A generalization of first direct method of pursuit for differential inclusions
To solve the pursuit problem in linear differential games, L.S. Pontryagin proposed two direct methods that have significant importance in the development of the theory of differential games and control theory under uncertainty. These methods were also useful in solving the control synthesis problem...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2022 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Англійська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2022
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210909 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | A generalization of first direct method of pursuit for differential inclusions / I.M. Iskanadjiev // Проблеми керування та інформатики. — 2022. — № 5. — С. 32-41. — Бібліогр.: 12 назв. — англ. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859609523635879936 |
|---|---|
| author | Iskanadjiev, I.M. |
| author_facet | Iskanadjiev, I.M. |
| citation_txt | A generalization of first direct method of pursuit for differential inclusions / I.M. Iskanadjiev // Проблеми керування та інформатики. — 2022. — № 5. — С. 32-41. — Бібліогр.: 12 назв. — англ. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | To solve the pursuit problem in linear differential games, L.S. Pontryagin proposed two direct methods that have significant importance in the development of the theory of differential games and control theory under uncertainty. These methods were also useful in solving the control synthesis problem. Pontryagin's direct methods have proven to be an effective tool for solving pursuit-avoidance and control problems. They involve integrals that have several essential differences from the classical integral. One of the differences is the use of multivalued mappings. Pontryagin's direct method, based on the concept of a sign-changing integral, has no analog in the integration of real functions. The variable integral is defined using the integration of multivalued mappings and the geometric difference of sets (Minkowski difference). These operations complicate the computation of the variable integral. From this perspective, the integral used in the first direct method has a simpler structure. Therefore, the question arises about generalizing the first direct method of pursuit. This paper investigates the generalization of the first direct method for pursuit games described by differential inclusions, where F is a continuous multivalued mapping. This method will be called the modified first direct method of pursuit for differential inclusions. Specifically, the class of stroboscopic strategies and the trajectory of the system's motion are defined. For these classes of games, it is proven that if the initial point belongs to the modified first integral (the integral with a multivalued mapping present in the definition of the modified first direct method), this is a necessary and sufficient condition for the game to end at a fixed time in the class of stroboscopic strategies. The problem of calculating this integral is important. The paper also demonstrates that the union operations in the definition of the modified first integral can be restricted to the class of compact-valued mappings.
Для вирішення задачі переслідування в лінійних диференціальних іграх Л.С. Понтрягін запропонував два прямі методи, які мають велике значення в розвитку теорії диференціальних ігор і теорії керування в умовах невизначеності. Це виявилося корисним і при вирішенні задачі синтезу керування. Прямі методи Понтрягіна зарекомендували себе як ефективний засіб вирішення проблем переслідування-ухилення та контролю. У них використовуються інтеграли, що мають низку істотних відмінностей від класичного інтеграла. Однією з відмінностей є використання багатозначного відображення. Прямий метод Понтрягіна, заснований на понятті знакозмінного інтеграла, не має аналогів в інтегруванні дійсної функції. Для визначення змінного інтеграла використовується інтегрування багатозначних відображень і геометрична різниця множини (різниця Мінковського). Ці операції ускладнюють обчислення змінного інтеграла. З цієї точки зору інтеграл, який використовується першим прямим методом, має більш просту конструкцію. Тому закономірно постає питання про узагальнення першого прямого способу переслідування. У статті досліджується узагальнення першого прямого методу для ігор переслідування, що описується диференціальними включеннями, де F є неперервним багатозначним відображенням. Цей метод будемо називати модифікованим першим прямим методом переслідування диференціальних включень. Зокрема, визначено клас стробоскопічних стратегій, траєкторію руху системи. Для цих класів ігор доведено, якщо вихідна точка належить модифікованому першому інтегралу (інтегралу з багатозначного відображення, який присутній у визначенні модифікованого першого прямого методу), то це є необхідною і достатньою умовою для завершення гри в фіксований момент часу в класі стробоскопічних стратегій. Проблема обчислення цього інтеграла є важливою. У цій статті також доведено, що операції об’єднання у визначенні модифікованого першого інтеграла можна звузити до класу компактнозначних відображень.
|
| first_indexed | 2026-03-14T04:17:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
© I. ISKANADJIEV, 2022
32 ISSN 2786-6491
КОНФЛІКТНО-КЕРОВАНІ ПРОЦЕСИ
ТА МЕТОДИ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ
UDC 517.92
I. Iskanadjiev
A GENERALIZATION OF FIRST DIRECT METHOD
OF PURSUIT FOR DIFFERENTIAL INCLUSIONS
Ikromjon Iskanadjiev
Tashkent Chemical-Technological Institute, Uzbekistan,
kaltatay@gmail.com
To solve the problem of pursuit in linear differential games, L.S. Pontryagin
suggested two direct methods. Direct methods are of great importance in the de-
velopment of the theory of differential games and in control theory under the
conditions of uncertainty. It turned out to be useful also in solving the problem
of control synthesis. Pontryagin direct methods have proved themselves as an ef-
fective means for solving problems of pursuit- evasion and control. These use
integrals, having a number of significant differences from the classical integral.
One of the differences consists in the use of multivalued mapping. Pontryaginʼs
second direct method, based on concept of the alternating integral, which has no
analogs in integration of real function. In definition of alternating integral partic-
ipate of integration of setvalued mappings and geometric difference (Minkovski
difference) of sets. These operations make difficulties for computation of alter-
nating integral. From this point of view, the integral used by the first direct
method has a simpler construction. Therefore, the question naturally arises of
generalization the first direct method of pursuit. In this paper it will be studied a
generalization of the first direct method for pursuit games, being described by
differential inclusions ( , ),z F t v where F is a continuous multivalued map-
ping. This method will be called the modified first direct method of pursuit for
differential inclusions. In particular, the class of stroboscopic strategies, the tra-
jectory of the system are determined. For these classes games, it is proved that if
the starting point belongs to the modified first integral (the integral from the
multivalued mapping, which is present in the definition of the modified fist di-
rect metod), then this is necessary and sufficient condition for completing the
game in a fixed time instant in the class of stroboscobic strategies. The problem
of computation this integral is important. In the present article it has also been
proved that the union operations in the definition of the modified first integral
can be narrowed down to the class of compact-valued mappings
Keywords: differential inclusion, differential games, crossection, stroboscopic
strategy, admissible control, evader, pursuer, pursuit partition, nearly strobo-
scopic strategy.
In the present paper it will be studied a generalization of the first direct method for
pursuit games, being described by differential inclusions ( , )z F t v , where F is a
continuous multivalued mapping. This method will be called the modified first direct
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2022, № 5 33
method of pursuit for differential inclusions. On the basis of the integral of the modified
first direct method of pursueit, a necessary and sufficient condition for the completion
of the game in the class of stroboscopic strategies of the pursuer in a fixed time instant
is obtained.
Futher we shall use the following notations: [0, ]I is the fixed closed inter-
val of time; is a subsegment of I ; is the lenth of ;
dK ( ,dC respectively)
is the collection of all nonempty compact (closed) subsets of
dR . If the set A is
convex , we will write dA coK ( ,dA coC respectively); { 1}dH z R z is
the unit closed ball in .dR 0 1 1{0 ... }n n is the partition of the
segment I ; is the collection of all partition of the segment I ; 1[ , ];i i i
1
1
; maxi i i i i
i n
is the diameter of the partition ; i is an integral
over the interval
i ; If A is a subset of the Euclidean space, then [ ]A is the aggre-
gate of all measurable functions ( ) :a A . Denoted by ( )AC J the aggregate of all
absolutely continuous functions ( ) : .dz J R
We considered the controlled differential inclusion
( , ),z F t v (1)
where , [0, ], , , :d q dz R t I v Q Q K F I Q coK is a continuous mapping.
There is also given subset , dM M coC which is called terminal set of system (1).
The pursuit problem in L.S. Pontryaginʼs approach is posed as follows:
Let be chosen the class of strategies of the pursuer U and the initial point 0z , a
positive number be given. Is it possible from a point 0z to complete the pursuit at
the time in the game (1) for the class of strategies U ?
To solve this problem L.S. Pontryagin has suggested two direct methods of pur-
suit in a linear differential game [1].
Let ( ) : I R be a nonnegative measurable function that satisfies the condition
0 ( ) 1t dt and .dM coC Then the following equality
0 ( ) .t Mdt M (2)
holds [2].
Modifications of Pontryaginʼs first direct method of pursuit based on the formula (2)
were given in [2, 3].
If for any
dB C a set { ( ) , }A t B t is closed then multivalued mapping
( ) : dA I C is called measurable.
A function ( ) : , ( ) ( )da R a t A t almost everywhere (a.e.) on is called
a single-valued cross-section of mapping ( )A t and [ ( ), ]L A is denoted the family of
all integrable single-valued cross-sections of mapping ( )A t on .
The set
( ) ( ) , ( ) [ ( ), ]A t dt a t dt a t L A
is called the integral of the measurable multivalued mapping ( ) : dA I C .
34 ISSN 2786-6491
Let cl ( comp , respectively) be an aggregate of all measurable closed-valued
(respectively compact-valued) mappings ( ) : dA I C ( ( ) : dA I K , respectively)
that satisfy the condition
0 ( ) .A t dt M (3)
The first direct pursuit method based on formula (2) was developed in [4, 5].
We construct an integral
0
[ ( ), ] [ ( ) ( , )]
v Q
W A A t F t v dt
for every ( )A cl .
We will call every function ( ) ( )v Q I as evader admissible control.
Let { }BP U be the aggregate of all Borel measurable cross-sections : dU I Q R
of the mapping ( , )F t v on the interval .I The elements U from the class BP are called
stroboscopic strategies of a pursuer. To each triple dR , BU P , ( ) ( )v Q I the
mapping assigns a function ( ) ( )z AC I defined by the formula
0
( ) ( ) ,
t
z t w t dt where ( ) ( , ( )).w t U t v t
We call the function ( ) ( , , , ( ))z t z t U v the trajectory of system (1) on the
segment [0, ]I corresponding to the initial state ,dR the pursuerʼs strategy
BU P , and the admissible control of the evader ( ) ( ).v Q I
Definition 1. We will say that it is possible to complete the pursuit from initial
point
dR in time ( at the time instant ) in the class of strategies BP , if there is
a pursuer strategy BU P for every ( ) ( )v Q I for the trajectories ( , , , ( ))z t U v
( , , ( ))U v corresponding to the triple , , ( )U v there is an inclusion
( , , , ( ))z t U v M for certain t I (correspondingly ( )z M ).
Let : dW I Q coK be measurable mapping with respect to t fixed ,v contin-
uous (in Hausdorff metric) with respect to v fixed t , and the function : d dg I R R
be continuous and the function : dI R be measurable. We consider the mapping
( , ) { ( , ) | ( , ) ( )}t v w W t v g t w t
Lemma 1. There exists a zero measure subset ,S S I such that the restriction of
the mapping ( , )t v to the set
0 {( , ) | \ , }G t v t I S v Q has a Borelean measurable
cross-section.
Proof. Let the function ( )t and mapping ( , )W t v be continuous. Then the map-
ping ( , )t v will be upper semicontinuous with respect to the inclusion. Therefore, the
upper semicontinuous mapping has a Borelean measurable cross-section [10].
Let the function ( )t and mapping ( , )W t v be measurable with respect to t fixed v ».
Then there exists a set
1
, ( \ )n nI I
n
for any
1
n n
such that the func-
tion ( )t and the mapping ( , )W t v are continuous on this set n . Therefore the map-
ping ( , )t v has a Borelean measurable section ( , )nw t v on the set
{( , ) | , }n
nG t v t v Q . We define
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2022, № 5 35
1
1
2
2
( , ), ( , )
( , ), ( , )
( , )
.. .. .. ..
( , ), ( , ) n
n
w t v t v G
w t v t v G
w t v
w t v t v G
It is easy to verify that the constructed function ( , )w t v is Borelean measurable and is
defined on the set 0
1
n
n
G G
. We put
1
\ n
n
S I
, then the mapping ( , )t v has a
Borelean measurable cross-section ( , )w t v defined on the set
0 {( , ) | \ , }G t v t I S v Q
and ( ) 0.S
Lemma is proved.
Theorem 1. If the following inclusion
0 mod
( )
[ ( ), ]
A cl
z W W A
holds. Then it is possible to complete pursuit in time in the game (1) in the class of
stroboscopic strategies BU (see also [5–9]).
Proof. If 0 modz W , then
0
0
[ ( ) ( , )
v Q
z A t F t v dt
for some ( ) .A cl Hence we obtain 0
0
( )z w t dt
for some ( ) [ ( ) ( , )w t A t F t v
almost for all [0, ]t . Therefore, in virtue of Lemma 1, there exists a Borelean
measurable cross-section ( , ) ( ) ( , ), ( ) ( ), ( , ) ( , )w t v a t f t v a t A t f t v F t v of map-
ping ( ) ( , )A t F t v on a compact set I Q such that
0
0 0 0
( , ) ( ) ( , )z w t v dt a t dt f t v dt
for any v Q .
Let ( ) ( )v Q I be chosen arbitrarily. We assume 0( , ( )) ( , ( ))f t v t U z v t .
We define the trajectory of system (1) corresponding to the initial point 0
dz R ,
the pursuerʼs strategy 0( , ( )) ( , ( )) Bf t v t U z v t P , and the admissible control ( ) ( )v Q I
of the evader on the interval [0, ]I , as follows
0
0
( ) ( , ( )) .
t
z t z f t v t dt
On the other hand,
0
0 0
( ) ( , ( )) .z a t dt f t v t dt
Since
0
( ) .a t dt M
It follows ( ) .z M
Theorem is proved.
The set modW is called the integral of the modified first direct method of pursuit.
36 ISSN 2786-6491
We give an example demonstrating the advantages of the integral modW over the
integral W
of the first pursuit method [6].
Example. Let ( , ),z F t v where 2 ,z R ( , ) [ ],tCF t v e P v
0 1
,
1 0
C
2{( , 0) }, [0, π]P u R u l t and ,v Q
2(0, ) ,
2
l
Q v R v
1 2{( , )M z z
2 2 2 2
1 2 }.R z z l
In this case, the integral of the first direct method [6] W for any 0. Let
us prove that the integral of the modified first direct method modW for any 0.
Let . We put ( ) .tCA t e Q Then it follows from [11]
0
( ) .A t dt lH
We calculate [11]
0 0
[ ( ), ] [ ( ) ( , )] 2 .
v Q
tCW A A t F t v dt e Pdt lH
It is easy to verify that modW .
The problem of computation modW is important. However, in most cases the inte-
gral modW cannot be calculated exactly. For computation modW it is necessary to take
the union over all possible measurable closed-valued mappings. Naturally, there is a
question: is it possible to single out a subfamily of measurable closed-valued mappings,
which would have a simpler structure and sufficient for an approximate calculation of the
set modW . In the present article, by narrowing the union operations in the definition modW
to the class of compact-valued mappings to the posed question the answer is given
Lemma 2. Let ,dA C B H . Then the following inclusions hold
( ) ( ) ,
( ) ( ) .
A B H A H B
A B H A H B
(4)
Proof. Let x be an arbitrary element from the left side of the first inclu-
sion (4). By definition x A B and x H . Moreover, , ,x a b a A b B and
| | .x It follows | |a . On the other side a A . Thatʼs why ( ) .a A H
Therefore ( )x A H B .The proof of the second inclusion (3) is similar to the
proof of the first inclusion (3).
On the basis of the inclusions (3), the following theorem is proved.
Theorem 2. The equality holds
[ ( ), ].
( ) comp
W W A
A
Note that the mappings ( ), ( ) compA A that participate in the union operations
of the right-hand side of this equality are integrable. More precisely, there will be an
integrable function ( ) | ( ) |a t A t . Here | sup{| || }| A a a A for .dA C
Let be an arbitrary partition from and ( ) comp .A We put
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2022, № 5 37
( ) , ( ) ( , ) ,i ii iA A t dt F v F t v dt
1
[ ( )], [ ( ), ] .
n
i i i i
v Q i
Y A F v X A Y
We define [ ( )] [ ( ), ].X A X A
Let 1 1 2 2 1 2 1 2( ) min{ [ ( , ), ( , )], , }h F t v F t v t t v v be modulus of con-
tinuity of the mapping .( , )F t v
Theorem 3. Let ( ) comp .A Then the following equality holds:
[ ( ), ] [ ( )]W A X A .
Proof. It is possible to verify easily the validity of the inclusion [ ( ), ]W A
[ ( )]X A . Let us prove now inverse inclusion
[ ( )] [ ( ), ].X A W A
Let ˆ ( )nA t be a sequence of piecewise constant mappings converging to ( )A t al-
most everywhere on the interval I. Moreover, we can assume that ˆ ( ) ( )nA t a t H ,
where ( ) | ( ) |a t A t . If ˆ ( ) ( ) ,
n
A t a t H then we replace it with
ˆ ( ) ˆ ( )
ˆ| ( ) |
n
n
n
a t
A t
A t
, where
ˆ ( )na t is a sequence of piecewise constant functions that converges to ( )a t a.e. on I
and ˆ ( ) ( )na t a t at t I . Let ( ) [ ( ), ( )]n nt h A t A t and
1
n
n
. Then it is easy to ver-
ify that ( ) 0n t a.e. on .I Then by the Egorov theorem it follows that for any
1
n
n
there exists a set ne I such that ( )n ne and the sequence ( )n t uni-
formly converges to 0. Therefore, we can assume ( )n nt on \ nI e .
Let 0 1 1{0 ... }n n n n
n n n be a sequence of refining (monoto-
nously decreasing ) partitions of segments I , i.e. 1
1
max n n
n n i i
i n
. Let us
define a sequence of mappings 1( , ) ( , ), [ , ],n n n n n n
n i i i i i iF t v F v t , n
i —
fixed point from n
i . Note that the sequence ( , )nF t v uniformly converges to
( , )F t v on I and we will assume ( )n n . On the other hand, there is a sequence
0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ{0 ... }n n n n
n m m of partitions of a segment I such that
ˆ ( )n iA t A for 1ˆ ˆ[ , ]ˆ n n n
i i it .
We put ˆn n n . We extend the sequences ˆ ( )nA t and ( , )nF t v on n and
we can assume that ˆ ( )nA t and ( , )nF t v converge uniformly to ˆ( )A t and ( , )F t v on the
set \ nI e , respectively.
Let us consider the partition 1 2\ , \ ..., \ , }{ n n n
n n n l n ne e e e .Then
1
[ ( ), ] [ ( )] [ ( ), ] [ ( )\
l
v Qi
nW A X A X A A t dten i n
38 ISSN 2786-6491
( , ) ] ( , )\ ( )
n ne e
v Q
n F t v dt A F t v dtei n
t dt
\ \
1
ˆ( ( ) ) ( ( , ) ) ( )n
i n
n
i n
l
n n n n ne e
v Qi
A t H dtn F t v H dt e H
1
ˆ( 2 ) ( \ ) .
l
i i n
n n n i n n
v Qi
A H F e H
(5)
On the other hand,
[ 4 ( , )] (4 )( ) n n nI
v Q
H F t v dt HA t
\
[ ( ) 4 ( , )] [ ( ) 4 ( , )]
n n
n nI e e
v Q v Q
A t H F t v dt A t H F t v dt
\
(4 ) [ ( ) 4 ( , )] .
n
n
n n I e
v Q
H A t H F t v dt
(6)
Now, by the following inclusions ˆ( ) ( ) ,n nA t A t H ( , ) ( , )n nF t v F t v H
on \ nI e we have
\ \
ˆ[ ( ) 4 ( , )] [ ( ) 2 ( , )]
n n
n n
n nI e I e
v Q v Q
A t nH F t v dt A t H F t v dt
1
ˆ( 2 ) ( \ ).
l
i i n
n n n i n
v Qi
A H F e
(7)
In virtue of (4), (5) and (6) we obtain
1
ˆ[ ( ), ] [ ( )] ( 2 ) ( \ )
l
i i n
n n n i n n
v Qi
W A X A A H F e H
[ ( ) 4 ( , )] (4 2 ) .n n nI
v Q
A t H F t v dt H
This implies
0
[ ( ), ] [ ( )] [ ( ) 4 ( , )]
n
nI
v Q
W A X A A t H F t v dt
(4 2 ) [ ( ), ].n nH W A
This concludes [ ( ), ] [ ( )]W A X A .
Theorem is also proved.
Definition 2. Let the mapping : dU I Q R for every partition and for
every function ( ) ( )i iv Q associate with the Borelean measurable cross-section
( , ( ))i if t v t of the mappings ( , ( ))F t v ti on i and hold the conditions
1 2( , ( )) ( , ( ))
i i
U v U v
for every 1 2( ) ( )
i i
v v .
We call such mapping nearly stroboscopic pursuer strategy. Denote the family of
all such pursuer strategies by ˆ
BP .
We put
( ) comp
[ ] [ ( )].
A
X M X A
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2022, № 5 39
Theorem 4. In order to complete pursuit in game (1) at time instant in the class
ˆ
BP of nearly stroboscopic strategies, 0 [ ]z X M is necessary and sufficient .
Proof. Let us prove initially the necessity. Let the strategy ˆ
BU P completes a
game at time instant , i.e. ( , , ( ))z U v M for every ( ) ( ).v Q I
Let and ( ) ( )v Q I be arbitrary. Then 0 ( , ( ))
0
z U t v t dt M . Otherwise,
0
1
( , ( )) ,
n
ii
i
z U t v t dt M
(8)
where ( ) ( )iv t v t for it . We can rewrite the inequality (8) as
1
0
1
( , ( )) ( , ( ))
n
i n
i
z U t v t dt M U t v t dt
Due to the convexity and closedness of the set, we have [13]
1
1
1
.
i
n i
i
Mdt M
Taking this into account and arbitrariness of the function ( ) ( )v Q I , and substitu-
tion of its values by nt , we obtain
1 1
0
1 1
( ) ( )
1 1
( , ( )) ( , ( ) .
n
n n
i n i
i i
v Q
z U t v t dt M F t v t dt Mdt
Repeating this process ( 1n ) times, we pass to the relation 0 [ ( ), ],z X A
where
1
( )A t M cl
. In virtue of the arbitrariness of the partition , we have
0
ω
[ ( ), ] [ ( )].z X A X A
Let us prove now the sufficiency of the condition 0 [ ]z X M for the com-
pletion of the game in the class ˆ
BP . This implies that there exists ( ) compA
such that 0 [ ( ), ]z X A for arbitrary . We have 0
1
n
i
i
z z
, where iz
( ) ( )
[ ( ) ( , ( ))]i
v Q i
A t F t v t dt
.
Thus, [ ( ) ( , ( ))]i iz i A t F t v t dt for every ( ) ( )iv Q .
Let ( )v be an arbitrary admissible control of the evader on [0, ]I , i.е.
( ) ( )v Q I . Then by virtue of Lemma 1 it follows that there is ( ) ( , ( ))i ia t f t v t
Borelean measurable cross-section of mapping ( ) ( , ( ))A t F t v t on i , such that
[ ( ) ( , ( ))]i i iiz a t f t v t dt .
We define the mapping ( , ( ))U t v t on the interval t I as ( , ( )) ( , ( ))iU t v t f t v t
on every interval it . It is evident that ˆ( , ( )) BU v P .
This implies
0
0 0
( ) ( , ( ))z A t dt U t v t dt
(9)
40 ISSN 2786-6491
Let us determine the trajectory 0( , , , ( ))z t z U v of system (1) corresponding to the ini-
tial point 0z , the admissible control ( ) ( )v Q I of an evader and the strategy of the pursuer
on the segment , is defined as follows:
0
0
( ) ( , ( )) .
t
z t z U s v s ds
In virtue of condition (8), we get ( )z M . This means that on game (1) from the
initial position 0z it is possible to complete the pursuit at time instant in the class of
the strategies ˆ
BP .
Theorem is proved.
It should be noted that an analogue of Theorem 4 for linear differential games is
proved in [12].
Theorem 5. To complete pursuit at time instant in the class BP of stroboscopic
strategies in game (1) from the point 0z it is necessary and sufficient that
0 mod.z W (10)
Proof. The sufficiency of condition (9) follows from Theorem 1. Let us prove the
necessity of condition (9) for pursuit completion in the class strategies BP . Let for eve-
ry ( ) ( )v Q I there be a strategy of pursuer BU P from the point 0z completes pur-
suit at time instant . Since every stroboscopic strategy is nearly stroboscopic it follows
from Theorem 4 that 0 [ ].z X M In virtue of the Theorem 3 we obtain .0 modz W
Theorem is proved.
І.М. Ісканаджієв
УЗАГАЛЬНЕННЯ ПЕРШОГО ПРЯМОГО
МЕТОДУ ПЕРЕСЛІДУВАННЯ
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ ВКЛЮЧЕНЬ
Ісканаджієв Ікромжон Мадашевич
Ташкентський хіміко-технологічний інститут, Узбекистан,
kaltatay@gmail.com
Для вирішення задачі переслідування в лінійних диференціальних іграх
Л.С. Понтрягін запропонував два прямі методи, які мають велике значення
в розвитку теорії диференціальних ігор і теорії керування в умовах неви-
значеності. Це виявилося корисним і при вирішенні задачі синтезу керу-
вання. Прямі методи Понтрягіна зарекомендували себе як ефективний засіб
вирішення проблем переслідування-ухилення та контролю. У них викорис-
товуються інтеграли, що мають низку істотних відмінностей від класично-
го інтеграла. Однією з відмінностей є використання багатозначного відо-
браження. Прямий метод Понтрягіна, заснований на понятті знакозмінного
інтеграла, не має аналогів в інтегруванні дійсної функції. Для визначення
змінного інтеграла використовується інтегрування багатозначних відобра-
жень і геометрична різниця множини (різниця Мінковського). Ці операції
ускладнюють обчислення змінного інтеграла. З цієї точки зору інтеграл,
який використовується першим прямим методом, має більш просту конс-
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2022, № 5 41
трукцію. Тому закономірно постає питання про узагальнення першого
прямого способу переслідування. У статті досліджується узагальнення
першого прямого методу для ігор переслідування, що описується диферен-
ціальними включеннями, де F є неперервним багатозначним відображен-
ням. Цей метод будемо називати модифікованим першим прямим методом
переслідування диференціальних включень. Зокрема, визначено клас стро-
боскопічних стратегій, траєкторію руху системи. Для цих класів ігор до-
ведено, якщо вихідна точка належить модифікованому першому інтег-
ралу (інтегралу з багатозначного відображення, який присутній у визна-
ченні модифікованого першого прямого методу), то це є необхідною і
достатньою умовою для завершення гри в фіксований момент часу в класі
стробоскопічних стратегій. Проблема обчислення цього інтеграла є важли-
вою. У цій статті також доведено, що операції об’єднання у визначенні мо-
дифікованого першого інтеграла можна звузити до класу компактнознач-
них
відображень.
Ключові слова: диференціальне включення, диференціальні ігри, перетин,
стробоскопічна стратегія, допустимий контроль, утікач, переслідувач, роз-
биття переслідування, майже стробоскопічна стратегія.
REFERENCES
1. Понтрягин Л.С. Линейные дифференциальные игры. ДАН СССР. 1967. 174, № 6. P. 1278–1280.
2. Сатимов Н. К задаче преследования в линейных дифференциальных играх. Дифференци-
альные уравнения. 1973. 9, № 11. P. 2000–2009.
3. Сатимов Н., Карабаев Э. Об одном методе решения задачи преследования. ДАН РУз. 1986.
№ 3. P. 5–6.
4. Азамов А., Саматов Б.Т. О модифицированном третьем методе в задачах преследования.
Неклассические задачи математической физики. Ташкент : Фан, 1985. С. 174–184.
5. Никольский М.С. Об одном прямом методе решения линейных дифференциальных игр
преследования–убегания. Математ. заметки. 1983. 33, № 6. P. 885–891.
6. Iskanadjiev I.M. Pontryagin first direct method for differential inclusions. Journal of Automation
and Information Sciences. 2020. 52, N 2. P. 27–41.
7. Азамов А. К первому методу Понтрягина в задачах преследования. Математ. заметки.
2011. 90, № 2. P. 163–167.
8. Iskanadjiev I.M. Pontryaginʼs alternating integral for differential inclusion. Cybernetics and
System analysis. 2013. 49, N 6. P. 936–940.
9. Chikrii A.A., Chikrii G.Ts. Approach game problems for quasilinear systems of the general form.
Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.). 2019. 304, N 1. P. 44–58.
10. Аркин В.И., Левин В.Л. Выпуклость значений векторных интегралов, теоремы измеримого
выбора и вариационные задачи. УМН. 1972. 27, вып.3(165). С. 21–77.
11. Абдуганиев А.А., Исканаджиев И.М. О задаче вычисления альтернированного интеграла
Понтрягина. ДАН РУз. 1985. № 7. P. 4–6.
12. Яксубаев К.Д. Необходимость и достаточность третьего интеграла для завершения игры в
одном классе позиционных стратегий. ДАН РУз.1987. № 5. С. 4–5.
Отримано 07.01.2023
https://www.mathnet.ru/php/contents.phtml?wshow=issue&jrnid=rm&year=1972&volume=27&issue=3&series=0&option_lang=rus
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210909 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | English |
| last_indexed | 2026-03-14T04:17:21Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Iskanadjiev, I.M. 2025-12-20T14:15:54Z 2022 A generalization of first direct method of pursuit for differential inclusions / I.M. Iskanadjiev // Проблеми керування та інформатики. — 2022. — № 5. — С. 32-41. — Бібліогр.: 12 назв. — англ. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210909 517.92 10.34229/2786-6505-2022-5-3 To solve the pursuit problem in linear differential games, L.S. Pontryagin proposed two direct methods that have significant importance in the development of the theory of differential games and control theory under uncertainty. These methods were also useful in solving the control synthesis problem. Pontryagin's direct methods have proven to be an effective tool for solving pursuit-avoidance and control problems. They involve integrals that have several essential differences from the classical integral. One of the differences is the use of multivalued mappings. Pontryagin's direct method, based on the concept of a sign-changing integral, has no analog in the integration of real functions. The variable integral is defined using the integration of multivalued mappings and the geometric difference of sets (Minkowski difference). These operations complicate the computation of the variable integral. From this perspective, the integral used in the first direct method has a simpler structure. Therefore, the question arises about generalizing the first direct method of pursuit. This paper investigates the generalization of the first direct method for pursuit games described by differential inclusions, where F is a continuous multivalued mapping. This method will be called the modified first direct method of pursuit for differential inclusions. Specifically, the class of stroboscopic strategies and the trajectory of the system's motion are defined. For these classes of games, it is proven that if the initial point belongs to the modified first integral (the integral with a multivalued mapping present in the definition of the modified first direct method), this is a necessary and sufficient condition for the game to end at a fixed time in the class of stroboscopic strategies. The problem of calculating this integral is important. The paper also demonstrates that the union operations in the definition of the modified first integral can be restricted to the class of compact-valued mappings. Для вирішення задачі переслідування в лінійних диференціальних іграх Л.С. Понтрягін запропонував два прямі методи, які мають велике значення в розвитку теорії диференціальних ігор і теорії керування в умовах невизначеності. Це виявилося корисним і при вирішенні задачі синтезу керування. Прямі методи Понтрягіна зарекомендували себе як ефективний засіб вирішення проблем переслідування-ухилення та контролю. У них використовуються інтеграли, що мають низку істотних відмінностей від класичного інтеграла. Однією з відмінностей є використання багатозначного відображення. Прямий метод Понтрягіна, заснований на понятті знакозмінного інтеграла, не має аналогів в інтегруванні дійсної функції. Для визначення змінного інтеграла використовується інтегрування багатозначних відображень і геометрична різниця множини (різниця Мінковського). Ці операції ускладнюють обчислення змінного інтеграла. З цієї точки зору інтеграл, який використовується першим прямим методом, має більш просту конструкцію. Тому закономірно постає питання про узагальнення першого прямого способу переслідування. У статті досліджується узагальнення першого прямого методу для ігор переслідування, що описується диференціальними включеннями, де F є неперервним багатозначним відображенням. Цей метод будемо називати модифікованим першим прямим методом переслідування диференціальних включень. Зокрема, визначено клас стробоскопічних стратегій, траєкторію руху системи. Для цих класів ігор доведено, якщо вихідна точка належить модифікованому першому інтегралу (інтегралу з багатозначного відображення, який присутній у визначенні модифікованого першого прямого методу), то це є необхідною і достатньою умовою для завершення гри в фіксований момент часу в класі стробоскопічних стратегій. Проблема обчислення цього інтеграла є важливою. У цій статті також доведено, що операції об’єднання у визначенні модифікованого першого інтеграла можна звузити до класу компактнозначних відображень. en Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Конфліктно-керовані процеси та методи прийняття рішень A generalization of first direct method of pursuit for differential inclusions Узагальнення першого прямого методу переслідування диференціальних включень Article published earlier |
| spellingShingle | A generalization of first direct method of pursuit for differential inclusions Iskanadjiev, I.M. Конфліктно-керовані процеси та методи прийняття рішень |
| title | A generalization of first direct method of pursuit for differential inclusions |
| title_alt | Узагальнення першого прямого методу переслідування диференціальних включень |
| title_full | A generalization of first direct method of pursuit for differential inclusions |
| title_fullStr | A generalization of first direct method of pursuit for differential inclusions |
| title_full_unstemmed | A generalization of first direct method of pursuit for differential inclusions |
| title_short | A generalization of first direct method of pursuit for differential inclusions |
| title_sort | generalization of first direct method of pursuit for differential inclusions |
| topic | Конфліктно-керовані процеси та методи прийняття рішень |
| topic_facet | Конфліктно-керовані процеси та методи прийняття рішень |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210909 |
| work_keys_str_mv | AT iskanadjievim ageneralizationoffirstdirectmethodofpursuitfordifferentialinclusions AT iskanadjievim uzagalʹnennâperšogoprâmogometodupereslíduvannâdiferencíalʹnihvklûčenʹ AT iskanadjievim generalizationoffirstdirectmethodofpursuitfordifferentialinclusions |