцінки [ ]m
k
S відповідно до алгоритму [4]. Такі інтервальні оцінки
[ ]p
k
S і [ ]q
k
S знаходяться також для астродатчиків з індексами p і q із систем,
аналогічних (16).
На другому етапі уточнюються значення матриць взаємної орієнтації АД. Це
робиться з використанням рівності (11), з якої випливає, що
T( ) .pm m pS S S= (17)
Через те, що інтервальні матриці
1
[ ] ,pm
k
S
−
[ ]p
k
S і [ ]q
k
S є гарантованими оцін-
ками, процедуру уточнення [ ]pmS пропонується визначити співвідношенням
T
1
[ ] [ ] ([ ] [ ] )pm pm m p
k k k k
S S S S
−
= 1.k (18)
Очевидно, що в силу запропонованої побудови невизначеність значень матри-
ці
pmS з часом не збільшується. Аналогічні до (18) рівняння використовують-
ся для отримання інтервальних оцінок [ ]qm
k
S і [ ]qp
k
S для матриць
qmS і
qpS
відповідно.
2.1. Деякі питання реалізації методу розвʼязування. Для розвʼязування
системи з інтервально заданою правою частиною (16) будемо використовува-
ти метод, описаний у [8]. Його суть полягає в формуванні з рівнянь (16) мно-
жини квадратних систем, їх розвʼязанні та перетині отриманих інтервальних
оцінок.
Нехай із системи (16) обрано три рівняння, що відповідають деякій трійці зірок.
Для спрощення виразів позначимо їх просто індексами 1, 2 і 3. Сформуємо систему
1 2 3
1 2 3
1 2 3
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
x x x
m
y y y
z z z
b b b
S R b b b
b b b
=
, (19)
у правій частині якої стоїть матриця, що складається з інтервально заданих векто-
рів, виміряних кластером астродатчиків напрямків на зірки в ВСКm, а
80 ISSN 1028-0979
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
y y y
z z z
r r r
R r r r
r r r
=
— матриця, складена з векторів напрямків на ці ж зірки в ІСК, заданих у зоряному
каталозі. Всі три зірки різні, так що матриця R невироджена. Тоді маємо
розвʼязок у вигляді добутку інтервально заданої матриці на звичайну матрицю:
1 2 3
1 2 3 1
1 2 3
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] .
[ ] [ ] [ ]
x x x
m
y y y
z z z
b b b
S b b b R
b b b
−
=
(20)
У роботах [15, 16] показано суттєвий вплив числа обумовленості матриці R
на ширину інтервалів отримуваної оцінки матриці .mS Найбільш точна інтерва-
льна оцінка [ ]m
k
S буде отримуватися для трійки зірок, напрямки на які взаємно
ортогональні. При зменшенні кутів між напрямками на зірки обумовленість мат-
риці R зростає, що призводить до погіршення якості оцінки [ ] .m
k
S Тому з усіх
можливих комбінацій трійок зірок, що знаходяться в полі зору всіх АД, є сенс ви-
користовувати тільки трійки найбільш віддалених. Враховуючи невеликий кут зо-
ру типових АД, робимо висновок, що для формування систем (19) раціонально
обирати по одній виміряній зірці від кожного АД, а оптимальним розташуванням
АД у кластері є взаємно ортогональне.
Подамо базову систему (19) у такому вигляді:
1 1
( , , ) ([ ], [ ] [ ], [ ] [ ]),u v w u v w
m p q m p qm pm qm
k k
S r r r b S b S b
− −
=
де , ,u v w — індекси трійки зірок, що виміряні відповідно датчиками АДm, АДp і
АДq, а [ ], [ ], [ ]u v w
m p q
b b b — інтервальні оцінки напрямків на ці зірки у відповід-
них ВСК. Точкові виміряні значення ,u
m
b ,v w
p q
b b задають центри цих інтерва-
лів, а їх ширина визначається згідно з апріорними обмеженнями невизначенос-
ті (1)–(3):
1 1
2 2
3 3
[ , ]
[ ] [ , ]
[ , ]
u u
m m
b b
−
= + −
−
,
1 1
2 2
3 3
[ , ]
[ ] [ , ]
[ , ]
v v
p p
b b
−
= + −
−
,
1 1
2 2
3 3
[ , ]
[ ] [ , ]
[ , ]
w w
q q
b b
−
= + −
−
.
Оцінимо добутки 0
[ ] [ ]v
ppmS b і 0
[ ] [ ].w
qqmS b Враховуючи обмеження (7) і (8),
маємо
0
11 11 21 21 31 31 1 1
12 12 22 22 32 32 2 2
13 13 23 23 33 33
[ ] [ ]=
[ , ] [ , ] [ , ] [ , ]
[ , ] [ , ] [ , ] [ , ]
[[ , ] [ , ] [ , ]
v
v
ppm
mp mp mp mp mp mp
pmp mp mp mp mp mpmp
mp mp mp mp mp mp
S b
S b
− − − −
= + − − − + −
− − − −
3 3
,
, ]
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 1 81
де
mpS — апріорі задана точкова оцінка матриці переходу між ВСКm та ВСКp.
Застосовуючи правило множення інтервальних чисел [ , ] [ , ]a a b b− − =
[ , ],ab ab= − отримуємо
0
[ , ]
[ ] [ ] [ , ]
[ , ]
v v
p p
x x
p ppm pm p p
y y
p p
z z
S b S b
−
= + −
−
,
де v
ppmS b — точкова оцінка вектора напрямку на зірку, що приведена до СК
ВСКm, а ширина інтервалів визначається виразами
11 1 21 2 31 3 11 21
31 1 11 2 21 3 31
12 1 22 2 32 3 12 22
32 1 12 2 22 3 32
13 1 23 2
,
,
v v
v
v v
v
p pmp mp mp mp mpp
x x y
p mp mp mp mp
z
p pmp mp mp mp mpp
y x y
p mp mp mp mp
z
mp mpp
z
S S S b b
b
S S S b b
b
S S
= + + + + +
+ + + +
= + + + + +
+ + + +
= + +
33 3 13 23
33 1 13 2 23 3 33
.
v v
v
p pmp mp mp
x y
p mp mp mp mp
z
S b b
b
+ + +
+ + + +
Таким чином обчислюються всі елементи інтервальної матриці правої части-
ни (19). З розвʼязку системи (20) отримуємо оцінку елементів матриці
mS як лі-
нійну комбінацію інтервальних чисел.
Перебором комбінацій зірок із підходящим числом обумовленості встанов-
люються гарантовані інтервали приналежності всіх елементів матриці .mS
Шляхом покомпонентного перетину інтервалів приналежності по різних комбі-
націях зірок можна отримати більш точну гарантовану інтервальну оцінку
[ ] .m
k
S Чим більше зірок використовується, тим більш ймовірне отримання уто-
чнених оцінок.
Описаним способом одержуються інтервальні оцінки матриць орієнтації всіх
трьох астродатчиків — [ ] , [ ]m p
k k
S S та [ ] .q
k
S
Для додаткового звуження інтервалів можна скористатися тим фактом, що
матриці орієнтації мають бути ортогональними. Для цього для кожного інтерва-
льно заданого елемента матриці проводиться його перетин з інтервалом, який га-
рантує, що:
— інтервальна оцінка норми вектора, складеного з елементів рядка або стов-
пця матриці, містить одиницю (умова нормованості рядків та стовпців);
— інтервальна оцінка скалярного добутку будь-якої пари векторів, скла-
дених із рядків або стовпців матриці, містить нуль (умова ортогональності ряд-
ків та стовпців);
— інтервальна оцінка векторного добутку пари векторів, складених з елемен-
тів рядків або стовпців матриці, містить третій вектор (умова ортогональності і
правої трійки).
82 ISSN 1028-0979
Звуження інтервалів приналежності ортогональної матриці реалізується у ви-
гляді окремої процедури, що виконує наведені вище перевірки. В результаті її ро-
боти часто вдається отримувати більш вузькі інтервали приналежності для окре-
мих елементів матриці.
2.2. Знаходження кватерніона за заданою інтервальною матрицею пере-
ходу. На основі властивостей статистики середину отриманих інтервалів [ ]m
k
S
беремо за уточнену оцінку елементів матриці .mS Такі оцінки робляться для всіх m
і при заданому моменті часу .kt Отримана оцінка матриць ,mS 1, ,m M= складе-
них із середніх значень інтервалів приналежності її елементів, не гарантує, що во-
на ортогональна, і, отже, існує кватерніон ,
m
який би відповідав цим середнім
значенням у силу представлення (9).Тому розглянемо задачу знаходження такого
кватерніона ,€
m
який був би найбільш близьким до цих середніх значень, і його
матриця орієнтації, утворена згідно з (9), мала б елементи, що не виходять за межі
інтервалів приналежності, тобто ( ) [ ] .€ m
m k
S S При цьому припускається, що
такий кватерніон існує.
Будемо його знаходити з розвʼязку наступної задачі мінімізації:
доп
3
T T
1
min [( )) ( ) ],* €arg (
m
m m
m j j m j
j
S S
=
= − (21)
де *
m
— шуканий мінімізуючий елемент,
m
j
S (j = 1, 2, 3) — вектор-стовпці мат-
риці ,mS представленої у вигляді (9), які записуються як
1 1
( ) 2 ,m
j m m
S e = +
2 2 2
( ) 2 ,m
m m
S e = +
3 3 3
( ) 2 ,m
m m
S e = +
де 1
,e
2
,e
3
e — одиничні орти прямокутної системи координат, а вектори 1
,
m
2
,
m
3m
мають згідно з (9) вирази
2 2
2 3
1 1 2 0 3
1 3 0 2
1
2 m m
m m m m m
m m m m
− −
= −
+
,
0 3 1 2
2 2
2 1 3
2 3 0 1
1
2
m m m m
m m m
m m m m
+
= − −
−
,
1 3 0 2
3 2 3 0 1
2 2
1 2
1
2
m m m m
m m m m m
m m
−
= +
− −
,
де
j
— вагові коефіцієнти (додатні), які можна вибрати нормованими, тобто
3
1
1,
j
j=
=
доп
— допустима область кватерніона, що визначається умовою нор-
мування. Якщо взяти до уваги ортонормованість матриці ( )m
m
S при будь-
якому припустимому ,
m
задача (21) зводиться до вигляду
доп
2
3
T
1
1
arg min2 ( ) ( )
2
*
€
€
m
m
j m m
m j j j m
j
S
S S
=
+
= −
. (22)
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 1 83
Задача мінімізації (22) еквівалентна знаходженню кватерніона ,
m
який ма-
ксимізує на
доп
квадратичну функцію
3
T
1
( ) ( ),€m m
j j j m
j
S S
=
(23)
яку з урахуванням наведених вище позначень можна записати як
T .
m m
K (24)
Оскільки допустима область представлена обмеженням у вигляді рівності,
метод множників Лагранжа дає змогу звести задачу максимізації функції (23) на
доп
до безумовної оптимізації функції
T T( 1),
m m m m
K − − (25)
а параметр знаходити таким, щоб для кватерніона виконувалася умова норму-
вання. Необхідна умова оптимальності функції (25) приводить до рівняння
.
m m
K = (26)
Звідси випливає, що оптимальний кватерніон повинен бути власним вектором ма-
триці K, а множник — власним значенням матриці K, що відповідає цьому век-
тору. Для кожного із чотирьох власних значень і відповідних їм власних функцій
буде виконуватися співвідношення
T T ,
m m m m
K = =
що випливає безпосередньо з (26).
Значить, квадратична функція (24) досягає максимуму, якщо в якості *
m
об-
рати власний вектор, що відповідає максимальному власному вектору, тобто
max
.
m m
K = * *
Цей результат стосовно до задачі орієнтації на основі астродатчиків упе-
рше був отриманий Дейвенпортом [17]. Існують надійні чисельні методи, що
дають змогу розвʼязувати таку задачу на власні значення. За допомогою ваго-
вих коефіцієнтів можна домагатися приналежності одержуваного розвʼязку
гарантованим інтервалам приналежності точної матриці орієнтації. Підвищу-
ючи вагу векторів ,m
j
S які більше відхилилися від середини гарантованих ін-
тервалів, можна досягти більш оптимального розташування матриці ( )m
mS
на гарантованих інтервалах. Перший метод розвʼязування задачі знаходження
оптимального кватерніона на основі обчислення найбільшого власного зна-
чення й відповідного йому власного вектора розробив сам Дейвенпорт, який
одержав назву «q-метод» [17]. На його основі було розроблено інші методи і
відповідні їм алгоритми та їх програмна реалізація, які дають можливість еко-
номніше розвʼязувати представлену задачу. При цьому досягалася цілком
прийнятна точність. Порівняльний аналіз різних розроблених методів і алго-
ритмів можна знайти в [18, 19].
84 ISSN 1028-0979
2.3. Спрощений метод знаходження кватерніона орієнтації КА та взаєм-
ної орієнтації АД. Можна показати, що наявність інтервальних матриць
1
[ ]pm
k
S
−
у рівнянні (16) приводить до більш грубих оцінок для [ ] ,m
k
S ніж при точно відо-
мій матриці .pmS Може виявитися, що такі оцінки будуть настільки грубими, що
матриці [ ] ,pm
k
S які обчислюються виходячи з рівняння (18), перестануть уточ-
нюватися. У цьому випадку, який легко виявляється в процесі обчислень, пропо-
нується спрощений алгоритм обчислення [ ]m
k
S за допомогою такого евристич-
ного способу. Замість інтервальних матриць
1
[ ]pm
k
S
−
і
1
[ ]qm
k
S
−
у рівнянні (16)
пропонується використовувати їхні точкові оцінки
1
€ pm
k
S
−
і
1
,€qm
k
S
−
які обчислюють-
ся з використанням інтервальних матриць [ ] ,m
k
S [ ]p
k
S і [ ] .q
k
S Позначимо оцін-
ки кватерніонів для цих матриць
, ,
,€ €
m k p k
і
,
.€
q k
Ці оцінки одержуємо за до-
помогою методу, описаного в попередньому підрозділі.
Рівнянню (17), яке справедливе для точних значень матриць переходу, відпо-
відає наступне співвідношення для кватерніонів:
,
pm m p
= (27)
де кватерніони такі, що ( ),pm
pm
S S= ( )m
m
S S= і ( ),p
p
S S=
p
— ква-
терніон, спряжений до ,
p
( ) — операція множення кватерніонів. Кватерніон
pm
визначає взаємну орієнтацію p -го та m -го астродатчиків; m
— кватерні-
он орієнтації m -го астродатчика по відношенню до ІСК,
p
визначає орієнтацію
ВСК p -го астродатчика по відношенню до ІСК.
Оскільки замість точних відомі тільки наближені значення кватерніонів, бу-
демо використовувати рівняння (27) для одержання оцінки кватерніона
,
€
pm k
у
такому вигляді:
, , ,
.€ € €
pm k m k p k
=
Аналогічні рівняння пропонується використовувати для одержання оцінок
кватерніонів
,
€
qm k
і
,
.€
qp k
Рівняння (16) при такому підході приймають
вигляд
1
1
[ ], 1, ,
( )[ ], 1, ,
( )[ ], 1, .
i i
i i
i i
m mm
m
p pm
pm k p
q qm
qm k q
S r b i n
S r S b i n
S r S b i n
−
−
= =
= =
= =
,
,
€
€
(28)
У цьому рівнянні замість кватерніонів
1,
€
pm k−
і
1,
€
qm k−
використовують
їхні усереднені оцінки, одержувані, наприклад, за допомогою принципу максима-
льної правдоподібності (ПМП). Ефективність ПМП можна встановити за розподі-
лом оцінок, близьким до нормального. У цьому випадку отримане за ПМП уточ-
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 1 85
нення кватерніона
1,pm k−
буде ближчим до точного й стає допустимою ітерати-
вна процедура подальшого уточнення оцінок
,
€
p k
і
,
€
q k
з використанням рів-
няння (28). Покращені оцінки цих кватерніонів дають змогу знову покращити
оцінку кватерніонів взаємної орієнтації.
3. Результати чисельного моделювання
У всіх чисельних експериментах припускаються наступні умови. Є кластер з
трьох однотипних астродатчиків, з кожним із яких звʼязана своя внутрішня пря-
мокутна система координат ( , , , ).
m m m m
O x y z Осі внутрішніх систем координат
обрані таким чином, щоб візирна вісь астродатчика співпадала за напрямком з ве-
ктором .
m
z Астродатчики були встановлені на КА так, щоб їх візирні осі були
взаємно перпендикулярними, а перехід між ВСК задавався матрицями
21 31
0 0 1 1 0 0
0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0
,S S
= = −
−
.
Після виведення КА в космос взаємна орієнтація астродатчиків випадковим
чином змінилася і прийняла вид
21 21 31 31
21 31
( ) , ( ) ,rand randS R S S R S= =
де ( )randR — матриця повороту навколо випадкової осі на кут . При цьому
апріорі відомо, що кути 21
і 31
не можуть перевищувати задану константу
MOUNT
— максимальну похибку орієнтації астродатчиків.
Поле зору кожного АД задається кутом FOV
— максимальним кутом між
напрямком на спостережувану зірку та візирною віссю АД. Кожна зірка, що по-
трапила в поле зору АД, розпізнається і вимірюється, так що для неї визначаються
такі величини:
— точний напрямок на зірку в ІСК — нормований вектор ,r відповідно до
каталогу;
— виміряний напрямок на зірку в ВСК датчика — нормований вектор .b
При цьому апріорі відомо, що виміряний напрямок b не може відхилятися від іс-
тинного напрямку на зірку b на кут, більший заданої константи
MEAS
— мак-
симальної похибки вимірювання.
Інтервальні оцінки виміряних напрямків на зірки формується підпрограмою,
яка обчислює координати паралелепіпеда зі сторонами, паралельними осям необ-
хідної СК, описаного навколо множини нормованих векторів, що відхиляються
від заданого напрямку не більше ніж на заданий кут.
Для отримання інтервальної оцінки напрямку на зірку, вираженої в ВСК того
датчика, який провів її вимірювання, максимальний кут відхилення від виміряно-
го точкового значення b беремо рівним .
MEAS
Для отримання інтервальної оцінки напрямку на зірку, вираженої в ВСК ін-
шого датчика, максимальний кут відхилення від виміряного точкового значення
86 ISSN 1028-0979
ijS b ( ijS (апріорна точкова оцінка матриці переходу між відповідними ВСК) бе-
реться рівним сумі .
MEAS MOUNT
+ Після отримання апостеріорних оцінок
взаємної орієнтації АД в якості інтервальної оцінки напрямку на зірку береться
перетин множин:
— інтервальної оцінки, отриманої за відхиленням від
ijS b на кут
;
MEAS MOUNT
+
— добутку
1
[ ( )] [ ] ,ij
MOUNT
S b де [ ( )]
MOUNT
— інтервальна матриця,
яка задає поворот навколо довільної осі на кут, що не перевищує ,
MOUNT
а
1
[ ]ijS
— апостеріорна інтервальна оцінка матриці переходу між відповідними ВСК.
Всі чисельні експерименти проводяться на випадково згенерованих наборах
зірок, що розміщуються в полі зору астродатчиків. Кількість зірок у полі зору всіх
астродатчиків береться однаковою і позначається величиною .n
3.1. Знаходження точкової оцінки взаємної орієнтації пари АД. Перевіри-
мо можливість отримання точкової оцінки взаємної орієнтації двох АТ, застосо-
вуючи принцип ПМП до точок, що є центрами гарантованих інтервалів матриці
орієнтації.
Маємо 5000K = незалежних вимірювань кластера астродатчиків. У кожно-
му вимірюванні орієнтація першого АД
1S є випадковою, а число зірок у полі зо-
ру кожного АД завжди дорівнює 3.n = Кут зору АД дорівнює 10 ,
FOV
= мак-
симальна похибка вимірювання напрямку на зірку становить 0,01 ,
MEAS
= а
максимальна похибка орієнтації датчиків становить 0,1 .
MOUNT
= Зірки у полі
зору АД, а також величини похибок вимірювань напрямків на зірки розподілені
рівномірно.
Для кожного вимірювання знаходяться інтервальні оцінки 1 2[ ], [ ] S S та
обчислюється апостеріорна інтервальна оцінка взаємної орієнтації датчиків
21
1
[ ] .S Для кожного елемента цієї матриці обчислюється центр гарантованого
інтервалу приналежності. Статистика, зібрана по всіх вимірюваннях, предста-
влена у вигляді гістограми, що показує значення центрів інтервалів, які отри-
мані найчастіше.
На рис. 1 показано описані гістограми для всіх девʼяти елементів матри-
ці
21
1
[ ] .S Точні значення показано суцільною вертикальною лінією.
З рис. 1 видно, що центр інтервальної оцінки не може використовуватись
для отримання точкової оцінки матриці орієнтації. Несхожість гістограм на
нормальний розподіл пояснюється тим, що при обчисленні інтервальних оці-
нок вимірювань і матриць поворотів використовувались вищенаведені проце-
дури звуження гарантованих інтервалів. При звуженні інтервалів їхні центри
можуть зміщуватись, що призводить до зміщення центрів інтервалів у оста-
точного результату.
Наприклад, якщо для тих самих початкових даних відмовитись від проце-
дур звуження гарантованих інтервалів ортогональних матриць, то вигляд гіс-
тограм буде більш нагадувати нормальний розподіл. Результат наведено на
рис. 2.
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 1 87
Рис. 1
Рис. 2
З рис. 2 видно, що гістограми стали схожими на нормальний розподіл. Змі-
щеність оцінок, що обираються з ПМП, зберігається через початкове несиметрич-
не задання інтервальних оцінок виміряних векторів напрямків на зірки. Також з
рис. 2 видно, що отримувані в цьому випадку інтервальні оцінки елементів орто-
гональної матриці включають завідомо неприпустимі області. Наприклад, в мат-
риці повороту не може бути елементів, більших за 1 чи менших за –1.
Для отримання незміщених оцінок необхідно задавати початкові інтервальні
оцінки таким чином, щоб виміряні точкові значення завжди знаходилися в центрі
інтервалу, а також відмовитись від спроб звуження інтервально заданих ортого-
нальних матриць. Однак при цьому результуючі інтервальні оцінки інтервальних
матриць розширюються.
1000
500
0
0 – 5 5 10
1000
500
0
0 – 5 5
1000
500
0
– 1
– 1 – 1
– 1
1000
500
0
– 1,5
– 2 – 1 0
1000
500
0
1 1 1 1
1000
500
0
0 – 5 5
1000
500
0
1 1 1 1
1000
500
0
0,5 0 1,5 2
1000
500
0
0 – 5 5 10
1
×10– 4 ×10– 4
×10– 4 ×10– 3
×10– 4 ×10– 3
– 0,5
1000
500
0
0 – 2 4 6
1000
500
0
0 – 4 4
1000
500
0
– 1,0004 – 1 – 0,9996
1000
500
0
– 1,5
– 2 – 1
1000
500
0
1 1,0005
1000
500
0
0 – 5 5
1000
500
0
0,9995 1 1
1000
500
0
– 20 0
1000
500
0
0 – 5 5
– 10
×10– 4 ×10– 4
×10– 4 ×10– 3
×10– 4 ×10– 3
– 0,5
2
1500 1500 1500
– 2 2
1500
0,9995
1500 1500
1500 1500 1500
88 ISSN 1028-0979
3.2. Точність інтервального оцінювання матриці орієнтації. Порівняємо
точність інтервального оцінювання матриці орієнтації 1[ ]S після обчислення уто-
чнених інтервальних оцінок матриць взаємної орієнтації АД кластера. Точність
оцінюватимемо як середню сумарну ширину всіх елементів матриці по 500K =
незалежних вимірюваннях кластера АД.
Кількість зірок в кожному АД дорівнює 3,n = кут зору АД дорівнює
10 ,
FOV
= максимальна похибка вимірювання напрямку на зірку дорівнює
0,01 ,
MEAS
= максимальна похибка орієнтації датчиків
MOUNT
варіюється
від 0 (випадок детермінованого розташування датчиків) до 50 .
MEAS
Зірки в
полі зору АД, а також величини похибок вимірювань напрямків на зірки розподі-
лені рівномірно.
На рис. 3 суцільною лінією показано залежність середньої сумарної ширини
елементів матриці 1[ ],S що отримується при використанні кластера з трьох орто-
гональних АД, від максимальної похибки взаємної орієнтації АД .
MOUNT
Штриховою лінією показано середню сумарну ширину елементів матриці 1[ ]S
при використанні тільки одного АД1. Штриховими лініями з маркерами показано
ці ж величини для апостеріорних оцінок матриць взаємної орієнтації АД:
21 31 32[ ], [ ], [ ].S S S
Рис. 3
З рис. 3 видно, що зі збільшенням максимально можливої похибки взаємної
орієнтації датчиків
MOUNT
точність отримуваних інтервальних оцінок погіршу-
ється. Однак за рахунок кращої обумовленості використання кластера з трьох ор-
тогональних АД все одно дає кращий результат, ніж використання одного астро-
датчика, навіть за умови, що орієнтація додаткових АД задана неточно.
3.3. Випадок необмеженої похибки взаємної орієнтації астродатчиків.
У попередньому експерименті було показано, що зі збільшенням максимально
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0 10MEAS 20MEAS 30MEAS 40MEAS 50MEAS
21[ ]S по всіх АД
31[ ]S по всіх АД
32[ ]S по всіх АД
1[ ]S по всіх АД
1[ ]S по АД1
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 1 89
припустимої похибки взаємної орієнтації АД, що задається кутом ,
MOUNT
точ-
ність апостеріорних інтервальних оцінок матриць переходу між ВСК, а також ін-
тервальних оцінок матриць переходу між ВСК і ІСК погіршується.
Однак очевидно, що це погіршення не може бути необмеженим: у випад-
ку, якщо апріорні оцінки взаємної орієнтації астродатчиків взагалі не задані,
орієнтацію ВСК відносно ІСК можна визначити, використовуючи кожний АД
незалежно. З цих оцінок у свою чергу можна отримати оцінки взаємної орієн-
тації астродатчиків, а потім використовувати їх при спільній роботі АД.
Для перевірки можливості уточнення розвʼязку з використанням такої схеми
було проведено наступний експеримент. Знову розглядається кластер із трьох од-
нотипних АД з кутом зору 10
FOV
= та максимальною похибкою вимірювань
напрямків на зірки 0,01 .
MEAS
= Є 500K = незалежних вимірювань, і в кож-
ному вимірюванні кількість зірок у полі зору кожного АД дорівнює 3.n = Про
взаємну орієнтацію АД інформація відсутня. Зірки у полі зору АД, а також вели-
чини похибок вимірювань напрямків на зірки розподілені рівномірно. Задача по-
лягає у визначенні інтервальної оцінки матриці, що задає орієнтацію одного АД
(першого) відносно ІСК.
Розвʼязання виконувалося крок за кроком. На кроці 0 оцінок матриць взаєм-
ної орієнтації ВСК астродатчиків немає. Тому для кожного моменту вимірювань
інтервальні оцінки
1 2 3[ ], [ ], [ ]S S S визначалися із трьох незалежних систем, сфор-
мованих із зірок, що потрапили в поле зору АД1, АД 2 і АД3 відповідно. З них
знаходилися оцінки матриць взаємної орієнтації АД, перетин яких по всіх вимі-
рюваннях дав оцінки 21 31 32
1 1 1
[ ] , [ ] , [ ] .S S S
На кожному кроці k ( 1)k виконувалося ітеративне уточнення: інтер-
вальні оцінки
1 2 3[ ], [ ], [ ]S S S для кожного вимірювання визначалися з єдиної
системи, сформованої із зірок, що потрапили в поле зору всіх АД. У праву
частину системи підставлялися поточні значення оцінок взаємної орієнтації
21 31 32[ ] , [ ] , [ ] .
k k k
S S S Знову знаходилися оцінки матриць взаємної орієнтації
АД, і з їхнього перетину по всіх вимірюваннях одержували нові оцінки
21 31 32
1 1 1
[ ] , [ ] , [ ] .
k k k
S S S
+ + +
На рис. 4 наведено результати цього експерименту для випадку розташуван-
ня трійки АД, близького до взаємно ортогонального. Суцільною лінією показано
середню за всіма вимірюваннями сумарну ширину елементів інтервальної матри-
ці 1[ ].S Штриховими лініями з маркерами показано сумарну ширину елементів
інтервальних матриць оцінок взаємної орієнтації астродатчиків кластера. По осі
абсцис відкладено номер кроку описаного алгоритму.
З рис. 4 видно, що перехід від незалежного використання астродатчиків до
спільного (крок 0 — крок 1) у випадку розташування АД у кластері, близького до
ортогонального, дає істотне поліпшення інтервальних оцінок матриць орієнтації.
Також видно, що спроба ітеративного уточнення інтервальних оцінок орієн-
тації за рахунок уточнення взаємної орієнтації АД у кластері (кроки 1 і далі) не
дає суттєвого результату. Поліпшення точності взаємної орієнтації АД спостері-
гається тільки на першій ітерації (крок 1 — крок 2), і воно практично не впливає
на якість інтервальної оцінки орієнтації АД відносно ІСК.
90 ISSN 1028-0979
Рис. 4
Висновок
Інтервальний метод оцінювання орієнтації може використовуватися як
для одного АД при заданих обмеженнях на величину похибки вимірювання
астродатчиком напрямку на зірку, так і для кластера АД при додатково зада-
них обмеженнях на величину похибки взаємної орієнтації астродатчиків у
кластері.
При використанні цього методу результатом є інтервально задані мно-
жини приналежності, які гарантовано містять істинні значення параметрів
орієнтації. Всі точкові значення із цих інтервалів рівноцінні між собою, а
спроба вибору з них однієї найкращої точки призводить до отримання змі-
щених оцінок.
Точність інтервальної оцінки орієнтації визначається сумарною шириною
інтервалів приналежності елементів відповідної матриці повороту. Показано,
що порівняно з одним АД кластер АД може дати точніші інтервальні оцінки,
навіть якщо незмінна взаємна орієнтація АД між собою задається неточно або
взагалі невідома. При цьому якість інтервальних оцінок залежить від кута за-
гального поля зору всіх АД, що одночасно використовуються.
Зібрані в різні моменти часу дані вимірювань всіх АД дають змогу знай-
ти уточнені інтервальні оцінки матриць взаємної орієнтації АД між собою та
використовувати їх при знаходженні орієнтації кластера АД відносно ІСК.
Проте уточнення інтервальних оцінок взаємної орієнтації АД незначне і сла-
бко впливає на точність розвʼязання задачі. Основним фактором, що визначає
точність, залишається число обумовленості матриць, складених із напрямків
на виміряні зірки, що забезпечується вибором взаємного розташування АД у
кластері близьким до взаємно ортогонального.
21[ ]S
31[ ]S
32[ ]S
1[ ]S
10– 2
0 1 2 3 4 5
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 1 91
В.Ф. Губарев, С.В. Мельничук, М.М. Сальніков
МЕТОД ТА АЛГОРИТМИ ОБЧИСЛЕННЯ
ВИСОКОТОЧНОЇ ОРІЄНТАЦІЇ ТА ВЗАЄМНОЇ
ПРИВʼЯЗКИ СИСТЕМ КООРДИНАТ КЛАСТЕРА
АСТРОДАТЧИКІВ КОСМІЧНОГО АПАРАТА
ЗА НЕТОЧНИМИ ВИМІРЮВАННЯМИ
Розглядається задача підвищення точності визначення орієнтації космічного
апарата (КА) за допомогою системи астродатчиків (АД). Запропоновано мето-
ди, що дозволяють використовувати спільне поле зору та уточнення взаємного
становища астродатчиків для підвищення точності визначення орієнтації. Ви-
користання кількох астродатчиків призводить до збільшення кута між напрям-
ками на зірки, що потрапили в поле зору цих астродатчиків, що дозволяє змен-
шити число обумовленості матриць, які використовуються при обчисленні па-
раметрів орієнтації. У роботі розвивається комбінаторний метод інтервального
оцінювання орієнтації КА із довільним числом астродатчиків. Для обчислення
орієнтації астродатчика вирішується лінійна задача інтервального оцінювання
компонентів ортогональної матриці орієнтації для досить великої кількості зі-
рок. Кватерніон орієнтації визначається за умови приналежності відповідної
йому матриці орієнтації отриманим інтервальним оцінкам. Розглядається випа-
док, коли апріорна оцінка взаємної привʼязки астродатчиків може мати похиб-
ку, що порівняна з похибками вимірювання кутових координат зірок або пере-
вищує їх. При неточно заданих матрицях взаємної орієнтації астродатчиків до
похибок вимірювань напрямів на зірки додаються похибки взаємних орієнтацій
астродатчиків, що призводить до розширення інтервалів невизначеності правих
частин системи лінійних алгебраїчних рівнянь, які використовуються для ви-
значення параметрів орієнтації. Запропоновано метод розвʼязання задачі щодо
уточнення взаємної привʼязки внутрішніх систем координат пари датчиків як
самостійної задачі, після якої розв’язується основна задача підвищення точнос-
ті орієнтації КА. В основі методу та алгоритмів розвʼязання такої комплексної
задачі лежать інтервальні оцінки ортогональних матриць орієнтації. Для додат-
кового звуження інтервалів використовують властивість ортогональності мат-
риць орієнтації. Проведене чисельне моделювання дозволило оцінити переваги
та недоліки кожного із запропонованих методів.
V.F. Gubarev, S.V. Melnychuk, N.N. Salnikov
METHOD AND ALGORITHMS FOR CALCULATING
HIGH-PRECISION ORIENTATION AND MUTUAL
BINDING OF COORDINATE SYSTEMS
OF SPACECRAFT STAR TRACKERS CLUSTER
BASED ON INACCURATE MEASUREMENTS
The problem of increasing the accuracy of determining the orientation of a spacecraft
(SC) using a system of star trackers (ST) is considered. Methods are proposed that
make it possible to use a joint field of view and refine the relative position of ST to
improve the accuracy of orientation determination. The use of several star trackers
leads to an increase in the angle between the directions to the stars into the joint field
of view, which makes it possible to reduce the condition number of the matrices used
in calculating the orientation parameters. The paper develops a combinatorial method
for interval estimation of the SC orientation with an arbitrary number of star trackers.
To calculate the ST orientation, a linear problem of interval estimation of the orthog-
onal orientation matrix for a sufficiently large number of stars is solved. The orienta-
tion quaternion is determined under the condition that the corresponding orientation
matrix belongs to the obtained interval estimates. The case is considered when the
a priori estimate of the mutual binding of star trackers can have an error comparable
to or greater than the error in measuring the angular coordinates of stars. With inac-
curately specified matrices of the mutual orientation of the star trackers, the errors in
the mutual orientations of the STs are added to the errors of measuring the directions
92 ISSN 1028-0979
to the stars, which leads to an expansion of the uncertainty intervals of the right-hand
sides of the system of linear algebraic equations used to determine the orientation pa-
rameters. A method is proposed for solving the problem of refining the mutual refer-
ence of the internal coordinate systems of a pair of ST as an independent task, after
which the main problem of increasing the accuracy of spacecraft orientation is
solved. The developed method and algorithms for solving such a complex problem
are based on interval estimates of orthogonal orientation matrices. For additional nar-
rowing of the intervals, the property of orthogonality of orientation matrices is used.
The numerical simulation carried out made it possible to evaluate the advantages and
disadvantages of each of the proposed methods.
REFERENCES
1. Woerkom V., Sonnenschein F. Spacecraft attitude measurement using the ESA starmapper. ESA
J. 1980. 4, N 3. P. 287–294.
2. Захаров А.И., Прохоров М.Г., Тучин М.С., Жуков А.О. Минимальные технические харак-
теристики звездного датчика ориентации, необходимые для достижения заданной погреш-
ности. Астрофизический бюллетень. 2013. 68, № 4. С. 507–520.
3. Wahba G.A. Least squares estimate of spacecraft attitude. SIAM Review. 1965. 7, N 3. P. 409–411.
4. Liebe C.C. Accuracy performance of star trackers: a tutorial. IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst.
2002. 38. P. 587–599.
5. Zakharov A.I., Prokhorov M.E., Tuchin M.S., Zhukov A.O. Minimum star tracker specifications
required to achieve a given attitude accuracy. Astrophys. Bull. 2013. 68. P. 481–493.
6. Fialho M.A.A., Mortari D. Theoretical limits of star sensor accuracy. Sensors. 2019. 19. P. 53–55.
https://doi.org/10.3390/s19245355.
7. Ефименко Н.В. Повышение точности определения ориентации космического аппарата по
звездам путем совместной обработки выходной информации двух астродатчиков. Космічна
наука і технологія. 2014. 20, № 3. С. 22–27.
8. Губарев В.Ф., Мельничук С.В. Комбинаторный метод интервального оценивания ориента-
ции космического аппарата по измерениям астродатчиков. Космічна наука і технологія.
2016. № 6 (103). С. 8–17.
9. Губарев В.Ф., Мельничук С.В. Алгоритмы гарантированного оценивания состояния линей-
ных систем при наличии ограниченных помех. Международный научно-технический жур-
нал «Проблемы управления и информатики». 2015. № 2. С. 26–34.
10. Ефименко Н.В. Взаимная привязка внутренних систем координат астродатчиков в задаче
высокоточного определения ориентации космического аппарата. Космічна наука і техно-
логія. 2013. 19, № 6. С. 12–17.
11. Шарый С.П. Конечномерный интервальный анализ. Новосибирск : XYZ, 2018. 628 c.
(http://www.nsc.ru/interval).
12. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. Новосибирск : Сибирское отделение изд-ва «Наука», 1981.
13. Moore R.E., Kearfott R.B., Cloud M.J. Introduction to interval analysis. Philadelphia : SIAM,
2009.
14. Farrell J.A. Aided navigation. GPS with High Rate Sensors. New York : The McGraw-Hill Com-
panies, 2008. 553 p.
15. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. Москва : Мир, 1999. 548 с.
16. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. Москва : Наука, 1979.
285 с.
17. Davenport P. A vector approach to the algebra of rotations with applications. NASA Technical
Note. D-4696. 1968.
18. Соловьев И.В. Алгоритм «ORIENT» оценки ориентации космического аппарата по астро-
измерениям. Авиакосмическое приборостроение. 2012. № 12. С. 11–19.
19. Соловьев И.В. Алгоритмы оценки ориентации и угловой скорости космического аппарата с
помощью звездного датчика. Авиакосмическое приборостроение. 2013. № 7. С. 10–26.
Отримано 11.01.2022
http://www.nsc.ru/interval
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210867 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-14T04:04:25Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Губарев, В.Ф. Мельничук, С.В. Сальніков, М.М. 2025-12-19T15:07:00Z 2022 Метод та алгоритми обчислення високоточної орієнтації та взаємної прив’язки систем координат кластера астродатчиків космічного апарата за неточними вимірюваннями / В.Ф. Губарев, С.В. Мельничук, М.М. Сальніков // Проблеми керування та інформатики. — 2022. — № 1. — С. 74-92. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210867 681.518.5 10.34229/1028-0979-2022-1-9 Розглядається задача підвищення точності визначення орієнтації космічного апарата (КА) за допомогою системи астродатчиків (АД). Запропоновано методи, що дозволяють використовувати спільне поле зору та уточнення взаємного становища астродатчиків для підвищення точності визначення орієнтації. The problem of improving the accuracy of spacecraft (SC) orientation determination using a star tracker (ST) system is considered. Methods are proposed that allow the use of a common field of view and refinement of the relative position of the star trackers to improve orientation determination accuracy. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Космічні інформаційні технології та системи Метод та алгоритми обчислення високоточної орієнтації та взаємної прив’язки систем координат кластера астродатчиків космічного апарата за неточними вимірюваннями Method and algorithms for high-precision orientation and mutual reference of coordinate systems of the cluster of star trackers on a spacecraft based on inaccurate measurements Article published earlier |
| spellingShingle | Метод та алгоритми обчислення високоточної орієнтації та взаємної прив’язки систем координат кластера астродатчиків космічного апарата за неточними вимірюваннями Губарев, В.Ф. Мельничук, С.В. Сальніков, М.М. Космічні інформаційні технології та системи |
| title | Метод та алгоритми обчислення високоточної орієнтації та взаємної прив’язки систем координат кластера астродатчиків космічного апарата за неточними вимірюваннями |
| title_alt | Method and algorithms for high-precision orientation and mutual reference of coordinate systems of the cluster of star trackers on a spacecraft based on inaccurate measurements |
| title_full | Метод та алгоритми обчислення високоточної орієнтації та взаємної прив’язки систем координат кластера астродатчиків космічного апарата за неточними вимірюваннями |
| title_fullStr | Метод та алгоритми обчислення високоточної орієнтації та взаємної прив’язки систем координат кластера астродатчиків космічного апарата за неточними вимірюваннями |
| title_full_unstemmed | Метод та алгоритми обчислення високоточної орієнтації та взаємної прив’язки систем координат кластера астродатчиків космічного апарата за неточними вимірюваннями |
| title_short | Метод та алгоритми обчислення високоточної орієнтації та взаємної прив’язки систем координат кластера астродатчиків космічного апарата за неточними вимірюваннями |
| title_sort | метод та алгоритми обчислення високоточної орієнтації та взаємної прив’язки систем координат кластера астродатчиків космічного апарата за неточними вимірюваннями |
| topic | Космічні інформаційні технології та системи |
| topic_facet | Космічні інформаційні технології та системи |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210867 |
| work_keys_str_mv | AT gubarevvf metodtaalgoritmiobčislennâvisokotočnoíoríêntacíítavzaêmnoíprivâzkisistemkoordinatklasteraastrodatčikívkosmíčnogoaparatazanetočnimivimírûvannâmi AT melʹničuksv metodtaalgoritmiobčislennâvisokotočnoíoríêntacíítavzaêmnoíprivâzkisistemkoordinatklasteraastrodatčikívkosmíčnogoaparatazanetočnimivimírûvannâmi AT salʹníkovmm metodtaalgoritmiobčislennâvisokotočnoíoríêntacíítavzaêmnoíprivâzkisistemkoordinatklasteraastrodatčikívkosmíčnogoaparatazanetočnimivimírûvannâmi AT gubarevvf methodandalgorithmsforhighprecisionorientationandmutualreferenceofcoordinatesystemsoftheclusterofstartrackersonaspacecraftbasedoninaccuratemeasurements AT melʹničuksv methodandalgorithmsforhighprecisionorientationandmutualreferenceofcoordinatesystemsoftheclusterofstartrackersonaspacecraftbasedoninaccuratemeasurements AT salʹníkovmm methodandalgorithmsforhighprecisionorientationandmutualreferenceofcoordinatesystemsoftheclusterofstartrackersonaspacecraftbasedoninaccuratemeasurements |