Про задачі оптимізації процесу спостереження
Метою цієї роботи є дослідження оптимізації процесу спостереження, досягнення необхідних умов оптимальності та побудова оптимальних динамічних вимірників з нульовими та ненульовими початковими умовами. Основу математичного дослідження складають методи опуклого та функціонального аналізів, а також ре...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Проблеми керування та інформатики |
|---|---|
| Datum: | 2023 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2023
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210934 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про задачі оптимізації процесу спостереження / I.Ю. Кривонос // Проблеми керування та інформатики. — 2023. — № 1. — С. 30–41. — Бібліогр.: 31 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860265945434423296 |
|---|---|
| author | Кривонос, I.Ю. |
| author_facet | Кривонос, I.Ю. |
| citation_txt | Про задачі оптимізації процесу спостереження / I.Ю. Кривонос // Проблеми керування та інформатики. — 2023. — № 1. — С. 30–41. — Бібліогр.: 31 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблеми керування та інформатики |
| description | Метою цієї роботи є дослідження оптимізації процесу спостереження, досягнення необхідних умов оптимальності та побудова оптимальних динамічних вимірників з нульовими та ненульовими початковими умовами. Основу математичного дослідження складають методи опуклого та функціонального аналізів, а також результати теорії оптимального керування та теорії мінімаксних спостережень лінійних динамічних систем. Сформульовано завдання побудови оптимальних динамічних вимірників і задач оптимізації процесу спостережень з відмінними критеріями. Доведено теорему про існування розв’язків цих завдань.
The goal of this work is to investigate the optimization of the observation process, achieve the necessary conditions for optimality, and construct optimal dynamic measurement systems with both zero and non-zero initial conditions. The foundation of the mathematical study consists of methods from convex and functional analysis, as well as results from optimal control theory and minimax observation theory for linear dynamic systems. The problem of constructing optimal dynamic measurement systems and the optimization of the observation process with different criteria is formulated. A theorem on the existence of solutions to these problems is proven.
|
| first_indexed | 2026-03-21T10:10:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
© І.Ю. КРИВОНОС, 2023
30 ISSN 2786-6491
МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ ТА ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ
УДК 519.1
І.Ю. Кривонос
ПРО ЗАДАЧІ ОПТИМІЗАЦІЇ
ПРОЦЕСУ СПОСТЕРЕЖЕННЯ
Кривонос Ірина Юріївна
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, м. Київ,
ikrivono@gmail.com
Завдання побудови оцінок невідомих параметрів за результатами неповних
вимірів привертають постійну увагу дослідників. І хоча предмет теорії
спостереження та фільтрації відомий досить добре і багато положень цієї
теорії набули характеру класичних результатів, інтерес до такого роду зав-
дань не слабшає завдяки їх широкому застосуванню, зокрема, в економіці,
військовій справі та теорії автоматичного керування. З розвитком теорії га-
рантованого спостереження для лінійних систем з’явилася можливість вив-
чення задач оптимізації вимірів чи планування експерименту. Зв’язок міні-
максних та класичних стохастичних оцінок дозволяє застосувати в рамках
гарантованого підходу як стандартні методи теорії планування експериме-
нту, так і деякі інші результати, пов’язані з оптимізацією процесу спосте-
реження. Метою цієї роботи є дослідження оптимізації процесу спостере-
ження, досягнення необхідних умов оптимальності та побудова оптималь-
них динамічних вимірників з нульовими та ненульовими початковими
умовами. Основу математичного дослідження складають методи опуклого
та функціонального аналізів, а також результати теорії оптимального ке-
рування та теорії мінімаксних спостережень лінійних динамічних систем.
Сформульовано завдання побудови оптимальних динамічних вимірників і
задач оптимізації процесу спостережень з відмінними критеріями. Доведено
теорему про існування розв’язків цих завдань.
Ключові слова: завдання оптимізації процесу спостереження, мінімак-
сне оцінювання, інформаційний еліпсоїд, теореми та докази, диференційо-
вана функція.
Вступ
Статтю присвячено дослідженню задач оптимізації процесу спостереження.
Наведено необхідні умови екстремуму, які гарантують оптимальний вибір спосо-
бу спостереження. Існує два підходи до опису невизначеностей (помилки вимірю-
вання, збурення, похибки у завданні початкової апріорної інформації) у зазначе-
них задачах: імовірнісний та мінімаксний (або гарантований).
Традиційний імовірнісний підхід заснований на поданні невідомих збурень
у вигляді випадкових процесів із заданими характеристиками. Дослідженню за-
вдань у рамках цього підходу присвячено велику кількість українських та зарубі-
жних публікацій. Результати мають досить закінчений характер, особливо у разі
лінійних, квадратично-гауссівських моделей, де загальновизнаний і широко за-
стосовуваний на практиці метод оцінювання дає фільтр Калмана–Бьюсі.
Різні математичні аспекти завдань оцінювання та фільтрації у стохастичній
постановці вивчалися з використанням робіт [1–6]. Однак на практиці дослідники
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2023, № 1 31
часто стикаються з відсутністю або нестачею статистичного матеріалу про не-
контрольовані параметри. Це не дозволяє застосувати до досліджуваних завдань
методи, розроблені в теорії стохастичної фільтрації. Інформація про невизначені
величини вичерпується лише завданням множини їхніх можливих значень. У звʼязку
з цим набув розвитку гарантований, або мінімаксний, підхід до вирішення завдань
оцінювання, заснований на залученні методів мінімаксу та теорії ігор. Результа-
том розвʼязання задач на мінімакс є гарантовані множинні оцінки, що забезпечу-
ють найменші помилки оцінювання найгірших із можливих реалізацій спостере-
жень у динамічних системах. Дослідження у цьому напрямку почали М.М. Кра-
совський [7] та А.Б. Куржанський [8, 9], що призвело до створення теорії
мінімаксної, або гарантованої, фільтрації.
Основні результати для завдань мінімаксного оцінювання отримано у роботах
А.Б. Куржанського [9, 10], Ф.Л. Чорноусько [11, 12], Б.М. Пшеничного [13–16],
Б.І. Ананьєва [17–19], А.Г. Наконечного [20, 21], М.Ф. Кириченка [22], а також
інших авторів, включаючи зарубіжних.
Розгляд завдань спостереження та фільтрації показує, що резервом підви-
щення точності оцінювання є оптимізація процесу спостереження.
У роботі розглядається спеціальне завдання управління процесом спосте-
реження у припущенні, що збурення задовольняють квадратичне обмеження,
а параметри вимірювача визначаються виходом керованої динамічної системи.
Така постановка є природною в тому випадку, коли спостереження виконуються
з обʼєкта, що рухається, або залежать від динамічно змінюваних параметрів
зовнішнього середовища. Крім того, до розглянутої проблеми зводиться пошук
оптимального вхідного сигналу в завданнях лінійної ідентифікації [1].
Незважаючи на те, що проблема може розглядатися як нескінченне узагаль-
нення деякої задачі планування регресійного експерименту, отримані результати
видаються новими і в певному сенсі несподіваними.
Завдання оптимізації процесу спостереження
Постановка задачі оптимізації процесу спостереження . Розглянемо за-
вдання знаходження найкращої у сенсі мінімаксу оцінки вектора параметрів
nR на основі спостережень сигналу
*
0 ( ) ( ) ( ), [ , ].y t a t t t t T (1)
Тут ( )a t — відома безпереpвна по t матриця розмірності ( );n k 0[ ],t T — інтер-
вал спостереження; ( )t — невизначені збурення, інформація про які вичерпуєть-
ся включенням
2 0 (·) Ξ [ ].,kL t T (2)
Передбачається, що множиною Ξ є опуклий компакт у слабкій топології
2 0[ ].,kL t T Для вирішення цього завдання необхідно визначити оператор Φ Φ( ),y
який, будучи застосованим до сигналу ( )y t та виміряним на проміжку 0 ,t t T до-
ставив би величину 0 , що є найкращою в певному сенсі оцінкою вектора парамет-
рів . Розрізняють два основні підходи до вирішення цього завдання: апріорний та
апостеріорний. При апріорному підході передбачається, що вибір оператора Φ здійс-
нюється до проведення спостереження. У цьому випадку для отримання оцінки 0
розглядається весь ансамбль реалізацій (·),y що породжується сукупністю реалізацій
невизначених збурень (·). Оператор Φ підбирається таким чином, щоб визначити
найменші помилки оцінювання для найгіршої реалізації.
32 ISSN 2786-6491
За апостеріорним підходом вважається, що реалізація ( )y t вже відома. Тобто
при побудові оператора Φ оперують однією конкретною реалізацією ( ),y t
отриманою при спостереженні. Розвʼязання задачі в цьому випадку зводиться до
побудови іформаційної множини, спільної з сигналом, що реалізувався [8]. Ця
множина складається з тих значень параметра , які (разом з деякими значен-
нями ( )t ) могли б породити саме виміряну реалізацію ( ).y t За оптимальну
оцінку 0 вектора параметрів приймається найкраща точка з цієї множини.
Апостеріорний алгоритм можна досліджувати і з апріорних позицій, вважаючи
реалізацію, що відбулася, найгіршою. Однак способи вирішення завдання оціню-
вання у даному випадку і у разі суто апріорного підходу досить різні.
Повернемося до завдань (1) та (2). Інформаційною множиною, сумісною
з сигналом, що реалізувався, називається множина векторів , що задовольняють
співвідношення (1) та (2) [8].
Вважатимемо, що Ξ — еліпсоїд у просторі 2 0 [ ] :,kL t T
0
* Ξ · : ( ) ( ) ( ) 1 ,( )
T
t
t N t t dt
де ( )N t — симетрична, позитивно визначена на 0[ ],t T матриця.
Передбачається також, що матрична функція ( )·a не фіксована і може змі-
нюватися відповідно до рівняння
( ) ( ( ), ( ), ),a t f a t u t t
0 0 . ( ) na t a R (3)
Тут ( · , · , ) )( ( ) ·f a u — безперервна матрична функція, яка залежить від параметра,
що управляє ( ,·)u причому
2 0· [ ].( ) ,mu U L t T (4)
Обʼєкт, що описується рівняннями (1)–(4), будемо називати керованим дина-
мічним вимірювачем.
Таким чином, має сенс завдання управління процесом спостереження, або за-
вдання про вибір траєкторії керованої динамічної системи, що мінімізує максима-
льно можливу помилку оцінювання (розміри інформаційної множини).
У даному випадку інформаційною множиною є еліпсоїд [8]
* 2
0 0 0( ) { : ( ) ( ) 1 },, nE P R P h (5)
параметри якого визначаються такими співвідношеннями:
0
1 *
0 , ( (·)) ( ) ( ) ( ) ,
T
t
P d P P a a t N t a t dt
0 0
2 * * 1( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) .
T T
t t
d a t N t y t dt h y t y t dt d P d (6)
Розміри інформаційного еліпсоїда, а отже, помилка мінімаксного оцінювання ви-
значається матрицею P та величиною
2 ,h яка залежить від сигналу, що реалізувався.
Однак ( )·y визначається виходом керованої динамічної системи (3), (4), тобто за-
лежить від управління ( .·)u За логікою мінімаксного підходу вибір оптимального
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2023, № 1 33
управління 0( )·u в (3) необхідно проводити при найгіршій можливій реалізації
невизначених параметрів. Відомо [8], що найменш сприятливий для спостерігача
сигнал дає 0.h Отже, якщо за оцінку вектора буде вибиратися центр 0 θ еліп-
соїда (5), (6), то максимально можливі помилки оцінювання належатимуть еліпсоїду
*
0 (0, ) { : 1 }.nE E P R P
Примітка. Вектор 0 збігається з оцінкою методу найменших квадратів для
сигналу (1). При цьому спектр матриці P визначає дисперсію помилки у разі, коли
збурення описуються стаціонарними випадковими процесами [26]. Питання взає-
мозвʼязку мінімаксних оцінок та оцінок методу найменших квадратів досліджува-
лися різними авторами [20–22].
Найбільш поширеними скалярними величинами, що характеризують розмі-
ри 0 ,E є максимальне власне число, слід і детермінант матриці 1.P
Сформулюємо завдання побудови оптимального динамічного вимірювача
або оптимізації процесу спостереження, виходячи з мінімізації невизначеності
при оцінюванні вектора параметрів .
Завдання 1. Визначити допустиме керування 0 2 0· [ , ]( ) mu U L t T та відповід-
не рішення 0 ( )·a рівняння (3), що мінімізує максимальне власне число матриці 1 .P
Завдання 2. Визначити допустиме керування 0 2 0· [ ]( ) ,mu U L t T та відповідне
рішення 0 ( )·a рівняння (3), що мінімізує визначник матриці 1 .P
Завдання 3. Визначити допустиме керування 0 2 0· [ , ]( ) mu U L t T та відповідне
рішення 0 ( )·a рівняння (3), що мінімізує слід матриці 1 .P
Для зручності надалі розглядаються еквівалентні завдання максимізації ви-
значника та мінімального власного числа матриці .P
Отже, розглядається спеціальне завдання планування процесу спостереження
за умови, що збурення задовольняють квадратичні обмеження, а параметри вимі-
рювача залежать від виходу керованої динамічної системи. З формальної точки зору
це завдання зводиться до оптимального керування з негладким функціоналом.
Завдання 1–3 вивчаються за припущенням, що 1k (використовуються ска-
лярні спостереження), ( ) :N t I
( , , ) ( ) ( )f a u t A t a B t u . (7)
)· та( ) ·(A B — безперервні на 0[ ],t T матриці розмірності ( ) та ( )n n n m відповід-
но; I — одинична матриця; U — опукла, слабо компактна множина в 2 0[ ].,mL t T
Передбачається також, що система (3), (7) цілком керована.
Використовуючи ці припущення, можна обґрунтувати таке твердження.
Теорема 1. Розвʼязки завдань 1–3 існують.
Доведення. Розглядається завдання такого виду:
( · ) min,( )F a
· Α,( )a
де 2 0( · ) : [ ]( ) ,nF a L t T R задає величину максимального власного числа, детер-
мінанта чи сліду матриці
1 ,(( ))·P a
34 ISSN 2786-6491
0
2 0 0 0Α · [ ] : ( ) Φ( , ) Φ( , ) ( ) ( ) , ( ) , ( )·
t
n
t
a L t T a t t t a t B u d u U
є множиною рішень лінійної динамічної системи (3), (7). Тут Φ ( , )t — матри-
цант лінійної однорідної системи ( ) ( ) ( ).x t A t x t Покажемо, що Α — це компакт.
Для цього розглянемо множину 0 ,A A ·( )c де 0 0 ( ) Φ( , )c t t t a , 0 [ ],,t t T і ви-
значимо оператор :K
(·) (·),a Ku
тобто
0
( ) Φ( , ) ( ) ( ) ,
t
t
a t t B u d
0A .KU
Відомо [16], що певним чином оператор є компактним лінійним оператором,
і отже, з обмеженості U випливає компактність Α.
Завдяки повній керованості системи (3), (7) існує рішення * ,( )· Aa отже,
матриця * * ))( ·(P P a невироджена. Нехай * *( · ) 0( )F a . Тоді обмеження роз-
глянутого завдання можна доповнити умовою
* .( · )( ) F a
Користуючись неперервністю спектра і невідʼємною визначеністю матриці
( ),(·)P a можна показати, що ( )·F безперервна на замкнутій множині
*Α · : ( .( ) ) (· ) a F a
Твердження теореми, таким чином, випливає з теореми Вейєрштрасса.
Теорему доведено.
Диференціальні властивості функціоналів. Досліджуємо диференціальні вла-
стивості функцій, що визначають критерії завдань 1–3.
Насамперед нагадаємо деякі поняття.
Скалярна величина у просторі 2 0 [ ],nL t T вводиться так: якщо (·),f
2 0· [ ],( ) ,ng L t T то
0
*( ) ( )· , · ( ) ( ) ,
T
t
f g f t g t dt
а норма
2
0
2 * · · , · ( ) ( ) .( ) ( ) ( )n
T
L
t
f f f f t f t dt
Визначення. Функціонал 2 0Φ( · ) : [ ]( ) ,na L t T R диференціюємо по Фреше
в точці 0 ( ,·)a якщо існує такий лінійний функціонал
´
0 Φ ( ,(·))a що
0 0 0 0 0 0Φ( · · ) Φ( · ) Φ( · ), · ( · ),( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a a a a o a
де 0
0
( · )
)
( )
(·
o a
a
0 при 0 )·(a 0.
Позначимо )( )(·D a та )( )(·E a величину детермінанта і мінімального власно-
го числа матриці )( )(·P a , а )( )(·L a — слід зворотної матриці
1 .( ( ))·P a
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2023, № 1 35
Теорема 2. Функції ( )·D та 2 0· : [ ]( ) ,nL L t T R диференційовані по Фреше
у всіх точках 0( ,·)a і завдяки їм матриця 0 0 (( · ))P P a невироджена. При цьому
1
0 0 0 0 ( · )( ) 2 det · · ( ),( )D a t P P a t (8)
2
0 0 0 ( · )( ) 2 · ( ).( )L a t P a t (9)
Доведення. Скористаємося такою формулою обчислення визначника мат-
риці 0 :P
1 2
1 2
1 20 1 2
( , , ),
| | , ., , ,det ,( 1) n
n
n i i ni
i i i
i i iP p p p
Нехай I — множина різноманітних перестановок індексів { : I
1 2 ( , , ..., )},ni i i а P — матриця з елементами , , 1, 2, ..., .ijp i j n Тоді
1 1 2 2
0 1 1 2 2( ) ( 1) ( )( ) ( )
n ni i i i ni ni
I
D P P p p p p p p
1 2 1 2
1 2 1 2 ( 1) , , ( 1) , , , ,
n ni i ni i i ni
I I
p p p p p p
1 2 31 2 3, ( 1) , , , ...
ni i i ni
I
p p p p
1 2 ( 1)
1 2 ( 1) ( 1) , , ( ).,
n ni i n i ni
I
p p p p o p
Перетворимо кожну із сум, крім першої, згрупувавши доданки таким чином:
1 ( 1) ( 1)
1 ( 1) ( 1)( 1) , ,, ,
k k k ni k i ki k i ni
I
p p p p p
1 ( 1) ( 1)
1 1 ( 1) ( 1)
,
1
( 1) , ,, ,
k k n
k
k i k i k i ni
I
L
p p p p p
1 ( 1) ( 1)
2 1 ( 1) ( 1)
2
. ( .1) ,, ... , .,
k k n
k
k i k i k i ni k
I
i
np p p p p p
1 ( 1) ( 1)
1 ( 1) ( 1)
1
, , ..., ,( 1) ,
k k n n
k
n
i k i k i ni ni kj kj
I j
i n
p p p p p p M
тобто отримаємо формулу розкладання визначника матриці 0 P за елементами k -го
рядка, які замінені ,kjp j = 1, 2, …, n; ,kjM j = 1, 2, …, n, — алгебраїчні допов-
нення, що відповідають елементам ,kjp j = 1, 2, …, n.
Скориставшись цим фактом, отримаємо
0 0 1 1 2 2
1 1
( )
n n
j j j j
j j
D P P D P p M p M
0
1 1 1
( ) ( ) ( ).
n n n
nj nj kj kj
j k j
p M o p D P p M o p
36 ISSN 2786-6491
Елементи зворотної до 0 P матриці
kjp виражаються як
0
.
det
kjkj
M
p
P
Тоді
1
0 0 0 0( ) ( ) det · · ( ).D P P D P P P P o P (10)
Нехай 2 0· [ ].( ) ,na L t T Знайдемо вираз для 0 0 :( ) (( · · ) ( ))(·)P P a a P a
0
*
0( · · ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )
T
t
P a a a t a t a t a t dt
0
* *
0 0 0 ( · ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) ( ·( )( ) )
T
t
P a a t a t a t a t dt o a
0
*
0 0 ( · ) 2 ( ) ( ) ( · ).( ) ( )
T
t
P a a t a t dt o a
Після підстановки (10) отримуємо
0
* 1
0 0 0 0 0( ( (·) (·))) ( ( (·))) 2 det · ( )· · ( ) ( (·)),
T
t
D P a a D P a P a t P a t dt o a
де 0
0
( (·))
(·)
o a
a
0 при (·) 0,a а похідна Фреше за визначенням збігається з (8).
Розглянемо тепер функцію (·) :L
1
0 0 0 ( (·) (·)) ( (·)) ( (·) (·)) rL a a L a T P a a
1 1 1
0 0 0 ( ( (·)) (·) (·) ( (·) ),( ) )r rT P a T P a a P a
а також
1 1 1 1
0 0 0 0(·) (·) ( ) ( )) (( )P a a P P P I P P
1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 ( ( )) · · ( ).I P P o P P P P p P o P
Підставивши вираз для ,P знайдений вище, отримаємо
0
1 1 1 * 1
0 0 0 0 0 ( (·) (·) (·) 2 · ( )· ( )· ( (·)).( ) ( )
T
r r
t
T P a a P a T P a t a t P dt o a
Враховуючи, що для довільних векторів
,, nR * *
,rT запишемо
0
* 2
0 0 0 0 ( (·) (·)) ( (·)) 2 ( ) · · ( ) ( (·)),
T
t
L a a L a a t P a t dt o a
де 0
0
( (·))
(·)
o a
a
0 при (·) 0,a а похідна Фреше збігається з (9).
Теорему доведено.
Для вивчення функціоналу ( (·))E a представимо його, використовуючи спів-
відношення Релея як
1
( (·)) min (ψ, (·)),E a E a
0
* 2 (ψ, (·)) (ψ ( )) .
T
t
E a a t dt (11)
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2023, № 1 37
Виявляється, що (ψ, (·))E a — безперервна і диференційована по Фреше функ-
ція при кожному фіксованому .
Теорема 3. Похідна Фреше функції (ψ, (·))E a по (·)a у точці 0 (·)a визна-
чається виразом
´
*
0 0( ) (ψ (·))( ) 2 ,ψ· ψ · tE a t a 0[ ].,t t T (12)
Доведення. Для довільного 2 0(·) [ ],nba L t T
0
* 2
0 0 (ψ, (·) (·)) (ψ ( ( ) ( )))
T
t
E a a a t a t dt
0
* 2 * * * 2
0 0 ((ψ ( )) 2(ψ ( )ψ ( )) (ψ ( )) )
T
t
a t a t a t a t dt
0
* *
0 0(ψ, ) 2 (ψ·ψ ( )) ( ) ( (·)),
T
t
E a a t a t dt o a
де 0
0
( · )
)
( )
(·
o a
a
0 при (·) 0a в 2 0[ ].,nL t T
Теорему доведено.
Із результатів [23] випливає, що функція
1
( · ) max ( (ψ, · ))( ) ( )E a E a
є квазідиференційованою, причому її квазідиференціал визначається виразом
00 Ψ 0 ( ( · )) conv ( (ψ, · · ).)( ) ( ( )E a U E a
Тут
0 0 min Ψ { ψ ; ψ 1, ψ ψ},nR P
де min — мінімальне власне число матриці 0 .P
Особливість операції досягнення опуклості означає замикання у слабкій топології
2 0[ ].,nL t T Із (12) маємо
0 2 0( ) ( :( ( · )) { · [) ] ,nE a d L t T
0
*
0 Ψ .: ( ) 2Γ ( ), Γ conv }d t a t U (13)
Теорема 4. Функція )· ( ( )) ( ( )·E a E a є квазідиференційованою [23], а вклю-
чення 0 · ( ·))( ) (d E a еквівалентне існуванню векторів 0Ψi та чисел
0,i
1
( 1)
1, 2, , ; 1; 1,
2
i
i
n n
i
таких, що
*
0
1
( ) 2Γ ( ), Γ ψ ψi i
i
d t a t
.
Доведення. Покажемо, що знак замикання у формулі визначення квазідифе-
ренціалу (13) можна усунути.
Для цього розглянемо множину
0 0
*
Ψ Ψ , ψ
i ii i iG U U g
де
*
. ψi i ig
38 ISSN 2786-6491
Виберемо послідовність ig G , що сходиться до деякого елемента
*
0 0 0, 0 0. ψ Ψg
Оскільки 0Ψ — компактна множина (замкнена та обмежена), з послідовності
i можна вибрати підпослідовність, що сходиться до 0 0 0 , . Ψij Але g
безперервно залежить від . Тому 0 ,g G тобто G є компактною множиною.
Крім того, множина G має незлічене число елементів, оскільки для будь-
якого
1
ψ ψi i
i
* *
1 1 , 1
.i i j j i j i j
i j i j
g
Оскільки опукла оболонка компакта в кінцевому просторі є компактною
множиною, знак замикання можна видалити.
Тоді за теоремою Каратеодорі для будь-якого 0· ( ·))( ) (d E a існують такі
вектори 0 Ψi та числа
1
( 1)
0, 1, 2, , ; 1; 1
2
i i
i
n n
i
, що
*
0 0
1
( ) 2 ( ),i i
i
d t a t
тобто 0 _( (·))E a — множина векторів виду
0 2 0 0 ( ) ( ) [ ,_( · ) { · , : ( ) 2Γ (] )nE a d L t T d t a t
*
1 1
Γ , 0, 1, 2, , ; 1,i i i i i
i i
i
1
1 }.
2
n n
Теорему доведено.
Необхідні умови екстремуму. Сформульовані вище завдання 1–3 еквіва-
лентні мінімізації квазідиференційованих функцій · , · · ,( ( )) ( ( )) ( ( ))E a D a D a
) ( ( )·L a відповідно на множині
0
2 0 0 0 (·) [ ] : ( ) Φ( , ) Φ ( , τ) ( ) ( ) , (·),
t
n
t
a L t T a t t t a t B U d u U
(14)
рішень лінійної динамічної системи. Тут Φ ( , τ) t — матрицант лінійної однорідної
системи ( ) ( ) ( )x t A t x t .
Отже, для отримання необхідних умов оптимальності у завданнях 1–3 можна
скористатися результатами [23].
Теорема 5. Якщо 0a — точка мінімуму квазідиференційованого функціоналу
( )·F на опуклій множині Α банахова простору ,B то
*
0 0 ( ) ( ) .F a K a
Тут 0 ( )F a — квазідиференціал, а
Α 0 0 ( ) { : ( ), Α, λ 0} K a e B e a a a
є конусом допустимих напрямів до множини Α в точці 0 .a Зірочкою позначено
сполучений конус.
Теорему доведено.
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2023, № 1 39
Теорема 6. Нехай множина Α визначена співвідношенням (14), 0 ,( )· Αa
0 ·( )u U — відповідне управління. Тоді з *
Α 0 ( ) ( ( ))· ·K a випливає
* ,( ( ) Φ , ) ( )
T
t t dt
0
*
0 ψ ( ) ( )( ( ) ( )) 0
T
t
B u u d
для всіх (·) .u U
Доведення. За умовою теореми *
Α 0 ( ) ( ( )),· ·K a де
*
Α 0 2 0· { · [ ] : · , · 0,( ( )) ( ) , ( ) ( )nK a L t T e Α 0 .( ) ( )· ) }(·e K a
Оскільки 0 ,( )· Αa отримуємо
0
0 0 ( ) ( ) ( ) Φ( , ) ( )( ( ) ( ))
t
t
e t a t a t t B u u d .
Тоді
0 0
*
0 ( ), ( ) ψ ( ) Φ(t, τ)B( ) u( ) ( ) .
T t
t t
t e t t u d dt
Змінимо межі інтегрування. Для цього введемо функцію
01, ,
( , )
0, ,
t t
K t
t
і в результаті маємо
0 0
*
0 ( , )ψ ( )Φ( , ) ( )( ( ) ( ))
T T
t t
K t t t B u u d dt
0
*
0 ψ ( )Φ( , ) ( )( ( ) ( ))
T T
t
t t B u u dtd
0
*
0 ψ ( )Φ( , ) ( )( ( ) ( )) ,
T T
t
t t dt B u u d
звідки й випливає доведення теореми.
Теорему доведено.
Обʼєднуючи теореми 2–6, отримуємо таке твердження.
Теорема 7. Нехай 0 ( )·a — оптимальний динамічний вимірювач (рішення од-
ного з завдань 1–3). Потім виконуються співвідношення
0 0 0 0 0 0 ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) a t A t a t B t u t a t a
*
0ψ( ) ( )ψ( ) ( ), ψ( ) 0, , [ , ]A Ma T t t T ,
0 0
* *
0
(·)
ψ ( ) ( ) ( ) max ψ ( ) ( ) ( ) .
T T
u Ut t
t B t u t dt t B t u t dt
Доведення. Матриця M визначається виразами для квазідиференціала
функціоналів ( ) ( ) ( ).· , · та _ ·E D L
40 ISSN 2786-6491
Відповідно до цього для завдання 1
*
1
2 ψ ψi i i
i
M
,
де , ψ таi i визначені в теоремі 4;
1
0 02det · M P P
для завдання 2 та
2
0Μ 2 P
для завдання 3.
Теорему доведено.
Зауваження. Результати виконання завдань 1–3 можуть бути корисними при
проведенні досліджень ігрових задач [24–31].
Висновок
Сформульовано задачі побудови оптимального динамічного вимірювача (завдан-
ня 1–3), або задачі оптимізації процесу спостереження, за припущенням, що збурення
задовольняють квадратичні обмеження, а параметри вимірювача визначаються виходом
керованої динамічної системи. Доведено теорему про існування розвʼязків цих завдань.
Отримано необхідні умови екстремуму для завдань керування процесом спо-
стереження. Вивчено диференціальні властивості функцій, що визначають крите-
рії у завданнях 1–3.
I. Kryvonos
ON THE TASK OF OPTIMIZING
THE MONITORING PROCESS
Iryna Kryvonos
V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of NAS of Ukraine, Kyiv,
ikrivono@gmail.com
The tasks of constructing estimates of unknown parameters based on the results
of incomplete measurements attract the constant attention of researchers. Alt-
hough the subject of the theory of surveillance and filtering is known quite wide-
ly, and many provisions of this theory have acquired the character of classical
results, the interest in this kind of tasks does not weaken due to the wide area of
their application, which includes, in particular, economics, military affairs, and
the theory of automatic control. The development of the theory of guaranteed
observation for linear systems made it possible to move on to the study of prob-
lems of optimization of measurements or planning of an experiment. The con-
nection of minimax and classical stochastic estimates allows us to apply
both standard methods of the theory of experiment planning and some other
results related to the optimization of the observation process within the
framework of a guaranteed approach. The purpose of this work is to study
the optimization of the observation process, to achieve the necessary optimality
conditions, and to construct optimal dynamic meters with zero and non-zero
initial conditions. The basis of mathematical research is the methods of con-
vex and functional analysis, as well as the results of the theory of optimal
control and the theory of minimax observations of linear dynamic systems.
Formulated tasks of building optimal dynamic measuring devices and tasks of
optimizing the observation process with different criteria. A theorem on the
existence of a solution to these problems is proved.
Keywords: observation process optimization task, minimax evaluation, infor-
mation ellipsoid, theorems and proofs, differentiated function.
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2023, № 1 41
ПОСИЛАННЯ
1. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М. : Мир, 1972. 544 с.
2. Калман Р.Е. Вариационный принцип выбора оптимального фильтра из условия минимума
квадратов ошибки. В кн. Самонастраивающиеся автоматические системы. Тр. междуна-
родного симпозиума ИФАК. М. : Наука, 1964. С. 23–34.
3. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. М. : Наука, 1966. 176 с.
4. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация
и смежные вопросы. М. : Наука, 1974. 696 с.
5. Немировский А.С. О рекуррентном оценивании параметров линейных объектов. Автома-
тика и телемеханика. 1981. № 4. С. 77–86.
6. Покотило В.Г. Асимптотические свойства минимаксных оценок при случайных возмуще-
ниях. Кибернетика. 1984. № 1. С. 55–59.
7. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М. : Наука, 1968. 476 с.
8. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М. : Наука, 1977. 392 с.
9. Кац И.Я., Куржанский А.Б. О некоторых задачах наблюдения в случайных обстоятель-
ствах. Автоматика и телемеханика. 1970. № 12. С. 15–25.
10. Куржанский А.Б., Пишулина И.Я. Минимаксная фильтрация при квадратичных ограниче-
ниях 1–3. Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12. № 8. С. 1434–1440; № 9. С. 1568–1579;
№ 12. С. 2149–2158.
11. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущени-
ях. М. : Наука, 1978. 352 с.
12. Черноусько Ф.Л., Меликян А.А. Игровые задачи управления и поиска. М. : Наука, 1978. 270 с.
13. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М. : Наука, 1980. 320 с.
14. Пшеничный Б.Н., Покотило В.Г. Минимаксный подход к оценке параметров линейной ре-
грессии. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1983. № 2. С. 94–102.
15. Пшеничный Б.Н., Покотило В.Г. О задаче наблюдения линейного объекта. Прикладная
математика и механика. 1982. № 2. С. 212–217.
16. Пшеничный Б.Н., Покотило В.Г., Кривонос И.Ю. Об оптимальном управлении оценкой па-
раметров. ДАН УССР. Серія А. 1989. № 7. С. 20–22.
17. Ананьев Б.И. О двойственности задач оптимального наблюдения и управления для линейных
систем с запаздыванием. Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10. № 7. С. 1160–1167.
18. Ананьев Б.И. Минимаксные регуляторы для статистических неопределенных управляемых
систем. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1989. № 4. С. 105–116.
19. Ананьев Б.И., Ширяев В.И. Определение наихудших сигналов в задачах гарантированного
оценивания. Автоматика и телемеханика. 1987. № 3. С. 49–58.
20. Бублик Б.Н., Кириченко Н.Ф., Наконечный А.Г. Минимаксные оценки и регуляторы в дина-
мических системах. Киев : Ин-т кибернетики АН УССР, 1978. С. 48. (Препринт АН УССР.
Ин-т кибернетики. С. 78–81.)
21. Кириченко Н.Ф., Слабоспицкий А.С. Минимаксные фильтры в задачах оценивания состоя-
ний, идентификации параметров и распознания образов. Кибернетика и вычислительная
техника. 1985. Вып. 65. С. 23–33.
22. Кириченко Н.Ф., Наконечный А.Г. Минимаксный подход к рекуррентному оцениванию
состояний линейных динамических систем. Кибернетика. 1977. № 4. С. 52–55.
23. Пшеничний Б.Н. Необходимые условия экстремума. М. : Наука, 1982. 144 с.
24. Кривонос И.Ю. Построение оптимальных процесов наблюдения. Кибернетика и систем-
ный анализ. 1991. № 5. С. 177–179.
25. Пшеничний Б.Н., Чикрий А.А., Раппопорт И.С. Преследование несколькими управляемыми
объектами при наличии фазових ограничений. Докл. АН СССР. 1981. № 4. С. 785–789.
26. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / Под ред. В.С. Королюка.
Киев : Наук. думка, 1978. 582 с.
27. Чикрий А.А., Шишкина Н.Б. О задаче группового преследования при наличии фазовых
ограничений. Автоматика и телемеханика. 1985. № 2. С. 59–69.
28. Chikrii A.A., Chikrii G.T. Matrix resolving functions in game problems of dynamics.
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2015. P. 56–65. DOI: 10.1134/
S0081543815090047.
29. Chikrii A.A., Rappoport I.S., Chikrii K.A. Multivalued mapping and their selectors in the theory
of conflict-controlled processes. Cybernetics and Systems Analysis. 2007. Vol. 43, N 5. P. 719–730.
DOI: 10.1007/s10559-007-0097-8.
30. Vlasenko L.A., Rutkas A.G., Chikrii A.A. On a differential game in an abstract parabolic system.
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2016. P. 254–269. DOI: 10.1134/
S0081543816050229.
31. Чикрий А.А., Белоусов А.А. О линейных дифференциальных играх с интегральными огра-
ничениями. Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2009. С. 290–301.
Отримано 20.02.2023
Доопрацьовано 27.02.2023
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210934 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-21T10:10:53Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кривонос, I.Ю. 2025-12-21T10:48:54Z 2023 Про задачі оптимізації процесу спостереження / I.Ю. Кривонос // Проблеми керування та інформатики. — 2023. — № 1. — С. 30–41. — Бібліогр.: 31 назв. — укр. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210934 519.1 10.34229/1028-0979-2023-1-3 Метою цієї роботи є дослідження оптимізації процесу спостереження, досягнення необхідних умов оптимальності та побудова оптимальних динамічних вимірників з нульовими та ненульовими початковими умовами. Основу математичного дослідження складають методи опуклого та функціонального аналізів, а також результати теорії оптимального керування та теорії мінімаксних спостережень лінійних динамічних систем. Сформульовано завдання побудови оптимальних динамічних вимірників і задач оптимізації процесу спостережень з відмінними критеріями. Доведено теорему про існування розв’язків цих завдань. The goal of this work is to investigate the optimization of the observation process, achieve the necessary conditions for optimality, and construct optimal dynamic measurement systems with both zero and non-zero initial conditions. The foundation of the mathematical study consists of methods from convex and functional analysis, as well as results from optimal control theory and minimax observation theory for linear dynamic systems. The problem of constructing optimal dynamic measurement systems and the optimization of the observation process with different criteria is formulated. A theorem on the existence of solutions to these problems is proven. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблеми керування та інформатики Методи оптимізації та оптимальне керування Про задачі оптимізації процесу спостереження Methods of optimization and optimal control Article published earlier |
| spellingShingle | Про задачі оптимізації процесу спостереження Кривонос, I.Ю. Методи оптимізації та оптимальне керування |
| title | Про задачі оптимізації процесу спостереження |
| title_alt | Methods of optimization and optimal control |
| title_full | Про задачі оптимізації процесу спостереження |
| title_fullStr | Про задачі оптимізації процесу спостереження |
| title_full_unstemmed | Про задачі оптимізації процесу спостереження |
| title_short | Про задачі оптимізації процесу спостереження |
| title_sort | про задачі оптимізації процесу спостереження |
| topic | Методи оптимізації та оптимальне керування |
| topic_facet | Методи оптимізації та оптимальне керування |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210934 |
| work_keys_str_mv | AT krivonosiû prozadačíoptimízacííprocesusposterežennâ AT krivonosiû methodsofoptimizationandoptimalcontrol |