Оцінка зваженого рівня впливу обмежених збурень на якість дескрипторних дискретних систем керування

У класичній теорії H∞-керування критерієм якості неперервних систем з нульовим початковим станом є рівень гасіння зовнішніх (екзогенних) збурень, якому відповідає максимальне значення відношення L₂-норм векторів контрольованого виходу об’єкта і збурень. На практиці стабілізуючі закони керування у ви...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Проблеми керування та інформатики
Дата:	2023
Автор:	Мазко, О.Г.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2023
Теми:	Методи керування та оцінювання в умовах невизначеності
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210936
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Оцінка зваженого рівня впливу обмежених збурень на якість дескрипторних дискретних систем керування / О.Г. Мазко // Проблеми керування та інформатики. — 2023. — № 1. — С. 59–72. — Бібліогр.: 24 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859631585628782592
author	Мазко, О.Г.
author_facet	Мазко, О.Г.
citation_txt	Оцінка зваженого рівня впливу обмежених збурень на якість дескрипторних дискретних систем керування / О.Г. Мазко // Проблеми керування та інформатики. — 2023. — № 1. — С. 59–72. — Бібліогр.: 24 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Проблеми керування та інформатики
description	У класичній теорії H∞-керування критерієм якості неперервних систем з нульовим початковим станом є рівень гасіння зовнішніх (екзогенних) збурень, якому відповідає максимальне значення відношення L₂-норм векторів контрольованого виходу об’єкта і збурень. На практиці стабілізуючі закони керування у вигляді статичних або динамічних регуляторів за спостережуваним виходом, які мінімізують такі характеристики керованих об’єктів, забезпечують бажану якість і високу надійність їхнього функціонування в реальних умовах. У даній роботі для класу лінійних дескрипторних (сингулярних) систем керування з дискретним часом досліджуються задачі оцінки та досягнення узагальнених показників якості, які характеризують зважений рівень гасіння обмежених зовнішніх збурень, а також початкових збурень, обумовлених невідомим початковим вектором. In classical H∞ control theory, the quality criterion for continuous systems with a zero initial state is the level of attenuation of external (exogenous) disturbances, corresponding to the maximum value of the ratio-norm between the controlled output vectors of the system and the disturbances. In practice, stabilizing control laws in the form of static or dynamic regulators based on the observed output, which minimize such characteristics of controlled systems, ensure desired quality and high reliability of their operation in real conditions. This work investigates the assessment and achievement of generalized quality indicators for the class of linear descriptor (singular) discrete-time control systems. These indicators characterize the weighted level of attenuation of bounded external disturbances, as well as initial disturbances due to an unknown initial vector.
first_indexed	2026-03-14T10:08:01Z
format	Article
fulltext	© О.Г. МАЗКО, 2023 Міжнародний науково-технічний журнал Проблеми керування та інформатики, 2023, № 1 59 УДК 517.935; 681.5.03 О.Г. Мазко ОЦІНКА ЗВАЖЕНОГО РІВНЯ ВПЛИВУ ОБМЕЖЕНИХ ЗБУРЕНЬ НА ЯКІСТЬ ДЕСКРИПТОРНИХ ДИСКРЕТНИХ СИСТЕМ КЕРУВАННЯ Мазко Олексій Григорович Інститут математики НАН України, м. Київ, mazkoag@gmail.com У класичній теорії H-керування критерієм якості неперервних систем з ну- льовим початковим станом є рівень гасіння зовнішніх (екзогенних) збурень, якому відповідає максимальне значення відношення 2L -норм векторів конт- рольованого виходу об’єкта і збурень. На практиці стабілізуючі закони керу- вання у вигляді статичних або динамічних регуляторів за спостережуваним виходом, які мінімізують такі характеристики керованих об’єктів, забезпе- чують бажану якість і високу надійність їхнього функціонування в реальних умовах. У даній роботі для класу лінійних дескрипторних (сингулярних) сис- тем керування з дискретним часом досліджуються задачі оцінки та досяг- нення узагальнених показників якості, які характеризують зважений рівень гасіння обмежених зовнішніх збурень, а також початкових збурень, обумов- лених невідомим початковим вектором. Встановлюються нові критерії вико- нання наперед заданої верхньої оцiнки для вказаних показників якостi, які зводяться до розв’язування лінійних матричних нерівностей (ЛМН). Вiдомi методи оцiнки H-норми матричної передатної функцiї лінійної дескрипто- рної системи (твердження типу «bounded real lemma») є наслiдками отрима- них тверджень для зважених показникiв якостi. Розглядаючи задачу синтезу для лінійної дескрипторної системи з керованими і спостережуваними вихо- дами, у вигляді трьох матричних нерівностей встановлюються необхідні та достатні умови існування статичного регулятора за спостережуваним вихо- дом, при якому замкнена система є допустимою (регулярною, стiйкою i при- чинною) і досягаються бажані оцінки використовуваних зважених показни- ків якості. У термінах ЛМН пропонується методика побудови еліпсоїдальної множини матриць статичного регулятора за виходом, який забезпечує за- мкненій системі вказані властивості. При цьому додатно визначені матриці, які визначають дану еліпсоїдальну множину, можуть бути як заданими, так і шуканими компонентами розв’язку ЛМН. Для ілюстрації отриманих резуль- татів і можливості чисельної реалізації запропонованих методів за допомо- гою комп’ютерних засобів наводиться приклад дескрипторної системи стабі- лізації електричного кола. Ключові слова: дескрипторна система, допустима система, рiвень гасіння збурень, H-керування, ЛМН. Вступ Дескрипторнi (сингулярнi) системи керування виникають при проєктуваннi та дослiдженнi складних об’єктiв механiки, електротехнiки, економiки тощо (див., наприклад, [1–6]). Задачi стабiлiзацiї та оптимiзацiї таких систем теоретич- но ускладнюються порiвняно з аналогiчними задачами для звичайних систем. На практицi дискретнi моделi систем керування мають деякi переваги щодо неперер- вних. Зокрема, використання рiзницевих рiвнянь руху не потребують дослiдження умов iснування та єдиностi розв’язкiв. Крiм того, рiзницевi системи цiлком прида- тнi для їх чисельної реалiзацiї комп’ютерними засобами. mailto:mazkoag@gmail.com 60 ISSN 2786-6491 Сучаснi напрямки дослiджень в теорiї керування як звичайних, так i дескрип- торних систем, складають методи робастної стабiлiзацiї та 2 /H H-оптимiзацiї, якi забезпечують робастну стiйкiсть станiв рiвноваги й мiнiмiзують негативний вплив невизначених зовнiшнiх збурень на динамiку керованих об’єктiв. Типовим показником якостi у задачах H-оптимiзацiї дискретних систем з нульовим поча- тковим станом є рiвень гасiння зовнiшнiх (екзогенних) збурень, якому вiдповiдає максимальне значення вiдношення 2l -норм векторiв керованого виходу об’єкта i збурень. У [7–13] розробленi методи оцiнки та досягнення бажаного значення да- ної характеристики у дискретних дескрипторних системах керування. В [14–16] при дослiдженнi звичайних систем використовувалися зваженi показники якостi, якi враховують також вплив початкових збурень, обумовлених невiдомим початковим вектором. За допомогою вагових коефiцiєнтiв у виразах, що визначають такi показ- ники якостi, можна встановити прiоритети мiж компонентами векторів контрольо- ваного виходу, а також зовнішніх i початкових збурень у системi керування. Продовжуючи дослiдження [14, 15], у данiй роботi вивчається клас дискретних дескрипторних систем iз керованими i спостережуваними виходами i розробляють- ся новi пiдходи до розв’язання задач оцiнки та пониження зваженого рiвня гасiння зовнiшнiх i початкових збурень за допомогою статичних регуляторiв за спостере- жуваним виходом. Практичну реалiзацiю отриманих результатiв, яка включає розв’язання лiнiйних, квадратичних та деяких нелiнiйних матричних нерiвностей, можна здійснювати за допомогою сучасних комп’ютерних засобiв, зокрема LMI Toolbox системи Matlab [17] або Solve Block системи Mathcad Prime [18]. Будемо використовувати такi позначення: I ( )nI — одинична ( )n n матри- ця; 0n m — нульова n m -матриця; 0X X T ( 0) — додатно (невiд’ємно) визначена симетрична матриця ;X ( )A ( ( ))A — спектр (спектральний радіус) матриці ;A 1A ( )A — обернена (всевдообернена) матриця; Ker A — ядро мат- риці ;A AW — матриця, стовпцi якої утворюють базис ядра Ker ;A max ( )  — максимальне власне значення ермiтової матрицi; x — евклідова норма векто- ра ;x Q w — зважена 2l -норма векторної послідовності ,tw 0, 1,...t  . Допоміжні твердження Лема 1 (лема Шура [19]). Для симетричної блокової матриці A B M B C         T , ,A A T C C T виконуються такi твердження: 1) 0M   0,A  1C B A B T  1 ;A BC B T 2) якщо det 0,A  то 0M   0,A  1 ;C B A B T 3) якщо det 0,C  то 0M   0,C  1 .A BC B T Наведемо критерiї сумiсностi матричних нерiвностей 0,A B XC C X B  T T T (1) 0,A B XC C X B C X RXC   T T T T T (2) де ,n nA R ,p nB R q nC R і p pR R — задані матриці, причому ,A A T 0,B  0C  і 0.R R T Міжнародний науково-технічний журнал Проблеми керування та інформатики, 2023, № 1 61 Лема 2 [20]. Лiнiйна матрична нерiвнiсть (1) має розв’язок p qX R тодi i лише тодi, коли виконується одна iз наступних умов: а) rank ,B n rank ;C n б) rank ,B n rank ,C n 0;B BW AW T в) rank ,B n rank ,C n 0;C CW AW T г) rank ,B n rank ,C n 0,B BW AW T 0.C CW AW T Лема 3 [21]. Квадратична матрична нерiвнiсть (2) має розв’язок p qX R тодi i лише тодi, коли: а) rank C n або б) rank ,C n 0C CW AW T і виконується одна iз наступ- них умов: в) 0,R  rank ;B n г) 0,R  rank ,B n 0;B BW AW T д) 0,R  1 ;A B R B T е) 1 rank ,R p  0rank ;B n є) 1 rank ,R p  0rank ,B n 00 ( ) 0,BB W A B R B W T T 0 .RB W B T Лема 4. Позначимо симетричнi блоковi матрицi 1 2 2 3 , S S S S S         T 1 2 2 3 , H H H H H         T де 1 1, ,r rS H R 2 2, ,r dS H R 3 3, .d dS H R Якщо задані 0H  і 1 10 ,S H  то існують блоки 2S і 3S матриці ,S при яких 0 .S H  Доведення. Перепишемо спiввiдношення 0 S H  на основi леми Шура у виглядi 1 10 ,S H  1 1 2 1 2 3 3 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ).S S S S H S H S H S H      T T Очевидно, що блок 3S можна визначити, якщо 1 2 1 2S S ST 1 2 2 1 1 2 2 3( ) ( ) ( ) ,S H H S S H H    T тобто 1 2 1 1 2 2 2 2 2 3 0 0 0. S S S H S H S S H H                  T T T Подамо останню нерiвнiсть стосовно 2X S у виглядi (1), де 1 1 1 2 2 3 0 0 0 , 0 S A S H H H H                T 0 r r I B I             T , 0 0 d C I             T . 62 ISSN 2786-6491 Критерiй її сумiсностi за лемою 2 збiгається з наведеними умовами, оскiльки 0,B BW AW H  T 1 1 1 0 0, 0 C C S W AW S H        T де 0 0 , 0 r B r d I W I I             0 0 . 0 0 r C r I W I             Лему доведено. Лема 5 [14]. Нехай виконується матрична нерiвнiсть 0, W V QV U V QD U D QV R D QD P             T T T T T де ,D ,U ,V 0,W W T 0,R R T 0P P T і 0Q Q T — матрицi вiдпо- вiдних розмiрiв. Тодi для довiльної матрицi K iз елiпсоїда { : }K K PK Q Κ T визначений оператор 1( ) ( )K I KD K D і виконується матрична нерівність ( ) ( ) ( ) ( ) 0.W U K V V K U V K R K V   T T T T TD D D D Зважений критерiй якостi допустимих дескрипторних систем Розглянемо клас лiнiйних дискретних систем без керування 1 ,t t tEx Ax Bw   ,t t tz Cx Dw  0, 1, ,t  (3) де ,n tx R s tw R і k tz R — відповідно вектори стану, зовнiшнiх збурень i виходу системи, ,E ,A ,B C і D — матрицi вiдповiдних розмiрiв. Введемо пока- зник якостi даної системи стосовно її вектора виходу: 0 2( , ) 0 0 0 sup , Q w x P z J w x X x  Ω T (4) де 2 0 ,t tQ t z z Qz     T 2 0 ,t tP t w w Pw     T Ω— множина пар 0( , ),w x для яких сис- тема має розв’язок i виконується нерiвнiсть 2 0 0 00 , P w x X x  T а 0,P P T 0Q Q T та 0 0 0X X T — деякі вагові матриці. Нехай надалi 0 ,X E HE T де 0H H T — задана матриця, rank 0E  і 0 . E E W T Вважаємо, що вектор зовнiшнiх збурень tw обмежений за зваженою 2l -нор- мою , P w а 0x — невiдомий початковий вектор. Вектор збурень tw i початко- вий вектор 0x називаються найгiршими стосовно показника якостi ,J якщо на їх- нiх значеннях у (4) досягається супремум, тобто 2 22 0 0 0( ). Q P z J w x X x  T У [22] запропоновано метод знаходження таких векторiв. Міжнародний науково-технічний журнал Проблеми керування та інформатики, 2023, № 1 63 Вираз (4) при 0 Ker x E позначимо 0.J Очевидно, що 0 .J J Значен- ня 0 ( )J J характеризує зважений рiвень гасiння зовнiшнiх (зовнiшнiх i початко- вих) збурень у системi (3). У випадку вагових матриць ,sP I kQ I i 0 nX I показник якостi (4) вiдомий [16]. При цьому 0J збiгається з H -нормою переда- тної матричної функцiї системи maxsup ( ( ) ( )),zwG G i G i        R T 1( ) ( ) .G C E A B D     Якщо 1,J  то система (3) є неекспансивною щодо її характеристики .J Нехай в’язка матриць ( )F A E   регулярна, тобто det ( ) 0F   ( ).C Канонiчна форма Веєрштрасса регулярної в’язки матриць має вигляд [23] 1 0 ( ) 0 r n r A I LF R N I          , (5) де власнi значення матрицi 1A утворюють скiнченний спектр ( ),F N — нiль- потентна матриця iндексу , а L i R — деякi невиродженi матрицi. В’язка мат- риць ( )F  називається стiйкою, якщо 1  ( ),F тобто 1( ) 1,A  і при- чинною, якщо 1,  тобто 0.N  Система (3) називається допустимою, якщо вiдповiдна в’язка матриць ( )F  регулярна, стiйка i причинна [6]. Згідно з (5) динамiчна пiдсистема причинної системи має вигляд 1 1 1 1 1 ,t t tx A x B w   1 1 1 ,t t tz C x D w  0, 1, ,t  (6) де 1 ,r tx R 2 ,n r tx R 1 2 , t t t x x R x         1 2 , B LB B         1 2[ ],CR C C 1 2 2,D D C B  причому показники якостi типу (4) для систем (3) i (6) збiгаються. Лема 6. Наступнi твердження еквiвалентнi: 1) система (3) є допустимою; 2) iснує невироджена матриця ,X X T яка задовольняє систему ЛМН 0,A XA E XE T T 0;E XE T 3) iснують матрицi 0S S T i ,  T що задовольняють спiввiдношення ( ) 0,A S A E SE   T T 0;E E T 4) iснують матрицi 0S S T i ,F що задовольняють ЛМН 0 0 0.A SA E SE FE A A E F   T T T T T Еквiвалентнiсть тверджень 1) та 2) леми 6 встановлена в [7], а доведення ек- вiвалентностi тверджень 1) та 4) наведено в [8]. Очевидно, що твердження 2) є на- слiдком твердження 3), оскiльки E XE E SET T при .X S  Навпаки, якщо у твердженнi 2) 1 2 2 3 , X X X L L X X         T T 1 0 , 0 n r A LAR I          0 , 0 rI LER N        64 ISSN 2786-6491 то 0,N  1 1 0,X X T 1 1 1 1 0X A X A T i матрицi S і  у твердженнi 3) можна побудувати у виглядi 1 2 2 2 2 3 3 , X X S X L L X X           T T T  2 2 3 0 ,L L         T T (7) де 1 3 3 2 2 1 2 2( ) ( ).X X X X    T У [9] встановлено, що система (3) є допустимою тодi i лише тодi, коли 0 0( ) 0A S E TE A E SE  T T T для деяких матриць 0S S T i .T T T Даний факт є наслiдком еквiвалентностi тверджень 1) i 3) леми 6 при використаннi розв’язкiв матричного рiвняння 0E E T типу 0 0 .E TE  T Довiльний симетричний розв’язок даного рiвняння у випадку 0N  має таку структуру: 1 0 0 1 2 2 0 , G E G GE L L G G G           T T T T T (8) де 1 2 , G G L G         T 0 0 n r E L I          T . Для системи (3) визначимо матричнi оператори 2 ( ) A XA E XE C QC A XB C QD X B XA D QC B XB D QD P               T T T T T T T T T , ( ) [ ], A A B B            T T 1 0 0( ) [ ]. A F E F FE A B B           T T T T Лема 7. Наступнi твердження еквiвалентнi: 1) система (3) є допустимою i виконується оцiнка 0 ;J   2) iснує матриця ,X X T що задовольняє систему ЛМН ( ) 0,X  0;E XE T 3) iснують матрицi 0S S T і ,  T що задовольняють спiввiдношення ( ) ( ) 0,S    0;E E T 4) iснують матрицi 0S S T і ,T T T що задовольняють ЛМН ( ) ( ) 0,S    0 0 ;E TE  T 5) iснують матрицi 0S S T і ,G що задовольняють ЛМН ( ) ( ) 0,S    0 0 ;E G GE  T T Міжнародний науково-технічний журнал Проблеми керування та інформатики, 2023, № 1 65 6) iснують матрицi 0S S T i ,F що задовольняють ЛМН 1( ) ( ) 0.S F   Доведення. Покладемо t tw Pw і ,t tz Qz де P i Q — множники в розкладах додатно визначених матриць P P P T і .Q Q Q T Тодi система (3) набуває вигляду 1 ,t t tEx Ax Bw   ,t t tz Cx Dw  0, 1, ,t  (9) де 1,B BP C QC і 1.D QDP При цьому , kQ I z z sP I w w і ( ) ( ) ,X U X U  T (10) 2 ( ) A XA E XE C QC A XB C QD X B XA D QC B XB D QD P               T T T T T T T T T , 0 0 nI U P        . Згiдно з [7] система (9) є допустимою i її показник якостi 0 0J J   тодi i лише тодi, коли сумiсна система ЛМН ( ) 0X  і 0.E XE T Оскільки ( ) 0X    ( ) 0,X  то твердження 1) i 2) еквiвалентнi (див. також [22]). Очевидно, що твердження 2) є наслiдком твердження 3). Дiйсно, якщо шукати розв’язок матричної нерiвностi ( ) 0X  у виглядi X S  при 0,S S T то ( ) ( ) ( ) 0,X S     0.E XE E SE T T Навпаки, при виконаннi твердження 2) з матрицею X система (3) є допустимою i матриці S i  у твердженні 3) можна вибрати у виглядi (7). Отже, тверджен- ня 2) i 3) еквiвалентнi. Оскiльки виконуються спiввiдношення (10) i ( ) ( ) [ ( ) ( )] ,S U S U      T ( ) [ ], A A B B            T T то згiдно з [9] система (9) є допустимою i її показник якостi 0J   тоді і лише то- ді, коли ( ) ( ) 0S    і 0 0E TE  T для деяких матриць 0S S T і .T T T Це означає, що твердження 1) i 4) еквiвалентнi. Аналогiчно еквівалентність твер- джень 1) i 6) є наслiдком теореми 5.6 iз [8] та спiввiдношень (10) i 1 1( ) ( ) [ ( ) ( )] ,S F U S F U    T 1 0 0( ) [ ], A F E F FE A B B           T T T T де 1 .F U F T Еквiвалентнiсть тверджень 3) i 5) випливає iз зображення довiль- ного розв’язку рiвняння 0E E T у виглядi (8). Лему доведено. Лема 8. Наступнi твердження еквiвалентнi: 1) система (3) є допустимою i виконується оцiнка ;J   2) iснує матриця ,X X T що задовольняє співвідношення 66 ISSN 2786-6491 ( ) 0,X  2 00 ,E XE X  T 2 0rank ( ) ;E XE X   T (11) 3) iснують матрицi 0S S T і ,  T що задовольняють спiввiдношення ( ) ( ) 0,S    0,E E T 2 ;S H  (12) 4) iснують матрицi 0S S T і ,G що задовольняють систему ЛМН ( ) ( ) 0,S    0 0 ,E G GE  T T 2 .S H  (13) Доведення. Застосуємо конгруентне перетворення 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2 2 ( ) ( ) A X C QC X V X V B X D QC X A C QC X B C QD X C QC                 T T T T T T T T T T , (14) де 2 0 0 0 0 0 0 0 r n r s s I R V B I I I                    , 1 2 2 3 . X X X L L X X         T T За умов (11) система (3) є допустимою (див. лему 7) i виконуються такi спiввiдношення: 1 1( ) 0,X  2 1 10 ,X H   (15) 2 1 12 1 1 0 0 0, 0 0 X H E XE X R R              T T 0 0 0 10 1 10 ,x X x x H xT T 1 2 2 3 . H H H L L H H         T T При цьому 1( ) 1A  i J   тодi i лише тодi, коли система ЛМН (15) сумісна [15]. Отже, при виконаннi спiввiдношень (11) система (3) допустима i виконується оцiнка .J   Навпаки, якщо система (3) допустима і ,J   то 1( ) 1A  i для де- якої матрицi 1 1X X T виконуються спiввiдношення (15). При цьому, якщо покла- сти 2 0X  і 1 3 2 2 ,n rX С QC I   T то згiдно з (14) i лемою Шура матрична нерівність ( ) 0X  набуває вигляду 1 1 1 2 2 1 1 1 ( ) [ , ] 0. C X QC C Q C D D            T T T Умова 1 1( ) 0X  дозволяє вибрати таке ε > 0, при якому ця нерiвнiсть викону- ється. Це означає, що твердження 2) є наслiдком твердження 1). Якщо виконуються спiввiдношення (12), то матриця X S  задоволь- няє спiввiдношення (11), тобто твердження 2) є наслiдком твердження 3). Нав- паки, якщо для деякої матрицi X виконуються спiввiдношення (11), то мат- Міжнародний науково-технічний журнал Проблеми керування та інформатики, 2023, № 1 67 рицi S i  , що задовольняють (12), можна побудувати у виглядi (7). При цьому 2 1 10 X H   i на основi леми 4 можна вибрати блоки 2 i 3 так, щоб 1 2 2 1 2 2 2 2 3 3 2 3 0 X X H H X X H H                   T T T , тобто 20 .S H   Еквiвалентнiсть тверджень 3) i 4) для відповідних співвідношень (12) і (13) є наслiдком зображення довiльного розв’язку рiвняння 0E E T у виглядi (8). Лему доведено. Iз лем 7 i 8 випливають алгоритми обчислення характеристик 0J i J систе- ми (3) на основi розв’язування вiдповiдних оптимiзацiйних задач. Наприклад, 0 inf { : ( ) ( ) 0, 0, 0},J S S S E E         T T 2inf { : ( ) ( ) 0, 0 , 0}.J S S H E E          T Лiнiйнi дескрипторнi системи керування зi збуреннями Розглянемо лiнiйну дескрипторну систему з керованими i спостережуваними виходами: 1 1 2 1 11 12 2 21 22 , , , t t t t t t t t t t t t Ex Ax B w B u z C x D w D u y C x D w D u           0, 1, ,t  (16) де ,n tx R ,m tu R ,s tw R k tz R і l ty R — вектори вiдповiдно стану, керу- вання, зовнiшнiх збурень, керованого i спостережуваного виходiв, а всi матричнi коефiцiєнти вiдповiдних розмiрiв сталi, причому rank .E n Нас цiкавлять за- кони керування, якi понижують характеристики 0J i J типу (4) i, зокрема, забез- печують умови неекспансивностi замкненої системи щодо даних характеристик. Статичнi й динамiчнi регулятори, якi мiнiмiзують значення ,J називаються J -оп- тимальними. 0J -оптимальне керування у разi одиничних вагових матриць P i Q є H-оптимальними. Нехай керування у системi (16) виконує статичний регулятор за спостережу- ваним виходом ,t tu Ky .m lK R (17) Тодi за умови 22det ( ) 0mI KD  замкнена система має вигляд 1 0 0 ,t t tEx A x B w   0 0 ,t t tz C x D w  0, 1, ,t  (18) де 0 2 0 2,A A B K C  0 1 2 0 21,B B B K D  0 1 12 0 2,C C D K C  0 11 12 0 21,D D D K D  1 0 22( ) .mK I KD K  Перепишемо матричну нерiвнiсть ( ) 0X  для системи (18) у виглядi квадратич- ної матричної нерiвностi щодо 0 :K 68 ISSN 2786-6491 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,X W X U X K V V K U X V K R X K V     T T T T T (19) де 1 1 1 1 11 2 1 11 1 1 1 11 11 ( ) A XA E XE C QC A XB C QD W X B XA D QC B XB D QD P              T T T T T T T T T , 2 12 1 2 1 12 11( ) [ ],U X B XA D QC B XB D QD  T T T T 2 21[ ],V C D 2 2 12 12( ) .R X B XB D QD T T Якщо виконуються додатковi умови 2 12 rank , B m D          2rank[ ] rank ,E B E (20) то 2 2 12 12( ) 0R X B SB D QD  T T при ,X S   0S S T і 0.E E T Зазвичай матриця при керуваннi 2B у практичних задачах має повний ранг ,m при цьому перша умова в (20) виконується автоматично. Друга умова в (20) означає, що 2B EZ для деякої матрицi .Z Отже, застосовуючи леми 7 і 8, а також умови б) і д) леми 3 для матричної нерівності (19), маємо таке твердження. Теорема 1. Нехай iснують матрицi 0S S T і ,G при яких виконується система матричних нерівностей ( ) 0,R X  1( ) ( ) ( ) ( ),W X U X R X U X T ( ) 0,V VW W X W T (21) де 0 0 .X S E G GE  T T Тодi iснує керування (17), при якому замкнена систе- ма (18) є допустимою і її критерій якості 0 .J   При цьому ,J   якщо разом з (21) виконується ЛМН 2 .S H  (22) Навпаки, якщо для деякого керування (17) система (18) допустима i її критерій якості 0J   (J < γ), то за додаткових умов (20) система матричних нерівнос- тей (21) ((21) і (22)) сумісна щодо 0S S T і .G За умов теореми 1 матрицю шуканого регулятора (17) можна побудувати у вигляді 1 0 22 0( ) ,lK K I D K   де 0K — розв’язок квадратичної матричної нерiв- ностi (19). Зазначимо, що у випадку застосування статичного регулятора за ста- ном [ 0],nV I [0 ]V sW IT і остання нерiвнiсть в (21) спрощується і має вигляд 2 1 1 11 11.B XB P D QD  T T Визначимо у просторi матриць регулятора (17) елiпсоїд { R : },m lK K K    K T де 0  T і 0  T — задані матриці. На основi лем 5, 7, 8 i спiввiдно- шення (19) маємо наступний результат. Теорема 2. Нехай для деяких матриць 0S S T і G виконується систе- ма ЛМН Міжнародний науково-технічний журнал Проблеми керування та інформатики, 2023, № 1 69 ( ) 0,R X  22 22 22 22 ( ) ( ) 0, ( ) ( ) W X V V U X V D U X D V R X D D                 T T T T T (23) де 0 0 .X S E G GE  T T Тодi для будь-якого керування (17) при K Κ замкнена система (18) є допустимою i її критерій якості 0 .J   При цьому ,J   якщо разом з (23) виконується ЛМН (22). Зазначимо, що матрицi  і , якi визначають елiпсоїд ,Κ входять у ви- раз (23) лiнiйно. Тому в теоремi 2 вони можуть бути як заданими, так i шуканими компонентами розв’язку ЛМН (23). Очевидно, що для виконання умов (23) необ- хiдно 22 22 .D D  T За додаткових умов (20) перша нерiвнiсть в (23) виконується автоматично. Можна отримати аналоги теорем 1 i 2 для системи (16) з динамiчним регуля- тором порядку r n 1 ,t t tZ Vy    ,t t tu U Ky   0, 1, ,t  де rR і 0 0,  застосовуючи зображення замкненої системи у розширеному фазовому просторi n rR у виглядi (18) (див. аналогічне зображення для неперер- вних систем [21]). Чисельний приклад Розглянемо дискретну модель керування електричного кола, яка описується у виглядi (16) з такими матрицями [24]: 1 0 0 0 E        , 0,75 0,25 0,05 0,05 A         , 1 0,1 0 B        , 2 0 0,05 B        , 1 [5 0],C  2 2,C I 11 0,D  12 0,D  21 2 10 ,D  22 2 10 .D  Визначимо показник якостi системи J у виглядi (4) при 1,P  1Q  i 25 .H I За вiдсутностi керування дана система допустима i її характеристики 0 0,70711 1,84196.J J   Поклавши 2,5  i застосовуючи блок розв’язку (Solve Block) комп’ютерної системи Mathcad Prime 7.0 [18], знайдено матрицi 12,50100 4,79817 4,79817 30 02196 S ,        , 16 23211 13 65501 , G ,        , що задовольняють умови теореми 1, а також статичний регулятор за станом * ,t tu K x * [7 89937 1 96724],K , ,  при якому замкнена система (18) є допустимою і має критерій якості 1,58113 .J    При цьому 0 0,35362J  i її скiнченний спектр формує одне влас- не значення: 1 0,0002.  70 ISSN 2786-6491 Далi, розв’язуючи систему ЛМН (23) стосовно 0S S T і G за допомогою засобiв LMI Toolbox комп’ютерної системи Matlab [17], на основі теореми 2, знайдено еліпсоїдальну множину матриць статичного регулятора за станом ,t tu Kx * ,K K K  1,46647,K  при якому система (18) є допустимою і для її критерію якості J виконується за- дана оцінка 2,5.J    При цьому K K T або, що те саме, 1 1,K K   T де 0,465  і 2.I  Висновок Для класу лiнiйних дескрипторних систем з дискретним часом дослiдже- но узагальнену задачу H-керування iз застосуванням показникiв якостi, що характеризують зважений рiвень гасiння зовнiшнiх i початкових збурень. За- пропоновано новi методи оцiнки таких показникiв якостi, що зводяться до розв’язання ЛМН. Вiдомi методи оцiнки H-норми матричної передатної функцiї системи (твердження типу «bounded real lemma» [7–9,11]) є наслiдка- ми отриманих тверджень для зважених показникiв якостi. Встановлено необ- хiднi та достатнi умови iснування статичного регулятора за спостережуваним виходом, при якому замкнена система є допустимою (регулярною, стiйкою i причинною) та виконується бажана оцiнка використовуваних показникiв якос - тi. У термiнах ЛМН запропоновано методику побудови елiпсоїдальної мно- жини матриць таких регуляторiв, що забезпечують замкненiй системi вказанi властивостi. Основнi висновки роботи (леми 7, 8 i теореми 1, 2) отримано на основi допо- мiжних тверджень, якi мають перспективу застосування у багатьох задачах ана- лiзу та синтезу динамiчних систем. Допомiжна лема 4, яка використана при дове- денні леми 8, у данiй роботi сформульована вперше. A. Mazko ESTIMATION OF THE WEIGHTED INFLUENCE LEVEL OF BOUNDED DISTURBANCES ON THE QUALITY OF DESCRIPTOR DISCRETE-TIME CONTROL SYSTEMS Alexey Mazko Institute of Mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, mazkoag@gmail.com In the classical H -control theory, the performance measure of continuous systems with zero initial state is the damping level of external (exogenous) disturbances corresponding to the maximal value of the ratio of the 2L - norms for vectors of regulated output of the object and disturbances. In practice, stabilizing control laws in the form of static or dynamic output feedback controllers that minimizing such characteristics of controlled objects ensure the desired quality and high reliability of their functioning in real conditions. In this paper, for a class of linear descriptor (singular) mailto:mazkoag@gmail.com Міжнародний науково-технічний журнал Проблеми керування та інформатики, 2023, № 1 71 discrete-time control systems, the problems of evaluation and achievement of the generalized performance measure are investigated, the measure characterize the weighted damping level of the bounded external disturbances, as well as the initial disturbances caused by an unknown initial vector. New criteria are established for satisfying the prescribed upper estimate of the specified performance measure, which are reduced to solving the linear matrix inequalities (LMI). The well-known methods for estimating the H -norm of the matrix transfer function of a linear descriptor system (statements of the «bounded real lemma» type) follow from the obtained statements for weighted performance measure. When considering the problem of synthesis for a linear descriptor system with regulated and observed outputs, the necessary and sufficient conditions in the form of three matrix inequalities are established for the existence of a static output - feedback controller under which the closed-loop system is admissible (regular, stable and causal) and the desired estimates of the used weighted performance measure are achieved. In terms of LMI, a technique is proposed for constructing an ellipsoidal set of matrices of a static output-feedback controller which provides the closed-loop system with the specified properties. Moreover, the positive definite matrices that define this ellipsoidal set can be both given and sought components of the LMI solution. To illustrate the obtained results and the possibility of numerical implementation of the proposed methods with the help of computer tools, an example of a descriptor control system of an electric circuit is presented. Keywords: descriptor system, admissible system, damping level of perturba- tions, H -control; linear matrix inequality (LMI). ПОСИЛАННЯ 1. Dai L. Singular control systems. New York : Springer, 1989. 343 p. DOI: https://doi.org/10.1007/ BFb0002475. 2. Riaza R. Differential-algebraic systems. Analytical aspects and circuit applications. Singapore : World Sci., 2008. 344 p. DOI: https://doi.org/10.1142/6746. 3. Guang-Ren Duan. Analysis and design of descriptor linear systems. New York etc. : Springer, 2010. 516 p. DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4419-6397-0. 4. Yu Feng, Mohamed Yagoubi. Robust control of linear descriptor systems. Singapore : Springer Nature Singapore Pte Ltd., 2017. 156 p. DOI: https://doi.org/10.1007/978-981-10-3677-4. 5. Campbell S., Ilchmann A., Mehrmann V., Reis T. (Eds.). Applications of differential- algebraic equations: examples and benchmarks. Differential-Algebraic Equations Forum. Cham : Springer Nature Switzerland AG, 2019. 320 p. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3- 030-03718-5. 6. Белов А.А., Курдюков А.П. Дескрипторные системы и задачи управления. М. : Физматлит, 2015. 272 с. 7. Hsiung K.-L., Lee L. Lyapunov inequality and bounded real lemma for discrete-time descriptor systems. IEE Proc.-Control Theory Appl. 1999. Vol. 146, N 4. P. 327–331. DOI: https://doi. org/10.1049/ip-cta:19990451. 8. Xu S., Lam J. Robust control and filtering of singular systems. Lecture Notes in Control and Informati on Sciences. Berlin : Springer-Verlag, 2006. 246 p. DOI: https://doi.org/2006.10.1007/ 11375753. 9. Zhang G., Xia Y., Shi P. New bounded real lemma for discrete-time singular systems. Automatica. 2008. Vol. 44. P. 886–890. DOI: https://doi.org/10.1016/j.automatica.2007.07.017. 10. Yung C.-F. H control for linear discrete-time descriptor systems: State feedback and full information cases. IFAC Proceedings Volumes. 2008. Vol. 41, N 2. P. 10003–10008. DOI: https:// doi.org/10.3182/20080706 -5-KR-1001.01693. 11. Chadli M., Darouach M. Novel bounded real lemma for discrete-time descriptor systems: Application to H control design. Automatica. 2012. Vol. 48. P. 449–453. DOI: https://doi. org/10.1016/j.automatica.2011.10.003. 72 ISSN 2786-6491 12. Feng Y., Yagoubi M. On state feedback H control for discrete-time singular systems. IEEE Transactions on Automatic Control. 2013. Vol. 58, N 10. P. 2674–2679. DOI: https://doi.org/ 10.1109/TAC.2013.2256051. 13. Belov A.A., Andrianova O.G. Robust state-feedback H control for discrete-time descriptor systems with norm-bounded parametric uncertainties. International Journal of Systems Science. 2019. P. 1–10. DOI: https://doi.org/10.1080/00207721.2019.1599079. 14. Мазко А.Г. Робастная устойчивость и стабилизация динамических систем. Методы матри- чных и конусных неравенств. Пр. Iн-ту математики НАН України. 2016. Т. 102. 332 с. 15. Mazko A.G., Kusii S.N. Output stabilization and weighted suppression of disturbances in discrete- time control systems. Problems of Control and Informatics. 2020. Vol. 2, N 13. P. 309–321. DOI: 10.1080/17538947.2019.1610807. 16. Balandin D.V., Kogan M.M., Krivdina L.N., Fedyukov A.A. Design of generalized discrete-time H -optimal control over finite and infinite intervals. Automation and Remote Control. 2014. Vol. 75, N 1. P. 1–17. DOI: https://doi.org/10.1134/S0005117914010019. 17. Gahinet P., Nemirovski A., Laub A.J., Chilali M. The LMI control Toolbox. For Use with Matlab. User’s Guide. Natick : The MathWorks Inc. 1995. 356 p. 18. Воскобойников Ю.Е., Задорожный А.Ф. Основы вычислений и программирования в пакете MathCAD PRIME. Санкт-Петербург : Изд-во «Лань», 2016. 225 с. 19. Fuzhen Zhang (Ed.). The Schur complement and its applications . Numerical methods and algorithms. Springer-Verlag New York Inc. 2005. 295 p. DOI: https://doi.org/10.1007/ b105056. 20. Gahinet P., Apkarian P. A linear matrix inequality approach to H control. Intern. J. of Robust and Nonlinear Control. 1994. Vol. 4, N 4. P. 421–448. DOI: https://doi.org/10. 1002/rnc.4590040403. 21. Mazko A.G. Weighted estimation and reduction of the influence of bounded perturbations in descriptor control systems. Ukrainian Mathematical Journal. 2021. Vol. 72, N 11. P. 1742–1757. DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-021-01885-3. 22. Мазко О.Г. Зважена оцiнка гасiння обмежених збурень у дескрипторних дискретних системах керування. Зб. праць Iн-ту математики НАН України. 2019. Т. 16, № 2. С. 85–100. 23. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М. : Наука, 1988. 552 с. 24. Chang X.-H., Wang J. 2l l control for discrete-time descriptor systems. IEEE Access. 2021. Vol. 9. P. 144017–144024. DOI: https://doi.org/10.1109/ACCESS.2021.3121996. Отримано 01.12.2022 https://doi.org/10.1109/ACCESS.2021.3121996
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210936
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0572-2691
language	Ukrainian
last_indexed	2026-03-14T10:08:01Z
publishDate	2023
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Мазко, О.Г. 2025-12-21T10:57:52Z 2023 Оцінка зваженого рівня впливу обмежених збурень на якість дескрипторних дискретних систем керування / О.Г. Мазко // Проблеми керування та інформатики. — 2023. — № 1. — С. 59–72. — Бібліогр.: 24 назв. — укр. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210936 517.935; 681.5.03 10.34229/1028-0979-2023-1-5 У класичній теорії H∞-керування критерієм якості неперервних систем з нульовим початковим станом є рівень гасіння зовнішніх (екзогенних) збурень, якому відповідає максимальне значення відношення L₂-норм векторів контрольованого виходу об’єкта і збурень. На практиці стабілізуючі закони керування у вигляді статичних або динамічних регуляторів за спостережуваним виходом, які мінімізують такі характеристики керованих об’єктів, забезпечують бажану якість і високу надійність їхнього функціонування в реальних умовах. У даній роботі для класу лінійних дескрипторних (сингулярних) систем керування з дискретним часом досліджуються задачі оцінки та досягнення узагальнених показників якості, які характеризують зважений рівень гасіння обмежених зовнішніх збурень, а також початкових збурень, обумовлених невідомим початковим вектором. In classical H∞ control theory, the quality criterion for continuous systems with a zero initial state is the level of attenuation of external (exogenous) disturbances, corresponding to the maximum value of the ratio-norm between the controlled output vectors of the system and the disturbances. In practice, stabilizing control laws in the form of static or dynamic regulators based on the observed output, which minimize such characteristics of controlled systems, ensure desired quality and high reliability of their operation in real conditions. This work investigates the assessment and achievement of generalized quality indicators for the class of linear descriptor (singular) discrete-time control systems. These indicators characterize the weighted level of attenuation of bounded external disturbances, as well as initial disturbances due to an unknown initial vector. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблеми керування та інформатики Методи керування та оцінювання в умовах невизначеності Оцінка зваженого рівня впливу обмежених збурень на якість дескрипторних дискретних систем керування Estimation of the weighted influence level of bounded disturbances on the quality of descriptor discrete-timecontrol systems Article published earlier
spellingShingle	Оцінка зваженого рівня впливу обмежених збурень на якість дескрипторних дискретних систем керування Мазко, О.Г. Методи керування та оцінювання в умовах невизначеності
title	Оцінка зваженого рівня впливу обмежених збурень на якість дескрипторних дискретних систем керування
title_alt	Estimation of the weighted influence level of bounded disturbances on the quality of descriptor discrete-timecontrol systems
title_full	Оцінка зваженого рівня впливу обмежених збурень на якість дескрипторних дискретних систем керування
title_fullStr	Оцінка зваженого рівня впливу обмежених збурень на якість дескрипторних дискретних систем керування
title_full_unstemmed	Оцінка зваженого рівня впливу обмежених збурень на якість дескрипторних дискретних систем керування
title_short	Оцінка зваженого рівня впливу обмежених збурень на якість дескрипторних дискретних систем керування
title_sort	оцінка зваженого рівня впливу обмежених збурень на якість дескрипторних дискретних систем керування
topic	Методи керування та оцінювання в умовах невизначеності
topic_facet	Методи керування та оцінювання в умовах невизначеності
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210936
work_keys_str_mv	AT mazkoog ocínkazvaženogorívnâvplivuobmeženihzburenʹnaâkístʹdeskriptornihdiskretnihsistemkeruvannâ AT mazkoog estimationoftheweightedinfluencelevelofboundeddisturbancesonthequalityofdescriptordiscretetimecontrolsystems

Оцінка зваженого рівня впливу обмежених збурень на якість дескрипторних дискретних систем керування

Репозитарії

Схожі ресурси