Керування системами дробового порядку в умовах конфлікту та невизначеності
Робота присвячена вивченню ігрових задач зближення для лінійних конфліктно-керованих процесів з дробовими похідними довільного порядку. При цьому розглядаються класичні дробові похідні Рімана–Ліувілля, регуляризовані похідні Джрбашяна–Нерсесяна або Капуто і секвенціальні похідні Міллера–Росса. При ф...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Проблеми керування та інформатики |
|---|---|
| Datum: | 2023 |
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2023
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210995 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Керування системами дробового порядку в умовах конфлікту та невизначеності / А.О. Чикрій, В.А. Пепеляєв, О.А. Чикрій, Л.В. Барановська // Проблеми керування та інформатики. — 2023. — № 2. — С. 30-49. — Бібліогр.: 35 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859946990145634304 |
|---|---|
| author | Чикрій, А.О. Пепеляєв, В.А. Чикрій, О.А. Барановська, Л.В. |
| author_facet | Чикрій, А.О. Пепеляєв, В.А. Чикрій, О.А. Барановська, Л.В. |
| citation_txt | Керування системами дробового порядку в умовах конфлікту та невизначеності / А.О. Чикрій, В.А. Пепеляєв, О.А. Чикрій, Л.В. Барановська // Проблеми керування та інформатики. — 2023. — № 2. — С. 30-49. — Бібліогр.: 35 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблеми керування та інформатики |
| description | Робота присвячена вивченню ігрових задач зближення для лінійних конфліктно-керованих процесів з дробовими похідними довільного порядку. При цьому розглядаються класичні дробові похідні Рімана–Ліувілля, регуляризовані похідні Джрбашяна–Нерсесяна або Капуто і секвенціальні похідні Міллера–Росса. При фіксованих керуваннях гравців встановлюються представлення розв’язків у вигляді аналогів формули Коші з використанням узагальнених матричних функцій Міттаг–Леффлера.
The work is dedicated to studying the pursuit game problems for linear conflict-controlled processes with fractional derivatives of arbitrary order. It considers classical Riemann–Liouville fractional derivatives, regularized Jirbashyan–Nersesyan or Caputo derivatives, and sequential Miller–Rossi derivatives. For fixed controls of the players, solutions are represented in the form of analogs of Cauchy’s formula using generalized Mittag-Leffler matrix functions.
|
| first_indexed | 2026-03-17T21:41:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
© А.О. ЧИКРІЙ, В.А. ПЕПЕЛЯЄВ, О.А. ЧИКРІЙ, Л.В. БАРАНОВСЬКА, 2023
30 ISSN 2786-6491
КОНФЛІКТНО-КЕРОВАНІ ПРОЦЕСИ ТА МЕТОДИ
ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ
УДК 518.9
А.О. Чикрій, В.А. Пепеляєв, О.А. Чикрій, Л.В. Барановська
КЕРУВАННЯ СИСТЕМАМИ ДРОБОВОГО ПОРЯДКУ
В УМОВАХ КОНФЛІКТУ ТА НЕВИЗНАЧЕНОСТІ∗
Чикрій Аркадій Олексійович
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, м. Київ,
ORCID: 0000-0001-9665-9085,
g.chikrii@gmail.com
Пепеляєв Володимир Анатолійович
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, м. Київ,
ORCID: 0009-0009-3169-1776,
pepelaev@yahoo.com
Чикрій Олексій Аркадійович
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, м. Київ,
ORCID: 0000-0002-8234-6499,
g.chikrii@gmail.com
Барановська Леся Валеріївна
Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут іме-
ні Ігоря Сікорського», ORCID: 0000-0003-0024-8180,
lesia@baranovsky.org
Робота присвячена вивченню ігрових задач зближення для лінійних
конфліктно-керованих процесів з дробовими похідними довільного
порядку. При цьому розглядаються класичні дробові похідні Ріма-
на–Ліувілля, регуляризовані похідні Джрбашяна–Нерсесяна або Капуто
і секвенціальні похідні Міллера–Росса. При фіксованих керуваннях
гравців встановлюються представлення розв’язків у вигляді аналогів
формули Коші з використанням узагальнених матричних функцій
Міттаг–Леффлера. При дослідженні в ролі базового використовується
метод розв’язувальних функцій, що дозволяє отримати достатні умови
розв’язності задачі зближення за деякий гарантований час. При цьому
використовується аналог умови Понтрягіна, що розпадається на дві
умови за рахунок введення спеціальної матричної функції. Ця функція
пов’язана з ресурсами керування гравців та тілесною складовою термі-
нальної множини. Вищезгадана умова виражається за допомогою геомет-
∗ Робота виконана за часткової підтримки Національного фонду України. Грант №2020. 02/0121
«Аналітичні методи та машинне навчання в теорії керування і прийняття рішень за умов конфлі-
кту та невизначеності».
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2023, № 2 31
ричної різниці множин і означає непорожність відповідних багатозначних
відображень. Вона дає можливість на оcнові теореми про вимірний вибір
побудувати контркерування переслідувача, яке є суперпозиційно вимір-
ною функцією і дозволяє завершити гру. У прикладі з простою матрицею
отримані умови ε -зближення з використанням асипмтотик скалярних
функцій Міттаг–Леффлера. Результати ілюструються на модельному
прикладі ігрової задачі з розділеними рухами дробового порядку π і .e
Ключові слова: дробова похідна, ігрова задача, багатозначне відобра-
ження, умова Понтрягіна, функція Міттаг–Леффлера.
Вступ
З відомою часткою суб’єктивізму методи дослідження динамічних ігор збли-
ження можна умовно поділити на два типи. Перший відповідає конструкціям, для
яких характерна спроба побудувати оптимальні стратегії гравців. Це методики,
пов’язані з альтернативами М.М. Красовського [1, 2], обернені процедури
Л.С. Понтрягіна–Б.М. Пшеничного [3, 4] та ідеологія Р. Айзекса [5], що стосується
основного рівняння теорії диференціальних ігор — рівняння типу Гамільтона–
Якобі і знаходження його вʼязкосних розв’язків [6]. Кожний із цих підходів так чи
інакше повʼязаний з динамічним програмуванням. Другий тип — це методи, що за-
безпечують гарантований результат. У цьому випадку питання про оптимальність
не виноситься на передній план. Важливою обставиною є досягнення мети і вико-
нання задачі за тих чи інших реальних умов. Задовольняють вищеперерахованим ви-
могам, перш за все, правило екстремального прицілювання М.М. Красовського [7, 8],
перший прямий метод Л.С. Понтрягіна [3, 9] і метод розвʼязувальних функцій [10].
Зауважимо, що в лінійному випадку умови завершення гри, скажімо, за час
першого поглинання, при описі множин використовують апарат опорних функцій,
в той час як метод розв’язувальних функцій базується на функціоналах Мінковського,
точніше, на обернених до них відображеннях. Останній дає теоретичне обґрун-
тування добре відомих проєктувальникам ракетної і космічної техніки методів
погонної кривої Л. Ейлера, паралельного зближення, переслідування за проме-
нем та пропорційної навігації.
Оскільки об’єктом дослідження є лінійні конфліктно-керовані процеси з дро-
бовими похідними, то, певно, потрібно заздалегідь зауважити деякі відмінні мо-
менти порівняно з рівняннями цілого порядку. Так, якщо рівняння з дробовою
похідною Рімана–Ліувілля, то замість звичайних даних Коші в початковий мо-
мент часу 0t = потрібно задавати інтеграл відповідного дробового порядку. Це
пов’язано з тим, що розв’язок такого рівняння має особливість в нулі, і тільки такі
початкові умови природні в даному випадку. Однак із фізичних міркувань бажано
мати звичайну задачу Коші для рівнянь з дробовими похідними [11]. Тому М.М.
Джрбашян, А.Б. Нерсесян [12] і М. Капуто [13] запропонували замість похід-
них Рімана–Ліувілля розглядати їх регуляризовані значення, а як початкові дані
використовувати звичайні умови Коші.
Інші обставини призвели до розгляду секвенціальних дробових похідних
Міллера–Росса [14]. Намагання понизити порядок диференціальних рівнянь за
допомогою збільшення їх кількості стикається з відсутністю напівгрупової влас-
тивості у згаданих раніше похідних. Секвенціальні дробові похідні в цьому сенсі
є зручним об’єктом.
Зрозуміло, для дослідження конфліктно-керованих процесів з дробовими по-
хідними може використовуватися будь-який із перерахованих методів. У даній
роботі вибрано метод розв’язувальних функцій. Суть його полягає в побудові
за відомими параметрами процесу деяких числових функцій, що характеризу-
ють інтегрально хід конфліктно-керованого процесу, тобто ступінь близькості
траєкторії до термінальної множини, і виконують ключову роль при розв’язанні кон-
32 ISSN 2786-6491
кретних задач. Вибір керувань виконується на основі теорем вимірного вибору
типу Філіппова–Кастена [15]. Оскільки розв’язувальні функції опорні до визнача-
льних багатозначних відображень, то апарат опуклого аналізу дозволяє будувати
їх в аналітичному вигляді для достатньо широкого класу конфліктно-керованих
процесів дробового порядку. Використання асимптотичних представлень для фу-
нкцій Міттаг–Леффлера, що беруть участь у визначенні фундаментальних мат-
риць систем, дає можливість зробити висновок про можливість завершення гри за
скінчений гарантований час. До кола питань, що розглядаються, долучаються
роботи [16–28].
Дробові похідні Рімана–Ліувілля, Капуто і Міллера–Росса
Позначимо mR m -мірний дійсний евклідовий простір і R+ — позитивну
дійсну напіввісь. Нехай 1 , (n n n N N− < ρ < ∈ — множина натуральних чисел),
а ( ),f t : mf R R+ → , — деяка n раз неперервно диференційована функція. Дро-
бова похідна Рімана–Ліувілля порядку ( 1 , )n n n Nρ − < ρ < ∈ вводиться таким
чином [29]:
1
0
1 ( )( ) ,
( ) ( )
n t
n
d fD f t d
n dt t
ρ
ρ− +
t = t Γ −ρ − t
∫ (1)
де ( )Γ ⋅ — гама-функція, що задовольняє рівняння ( 1) ( ).z z zΓ + = Γ
Справедлива формула
( )1 ( )
1
0 0
1 ( )( ) (0) .
( 1) ( ) ( )
k ntn k
n
k
t fD f t f d
k n t
−ρ−
ρ
ρ− +
=
t
= + t
Γ −ρ+ Γ −ρ − t
∑ ∫ (2)
Таким чином, похідна в сенсі Рімана–Ліувілля може бути представлена у ви-
гляді суми сингулярних членів
1 ( )
0
(0)
( 1)
kn k
k
t f
k
−ρ−
= Γ −ρ+
∑ (3)
і інтеграла
( )
1
0
1 ( ) .
( ) ( )
nt
n
f d
n t ρ− +
t
t
Γ −ρ − t
∫
Останній носить назву дробової похідної в сенсі Капуто або регуляризованої
дробової похідної. Наявність складників (3) приводить до того, що дробові
похідні Рімана–Ліувілля мають особливість в нулі, і в задачі Коші для дифе-
ренціальних рівнянь дробового порядку в сенсі Рімана–Ліувілля (при описі
динамічних систем) необхідно задавати початкові умови спеціального вигляду,
які не мають чіткої фізичної інтерпретації.
Цих недоліків дробової похідної Рімана–Ліувілля позбавлена рагуляризована
похідна порядку ( 1 , )n n n Nρ − < ρ < ∈ :
( ) 1( ) ( )
0 1
00
1 ( )( ) D ( ) ( ) (0),
( ) ( 1)( )
n kt nC k
t n
k
f tD f t f t d D f t f
n kt
−ρ−ρρ ρ
ρ+ −
=
t
= = t = −
Γ −ρ Γ −ρ+− t
∑∫ (4)
яка, певно, вперше була введена Капуто [13], а також незалежно від нього,
Джарбашяном і Нерсесяном [12].
Як похідні Рімана–Ліувілля, так і похідні Капуто, не мають ані напівгрупової
властивості, ані, тим більше, властивості комутативності, тобто
D ( ) D D ( ),f t f tρ+σ ρ σ≠
D D ( ) D D ( )f t f tρ σ σ ρ≠ ,
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2023, № 2 33
де Dρ — оператор дробового диференціювання порядку ρ по Ріману–Ліувіллю
або Капуто. У зв’язку з цим введені так звані секвенціальні похідні [14], що
визначаються наступним чином:
D 1 2( ) D D ...D ( ),mf t f tρρ ρρ = (5)
де 1 2( , , ..., )mρ = ρ ρ ρ — мультиіндекс, а функція ( )f t припускається достатнє
число раз неперервно-диференційованою. Взагалі кажучи, як оператор D ,ρ що
лежить в основі секвенціальної похідної Міллера–Росса, можна використовувати
оператор дробового диференціювання по Ріману–Ліувіллю, Капуто або будь-яку
іншу різновидність. Зокрема, для цілих iρ це може бути оператор звичайного
диференціювання .
id
dt
ρ
Використання секвенціальних похідних Міллера–Росса
дозволяє, зокрема, знижати порядок диференціальних рівнянь.
Виберемо деяке ( 1 , ).n n n Nn − < n < ∈ Зупинимось докладніше на випадку,
коли ( , 1, 1 ), 0, ..., 1.j n n j j nρ = n − + − − = − Введемо позначення
D 1 1( ) ( ) ( ) ( )j n n j
j
d df t D f t
dt dt
n n− + − −= ,
D ( ) ( 1) 1( ) ( ) ( ) ( ),j n n j
j
d df t D f t
dt dt
n n− + − −=
де 0, 1 , ..., 1.j n= −
Наступна лема встановлює звʼязок секвенціальних похідних спеціального
вигляду D ( ),j f tn D ( ) ( )j f tn з класичними похідними Рімана–Ліувілля і Капуто,
а також одне з одним (4), (5).
Лема 1. Нехай 1 , ,n n n N− < n < ∈ а функція ( )f t має абсолютно неперервні
похідні до порядку ( 1)n − включно. Тоді справедливі рівності:
D
1( ) ( ) ( ) ( )
0
0
( ) ( ) ( ) (0),
( 1)
kn k
k
tf t D f t D f t f
k
−n−n n n
=
= = −
Γ −n +
∑
D ( )
1 ( )f tn = D
1
( ) ( 1)
0 ( ) ( ) (0)
( )
n
ntf t D f t f
n
− −n
n n −= + =
Γ −n
2 ( )
0
( ) (0),
( 1)
kn k
k
tD f t f
k
−n−
n
=
= −
Γ −n +
∑
………..
D ( ) ( )j f tn = D
1( ) ( )
1 ( ) ( ) (0)
( 1)
kn k
j
k n j
tf t D f t f
k
−n−
n n
−
= −
= + =
Γ −n +
∑
1
( )
0
( ) (0),
( 1)
kn j
k
k
tD f t f
k
−n− −
n
=
= −
Γ −n +
∑
……….
D ( )
1 ( )n f tn
− =D
1( ) ( )
2
1
( ) ( ) (0)
( 1)
kn k
n
k
tf t D f t f
k
−n−
n n
−
=
= + =
Γ −n +
∑
34 ISSN 2786-6491
( ) (0)
(1 )
tD f t f
−n
n= −
Γ −n
,
D
1( ) ( )
1
0
( ) ( ) (0) ( ).
( 1)
kn k
n
k
tf t D f t f D f t
k
−n−
n n n
−
=
= + =
Γ −n +
∑
Доведення наведених фактів і багатьох наступних можна знайти в [30].
Враховуючи рівність D ( ) ( )j f tn = D 1 ( )j f tn
− і поклавши D ( ) ( ) ( )n f t D f tn n= ,
можна ввести загальне позначення
D ( )j f tn = D ( ) ( )j f tn = D 1 ( ),j f tn
−
де 1 ,n n− < n < 0, ..., .j n= Ясно, що D ( )
0 ( ) ( )f t D f tn n= і D ( ) ( ).n f t D f tn n=
Системи дробового порядку
У роботі [31] визначена узагальнена матрична функція Міттаг–Леффлера:
1
0
( ; ) ,
( )
k
k
BE B
k
∞
η −
=
µ =
Γ η +µ
∑ (6)
де 0, (C Cη > µ∈ — множина комплексних чисел), B — довільна квадратна
матриця порядку .m Узагальнена матрична функція Міттаг–Леффлера (6) грає
важливу роль при вивченні лінійних систем дробового порядку.
Нехай ( ), ,g t t R+∈ — вимірна обмежена функція.
Розглянемо динамічну систему, еволюція якої описується рівнянням
,D z Az gρ = + 1 ,n n− < ρ < (7)
з початковими умовами
0
0( ) , 1, ..., .k
t kD z t z k nρ−
= = = (8)
Траєкторія системи (7), (8) має вигляд
0 1
1 1
1 0
( ) ( ; 1) ( ) ( ( ) ; ) ( ) ,
tn k
k
k
z t t E At k z t E A t g dρ− ρ ρ− ρ
= ρ ρ
= ρ− + + − t − t ρ t t∑ ∫ (9)
де (9) — аналог формули Коші.
Розглянемо тепер динамічну систему дробового порядку в сенсі Капуто, що
описується рівнянням
( ) ,D z Az gρ = + 1n n− < ρ < , (10)
з початковими умовами
( ) 0(0) , 0, ..., 1.k
kz z k n= = − (11)
Траєкторія системи (10), (11) має вигляд
1 0 1
1 1
0 0
( ) ( ; 1) ( ) ( ( ) ; ) ( ) ,
tn k
k
k
z t t E At k z t E A t g d
−
ρ ρ− ρ
= ρ ρ
= + + − t − t ρ t t∑ ∫ (12)
(12) — аналог формули Коші.
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2023, № 2 35
Перейдемо до розгляду систем, що описуються за допомогою секвенціальних
похідних спеціального вигляду D j
ρ . Розглянемо динамічну систему, еволюція
якої задана рівнянням
D ,j z Az gρ = + 1 ,n n− < ρ < {0, 1, ..., },j n∈ (13)
з початковими умовами
D 1 0
01 ( ) , 0, ..., 1,k
t kj k z t z k jρ− −
=− − = = −
( ) 0(0) , 0, ..., 1.l
lz z l n j= = − − (14)
Траєкторія системи (13), (14) має вигляд
1 1
0 1 0
1 1
0 0
( ) ( ; 1) ( ; )
n j j
l k
l k
l k
z t t E At l z t E At k z
− − −
ρ ρ− − ρ
= =ρ ρ
= + + ρ− +∑ ∑
1
1
0
( ) ( ( ) ; ) ( ) ,
t
t E A t g dρ− ρ
ρ
+ − t − t ρ t t∫ (15)
(15) — аналог формули Коші.
Постановка задачі
У цьому розділі наводиться постановка задачі зближення з термінальною
множиною для конфліктно-керованих процесів, динаміка яких описується за до-
помогою дробових похідних Рімана–Ліувілля, Капуто і Міллера–Росса.
Розглянемо конфліктно-керований процес, еволюція якого описується насту-
пною системою дробового порядку:
D ( , ), 1 .z Az u v n nρ = + φ − < ρ < (16)
Тут, як і раніше, Dρ позначає оператор дробового диференціювання в сенсі
Рімана–Ліувілля, Капуто або Міллера–Росса. В подальшому стане зрозуміло із
контексту, який із операторів мається на увазі. Фазовий вектор z належить ,mR
A — квадратна матриця порядку ,m блок керування визначається неперервною за
сукупністю змінних функцією ( , ),u vφ : ,mU V Rφ × → де u і ,v ,u U∈ v V∈ —
керуючі параметри відповідно першого і другого гравців, а множини допустимих
керувань U і V належать множині ( )mK R непорожніх компактів простору .mR
Якщо Dρ — оператор дробового диференціювання в сенсі Рімана–Ліувілля,
тобто D D ,ρ ρ= то початкові умови процесу (16) задаються у вигляді (8). У такому
випадку позначимо ),...,( 0
1
0
11
0
nzzz = . Якщо ж похідна в (16) розуміється в сенсі
Капуто, то D D ,ρ ρ= початкові умови мають вигляд (11) і ),...,( 0
21
0
02
0
−= nzzz .
Для секвенціальних похідних спеціального вигляду Dρ = D j
ρ початкові умови
задаються рівностями (14) і 0 0 0 0 0
0 1 0 1( , ..., , , ..., ).j n jz z z z z− − −=
Нарівні з динамікою процесу (16) і початковими умовами задана циліндрична
термінальна множина
0 ,M M M∗ = + (17)
36 ISSN 2786-6491
де 0M — лінійний підпростір простору ,mR ( ),M K L∈ а 0L M ⊥= — ортого-
нальне доповнення до підпростору 0M в .mR
При вибраних керуваннях першого і другого гравців у вигляді вимірних за
Лебегом функцій ( )u t і ( )v t зі значеннями відповідно із областей U і V задача
Коші для процесу (16) з відповідними початковими умовами має єдиний непере-
рвний розв’язок [14, 29].
Розглянемо наступну ігрову ситуацію. Перший гравець намагається вивести
траєкторію процесу (16) на множину (17), а другий — максимально віддалити
момент попадання траєкторії на термінальну множину. Прийнявши сторону пер-
шого гравця, вважатимемо, що керування другого гравця становить собою дові-
льну вимірну функцію ( )v t зі значеннями із ,V а перший гравець в кожний мо-
мент часу , 0,t t ≥ формує своє керування на основі інформації про 0z і ( )v t :
0( ) ( , ( )), ( ) .u t u z v t u t U= ∈ (18)
Таким чином, ( )u t є контркеруванням за Красовським [2], що приписується
стробоскопічними стратегіями Хайека [32].
При розв’язанні ігрової задачі використовуємо метод розв’язувальних
функцій [10, 31]. Зазвичай він дозволяє реалізувати процес переслідування в класі
квазістратегій. Однак у даній статті використання результатів із [33] дозволяє
отримати достатні умови завершення переслідування у вказаному методі за
допомогою контркерувань.
Метод розв’язувальних функцій
Позначимо Π оператор ортогонального проєктування із mR на .L Покла-
демо ( , ) { ( , ) : }U u u v u Uφ = φ ∈ і розглянемо багатозначні відображення
1
1( , ) ( , ) ( , ),W t v t E At U vρ− ρ
ρ
= Π ρ φ ( ) ( , ),
v V
W t W t v
∈
=
визначені на множинах R V+ × і R+ відповідно. Умову
( )W t ≠ Ø, t R+∈ (19)
зазвичай називають умовою Понтрягіна. Вона відображає певний тип переваги
за ресурсами керування першого гравця над другим. Якщо ж умова (19) не вико-
нується, тобто для деяких ,t R+∈ ( )W t = Ø, будемо використовувати модифіковану
умову Понтрягіна. Суть її така, що співвідношення між ресурсами керування гра-
вців змінюється на користь першого гравця, а саме, в ті моменти, коли ( )W t = Ø,
ресурси керування вирівнюються, а витрачений на це ресурс надалі віднімається
із термінальної множини. Формально процедура представляється наступним
чином. Вводяться вимірна обмежена по t матрична функція ( )C t і багатозначні
відображення
1
1( , ) ( ; ) ( , ( ) ),W t v t E At U C t v∗ ρ− ρ
ρ
= Π ρ φ ( ) ( , ),
v V
W t W t v∗ ∗
∈
=
1
1
0
( ) ( ; ) ( , , ) ,
t
M t M E At U V d
∗
ρ− ρ ∗
ρ
= − t Π ρ φ t t∫
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2023, № 2 37
де ( , , ) ( , ) ( , ( ) )t u v u v u C t v∗φ = φ − φ , а { : } ( )
y Y
X Y z z Y X X y
∗
∈
− = + ⊂ = −
є операці-
єю геометричного віднімання множин за Мінковським [3]. Під інтегралом від ба-
гатозначного відображення розуміється інтеграл Аумана, тобто об’єднання інтег-
ралів від всіляких вимірних селекторів даного багатозначного відображення [34].
У подальшому вважатимемо, що виконана модифікована умова Понтрягіна, якщо
існує така вимірна обмежена матрична функція ( ),C t що
( )W t∗ ≠ Ø, t R+∀ ∈ , (20)
( )M t ≠ Ø, t R+∀ ∈ . (21)
Таким чином, умову Понтрягіна (19) замінено на пару умов (20), (21). Легко
бачити, що при ( ) ,C t I= де I — одинична матриця, умова (21) виконана автома-
тично, а умова (20) співпадає з умовою (19), оскільки в такому випадку
( ) ( ).W t W t∗ ≡ Звідси витікає, що модифікована умова Понтрягіна (20), (21), взагалі
кажучи, — менш обмежувальне припущення, ніж умова Понтрягіна (19).
У силу властивостей параметрів процесу (16) багатозначне відображення
( , ( ) ), ,U C t v v Vφ ∈ неперервне в матриці Хаусдорфа. Таким чином, враховуючи
аналітичні властивості узагальненої матричної функції Міттаг–Леффлера, багатозна-
чне відображення ( , )W t v∗ вимірне по , ,t t R+∈ і замкнутозначне по , .v v V∈
Звідси випливає [15], що багатозначне відображення ( )W t∗ також вимірне по t і
замкнутозначне. Тоді очевидно
( , ) : ( ), ( ) : ( ).m mW t v R V P R W t R P R∗ ∗
+ +× → →
У такому випадку кажуть, що вимірні по t багатозначні відображення
( , ), ( )W t v W t∗ ∗ нормальні [34].
Із умови (20) і теореми про вимірний вибір [15] витікає, що існує хоча б один
вимірний селектор ( ),γ ⋅ такий що ( )tγ ( )W t∗∈ , .t R+∈ Позначимо Γ множину
всіх таких селекторів.
Позначимо також 0( , )h t z розв’язок однорідної системи (16) при ( , ) 0.u vφ ≡
Таким чином, якщо Dρ означає оператор дробового диференціювання по Ріма-
ну–Ліувіллю ( D Dρ ρ= ), то
0 0
1
1
( , ) ( ; 1)
n k
k
k
h t z t E At k zρ− ρ
= ρ
= ρ− +∑ ,
де 0
kz 0( ) , 1, ..., .k
tD z t k nρ−
== =
Для регуляризованої дробової похідної Капуто ( D Dρ ρ= ) отримаємо
10 0
1
0
( , ) ( ; 1)
n k
k
k
h t z t E At k z
−
ρ
= ρ
= +∑ ,
де 0 ( ) (0), 0, ..., 1.k
kz z k n= = −
38 ISSN 2786-6491
У випадку секвенціальних похідних Dρ =D ρ
j маємо
1 1
0 0 1 0
1 1
0 0
( , ) ( ; 1) ( ; ) ,
n j j
l k
l k
k k
h t z t E At l z t E At k z
− − −
ρ ρ− − ρ
= =ρ ρ
= + + ρ−∑ ∑
де =0
kz D 1
01 ( ) , 0, ..., 1k
tj k z t k jρ− −
=− − = − , 0 ( ) (0), 0, ..., 1.l
lz z l n j= = − −
Введемо функцію
0
0
( ) ( , ) ( ) ,
t
t h t z dξ = Π + γ t t∫ ,t R+∈ (22)
де ( )γ ⋅ ∈Γ — деякий фіксований селектор. У силу припущень селектор ( )γ ⋅
сумований.
Розглянемо багатозначне відображення
( , , ) { 0 :[ ( , ) ( )] [ ( ) ( )]A t v W t v t M t t∗t = α ≥ − t − γ − t α − ξ ≠ Ø}, (23)
задане на ,V∆× де {( , ) : 0 }t t∆ = t ≤ t ≤ < ∞ , і вивчимо його опорну функцію
в напрямку + 1:
( , , ) sup{ : ( , , )}, ( , ) , .t v A t v t v Vα t = α α∈ t t ∈∆ ∈
Ця функція називається розв’язувальною [10].
Враховуючи модифіковану умову Понтрягіна (20), (21), вирази (22), (23), власти-
вості конфліктно-керованого процесу (16), а також теореми про характеризацію
і обернений образ, можна показати, що багатозначне відображення ( , , )A t vt
є L B× -вимірним [15] по , , [0, ], ,v t v Vt t∈ ∈ а розв’язувальна функція ( , , )t vα t
L B× -вимірна по ,vt в силу теореми про опорну функцію [15] при ( ) ( ).t M tξ ∉
Зауважимо, що при ( ) ( )t M tξ ∈ маємо ( , , ) [0, )A t vt = ∞ , отже, ( , , )t vα t = + ∞
для всіх [0, ], .t v Vt∈ ∈
Позначимо
0
{ : inf ( , , ) 1}.
t
v V
t R t v d+
∈
Θ = ∈ α t t ≥∫ (24)
Якщо для деякого 0 ( ) ( )t t M t> ξ ∉ , будемо припускати, що функція
inf ( , , )
v V
t v
∈
α t вимірна по ,t [0, ]tt∈ . Якщо ( ) ( )t M tξ ∈ , то ( , , )t vα t = + ∞ для
[0, ]tt∈ , і в цьому випадку природно покласти значення інтегралу в (24) рівним
.+ ∞ Тоді нерівність в (24) виконана автоматично. У випадку, коли нерівність
у фігурних дужках в (24) не виконується при всіх 0,t > покладемо Θ = Ø. Нехай
T ∈Θ ≠ Ø.
Припущення 1. Багатозначне відображення ( , , )A T vt опуклозначне при всіх
[0, ], .T v Vt∈ ∈
Теорема 1. Нехай для ігрової задачі (16), (17) існує обмежена вимірна мат-
рична функція ( )C t така, що виконані умови (20), (21), і нехай множина M опук-
ла. Якщо існує скінчене число ,T T ∈Θ ≠ Ø, таке що виконане припущення 1, то
траєкторія процесу (16) може бути виведена на множину (17) із початкового
положення 0z в момент T за допомогою контркерування (18).
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2023, № 2 39
Доведення. Нехай ( ), : [0, ] ,v v T Vt → — довільна вимірна функція. Розгля-
немо спочатку випадок ( ) ( ).T M Tξ ∉ Позначимо
0
( ) inf ( , , )
T
v V
T T v d
∈
α = α t t∫ і покла-
демо
1( , ) inf ( , , ).
( ) v V
T T v
T
∗
∈
α t = α t
α
Оскільки ( ) 1,Tα ≥ згідно з (24) і в силу припущення 1, функція ( , ),T∗α t
( , ) ( , , )T T v∗α t ≤ α t , [0, ], ,T v Vt∈ ∈ — вимірний селектор для кожного із багато-
значних відображень ( , , )A T vt , ,v V∈ тобто ( , ) ( , , ),T A T v∗α t ∈ t [0, ], .T v Vt∈ ∈
Розглянемо багатозначне відображення
1
1( , ) { : ( ) ( ( ) ; ) ( , ( ) )U v u U T E A T u C T vρ− ρ
ρ
t = ∈ Π − t − t ρ φ − t −
( ) ( , )[ ( ) ( )]}.T T M T T∗− γ − t ∈α t − ξ (25)
Оскільки, в силу зроблених припущень, функція ( , )T∗α t вимірна
( ) ( )mM T K R∈ , оскільки ( )mM K R∈ , а вектор ( )Tξ обмежений, то відображення
( , )[ ( ) ( )]T M T T∗α t − ξ вимірне по .t Крім того, ліва частина включення в (25)
L B× -вимірна по v,t і неперервна по .u Тому [34] відображення ( , )U vt
є L B× -вимірним. Отже, згідно з теоремою про вимірний вибір в ньому існує
L B× -вимірний селектор ( , )u vt , який, в свою чергу, є суперпозиційно вимір-
ною функцією. Покладемо керування першого гравця рівним ( ) ( , ( ))u u vt = t t ,
[0, ].Tt∈
У випадку ( ) ( )T M Tξ ∈ сформуємо керування першого гравця наступним
чином. Покладемо в (25) ( , ) 0T∗α t ≡ і позначимо 0 ( , )U vt багатозначне відо-
браження, отримане таким чином із ( , )U vt . Виберемо керування першого гравця
у вигляді 0 ( )u t = 0 ( , ( ))u vt t , [0, ]Tt∈ , де 0 ( , )u vt — вимірний селектор відобра-
ження 0 ( , ).U vt
Покажемо, що в кожному із розглянутих вище випадків траєкторія проце-
су (16) буде виведена на термінальну множину в момент .T
Має місце формула
1
0 1
0
( ) ( , ) ( ) ( ( ) ; ) ( ( ), ( ))
T
z T h t z T E A T u v d
ρ
ρ− ρΠ = Π + − t Π − t ρ φ t t t∫ . (26)
Розглянемо випадок ( ) ( )T M Tξ ∉ . Враховуючи вигляд множин ( , ),U vt
0 ( , )U vt і закон керування першого гравця, із (26) отримаємо наступне включення:
0 0
( ) ( )[1 ( , ) ] ( , ) ( )
T T
z T T T d T M T d∗ ∗Π ∈ξ − α t t + α t t +∫ ∫
1
1
0
( ) ( ( ) ; ) ( , ( ), ( )) .
T
T E A T T u v d
ρ
ρ− ρ ∗+ − t Π − t ρ φ − t t t t∫
40 ISSN 2786-6491
Оскільки ( )M T — опуклий компакт в силу co ( ),mM K R∈ а ( , )T∗α t —
невід’ємна функція і
0
( , ) 1,
T
T d∗α t t =∫ то
0
( , ) ( ) ( ),
T
T M T d M T∗α t t =∫ отже,
1
1
0
( ) ( ) ( ) ( ( ) ; ) ( , ( ), ( ))
T
z T M T T E A T T u v d
ρ
ρ− ρ ∗Π ∈ + − t Π − t ρ φ − t t t t∫ .
Звідси, враховуючи вигляд множини ( )M T із визначення операції геометри-
чної різниці, випливає включення ( ) .z T MΠ ∈
Нехай тепер ( ) ( ).T M Tξ ∈ Тоді із рівності (26) з урахуванням визначення
множини ),(0 vU t отримаємо
1
1
0
( ) ( ) ( ) ( ( ) ; ) ( , ( ), ( ))
T
z T T T E A T T u v dρ− ρ ∗
ρ
Π = ξ + − t Π − t ρ φ − t t t t∈∫
1
1
0
( ) ( ) ( ( ) ; ) ( , ( ), ( ))
T
M T T E A T T u v dρ− ρ ∗
ρ
∈ + − t Π − t ρ φ − t t t t∫ .
Звідси випливає включення ( )z T MΠ ∈ або ( ) .z T M ∗∈
Випадок розділеної динаміки
Розглянемо випадок, коли еволюція стану кожного гравця описується неза-
лежними рівняннями з дробовими похідними. Зокрема, введені і розглянуті знач-
но раніше М. Красовським [2] однотипні об’єкти, для яких схеми різних методів
дозволяють провести обчислення майже до кінця, вкладаються у запропоновану
нижче схему.
Нехай динаміка першого гравця, якого назвемо переслідувачем, описується
рівнянням
D x Ax uρ = + , 1 ,mx R∈ 1 11 .n n− < ρ < (27)
Динаміка другого гравця, якого назвемо утікачем, задається рівнянням
D ,y By vσ = + 2 ,my R∈ 2 21 .n n− < σ < (28)
Тут A і B — квадратні матриці порядку 1m і 2 ,m відповідно 1( )mU K R∈ та
2( ).mV K R∈ Зауважимо, що система (27), (28) не є окремим випадком проце-
су (16), оскільки числа ρ і σ довільні. Припускається, що початкові умови
для систем (27), (28) задані у вигляді операторів D ,ρ Dσ відповідно і визнача-
ються векторами початкових станів 0 0,x y переслідувача і утікача відповідно.
Термінальна множина задається ε -відстанню за першими s ( 1 2min( , )s m m≤ ),
компонентам векторів x і ,y тобто гра вважається завершеною, як тільки
.sx y− ≤ ε (29)
Тут ε — фіксоване число, 0 .≤ ε < ∞
Введемо ортопроєктори 11 : ,m sR RΠ → 22 : ,m sR RΠ → які виділяють у век-
торів x і y перші s координат. Тоді нерівність (29) можна переписати у вигляді
1 2 .sx yΠ −Π ≤ ε (30)
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2023, № 2 41
Ситуацію, коли виконана нерівність (29), (30), назвемо поїмкою.
У силу (9)–(15) траєкторії систем (27), (28) мають вигляд:
0 1
1
0
( ) ( , ) ( ) ( ( ) ; ) ( ) ,
t
xx t h x t t E A t u t dρ− ρ
ρ
= + − t − t ρ t∫
0 1
1
0
( ) ( , ) ( ) ( ( ) ; ) ( ) ,
t
yy t h y t t E B t v t dσ− σ
σ
= + − t − t σ t∫
де 0( , )xh x t і 0( , )yh y t — загальні розв’язки однорідних систем D ,x Axρ =
D ,y Byσ = з початковими умовами 0 ,x 0y відповідно.
Наслідуючи схему методу розв’язувальних функцій, розглянемо багатознач-
не відображення
1 1
1 1 1 2 1 1( , ) ( ; ) ( ; ) ( ) ;W t v t E At U t E Bt C t vρ− ρ σ− σ
ρ σ
= Π ρ − Π σ
1 1
1 1 1 2 1 1( ) ( ; ) ( ; ) ( ) .W t t E At U t E Bt C t V
∗
ρ− ρ σ− σ
ρ σ
= Π ρ − Π σ (31)
Тут 1( )C t — матрична функція для вирівнювання ресурсів керування. Нарівні з ба-
гатозначним відображенням 1( )W t модифікована умова Понтрягіна включає
відображення
1
1
1 2 1
0
( ) ( ; )( ( ) ) ,
t
M t S E B C I Vd
σ
∗
σ− σ= ε − t Π t σ t − t∫ (32)
де S — замкнута куля з центром у нулі одиничного радіусу.
Будемо вважати, що виконана модифікована умова Понтрягіна, якщо з де-
якою вимірною обмеженою матричною функцією 1( )C t багатозначні відображен-
ня, що визначаються формулами (31), (32), непусті для всіх 0.t ≥
Вибравши в 1( )W t деякий вимірний селектор 1 1 1( ) ( ( ) ( )t t W tγ γ ∈ 0t∀ ≥ ),
покладемо
0 0
1 1 2 1
0
( ) ( , ) ( , ) ( ) .
t
x yt h x t h y t dξ = Π −Π + γ t t∫
Як і раніше, введемо багатозначне відображення
1 1 1 1( , , ) { 0 :[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]A t v W t t M t tt = α ≥ − t − γ − t α − ξ ≠ Ø}, 1 : 2 ,RA V +∆× → (33)
і його опорну функцію в напрямку +1 (розв’язувальна функція)
1 1( , , ) sup{ : },t v Aα t = α α∈ 1 : .V R+α ∆× → (34)
За допомогою розв’язувальної функції визначимо множину
1 1
0
{ 0 : inf ( , , ( )) 1}.
t
v V
t t v d
∈
Θ = ≥ α t t t ≥∫ (35)
Нехай 1T ∈Θ ≠Ø з урахуванням виразів (33)–(35).
Припущення 2. Відображення 1( , , )A T vt опуклозначне для всіх [0, ],Tt∈
.v V∈
42 ISSN 2786-6491
Теорема 2. Нехай для ігрової задачі (27)–(30) з розділеною динамікою гравців
існує обмежена вимірна матрична функція 1( ), 0C t t ≥ , така що багатозначні ві-
дображення 1( )W t і 1( )M t мають непусті значення для всіх 0.t ≥ Якщо існує
скінчене число ,T 1T ∈Θ ≠Ø, таке що виконане припущення 2, тоді поїмка у грі
(27)–(30) трапляється в момент .T
Доведення аналогічне доведенню теореми 1 з урахуванням специфіки задачі
(27)–(30).
Гра з простою матрицею
Перейдемо до дослідження окремих випадків і прикладів. Розглянемо конф-
ліктно-керований процес типу (16), (17) окремого вигляду:
,D z z u vρ = λ + − ,mz R∈ , , 1,u S v S∈α ∈ α > (36)
де λ — дійсне число, 1 ,n n− < ρ ≤ з початковими умовами (8) і термінальною
множиною , 0.M S∗ = ε ε ≥ Вочевидь, тут , ( , ) ,A I u v u v= λ φ = − ,U S= α
0, {0},V S M= = а .M S= ε Тому 0 ,mL M R⊥= = а ортопроєктор Π є операто-
ром тотожного перетворення. Враховуючи, що для матриці A I= λ справедлива
рівність
( ; ) ( ; ) ,E A E Iη ηµ = λ µ
де ( ; )Eη λ µ — узагальнена скалярна функція Міттаг–Леффлера [29], розв’язок
задачі Коші для системи (36) має вигляд
0 1
1 1
1 0
( ) ( ; 1) ( ) ( ( ) ; )( ( ) ( ))
tn k
k
k
z t t E At k z t E t u v dρ− ρ ρ− ρ
= ρ ρ
= ρ− + + − t λ − t ρ t − t t∑ ∫ .
За схемою методу розв’язувальних функцій перевіримо умову Понтрягіна (19)
для процесу (36). Тоді
1
1( , ) ; )( )W t v t E t S vρ− ρ
ρ
= λ ρ α − , 1
1( ) ; ) ( 1)W t t E t Sρ− ρ
ρ
= λ ρ α −
і умова Понтрягіна виконана автоматично. Враховуючи, що значення багатознач-
ного відображення ( )W t є кулею з центром у нулі змінного радіуса, покладемо
( ) 0.tγ ≡ Тоді
0
1
1
( ) ( ; 1)
n k
k
k
t t E t k zρ− ρ
= ρ
ξ = λ ρ− +∑ .
Оскільки умова Понтрягіна виконана, можна покласти ( ) .C t I≡
Розв’язувальна функція має вигляд 1
1( , , ) { 0 : ( ) ( ( ) ; )t v t E tρ− ρ
ρ
α t = α ≥ − t λ − t ρ ×
( ) [ ( )]S v S t× α − α ε − ξ ≠ Ø}, і її можна знайти в явному вигляді як великий пози-
тивний корінь квадратного рівняння відносно α :
2 1( ) ( ) ( )w t v t w t− t −αξ = − t + αε ,
де 1
1 1( ) ( ; )w t t E tρ− ρ
ρ
= α λ ρ , 1
2 1( ) ( ; )w t t E tρ− ρ
ρ
= λ ρ . Розв’язуючи це рівняння,
отримаємо
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2023, № 2 43
2
2 2
( )( ( ), )
( , , )
( )
w t t v
t v
t
− t ξ
α t =
ξ − ε
+
2 22 2 2
2 1 2
2 2
[ ( )( ( ), ) ] ( ( ) )[ ( ) ( ) ]
( )
w t t v t w t w t v
t
− t ξ − ε + ξ − ε − t − − t
+
ξ − ε
.
Звідси
2
1
( 1) ( )
min ( , , )
( )v
a w t
t v
t≤
− − t
α t =
ξ − ε
.
Тоді в силу співвідношення (24) час закінчення гри визначається як най-
менший позитивний корінь рівняння
1 1 0
1 1
10
( 1)( ) ( ( ) ; ) ( ; 1) .
t n
k
k
a t E t d t E t k zρ− ρ ρ− ρ
=ρ ρ
− − t λ − t ρ t = λ ρ− + − ε∑∫ (37)
Враховуючи, що
1
1 1
0
( 1) ( ; ) ( 1) ( ; 1),
t
a t E t d a t E tρ− ρ ρ ρ
ρ ρ
− λ ρ t = − λ ρ+∫
при 0λ > отримаємо рівняння
0
1
1
1
( ; 1)
( ; 1)
1
n k
k
k
t E t k z
t E t
a
ρ− ρ
= ρρ ρ
ρ
λ ρ− + − ε
λ ρ+ =
−
∑
для визначення моменту закінчення гри (36).
Природно припустити, що ( )tξ при 0t = не належить кулі .Sε У протилежно-
му випадку гра завершилась, не почавшись. Останнє припущення тягне за собою
умову 0 0.kz ≠ Таким чином, при 0t = ліва частина рівняння (37) дорівнює 0, а
права прямує до + ∞ при 0,t → при 0t > обидві частини неперервні по .t Дослі-
димо швидкість росту при t →∞ лівої і правої частин рівняння (37). Для цього
використаємо асимптотичні представлення функцій Міттаг–Леффлера [35]. При
2,ρ < будь-якому µ і 0λ > маємо при любому натуральному ρ
11
( ) 1
1
1
1 ( )( ; ) ( ) (( ) ).
( )
k
t
k
tE t t e O t
k
ρ ρ
−µ ρ −ρ
ρ ρ λ ρ − −ρρ
=ρ
λ
λ µ = λ − +
ρ Γ µ − ρ
∑ (38)
Використовуючи це представлення, отримаємо
1
1
1
1( ; 1) ...tt E t e
ρρ ρ − λ
ρ
λ ρ+ = λ +
ρ
,
11 ( )
1
1( ; 1 ) ...
i
i tt E t i e
ρ−ρ
ρ− ρ λρ
ρ
λ ρ+ − = λ +
ρ
.
Отже,
44 ISSN 2786-6491
1 1
0
0 1
1
1
( ; 1)
lim .
( ; 1 )
ik
ikt i i
k
i
t E t
z
t E t i z
ρ ρ
−
ρ ρ
→+∞ ρ− ρ =
= ρ
λ ρ+
= λ
λ ρ+ − − ε
∑
∑
Таким чином, корінь рівняння (37) існує, якщо
0
1
1 .
ik
i
i
a zρ
=
− > λ∑ (39)
Розглянемо випадок 0, 2,λ < α < µ — будь-яке. Тоді [35] при будь-якому
натуральному ρ
(1 )
1
1
( ; ) ( ).
( )
k k
k
tE t O t
k
− − ρρ
ρ − +ρ ρ
=ρ
λ
λ µ = − +
Γ µ − ρ
∑ (40)
Використовуючи це асимптотичне представлення, отримаємо
2
1
1 ( ; 1) ...
(1 )
tt E t
− −ρ
ρ ρ −
ρ
λ
λ ρ+ = −λ − −
Γ −ρ
,
2
1 ( ; 1 ) ...
(1 )
i
i tt E t i
i
− −ρ−
ρ− ρ
ρ
λ
λ ρ+ − = − −
Γ −ρ−
, 1, 2, ..., .i k=
Отже,
1
1lim ( ; 1) ,
t
t E tρ ρ −
→+∞
ρ
λ ρ+ = −λ
0
1
1
lim ( ; 1 ) 0.
k i
i
t i
t E t i zρ− ρ
→+∞ = ρ
λ ρ+ − =∑
Оскільки інтеграл від модуля функції більший або рівний модулю від інтегра-
ла, то звідси отримуємо, що рівняння (37) має скінчений позитивний корінь при
будь-яких початкових умовах.
Питання про розв’язність рівняння (37) при 2ρ ≥ більш складне, що досить
природно. У цьому випадку асимптотичні формули (38), (40) заміняються пред-
ставленням [35] при будь-якому натуральному ρ :
1 2 (1 ) 1 2(1 )
1
: arg 2
2
1( ; ) ( ) exp( )
in in
n n
E t t e t e
π −µ π
−µ
ρ ρ ρ ρ ρ ρ
πρρ λ+ π ≤
λ µ = λ λ ⋅ +
ρ
∑
1
1
( ) [( ) ]( )
k
k
t O tk
ρ ρ − ρ −ρ−
=
λ+ + λΓ µ − ρ∑ . (41)
Тут 1i = − . Це представлення ключове при дослідженні про розв’язність рівнян-
ня (37) при 2.ρ ≥
Нехай 0,λ > а [2, 4)ρ∈ . Тоді arg 0λ = і в формулі (41) в сумуванні бере
участь лише член, що відповідає 0.n = Отже, при достатньо великих t
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2023, № 2 45
11
1
1
1( ; ) ( ) ...tE t t e
υρ −µ λρ
ρ
λ µ = λ +
ρ
,
звідки
1
1
1( ; 1) ...tE t e
ρρ −ρ λ
ρ
λ ρ+ = λ +
ρλ
,
1
1
1( ; 1) ...tt E t e
ρρ ρ λ
ρ
λ ρ + = +
ρλ
.
Аналогічно
1
1
1( ;1 ) ...
j
j tt E t j e
ρρ− ρ λρ
ρ
λ +ρ− = λ +
ρλ
.
Тоді, з урахуванням отриманих асимптотик, маємо
1 1
0
10
1
1
( ; 1)
lim .
( ;1 )
jk
j
t jk j
j
j
t E t
z
t E t j z
ρ ρ
−
ρ ρ
→∞ =
ρ− ρ
= ρ
λ ρ+
= λ
λ +ρ− − ε
∑
∑
Таким чином, позитивний скінчений корінь рівняння (37) існує, якщо вико-
нана нерівність (39).
Аналіз рівняння (37) на предмет існування скінченого позитивного кореня
при 0λ > і 4ρ ≥ проводиться аналогічно на основі формули (41). Однак при
[4, 8)ρ∈ сумування в (41) виконується при 0, 1, 1n = − і викладки стають суттєво
громіздкішими.
На завершення розглянемо випадок 0.λ = Тоді рівняння (37) набуває вигляду
0
1
{ ( 1 )}
( 1) 1
k i
i
i
t zit
a
ρ−
ρ
=
− εΓ ρ+ −
=
Γ ρ+ −
∑
. (42)
При 0t = ліва частина рівняння дорівнює 0, а права — ,+ ∞ якщо 0 0.kz ≠
Але при t →∞ ліва частина росте швидше, ніж права, і тому позитивний корінь
рівняння (42) існує при будь-яких початкових умовах, з однією лише обмов-
кою — 0 0.kz ≠
Приклад з розділеною динамікою
Розглянемо приклад динамічної гри переслідування–утікання дробового по-
рядку. Нехай динаміка переслідувача описується рівнянням
D ,x uπ = 1,u ≤ (43)
де 3,14159...π = — відношення довжини кола до його діаметра.
Динаміка утікача задається рівнянням
D ,e y v= 1,v ≤ (44)
46 ISSN 2786-6491
де 2,71828...e = — основа натуральних логарифмів.
Тут, як і раніше, Dρ позначає оператор дробового диференціюванню поряд-
ку ρ в сенсі Рімана–Ліувілля, Капуто або Міллера–Росса. Фазові вектори x
і y визначають поточну позицію в mR переслідувача і утікача відповідно. При-
пускається, що ( )x x t= тричі, а ( )y y t= — двічі абсолютно неперервно диферен-
ційована на R+ функція часу ,t тобто 3( ) ( ),x t AC R+∈ 2( ) ( ).y t AC R+∈ Керуючі
вектори ( ), ( ), , mu u t v v t u v R= = ∈ є вимірними функціями часу .t
Оскільки A і B є m m× -нуль-матриці, то 1
1( ; )
( )
E At Iπ
π
π =
Γ π
і
1
1( ; ) .
( )
e
e
E Bt e I
e
=
Γ
Якщо диференціювання розуміється в сенсі Рімана–Ліувілля, тобто Dρ = ( ) ,D ρ
початкові умови для (43), (44) мають вигляд
1 0
0 11( ) tD x t xπ−
= = , 2 0
0 21( ) tD x t xπ−
= = , 3 0
0 31( ) tD x t xπ−
= = , 4 0
0 41( ) ,tD x t xπ−
= =
1 0
0 11( )e
tD y t y−
= = , 2 0
0 21( )e
tD y t y−
= = , 3 0
0 31( )e
tD y t y−
= =
відповідно. У цьому випадку будемо позначати
0 0 0 0 0
11 21 31 41( , , , ),x x x x x= 0 0 0 0
11 21 31( , , ),y y y y=
1 2 3 4
0 0 0 0 0
11 21 31 41( , )
( ) ( 1) ( 2) ( 3)x
t t t th x t x x x x
π− π− π− π−
= + + +
Γ π Γ π− Γ π− Γ π−
,
1 2 3
0 0 0 0
11 21 31( , ) .
( ) ( 1) ( 2)
e e e
y
t t th y t y y y
e e e
− − −
= + +
Γ Γ − Γ −
Нехай тепер Dρ — оператор дробового диференціювання в сенсі Капуто,
тобто Dρ = ( ).D ρ При цьому початкові умови для (43), (44) можуть бути записані
у вигляді
0
02(0) ,x x= 0
12(0) ,x x= 0
22(0) ,x x= 0
32(0) ,x x=
0
02(0) ,y y= 0
12(0) ,y x= 0
22(0)y y=
відповідно. Позначимо
0 0 0 0 0
02 12 22 32( , , , ),x x x x x= 0 0 0 0
02 12 22( , , ),y y y y=
2 3
0 0 0 0 0
02 12 22 32( , ) ,
2 6x
t th x t x tx x x= + + + 0 0 0 0
02 12 22( , ) ,
2y
th y t y ty y= + +
Нарешті, якщо Dπ = D i
π для деякого , 1, 2, 3,i i = і De = D e
j , 1, 2,i = по-
чаткові умови для (43), (44) набувають вигляду
0 0 0 0 0
0 1 0 3( , ..., , , ..., ),i ix x x x x− −= 0 0 0 0 0
0 1 0 2( , ..., , , ..., ),j jy y y y y− −=
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2023, № 2 47
13 10 0 0
0 0
( , )
! ( )
l ki i
x l k
l k
t th x t x x
l k
π− −− −
= =
= +
Γ π−
∑ ∑ ,
12 1
0 0 0
0 0
( , )
! ( )
s e rj j
y s r
s r
t th y t y y
s e r
− −− −
= =
= +
Γ −
∑ ∑ .
Мета переслідувача полягає в тому, щоб досягти виконання нерівності
( ) ( ) , 0x T y T− ≤ ε ε > , (45)
для деякого скінченого моменту часу .T Мета утікача — уникнути виконання
нерівності (45) або, якщо це неможливо, максимально віддалити момент .T
Використання описаного раніше методу розв’язувальних функцій для розділеної
динаміки дозволяє отримати достатні умови розв’язності сформульованої задачі
зближення.
Модифікована умова Понтрягіна виконана, якщо
( ( ) / ( )) ( ( ) / ( )) ( ( ) / ( )) ( ( ) / ( ))
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
e e
e e e ee e e e
e e
π π
π− π− π− π−Γ π Γ Γ π Γ Γ π Γ Γ π Γ
ε ≥ − = −
Γ π+ Γ + Γ + Γ π+
.
Позначимо 0 0
1 1 2( ) ( , ) ( , ).x yt h x t h y tξ = Π −Π Тоді рівняння для знаходження часу
закінчення гри має вигляд 1( ) .
( 1) ( 1)
et t t
e
π
− + ε = ξ
Γ π+ Γ +
Висновок
Для ігрових задач з дробовими похідними Рімана–Ліувілля, Капуто і Мілле-
ра–Росса отримані умови виведення траєкторії на циліндричну термінальну мно-
жину за скінчений час. При цьому керування сторони, що забезпечує цей резуль-
тат, будується на основі теорем вимірного вибору. Базовим методом, який засто-
совується, є метод розв’язувальних функцій. Розв’язувальні функції є опорними
до ключових багатозначних відображень. Це дозволяє застосувати елементи опу-
клого аналізу для їх знаходження і для широкого кола задач отримати
розв’язувальні функції в аналітичному вигляді як більші позитивні корені квадра-
тних рівнянь. Перевірка умов зближення в класі контркерувань здійснюється на
основі асимптотичних представлень функції Міттаг–Леффлера.
Наведені приклади ігор з простою матрицею та з розділеними рухами дробо-
вого порядку π та .e
A. Chikrii, V. Pepelyaev, O. Chikrii, L. Baranovska
GAME CONTROL PROBLEMS FOR FRACTIONAL
ORDER SYSTEMS UNDER THE CONDITIONS OF
CONFLICT AND INDETERMINACY
Arkadii Chikrii
V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of NAS of Ukraine, Kyiv,
g.chikrii@gmail.com
48 ISSN 2786-6491
Volodymyr Pepelyaev
V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of NAS of Ukraine, Kyiv,
pepelaev@yahoo.com
Olexiy Chikrii
V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of NAS of Ukraine, Kyiv,
g.chikrii@gmail.com
Lesya Baranovska
National Technical University of Ukraine «Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute»,
lesia@baranovsky.org
This paper is devoted to study of the game approach problems for the linear
conflict-controlled processes, described by the fractional systems of
arbitrary order. In so doing, the cases of classic Riemann-Liouville, the
regularized Dzharbashyan-Nersesyan (Caputo), as well as the Miller-Ross
sequential derivatives are considered. Under fixed controls of the players,
we present system solutions in the form of the analogs of Cauchy formula,
using the generalized Mittag-Leffler matrix functions. The method of
resolving functions is used as a main tool of the study. This method allows
to obtain sufficient conditions for approach in some guaranteed time. In so
doing, an analog of Pontryagin’s condition, consisting of two parts at the ac-
count of introduction of special matrix function, is used. This function is
closely related with the players control resources and the solid part of the
terminal set. The above mentioned condition is expressed with the help of
Minkovski’ geometric difference and testifies to the non-emptiness of corre-
sponding set-valued mappings. It makes it possible, on the basis of the theo-
rem on measurable choice, to construct the pursuer counter–control, which
is the superpositionally measurable function. Application of this control en-
sures successful termination of the game. With the use of the asymptotes of
scalar Mittag-Leffler functions, the conditions for ε -meeting are deduced in
the example with the simple matrix. The case of separated motions of the
players is also considered. The obtained results are illustrated on model ex-
ample with separated motions of fractional orders π and .e
Keywords: fractional order derivative, game problem, set-valued mapping,
Pontryagin’s condition, Mittag–Leffler function.
ПОСИЛАННЯ
1. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М. : Наука, 1974. 455 с.
2. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М. : Наука, 1985. 520 с.
3. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды: в 3 т. М. : Наука, 1988. Т. 2: Дифференциальные
уравнения. Теория операторов. Оптимальное управление. Дифференциальные игры. 576 с.
4. Пшеничный Б.Н., ОстапенкоВ.В. Дифференциальные игры. Киев : Наук. думка, 1992. 264 с.
5. Айзекс Р. Дифференциальные игры. М. : Мир, 1967. 480 с
6. Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона–Якоби. М. : Наука,
1991. 216 с.
7. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М. : Наука, 1970. 420 с.
8. Пшеничный Б.Н. Линейные дифференциальные игры. Автоматика и телемеханика. 1968.
№1. С. 65–78.
9. Никольский М.С. Первый прямой метод Л.С. Понтрягина в дифференциальных играх. М. :
Изд-во МГУ, 1984. 65 с.
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2023, № 2 49
10. Chikrii A.A. Conflict controlled processes. Boston; London; Dordrecht : Kluwer Academ.
Publ.,1997. 424 p.
11. Podlubny I. Fractional differential equations. San Diego : Academ Press, 1999. 368 p.
12. Джрбашян М.М., Нерсесян А.Б. Дробные производные и задача Коши для дифференциаль-
ных уравнений дробного порядка. Изв. АН Армянской ССР. 1968. Т. 3. Вып. 1. С. 3–29.
13. Caputo M. Linear model of dissipation whose Q is almost frequency independent–II. Geophysical
Journal International. 1967. Vol. 13, N 5. P. 529–539. DOI: https://doi.org/10.1111/j.1365-
246X.1967. tb02303.x
14. Miller K.S., Ross B. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equa-
tions. New York : Wiley & Sons, 1993. 384 p.
15. Aubin J.-P., Frankowska H. Set–valued analysis. Boston : Birkhauser, 1990. 461 p.
16. Krasovskii A.N., Krasovskii N.N. Control under lack of information. Boston : Birkhauser, 1994.
319 p.
17. Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse problems for ordinary differential equations. Basel :
Gordon & Breach, 1994. 625 p.
18. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М. : Наука, 1981.
288 с.
19. Melikyan A.A. Generalized characteristics of first order: applications in optimal control and dif-
ferential games. Boston : Birkhauser, 1998. 385 p.
20. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М. : Наука,
1977. 392 с.
21. Ушаков В.Н., Успенский А.А., Токманцев Т.Б. Стабильные мосты в дифференциальных
играх на конечном промежутке времени. Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН.
Екатеринбург. 2004. Т.10, №2. С. 158–165.
22. Kumkov S.I., Patsko V.S. Control of informational sets in a pursuit problem. Annals of the Inter-
national Society of Dynamic Games. New Trends in Dynamic Games and Applications. Boston :
Birkhauser, 1995. Vol. 3. P. 191–206.
23. Григоренко Н.Л. Математические методы управления несколькими динамическими про-
цессами. М. : Изд-во МГУ, 1990. 198 с.
24. Батухтин В.Д. Об одной игровой задаче наведения с неполной информацией. Докл. АН
СССР. 1980. Т. 44, № 4. С. 17–21.
25. Третьяков В.Е. К теории стохастических игр. Докл. АН СССР. 1983. Т. 269, № 3. С. 30–35.
26. Кривонос Ю.Г., Матичин И.И., Чикрий А.А. Динамические игры с разрывными траектори-
ями. К. : Наук. думка, 2005. 220 с.
27. Chikrii A.A. Game dynamic problems for systems with fractional derivatives. Pareto Optimality,
Game Theory and Equilibria. New York : Springer, 2008.Vol. 17. P. 349–387.
28. Chikrii A.A. Optimization of game interaction of fractional-order controlled systems. J. Optim.
Methods Softw. 2008. Vol. 23, N 1. P. 39–72.
29. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и не-
которые их приложения. Минск : Наука и техника, 1987. 688 с.
30. Chikriy A.A., Matichin I.I. Presentation of solutions of linear systems with fractional derivatives
in the sense of Riemann–Lioville, Caputo and Miller–Ross. J. Autom. Inform. Sci. 2008. Vol. 40,
N 6. P. 1–11.
31. Чикрий А.А., Эйдельман С.Д. Обобщенные матричные функции Миттаг–Леффлера в игро-
вых задачах. Кибернетика и системный анализ. 2000. №3. С. 3–32.
32. Hajek O. Pursuit games. Mathematics in science and engineering. New York : Acad. Press, 1975.
Vol.120. 266 p.
33. Чикрий А.А., Раппопорт И.С., Чикрий К.А. Многозначные отображения и их селекторы
в теории конфликтно-управляемых процессов. Кибернетика и системный анализ. 2007.
№ 5. С. 129–144.
34. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М. : Наука, 1974. 479 с.
35. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной
области. М. : Наука, 1966. 672 с.
Отримано 28.02.2023
Вступ
Дробові похідні Рімана–Ліувілля, Капуто і Міллера–Росса
Системи дробового порядку
Постановка задачі
Метод розв’язувальних функцій
Випадок розділеної динаміки
Гра з простою матрицею
Приклад з розділеною динамікою
Висновок
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210995 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-17T21:41:14Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Чикрій, А.О. Пепеляєв, В.А. Чикрій, О.А. Барановська, Л.В. 2025-12-22T08:33:09Z 2023 Керування системами дробового порядку в умовах конфлікту та невизначеності / А.О. Чикрій, В.А. Пепеляєв, О.А. Чикрій, Л.В. Барановська // Проблеми керування та інформатики. — 2023. — № 2. — С. 30-49. — Бібліогр.: 35 назв. — укр. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210995 518.9 10.34229/1028-0979-2023-2-3 Робота присвячена вивченню ігрових задач зближення для лінійних конфліктно-керованих процесів з дробовими похідними довільного порядку. При цьому розглядаються класичні дробові похідні Рімана–Ліувілля, регуляризовані похідні Джрбашяна–Нерсесяна або Капуто і секвенціальні похідні Міллера–Росса. При фіксованих керуваннях гравців встановлюються представлення розв’язків у вигляді аналогів формули Коші з використанням узагальнених матричних функцій Міттаг–Леффлера. The work is dedicated to studying the pursuit game problems for linear conflict-controlled processes with fractional derivatives of arbitrary order. It considers classical Riemann–Liouville fractional derivatives, regularized Jirbashyan–Nersesyan or Caputo derivatives, and sequential Miller–Rossi derivatives. For fixed controls of the players, solutions are represented in the form of analogs of Cauchy’s formula using generalized Mittag-Leffler matrix functions. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблеми керування та інформатики Конфліктно-керовані процеси та методи прийняття рішень Керування системами дробового порядку в умовах конфлікту та невизначеності Game control problems for fractionalorder systems under the conditions of conflict and indeterminacy Article published earlier |
| spellingShingle | Керування системами дробового порядку в умовах конфлікту та невизначеності Чикрій, А.О. Пепеляєв, В.А. Чикрій, О.А. Барановська, Л.В. Конфліктно-керовані процеси та методи прийняття рішень |
| title | Керування системами дробового порядку в умовах конфлікту та невизначеності |
| title_alt | Game control problems for fractionalorder systems under the conditions of conflict and indeterminacy |
| title_full | Керування системами дробового порядку в умовах конфлікту та невизначеності |
| title_fullStr | Керування системами дробового порядку в умовах конфлікту та невизначеності |
| title_full_unstemmed | Керування системами дробового порядку в умовах конфлікту та невизначеності |
| title_short | Керування системами дробового порядку в умовах конфлікту та невизначеності |
| title_sort | керування системами дробового порядку в умовах конфлікту та невизначеності |
| topic | Конфліктно-керовані процеси та методи прийняття рішень |
| topic_facet | Конфліктно-керовані процеси та методи прийняття рішень |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210995 |
| work_keys_str_mv | AT čikríiao keruvannâsistemamidrobovogoporâdkuvumovahkonflíktutaneviznačeností AT pepelâêvva keruvannâsistemamidrobovogoporâdkuvumovahkonflíktutaneviznačeností AT čikríioa keruvannâsistemamidrobovogoporâdkuvumovahkonflíktutaneviznačeností AT baranovsʹkalv keruvannâsistemamidrobovogoporâdkuvumovahkonflíktutaneviznačeností AT čikríiao gamecontrolproblemsforfractionalordersystemsundertheconditionsofconflictandindeterminacy AT pepelâêvva gamecontrolproblemsforfractionalordersystemsundertheconditionsofconflictandindeterminacy AT čikríioa gamecontrolproblemsforfractionalordersystemsundertheconditionsofconflictandindeterminacy AT baranovsʹkalv gamecontrolproblemsforfractionalordersystemsundertheconditionsofconflictandindeterminacy |