Адаптивний алгоритм розв’язання систем рівнянь з блочно-хмарочосними матрицями

• Опубліковано в: : Проблемы управления и информатики
• Дата: 2022
• Автори: Сидорук, В.А., Єршов, П.С.
• Формат: Стаття
• Мова: Українська
• Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2022
• Теми: Керування системами з розподіленими параметрами, математичне моделювання
• Онлайн доступ: https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210908
• Назва журналу: Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
• Цитувати: Адаптивний алгоритм розв’язання систем рівнянь з блочно-хмарочосними матрицями / В.А. Сидорук, П.С. Єршов // Проблеми керування та інформатики. — 2022. — № 5. — С. 17-31. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.

Зростаючі вимоги до якості проєктних рішень, а також використання нових конструктивних матеріалів викликають необхідність у розв’язанні якісно нових задач. Також завжди існує потреба у виконанні розрахунків складних унікальних конструкцій. Тому зростає необхідність у нових методах і підходах, пов’язаних із побудовою та дослідженням коректних комп’ютерних моделей, які адекватно відображають реальну роботу конструкцій. Використання деталізованих математичних моделей призводить до суттєвого зростання розмірів розрахункових (дискретних) задач, а отже, і відповідних матриць. Зазвичай такі матриці мають розріджену структуру та надвеликі розміри. У результаті виникають проблеми ефективного збереження, декомпозиції та обробки таких даних. Застосовуючи структурну регуляризацію матриць, можна вирішувати наступні завдання: компактне збереження даних; швидкий доступ до великих масивів даних та їх обробка; мінімізація обмінів даними між обчислювальними пристроями. Для задач із розрідженими симетричними матрицями блочно-хмарочосного виду запропоновано адаптивний паралельний алгоритм прямого методу, який забезпечує високу ефективність розпаралелювання і враховує структуру розріджених матриць та їх наповненість даними. Розроблений алгоритм дозволяє виконати розподіл між процесами обчислення з блоками ненульових елементів трикутного розвинення розрідженої матриці таким чином, щоб вони проводилися одночасно більшістю процесів. Отримано оцінки кількості арифметичних операцій, що виконуються алгоритмом, та коефіцієнта прискорення. Також отримано часові характеристики і показники прискорення при розв’язанні низки практичних задач моделювання міцності будівельних конструкцій нарізній кількості процесорних ядер із застосуванням різної величини блоків, використовуваних для обчислень. The growing demands for the quality of design solutions, as well as the use of new structural materials, create the need to solve qualitatively new tasks. There is also always a need to perform calculations for complex unique structures. Therefore, the need for new methods and approaches related to the construction and study of correct computer models that adequately reflect the real performance of structures is increasing. The use of detailed mathematical models leads to a significant increase in the size of the computational (discrete) problems, and thus, the corresponding matrices. Such matrices usually have a sparse structure and extremely large dimensions. As a result, problems arise regarding the efficient storage, decomposition, and processing of such data. By applying structural regularization of matrices, the following tasks can be solved: compact data storage; fast access to large arrays of data and their processing; and minimization of data exchange between computing devices. For problems with sparse symmetric block-hierarchical matrices, an adaptive parallel direct method algorithm is proposed, which ensures high efficiency in parallelization and takes into account the structure of sparse matrices and their data filling. The developed algorithm allows for the distribution of computation between processes with blocks of non-zero elements of the triangular decomposition of the sparse matrix in such a way that they are carried out simultaneously by most of the processes. Estimates of the number of arithmetic operations performed by the algorithm and the acceleration factor have been obtained. Time characteristics and acceleration indicators are also presented when solving a series of practical tasks for simulating the strength of building structures on a different number of processor cores using various block sizes for calculations.