Про особливості математичного моделювання динаміки квадратично уточнених лінійних диференціальних систем
Розглядаються просторово розподілені динамічні системи, лінійна та квадратично нелінійна частини математичних моделей яких побудовані за допомогою лінійних диференціальних перетворень функції стану. Ставляться та розв’язуються задачі прогнозування динаміки системи за наявності початково-крайових спо...
Saved in:
| Published in: | Проблеми керування та інформатики |
|---|---|
| Date: | 2024 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2024
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/211147 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про особливості математичного моделювання динаміки квадратично уточнених лінійних диференціальних систем / В.А. Стоян // Проблеми керування та інформатики. — 2024. — № 2. — С. 33–46. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859710077769875456 |
|---|---|
| author | Стоян, В.А. |
| author_facet | Стоян, В.А. |
| citation_txt | Про особливості математичного моделювання динаміки квадратично уточнених лінійних диференціальних систем / В.А. Стоян // Проблеми керування та інформатики. — 2024. — № 2. — С. 33–46. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблеми керування та інформатики |
| description | Розглядаються просторово розподілені динамічні системи, лінійна та квадратично нелінійна частини математичних моделей яких побудовані за допомогою лінійних диференціальних перетворень функції стану. Ставляться та розв’язуються задачі прогнозування динаміки системи за наявності початково-крайових спостережень за станом останньої. Спостереження можуть бути як неперервно, так і дискретно визначені. Характер спостережень визначається функціонально через лінійні диференціальні оператори довільного порядку, структури та кількості.
The paper considers spatially distributed dynamic systems, whose linear and quadratically nonlinear parts of mathematical models are constructed using linear differential transformations of the state function. Problems of forecasting the system's dynamics are formulated and solved under the availability of initial-boundary observations of its state. Observations can be both continuous and discrete. The nature of observations is functionally defined through linear differential operators of arbitrary order, structure, and quantity.
|
| first_indexed | 2026-03-15T06:55:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.А. СТОЯН, 2024
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2024, № 2 33
КЕРУВАННЯ СИСТЕМАМИ З РОЗПОДІЛЕНИМИ
ПАРАМЕТРАМИ, МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
УДК 519.6
В.А. Стоян
ПРО ОСОБЛИВОСТІ МАТЕМАТИЧНОГО
МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМІКИ
КВАДРАТИЧНО УТОЧНЕНИХ ЛІНІЙНИХ
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ СИСТЕМ
Стоян Володимир Антонович
Київський національний університет імені Тараса Шевченка, м. Київ,
orcid: 0009 0008 0746 5050
v_a_stoyan@ukr.net
Розглядаються просторово розподілені динамічні системи, лінійна та квад-
ратично нелінійна частини математичних моделей яких побудовані за до-
помогою лінійних диференціальних перетворень функції стану. Ставляться
та розв’язуються задачі прогнозування динаміки системи за наявності по-
чатково-крайових спостережень за станом останньої. Спостереження мо-
жуть бути як неперервно, так і дискретно визначені. Характер спостере-
жень визначається функціонально через лінійні диференціальні оператори
довільного порядку, структури та кількість. Спостережувані характеристи-
ки системи моделюються дискретно та неперервно визначеними моделю-
ючими функціями, чисельні значення та аналітика яких за межами розгля-
дуваної просторово-часової області функціонування досліджуваної систе-
ми знаходяться в результаті побудови середньоквадратичного наближення
до розв’язків лінійних алгебраїчних, інтегральних та функціональних рів-
нянь. Отримані математичні результати досліджуються на точність та од-
нозначність. Розрахункові формули, якими визначається множина до-
пустимих розв’язків розглядуваних задач, досить прості і доступні для
комп’ютерної реалізації. Визначено особливості дослідження динаміки роз-
глядуваного класу систем для випадків, коли початковими та крайовими
зовнішньо-динамічними збуреннями можна знехтувати, а динаміку систе-
ми розглядати в необмежених просторових та часових областях.
Ключові слова: нелінійні динамічні системи, системи з невизначенос-
тями, системи з розподіленими параметрами, просторово розподілені
системи, псевдорозв’язки, некоректні початково-крайові задачі.
Вступ
Проблеми дослідження нелінійних динамічних систем традиційно вважали-
ся [1, 2] складними. Вони ускладнюються ще більше, а то і взагалі стають не-
розв’язними, при вивченні просторово розподілених динамічних систем і особли-
во у разі недоступності останніх для коректного формулювання початково-крайових
задач. Побудувати точний розв’язок таких задач методами аналітичної та обчис-
лювальної математики неможливо.
34 ISSN 2786-6491
Розв’язання проблем динаміки неповно спостережуваних нелінійних просто-
рово розподілених систем започатковано в [3], а узагальнено нетрадиційний під-
хід до побудови наближених за середньоквадратичним критерієм розв’язків почат-
ково-крайових задач для деяких класів таких систем — в [4–7]. Зауважимо, однак,
що бажання отримати позитивний результат за мінімальних обмежень на порядок
нелінійності і загальний вигляд математичної моделі системи ускладнило отрима-
ні там розв’язки розглядуваних задач.
З урахуванням сказаного нижче для одного досить універсального класу
квадратично нелінійних динамічних систем, який є, однак, частинним випад-
ком систем, розглядуваних в [7], будуть сформульовані і розв’язані задачі по-
будови функції стану, яка, задовольняючи диференціальну модель системи, за
середньоквадратичним критерієм узгоджується з дискретно та неперервно ви-
значеними спостереженнями за її початково-крайовим станом. Визначимо
особливості динаміки таких систем для випадків, коли початковими чи крайо-
вими зовнішньо-динамічними збуреннями можна знехтувати. Для кожної з роз-
глядуваних задач зробимо оцінки точності і сформулюємо умови однозначнос-
ті отриманих розв’язків.
Математична суть проблеми
В роботах [4–7] розв’язані задачі математичного моделювання динаміки про-
сторово розподілених систем, диференціальна модель яких лінійна за своєю осно-
вою має адитивно визначену диференціальну нелінійність. Зауважимо, що при
розв’язанні цих задач особливих обмежень на степінь нелінійності не накладалося.
Така широта у визначенні класу систем інколи вимагала деяких обмежень у фор-
мулюванні математичних задач з математичного моделювання їх стану. Зазна-
чимо, що всі практично важливі (для цього класу систем) задачі були сформульо-
вані і успішно розв’язані.
Нижче зупинимося на особливостях постановки та розв’язання початково-кра-
йових задач динаміки просторово розподіленої системи вигляду
(1) (2) (2)
1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),s s sL y s L y s L y s u s + = (1)
в якій 0 0( , ) ( ) [0, ]T ns x t S S R T= = — просторово-часова координата,
( )
( )
i
sjL
( 1, ; 1, 2)j i i= = — лінійні диференціальні оператори, ( )y s — функція стану систе-
ми, ( )u s — розподілені просторово-часові збурення, які цей стан супроводжують.
Дослідження динаміки системи (1), доповненої початково-крайовими спів-
відношеннями
0 0
0 00
( ) ( ) ( ) ( , 1, ),r t rt
L y s Y x x S r R
=
= = (2)
( ) ( ) ( , ) ( [0, ], 1, );x
x x
L y s Y x t t T R
=
= = (3)
0
0 0 0
0 0 0 0( ) ( ) ( , 1, , 1, ),
l
tr t rl l
x x
L y s Y x S l L r R=
=
= = = (4)
( ) ( ) ( [0, ], 1, , 1, ),
l
x l l
s s
L y s Y s T l L R
=
= = = (5)
може бути успішно виконане з використанням методики псевдообернення системи
(1) ( )
1
2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
iN
i
s sj
i j
L y s L y s u s
= =
+ = (6)
запропонованої в [7].
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2024, № 2 35
Зауважимо, що необмеженість у виборі степеня нелінійності N не дозволила
отримати аналітичне представлення функції ( )y s стану системи від неперервно
визначених просторово розподілених динамічних збурень ( )u s без їх дискретизації.
Однак цей недолік може бути подоланий [8] у випадку, коли 2,N = а система (6)
вироджується у систему (1).
Для цього, вводячи до розгляду функції
( )
( ),
k
ju s такі, щоб
( ) ( )
( ) ( ) ( )
k k
sj ju s L y s= ( 1, ; 1, ),j i k N= = (7)
а також покладаючи
( )
1
( ) ( )
N
k
j
k
y s y s
=
= (8)
при ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ,
k k k
j j j
y s G s s u s ds
+
−
= − де
(1)
1 ( ) ( ),u s u s а
( )
( )
k
j
G s s− — функція
Гріна рівняння (6) в необмеженій просторово-часовій області, аналітичну залеж-
ність функції стану ( )y s системи (1) від неперервно визначеного просторово-ча-
сового збурення ( )u s подамо співвідношенням
(2)(1)( ) ( ) ( ),jy s y s y s= + (9)
у якому
(1) (1)(1)
1 1( ) ( ) ( ) ,y s G s s u s ds
+
−
= − (10)
(2) (2)(2) ( ) ( ) ( ) .j jy s G s s u s ds
+
−
= − (11)
Зауважимо, що значення {1, 2}j в (8) та (11) вибирається оптимально з мір-
кувань точності псевдообернення допоміжних [7] диференціальних перетворень.
Особливості розв’язання початково-крайових задач (2)–(5) для системи (1)
з використанням псевдорозв’язку рівняння (1) розглянемо нижче. Зазначимо, що
вибір розв’язку (9)–(11) як базового для розв’язання початково-крайових за-
дач (2)–(5) системи (1) дозволить розв’язати ці задачі менш громіздко і більш нагляд-
но та зробити це навіть при неперервно визначених моделюючих зовнішньо-ди-
намічних збурюючих факторах, тобто сповна повторити постановки задач та ме-
тодики їх розв’язання, які були запропоновані в [3] для лінійно розподілених
динамічних систем.
Дискретний варіант задачі
Зупинимося на особливостях розв’язання сформульованої та розглянутої в [7]
задачі побудови функції ( )y s стану системи (1), яка при заданих 0
rlY 0( 1, ,l L=
01, )r R= та lY
( 1, , 1, )l L R = = середньоквадратично згідно з критерієм
( )
min,
u s
→ (12)
де
0 0
0
0 0 2 2
0
1 1 1 1
( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ,
l
l
R L R L
tr t rl x l
s s
r l lx x
L y s Y L y s Y
=
=
= = = ==
= − + − (13)
36 ISSN 2786-6491
задовольняла співвідношення
0
0 0 0
0 0 0 0( ) ( ) ( , 1, , 1, ),
l
tr r rl l
x x
L y s Y x S l L r R=
=
= = = (14)
( ) ( ) ( [0, ], 1, , 1, ).
l
x l l
s s
L y s Y s T l L R
=
= = = (15)
Як і в [7], розв’язок ( )y s задачі подамо сумою
0( ) ( ) ( ) ( ),y s y s y s y s = + + (16)
в якій тепер
( ) ( ) ( ) ,y s G s s u s ds
+
−
= − (17)
0
0
0 0
1
( ) ( ) ,
M
m m
m
y s G s s u
=
= − (18)
1
( ) ( )
M
m m
m
y s G s s u
=
= − (19)
при
(1) (2)
1( ) str( ( ), ( )),jG s s G s s G s s − = − −
(1) (2)
01( ) col( ( ) ( )) ( ),T
ju s u s u s s S=
0 0 0
0 0 0( ) ( ( , ], 1, ),m m mu u s s S S T m M= = − =
0( ) ( ( \ ) [0, ], 1, ).n
m m mu u s s S R S T m M
= = =
Тут, як і в (9)–(11),
( )
( ) ( 1, , 1, 2)
i
jG s s j i i− = = — функції Гріна рівняння
( ) ( ) ( )i
j sL y s u s = в необмеженій просторово-часовій області,
( )
( )
i
ju s ( 1, ,j i=
1, 2)i = — нелінійно перетворені [5] розподілені зовнішньо-динамічні збурен-
ня ( ).u s
Значення 0 0( 1, )mu m M= та ( 1, )mu m M = невизначеної в областях 0S та
S функції ( )u s знайдемо із співвідношень, отриманих після підстановки (16)–(19)
в (14), (15).
Позначивши
0
0 0
011 0 0 0col ((str ( ( ) ( ) , 1, ), 1, ), 1, ),
l
tr t m
x
A L G s s m M l L r R=
=
= − = = =
0
0
012 0 0col ((str ( ( ) ( ) , 1, ), 1, ), 1, ),
l
tr t m
x
A L G s s m M l L r R
=
=
= − = = =
0
21 0col((str ( ( ) ( ) , 1, ), 1, ), 1, ),
l
x m
s s
A L G s s m M l L R
=
= − = = =
22 col((str ( ( ) ( ) , 1, ), 1, ), 1, ),
l
x m
s s
A L G s s m M l L R
=
= − = = =
0
0 0
00 0 0col(( ( ) ( ) , 1, ), 1, ),
l
trl r t
x x
Y Y L y s l L r R=
=
= − = =
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2024, № 2 37
col(( ( ) ( ) , 1, ), 1, ),
l
l x
s s
Y Y L y s l L r R
=
= − = =
0 0 0col( , 1, ),mu u m M= =
col( , 1, )mu u m M = =
блоки-матриці та блоки-вектори матриці A та векторів ,Y ,u таких, що
11 12 0 0
21 22
, , ,
A A Y u
A Y u
A A Y u
= = =
(20)
розв’язуючі відносно 0 0( 1, )mu m M= та ( 1, )mu m M = рівняння запишемо
у вигляді
.Au Y= (21)
Цим самим проблема знаходження векторів 0u та u значень 0 0( 1, )mu m M=
та
( 1, ),mu m M = якими згідно з (12) моделювалися б початково-крайові спо-
стереження (14) та (15) динаміки нелінійної системи (1), звелася до середньоквад-
ратичного обернення системи лінійних алгебраїчних рівнянь (21). Зауважимо, що
середньоквадратичним оберненням такої ж системи розв’язувалася [3] і задача
математичного моделювання динаміки лінійних систем. Відмінним при цьому
є тільки визначення моделюючих векторів 0 ,u u та зв’язок цих векторів з вве-
деним у (1) розподіленим зовнішньо-динамічним збуренням ( ).u s
Розв’язком u системи (21), таким, що
0
2
arg min ,
M M
u R
u Au Y
+
= − (22)
буде [9] вектор 0T T
1 1
M M
u A P Y A P A R ++ += + − при
T
1 .P AA=
Звідси знаходимо вектори 0u та u , якими згідно з (12) моделюються почат-
ково-крайові зовнішньо-динамічні збурення (14) та (15). При цьому
0 11 21 1 0
( , ) ( ) ,T Tu A A P Y A+= − + (23)
12 22 1( , ) ( )T Tu A A P Y A+
= − + (24)
при 0
T( , ) .T T
=
Підстановка знайдених згідно з (23), (24) векторів
0u , u в (18), (19) дозво-
лить знайти складові 0( )y s та ( )y s функції ( )y s стану системи (1), а з ураху-
ванням, що складова ( )y s згідно з (17) відома, — і повну функцію ( ).y s
Точність, з якою знайдений таким чином розв’язок задачі задовольнятиме
початково-крайові умови (14), (15), буде визначатися величиною
2
1 1
( )
T Tmin min .
y s u
Au Y Y Y Y P P Y+ = − = −
Однозначним ( 0) цей розв’язок буде, коли
Tdet( ) 0.A A
38 ISSN 2786-6491
Випадок дискретно визначених початково-крайових умов
та неперервно визначених моделюючих факторів
Якщо розглянутий вище варіант розв’язання початково-крайової задачі (14), (15)
при 2N = можна отримати [7] з результатів розв’язання задачі (4)–(6), то поста-
новка та розв’язання розглядуваної нижче задачі для системи (1) неможливі. Особ-
ливістю цієї задачі є те, що дискретно визначені початково-крайові зовнішньо-ди-
намічні збурення будуть моделюватися неперервно визначеними (як і для лі-
нійних динамічних систем) моделюючими функціями 0
0 ( ) ( )u s s S та ( )u s
( ).s S
Розглядаючи у цьому випадку сформульовану вище задачу (1), (12), (14), (15)
знаходження стану ( )y s нелінійно визначеної розподіленої просторово-часової
системи (1) в обмеженій просторово-часовій області 0
TS , будемо виходити з пред-
ставлення (16) цієї функції, покладаючи на відміну від (18), (19)
0
0 0( ) ( ) ( ) ,
S
y s G s s u s ds = − (25)
( ) ( ) ( ) .
S
y s G s s u s ds
= − (26)
Тут, як і вище, 0( )u s та ( )u s — нелінійні (аналогічні
( ))u s перетворення
моделюючих функцій 0
0 ( ) ( )u s s S та ( ) ( ).u s s S
Зауважимо, що для побудови функції
( )y s стану розглядуваної системи не
обов’язково виходити на визначення функцій 0( )u s та ( )u s — для цього достат-
ньо знати їхні нелінійні перетворення 0( )u s та ( )u s .
Для знаходження функцій 0( )u s та ( )u s виконаємо підстановку (16) з ура-
хуванням (17) та (25), (26) у систему початково-крайових співвідношень (14), (15).
У результаті, як і при моделюванні динаміки лінійних систем [3], отримаємо лі-
нійне інтегральне рівняння вигляду
( )
( ) ( ) .A s u s ds Y
= (27)
Тут і далі ( ) — інтегрування по області зміни аргументу s моделюючої век-
тор-функції
0
0( ) col( ( ) ( ), ( ) ( ))u s u s s S u s s S= (28)
та матричної функції
0
11 12
0
21 22
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
A s s S A s s S
A s
A s s S A s s S
=
(29)
при
0
0
01 0 0
2
( ) col(str ( ( ) ( ) , 1, ), 1, ),
( ) col(str ( ( ) ( ) , 1, ), 1, ),
l
l
ti r t
x
i x
s s
A s L G s s l L r R
A s L G s s l L r R
=
=
=
= − = =
= − = =
( 0s S при 1i = та s S при 2i = ) та ,Y визначеному в (20).
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2024, № 2 39
Середньоквадратично обертаючи (останнє випливає з критерію (12) роз -
в’язання задачі) систему (27), отримаємо
T( ) ( ) ( ) ( )u s A s P Y A s+
= − + (30)
за довільної інтегрованої в області зміни аргументів вектор-функції
0
0( ) col( ( ) ( ), ( ) ( ))s s s S s s S =
та
11 12T
21 22
( ) ( ) ,
P P
P A s A s ds
P P
= =
0
( ) ( ) .
A
A A s s ds
A
= =
При цьому з урахуванням визначення (29) матричної функції
( )A s
маємо
0
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( , 1,2),T T
ij i j i j
S S
P A s A s ds A s A s ds i j
= + =
0
0 11 0 12( ) ( ) ( ) ( ) ,
S S
A A s s ds A s s ds
= +
0
21 0 22( ) ( ) ( ) ( ) .
S S
A A s s ds A s s ds
= +
З огляду на визначення (28) вектор-функції ( )u s з (30) знаходимо потрібні
для побудови розв’язку (16) нелінійні перетворення 0( )u s та ( )u s моделюючих
функцій 0( )u s та ( ) :u s
0 11 21 1 0( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ),T Tu s A s A s P Y A s+
= − + (31)
12 22 1( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ).T Tu s A s A s P Y A s+
= − + (32)
Згідно з (16)–(19) з використанням (31), (32) нема проблем знайти і функцію
( )y s стану розглядуваної системи. Точність, з якою знайдена таким чином функ-
ція ( )y s задовольнятиме початково-крайові умови (14), (15), як і вище, визнача-
тиметься величиною
22 T T
1 1
( )
min min .
y s u
Au Y Y Y Y P P Y+ = = − = −
Визначення (31), (32) моделюючих функцій 0( )u s та ( ),u s як і знайденого
через них розв’язку ( ),y s будуть однозначними 0( ( ) ( ) 0),s s = якщо
,T
, 1lim det[ ( ) ( )] 0
i j N
i j i j
N
A s A s
=
=
→
за довільних ( 1, )is i N= та ( 1, )js j N= з області визначення аргументу s мат-
ричної функції ( ).A s
40 ISSN 2786-6491
Випадок неперервно визначених початково-крайових умов
Дослідження динаміки системи (1) буде неповним, якщо не буде побудовано
функцію ( )y s стану системи для випадку неперервно спостережуваних початко-
во-крайових збурень.
Як і в [7], ці умови визначимо співвідношеннями
0 0 0
00
( ) ( ) ( ) ( , 1, ),r t rt
L y s Y x x S r R
=
= = (33)
0,
( ) ( ) ( ) ( 1, ).x
s T
L y s Y s R
= = (34)
Для побудови функції ( ),y s яка середньоквадратично задовольняла б умо-
ви (33), (34), як і вище, будемо виходити з представлення ( )y s у вигляді (16)–(19).
Вектори 0u та u значень 0 0( 1, )mu m M= та ( 1, )m ru m M = нелінійно пере-
творених [7] моделюючих функцій 0
0 ( ) ( )u s s S та ( ) ( )u s s S знайдемо
з системи рівнянь, які отримаємо після підстановки (16)–(19) в (33), (34). Ці рів-
няння, як і при розв’язанні задач моделювання лінійних динамічних сис-
тем [3], зводяться до системи лінійних функціональних рівнянь вигляду
( ) ( ),B s u Y s= (35)
де
0col( , ),u u u=
0 0( ) col( ( ) ( ), ( ) ( [0, ])),Y s Y x x S Y s s T=
11 0 12 0
21 22
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( [0, ]) ( ) ( [0, ])
B x x S B x x S
B s
B s s T B s s T
=
при
0 0
0 0
0
( ) col(( ( ) ( ) ( ) ), 1, ),r r t
t
Y x Y x L y s r R
=
= − =
( ) col(( ( ) ( ) ( )), 1, ),xY s Y s L y s R
= − =
0 0
11 0 0
0
( ) col(str ( ( ) ( ) , 1, ), 1, ),r t m
t
B x L G s s m M r R
=
= − = =
0
12 0
0
( ) col(str ( ( ) ( ) , 1, ), 1, ),r t m
t
B x L G s s m M r R
=
= − = =
0
21 0( ) col(str( ( ) ( ), 1, ), 1, ),x mB s L G s s m M R
= − = =
22( ) col(str( ( ) ( ), 1, ), 1, ).x mB s L G s s m M R
= − = =
Зважаючи на те, що вимога (12) по середньоквадратичному виконанню
умов (33), (34) еквівалентна середньоквадратичному критерію розв’язання рів-
няння (35), знайдемо
0
2
( )
( ) ( )arg min .
M M
u R
B s u Y s dsu
+
−= (36)
Зауважимо, що інтегрування тут, як і далі, ведеться по області зміни аргумен-
ту s підінтегральної функції.
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2024, № 2 41
Розв’язком (35), знайденим згідно з (36), буде
Yu P B P P+ += + − (37)
за 0( )M M+ -вимірного вектора та
11 12T
21 22( )
( ) ( ) ,
P P
P B s B s ds
P P
= =
1T
2( )
( ) ( ) ,
Y
Y
Y
B
B B s Y s ds
B
= =
де за визначених вище матричної та векторної функцій ( )B s та ( )Y s
0
1 1 2 2
[0, ]
( ) ( ) ( ) ( ) ,T T
ij i j i j
S T
P B x B x dx B s B s ds
= +
0
1 0 2
[0, ]
( ) ( ) ( ) ( )T T
Yi i i
S T
B B x Y x dx B s Y s ds
= +
для
, 1, 2.i j =
Позначивши
0
11 12 0
12 22
, ,
M
M
r
Q Q R
P
Q Q R
+
= =
із співвідношення (37) знаходимо вектори
0 11 12 0( , )( ) ,Yu Q Q B P= − + (38)
21 22( , )( )Yu Q Q B P = − + (39)
значень 0 0( 1, )mu m M= та ( 1, )mu m M = , через які співвідношеннями (18)
та (19) знаходяться компоненти 0( )y s та ( )y s функції ( )y s стану розглядуваної
системи. Останнє, зважаючи на те, що ( )y s — відома функція, дозволяє знайти
функцію стану ( ),y s а отже, і закінчити розв’язання задачі.
Точність, з якою знайдена таким чином ( )y s задовольнятиме початково-кра-
йові умови (33) та (34), визначатиметься величиною
2
2 2
( )
min ( ( ) ( )) T
Y Y
u
B s u Y s ds Y B P B+ = − = −
при
0
2
0 0
[0, ]
( ) ( ) ( ) ( ) .T T
TS
Y Y x Y x dx Y s Y s ds
= +
Однозначність ( 0) розв’язання задачі буде визначатися умовою det 0.P
Насамкінець зауважимо, що і в цьому випадку алгоритм розв’язання задачі
та розрахункові формули алгоритму повторюють алгоритм та розрахункові фор-
мули, отримані [3] при розв’язанні задач математичного моделювання динаміки
лінійно розподілених просторово-часових систем. Зокрема, матимуть місце і роз-
глянуті там аналоги частинних випадків моделювання динаміки лінійних систем.
42 ISSN 2786-6491
З використанням математичних результатів з розв’язання сформульованих в [3]
задач нижче реферативно наведемо розв’язки задач моделювання динаміки сис-
теми (1) в усталеному часовому режимі та необмеженій просторовій області.
Усталений режим динаміки
Розглянемо особливості побудови функції ( )y s стану динамічної системи (1)
для випадку, коли початковими збуреннями 0 ( )rY x 0( )x S та 0
rlY 0( 1, ,l L=
01, )r R= , які фігурують в початкових умовах (2), (4), можна знехтувати.
У цьому випадку умови (14) та (33), які враховувалися при розв’язанні сфор-
мульованих вище задач, відсутні. У представленні (16) функції ( )y s стану систе-
ми відсутньою буде і складова 0( ).y s Останнє означає, що стан досліджуваної си-
стеми визначатиметься функцією
( ) ( ) ( ),y s y s y s = + (40)
складова ( )y s якої відповідає розподіленому просторово-часовому збуренню
( )u s і описується згідно з (17), а ( )y s залежно від постановки задачі представ-
ляється співвідношенням (19) або (26).
При побудові функції ( )y s стану системи (1), яка функціонує в обмеженій
просторово-часовій області 0S з дискретно (згідно з (15)) спостережуваною дина-
мікою її контуру , складова ( )y s функції (40) може мати як представлення (19),
так і (26). Значення ( 1, )mu m M = моделюючої функції ( ),u s як і сама функ-
ція, згідно з (24), (32) визначатимуться співвідношеннями
22 1 22( ) ,
MTu A P Y A R +
= − + (41)
22 2( ) ( ) ( ) ( ),Tu s A s P Y A s+
= − + (42)
в яких та ( )s — довільні M -вимірні вектор та інтегрована в S функція,
1 22 22 2 22 22, ( ) ( ) ,T T
S
P A A P A s A s ds
= = 22 ( ) ( ) ,
S
A A s s ds
=
а інші позначення співпадають з прийнятими в (24) та (32) відповідно. Зауважимо,
що вектор та функція ( )s у співвідношеннях (41) та (42) будуть відсутні,
якщо 22 22det( , ) 0TA A та
,
22 22 , 1lim det[ ( ) ( )] 0
i j NT
i j i j
N
A s A s
=
=
→
відповідно.
Точність математичного моделювання крайових умов (15) для кожного з
варіантів розв’язання задачі визначатиметься величинами
2 2
( ) 1 1
min ( ( ) ( ) ) ( 1, 2).
l
R L
T T
i s l i i
s sy s l
L y s Y Y Y Y P P Y i
+
== =
= − = − =
Останнє дозволяє побудувати функцію ( )y s стану розглядуваної системи для
цього усталеного випадку динаміки, яка (як було сказано вище) за середньоквад-
ратичним критерієм моделюватиме дискретно визначені крайові збурюючі факто-
ри lY
0( 1, , 1, ).l L R= =
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2024, № 2 43
Для випадку, коли динаміка системи (1), яка проходить в усталеному ре-
жимі, супроводжується збуреннями ( )Y s
( 1, )R = , розподіленими на кон-
турі просторової області 0 ,S складова ( )y s функції стану (40) визнача-
тиметься тільки згідно з (19). При цьому, на відміну від сказаного вище, зна-
чення ( 1, )mu m M = моделюючої функції ( )u s визначатимуться (див. (39))
співвідношенням
21 22( , )( )Yu Q Q B P = − + ,
у якому, як і вище, — довільний M -вимірний вектор, а
22 22( ) ( ) ,T
S
P A s A s ds
=
22
[0, ]
( ) .T
Y
T
B A Y s ds
=
Знайдений згідно з (40) розв’язок задачі з точністю
2 2
( ) 1 [0, ] [0, ]
ε min ( ( ) ( ) ( , )) ( ) ( )
R
T T
t Y Y
y s
T T
L y s Y x t ds Y s Y s ds B P B
+
=
= − = −
задовольнятиме крайові спостереження (34) і може бути однозначним, якщо
det 0.P
Випадок необмеженої просторової області
Наведемо, ґрунтуючись на математичних результатах, отриманих вище,
розв’язок задачі математичного моделювання динаміки системи (1) для випадку,
коли впливом крайових збурюючих факторів lY
та ( )Y s
( 1, ,l L= [0, ],s T
1, )R = на стан ( )y s 0( )Ts S системи можна знехтувати.
Останнє означає, що при дослідженні динаміки розглядуваної системи до
уваги можна не брати і крайові співвідношення (15) та (34). За цих умов від-
сутньою буде і складова ( )y s функції ( )y s стану системи в (16).
Функція ( )y s стану досліджуваної системи у цьому випадку визначатиметься
співвідношенням
0( ) ( ) ( ),y s y s y s= + (43)
складова 0( )y s якого матиме вигляд (18) або (25) за ( ),y s визначеного згідно
з (17).
Для випадку, коли динаміка системи (1) супроводжується дискретно визна-
ченими збурюючими факторами 0
rlY 0 0( 1, , 1, )l L r R= = , для складової
0( )y s
допускається як представлення (18), так і (25). Значення 0mu 0( 1, )m M=
моде-
люючої функції 0( )u s , які фігурують в (18), згідно з (23) визначатимуться спів-
відношенням
0 0 11 1 0 11 0 0col( , 1, ) ( ) ,T
mu m M A P Y A+= = − +
44 ISSN 2786-6491
у якому 0 — довільний 0M -вимірний вектор, матриця 11A та вектор 0Y співпа-
дають з визначеними в (23), а 1 11 11.TP A A= Зауважимо при цьому, що 0 0 при
11 11det 0,TA A а
0 0
0
2 0 0 2
0 0 0 0 1 1 0
( ) 1 1
min ( ( ) ( ) ) .
l
R L
T T
tr t rl
y s r l x x
L y s Y Y Y Y P P Y+=
= = =
= − = −
Значення функції 0( )u s , яка фігурує в (25), отримаємо з (31). При цьому
в рамках прийнятих там позначень та при
0
11 11( ) ( ) ,T
S
P A s A s ds=
0
11 0( ) ( )T
S
A A s s ds =
( 0( )s — довільна інтегрована в 0S функція)
0 11 0 0( ) ( ) ( ) ( ).Tu s A s P Y A s+
= − + (44)
Знайдена згідно з (43) (з урахуванням (44)) функція ( )y s буде такою, що
0 0
0
0 0 2
0 0 0 0 0
( ) 1 1
min ( ( ) ( ) )
l
R L
T T
tr t rl
y s r l x x
L y s Y Y Y Y PP Y+=
= = =
− = − ,
а 0( ) 0s , якщо
,
11 11 , 1lim det[ ( ) ( )] 0.
i j NT
i j i j
N
A s A s
=
=
→
Якщо динаміка розглядуваної системи супроводжується неперервно визначе-
ними початковими збуреннями 0 ( )rY x 0( 1, ),r R= то складова 0( )y s функції (43)
визначатиметься згідно з (18). При цьому компоненти 0 0( 1, )mu m M= вектора
0 ,u яким початковий стан системи моделюється за середньоквадратичним крите-
рієм, будуть визначатися співвідношенням (38) так, що
0 0 0 0col( , 1, ) ( )m Yu m M P B P+= = − + (45)
при довільному 0M -вимірному векторі 0 ,
11 11( ) ( ) ,T
S
P B x B x dx
=
0
11 0( ) ( )T
Y
S
B B x Y x dx=
та 11( ),B x визначеному в (35).
Побудований з урахуванням (45) розв’язок задачі — функція ( )y s — буде
однозначним 0( 0), якщо det 0.P Точність цього розв’язку визначатиметься
величиною
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2024, № 2 45
0 0
2 0 0 2
0 0
0( ) 1
min ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) .
R
T T
i r t r Y Y
ty s S Y
L y s Y x dx Y x Y x dx B P B
+
==
= − = −
Таким чином, для системи (1) і для цього виродженого за крайовими умова-
ми випадку її функціонування згідно з (43) можна побудувати функцію ста-
ну ( ).y s
Висновок
У роботі для одного досить універсального класу квадратично нелінійних
динамічних систем, який є частинним випадком неповно визначених неліній-
них просторово розподілених динамічних систем, досліджених раніше, і має
самостійне застосування в практиці, сформульовано і розв’язано задачі побу-
дови функції стану, яка, будучи розв’язком диференціальної моделі системи,
з початково-крайовими спостереженнями за нею узгоджується за середньо-
квадратичним критерієм. Вихідним при цьому є те, що динаміка системи опи-
сується диференціальним рівнянням, лінійна та нелінійна частини якого
будуються через лінійні диференціальні перетворення функції стану. Розгля-
нуто випадки дискретно та неперервно визначених гранично-початкових спос-
тережень за системою. Особливістю постановок розглядуваних задач є відсут-
ність обмежень на кількість та характер таких спостережень. Для кожної
задачі побудовано досить прості і доступні для практичної реалізації розра-
хункові формули для визначення множини допустимих розв’язків. Зроблено
оцінки точності та сформульовано умови однозначності отриманих множин.
Визначено особливості динаміки розглядуваного класу систем для випадків,
коли початковими та крайовими зовнішньо-динамічними збуреннями можна
знехтувати.
V. Stoyan
ON MATHEMATICAL MODELING PECULIARITIES
OF ROOT SQUARE SPECIFIED LINEAR
DIFFERENTIAL SYSTEMS
Volodymyr Stoyan
Taras Shevchenko Kyiv National University,
v_a_stoyan@ukr.net
Spatially distributed dynamical systems are considered, linear and quadrati-
cally nonlinear parts of mathematical models, which are constructed with
the help of linear differential transformations of a state function. Problems
of forecasting the system’s dynamics are set and solved if initial-boundary
observations of the latter state are available. Observations can be either con-
tinuously or discretely defined. The nature of observations is determined
functionally through linear differential operators of arbitrary order, structure
and quantity. Observed system’s characteristics are modeled discretely and
continuously defined by modeling functions, numerical values and analytics
of which out the boundaries of the considered spatial-temporal domain of
the researching system functioning are found in the result of constructing a
root-mean-square approximation to the solutions of linear algebraic, integral
and functional equations. The obtained mathematical results are researched
46 ISSN 2786-6491
for accuracy and unambiguousness. Calculation formulas, which determine
the set of admissible solutions of the considered problems are quite simple
and accessible for computer implementation. Defined researching peculiari-
ties of the considered class systems for the cases when the initial and
boundary external-dynamical perturbations can be neglected and system dy-
namics can be considered in unlimited spatial and temporal domains.
Keywords: nonlinear dynamical systems, systems with uncertainties, systems
with distributed parameters, spatially distributed systems, pseudosolutions, in-
correct initial boundary problems.
ПОСИЛАННЯ
1. Сергиенко И.В., Скопецкий В.В., Дейнека В.С. Математическое моделирование и исследо-
вание процессов в неоднородных средах. Киев : Наук. думка, 1991. 432 с.
2. Булавацький В.М., Кривонос Ю.Г., Скопецький В.В. Некласичні математичні моделі про-
цесів тепло- та масопереносу. Київ : Наук. думка, 2005. 282 с.
3. Стоян В.А. Математичне моделювання лінійних, квазілінійних і нелінійних динамічних
систем. Київ : ВПЦ «Київський університет», 2011. 320 с.
4. Стоян В.А. Математичне моделювання квадратично нелінійних просторово розподілених
систем. І. Випадок дискретно визначених початково-крайових зовнішньо-динамічних збу-
рень. Кібернетика та системний аналіз. 2021. № 5. С. 84–97.
DOI: https://doi.org/10.1007/
s10559-021-00399-x
5. Стоян В.А. Математичне моделювання квадратично нелінійних просторово розподілених
систем. ІІ. Випадок неперервно визначених початково-крайових зовнішньо-динамічних
збурень. Кібернетика та системний аналіз. 2021. № 6. С. 72–83. DOI: https://doi.org/
10.1007/s10559-021-00417-y
6. Стоян В.А Математичне моделювання стану динамічних мультиплікативно нелінійних си-
стем. Кібернетика та системний аналіз. 2022. № 4. С. 117–128. DOI: https://doi.org/10.
1007/s10559-022-00493-8
7. Стоян В.А. Математичне моделювання просторово розподілених систем, поліноміально за-
лежних від лінійних диференціальних перетворень функції стану. Кібернетика та систе-
мний аналіз. 2023. № 2. С. 136–145. DOI: https://doi.org/10.1007/s10559-023-00563-5
8. Стоян В.А. Псевдообращение математических моделей распределенных дифференциаль-
ных систем с аддитивно определенной нелинейностью. Кибернетика и системный анализ.
2021. № 1. С. 77−93. DOI: https://doi.org/10.1007/s10559-021-00330-4
9. Кириченко Н.Ф., Стоян В.А. Аналитическое представление матричных и интегральных ли-
нейных преобразований. Кибернетика и системный анализ. 1998. № 3. С. 90–104.
Отримано 16.02.2024
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-211147 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-15T06:55:37Z |
| publishDate | 2024 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Стоян, В.А. 2025-12-24T21:21:58Z 2024 Про особливості математичного моделювання динаміки квадратично уточнених лінійних диференціальних систем / В.А. Стоян // Проблеми керування та інформатики. — 2024. — № 2. — С. 33–46. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/211147 519.6 10.34229/1028-0979-2024-2-3 Розглядаються просторово розподілені динамічні системи, лінійна та квадратично нелінійна частини математичних моделей яких побудовані за допомогою лінійних диференціальних перетворень функції стану. Ставляться та розв’язуються задачі прогнозування динаміки системи за наявності початково-крайових спостережень за станом останньої. Спостереження можуть бути як неперервно, так і дискретно визначені. Характер спостережень визначається функціонально через лінійні диференціальні оператори довільного порядку, структури та кількості. The paper considers spatially distributed dynamic systems, whose linear and quadratically nonlinear parts of mathematical models are constructed using linear differential transformations of the state function. Problems of forecasting the system's dynamics are formulated and solved under the availability of initial-boundary observations of its state. Observations can be both continuous and discrete. The nature of observations is functionally defined through linear differential operators of arbitrary order, structure, and quantity. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблеми керування та інформатики Керування системами з розподіленими параметрами, математичне моделювання Про особливості математичного моделювання динаміки квадратично уточнених лінійних диференціальних систем On Mathematical Modeling Peculiarities of Root Square Specified Linear Differential Systems Article published earlier |
| spellingShingle | Про особливості математичного моделювання динаміки квадратично уточнених лінійних диференціальних систем Стоян, В.А. Керування системами з розподіленими параметрами, математичне моделювання |
| title | Про особливості математичного моделювання динаміки квадратично уточнених лінійних диференціальних систем |
| title_alt | On Mathematical Modeling Peculiarities of Root Square Specified Linear Differential Systems |
| title_full | Про особливості математичного моделювання динаміки квадратично уточнених лінійних диференціальних систем |
| title_fullStr | Про особливості математичного моделювання динаміки квадратично уточнених лінійних диференціальних систем |
| title_full_unstemmed | Про особливості математичного моделювання динаміки квадратично уточнених лінійних диференціальних систем |
| title_short | Про особливості математичного моделювання динаміки квадратично уточнених лінійних диференціальних систем |
| title_sort | про особливості математичного моделювання динаміки квадратично уточнених лінійних диференціальних систем |
| topic | Керування системами з розподіленими параметрами, математичне моделювання |
| topic_facet | Керування системами з розподіленими параметрами, математичне моделювання |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/211147 |
| work_keys_str_mv | AT stoânva proosoblivostímatematičnogomodelûvannâdinamíkikvadratičnoutočnenihlíníinihdiferencíalʹnihsistem AT stoânva onmathematicalmodelingpeculiaritiesofrootsquarespecifiedlineardifferentialsystems |