Оптимальне керування початковою умовою для дробового за часом хвильового рівняння
У даній роботі розглянуто однорідне дробове хвильове рівняння стану системи (або дробово-гіперболічне, або рівняння супердифузії) з лівосторонньою похідною Капуто за часом порядку від 1 до 2 та звичайними похідними цілих порядків за просторовими змінними. Для рівняння стану задано умови для розв’яз...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2022 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2022
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210918 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оптимальне керування початковою умовою для дробового за часом хвильового рівняння / Р.А. Веклич, В.В. Семенов // Проблеми керування та інформатики. — 2022. — № 6. — С. 25–42. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859547571690668032 |
|---|---|
| author | Веклич, Р.А. Семенов, В.В. |
| author_facet | Веклич, Р.А. Семенов, В.В. |
| citation_txt | Оптимальне керування початковою умовою для дробового за часом хвильового рівняння / Р.А. Веклич, В.В. Семенов // Проблеми керування та інформатики. — 2022. — № 6. — С. 25–42. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | У даній роботі розглянуто однорідне дробове хвильове рівняння стану системи (або дробово-гіперболічне, або рівняння супердифузії) з лівосторонньою похідною Капуто за часом порядку від 1 до 2 та звичайними похідними цілих порядків за просторовими змінними. Для рівняння стану задано умови для розв’язку та його першої похідної (цілого порядку) в початковий момент часу і розглядається задача керування цією похідною першого порядку з квадратичним компромісним функціоналом якості. Для хвильового рівняння, яке описує стан системи, в роботі отримано нові додаткові оцінки регулярності розв’язків. Аналогічні оцінки отримано і для спряженого до вихідного рівняння, яке містить правосторонню дробову похідну Рімана–Ліувілля за часовою змінною. Доведено також теорему існування та єдиності розв’язку задачі оптимального керування. Сформульовано й обґрунтовано необхідні та достатні умови оптимальності як для випадку, коли область допустимих керувань обмежена, так і для випадку, коли обмеження на керування відсутні.
This work examines the homogeneous fractional wave equation describing the state of the system (either fractional-hyperbolic or superdiffusion equation) with a left-sided Caputo fractional time derivative of order between 1 and 2, and ordinary integer-order derivatives with respect to spatial variables. For the state equation, conditions are given for the solution and its first derivative (integer order) at the initial time, and the problem of controlling this first-order derivative with a quadratic compromise quality functional is considered. For the wave equation that describes the state of the system, new additional estimates of the solution's regularity are obtained. Similar estimates are derived for the adjoint equation, which contains a right-sided Riemann–Liouville fractional derivative with respect to the time variable. The existence and uniqueness theorem for the optimal control problem is also proven. Necessary and sufficient conditions for optimality are formulated and justified, both for the case when the admissible control set is bounded and for the case when there are no control constraints.
|
| first_indexed | 2026-03-13T11:52:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Р.А. ВЕКЛИЧ, В.В. СЕМЕНОВ, 2022
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2022, № 6 25
КЕРОВАНІ ПРОЦЕСИ З ДРОБОВОЮ ДИНАМІКОЮ
УДК 517.9
Р.А. Веклич, В.В. Семенов
ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ
ПОЧАТКОВОЮ УМОВОЮ ДЛЯ ДРОБОВОГО
ЗА ЧАСОМ ХВИЛЬОВОГО РІВНЯННЯ
Веклич Ростислав Анатолійович
Київський національний університет імені Тараса Шевченка,
https://orcid.org/0009-0009-4177-0208,
rveklych.knu@gmail.com
Семенов Володимир Вікторович
Київський національний університет імені Тараса Шевченка,
https://orcid.org/0000-0002-3280-8245,
semenov.volodya@gmail.com
Розподілені системи з дробовими похідними використовуються при математи-
чному моделюванні процесів поширення механічних хвиль у в’язкопружних
матеріалах, аномальної дифузії в неоднорідних середовищах, наприклад внут-
рішньоклітинного руху часток в цитоплазмі клітин, та розповсюдження за-
бруднення у пористих водоносних шарах ґрунту. Такий процес дифузії відбува-
ється, зокрема, тоді, коли окремі частинки, що рухаються, можуть на тривалий
час затримуватись (наприклад, в ґрунтових порах чи через часті зіткнення з
іншими елементами неоднорідного середовища). Для ґрунтовно досліджених
систем, поведінка яких описується гіперболічними рівняннями зі звичайними
похідними цілих порядків, раніше було отримано результати існування та єди-
ності для розв’язку як рівняння стану системи, так і задач керування різних ти-
пів з різноманітними функціоналами якості. Доцільно також розглянути анало-
гічні задачі керування для згаданих рівнянь з похідними дробових порядків,
спробувати довести існування та єдиність розв’язку і навести умови його оп-
тимальності. У даній роботі розглянуто однорідне дробове хвильове рівняння
стану системи (або дробово-гіперболічне, або рівняння супердифузії) з лівос-
торонньою похідною Капуто за часом порядку від 1 до 2 та звичайними похід-
ними цілих порядків за просторовими змінними. Для рівняння стану задано
умови для розв’язку та його першої похідної (цілого порядку) в початковий
момент часу і розглядається задача керування цією похідною першого порядку
з квадратичним компромісним функціоналом якості. Для хвильового рівняння,
яке описує стан системи, в роботі отримано нові додаткові оцінки регулярності
розв’язків. Аналогічні оцінки отримано і для спряженого до вихідного рівнян-
ня, яке містить правосторонню дробову похідну Рімана–Ліувілля за часовою
змінною. Доведено також теорему існування та єдиності розв’язку задачі оп-
тимального керування. Сформульовано й обґрунтовано необхідні та достатні
умови оптимальності як для випадку, коли область допустимих керувань об-
межена, так і для випадку, коли обмеження на керування відсутні.
Ключові слова: дробова похідна, похідна Капуто, похідна Рімана–Ліувіл-
ля, хвильове рівняння, рівняння супердифузії, оптимальне керування.
26 ISSN 2786-6491
Вступ
При побудові математичних моделей у багатьох актуальних практичних за-
дачах застосовуються похідні не тільки звичайних цілих, а й дробових порядків.
Зокрема, моделі з дробовими похідними виникають при описі поширення механі-
чних хвиль у в’язкопружних матеріалах [1, 2]. У різноманітних неоднорідних се-
редовищах також може відбуватись процес аномальної дифузії, коли окремі час-
тинки, що рухаються, можуть на тривалий час затримуватись через складну стру-
ктуру самого середовища, і для побудови математичних моделей у цьому випадку
використовується, зокрема, модель випадкових блукань із неперервним часом [3].
Наприклад, cубдифузійні та супердифузійні процеси відбуваються при розповсю-
дженні забруднення у ґрунтових водах [4], у цитоплазмі клітин через складність
та неоднорідність внутрішньої структури [5, 6] та в плазмі при русі заряджених
частинок у неоднорідному магнітному полі [7].
Основні означення дробових інтегралів і похідних, їх властивості та дифере-
нційні рівняння дробових порядків розглянуто в роботах [8–10]. Зокрема, в робо-
тах [11–13] доведено існування та єдиність розв’язків для початково-крайових за-
дач з дробовою похідною Капуто за часом порядків (0, 1) та (1, 2) і дослі-
джено регулярність цих розв’язків.
Для задач керування системами, стан яких описується еволюційними рівнян-
нями зі звичайними похідними цілих порядків, основні результати існування та
єдиності керування, а також необхідні й достатні умови оптимальності наведено в
класичній роботі [14].
У роботі [15] розглянуто задачу наближеної керованості систем із дробовою
похідною Капуто за часом порядку (0, 1), а в [16] отримано аналогічні резуль-
тати для похідної порядку (1, 2). У роботі [17] задача керування початковою
умовою розглядалась для дробового рівняння дифузії з похідною Капуто тільки
порядку (0, 1).
У даній роботі розглянуто задачу оптимального керування системою, стан
якої є розв’язком однорідного дробового хвильового рівняння (або рівняння супер-
дифузії) з лівосторонньою похідною Капуто за часом порядку (1, 2). Для цьо-
го рівняння задамо нульову початкову умову для власне розв’язку і розглянемо
керування першою похідною (цілого порядку) в початковий момент часу. Мінімі-
зуючи загальне значення квадратичного компромісного функціонала якості, нама-
гатимемось одночасно мінімізувати витрати на керування і знайти таку функцію
стану, щоб її значення та значення її першої похідної в кінцевий момент часу були
якомога ближчими до наперед заданих функцій.
Отримаємо додаткові оцінки регулярності розв’язків рівняння стану і дове-
демо теорему існування та єдиності розв’язку задачі оптимального керування. Да-
лі обчислимо похідну функціонала якості, розглянемо спряжене рівняння, яке мі-
стить правосторонню дробову похідну Рімана–Ліувілля за часом, та отримаємо
оцінку регулярності його розв’язку. Після цього для вихідної задачі обґрунтуємо
необхідні та достатні умови оптимальності для випадку опуклої та замкнутої об-
ласті допустимих керувань і наведемо наслідок для випадку, коли обмеження на
керування відсутні.
Основні поняття
Наведемо поняття та попередні результати, необхідні для постановки та
розв’язання задачі.
Розглянемо скінченний інтервал [0, ]T дійсної осі R ( ).T
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2022, № 6 27
Означення 1 [8]. Для функції f означимо ліво- та правосторонні дробові ін-
теграли Рімана–Ліувілля порядку 0 :
1
0
0
1
( ) ( ) ,
)
)
(
(t
t
t f dI f t
11
( ) ( ) ,
(
( )
)
t T
T
t
I t ff t d
де ( ) — гамма-функція.
Означення 2 [8]. Ліво- та правосторонні дробові похідні Рімана–Ліувілля по-
рядку 0 означені як
0
0
1
0( ) ( ) ,
1
( ) ( )
( )
n n t
RL
t
n
t
nd d
D f t I f
t
t d
ndt
ft
d
1 ,
1
( )
(
( (
)
) ) ( )
n n T
RL
t T
n n
T t
t
d d
D f t I f t f t
d
t
nt d
d
t
де [ ] 1.n
Означення 3 [8]. Ліво- та правосторонні дробові похідні Капуто порядку
0 означені як
( )
0 0
1
0
( ) ( ) ,
1
( ) ( )
( )
n t
C n
t t
n nd
D f t I f t f
dt
t d
n
( )1( 1)
( ) ( 1) ( ) ( ) .( )
( )
n n T
C n n
t T
n
t
t
n
T
d
D f tf d
n
t I t f t
dt
Лема 1 [9]. Якщо 0 1, 0, ; ),(pf L T R 1 ,p 0, ; ),(qg L T R 1
q та
1 1
1 ,
p q
то ліво- та правосторонні інтеграли Рімана–Ліувілля
пов’язані формулою дробового інтегрування частинами:
0 0
0( )( ( )) ( )( ( )) .t t T
T T
f t g t dt g t f t dtI I (1)
Лема 2 [9]. Якщо 0 1,
1
1 ,p
то оператор дробового інтегрування
0 tI
обмежено діє з простору
pL в простір ,qL де .
1
p
q
p
Означення 4 [8]. Функція Міттаг-Лефлера , ( )E z для z C та довільних
сталих , ,R 0, означена як
,
0
( ) .
( )
k
k
z
E z
k
28 ISSN 2786-6491
Лема 3 [10]. Якщо 0 2, ,R min{ , },
2
то існує така
стала C ( 0),C що виконується нерівність
, ( )
1
C
E z
z
( arg ).z (2)
Постановка задачі
Нехай
nR — обмежена область із гладкою границею і A — симет-
ричний рівномірно еліптичний оператор:
0
, 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
n
ij
i j i j
y
Ay x a x x a x y x
x x
де 1( ),ij jia a C 0 ( ) 0a C та існує така стала ( 0), що для довіль-
них x та 1, , n R виконується нерівність
2
, 1 1
( ) .
n n
ij i j i
i j i
a x
Нехай 1 20 — власні числа оператора ( ),A а 2( )n H
1
0 ( )H — відповідні власні вектори, тобто .n n nA
Як і в роботах [12] та [16], для оператора A розглянемо гільбертовий простір
22 2
1
( ) : ( ,(( ) )) n n
n
V D LA
з нормою
2
1/2
2
1
,( , )n n
n
V
де ( , ) позначає скалярний добуток у 2( ).L Також розглянемо відповідний
спряжений до V гільбертовий простір (( ) )V D A
з нормою
,
1/2
22
1
,,n
n
V n
де ,, позначає значення функціонала V на елементі .V При
цьому 2( )V L V і відповідні включення неперервні.
Нехай 1
0 ( )U H — непорожня опукла та замкнута область допустимих
керувань, 0 2 1
0( ) ( ),dy H H 1 2( ).dy V L
Розглянемо задачу оптимального керування:
2 1
02
2
2 20 1
( ) ( )
( )
1 1
( , ) ( , ) ( , ) inf,
2 2 2
d dL H
L
y
J y u y T y T y u
t
(3)
,u U (4)
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2022, № 6 29
де при 1 2 стан ( , , )y y x t u є розв’язком системи
0 ( , ) ( , ), , (0, ),C
t yD x t Ay x t x t T (5)
( , ) 0, , (0, ),y x t x t T (6)
( , 0) 0, ,y x x (7)
( , 0) ( ), .
y
x u x x
t
(8)
Існування та єдиність оптимального керування
Доведемо існування та єдиність розв’язку задачі оптимального керування (3)–(8).
Означення 5 [12]. Слабким розв’язком задачі (5)–(8) назвемо такий елемент ,y що
1) (5) виконується в 2( )L майже для всіх (0, ),t T
2) 1
0( , ) ( )y t H майже для всіх (0, ),t T 2([0, ]; ( )),y C T L
y
t
2([0, ]; ( ))C T L і
2
2
2
2
( )0 0 ( )
lim ( , ) lim ( , ) 0.
Lt t L
y
y t t u
t
Відповідно до роботи [12] при 1
0 ( )u H задача (5)–(8) має єдиний слабкий
розв’язок 2 1 1 2
0([0, ]; ( ) ( )) ([0, ]; ( )),y C T H H C T L 2
0 ([0, ]; ( ))C
tD u C T L
та існує така стала C ( 0),C що
1 2 2 2 1
0
0([0, ]; ( )) ([0, ]; ( )) ([0, ]; ( )) ( )
C
tC T L C T H C T L H
y y D y C u
(9)
та
,2
1
( , ) ( , ) ( ) ( ),n n n
n
y x t u tE t x
(10)
,1
1
( , ) ( , ) ( ) ( ).n n n
n
y
x t u E t x
t
Отримаємо додаткові оцінки регулярності цього розв’язку.
Лема 4. Нехай ( , )y x t є слабким розв’язком задачі (5)–(8), тоді
((0, ]; )
y
C T V
t
для всіх
1 3
,
2 2
. (11)
Доведення. Для оцінки регулярності
y
t
за лемою 3 можемо використати не-
рівність (2):
,
2
1
2 2 2
( )
,1 1
1 1
/2 1/2( , ) ( ) ( , ) ( )n n n n n n n
n nV
y
u E t u E t
t
2 2
(1/2)2 2 (1/2)1/2 (1/2) 1
1
2
1 1
1/( , ) ( , ) .
)
1
(
1
n
n n n n n
n nn n
t
u u t
C
C
t t
30 ISSN 2786-6491
Зокрема, при
1
1,0
2
тобто при
1 3
2 2
1
0
2 2 2(1/2) 2 (1/2)1/2
1 2 ( )
1
2
( , )n n H
V n
y
C t u С t u
t
,
тобто
((0, ]; )
y
C T V
t
для всіх
1 3
, ,
2 2
що й потрібно було довести. ■
Наведемо також оцінку регулярності для
2
2
.
y
t
Лема 5. Нехай ( , )y x t є слабким розв’язком задачі (5)–(8), тоді
2
2
2(0, ; ( ))py
t
L T L
при
2
1 .
2
p
Доведення. Відповідно до роботи [12] маємо
2
1
,2
1
( , ) ( , )( ) ( ) ( ),n n n n
n
y
x t u t E t x
t
а отже, використавши (2), отримаємо
2
2
1
,
1)
2
2
2
(
( , )( ) ( )n n n
nL
u t E
t
t
y
2 2
1/2 1/2 1
,
1
( , ) ( ) n n n n
n
u t E t
2
1/22
1/2 1 /2
1
1
( )
( , )
1
n
n n
n n
t
u C t t
t
1
0
2
( /2) 1 2 1/2 ( /2) 1 2
1 1 ( )
1
.)( ( , ( ))n n H
n
C t u C t u
Тоді
1
0
2 2
( /2) 1
1 ( )
0 0(0, ; (
2 2
2 2
)) ( )
( )
p
p p
T T
p
H
L T L L
dt C t
y y
d
t t
tu
1 1
0 0
(( /2) 1)
21 ( ) ( )
0
T
p pp p
H H
C u t t Cd u
при 1 1,
2
p
(12)
тобто
2
2
2(0, ; ( ))py
t
L T L
при
2
1 ,
2
p
що й потрібно було довести. ■
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2022, № 6 31
Позначимо простір
2 1 1 2
0([0, ]; ( ) ( )) ([0, ]; ( )) :y C T H H C T L
2
2
2 2
0, ; ( ))
2
( 1,py
L pT L
t
з нормою
1 2
2
2
([0, ]; ( )) 2
0, ; )( ( )
.
p
C T L
L T L
y
y y
t
Теорема 1. Існує єдиний розв’язок ˆ ˆ( , )y u U задачі (3)–(8).
Доведення. Розіб’ємо доведення на кроки.
Крок 1. Почнемо з доведення існування граничних точок послідовності до-
пустимих пар задачі (3)–(8).
Нехай — множина допустимих пар задачі (3)–(8), тобто множина таких
,( , )y u U для яких виконуються (5)–(8) та ( , ) .J y u Тоді існує така міні-
мізуюча послідовність {( , )} ,n n n Ny u що
( , )
lim ( , ) inf ( , ) .n n
k y u
J y u J y u
Із (9) та (12) маємо, що
1
0( ) 1 2( , )
H
y u C J u y C
та послідовність {( , )}n n n Ny u є обмеженою в .U Тому можна виділити слаб-
козбіжні підпослідовності { ,}n n Nu { }n n Ny (індексовані так само, як і вихідні
послідовності):
ˆnu u слабко в 1
0( ),H (13)
ˆny y слабко в .
За умовою U є опуклою та замкненою, тому також ˆ .u U
Крок 2. Покажемо, що ŷ є розв’язком системи (5)–(8) при ˆ.u u
За означенням 5 ( , )ny x t для довільних 0 ( )v C та 0 (0, )C T задово-
льняє рівність
0
0 ( , ) ( , )) ( ) ( ) 0.(C
t
T
n ny x t Ay x t v x tD dxdt
(14)
При 1 2 за означенням 3
2
2 1
2
0 0 2 2
0
( , ) ( , ) ( , ) .
1
( )
( )
t
C
t t
y y
D y x t I x xt d
n
t
t
Оператор
2
2
2: ( , ; ( ) 0 )p
t
L T
y
L
є обмеженим і лінійним, тому
2 2
2 2
ˆny y
t t
слабко в 20, ; ( )).(pL T L
32 ISSN 2786-6491
Оператор 0
2 ,tI
1 2, є лінійним, та додатково за лемами 2 та 5 маємо,
що при 0 2 1,
1
1
2
p
він обмежено діє з простору
pL в простір ,qL
де ,
1 (2 )
p
q
p
тому
2 2
0 0 0 02 2
2 2 ˆ
ˆC C
t t t
n
tn
y y
y yD I I D
t t
слабко в 20, ; ( )).(qL T L (15)
Оскільки
* *( ) (0, ) ( (0, ))q qt L T L T при *
(3 ) 1
p
q
p
(тобто
*
1 1
q q
1), то з (15) при n отримаємо
0
0 0
0
ˆ( ) ( ) .
T T
C C
nt tt y dt tD Dt y d (16)
Враховуючи крайові умови (6) і симетричність оператора ,A за формулою
Гріна отримаємо
( , ) ( ) ( , ) ( )n nAy x t v x dx y x t Av x dx
( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ,n
n n
A A
y v
v x x t y x t x ds y x t Av x dx
N N
де 1 )( , , nN N N — одиничний вектор зовнішньої нормалі до , і
, 1
( ( , ) ( ) ) ( , )
n
ij i
i jA j
y y
x t a x N x x t
N x
.
Перейдемо границі при ,n використавши формулу Гріна:
( , ) ( , ) (ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ., )nAy v x dx y Avx x tdx Ay v x dx xx t t
(17)
Отже, із (16) та (17) отримаємо
0 0
0 0
ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
T T
C C
t n n tD y Ay v x t dxdt D y Ay v x t dxdt
тобто ˆ( , )y x t задовольняє (14).
Крок 3. Покажемо, що ˆ( , )y x t також задовольняє початкові умови (7)–(8).
Для довільної функції 0 (0, ),C T такої, що
2
0 ( )t
t T
tI
1
0 ( ) 0,RL
t T
tD t
використаємо (1) та, враховуючи результати леми 5, інтег-
руємо частинами:
0
2
2
2 2
0
2
0 0 2
0
0( ) ( ) (( , ) ( , ) )( , )
T T T
n n
n
C
t t t
y y
t y dt dD x t I x tt t t dtx t I
t t
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2022, № 6 33
2 2 2
00 0
0 0 0( , ) ( , )( ) ( ) ), (( )t t t
t T t TT
n n n
t t
I
d
t t dt t
y y y
x t I x t I x t
t t tdt
2
2 2
20
0
0
0
( (( , ) ( , )) )
t T T
n nt
t
t
d d
t t d
d
y x t I y x
d
t
t
I t
t
0
1
0
2
0
0( ) ( ( ))( , ) ( , )
t T
t T
n
n
t
t
RL
t t
y
x t I t y tx t D
t
0
( ) .( , )
T
RL
n t T dy D tx t t (18)
Тоді, підставивши ( , )ny x t в (14) і врахувавши умови (6)–(8) та 0
2 ( )t
t T
tI
1
0 ( ) 0,RL
t
t T
tD
отримаємо
0
0
,0 ( , ) ( )( ) ( ) ( )
T
C
t n nD y Ay dx tt t v x tx dx
0
12
0
0
0( ( ( )( )) 0 ( ) ( )) ( )L
n
t
R
t
t
t t v x dx dI D v x xxt u
0
(( , ) ( ( .) ( ))) ( )
T
RL
n t TD t ty x t v t dx xv xA d
(19)
Аналогічно для ˆ( , )y x t маємо
0
0
,ˆ ˆ0 (( ) (( , ) ) ( ))
T
C
t tx t xD y Ay v x d dt x t
0
12
0
0 0
ˆ
ˆ( )) ( , ) ( ) ( )) ( , 0( ) )( (RL
t t
t t
y
t x t v x dx t y x v x dx
t
I D
0
( , ) ( ( ) () .))ˆ ( ( )
T
RL
t Ty D t dx t v x xt A xv d t
(20)
Тоді, віднявши (20) від (19) і перейшовши до границі при ,n отримаємо, що
2
0
0
ˆ
( , ) 0 ( )) (( )
t
t
y
x t t v x dI x
t
0
1
0ˆ ˆ( ( , 0) ) 0,( ( )) ( )RL
t
ty x u t v x dxD
і з довільності функцій
2
0
0
)( ( )) (
t
t t v xI
та
0
1
0 ( )) ( )(
t
RL
t t v xD
маємо, що
2
20
2
2
( ) 0 ( )
ˆ
ˆ ˆlim ( , ) lim ( , ) 0.
Lt t L
y
y x t x t u
t
34 ISSN 2786-6491
Крок 4. Покажемо, що ˆ( , ) ( , )ny x T y x T в 2( ).L Справді, використавши
оцінку (2), з (10) маємо
2
22
,2( )
1
ˆ ˆ( , ) ( , ) ( , ) ( )n n n nL
n
y x T y x T u u TE T
2
2
2 21
2 2 ( )
1 1
ˆ ˆ ˆ( , ) ( , ) .
1
n n n n n L
n nn
C
u u T C u u C u u
T
Оскільки 1
0( )H компактно вкладений в 2( ),L то із (13) маємо, що
2
2
( )
ˆ 0n L
u u
при n
і ( , )ny x T сильно збігається до ˆ( , )y x T в 2( ).L Отже,
2 2
2 20 0
( ) ( )
ˆ( , ) ( ) lim ( , ) ( ) .d n dL Ln
y x T y x y x T y x
(21)
Аналогічно можемо показати, що
ˆ
( , ) ( , )ny y
x T x T
t t
в 2 ( ) :L
2
2
2
,1
1( )
ˆ
ˆ( , ) ( , ) ( , ) ( )n
n n n
nL
y y
x T x T u u E T
t t
2
2
23
4 ( )
1
ˆ ˆ( , ) 0
1
n n n L
n n
C
u u C u u
T
при ,n
тобто ( , )ny
x T
t
сильно збігається до
ˆ
( , )
y
x T
t
в 2( ),L і
2 2
22
( ) ( )
1 1ˆ
( , ) ( ) lim ( , ) ( ) .n
d d
nL L
yy
x T y x x T y x
t t
(22)
Зі слабкої напівнеперервності знизу норми 1
0( )H
маємо
1 1
0 0( ) ( )
.ˆ lim nH H
n
u u
(23)
Разом із (21)–(23)
( , )
ˆ ˆ( , ) lim ( , ) inf ( , ),n n
y un
J y u J y u J y u
і ˆ ˆ( , )u y є оптимальним розв’язком задачі (3)–(8).
Крок 5. Єдиність розв’язку задачі (3)–(8) випливає з сильної опуклості функ-
ціонала якості в (3).
■
Умови оптимальності
Отримаємо необхідні та достатні умови оптимальності розв’язку задачі керу-
вання (3)–(8).
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2022, № 6 35
Крок 1. Позначимо 1 1
0( ), ( )
., ,
H H
Нехай ,I тоді для дові-
льних 1
0, ( )u v H
1 1
0 0( ) ( )
, ( , ) ( , ) , ,
H H
u v u v v u v u
1
0 (
2
)
, , .
H
u u u u u u
Позначимо ˆ( )y y u u і обчислимо
0 21
ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) ( , ) ( ( , ) )
2
dJ y u u J y u y T u u y dx
1
0
2
21
( )
1
ˆ ˆ( , )
2 2
d H
y
T u u y dx u u
t
1
0
2
20 2 1
( )
1 1
ˆ ˆ ˆ( ( , ) ) ( , )
2 2 2
d d H
y
y T u y dx T u y dx u
t
22 0 20 2 0 0( ) ( ) ( ) ( )
1
ˆ ˆ( ( ) 2 ( ) 2 )
2
d d d dy T y y y y T yT y y dxT
1 1
2
2( ) ( )
1
( ) 2
2
d dT
y y
T y y dx
t t
1 1
2
2( ) ( )
ˆ ˆ1
( ) 2
2
d d
y y
T y y dx
t t
T
ˆ ˆ ˆ ˆ( ( ), ( ), )
2
u u u u u u
2 0 2 01
ˆ )( ) ˆ( ( ) 2 ( 2 )
2
( )d dy T y y y TT y y dxT
( ) ( ) ( ) (
1
ˆ ˆ( ))
2
y y y y dxT T T T
2 2
1 1ˆ ˆ1
( ) 2 ( ( ) 2) ( )
2
d dT
y
T T
y y y
T y y dx
t t t t
( ) ( ) ( ) (
ˆ
)
ˆ1
2
y yy y
dx
t
T
t
T T
t t
T
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ( ), , ( ), ( ), ( ), )
2
u u u u u u u u u u
0 )( ) ( ) ( ) (
1
ˆ ˆ( ))( 2
2
dyT Ty y y y dxT T
1ˆ ˆ1
( ) ( ) ( ) ( ) 2
2
d
y yy y
T T T T y dx
t t t t
2ˆ(2 , ( ), ).
2
u u u u
(24)
36 ISSN 2786-6491
Функція ˆy y є розв’язком системи
0 ( , ) ( , ), , (0, ),C
tD x t A x t x t T
(25)
( , ) 0, , (0, ),x t x t T (26)
( , 0) 0, ,x x (27)
( , 0) ( ), .x u x x
t
(28)
Система (25)–(28) аналогічна системі (5)–(8), а отже, , та, оскільки за
(9) і (12)
1
0( )
,
H
C u
послідовність { } збігається до 0 при 0; а оскільки ˆ,y y то { }y
збігається до ŷ при 0.
Позначимо ,
1
тоді є розв’язком безпосередньо системи (5)–(8). Пе-
рейшовши до границі у (24) при 0, маємо
01 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 ( ( , ) ( , )) ( , ) ( ( 2) ()( )
2
)u dJ y u u J y u J y u u T y y y dxT T
1ˆ ˆ1
ˆ( ) ( ) ( ) 2 (2 , )
2 2
d
y y
T T T y dx u u
t t t
10 (( )
ˆ
ˆ ˆ( )( ) ) ( ) , .d d
y
T y y dx T T y dx u u
t
T
t
(29)
Крок 2. Розглянемо спряжену задачу:
( , ) ( , ), , (0, ),RL
t T s x t As xD t x t T (30)
( , ) 0, , (0, ),s x t x t T (31)
0
2 1ˆ
( , ) ( ) , ,d
t
t
T
y
x t TI y xs
t
(32)
1
0
0ˆ( , ) , .( ) d
t T
RL
t s x yD Tt y x
(33)
Позначимо 1
0 ( )
ˆ
( ) d
y
s
t
x T y
та 0
1( ) ( ) .ˆ ds yx yT
Означення 6 [16]. Розв’язком задачі (30)–(33) називатимемо такий елемент ,s що
1) (30) виконується у V майже для всіх (0, ),t T
2) 0
2 ([0, ]; ),( , )tI s x t C T V
1
0
2([0, ]; ( )),( , )RL
t s CD T Lx t ( , )RL
t T s xD t
([0, ); )C T V та
2
00 ( , ) ( ,)
t T
t x t sI s x
1
0 1( ).( , )RL
T
t
t
s x t xsD
За умовою задачі, за (9) та за лемою 4 із (11) 2
0 )( ()s Vx L для всіх
1 3
,
2 2
, а отже, при 1 2 і для всіх
1 1 3
, 1 ,
2 2
, 2
1( )) (s Hx
1 2
0( ) ( ).H L При цьому, як показано в [16], задача (30)–(33) має єдиний
розв’язок
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2022, № 6 37
2
0 , 1
1
( , ) ( , )( ) ( ( ) ) ( )n n n
n
s x t s T t E T t x
1
,
1
1( , )( ) ( ( ) ) ( ),n n n
n
s T t E T t x
і
1 20, ; ( )),( , ) (s L T Lx t 0
2 2([0, ]; ( )),( , )t xs C T LI t
1
0 ( , )RL
t sD x t
2([0, ]; ( )).C T L
Отримаємо додаткові оцінки регулярності розв’язку цієї спряженої задачі.
Лема 6. Нехай ( , )s x t є розв’язком задачі (30)–(33), тоді
2( , ) (0, ; ( ))RL
t
p
T s x t L T LD для всіх
1
2
1,p
.
Доведення. Відповідно до роботи [16], використавши оцінку (2), маємо
2
22
0 , 1( )
2
1
( , ) ( , )( ) ( ( ) )n nL
n
RL
t T s x t C s T t E T tD
21
,
1
1( , )( ) ( ( ) )n n
n
C s T t E T t
22( 2)
0 , 1
1
( ) ( , ) ( ( ) )n n
n
C T t s E T t
2
,
1
1( , )( ) ( ( ) )n n
n
s T t E T t
2 22( 2)
0
1 1
1( ) ( , ) ( , )n n
n n
C T t s s
22
2( 2)
0 ( )( )
2 2
1( ).( )
LL
C T t s s
Тоді
2 2(0, ; ( )) ( )
0
( , ) ( , )p
p pRL RL
t LT t T
T
T L L
s x t s x t dD D t
22
( 2) /2
0 ( )( )
2 2
1
0
( ) ( ( ))
T
p p
LL
T t C dts s
22
/2 ( 2)
0 ( )
2 2
)
0
1(
( ) ()( )
T
p p
LL
C T t dts s
22
2 /2
0 ( )( )
2
1( )( ) p
LL
s sC
при ( 2) 1,p
тобто
2( , ) (0, ; ( ))RL
t
p
T s x t L T LD при
1
1 ,
2
p
(34)
що й потрібно було довести. ■
38 ISSN 2786-6491
Крок 3. За лемою 1 використаємо формулу дробового інтегрування частина-
ми (1), взявши функції ( ) ( , ),f t s x t
2
2
)( ,) (g t x t
t
та дробові інтеграли поряд-
ку (2 ).
Відповідно до роботи [16] 2(0, ; )( ) ( , ) ( )pLf t s x T Lt при 1,p а ( , )x t
є розв’язком (5)–(8), тобто
2
2
2
( , ) 0, ; ( )) ( ) (qg x t L T Lt
t
при
2
1 .
2
q
Щоб використати (1), за лемою 1 повинна виконуватись нерівність
1 1
1 (2 ) 3 .
qp
(35)
З іншого боку, якщо 1,p
2
1
2
q
та 1 2, маємо
1
1
2 1
2 2
2
qp
, (36)
тобто разом з (35) та (36) для вказаних p та q справді виконується
1 1
2 3 ,
2 qp
а отже, можемо інтегрувати частинами за (1):
2
2
0
0
0
2
0( , ) ( , ) ( , ) ( , )t t
T T
Cs x t D x t x tdt t I x
t
s dt
2
0
2
02
.( , ) ( , )
T
tx t I x t
t
s dt
Далі за (9) також 1 2( , ) ([0, ]; ( )),x t C T L і за лемою 5 отримаємо
2
2
2(0, ; ( ))pL T
t
L
y
при
2
2
1 .p
Оскільки відповідно до роботи [16] 0
2 2([0, ]; ( ))( , )t s C TI x Lt та
1
0 0
2 2([0, ]; ( )),( , ) ( , )RL
t tI x t D x t
t
s s C T L
то 1
0
2 2([0, ]; ( )),( , )tI xs C T Lt
і тому можемо інтегрувати частинами аналогічно до (18):
2
0
2
02
( , ) ( , )t
T
tx t I x t
t
s d
2
0
2
00
0 ) .( , ) ( , ( , ) ( , )
t T
t
T
t
tx t I x t x t
t
s I x t
t t
s dt
Оскільки за лемою 6 із (34) також маємо
2
2
2
0 ,( , ) ( )RL
t t TI x t t
t
s D s x
2(0, ; ( ))pL T L при
1
1 ,
2
p
то можемо продовжити інтегрування:
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2022, № 6 39
2
0 02
2 2
0 0
( , ) ( , ) ( , ) ( , )t
t TT
t
tx t I x t x t Is x t
tt
dt s
2
2 2
2
00
0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )
t T T
t
t tx t I x t x t I x ts s dt
t t
2
0
0
1
0 0( , ) ( , ) ( , (( )) , )
t T
t T
t
RL
t
t
tx t I x t x t D x ts
t
s
0
.( , ) ( , )
T
RL
t T tD sx t x dt (37)
Тоді з (5)–(8), (21)–(24) та (37) маємо
0
0
,0 (( )( , ) ) ( , )
T
C
tD A s x t xx dt t tx d
0
1
0
2
0
0 ( )( , ) ( , ) ( , ) ( , )R
T
t
L
t
T
t
t
t tx t dxs x sI t x t xx dt D
t
0
( , )( ( , ) ( , ))
T
RL
t TD s A tx t tsx t dx dx
2
0
1
0( ) ( ( , )
ˆ
( , ) ( , )) d
t
t
y
x T x T y u
t
x I x ts dx
t
0 .( )ˆ( )( )dT y y dxT
Отже,
0 1ˆ
ˆ( )( ) ( , ) ( ,( ) )d d
y
T y y dx x T x T y dx
t
T
t
2
0
0 ,( ) ( ( , ))t
t
u sx t dI x x
і, підставляючи цю рівність у (29), отримуємо
0
2
0
ˆ ˆ ˆ( , ) .( ( , ))tu
t
uI x tJ y u s
Тому відповідно до роботи [14] маємо таку теорему.
Теорема 2. Якщо ˆ ˆ( , )y u U є оптимальним розв’язком задачі (3)–(8), то
для довільного u U
0
0
2 ,( ˆ ˆ ˆ ˆ,( , )) ( ( 0) )t
t
xs u ux u uI d ut u
де ( , )s x t є розв’язком задачі (30)–(33).
І навпаки, якщо ˆ ,u U ˆ( , )y x t є розв’язком задачі (5)–(8), ˆ( , )s x t є роз-
в’язком задачі (30)–(33) і для довільного u U
40 ISSN 2786-6491
0
0
2 ,( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,( , )) ( ( 0) )t
t
ds u ux u uI x ut u
то ˆ ˆ( , )y u є оптимальним розв’язком задачі (3)–(8).
Наслідок 1. Якщо 1
0( )U H (тобто обмеження на керування відсутні) і
ˆ ˆ( , )y u U є оптимальним розв’язком задачі (3)–(8), то
2
0
0
,( ) ˆ ˆ( ), 0) (t
t
s t uI x u
(38)
де ( , )s x t є розв’язком задачі (30)–(33).
І навпаки, якщо ˆ( , )y x t є розв’язком задачі (5)–(8) для такого 1
0( ),ˆ Hu що
2
0
0
,( )ˆ ˆ ˆ( ), 0) (
t
t s uI x t u
(39)
і ˆ( , )s x t є розв’язком задачі (30)–(33), то ˆ ˆ( , )y u є оптимальним розв’язком зада-
чі (3)–(8).
Зауважимо, що, виразивши û з (38) та (39), отримаємо такий наслідок.
Наслідок 2. Якщо 1
0( )U H і ˆ ˆ( , )y u U є оптимальним розв’язком
задачі (3)–(8), то 1 2
0
0( ( , )) ,
1
ˆ t
t
I xu s t
де I і ( , )s x t є розв’яз-
ком задачі (30)–(33).
І навпаки, якщо ˆ( , )y x t та ˆ( , )s x t задовольняють системі
0 ˆ ˆ( , ) ( , ), , (0, ),C
t y x t Ay x x t TD t
ˆ( , ) 0, , (0, ),y x t x t T
ˆ( , 0) 0, ,y x x
0
1 2
0
ˆ 1
ˆ( , 0) ( , )) , ,( t
t
I x t
y
x s x
t
ˆ ˆ( , ) ( , ), , (0, ),RL
t T s x t As x t x t TD
ˆ( , ) 0, , (0, ),s x t x t T
1
0
2 ˆ
ˆ( , ) ( , ) , ,t d
t T
y
s x t x T y
t
I x
1
0
0ˆ ˆ( , ) , ,( , ) d
t
RL
t
T
D xs x t y T y x
то
1 2
0
0
1
ˆ( , ) ( ( , ))ˆ,
t
tx t I ty s x
є оптимальним розв’язком задачі (3)–(8).
Висновок
У статті розглянуто задачу оптимального керування похідною розв’язку в
початковий момент часу для хвильового рівняння з дробовою похідною Капуто
порядку (1 2) за часом та квадратичного функціонала якості.
Для цієї задачі доведено існування та єдиність розв’язку, обґрунтовані необ-
хідні та достатні умови оптимальності цього розв’язку як для випадку, коли об-
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2022, № 6 41
ласть допустимих керувань обмежена, так і для випадку, коли обмеження на
керування відсутні та область допустимих керувань збігається зі всім просто-
ром 1
0( ).H
Сформульовані необхідні та достатні умови оптимальності дозволяють за-
стосувати градієнтні алгоритми для чисельного розв’язання цієї задачі.
R. Veklych, V. Semenov
OPTIMAL CONTROL OF THE INITIAL CONDITION
FOR A TIME-FRACTIONAL WAVE EQUATION
Rostyslav Veklych
Taras Shevchenko National University of Kyiv, https://orcid.org/0009-0009-4177-0208,
rveklych.knu@gmail.com
Vladimir Semenov
Taras Shevchenko National University of Kyiv, https://orcid.org/0000-0002-3280-8245,
semenov.volodya@gmail.com
Distributed systems with fractional derivatives are used in mathematical model-
ling of the propagation of mechanical waves in viscoelastic materials, the anom-
alous diffusion in a heterogeneous environment, for instance, an intracellular
particle motion in a cellular cytoplasm, a pollution spreading in the porous aqui-
fer. Such diffusion process is occurring, in particular, when the moving particles
can be trapped for a significant time (for example, in the soil pores, or because
of the frequent collisions with the other elements of the heterogeneous environ-
ment). For the thoroughly investigated systems governed by hyperbolic equa-
tions with ordinary derivatives of integer order results on existence and unique-
ness of the solution of the state equation, and the solution of the state equation of
numerous control problems with various cost functions were presented earlier.
It makes sense to consider similar optimal control problems for the abovemen-
tioned equations with fractional derivatives, try to prove existence and unique-
ness of the solution, and give optimality conditions. In this article a system with
a homogeneous fractional wave (or fractional-hyperbolic, or superdiffusion)
state equation with left-sided Caputo time fractional derivative of order bet-
ween 1 and 2 and ordinary derivatives of integer order of spatial variables is
considered. The initial conditions are given for the state function and its ordinary
first derivative, and control of this first derivative of the state equation solution
with the quadratic compromise cost function is considered. In this paper new
additional regularity estimates for the wave state equation are established. Simi-
lar regularity estimates are established for the adjoint equation with right-sided
Riemann–Liouville time fractional derivative. An existence and uniqueness the-
orem is proved for the optimal control problem. Necessary and sufficient opti-
mality conditions are formulated and proved for the case with a bounded set of
admissible controls, and for the case without any control constraints.
Keywords: fractional derivative, Caputo derivative, Riemann–Liouville deriva-
tive, wave equation, superdiffusion equation, optimal control.
ПОСИЛАННЯ
1. Mainardi F. Fractional diffusive waves in viscoelastic solids. In Wegner J.L., Norwood F.R.,
Eds., Nonlinear Waves in Solids. ASME Book No AMR 137, Fairfield. 1995. P. 93–97.
2. Mainardi F. Fractional viscoelasticity. Volume 4 Applications in Physics, Part A, edited by
V.E. Tarasov. Berlin, Boston : De Gruyter, 2019. P. 153–182. DOI: https://doi.org/10.1515/
9783110571707-007.
42 ISSN 2786-6491
3. Hatano Y., Hatano N. Dispersive transport of ions in column experiments: an explanation of long-
tailed profiles. Water Resources Research. 1998. Vol. 34, № 5. P. 1027–1033. DOI: https://doi.
org/10.1029/98WR00214.
4. Adams E.E., Gelhar L.W. Field study of dispersion in a heterogeneous aquifer: 2. Spatial mo-
ments analysis. Water Resources Research. 1992. Vol. 28, № 12. P. 3293–3307. DOI:
https://doi.org/10.1029/92WR01757.
5. Sokolov I.M. Models of anomalous diffusion in crowded environments. Soft Matter. 2012. Vol. 8,
№ 35. P. 9043–9052. DOI: https://doi.org/10.1039/C2SM25701G.
6. Reverey J.F., Jeon J.-H., Bao H., Leippe M., Metzler R., Selhuber-Unkel C. Superdiffusion domi-
nates intracellular particle motion in the supercrowded cytoplasm of pathogenic Acanthamoeba
castellanii. Scientific Reports. 2015. Vol. 5, 11690. DOI: https://doi.org/10.1038/srep11690.
7. del-Castillo-Negrete D., Carreras B.A., Lynch V.E. Fractional diffusion in plasma turbulence.
Physics of Plasmas. 2004. Vol. 11, № 8. P. 3854–3864. DOI: https://doi.org/10.1063/1.1767097.
8. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equa-
tions. Amsterdam : Elsevier, 2006. 523 p.
9. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional integrals and derivatives: theory and applica-
tions. Switzerland : Gordon and Breach Science Publishers, 1993. 976 p.
10. Podlubny I. Fractional differential equations. New York : Academic Press, 1999. 341 p.
11. Luchko Y. Some uniqueness and existence results for the initial-boundary-value problems for the
generalized time-fractional diffusion equation. Computers & Mathematics with Applications.
2010. Vol. 59, № 5. P. 1766–1772. DOI: https://doi.org/10.1016/j.camwa.2009.08.015.
12. Sakamoto K., Yamamoto M. Initial value/boundary value problems for fractional diffusion-wave
equations and applications to some inverse problems. Journal of Mathematical Analysis and Ap-
plications. 2011. Vol. 382, № 1. P. 426–447. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2011.04.058.
13. Kochubei A.N. Fractional-hyperbolic equations and systems. Cauchy problem. Volume 2 Frac-
tional Differential Equations, edited by A. Kochubei and Yu. Luchko. Berlin, Boston : De
Gruyter, 2019. P. 197–222. DOI: https://doi.org/10.1515/9783110571660-010.
14. Lions J.-L. Optimal control of systems governed by partial differential equations. Berlin, Heidel-
berg : Springer, 1971. 400 p.
15. Fujishiro K., Yamamoto M. Approximate controllability for fractional diffusion equations by in-
terior control. Applicable Analysis. 2014. Vol. 93, № 9. P. 1793–1810. DOI: https://doi.org/10.
1080/00036811.2013.850492.
16. Warma M. On the approximate controllability from the boundary for fractional wave equations.
Applicable Analysis. 2017. Vol. 96, № 13. P. 2291–2315. DOI: https://doi.org/10.1080/
00036811.2016.1221066.
17. Веклич Р.А. Оптимальне керування початковими умовами для дробового рівняння дифузії.
Вісник Київського національного університету ім. Т. Шевченка. Сер. Фізико-математичні
науки. 2016. № 2. С. 56–60.
Отримано 05.01.2023
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210918 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-13T11:52:39Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Веклич, Р.А. Семенов, В.В. 2025-12-20T21:25:50Z 2022 Оптимальне керування початковою умовою для дробового за часом хвильового рівняння / Р.А. Веклич, В.В. Семенов // Проблеми керування та інформатики. — 2022. — № 6. — С. 25–42. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210918 517.9 10.34229/2786-6505-2022-6-3 У даній роботі розглянуто однорідне дробове хвильове рівняння стану системи (або дробово-гіперболічне, або рівняння супердифузії) з лівосторонньою похідною Капуто за часом порядку від 1 до 2 та звичайними похідними цілих порядків за просторовими змінними. Для рівняння стану задано умови для розв’язку та його першої похідної (цілого порядку) в початковий момент часу і розглядається задача керування цією похідною першого порядку з квадратичним компромісним функціоналом якості. Для хвильового рівняння, яке описує стан системи, в роботі отримано нові додаткові оцінки регулярності розв’язків. Аналогічні оцінки отримано і для спряженого до вихідного рівняння, яке містить правосторонню дробову похідну Рімана–Ліувілля за часовою змінною. Доведено також теорему існування та єдиності розв’язку задачі оптимального керування. Сформульовано й обґрунтовано необхідні та достатні умови оптимальності як для випадку, коли область допустимих керувань обмежена, так і для випадку, коли обмеження на керування відсутні. This work examines the homogeneous fractional wave equation describing the state of the system (either fractional-hyperbolic or superdiffusion equation) with a left-sided Caputo fractional time derivative of order between 1 and 2, and ordinary integer-order derivatives with respect to spatial variables. For the state equation, conditions are given for the solution and its first derivative (integer order) at the initial time, and the problem of controlling this first-order derivative with a quadratic compromise quality functional is considered. For the wave equation that describes the state of the system, new additional estimates of the solution's regularity are obtained. Similar estimates are derived for the adjoint equation, which contains a right-sided Riemann–Liouville fractional derivative with respect to the time variable. The existence and uniqueness theorem for the optimal control problem is also proven. Necessary and sufficient conditions for optimality are formulated and justified, both for the case when the admissible control set is bounded and for the case when there are no control constraints. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Керовані процеси з дробовою динамікою Оптимальне керування початковою умовою для дробового за часом хвильового рівняння The optimal control of the initial condition for a time-fractional wave equation Article published earlier |
| spellingShingle | Оптимальне керування початковою умовою для дробового за часом хвильового рівняння Веклич, Р.А. Семенов, В.В. Керовані процеси з дробовою динамікою |
| title | Оптимальне керування початковою умовою для дробового за часом хвильового рівняння |
| title_alt | The optimal control of the initial condition for a time-fractional wave equation |
| title_full | Оптимальне керування початковою умовою для дробового за часом хвильового рівняння |
| title_fullStr | Оптимальне керування початковою умовою для дробового за часом хвильового рівняння |
| title_full_unstemmed | Оптимальне керування початковою умовою для дробового за часом хвильового рівняння |
| title_short | Оптимальне керування початковою умовою для дробового за часом хвильового рівняння |
| title_sort | оптимальне керування початковою умовою для дробового за часом хвильового рівняння |
| topic | Керовані процеси з дробовою динамікою |
| topic_facet | Керовані процеси з дробовою динамікою |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210918 |
| work_keys_str_mv | AT vekličra optimalʹnekeruvannâpočatkovoûumovoûdlâdrobovogozačasomhvilʹovogorívnânnâ AT semenovvv optimalʹnekeruvannâpočatkovoûumovoûdlâdrobovogozačasomhvilʹovogorívnânnâ AT vekličra theoptimalcontroloftheinitialconditionforatimefractionalwaveequation AT semenovvv theoptimalcontroloftheinitialconditionforatimefractionalwaveequation |