Розрахунок параметрів функціональної системи дихання для оптимізації вибору режимів штучної вентиляції легенів
Різноманітні процеси, що відбуваються в організмі, є керованими, тобто їхній стан визначається в залежності від конкретного впливу на них керуючої сторони. При цьому природним є намагання вибрати оптимальний керуючий вплив, найкращий у порівнянні з іншими можливими способами керування. Зрозуміло, що...
Saved in:
| Published in: | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Date: | 2022 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2022
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210882 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Розрахунок параметрів функціональної системи дихання для оптимізації вибору режимів штучної вентиляції легенів / Н.І. Аралова, П. Радзійовський, М. Радзійовська // Проблеми керування та інформатики. — 2022. — № 2. — С. 149-162. — Бібліогр.: 36 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859474849358938112 |
|---|---|
| author | Аралова, Н.І. Радзійовський, П. Радзійовська, М. |
| author_facet | Аралова, Н.І. Радзійовський, П. Радзійовська, М. |
| citation_txt | Розрахунок параметрів функціональної системи дихання для оптимізації вибору режимів штучної вентиляції легенів / Н.І. Аралова, П. Радзійовський, М. Радзійовська // Проблеми керування та інформатики. — 2022. — № 2. — С. 149-162. — Бібліогр.: 36 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Різноманітні процеси, що відбуваються в організмі, є керованими, тобто їхній стан визначається в залежності від конкретного впливу на них керуючої сторони. При цьому природним є намагання вибрати оптимальний керуючий вплив, найкращий у порівнянні з іншими можливими способами керування. Зрозуміло, що живому організму для оптимізації вибору керуючого впливу необхідно здійснити імітацію на математичній моделі, яка дозволила б у режимі реального часу імітувати збурення і прогнозувати функціональний стан організму внаслідок цих збурень. Це стосується, зокрема, прогнозування реакції функціональних систем організму при вірусному захворюванні. У роботі узагальнено математичну модель функціональної системи дихання, яка враховувала б різний характер руху повітря в повітроносних шляхах (ламінарний, турбулентний, змішаний). Складовими частинами моделі є моделі транспортування респіраторних газів у повітроносних шляхах, альвеолярному просторі, крові легеневих капілярів, артеріальній крові, крові тканинних капілярів, тканинах і змішаній венозній крові та самоорганізації системи дихання та кровообігу. Запропонована обчислювальна процедура може бути застосована з урахуванням масиву індивідуальних даних для вибору режимів штучної вентиляції легенів у разі важкого перебігу COVID-19.
Various processes occurring in the body are controllable, meaning their state is determined by specific influences from the controlling side. In this context, the natural goal is to choose the optimal control influence, the best one compared to other possible control methods. Clearly, for the optimization of the control influence choice, a living organism needs to simulate it on a mathematical model, which would allow for real-time simulation of disturbances and forecasting the functional state of the organism as a result of these disturbances. This is particularly relevant for forecasting the response of the body's functional systems during viral diseases.
|
| first_indexed | 2026-03-12T16:33:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Н.І. АРАЛОВА, П. РАДЗІЙОВСЬКИЙ, М. РАДЗІЙОВСЬКА, 2022
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 2 149
КЕРУВАННЯ В ЕКОНОМІЧНИХ
ТА БІОЛОГІЧНИХ СИСТЕМАХ
УДК 519.8.812.007
Н.І. Аралова, П. Радзійовський, М. Радзійовська
РОЗРАХУНОК ПАРАМЕТРІВ ФУНКЦІОНАЛЬНОЇ
СИСТЕМИ ДИХАННЯ ДЛЯ ОПТИМІЗАЦІЇ ВИБОРУ
РЕЖИМІВ ШТУЧНОЇ ВЕНТИЛЯЦІЇ ЛЕГЕНІВ
Аралова Наталя Ігорівна
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, м. Київ,
aralova@ukr.net
Радзійовський Павло
Коледж освіти та медицини імені Казимежа Мілановського , м. Познань, Польща,
pawel.radziejowski@pcz.pl
Радзійовська Марія
Ченстоховський технологічний університет,
maria.radziejowska@pcz.pl
Різноманітні процеси, що відбуваються в організмі, є керованими, тобто їхній стан
визначається в залежності від конкретного впливу на них керуючої сторони. При
цьому природним є намагання вибрати оптимальний керуючий вплив, найкращий у
порівнянні з іншими можливими способами керування. Зрозуміло, що живому ор-
ганізму для оптимізації вибору керуючого впливу необхідно здійснити імітацію на
математичній моделі, яка дозволила б у режимі реального часу імітувати збурення і
прогнозувати функціональний стан організму внаслідок цих збурень. Це стосується,
зокрема, прогнозування реакції функціональних систем організму при вірусному
захворюванні. У роботі узагальнено математичну модель функціональної системи
дихання, яка враховувала б різний характер руху повітря в повітроносних шляхах
(ламінарний, турбулентний, змішаний). Складовими частинами моделі є моделі
транспортування респіраторних газів у повітроносних шляхах, альвеолярному прос-
торі, крові легеневих капілярів, артеріальній крові, крові тканинних капілярів, тка-
нинах і змішаній венозній крові та самоорганізації системи дихання та кровообігу.
Запропонована обчислювальна процедура може бути застосована з урахуван-
ням масиву індивідуальних даних для вибору режимів штучної вентиляції легенів у
разі важкого перебігу COVID-19.
Ключові слова: математична модель функціональної системи дихання, штучна
вентиляція легенів, самоорганізація системи дихання, повітроносні шляхи, важ-
кий перебіг COVID-19.
Вступ
У зв’язку з широким розповсюдженням у даний час вірусу SARS-COV-2 і
важким перебігом викликаної ним хвороби COVID-19, одним із напрямків
дослідження є розробка математичних моделей, на яких можна імітувати пере-
біг захворювання та способи полегшення стану хворих при ускладненому пе-
ребігу захворювання, зокрема штучної вентиляції легенів (ШВЛ). Математичне
моделювання є унікальним та потужним інструментом, який застосовується для
дослідження фізіологічних процесів та дозволяє суттєво поглибити знання про
mailto:pawel.radziejowski@%20pcz.pl
mailto:maria.radziejowska@pcz.pl
150 ISSN 1028-0979
явища, які досліджуються. Наразі отримала розвиток нова галузь знань — мате-
матична фізіологія, яка дає нові знання щодо природи фізіологічних процесів [1].
Також слід зазначити суттєву обмеженість застосування експериментальних
підходів до дослідження перебігу процесів, які відбуваються в системі дихання та
кровообігу, тому особливого значення набувають розробка ефективних програм-
но-алгоритмічних засобів чисельного моделювання та проведення повномасштаб-
ного обчислювального експерименту, і можна здійснити імітацію будь-якого
явища або процесу на ЕОМ [2].
Очевидно, що комп’ютерна модель ґрунтується на математичній моделі.
У фізіології та медицині при розробці математичних моделей існує досить багато
обмежень, пов’язаних з неможливістю експериментувати з різними екстремаль-
ними збуреннями та обмеженістю сучасних інвазивних методів. Складність задачі
побудови математичних моделей функціональних систем організму пов’язана в
першу чергу з надзвичайною складністю біологічної системи, яка розглядається
та функціонування якої нелінійно залежить від великої кількості факторів, прак-
тично від кожного елементу живого організму, і ці залежності багато в чому за-
лишаються неформалізованими навіть на рівні фізіологічного описання. Тому
аналітичні методи розв’язку мають досить вузьку сферу застосування, і основним
засобом дослідження реальних задач, пов’язаних з дослідженням системи дихання
та кровообігу, є обчислювальні методи розвʼязків задач на ЕОМ. Зауважимо та-
кож, що існують етичні норми, які обмежують можливості експериментальних
підходів для одержання емпіричних залежностей між тими чи іншими явищами.
Для математичного моделювання застосовуються методи динамічної теорії сис-
тем. Засобами моделювання є диференційні та різницеві рівняння, методи якісної
теорії диференційних рівнянь та комп’ютерна імітація.
Математичні моделі функціональних систем організму розробляються з метою [2]:
● з’ясування механізмів взаємодії елементів системи;
● прогнозування поведінки системи за різних збурюючих впливів;
● ідентифікації параметрів моделі за експериментальними даними;
● оцінки стійкості системи;
● оптимального керування системою згідно з вибраними критеріями.
Основним принципом математичного моделювання складних систем є прин-
цип оптимальності [3]. У роботі [4] аналізуються публікації, пов’язані з екстрема-
льними принципами в математичній біології. Крім того, зазначимо огляд [5].
Підкреслимо також наступне. Вище вже зазначалося, що існує багато робіт,
пов’язаних з моделюванням окремих підсистем та організму в цілому [1]. Стосов-
но математичних моделей системи дихання та кровообігу останнім часом
з’явилися роботи [6–19]. Проте всі вони ґрунтуються на складному математично-
му апараті, який вельми важко реалізовувати для практичних потреб; вони радше
мають теоретичний характер, і їх можна віднести до галузі, яка склалася останнім
часом, — математична фізіологія.
У цій роботі пропонується підхід до моделювання, який ґрунтується на кон-
цепції А.З. Колчинської [20] щодо регулювання кисневих режимів організму та
передбачає застосування побудованих моделей для розв’язку прикладних задач
фізіології та медицини.
У зв’язку з тим, що випадки важкого перебігу хвороби COVID-19, на жаль, є
непоодинокими, іноді доводиться застосовувати методи інтенсивної терапії, у то-
му числі ШВЛ. Тому видається важливим розробити методологію вибору режимів
штучної вентиляції, яка враховувала б індивідуальні особливості організму. З ці-
єю метою пропонується застосувати математичну модель функціональної системи
дихання, яка дозволяє імітувати процеси, які відбуваються в організмі, та прогно-
зувати стаціонарний стан організму при різних збуреннях, у тому числі при апа-
ратній вентиляції легенів [21, 22].
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 2 151
Постановка задачі
Поставлено задачу розробки комплексу математичних моделей функціональних
систем організму, закони функціонування яких формалізовано у вигляді задачі оп-
тимального керування для нового класу задач, пов’язаних з оптимізацією вибору ре-
жимів ШВЛ. Оптимальність функціонування системи в цьому випадку розуміється
як забезпечення з мінімальними витратами для організму балансу між керуючими та
виконавчими органами саморегуляції на різних структурних рівнях системи.
Математична модель функціональної системи дихання
Математична модель керованої частини системи дихання переважно опису-
ється системою нелінійних звичайних диференційних рівнянь зі зосередженими
чи розподіленими параметрами, які показують динаміку напружень респіраторних
газів на всіх етапах їх переміщення в організмі. Для їх побудови використовується
принцип матеріального балансу та нерозривності потоку. У скороченому вигляді,
згідно з [23, 24], модель записується наступним чином:
2
2 2 2 2( , , , , , , , ),
i i i
i
i i i t t t
dp O
p O p CO V Q Q G O q O
d
=
(1)
2
2 2 2 2( , , , , , , , ),
i i i
i
i i i t t t
dp СO
p O p CO V Q Q G СO q СO
d
=
(2)
де функції і детально описані в [21, 22], V — вентиляція, — ступінь наси-
чення гемоглобіну киснем, Q — обʼємна швидкість системного кровообігу,
it
Q —
об’ємна швидкість локального кровообігу, 2it
q O — швидкість споживання кисню
i-м тканинним резервуаром, 2it
q CO — швидкість виділення вуглекислого газу в i -му
тканинному резервуарі. Швидкості 2it
G O (потоку кисню із крові в тканину) і 2it
G CO
(потоку вуглекислого газу з тканини в кров) визначаються співвідношенням
( ),
i i i i it t t ct tG D S p p= − (3)
де
it
D — коефіцієнти проникливості газів через аерогематичний бар’єр,
it
S —
площа поверхні газообміну.
Наведемо фрагмент моделі для верхніх респіраторних шляхів та альвеоляр-
ного простору [25]:
2
2 2
2
2 2
1
[ ( ) ( )],
1
[ ( ) ( )],
RV LA A
RV
RV LA A
RV
dpO
pO V V p O
d V
dpCO
pCO V V p CO
d V
= −
= −
(4)
0 2
2
0 2
2
, на вдиху
( )
, на видиху, паузі
, на вдиху
( )
, на видиху, паузі
p O
p
pO
p CO
p
pCO
=
=
, (5)
де RVV — обʼєм повітроносних шляхів, RVV — вентиляція повітроносних шля-
хів, 0p — парціальні тиски респіраторних газів у навколишньому просторі.
Динаміка парціальних тисків кисню ( 1)i = та вуглекислого газу ( 2)i = в
альвеолярному просторі записується рівняннями [25]
152 ISSN 1028-0979
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
1
,
1
,
A A LA
A A A
ALA
A A LA
A A A
ALA
dp O G O dV
p O V p O
d n O dV
dp CO G CO dV
p CO V p CO
d n CO dV
= − −
= − −
(6)
де
2
2
2
2
, на вдиху
( )
, на видиху, паузі
, на вдиху
( )
, на видиху, паузі
A
A
A
A
pO
p
p O
pСO
p
p СO
=
=
, (7)
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
( ),
( ),
A A A LA A LC
A A A LA A LC
G O k O n O S p O p O
G CO k CO n CO S p CO p CO
= −
= −
(8)
де LCp — напруження респіраторних газів у крові легеневих капілярів, AG —
потоки газів через альвеолярно-капілярні мембрани, які мають поверхню газооб-
міну ,LAS p та Ap — парціальні тиски респіраторних газів у повітроносних
шляхах та альвеолярному просторі відповідно, LAV — обʼєм альвеолярного прос-
тору, LAV — альвеолярна вентиляція.
У [21, 25, 26] запропоновано розглядати процес дихання, описаний систе-
мою (1), (2), як керовану динамічну систему, тобто при сумісному функціонуванні
з системою механізмів регуляції основної функції системи дихання та кровообі-
гу — своєчасній та адекватній доставці кисню до тканин, які метаболюють, та ви-
веденні вуглекислого газу, який утворюється в організмі. Формалізація самоорга-
нізації системи дихання виконується при визначених правилах побудови проце-
дури моделювання [27]. Припускається, що маємо: систему диференційних
рівнянь, яка визначає стан обʼєкта керування у кожний момент часу; стан системи
у початковий момент часу; описання множини параметрів керування; визначення
мети керування — описання термінальної множини, в яку має бути виведено сис-
тему за допомогою керування; заданий критерій якості керування.
Задача оптимального керування
Отриманий медиками та фізіологами експериментальний матеріал свідчить
про те, що у відповідь на збурення — зовнішнi (зміни барометричного тиску, які-
сні зміни складу суміші, що вдихається) та/або внутрішні (зміни інтенсивності
метаболічних процесів у тканинах, які характеризуються зміною швидкості утилі-
зації кисню) — істотно збільшуються (зменшуються) величина альвеолярної вен-
тиляції ,V обʼємна швидкість системного кровообігу ,Q вазодилатації (вазокон-
стрикції) тканинних судин і як наслідок змінюється обʼємна швидкість
it
Q крові в
них [28, 29]. Саме тому параметри ,V ,Q
it
Q при математичному моделюванні
розглядаються як керуючі, а дихальні мʼязи, мʼязи серця та гладенькі мʼязи судин,
робота яких забезпечує необхідні для стабілізації основної функції дихання вели-
чини цих параметрів при збуреній системі, — як виконавчі органи активної регу-
ляції. Система рівнянь (1), (2) асимптотично стійка [28], тому можна припустити,
що метою регуляції є вивід збуреної системи у відносно рівноважний стан, який
наступає, коли
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 2 153
2 2 1,
i it tG O q O− 2 2 2,
i it tG CO q CO+ (9)
де 1, 2 — як завгодно малі додатні числа.
Метаболізм у організмі відбувається на тканинному рівні в рідині тканинного
капіляра. У моделі тканинний капіляр представлено одиничним циліндром Крога,
як на рисунку нижче. У цьому циліндрі споживається кисень зі швидкістю 2it
q O
та виділяється енергія, необхідна для підтримання життєдіяльності організму.
Продуктами метаболізму є вуглекислий газ, який виділяється зі швидкіс-
тю 2it
q CO , та вода. Кисень доставляється в циліндр потоком крові зі швидкістю
2it
G O , а вуглекислий газ виводиться зі швидкістю 2it
G CO 2.
it
G CO
Власне, умова (9) — це вимога виконання основної функції системи дихання:
своєчасної та адекватної доставки кисню до тканин органів, які працюють, та такий
самий процес виведення вуглекислого газу, що утворився в процесі метаболізму.
Множина станів системи, для яких виконується (9), визначається як терміна-
льна множина M задачі керування динамічною системою. Звісно, параметри ке-
рування обмежені, обмеження визначаються з експериментальних даних:
max0 ,V V max0 ,Q Q 0 ,
it
Q Q
1
.
i
m
t
i
Q Q
=
= (10)
Оскільки виконуються умови теореми Філіпова [30], задача керування — ви-
від збуреної динамічної системи на множину M при обмеженнях (10) — має
розвʼязок. З усіх розвʼязків задачі керування оптимальними параметрами opt ,V
opt ,Q optit
Q будемо вважати ті, які забезпечують мінімум функціоналу на траєк-
торії зміни стану динамічної системи
max
0
max
2 2
1 2 2 2 2 2
0
0
min ( ) ( ) ,
i i i i i i
i i
ti
T
t t t t t t
V V t t
Q Q
I G O q O G CO q CO d
= − + +
1,i m= (11)
на множині всіх значень opt ,V opt ,Q optit
Q , де 1, 2 — коефіцієнти чутливості
організму до гіпоксії та гіперкапнії,
it
— коефіцієнти, що характеризують важ-
ливість для життя того чи іншого органа чи тканини.
Коефіцієнти
it
формуються шляхом еволюції. Відомо, що ураження серцевого
мʼяза, тканин мозку, печінки, нирок та деяких інших органів призводить до втрати
життя, і, можливо, саме тому щільність капілярів в них досить велика. При математич-
ному моделюванні прийнята залежність
.i
i
i
ct
t
t
V
V
= (12)
it
Q
2it
G O
2it
q O
paO2
it
Q
2it
G СO
2
2
i
i
ct
ct
p O
p CO
154 ISSN 1028-0979
При ШВЛ формування градієнта тиску забезпечується самим технічним апа-
ратом дихання за рахунок примусового нагнітання повітря в легені (апаратний
вдих та пасивний видих за відсутності легеневого дихання). Природно, при засто-
суванні ШВЛ бажано знати кількісні характеристики, обʼєктивні закономірності
та механізми управління масопереносом респіраторних газів як на окремих ділян-
ках, так і на всьому їхньому шляху в системі дихання. При цьому слід враховува-
ти, що можуть застосовуватись різні режими роботи апаратів ШВЛ.
Відповідно до [31], легені розглядаються як сукупність двох зʼєднаних резер-
вуарів: повітроносні шляхи представляються у вигляді узагальненої циліндричної
трубки із заданими геометричними розмірами та аеродинамічними властивостя-
ми, а альвеолярний простір розглядається як куля із заданими характеристиками
оболонки. У [31] показано, що ламінарний рух повітря вздовж циліндричної труб-
ки з круглим перетином відбувається відповідно до закону Пуазейля, згідно з
яким обʼємна швидкість повітряного потоку ,Q що формується в кінці трубки,
залежить від перепаду тиску p між кінцями ділянки трубки, що розглядається:
4
,
8 B
a
Q p
l
= −
(13)
де a — радіус кругового перерізу трубки, B — вʼязкість повітря, l — довжина
трубки. Співвідношення (13) отримано з рівняння Навʼє–Стокса [32] для руху по-
вітряного середовища вздовж циліндричної трубки при припущенні, що уздовж
трубки падіння тиску на довільно вибраній ділянці заданої довжини є постійною
величиною. Таким чином, відповідно до [32], для умов руху газів у повітроносних
шляхах співвідношення (1) може застосовуватися для розрахунку обʼємної швид-
кості повітря на окремих ділянках трахеобронхіального дерева легень і, зокрема,
для визначення кількості повітря, що надходить у альвеолярний простір. У [33]
при ламінарному, турбулентному та змішаному режимах руху повітря пропону-
ються нелінійні співвідношення для визначення обʼємної швидкості повітря в ди-
хальних шляхах залежно від перепаду тиску між навколишнім середовищем та
альвеолярним простором. Так, обʼємна швидкість повітряного потоку ,Q що фор-
мується в кінці трубки, відповідно до [33], визначається із співвідношення
2
1 2 ,k Q k Q p + = (14)
де 1,k 2k — коефіцієнти, що відображають вплив режиму руху повітря (ламінар-
ний, турбулентний, змішаний) у дихальних шляхах. Зазначимо лише, що різні ав-
тори пропонують різні значення цих коефіцієнтів. Так, у [33] 1
смвод.ст.
0,78 ,
л с
k =
2
смвод.ст.
0,8 ,
л с
k =
а у [34] 1
смвод.ст.
0,3 ,
л с
k =
2
смвод.ст.
3,3 .
л с
k =
Далі розглянемо кулю радіусом 0r з оболонкою товщиною ,d що має
властивість анізотропності. Знайдемо його деформацію ,r яка виникає при мит-
тєвому введенні додаткової маси повітря AM до вже існуючої маси повіт-
ря .AM Обʼєм кулі позначимо через .v Вважатимемо, що до моменту надход-
ження маси повітря AM газове середовище перебуває у стані рівноваги.
Не обмежуючи спільності, вважаємо, що напруга 1 2 3( , , ), яка діє на
оболонку кулі, розподіляється однаково вздовж усіх напрямків по осях координат,
при цьому центр кулі прийнятий як початок координат. Тоді складові вектора на-
пруги, що формуються, такі, що 1 2 3 .A = = = Внаслідок зміни напруги маси
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 2 155
повітря всередині кулі виникає напруга, що призводить до зміни радіусу кулі на вели-
чину .r Величина
r
r
= називається відносною поздовжньою деформацією. У за-
гальному випадку для ізотропного тіла відносна поздовжня деформація по кожному з
трьох напрямків 1 2 3( , , ) виникає в результаті дії всіх трьох складових напруг
1 2 3, , , що створюють поперечні деформації ,i ,i ,i причому
.i i i i = + + (15)
З огляду на лінійний закон Гука [35],
1 ,i
E
= (16)
2 ,i
E
−
= (17)
3 ,i
E
−
= (18)
де — коефіцієнт Пуассона матеріалу тіла ( є безрозмірною величиною і для
ізотропних матеріалів складає 0–0,5).
З (15) із урахуванням (16)–(18) отримуємо
1 2 3
1
[ ( )]
.
E
− +
= (19)
Аналогічно отримуємо вирази і для 2 , 3 :
2 1 3
2
[ ( )]
,
E
− +
= (20)
3 1 2
3
[ ( )]
.
E
− +
= (21)
Ці співвідношення відображують узагальнений закон Гука. Обʼємна дефор-
мація ,v яка є відносною зміною обʼєму оболонки кулі після застосування на-
пруги 1 2 3, , , визначається за формулою [35]
0
1 2 3
0
,v
v v
v
−
= = + + (22)
а з урахуванням (19)–(21)
1 2 3
1 2
( ).v
E
−
= + + (23)
У випадку, коли напруга ,A що діє на оболонку кулі, розподілена рівномір-
но, (13) можна привести до виду
,A
v
k
= (24)
де k — модуль обʼємної деформації, що залежить від модуля пружності E та ко-
ефіцієнта Пуассона тканин оболонки
.
3(1 2 )
E
k =
−
(25)
Таким чином, для оболонки кулі справедливе співвідношення
156 ISSN 1028-0979
3 3 3 3
3 3
( ) ( ) ( )
,
( )
Ar r d d r r r d r
kr d r
+ + + − + − + +
=
+ −
(26)
де d — зміна товщини оболонки.
Величину A визначимо за надмірним тиском усередині кулі, викликаним
миттєвим надходженням маси повітря AM всередину кулі:
24 .A A Ap S r p = = (27)
Перепад тиску Ap може бути визначений з використанням закону Клапей-
рона таким чином:
1 1 0 33 3
3
,
4 4 4
3 3
T
A A A A
A A V A A
M M M M
p p p R T R T R T
rr r
+
= − = − = − =
(28)
де R — коефіцієнт Больцмана (газова константа), T — абсолютна температура
внутрішнього середовища кулі (альвеолярного повітря).
Таким чином, з (27) та (28) випливає
3
.A
A
M
R T
r
= (29)
Тепер знайдемо r з рівняння (26), яке містить дві невідомі: r — зміна ра-
діусу внутрішності кулі і d — зміна товщини оболонки. Оскільки розглядаємо
тонкостінну оболонку, тобто оболонку, товщина якої мала порівняно з радіусом
кулі, що утворюється, то, відповідно, зміна цієї товщини теж буде незначною і
нею можна буде знехтувати.
Припустимо, що 0,d = і розвʼяжемо рівняння (26) щодо 0.r r+ Отримаємо
2
23
1 ( ) .
2 4
A AM R T M R Td d
r r r d r d
k r k r
+ = − + + − + +
(30)
Отримане співвідношення для r r+ дозволяє визначити обʼєм кулі, а зна-
чить, і відносну його зміну як функцію від величини маси повітря ,AM що на-
дійшла в кулю, модуля пружності E оболонки кулі, газової константи ,R коефі-
цієнта Пуассона тканин оболонки і абсолютної температури внутрішнього се-
редовища кулі .T
Далі розглянемо випадок, коли кулю фізично поєднано з циліндричною трубкою,
використаємо отримані раніше результати для визначення потоків повітря вздовж
трубки, тиску та обʼєму кулі при надходженні на вхід трубки заданої в часі кількості
повітря і, таким чином, визначимо вентиляційні параметри дихання на фазі вдиху.
Залежність обʼємної швидкості надходження повітря до системи повітронос-
них шляхів протягом фази вдиху загалом є нелінійною у часі. Причому на початку
і в кінці дихальної фази вентиляція EV дорівнює 0, а максимальне значення цієї вели-
чини досягається в середині інтервалу тривалості фази вдиху. Надалі будемо викори-
стовувати середню величину вентиляції, для якої справедливе співвідношення (31):
0
0
( ) ,
InT t
E In
T
V d V t D
+
= = (31)
де Int — тривалість фази вдиху, 0T — початок дихальної фази, D — дихальний обʼєм.
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 2 157
Якщо відомі обʼєм і густина повітря, яке надійшло в повітроносні шляхи,
можна визначити його масу: 0 .m D= Вважатимемо, що за кожен період ча-
су фази вдиху в повітроносні шляхи надходить повітря масою 0 ,
m
m
n
= де
n — кількість розбиття інтервалу 0 0( , ),InT T t+ а отже, .Inт t = Оскільки по-
вітроносні шляхи є циліндричною трубкою довжиною l і радіусом круглого пе-
рерізу ,a то, розбивши довжину l на in рівних ділянок трубки довжиною
i
l
l
n
= і застосувавши закон Пуазейля для кожної такої ділянки трубки, отрима-
ємо за відомими перепадами тиску між кінцями циліндричних ділянок на першо-
му інтервалі часу ip фази дихання величини обʼємної швидкості руху повітря
вздовж усієї довжини трубки ,l а отже, визначимо середній потік повітря
inQ в
альвеолярний простір на даному інтервалі часу, яким визначається маса цього по-
вітря .
inm
Для розрахунку перепаду тиску ip на кінцях i-ї ділянки трубки скористає-
мося співвідношеннями (31):
1,i i ip p p − = − (32)
1
2
( )
,i i
i
M m R T
p
a l
−+
=
(33)
де ,ip 1ip − — тиск повітря в кінці i-ї та 1i − -ї ділянок трубки, iM — маса повіт-
ря, яка знаходиться в i-й ділянці до надходження на вхід трубки повітря масою
0 ,m 1im − — маса повітря, що надходить з 1i − -ї в i-ту ділянку трубки, 0p — тиск
вдихуваного повітря.
Таким чином, згідно (31), алгоритм розрахунку вентиляційних параметрів у
повітроносних шляхах, відповідних j -му інтервалу часу, має такий вигляд:
4 ( )
( ) ,
8
i j
i j
B
a p
Q
l
=
(34)
1( ) ( ) ( ),i j i j i jp p p − = − (35)
( ) ( ) ,i j i jp p R T = (36)
1
2
( ) ( )
,
i j i j
i
M m
p
a l
− +
=
(37)
( ) ( ) ( ) ,i j i j i jm Q = (38)
1( ) ( ) ( ),i j i j i jM M m+ = + (39)
де j — час 0 ,j T j = + j — номер часового розбиття інтервалу тривалості
дихальної фази, ( ),i jQ ( ),i jp ( ),i j ( )i jm — розрахункові значення
обʼємної швидкості, тиску, густини і маси повітря, відповідних i-й ділянці повіт-
роносних шляхів та j -му інтервалу часу тривалості фази дихання, яка роз-
глядається.
Для визначення зміни обʼєму альвеолярного простору в кожний момент часу
скористаємося раніше отриманим співвідношенням (30) для радіусу кулі:
158 ISSN 1028-0979
2
2
1
1 1
3 ( ) ( )
( ) 1 ( ( ) ) ,
2 4 ( ) ( )
i in j n j
j j
j j
m R T m R Td d
r r d r d
k r k r
−
− −
= − + + − + +
(40)
де ( )i jm — маса повітря, що надійшло за час j -го інтервалу часу з in -ї ді-
лянки повітроносних шляхів в альвеолярний простір, яка визначається згід-
но (34)–(39) для всіх 1, ii n= при даному .j
Розглянемо застосування алгоритму розрахунку вентиляційних парамет-
рів (34)–(40) на фазі вдиху, який може бути використаний при застосуванні апара-
тів ШВЛ. Як вихідні дані використовуємо геометричні та фізичні параметри ,l
, ,B ,a ,R T значення тиску 0( ),ip T маси 0( )iM T для всіх 1, ,ii n= відповід-
ні моменту часу 0T (до початку фази вдиху), радіусу кулі 0( ),r T масі повітря аль-
веолярного простору 0( ),AM T також m і ,in а значить, і 0 ,m тривалість ,Int а
отже, і . Для першого моменту часу 1 0T = + за допомогою циклічної про-
цедури (34)–(39) для всіх 1, ii n= визначаємо величину маси 1( ),
inm яка застосо-
вується при розрахунку 1( )r за формулою (40) із урахуванням того, що 1( )
inp
дорівнює тиску повітря в альвеолярному просторі 0( ).Ap T Далі визначаємо тиск
1( ),Ap який утворюється, і масу 1( )AM згідно із співвідношеннями
3
( )
( ) ,
4
( )
3
A j
A j
j
M R T
p
r
=
(41)
1( ) ( ) ( ),
iA j A j n jM M m− = + (42)
які будуть вихідними для подальших розрахунків. Запропонована процедура за-
стосовується при розрахунку параметрів у момент часу 2 1 . = + Процес обчи-
слення повторюється до моменту закінчення фази вдиху 1 .n n− = + Зауважи-
мо також, що запропонований алгоритм розроблений для ламінарного руху газів
вздовж системи повітроносних шляхів. У разі, коли рух буде турбулентним або
змішаним, співвідношення (34) може бути замінене співвідношенням (31):
1 2
2 ( ) ( ) ( ),i i j i j i jk Q k Q p + = (43)
де коефіцієнти
1
,ik
2i
k можуть бути різними для кожної ділянки системи повіт-
роносних шляхів, які залежать від характеру руху повітря вздовж кожної ділянки і
від опору даних ділянок повітряному потоку.
Висновок
У роботі наведено алгоритм розрахунку параметрів повітроносних шляхів,
який враховує характер руху повітря вздовж кожної ділянки. Алгоритм узагаль-
нює математичну модель функціональної системи дихання для імітації режимів
ШВЛ при важкому перебігу хвороби COVID-19.
Міжнародний науково-технічний журнал
«Проблеми керування та інформатики», 2022, № 2 159
N. Aralova, P. Radziejowski, M. Radziejowska
CALCULATION OF PARAMETERS OF FUNCTIONAL
BREATHING SYSTEM FOR OPTIMIZATION
OF CHOICE OF PULMONARY VENTILATION REGIMES
Nataliya Aralova
V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of National Academy of Sciences of Ukraine,
aralova@ukr.net
Paweł Radziejowski
Kazimiera Milanowska College of Education and Therapy Poznan, Poland,
pawel.radziejowski@ pcz.pl
Maria Radziejowska
Czestochowa University of Technology, Poland,
maria.radziejowska@pcz.pl
The various processes occurring in the body are controlled, i.e. their condition is deter-
mined depending on the specific influence of the controlling party. At the same time, it is
natural to try to choose the optimal control effect, the best in comparison with other possi-
ble control methods. It is clear that for a living organism to optimize the choice of control
effect it is necessary to simulate on a mathematical model that would allow real-time
simulation of perturbations and predict the functional state of the organism due to these
perturbations. This applies, in particular, to predicting the response of functional systems
of the body in viral disease. The paper generalizes a mathematical model of the functional
respiratory system that would take into account the different nature of air movement in the
airways (laminar, turbulent, mixed). The components of the model are models of transport
of respiratory gases in the airways, alveolar space, pulmonary capillary blood, arterial
blood, tissue capillary blood, tissues and mixed venous blood and self-organization of the
respiratory and circulatory system. The proposed computational procedure can be applied
taking into account the array of individual data for the selection of modes of artificial lung
ventilation in the case of severe COVID 19.
Keywords: mathematical model of functional respiratory system, artificial lung ventila-
tion, self-organization of respiratory system, airways, severe course of COVID 19.
REFERENCES
1. Keener J., Sneyd J. Mathematical physiology. Springer, 2001. 766 p.
2. Aralova N.I., Klyuchko O.M., Mashkin V.I., Mashkina. I.V., Radziejowski P.А., Radziejow-
ska M.Р. Mathematical model of conflict-controlled processes in self-organization of respiratory
system. Cyb. and computer engineering. 2021. N 3 (205). Р. 52–70. DOI: https://doi.org/10.
15407/kvt205.03.052.
3. Балантер Б.И., Ханин М.А., Чернавский Д.С. Введение в математическое моделирование
патологических процессов. М. : Медицина, 1980. 262 с.
4. Фурсова И.В., Левич П.В., Алексеев В.Л. Экстремальные принципы в математической био-
логии. Успехи современной биологии. 2003. 123, № 2. С. 115–137.
5. Мезенцева Л.В., Перцов С.С. Математическое моделирование в биомедицине. Вестник но-
вых медицинских технологий. 2013. ХХ, № 1. С. 11–14.
6. Любимов Г.А. Модели легких человека и исследование с их помощью механики дыхания.
Труды математического института им. В.А. Стеклова. 1998. 223. С. 196–206.
7. Ben-Tal A. Simplified models for gas exchange in the human lungs. Journal of theoretical biolo-
gy. 2006. 238. P. 474–495. DOI: 10.1016/j.jtbi.2005.06.005.
8. Benallal H., Beck K.C., Jonson B.D., Busso T. Evaluation of cardiac output from a tidally venti-
lated homogeneous lung model. European Journal of Applied Physiology. 2005. 95. P. 153–162.
DOI: 10.1007/s00421-005-1376-6.
9. Kuwahara F., Sano Y., Liu J., Nakayama A.A. Porous media approach for bifurcating flow and
mass transfer in a human lung. Journal Heat Transfer. 2009. 131, N 10. DOI: 10.1115/1.3180699.
10. Reis A.H., Miguel A.F. Aydin M. Constructal theory of flow architecture of the lungs. MedPhys.
2004. 31(5). P. 1135–1140. DOI: 10.1118/1.1705443.
11. Trusov P.V., Zaitseva N.V., Tsinker M.Yu. Modeling of human breath: conceptual and mathe-
matical statements. Mathematical Biology and Bioinformatics. 2016. 11(1). P. 64–80. DOI:
10.17537/2016.11.64.
12. Simakov S.S. Modern methods of mathematical modeling: of blood flow using reduced order
methods. Computer research and modeling. 2018. 10, N 5. P. 581–604. DOI 10. 20537/2076-
2018-10-5-581-604.
mailto:pawel.radziejowski@%20pcz.pl
mailto:maria.radziejowska@pcz.pl
https://doi.org/10.%0b15407/kvt205.03.052
https://doi.org/10.%0b15407/kvt205.03.052
mailto:cinker@fcrisk.ru
160 ISSN 1028-0979
13. Quarteroni A., Rozza G. Reduced order methods for modeling and computational reduction.
Cham : Springer International Publishing, 2014.
14. Formaggia L., Quarteroni A., Veneziani A. Cardiovascular mathematics. Heidelberg : Springer, 2009. 1.
15. Blanco P.J., Feijoo R.A. A 3D-1D-0D computational model for the entire cardiovascular system.
Mecánicа Computaсional. 2010. XXIX. P. 5887–5911.
16. Xiao N., Alastruey-Arimon J., Figueroa C.A. A systematic comparison between 1D and 3D he-
modynamics in compliant arterial models. International Journal Numer Method Biomed Eng.
2014. 30, N 2. P. 204–231. DOI: 10.1002/cnm.2598.
17. Sazonov I., Khir A.W., Hacham W.S., Boileau E., Carson J.M., van Loon R., Ferguson C., Nithi-
arasu P. A novel method for non-invasively detecting the severity and location of aortic aneu-
risms. Biomechanics and modeling in mechanobiology. 2017. 16. P. 1225–1242. DOI:
10.1007/s10237-017-0884-8.
18. Liu J., Yan Z., Pu Y., Shiu W.S., Wu J., Chen R., Leng X., Qin H., Liu X., Jia B., Song L.,
Wang Y., Miao Z., Wang Y., Liu L., Cai X.C. Functional assessment of cerebral artery stenosis:
A pilot study based on computational fluid dynamics. Journal Cereb Blood Flow Metab. 2017.
37, N 7. P. 2567–2576. DOI: 10.1177/0271678x16671321.
19. Khe A.K., Cherevko A.A., Chupakhin A.P., Bobkova M.S., Krivoshapkin A.L., Orlov K.Yu.
Haemodynamics of giant cerebral aneurysm: A comparison between the rigid-wall, one-way and
two-way FSI models. Journal of Physics: Conference Series. Novosibirsk. 2016; 722:012042.
DOI: 10.1088/1742-6596/722/1/012042.
20. Колчинская А.З. Кислородные режимы организма ребенка и подростка. Киев : Наук. думка,
1973. 320 с.
21. Aralova N.I. Integrated mathematical model of self-organization of functional systems of the or-
ganism for imitation viral diseases. Journal of Automation and Information Sciences. 2020. 52,
N 7. P. 52–62. DOI: 10.1615/JAutomatInfScien.v52.i7.
22. Aralova N.I., Aralova А.А. Mathematical models of conflict controlled processes under function-
al self-organization of the respiratory system. Cyb. and computer engineering. 2019. N 3(197).
P. 65–79. DOI: https://10.15407/kvt197.03.065.
23. Гомеостаз функциональной системы дыхания как результат внутрисистемного и системно-
средового информационного взаимодействия. В.И. Гриценко, М.И. Вовк, А.Б. Котова,
В.М. Белов, О.П. Минцер, С.И. Кифоренко, Ю.Н. Онопчук, Л.М. Козак, И.И. Ермакова. Биоэко-
медицина. Единое информационное пространство. Киев : Наук. думка, 2001. С. 59–85.
24. Гомеостаз функциональной системы кровообращения как результат внутрисистемного
и системно-средового информационного взаимодействия. В.И. Гриценко, М.И. Вовк,
А.Б. Котова, В.М. Белов, О.П. Минцер, С.И. Кифоренко, Ю.Н. Онопчук, Л.М. Козак,
И.И. Ермакова. Биоэкомедицина. Единое информационное пространство. Киев : Наук. дум-
ка, 2001. С. 86–104.
25. Аралова Н.И. Математические модели функциональной системы дыхания для решения
прикладных задач медицины труда и спорта. Saarbrücken : LAP LAMBERT Academic
Publishing GmbH&Co, KG. 2019. 368 с. ISBN 978-613-4-97998-6.
26. Полинкевич К.Б., Онопчук Ю.Н. Конфликтные ситуации при регулировании основной
функции системы дыхания организма и математические модели их разрешения. Киберне-
тика. 1986. № 3. С. 100–104.
27. Онопчук Ю.Н., Мисюра А.Г. Методы математического моделирования и управления в тео-
ретических исследованиях и решении прикладных задач спортивной медицины и физиоло-
гии. Cпортивна медицина. 2008. 1. С.181–188.
28. Онопчук Ю.Н., Марченко Д.И. Исследование на математических моделях изменений об-
щего и органного кровотока в условиях гипоксической гипоксии. Кибернетика и вычисли-
тельная техника. 1993. Вып. 59. С. 87–90.
29. Онопчук Ю.Н. Об одной модели распределения кровотока по тканям в организме человека при
изменении физической нагрузки. Кибернетика и вычислительная техника. 1980. Вып. 84. С. 55–59.
30. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М. : Наука,
1985. 224 с.
31. Марченко Д.И., Онопчук Ю.Н., Рашман Б.Г. Об одном алгоритме расчета вентиляционных
параметров легких при искусственной вентиляции. Кибернетика и вычислительная техни-
ка. 1993. Вып. 98. C. 26–31.
32. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Учебник для вузов. Изд. 6-е, перераб. и доп.
М. : Наука, 1987. 840 с.
33. Rohrer F. Strömungwiderstand in den menschlichen Athemwegen und der Einflluss der unregel-
massigen Verzweigungen des Bronchiol Systems auf den Athmungsverlauf in verschiedenen
Lungenbezierken. Pflügers Archiv ges. Physiology. 1915. 162. P. 225–299.
34. Medway W., Gerachi G. Blood chemistry of the bottlenose dolphin (Tursiops truncatus). Ameri-
can Journal of Physiology. 1965. 209. P. 169–172. DOI: 10.1152/ajplegacy.1965.209.1.169.
35. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов.
Киев : Наук. думка, 1975. 704 с.
Отримано 09.03.2022
https://doi.org/10.1002/cnm.2598
https://dx.doi.org/10.1007%2Fs10237-017-0884-8
https://ui.adsabs.harvard.edu/link_gateway/2016JPhCS.722a2042K/doi:10.1088/1742-6596/722/1/012042
https://doi.org/10.1152/ajplegacy.1965.209.1.169
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210882 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-12T16:33:32Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Аралова, Н.І. Радзійовський, П. Радзійовська, М. 2025-12-19T17:50:27Z 2022 Розрахунок параметрів функціональної системи дихання для оптимізації вибору режимів штучної вентиляції легенів / Н.І. Аралова, П. Радзійовський, М. Радзійовська // Проблеми керування та інформатики. — 2022. — № 2. — С. 149-162. — Бібліогр.: 36 назв. — укр. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210882 519.8.812.007 10.34229/2786-6505-2022-2-11 Різноманітні процеси, що відбуваються в організмі, є керованими, тобто їхній стан визначається в залежності від конкретного впливу на них керуючої сторони. При цьому природним є намагання вибрати оптимальний керуючий вплив, найкращий у порівнянні з іншими можливими способами керування. Зрозуміло, що живому організму для оптимізації вибору керуючого впливу необхідно здійснити імітацію на математичній моделі, яка дозволила б у режимі реального часу імітувати збурення і прогнозувати функціональний стан організму внаслідок цих збурень. Це стосується, зокрема, прогнозування реакції функціональних систем організму при вірусному захворюванні. У роботі узагальнено математичну модель функціональної системи дихання, яка враховувала б різний характер руху повітря в повітроносних шляхах (ламінарний, турбулентний, змішаний). Складовими частинами моделі є моделі транспортування респіраторних газів у повітроносних шляхах, альвеолярному просторі, крові легеневих капілярів, артеріальній крові, крові тканинних капілярів, тканинах і змішаній венозній крові та самоорганізації системи дихання та кровообігу. Запропонована обчислювальна процедура може бути застосована з урахуванням масиву індивідуальних даних для вибору режимів штучної вентиляції легенів у разі важкого перебігу COVID-19. Various processes occurring in the body are controllable, meaning their state is determined by specific influences from the controlling side. In this context, the natural goal is to choose the optimal control influence, the best one compared to other possible control methods. Clearly, for the optimization of the control influence choice, a living organism needs to simulate it on a mathematical model, which would allow for real-time simulation of disturbances and forecasting the functional state of the organism as a result of these disturbances. This is particularly relevant for forecasting the response of the body's functional systems during viral diseases. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Керування в економічних та біологічних системах Розрахунок параметрів функціональної системи дихання для оптимізації вибору режимів штучної вентиляції легенів The calculation of the parameters of the respiratory functional system for optimizing the selection of artificial lung ventilation modes Article published earlier |
| spellingShingle | Розрахунок параметрів функціональної системи дихання для оптимізації вибору режимів штучної вентиляції легенів Аралова, Н.І. Радзійовський, П. Радзійовська, М. Керування в економічних та біологічних системах |
| title | Розрахунок параметрів функціональної системи дихання для оптимізації вибору режимів штучної вентиляції легенів |
| title_alt | The calculation of the parameters of the respiratory functional system for optimizing the selection of artificial lung ventilation modes |
| title_full | Розрахунок параметрів функціональної системи дихання для оптимізації вибору режимів штучної вентиляції легенів |
| title_fullStr | Розрахунок параметрів функціональної системи дихання для оптимізації вибору режимів штучної вентиляції легенів |
| title_full_unstemmed | Розрахунок параметрів функціональної системи дихання для оптимізації вибору режимів штучної вентиляції легенів |
| title_short | Розрахунок параметрів функціональної системи дихання для оптимізації вибору режимів штучної вентиляції легенів |
| title_sort | розрахунок параметрів функціональної системи дихання для оптимізації вибору режимів штучної вентиляції легенів |
| topic | Керування в економічних та біологічних системах |
| topic_facet | Керування в економічних та біологічних системах |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210882 |
| work_keys_str_mv | AT aralovaní rozrahunokparametrívfunkcíonalʹnoísistemidihannâdlâoptimízacííviborurežimívštučnoíventilâcíílegenív AT radzíiovsʹkiip rozrahunokparametrívfunkcíonalʹnoísistemidihannâdlâoptimízacííviborurežimívštučnoíventilâcíílegenív AT radzíiovsʹkam rozrahunokparametrívfunkcíonalʹnoísistemidihannâdlâoptimízacííviborurežimívštučnoíventilâcíílegenív AT aralovaní thecalculationoftheparametersoftherespiratoryfunctionalsystemforoptimizingtheselectionofartificiallungventilationmodes AT radzíiovsʹkiip thecalculationoftheparametersoftherespiratoryfunctionalsystemforoptimizingtheselectionofartificiallungventilationmodes AT radzíiovsʹkam thecalculationoftheparametersoftherespiratoryfunctionalsystemforoptimizingtheselectionofartificiallungventilationmodes |