Параметричний синтез цифрового стабілізатора системи курсової стійкості автомобіля-паливозаправника
Незадовільний стан дорожнього покриття вітчизняних автомобільних магістралей у сукупності з невисокою технічною якістю вітчизняних автотранспортних засобів призводить до високої аварійності на дорогах. Особливо тяжкі наслідки маємо після аварій з участю великогабаритних автомобілів, оснащених цистер...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2022 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2022
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210876 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Параметричний синтез цифрового стабілізатора системи курсової стійкості автомобіля-паливозаправника / Є.Є. Александров, Т.Є. Александрова, Я.Ю. Моргун // Проблеми керування та інформатики. — 2022. — № 2. — С. 69-91. — Бібліогр.: 38 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859798612922335232 |
|---|---|
| author | Александров, Є.Є. Александрова, Т.Є. Моргун, Я.Ю. |
| author_facet | Александров, Є.Є. Александрова, Т.Є. Моргун, Я.Ю. |
| citation_txt | Параметричний синтез цифрового стабілізатора системи курсової стійкості автомобіля-паливозаправника / Є.Є. Александров, Т.Є. Александрова, Я.Ю. Моргун // Проблеми керування та інформатики. — 2022. — № 2. — С. 69-91. — Бібліогр.: 38 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Незадовільний стан дорожнього покриття вітчизняних автомобільних магістралей у сукупності з невисокою технічною якістю вітчизняних автотранспортних засобів призводить до високої аварійності на дорогах. Особливо тяжкі наслідки маємо після аварій з участю великогабаритних автомобілів, оснащених цистернами об՚ємом 20–22 м3, в яких транспортується паливо та агресивні рідкі хімічні речовини. Розглядається проблема створення на автомобілях-паливозаправниках систем курсової стійкості з цифровим стабілізатором, що забезпечує високу точність стабілізації корпусу автомобіля в режимі екстреного гальмування завдяки використанню стабілізатором алгоритмів безплатформених інерціальних систем, а також вибору визначених значень варійованих параметрів стабілізатора. Математична модель збуреного руху об՚єкта стабілізації враховує коливання вільної поверхні рідини, що транспортується. Це дозволило дослідити вплив коливань на область стійкості замкненої системи стабілізації і відповідним чином обрати область допустимих значень варійованих параметрів, які забезпечують мінімум адитивного інтегрального квадратичного функціонала. Ця обчислювальна процедура представляє собою комбінацію двох методів оптимізації — скануючої сітки Соболя для пошуку зони глобального мінімуму і Нелдера–Міда, що реалізується програмним продуктом «Optimization Toolbox» пакета MathLAB. Процедура паралельно з чисельним рішенням задачі оптимізації здійснює вибір значень вагових коефіцієнтів адитивного функціонала. В результаті рішення задачі параметричного синтезу отримані значення варійованих параметрів цифрового стабілізатора, які забезпечують високу точність стабілізації корпусу автомобіля-паливозаправника відносно заданої траєкторії руху в режимі термінового гальмування.
The unsatisfactory condition of the road surface on domestic highways, combined with the low technical quality of domestic vehicles, leads to high accident rates on the roads. Particularly severe consequences arise from accidents involving large vehicles equipped with 20–22 m³ tanks transporting fuel and aggressive liquid chemicals. The problem of creating steering stability systems with a digital stabilizer on fuel tanker trucks is considered. These systems ensure high accuracy in stabilizing the vehicle's body during emergency braking by using platform-free inertial systems and selecting specific values for the variable parameters of the stabilizer.
|
| first_indexed | 2026-03-16T06:22:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Є.Є. АЛЕКСАНДРОВ, Т.Є. АЛЕКСАНДРОВА, Я.Ю. МОРГУН, 2022
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 2 69
КЕРУВАННЯ СИСТЕМАМИ З РОЗПОДІЛЕНИМИ
ПАРАМЕТРАМИ, МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
УДК 629.3.017.5
Є.Є. Александров, Т.Є. Александрова, Я.Ю. Моргун
ПАРАМЕТРИЧНИЙ СИНТЕЗ ЦИФРОВОГО
СТАБІЛІЗАТОРА СИСТЕМИ КУРСОВОЇ СТІЙКОСТІ
АВТОМОБІЛЯ-ПАЛИВОЗАПРАВНИКА
Александров Євген Євгенович
Харківський національний автомобільно-дорожній університет,
aleksandrov.ye.ye@gmail.com
Александрова Тетяна Євгенівна
Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут»,
Tetiana.Aleksandrova@khpi.edu.ua
Моргун Ярослав Юрійович
Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут»,
Yaroslav.Morhun@khpi.edu.ua
Незадовільний стан дорожнього покриття вітчизняних автомобільних магістралей у
сукупності з невисокою технічною якістю вітчизняних автотранспортних засобів
призводить до високої аварійності на дорогах. Особливо тяжкі наслідки маємо після
аварій з участю великогабаритних автомобілів, оснащених цистернами об՚ємом
20–22 м3, в яких транспортується паливо та агресивні рідкі хімічні речовини. Розг-
лядається проблема створення на автомобілях-паливозаправниках систем курсової
стійкості з цифровим стабілізатором, що забезпечує високу точність стабілізації ко-
рпусу автомобіля в режимі екстреного гальмування завдяки використанню стабілі-
затором алгоритмів безплатформених інерціальних систем, а також вибору визна-
чених значень варійованих параметрів стабілізатора. Математична модель збурено-
го руху об՚єкта стабілізації враховує коливання вільної поверхні рідини, що
транспортується. Це дозволило дослідити вплив коливань на область стійкості замк-
неної системи стабілізації і відповідним чином обрати область допустимих значень
варійованих параметрів, які забезпечують мінімум адитивного інтегрального квад-
ратичного функціонала. Ця обчислювальна процедура представляє собою комбіна-
цію двох методів оптимізації — скануючої сітки Соболя для пошуку зони глобаль-
ного мінімуму і Нелдера–Міда, що реалізується програмним продуктом «Opti-
mization Toolbox» пакета MathLAB. Процедура паралельно з чисельним рішенням
задачі оптимізації здійснює вибір значень вагових коефіцієнтів адитивного функці-
онала. В результаті рішення задачі параметричного синтезу отримані значення варі-
йованих параметрів цифрового стабілізатора, які забезпечують високу точність ста-
білізації корпусу автомобіля-паливозаправника відносно заданої траєкторії руху в
режимі термінового гальмування.
Ключові слова: система курсової стійкості автомобіля, цифровий стабілізатор,
варійовані параметри, багатомірна оптимізація динамічних систем.
Вступ
Бойові дії на території України, що ведуться в умовах високої щільності мир-
ного населення, а також в умовах критичного стану доріг та під՚їзних шляхів,
70 ISSN 1028-0979
спрямованих до складів бойового забезпечення та бойових позицій військ проти-
борчих сторін, характеризуються аваріями великогабаритних автомобілів, облад-
наних цистернами з паливом для бойових гусеничних та колісних машин, а також
для міні-електростанцій, що забезпечують електроенергією бойові позиції війсь-
ковослужбовців армії України, зрідженим газом та питною водою мирне населен-
ня, життєдіяльність якого часто безпосередньо близька до місця проведення бойо-
вих дій. Причиною аварійності таких автомобілів, яка разом з обстрілами може
бути причиною втрат військовослужбовців та цивільного населення, є втрата кур-
сової стійкості під час руху зруйнованими дорогами та бездоріжжям, особливо
при екстреному гальмуванні за появи на шляху непередбачених перешкод.
На сучасних автомобілях широко використовуються системи автоматичного
управління гальмами, зокрема антиблокувальна система (Anti-Lock Braking Sys-
tem — ABS), яка запобігає блокуванню коліс при різкому натисканні на педаль
гальма. ABS постійно підтримує стійкість напрямку руху автомобіля в процесі галь-
мування, проте точність підтримки курсової стійкості може виявитися недостат-
ньою. У цьому випадку на сучасних легкових автомобілях представницького кла-
су, вироблених провідними автомобільними корпораціями світу, використову-
ються системи курсової стійкості VSC (Vehicle Stability Control) [1–4], що містять
електронні системи розподілу гальмівних зусиль EBD (Electronic Brake
Distribution) [5–7]. Система VSC функціонує в комплексі з системою ABS і дозво-
ляє більш ефективно розподілити гальмівні зусилля на колесах з метою підви-
щення керованості і стійкості руху автомобіля в процесі екстреного гальмування.
В останні роки з՚явилися великогабаритні автомобілі-паливозаправники,
оснащені цистернами об՚ємом 20–22 м
3
, зокрема український паливозаправник
КрАЗ-63221 з цистерною в 20 м
3
. Досвід експлуатації паливозаправника свідчить
про те, що вимушені коливання вільної поверхні палива в цистерні помітно впли-
вають на динаміку руху автомобіля при екстреному гальмуванні, зокрема і на
його курсову стійкість. Установка в цистерні поперечних перегородок з метою
ослаблення дії коливань палива на динаміку автомобіля призводить лише до
підвищення стабільності значення уповільнення в процесі екстреного гальму-
вання і до зменшення гальмівного шляху автомобіля [8, 10], але не впливає на
його курсову стійкість. Отже, автомобілі-паливозаправники повинні містити
систему курсової стійкості (VSC) з електронним розподільником гальмівних
зусиль (EBD).
EBD, які застосовуються на легкових автомобілях представницького класу,
що експлуатуються в умовах розгалужених мереж автобанів та автомобільних до-
ріг покриття, використовують блоки чутливих елементів, що містять датчики ку-
тових швидкостей коліс автомобіля та допплерівські датчики швидкості руху цен-
тру мас [11–15]. У складних дорожніх умовах, коли система ABS не може забез-
печити якісне розблокування коліс у процесі екстреного гальмування, така
структура EBD не може задовольнити високим вимогам точності стабілізації кор-
пусу автомобіля щодо заданого напрямку. В цьому випадку в EBD необхідно ви-
користовувати інерційні системи орієнтації корпусу автомобіля, що пропонується
в роботах [16, 17], де викладено алгоритми обчислення бортовою цифровою об-
числювальною машиною (БЦОМ) параметрів збуреного руху автомобіля в проце-
сі екстреного гальмування, а саме, кута відхилення ( )t власної поздовжньої осі
автомобіля 1O x відносно заданого напрямку руху ,OX кутової швидкості пово-
роту корпуса автомобіля ( ) ( )z t t = відносно власної вертикальної осі ,OZ а
також бічного зміщення центру мас автомобіля ( )y t відносно осі OY інерційної
системи координат OXYZ (рис. 1).
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 2 71
Рис. 1
В основу алгоритмів, викладених у роботах [16, 17], закладено основи те-
орії безплатформових інерційних систем (БІНС) [18, 19], відповідно до якої
блок чутливих елементів (БЧЕ) системи VSC містить три вимірювачі кутових
швидкостей і три акселерометри, осі чутливості яких збігаються за напрямком
з трьома головними центральними осями інерції автомобіля, а також доппле-
рівський датчик швидкості руху центру мас автомобіля. Вихідні сигнали БЧЕ
подаються на входи цифрового блоку EBD, що є послідовним з՚єднанням
БЦОМ і електрогідравлічного підсилювача (ЕГП). БЦОМ перетворює аналого-
ві сигнали з виходу БЧЕ ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ),X Y Z X Y Zt t t w t w t w t та ( )t у решіт-
часті функції [ ], [ ], [ ], [ ], [ ], [ ]X Y Z X Y ZnT nT nT w nT w nT w nT та [ ],nT що по-
даються на входи цифрових низькочастотних фільтрів Баттерворта з метою
фільтрації високочастотних перешкод, обумовлених власною динамікою чут-
ливих елементів та вібраціями корпусу автомобіля. Відфільтровані сигнали
[ ], [ ], [ ], [ ], [ ], [ ]X Y Z X Y ZnT nT nT w nT w nT w nT та [ ]nT подаються на входи
блоку алгоритмів БІНС, з виходу якого сигнали [ ], [ ]ZnT nT и [ ]y nT подають-
ся до входів блоку формування алгоритму управління, вихідний сигнал якого у
вигляді решітчастої функції
[ ] [ ] [ ] [ ]Z yu nT k nT k nT k y nT = + + (1)
подається на вхід перетворювача «код-аналог» БЦОМ, де перетворюється на кус-
ково-постійну функцію
[ ], ( 1) ;
( )
[( 1) ], ( 1) ( 2) .
u nT nT t n T
u t
u n T n T t n T
+
=
+ + +
(2)
Кусково-постійна функція (2) подається на обмотку управління ЕГП, гід-
равлічно пов՚язаного з гальмівними магістралями правого та лівого бортів ав-
томобіля.
Мета даної роботи — відшукати чисельні значення варійованих параметрів циф-
рового стабілізатора (1) системи VSC автомобіля-паливозаправника , , ,yk k k що
забезпечують високоточну стабілізацію корпуса автомобіля щодо заданого на-
прямку в режимі екстреного гальмування.
x
y
(t)
O
X
Y
V(t)
x(t)
L
O1
O2
y(t)
72 ISSN 1028-0979
Математична модель збуреного руху автомобіля-паливозаправника
в режимі екстреного гальмування
Особливістю автомобілів-паливозаправників є відносно велика маса палива,
що транспортується, в порівнянні з власною вагою автомобіля. Так, власна маса
паливозаправника КрАЗ-63231 складає близько 11000 кг, а маса перевезеного в
цистерні палива досягає 18000 кг. Природно, що коливання вільної поверхні, ви-
кликані екстреним гальмуванням, значно впливають на курсову стійкість автомо-
біля [10]. Задача оцінки впливу коливань рідини на рух об՚єкта з порожнинами,
що містять рідину, поставлена М.М. Моїсеєвим у 1952 році і згодом вирішена ним
спільно з В.В. Румянцевим [21]. Внесок у вирішення даної задачі зробили
Г.С. Нариманов [22, 23], Д.Є. Охоцимський [24] і С.В. Черемних [25].
Ці роботи носять, швидше, академічний, ніж прикладний характер, і спроба
використовувати їх результати в процесі проектування, наприклад ракети-носія
Р-16, не увінчалася успіхом. Тільки розробка фахівцями НДІ-88 Б.І. Рабиновичем
і Г.Н. Мікішевим методу парціальних осциляторів [26] дозволила впровадити в
інженерну практику методику параметричного синтезу стабілізаторів динамічних
об՚єктів з порожнинами, що містять рідину. З використанням методу парціальних
осциляторів розроблено математичну модель низькочастотних коливань вільної
поверхні рідини в горизонтальній цистерні [27]. Адекватність моделі підтверджена
експериментальними дослідженнями, результати яких наведені в [28]. І, нарешті, в
роботі [29] приведено розроблену авторами математичну модель збуреного руху
автомобіля-паливозаправника в режимі екстреного гальмування:
0
1
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( );
n
a k k c
k
M h t k p t m x t F t
=
= − − − (3)
1
( ) ( ) ( ) {[ ( )] ( ) ( )} ( );
2 l
m
a c l n l c l c
l
B
I h t k p t f m L H h y t f gy t M t
=
= − + − + − + (4)
( ) ( ) ( );y t t t= − (5)
2( ) ( ) ( ) ( ); ( 1, );k k k k kx t x t x t t k n+ + = − = (6)
2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); ( 1, );l l l ly t y t y t t t L t l m+ + = − − = (7)
( ) ( ) ( ) ( ).k k k ul p t f p t c p t k u t + + = (8)
Тут ( )t — поточна швидкість центру мас автомобіля; ( )t — кутове відхилення
власної поздовжньої осі автомобіля щодо заданого напрямку руху в процесі екстре-
ного гальмування; ( )y t — бічний зсув центру мас автомобіля щодо заданої траєк-
торії руху; 0( )p t — тиск робочого тіла гальмівної системи автомобіля (гальмівної
рідини або повітря) на виході головного гальмівного циліндра; ( )p t — різниця
тисків робочого тіла в гальмівних магістралях правого і лівого бортів автомобіля;
( )u t — керуючий вплив (2), що формується блоком EBD у вигляді алгоритму (1);
( ), ( 1, )kx t k n= — поздовжні зміщення центрів мас парціальних осциляторів від-
носно вертикальної осі цистерни, що описують перші k форм поздовжніх коли-
вань рідини в цистерні; ( ), ( 1, )ly t l m= — поперечні зміщення центрів мас парціа-
льних осциляторів відносно вертикальної осі цистерни, що описують перші l
форм поперечних коливань рідини в цистерні; , ( 1, ); ( 1, )k lm k n m l m= = — маси
парціальних осциляторів, які визначаються співвідношеннями:
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 2 73
2 2
2 ( )
( 1, );
( 0,5)
x
k
k x
k
th h
m m k n
h k
= =
−
2 2
2 ( )
( 1, );
( 0,5)
x
l
l x
l
th h
m m l m
h l
= =
−
m — маса рідини в цистерні; h — рівень рідини в цистерні при відсутності ко-
ливань; , ( 1, ); , ( 1, )x x
k lk n l m = = — хвильові числа для поздовжніх і поперечних
коливань рідини:
(2 1)
(1 ) , ( 1, );x
k x
k
n k n
a
−
= + =
(2 1)
(1 ) , ( 1, );x
l y
l
n l m
b
−
= + =
xn — кількість поперечних перегородок в цистерні; yn — кількість поздовжніх
перегородок; ,a b — довжина і ширина цистерни відповідно; , ( 1, );k k n = ,l
( 1, )l m= — коефіцієнти дисипації парціальних осциляторів:
, ( 1, ); , ( 1, );k k l l
f f
k n l m
= = = =
f — логарифмічний декремент загасання коливань рідини; ,k ( 1, );k n= ,l
( 1, )l m= — власні частоти парціальних осциляторів:
( ) , ( 1, );x x
k k kg th h k n = =
( ) , ( 1, );x x
l l lg th h l m = =
L — відстань між центром мас автомобіля і вертикальною віссю цистерни;
( )aM h — маса автомобіля з паливом, що транспортуються; ( )aI h — момент інер-
ції автомобіля з паливом, що транспортуються, відносно його власної вертикаль-
ної осі; nH — відстань від поверхні дорожнього покриття до днища цистерни;
lh — відстань від днища цистерни до центру мас l-го парціального осцилятора:
2
; ( 1, );
y
l
l y
l
h
th
h h l m
= − =
( )cF t — сила опору руху автомобіля:
( ) ;c c aF t f M g
cf — приведене значення коефіцієнта опору коченню всіх коліс автомобіля; g —
прискорення сили тяжіння; ( )cM t — момент опору повороту:
( ) 2 ( ) ( ) ( );c m a c cM t H M f t t M t= +
74 ISSN 1028-0979
( )cM t — момент, що розвертає, обумовлений різними властивостями поверхні
руху по правому і лівому бортах автомобіля; mH — відстань від поверхні дорож-
нього покриття до центру мас автомобіля; kI — момент інерції коромисла елект-
ромагніту ЕГП; kf — коефіцієнт рідинного тертя в осі коромисла; kc — коефіці-
єнт жорсткості, фіксуючої пружини електромагніту; uk — коефіцієнт посилен-
ня ЕГП.
Диференціальні рівняння (3)–(8) у сукупності зі співвідношеннями (1), (2) ут-
ворюють математичну модель збуреного руху замкнутої цифрової системи курсо-
вої стійкості автомобіля.
У роботах [10], [29] на основі аналізу математичної моделі (1)–(8) зроблено
такі висновки:
● поздовжні коливання палива в цистерні автомобіля-паливозаправника
практично не впливають на його курсову стійкість;
● істотний вплив на курсову стійкість паливозаправника надає лише перша
форма поперечних коливань палива в цистерні;
● поперечні перегородки, зазвичай встановлені в цистерні паливозаправника,
практично не впливають на його курсову стійкість;
● підвищення курсової стійкості автомобіля-паливозаправника може бути до-
сягнуто, по-перше, установкою поздовжніх перегородок в цистерні і, по-друге,
використанням високоефективних систем курсової стійкості, що забезпечують
високоточну стабілізацію корпусу автомобіля щодо заданого напрямку руху в
процесі екстреного гальмування.
Вирішення задачі параметричного синтезу цифрового стабілізатора
Сформульовані вище висновки дозволяють значно спростити математичну
модель збуреного руху об՚єкта стабілізації (2)–(8), обмежуючись в ній лише пер-
шим тоном поперечних коливань вільної поверхні рідини, що транспортується, і
нехтуючи впливом поздовжніх коливань, з огляду на їх незначний вплив на кур-
сову стійкість автомобіля. Крім того, припустимо, що екстрене гальмування здій-
снюється на поверхні з незмінними характеристиками, тобто const,cf = а тиск
робочого тіла в головному гальмівному циліндрі постійний і дорівнює максима-
льному значенню 0 0max( ) .p t p= У цьому випадку екстрене гальмування для да-
ної поверхні здійснюється з максимальним негативним прискоренням ( ) ,x t a= −
а поточна швидкість автомобіля змінюється відповідно до формули
0( ) ,t at = − (9)
де 0 — швидкість на початку процесу гальмування.
У результаті припущень математична модель збуреного руху об՚єкта стабілі-
зації зводиться до виду
1 1 0
2
1 1 1 1 1 0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0;
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0;
( ) ( ) ( ) ( );
( ) ( ) ( ),
p y y
pp pp u
t a h p t a h y t a h y t a h at t
y t y t y t at t L t
p t a p t a p t k u t
y t at t
+ − − + − =
+ + + − + =
+ + =
= − −
(10)
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 2 75
де
( ) ;
2 ( )
p
a
Bk
a h
I h
=
1
1( ) [ ( )];
( )
c
y n
a
f m
a h L H h
I h
= − +
1( ) ;
( )
c
y
a
f m
a h g
I h
=
2 ( )
( ) ;
( )
c m a
a
f H M h
a h
I h
=
;k
pp
k
f
a
I
=
;k
pp
k
c
a
I
=
.u
u
k
k
k
I
=
Математичну модель (10) представимо в нормальній формі Коші, для цього
перші два рівняння запишемо так:
22
1
1 02 2
22
21 1
1 1 1 02 2
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
; ( ) ( ) .
( )
y p p
a
a
d y td t d t
a h a h p t a h y t a h at
dtdt dt
M t d y t dy td t d t
L y t at
I t dt dtdt dt
− = − + − − +
+ + = − − − −
(11)
Вирішимо систему (11) відносно старших похідних:
2
1
1
1
1
2
1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 ( ) 1 ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( );
1 ( ) 1 ( )
( )1 ( )
( ) ( ) ( )
1 ( )
y y y
y y
y y
c
y y
y
y
a h a h a h a h
t at t y t
La h La h
a h a h
y t p t m h
La h La h
La hLa h
y t at t
La h
+ −
= − − − −
+ +
− − +
+ +
+ −
= − − −
+
1
1
1
( )
1 ( )
( )
( ) ( ),
1 ( ) 1 ( )
y
p
y y
y t
La h
La h
y t p t
La h La h
−
+
− +
+ +
(12)
де ( )cm h визначається залежністю
( )
( , ) .
( )[1 ( )]
c
c
a y
M t
m t h
I h La t
=
+
76 ISSN 1028-0979
Диференціальні рівняння (12) разом з двома останніми рівняннями (10) утво-
рюють математичну модель збуреного руху об՚єкта стабілізації.
Введемо поняття вектора стану об՚єкта стабілізації:
1
2
3 1
4 1
5
6
7
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x t t
x t t
x t y t
x tX t y t
x t p t
x t p t
x t y t
= =
.
Математичну модель збуреного руху об՚єкта стабілізації запишемо в норма-
льній формі Коші:
1 2
2 0 2 3 4 5
3 4
4 0 2 3 4 5
5 6
6 5 6
( ) ( );
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( );
( ) ( );
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( );
( ) ( );
( ) ( ) (
y y p c
y yy y y yp
pp pp
x t x t
x t b h at x t b h x t b h x t b h x t m h
x t x t
x t b h at x t b h x t b h x t b h x t
x t x t
x t a x t a x
=
= − − − − − +
=
= − − − − +
=
= − −
7 0 1
) ( );
( ) ( ) ( ).
ut k u t
x t at x t
+
= − −
(13)
У рівняннях (13) прийнято такі позначення:
2
1
1
2
1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ; ( ) ;
1 ( ) 1 ( )
( ) ( )
( ) ; ( ) ;
1 ( ) 1 ( )
( )1 ( )
( ) ; ( ) ;
1 ( ) 1 ( )
y y y
y
y y
y p
y p
y y
y
y yy
y y
yy
a h a h a h a h
b h b h
La h La h
a h a h
b h b h
La h La h
La hLa h
b h b h
La h La h
b
+ −
= =
+ +
= =
+ +
+ −
= =
+ +
1
( )
( ) ; ( ) .
1 ( ) 1 ( )
p
yp
y y
La h
h b h
La h La h
= =
+ +
У нових позначеннях алгоритм стабілізації (1) записується
1 2 7[ ] [ ] [ ] [ ].yu nT k x nT k x nT k x nT = + + (14)
Алгоритмічний метод параметричного синтезу цифрового стабілізатора для
нестаціонарного об՚єкта в узагальненій формі викладено в роботі [30]. У стат-
ті [31] метод використаний для вирішення завдання параметричного синтезу ви-
сокоточного цифрового стабілізатора танкової гармати, а в [32] — для вирішення
завдання синтезу стабілізатора космічної ступені ракети-носія з рідинним реактив-
ним двигуном на активній ділянці траєкторії польоту.
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 2 77
Точність стабілізації корпусу автомобіля-паливозаправника в режимі екстре-
ного гальмування кількісно оцінюватимемо значенням інтегрального квадратич-
ного функціонала, що обчислюється на рішеннях замкнутої системи (13), (14) і
містить «головні узагальнені координати» вектора стану ( ),X t під якими будемо
розуміти ті компоненти вектора ( ),X t які найбільшою мірою характеризують ди-
намічні властивості об՚єкта [33]. У даній системі курсової стійкості автомобіля
«головними» координатами є 1 2 7( ) ( ); ( ) ( ); ( ) ( ),t x t t x t y t x t = = = а інтегральний
адитивний функціонал записується у вигляді
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 7
0
[ ( ) ( ) ( )] ,I x t x t x t dt
= + + (15)
де
2 2
1 2, та
2
3 — вагові коефіцієнти функціонала (15), що підлягають вибору.
Вирішення завдання параметричного синтезу цифрового стабілізатора систе-
ми VSC полягає в знаходженні значень варійованих параметрів ,K K та ,yK
що доставляють на рішеннях замкнутої системи (13), (14) мінімум інтегральному
квадратичному функціоналу (15).
Адитивний функціонал (15) представимо у вигляді
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 7
0 0 0
( ) ( ) ( ) .I x t dt x t dt x t dt
= + + (16)
Функціонали
2 2 2
1 1 2 2 3 3
0 0 0
( ) ; ( ) ; ( )I x t dt I x t dt I x t dt
= = = (17)
назвемо частинними функціоналами. Тоді вагові коефіцієнти адитивного функці-
онала (16) визначаються співвідношеннями [34]:
1max
1 2 2 2
* 1max 2max 7 max
1 * * *
1 2 3
2max
2 2 2 2
* 1max 2max 7 max
2 * * *
1 2 3
7 max
3 2 2 2
* 1max 2max 7 max
3 * * *
1 2 3
;
;
,
x
x x x
I
I I I
x
x x x
I
I I I
x
x x x
I
I I I
=
+ +
=
+ +
=
+ +
(18)
де 1max 2max 7max, ,x x x — максимальні значення головних координат у процесі,
що стабілізується; * * *
1 2 3, ,I I I — мінімальні значення частинних функціоналів (17),
отримані при мінімізації кожного з них.
Для використання відомих чисельних методів оптимізації приватних функці-
оналів (17), а потім і адитивного функціонала (16) у просторі параметрів стабілі-
затора, що варіюються, ,k k та ,yk необхідно вибрати область допустимих
значень ,KG яка є областю стійкості замкнутої системи (13), (14). Зрозуміло, що
область KG залежить від рівня заповнення цистерни паливом h і початкової
швидкості процесу екстреного гальмування 0.
78 ISSN 1028-0979
Замкнена система (13), (14) двоконтурна. Внутрішній контур реалізує алго-
ритм стабілізації за кутом відхилення ( )t та кутової швидкості ( ) ( ) :Z t t =
1 2[ ] [ ] [ ],u nT k x nT k x nT = + (19)
а зовнішній контур — алгоритм стабілізації з бокового зміщення центру мас ( )y t
7[ ] [ ].y yu nT k x nT= (20)
Розглянемо роботу розімкнутої за зовнішнім контуром системи VSC, для
цього із системи (13) видалимо останнє рівняння, а в співвідношенні (14) покла-
демо 0.yk =
Оскільки система диференціальних рівнянь (13) нестаціонарна, то для побу-
дови області KG скористаємося методом «заморожених коефіцієнтів», поклав-
ши значення поточної швидкості гальмування у кожний момент часу постійним
та рівним
0 ,r at = −
де [0, ], ( 0, ),rt r q = — фіксовані моменти часу в інтервалі екстреного гальму-
вання. В результаті математична модель збуреного руху системи, розімкнутої за
зовнішнім контуром у кожен з моментів , ( 0, ),rt r q= набуває вигляду
1 2
2 2 3 4 5
3 4
4 2 3 4 5
5 6
6 5 6
( ) ( );
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( );
( ) ( );
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( );
( ) ( );
( ) ( ) ( ) ( ).
r y y p c
y r yy yy yp
pp pp u
x t x t
x t b h x t b h x t b h x t b h x t m h
x t x t
x t b h x t b h x t b h x t b h x t
x t x t
x t a x t a x t k u t
=
= − − − − +
=
= − − − +
=
= − − +
(21)
Запишемо систему (21) у векторно-матричній формі
( ) ( ) ( ) ( ),X t A h X t BU t= + (22)
де матриці A та B рівні:
0 1 0 0 0 0 0
0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0
0 0 0 1 0 0 0
( ) ;
0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0
r y y p
y r yy yy r yp
pp pp u
b h b h b h b h
A h B
b h b h b h b h
a a k
− − − −
= =
− − −
− −
.
Різницеве векторно-матричне рівняння, що пов՚язує початковий стан систе-
ми (22) [ ]X nT з її кінцевим станом [( 1) ]X n T+ на кожному періоді дискретності,
має такий вигляд [35]:
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 2 79
[( 1) ] ( ) [ ] ( ) [ ],X n T h X nT H h U nT+ = + (23)
де матриці s та ( )H h визначаються нескінченним матричними рядами:
0
1
( ) ( ) ;
!
i i
i
h A h T
i
=
= (24)
1
0
1
( ) ( ) .
( 1)!
i i
i
H h A h T B
i
+
=
=
+
(25)
Алгоритм (19) запишемо
[ ] [ ],U nT KX nT = (26)
де матриця K становить собою матрицю-рядок
[ 0 0 0 0].K k k =
Підставимо (26) у праву частину рівняння (23):
[( 1) ] [ ( ) ( ) ] [ ].X n T h H h K X nT+ = + (27)
Кількість членів матричних рядів (24) і (25), що враховуються, визначаються
величиною періоду квантування T цифрового стабілізатора. У сучасних БЦОМ,
що використовуються на транспортних засобах, ця величина зазвичай складає
(0,001 0,002)T = с, тому з достатнім ступенем точності можна покласти
( ) ( ) ; .h E A h T H BT = + = (28)
Підставимо співвідношення (28) у праву частину рівняння (27):
[( 1) ] [ ( ) ] [ ].X n T E A h T BKT X nT+ = + + (29)
Запишемо характеристичне рівняння дискретної системи VSC із розімкненим
зовнішнім контуром:
det[ (1 ) ( ) ] 0E z A h T BKT− + + = (30)
або
1 0 0 0 0
0 (1 ) 0
0 0 1 0 0
0.
0 (1 ) 0
0 0 0 0 1
0 0 (1 )
r p y p
y r yy yy yp
u u pp pp
z T
z b T b T b T b T
z T
b T b T z b T b T
z T
k k T k k T a T z a T
−
− − − − −
−
=
− − − −
−
− − −
(31)
Розкриваючи визначник (31), отримуємо характеристичне рівняння розімкну-
тої за зовнішнім контуром системи VSC:
6 5 4 3 3
1 2 3 31(1 ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( )z z A h z A h z A h z A h k− − − + − − − − − +
80 ISSN 1028-0979
2 2 2
4 41 42 5(1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( )z A h z A h k z A h k z A h + − + − + − − − −
51 52 6(1 ) ( ) (1 ) ( ) ( ) 0.z A h k z A h k A h k − − − − + = (32)
Запишемо коефіцієнти рівняння (32):
1 ;( ) ( )[ ( ) ]pp ryyA a b b Th h h = + +
2
2
( )
[( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( )] ;yy r y y r pp yy pp r pp yy
A h
b h b h b h b h a b h a b h a b h
=
= − + + + +
3
3
( ) { [( ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( )]
( )[ ( ) ] ( ) ( )} ;
pp yy y y r pp r yy
yy pp r y y
A h a b h b h b h b h a b h b h
b h a b h b h b h T
= − + + +
+ + −
3
31( ) ( ) ;p uA h b h k T=
4
4
( ) { [ ( ) ( ) ( ) ( )]
( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] } ;
pp yy y y r
yy pp yy y y r
A h a b h b h b h b h
b h a b h b h b h b h T
= − +
+ + −
4
41( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ;y yp yy p uA h b h b h b h b h k T = +
4
42 ( ) ( ) ;p uA h b h k T=
5
5( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ;yy y y rA h b h b h b h b h T = −
5
51( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ;y yp yy p uA h b h b h b h b h k T = +
5
52 ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ;y yp yy p uA h b h b h b h b h k T = +
6
6 ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] .y yp yy p uA h b h b h b h b h k T = +
У характеристичному рівнянні (32) від комплексної величини z за допомогою
лінійного перетворення
1
1
w
z
w
+
=
−
(33)
перейдемо до комплексної величини w. Нове характеристичне рівняння щодо w
запишемо так:
6
1 2 3 4 5
5
1 2 3 4 5
4
2 3 4 5
[ 32 ( ) 16 ( ) 8 ( ) 6 ( ) 2 ( )]
[32 ( ) 32 ( ) 24 ( ) 16 ( ) 10 ( )]
[16 ( ) 24 ( ) 24 ( ) 20 ( )]
A h A h A h A h A h w
A h A h A h A h A h w
A h A h A h A h w
− + − + − +
+ − + − + +
+ − + − +
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 2 81
3 2
3 4 5 4 5 5[8 ( ) 16 ( ) 20 ( )] [4 ( ) 10 ( )] 2 ( ) 64A h A h A h w A h A h w A h w+ − + + − + + +
6 5
31 41 51 31 41 51
4 3
31 41 51 31 41 51
2
41 51 51
6
42 52 6 42
{[ 8 ( ) 4 ( ) 2 ( )] [24 ( ) 16 ( ) 10 ( )]
[ 24 ( ) 24 ( ) 20 ( )] [8 ( ) 16 ( ) 20 ( )]
[4 ( ) 10 ( )] 2 ( ) }
{[4 ( ) 2 ( ) ( )] [ 16 ( )
k A h A h A h w A h A h A h w
A h A h A h w A h A h A h w
A h A h w A h w
k A h A h A h w A h
+ − + − + − + +
+ − + − + − + +
+ − + +
+ − + + − 5
52 6
4 3
42 52 6 42 52 6
10 ( ) 6 ( )]
[24 ( ) 20 ( ) 15 ( )] [ 16 ( ) 20 ( ) 20 ( )]
A h A h w
A h A h A h w A h A h A h w
+ − +
+ − + + − + − +
2
42 52 6 52 6 6[4 ( ) 10 ( ) 15 ( )] [24 ( ) 6 ( )] ( )} 0.A h A h A h w A h A h w A h+ − + + − + = (34)
У характеристичному рівнянні (34) зробимо заміну ,w j= виділимо в
отриманому співвідношенні дійсну та уявну частини та прирівняємо їх до нуля:
( , , , ) 0; ( , , , ) 0.X h k k Y h k k = = (35)
З системи рівнянь (35) виділимо варійовані параметри внутрішнього контуру
стабілізатора.
( , ); ( , ).k k h k k h = = (36)
У всіх подальших розрахунках прийняті значення технічних параметрів віт-
чизняного паливозаправника КрАЗ-63221 наведені в таблиці.
Таблиця
Параметр Розмірність Величина
Суха маса кг 10700
Максимальна маса кг 18000
Довжина цистерни a м 6
Ширина b м 2,4
Висота H м 1,4
Максимальна швидкість м·с–1 2,5
Момент інерції Ia при завантаженні на 50 % кг·м2 14,8·104
Ширина колії B м 2
Коефіцієнт опору коченню коліс fc 0,09
Логарифмічний декремент загасання коливань палива f 0,05
Висота днища цистерны Hn м 1,31
Висота центру мас автомобиля Hm при завантаженні на 50 % м 1,52
Відстань між центром мас автомобіля та центром цистерни L м 1,02
Момент інерції коромисла електромагніту Ik кг·м2 0,98·10–2
Коефіцієнт рідинного тертя в осі коромисла fk 0,55
Коефіцієнт жорсткості фіксуючої пружини ck H 2
Приведений коефіцієнт посилення ЕГУ
uk B–1·Па 0,5·105
82 ISSN 1028-0979
Використовуючи співвідношення (36) в площині варійованих параметрів
( , ),k k побудуємо області стійкості розімкнутої за зовнішнім контуром системи
VSC при зміні від нуля до нескінченності і при різних значеннях рівня палива
в цистерні h (рис. 2).
Рис. 2
Крива 1 на рис. 2 відповідає рівню палива 0,05 м,h = крива 2 — рівню
0,5 м,h = а крива 3 — рівню 0,75 м.h = Кожна з кривих має три характерні ді-
лянки: перша (I) в діапазоні 1(0 4) ,c− = друга (II) в діапазоні 1(4 30)c− = і
третя (III) в діапазоні від 130c− = до перетину кордону області стійкості з
віссю .k На ділянці I, наведеній у збільшеному масштабі на рис. 3, прояв-
ляються резонансні властивості парціального осцилятора, власна частота
якого зростає з підвищенням рівня рідини. На ділянці II (нижня межа області
стійкості) криві 1–3 практично збігаються. Верхні межі областей стійкості ,
що відповідають ділянці III, значно залежать від рівня заповнення цистерни.
З їх аналізу випливає, що стійкість замкнутої за внутрішнім контуром систе-
ми VSC зростає з підвищенням рівня заповнення цистерни і, як наслідок, пі-
двищенням маси автомобіля-паливозаправника. З рис. 3 зрозуміло, що парці-
альний осцилятор, що описує першу форму поперечних коливань вільної по-
верхні палива в цистерні, впливає на стійкість розімкнутого зовнішнього
контура системи VSC, скорочуючи область стійкості в діапазоні низьких час -
тот. Якщо межею області стійкості в зоні низьких частот при затверділому
паливі є лінія 4, то при кожному значенні петлі 1, 2, 3 і т.д. «вирівнюють»
частину області стійкості. У зв՚язку з тим, що екстрене гальмування паливо-
заправника може здійснюватися при будь-якому значенні рівня палива в ци-
стерні, межею області в діапазоні низьких частот I є петля, що огинає 1, 2, 3
і т.д., яка представлена лінією 5 на рис. 3.
, B ck
0 250 500 750 1000 1250 1500
1
100
200
300
400
I
II
III
2
3
, Bk
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 2 83
Рис. 3
Межі областей стійкості (рис. 2, 3) побудовані при максимальній швидкості
руху паливозаправника 1 1
0 25м с (90км час ).− − = Зменшення значень
0( ) , (0, ), ( 0, )r r rt at t r q = − = призводить до розширення областей стійкості
у зоні високих частот. Таким чином, якщо значення параметрів k та k обрані в
середині області стійкості ,KG
(рис. 2, крива 1), (рис. 3, крива 5), то вони забезпе-
чують стійкість розімкнутій за зовнішнім контуром системі VSC при будь-яких
рівнях палива в цистерні і будь-яких швидкостях ( ), ( 0, ).rt r q = Область
KG
є
перетином областей стійкості, представлених на рис. 2, 3:
min max min( ) ... ( ) ( ).K K K KG G h G h G h
= =
Замкнемо розглянуту систему VSC за зовнішнім контуром бічного зміщення
центру мас, поклавши в математичній моделі замкнутої системи (13), (14)
; .K Kk k G k k G
= =
Тоді матриці ( ),A h B та K матимуть такий вигляд:
0
0
0
0 1 0 0 0 0 0
0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0( )
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
y y p
y y y yy yp
pp pp
b h b h b h b h
b h b h b h b hA h
a a
− − − −
− − −=
− −
−
,
‒ 50 0 50 100 150
0
20
4
5
3
2
1
, Bk
, B ck
‒ 20
40
84 ISSN 1028-0979
0
0
0
0
0
0
u
B
k
=
,
[ 0 0 0 0 ].yK k k k =
У результаті характеристичне рівняння (30) замкнутої з обох контурів систе-
ми VSC набуває такого вигляду:
7 6 5 4 4 0
1 2 3 31
3 3 0 3 0 2
4 41 42 5
2 0 2 0 0
51 52 6
(1 ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( )
(1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( )
(1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( )
z z A h z A h z A h z A h k
z A h z A h k z A h k z A h
z A h k z A h k z A h k
− − − + − − − − − +
+ − + − + − − − −
− − − − + − =
2
0 21 52 6[(1 ) ( ) (1 ) ( ) ( )].yk T z A h z A h A h= − − − − + (37)
У характеристичному рівнянні (37) виділимо варійований параметр :yk
2
0 21 52 6
7 6 5 4 4 0
1 2 3 31
3 3 0 3 0
4 41 42
1
[(1 ) ( ) (1 ) ( ) ( )]
[(1 ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( )
(1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( )
yk
T z A h z A h A h
z z A h z A h z A h z A h k
z A h z A h k z A h k
= −
− − − +
− − − + − − − − − +
+ − + − + − −
2 2 0 2 0 0
5 51 52 6(1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) ].z A h z A h k z A h k z A h k − − − − − − + − (38)
У співвідношенні (38) зробимо заміну (33), а в отриманій формулі приймемо
w j= і виділимо дійсну та уявну частини:
0 0 0 0Re ( , , , ) ( , , , ).y y m y yk k h k k jI k h k k = + (39)
У комплексній площині yk при зміні від нуля до нескінченності збуду-
ємо межу області стійкості замкнутої двоконтурної системи VSC, представле-
ної на рис. 4.
Відрізок дійсної осі, що перетинається межею області стійкості і укладений
між точками ,a ,b становить собою область стійкості ( ).
y
KG h Крива 1 відповідає
рівню палива в цистерні 0,05 м,h = крива 2 — рівню 0,5 м,h = крива 3 — рівню
0,75 м.h = Множина допустимих значень параметра, що варіюється, yk — пере-
тин множин ( ),
y
iKG h представлених на рис. 4:
min max min( ) ... ( ) ( ).
y y y y
K K K KG G h G h G h= =
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 2 85
Рис. 4
Множина допустимих векторів K є перетином множин
KG
и :
y
KG
.
y
K K KK G G G
= = (40)
Структурно-логічна схема процесу пошуку вектора
* ,KK G що доставляє
мінімум адитивному функціоналу (15), представлена на рис. 5. Алгоритм є по-
слідовною комбінацією методу сітки Соболя [36, 37], за допомогою якого точ-
ка K з вільного стартового стану [0] KK G переводиться до околу глобаль-
ного мінімуму функціонала (15), та метода Нелдера‒Міда [38], що реалізується
у програмних продуктах «Optimization Toolbox» пакета MathLAB та «Minimize»
пакета MATCAD.
Схема на рис. 5 містить три блоки алгоритмів: A1, A2 та A3 . Блок A1 реалі-
зує рішення системи диференціальних рівнянь (13), до якої додано одне з диферен-
ціальних рівнянь:
2
81 1
2
82 2
2
83 7
( ) ( );
( ) ( );
( ) ( );
x t x t
x t x t
x t x t
=
=
=
(41)
при мінімізації частинних функціоналів (17) або рівняння
2 2 2 2 2 2
8 1 1 2 2 3 7( ) ( ) ( ) ( )x t x t x t x t= + + (42)
при мінімізації адитивного функціонала (15).
На вхід блока A1 подаються: вектор (0)X початкових умов математичної
моделі замкнутої системи VSC, координати стартової точки вектора варійова-
Imky
60
30
0
– 40 – 20 0 20 – 60
b1
b2
b3
a
1
2
3
Re ky, B·м–1
86 ISSN 1028-0979
них параметрів [0]K і вектор зовнішніх збурень, що діють на об՚єкт стабілі-
зації ( ).F t На виході блока A1 мають місце значення частинних функціоналів
( )8( [ ]) , [ ] ; 1, 2, 3;s sI K i x K i s= = (43)
або адитивного функціонала
8( [ ]) ( , [ ]),I K j x K j= (44)
на i- і j-му кроках обчислювального процесу, а також максимальні значення ком-
понент вектора стану об՚єкта стабілізації maxX у процесі, що стабілізується.
Рис. 5
Блок алгоритмів A2 реалізує обчислювальний процес мінімізації частинних
функціоналів (43) та адитивного функціонала (44). У тривимірному просторі варі-
йованих параметрів , , yk k k будується прямокутний паралелепіпед, що містить у
собі множину KG (рис. 6). Розміри верхньої грані паралелепіпеда обмежені розмі-
рами області ,KG
що приведена на рис. 2, тобто max min830 B; 20 B c;k k = =
max 320 B c,k = а висота паралелепіпеда обмежена точкою 1b області ,
y
KG що
приведена на рис. 4, отже,
1
max 20 B м .yk −=
Рис. 6
I(K[i]) Is(K[i])
K(0)
1, 2, 3
K[i]
I(K*), K*
*
sI
Xmax
Початок
Завершення А3
А2
А1
X(0) F(t)
K[j]
maxyk
k
mink
maxk
maxk
k
yk
0
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 2 87
Лицьова грань паралелепіпеда, паралельна площині ,yOk k зсунута від цієї
площини на величину mink з метою виключення з розгляду ділянки паралелепі-
педа, відповідного діапазону частот 1(0 4) c ,− = де позначається дестабілізую-
чий вплив поперечних коливань палива в цистерні (ділянка, що розташована ниж-
че 5 на рис. 3). Як генератор псевдовипадкових чисел виберемо генератор Собо-
ля [36], який формує послідовність чисел у тривимірному одиничному кубі
3 :{0 1; 1, 3}.kX x k = (45)
Потім цей набір координат генерованих точок трансформується до розмірів
побудованого паралелепіпеда.
Будь-який набір точок, рівномірно розподілених у кубі, називається сканую-
чою сіткою Соболя і дозволяє здійснити сканування за трансформованою сіткою
паралелепіпеда:
min max
3
max
max
;
: 0 ;
0.y y
k k k
K k k
k k
−
Область допустимих значень варійованих параметрів стабілізатора KG =
y
K KG G
= знаходиться всередині паралелепіпеда
3,K так що деякі ділянки пара-
лелепіпеда знаходяться поза областю .KG Зазначена обставина не впливає на об-
числювальний процес пошуку точки мінімуму окремих функціоналів (43) та ади-
тивного функціонала (44), так як значення функціоналів обчислених ділянок, де
замкнута система нестійка, набагато перевершують значення, обчислені в облас-
ті ,KG і відкидаються в процесі пошуку мінімуму.
Вихідними сигналами блока A2 є мінімальні значення частинних функціо-
налів (43) і адитивного функціонала (44), а також відповідні значення варійованих
параметрів стабілізатора.
Блок алгоритмів A3 реалізує формули оцінки вагових коефіцієнтів (18) ади-
тивного функціонала (15), що подаються до входу блока A1.
Стартову точку [0]K вибирали у центрі паралелепіпеда: [0] 415 B,k =
1[0] 160 B c; [0] 10 B м .yk k −
= = Організований відповідно до рис. 5 обчислюва-
льний процес привів у вузол скануючої сітки Соболя з координатами 810 B,k =
1190 B c, 11B м .yk k −
= = −
Отримані значення координат вузла сітки Соболя знаходяться поблизу точки
глобального мінімуму з точністю, що дорівнює кроку скануючої сітки Соболя,
трансформованої до розмірів паралелепіпеда, і який на осях паралелепіпеда 3K
складає 10 B по осі ,ok 10 B c — на осі ok та
11 B м− — на осі .yok Ці ко-
ординати приймемо як стартову точку на другому етапі оптимізації за допомогою
метода Нелдера‒Міда, реалізованого програмним продуктом «Optimization
Toolbox» пакета MathLAB. Другий етап оптимізації призводить до таких значень
координат глобального мінімуму адитивного функціонала (15):
* 811,5 B;k =
* 186, 2 B c;k =
* 110,4 B м .yk −= −
Для побудови процесів стабілізації замкнутої системи VSC збурюючий мо-
мент по правому борту паливозаправника задаємо графіком, наведеним на рис. 7.
При цьому процеси стабілізації замкнутої системи VSC наведені на рис. 8. Трива-
88 ISSN 1028-0979
лість згасання процесів стабілізації, викликаних досить інтенсивним та тривалим
зовнішнім збуренням (4 с), не перевищує 8 с. Вплив коливань палива цистерни
( 1м),h = заповненій більш, ніж наполовину, та при вибраних значеннях варійо-
ваних параметрів цифрового стабілізатора практично не відчувається.
Рис. 7
Рис. 8
Висновок
У статті розглянуто завдання вибору значень варійованих параметрів цифро-
вого стабілізатора системи курсової стійкості великогабаритного автомобіля-
паливозаправника. З урахуванням особливостей конструкції та умов експлуата-
ції таких машин зроблено висновок про слабку ефективність використання тра-
диційних аналогових та цифрових стабілізаторів курсу, що використовуються
на легкових автомобілях представницького класу, тому в основу алгоритмів, що
реалізуються цифровим стабілізатором курсу великогабаритного автомобіля-па-
ливозаправника, покладено алгоритми безплатформових інерційних систем, за
допомогою яких здійснюється обчислення решітчастих функцій, що характери-
зують збурений рух автомобіля. Математична модель збуреного руху об՚єкта ста-
білізації враховує коливання вільної поверхні палива, що транспортується. Для
вирішення задачі параметричного синтезу використано, запропонований авторами
200
100
0 2 4 6
Mc(t), H·м
t, с
0,2
0,1
0 5 10 15
y(t), м
t, с
(t), рад
0
0
0,06
‒ 0,03
0,03 0,15
0,05
1
2
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 2 89
раніше, алгоритмічний метод, заснований на безпосередньому обчисленні на рі-
шеннях математичної моделі замкнутої системи стабілізації адитивного квадрати-
чного інтегрального функціонала, що відображає систему вимог до точності ста-
білізації, з одночасною оцінкою значень вагових коефіцієнтів функціонала. Для
відшукання мінімуму адитивного функціонала на побудованій множині допусти-
мих значень варійованих параметрів стабілізатора, запропонована обчислювальна
процедура, що є послідовною комбінацією методу сіток Соболя, що дозволяє
ввійти до околу глобального мінімуму, і методу Нелдера–Міда, що реалізується за
допомогою програмного продукту «Optimization Toolbox» пакета MathLAB та
дозволяє з високим ступенем точності знайти координати точки глобального мі-
німуму адитивного функціонала в тривимірному просторі варійованих парамет-
рів стабілізатора. Вибрані значення варійованих параметрів забезпечують висо-
ку якість процесів стабілізації та їх слабку чутливість до низькочастотних коли-
вань вільної поверхні палива, що транспортується.
Ye. Aleksandrov, T. Aleksandrova, Ya. Morhun
PARAMETRIC SYNTHESIS OF DIGITAL STABILIZER
FOR DIRECTION STABILITY SYSTEM IN TANK CAR
Yevgen Alexandrov
Kharkiv National Automobile and Highway University,
aleksandrov.ye.ye@gmail.com
Tetyana Alexandrova
National Technical University «Kharkiv Polytechnic Institute»,
Tetiana.Aleksandrova@khpi.edu.ua
Yaroslav Morhun
National Technical University «Kharkiv Polytechnic Institute»,
Yaroslav.Morhun@khpi.edu.ua
Unsatisfying state of domestic highways՚ road surface and low technical quality of
domestic cars lead to high accident rate on roads. Accidents involving large vehicles
equipped with 20–22 m3 tanks transporting fuel and aggressive liquid chemicals are
particularly serious. The article considers the problem of creating on-tank vehicles di-
rection stability systems with digital stabilizer, which provides high accuracy of sta-
bilization of the car body in emergency braking due to the use of stabilizer algorithms
of platformless inertial systems, as well as the choice of certain values of variable
stabilizer parameters. The mathematical model of perturbed motion of the stabiliza-
tion object considers the oscillations of the free surface of the transported liquid,
which allowed to study the effect of these oscillations on the stability of a closed sta-
bilization system and accordingly choose the range of allowable values of variable
parameters. This computational procedure is a combination of two optimization
methods — the scan grid method of Sobol for finding the global minimum zone and
the Nelder-Mead method, which is implemented by the software product «Optimiza-
tion Toolbox» of MathLAB package. The procedure also, in parallel with the numer-
ical solution of the optimization problem, selects the values of the weights of the ad-
ditive functional. As a result of solving the problem of parametric synthesis, the val-
ues of the varied parameters of the digital stabilizer are obtained, which provide high
accuracy of stabilization of the tanker car body relative to a given trajectory in the
mode of emergency braking.
Keywords: car stability system; digital stabilizer; varied parameters; multidimen-
sional optimization of dynamic system.
90 ISSN 1028-0979
REFERENCES
1. Александров Е.Е., Волонцевич Д.О. Подригало М.А. Повышение устойчивости и управля-
емости колесных машин в тормозных режимах. Харьков : НТУ «ХПИ», 2007. 320 с.
2. Александров Є.Є., Александрова Т.Є., Овчаренко Ю.Є. Підвищення технічних та ергоно-
мічних характеристик рухомих об՚єктів військового призначення. Харків : ХНАДУ, 2019.
176 с. (https://doi.org/1034169/2414-0651.2021.1(29).36-43).
3. Aleksandrov Y., Aleksandrova T., Morhun Y. Parametric synthesis of the electronic control unit
of the course stability system of the car. Eastern-European Journal of Enterprise Technologies.
2019. N 6/9 (102). P. 39‒45 (https://doi.org/10.15587/1729-4061.2019.188185).
4. Aleksandrov Y., Aleksandrova T., Kostianyk I., Morhun Y. Parametric synthesis a non-stationary
automatic control system of the course stability of the car. Advanced Information Systems. 2020.
4, N 2. P. 51‒59 (https://doi.org/10.20998/2522-9052.2020.2.10).
5. Tavernini D., Velenis E., Longo S. Feedback brake distribution control for minimum pitch. Vehi-
cle System Dynamics. 2017. 55, N 6. P. 902‒923.
6. Fujimoto H., Harada S. Model-based range extension control system for electric vehicles witch
front and rear driving-braking force distribution. Transactions on Industrial Electronics. 2015.
62, N 5. P. 3245‒3254. (https://doi.org/10.1109/TIE.2015.2402634).
7. Gong X., Qian L., Ge W., Yan J. Research on electronic brake force distribution and anti-lock
brake of vehicle based on direct drive electro-hydraulic actuator. International Journal of Auto-
motive Engineering. 2020. 11, N 2. P. 22–29. (https://doi.org/10.20485/jsaeijae.11.2_22).
8. Шимановский А.О. Конструктивные решения, обеспечивающие безопасность движения
цистерн (обзор). Проблемы машиностроения и автоматизации. 2009. № 1. С. 44‒59.
9. Высоцкий М.С., Плескачевский Ю.М., Шимановский А.О., Кузнецова М.Г. Обеспечение
безопасности движения автоцистерн на основе оптимизации конструкции кузова. Механи-
ка машин, механизмов и материалов. 2012. № 3, 4. С. 142‒148.
10. Александров Є.Є., Александрова Т.Є., Григор՚єв О.П., Моргун Я.Ю. Про вплив коливань
вільної поверхні рідини в цистерні на курсову стійкості автомобіля-паливозаправника.
Озброєння та військова техніка. 2021. № 1. С. 36‒43. (https://doi.org/10.34169/2414-0651.-
2021.1(29)).
11. Tavernini D., Velenis E., Longo S. Model-based active brake force distribution for pitch angle
minimization. IEEE 54th Conference on Decision and Control. (December 15–18, 2015, Osaka).
Osaka : IEEE, 2015. P. 197–202. (doi: 10.1109/CDC.2015.7402108).
12. Nakamura E., Soga M., Sacai A., Otomo A., Kobayashi T. Development of electronically con-
trolled brake system for hybrid vehicle. SAE 2002 World Congress. (March 4–7, 2002, Detroit).
Detroit : SAE, 2002. 6 p. (doi: 10.4271/2002-01-0300).
13. Park G., Coi S. B. Optimal brake distribution for electronic stability control using weighted least
square allocation method. 16th International Conference on Control «Automation and Systems».
(October 16–19, 2016, Gyeongju). Gyeongju: IEEE, 2016. P. 1420–1425. (doi: 10.1109/-
ICCAS.2016.7832492).
14. Xinyu Wu. Control strategy and algorithm study on light vehicle electronic mechanical braking
system. 5th International Conference on Education, Management, Information and Medicine.
(April 24–26, 2015, Shenyang). Shenyang, 2015. P. 1453–1458. (doi: 10.2991/emim-15.-
2015.282).
15. Her H., Cho W., Yi K. Vehicle stability control using individual break force based on tire force
information. 14th International IEEE Conference on Intelligent Transportation Systems. (October
5–7, 2011, Washington). Washington : IEEE, 2011. P. 22–29.
16. Кононенко В.А. Разработка алгоритмов интегрированной навигационной системы везде-
ходной колесной машины. Механіка та машинобудування. 2007. № 1. С. 107‒112.
17. Кононенко В.А. Оценка точности определения ориентации транспортного средства с по-
мощью параметров Родрига‒Гамильтона, вычисляемых рекурсивным методом. Вісник НТУ
«ХПІ». Серія: Транспортне машинобудування. 2007. № 33. С. 73‒82.
18. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Введение в теорию бесплатформенных инерциальных си-
стем. М. : Наука, 1992. 280 с.
19. Панов А.П. Математические основы теории инерциальной ориентации. К. : Наук. думка,
1995. 279 с.
20. Моисеев Н.Н. Движение твердого тела, имеющего полость, частично заполненную идеаль-
ной капельной жидкостью. Доклады АН СССР. 1952. № 4. С. 719‒722.
21. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М. :
Наука, 1965. 440 с.
https://doi.org/10.34169/2414-0651.2021.1(29)
https://doi.org/10.34169/2414-0651.2021.1(29)
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 2 91
22. Нариманов Г.С. О движении твердого тела, полость которого частично заполнена жидко-
стью. Прикладная математика и механика. 1956. № 1. С. 21‒38.
23. Нариманов Г.С. О колебаниях жидкости в подвижных полостях. Известия АН СССР. ОНТ.
1957. № 10. С. 71‒74.
24. Охоцимский Д.Е. К теории движения тела с полостями, частично заполненными жидко-
стью. Прикладная математика и механика. 1956. 20, №1. С. 3‒20.
25. Черемных С.В. О некоторых задачах устойчивости твердого тела с жидким заполнением.
Механика твердого тела. 1966. № 3. С. 51‒54.
26. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполнен-
ными жидкостью. М. : Машиностроение, 1968. 540 с.
27. Кожушко А.П., Григор՚єв О.Л. Математичне моделювання низькочастотних коливань
в՚язкої рідини в горизонтальній ємності з вільною поверхнею. Вісник НТУ «ХПІ». Серія:
«Математичне моделювання в техніці та технологіях». 2018. № 3. С. 41‒51.
28. Кожушко А.П. Експериментальне та розрахункове дослідження згасання коливань рідини в
ємності з вільною поверхнею. Вісник НТУ «ХПІ». Серія: «Математичне моделювання в
техніці та технологіях». 2020. № 1. С. 24‒43. (https://doi.org/10.20998/2222-0631.2020.-
01.03).
29. Александров Є.Є., Александрова Т.Є., Григор՚єв О. Л., Моргун Я.Ю. Стійкість та автоко-
ливання електронної замкненої системи стабілізації курсу автомобіля з цистерною. Вісник
НТУ «ХПІ». Серія: «Математичне моделювання в техніці та технологіях». 2020. № 1.
С. 44‒63. (https://doi.org/10.20998/2222-0631.2020.01.04).
30. Александров Е.Е., Александрова Т.Е., Северин В.П. Основы современной теории управле-
ния. Харьков : ХНАДУ, 2019. 324 с.
31. Александров Е.Е., Александрова Т.Е. Параметрический синтез цифровой системы стабили-
зации танковой пушки. Международный научно-технический журнал «Проблемы управле-
ния и информатики». 2015. № 6. С. 5‒20.
32. Александров Е.Е., Александрова Т.Е. Параметрический синтез цифрового стабилизатора
космической ступени ракеты носителя с жидкостным реактивным двигателем на активном
участке траектории полета. Международный научно-технический журнал «Проблемы
управления и информатики». 2020. № 3. С. 80‒92.
33. Александров Е.Е., Александрова Т.Е. Метод главной координаты в теории стабилизируе-
мых систем. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и ин-
форматики. 2017. № 2. С. 65‒75.
34. Александров Е.Е., Александрова Т.Е. Выбор оптимизируемого функционала в задачах па-
раметрического синтеза стабилизаторов. Артиллерийское и стрелковое вооружение. 2001.
№ 2. С. 23‒26.
35. Васильев С.К., Захаров В.Н., Прохоров Ю.Ф. Кибернетика в системах военного назначе-
ния. М. : Воениздат. 1979. 263 с.
36. Соболь И.М. Численные методы Монте‒Карло. М. : Наука, 1973.
37. Соболь И.М., Статников Р.Б. Наилучшие решения — где их искать. М. : Знание, Серия: ма-
тематика и кибернетика. 1982. 64 с.
38. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М. : Мир, 1980. 280 с.
Отримано 21.01.2022
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210876 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-16T06:22:50Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Александров, Є.Є. Александрова, Т.Є. Моргун, Я.Ю. 2025-12-19T17:26:17Z 2022 Параметричний синтез цифрового стабілізатора системи курсової стійкості автомобіля-паливозаправника / Є.Є. Александров, Т.Є. Александрова, Я.Ю. Моргун // Проблеми керування та інформатики. — 2022. — № 2. — С. 69-91. — Бібліогр.: 38 назв. — укр. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210876 629.3.017.5 10.34229/2786-6505-2022-2-5 Незадовільний стан дорожнього покриття вітчизняних автомобільних магістралей у сукупності з невисокою технічною якістю вітчизняних автотранспортних засобів призводить до високої аварійності на дорогах. Особливо тяжкі наслідки маємо після аварій з участю великогабаритних автомобілів, оснащених цистернами об՚ємом 20–22 м3, в яких транспортується паливо та агресивні рідкі хімічні речовини. Розглядається проблема створення на автомобілях-паливозаправниках систем курсової стійкості з цифровим стабілізатором, що забезпечує високу точність стабілізації корпусу автомобіля в режимі екстреного гальмування завдяки використанню стабілізатором алгоритмів безплатформених інерціальних систем, а також вибору визначених значень варійованих параметрів стабілізатора. Математична модель збуреного руху об՚єкта стабілізації враховує коливання вільної поверхні рідини, що транспортується. Це дозволило дослідити вплив коливань на область стійкості замкненої системи стабілізації і відповідним чином обрати область допустимих значень варійованих параметрів, які забезпечують мінімум адитивного інтегрального квадратичного функціонала. Ця обчислювальна процедура представляє собою комбінацію двох методів оптимізації — скануючої сітки Соболя для пошуку зони глобального мінімуму і Нелдера–Міда, що реалізується програмним продуктом «Optimization Toolbox» пакета MathLAB. Процедура паралельно з чисельним рішенням задачі оптимізації здійснює вибір значень вагових коефіцієнтів адитивного функціонала. В результаті рішення задачі параметричного синтезу отримані значення варійованих параметрів цифрового стабілізатора, які забезпечують високу точність стабілізації корпусу автомобіля-паливозаправника відносно заданої траєкторії руху в режимі термінового гальмування. The unsatisfactory condition of the road surface on domestic highways, combined with the low technical quality of domestic vehicles, leads to high accident rates on the roads. Particularly severe consequences arise from accidents involving large vehicles equipped with 20–22 m³ tanks transporting fuel and aggressive liquid chemicals. The problem of creating steering stability systems with a digital stabilizer on fuel tanker trucks is considered. These systems ensure high accuracy in stabilizing the vehicle's body during emergency braking by using platform-free inertial systems and selecting specific values for the variable parameters of the stabilizer. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Керування системами з розподіленими параметрами, математичне моделювання Параметричний синтез цифрового стабілізатора системи курсової стійкості автомобіля-паливозаправника Parametric synthesis of a digital stabilizer for the steering stability system of a fuel tanker truck Article published earlier |
| spellingShingle | Параметричний синтез цифрового стабілізатора системи курсової стійкості автомобіля-паливозаправника Александров, Є.Є. Александрова, Т.Є. Моргун, Я.Ю. Керування системами з розподіленими параметрами, математичне моделювання |
| title | Параметричний синтез цифрового стабілізатора системи курсової стійкості автомобіля-паливозаправника |
| title_alt | Parametric synthesis of a digital stabilizer for the steering stability system of a fuel tanker truck |
| title_full | Параметричний синтез цифрового стабілізатора системи курсової стійкості автомобіля-паливозаправника |
| title_fullStr | Параметричний синтез цифрового стабілізатора системи курсової стійкості автомобіля-паливозаправника |
| title_full_unstemmed | Параметричний синтез цифрового стабілізатора системи курсової стійкості автомобіля-паливозаправника |
| title_short | Параметричний синтез цифрового стабілізатора системи курсової стійкості автомобіля-паливозаправника |
| title_sort | параметричний синтез цифрового стабілізатора системи курсової стійкості автомобіля-паливозаправника |
| topic | Керування системами з розподіленими параметрами, математичне моделювання |
| topic_facet | Керування системами з розподіленими параметрами, математичне моделювання |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210876 |
| work_keys_str_mv | AT aleksandrovêê parametričniisintezcifrovogostabílízatorasistemikursovoístíikostíavtomobílâpalivozapravnika AT aleksandrovatê parametričniisintezcifrovogostabílízatorasistemikursovoístíikostíavtomobílâpalivozapravnika AT morgunâû parametričniisintezcifrovogostabílízatorasistemikursovoístíikostíavtomobílâpalivozapravnika AT aleksandrovêê parametricsynthesisofadigitalstabilizerforthesteeringstabilitysystemofafueltankertruck AT aleksandrovatê parametricsynthesisofadigitalstabilizerforthesteeringstabilitysystemofafueltankertruck AT morgunâû parametricsynthesisofadigitalstabilizerforthesteeringstabilitysystemofafueltankertruck |