Про повну конфліктну керованість в ігрових задачах динаміки
Розглянуто задачу зближення конфліктно-керованої системи із заданою циліндричною термінальною множиною з будь-яких початкових положень на основі позиційної інформації. Використано правило екстремального прицілювання М.М. Красовського в інтерпретації Б.М. Пшеничного. На основі техніки багатозначних в...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблеми керування та інформатики |
|---|---|
| Дата: | 2024 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2024
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/211149 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про повну конфліктну керованість в ігрових задачах динаміки / К.А. Чикрій, О.А. Чикрій // Проблеми керування та інформатики. — 2024. — № 2. — С. 61–70. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859594715422261248 |
|---|---|
| author | Чикрій, К.А. Чикрій, О.А. |
| author_facet | Чикрій, К.А. Чикрій, О.А. |
| citation_txt | Про повну конфліктну керованість в ігрових задачах динаміки / К.А. Чикрій, О.А. Чикрій // Проблеми керування та інформатики. — 2024. — № 2. — С. 61–70. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблеми керування та інформатики |
| description | Розглянуто задачу зближення конфліктно-керованої системи із заданою циліндричною термінальною множиною з будь-яких початкових положень на основі позиційної інформації. Використано правило екстремального прицілювання М.М. Красовського в інтерпретації Б.М. Пшеничного. На основі техніки багатозначних відображень та опуклого аналізу отримано достатні умови зближення у регуляризованому випадку (за Красовським) і на їхній основі — загальні умови повної конфліктної керованості.
We explore the problem of approaching given cylindrical terminal set by the conflict-controlled system starting from arbitrary initial states, on the basis of positional information. As the main tool for investigation stands the extreme targeting rule in the Pshenichnyi treatment. Using the tech-nique of set-valued mappings and convex analysis we deduce sufficient conditions for approach in the regularized (by Krasovskii) case, and on their basis, general conditions for the complete conflict controllability.
|
| first_indexed | 2026-03-14T00:21:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
© К.А. ЧИКРІЙ, О.А. ЧИКРІЙ, 2024
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2024, № 2 61
КОНФЛІКТНО-КЕРОВАНІ ПРОЦЕСИ
ТА МЕТОДИ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ
УДК 517.977
К.А. Чикрій, О.А. Чикрій
ПРО ПОВНУ КОНФЛІКТНУ КЕРОВАНІСТЬ
В ІГРОВИХ ЗАДАЧАХ ДИНАМІКИ
Чикрій Кирило Аркадійович
Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, м. Київ,
orcid: 0000-0001-9378-1122
c.kirill@gmail.com
Чикрій Олексій Аркадійович
Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, м. Київ,
orcid: 0000-0002-8234-6499
alarcad@gmail.com
Розглянуто задачу зближення конфліктно-керованої системи із заданою
циліндричною термінальною множиною з будь-яких початкових поло-
жень на основі позиційної інформації. Вона є узагальненням задачі Кал-
мана та відповідного критерію керованості за відсутності обмежень на
керування. Як базове використано правило екстремального прицілю-
вання М.М. Красовського в інтерпретації Б.М. Пшеничного. Із застосу-
ванням техніки багатозначних відображень та опуклого аналізу отри-
мано достатні умови зближення у регуляризованому (за Красовським)
випадку і на їхній основі — загальні умови повної конфліктної керова-
ності. У регуляризованому випадку замість конфліктно-керованої сис-
теми диференціальних рівнянь розглядаються диференціальні вклю-
чення, розв’язком яких є абсолютно неперервні функції. Цей факт є на-
слідком відсутності неперервності керування за фазовою змінною. За
певних умов розв’язок існує, але не обов’язково єдиний. Отримані ре-
зультати застосовано при проведенні аналізу узагальненого контроль-
ного прикладу Л.С. Понтрягіна. Водночас використано техніку теорії
лишків. Розглянуто два частинні приклади: контрольний приклад
Л.С. Понтрягіна та задачу «Хлопчик і крокодил». У кожному випадку
отримано достатні умови повної конфліктної керованості при поточній
позиційній інформації про фазовий стан рухомих об’єктів.
Ключові слова: конфліктно-керований процес, багатозначне відображен-
ня, опорна функція, контрольний приклад Понтрягіна.
62 ISSN 2786-6491
Вступ
У статті розглянуто класичну проблему керованості [1] для динамічних про-
цесів, що відбуваються в умовах конфлікту та невизначеності. Водночас викорис-
тано інформацію про фазовий стан об’єкта. Слід зауважити, що на основі ідей та
схеми першого прямого методу Л.С. Понтрягіна [2] достатні умови повної кон-
фліктної керованості в класі контркерувань, що призначаються певними стробо-
скопічними стратегіями О. Хайека, отримано в роботі [3]. У дослідженнях [4, 5]
метод розв’язуючих функцій [6] застосовано для вивчення проблеми повної кон-
фліктної керованості в класі позиційних стратегій на основі правила екстремаль-
ного прицілювання М.М. Красовського [7] у формі Б.М. Пшеничного, що
пов’язано з часом першого поглинання. Результати проілюстровано на узагальне-
ному контрольному прикладі Л.С. Понтрягіна [8] та його частинних прикладах.
Розглянемо конфліктно-керований процес
( , ), , ,nz Az u v z R u U v V= − , (1)
де A — квадратна матриця порядку ;n nR — евклідовий простір; z — вектор
стану процесу; ,u v — параметри керування переслідувача і втікача, які вибира-
ються з компактів U та ;V ( , )u v — вектор-функція, неперервна за сукупністю
змінних.
Термінальна множина циліндрична:
*
0M M M= + , (2)
де 0M — лінійний підпростір із ,nR M — опуклий компакт з підпростору
0L M ⊥= . Задача полягає у визначенні умов для параметрів процесу (1), (2), за
яких з будь-яких початкових станів 0z траєкторії системи (1) можуть бути виве-
дені на множину (2) за скінченний час за допомогою позиційних керувань перес-
лідувача ( , , )U t z v при будь-яких вимірних керуваннях утікача ( ),v t
( ) , 0.v t V t Це аналог класичної проблеми про повну керованість динамічної
системи [1], ускладнений наявністю конфлікту.
Позначимо ортопроєктор, що діє з Rn у ,L
{ ( ) : ( ) , 0, ( ) },V v v t V t v t вимірна =
де Ate — фундаментальна матриця однорідної системи (1).
Розглянемо багатозначне відображення ( ),W t :[0, ) 2 :LW →
( )
( ) 0
( ) [ ( , ( )) ]
V
t
A t
v
W t M e U v d−
= + .
Інтеграл від багатозначного відображення, інтеграл Аумана, визначається
аналогічно [2].
Умова 1. Відображення ( )W t для 0.t
Зауваження 1. Якщо ( , )u v u v = − , то
0 0
( ) ,
t t
A AW t M e Ud e Vd
= + −
де
− — операція геометричного віднімання множин [2].
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2024, № 2 63
Відображення ( )W t з огляду на припущення є опуклозначним і напівне-
перервним зверху [9].
Введемо час першого поглинання [7]: ( ) min{ 0 : ( )},AT z t e z W t= врахо-
вуючи, що бар’єрний конус множини *M дорівнює L [9].
Опорна функція відображення ( )W t має вигляд
0
( ( ); ) co ( ; ) min max( , ( , )) , ,
t
A
v V u U
C W t p C M p p e u v d p L
= +
де co — опуклення функції [9].
Покладемо
1
( , ) min[ ( ( ); ) ( , )]
p L
At
p
t z C W t p p e z
=
= − .
Очевидно, (0, ) 0z тоді й тільки тоді, коли .z M У даному разі
1 0
( , ) min ( ; ) min max( , ( , )) ( , )
p L
t
A At
p v V u U
t z C M p p e u v d p e z
=
= + −
, (3)
оскільки мінімуми функції та її опуклення завжди співпадають. Водночас
( ) min{ 0: ( , ) 0}.T z t t z= = (4)
Функції ( , ),t z ( )T z неперервні при 0, .nt z R Покладемо
1
min ( ; ),
p L
M
p
C C M p
=
=
1
( ) min min max( , ( , ))
p L
At
p v V u U
t p e u v
=
= , (5)
10
( ) min min max( , ( , )) .
p L
t
A
p v V u U
t p e u v d
=
=
Функції ( ),t ( )t неперервні по ,t 0t [9].
Лема 1. Нехай для конфліктно-керованого процесу (1), (2) виконана умова 1.
Тоді справедлива нерівність
0
( , ) ( ) ( )
t
At At
M Mt z C t e z C d e z + − + − , (6)
0, .nt z R
Доведення випливає з формул (3), (5) і властивостей операції взяття мінімуму.
Наслідок 1. Нехай для конфліктно-керованого процесу (1), (2) виконана
умова 1, норма матриці Ate рівномірно обмежена постійною K та lim ( ) 0.
t
t
→
Тоді ( )T z + для будь-якого .nz R
Наслідок 2. Нехай для конфліктно-керованого процесу (1), (2) виконана
умова 1, ( ) 0t для 0,t 0MC та lim 0.At
t
e z
→
= Тоді ( )T z + для
будь-якого .nz R
64 ISSN 2786-6491
Наслідок 3. Нехай для конфліктно-керованого процесу (1), (2) виконана
умова 1 та lim ( ) ./ At
t
t e
→
= + Тоді ( )T z + для будь-якого .nz R
Доведення наслідків 1–3 випливає з нерівностей (6), співвідношення (4)
і припущень, що накладені на параметри процесу (1), (2).
Розглянемо маргінальні багатозначні відображення
( , ) { , 1: ( ( ); ) ( , ) ( , )},AtP t z p L p C W t p p e z t z= = − =
( , , ) { : max( , ( , )) ( , ( , ))}.At At
u U
U t p v u U p e u v p e u v
= =
Вони напівнеперервні зверху на множинах [0, ) nR та [0, ) nR V від-
повідно [9].
Зауваження 2. Якщо ( , )u v u v = − + , то замість відображення ( , , )U t p v
необхідно розглядати відображення
( , ) { : max( , ) ( , )}.At At
u U
U t p u U p e u p e u
= =
Умова 2. Множини значень відображень ( , )P t z складаються з одиничних
елементів при всіх 0, \ .nt z R M
Лема 2. Нехай для конфліктно-керованого процесу (1), (2) виконані умови 1
та 2 і 0( ) .T z + Тоді траєкторія системи (1) може бути виведена на множи-
ну M з початкового стану 0z не пізніше, ніж за час 0( ).T z
Доведення. Покладемо ( , ) ( , )p t z P t z= з огляду на умову 2. Тоді ( , )p t z —
неперервна функція. Відображення ( , , ) ( , ( , ), )U t z v U t p t z v= напівнеперер-
вне зверху. Застосуємо стратегію переслідувача у вигляді відображення
0( ( ) , , )U T z t z v− .
Розглянемо диференціальне включення
0( ( ( ) , , ( )),z Az U T z t z v t − − ( )v t ), 0(0) ,z z= 0,t (7)
де ( )v t — довільна вимірна функція зі значеннями з .V
Згідно з [10, 11] у деякому околі точки 0z існує розв’язок включення (7) ( ),z t
який не є єдиним.
Покажемо, що функція ( )T z спадає вздовж траєкторії ( )z t не повільніше,
ніж зростає істинний час, тобто виконується нерівність
0( ) ( ( )), [0, ],T z t T z t t t− (8)
де t визначається околом точки 0 .z Для цього обчислимо повну похідну за
часом від функції 0( ( ) , ( )) :T z t z t −
0 0 0( ( ) , ( )) grad ( ( ) , ( )) ( ) ( ( ) , ( )).z
d d
T z t z t T z t z t z t T z t z t
dt dt
− = − − −
З урахуванням умови 2 з формули (3) отримаємо
grad ( , ) ( , ),A t
z t z e p t z = −
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2024, № 2 65
( , ) min max( ( , ), ( , )).A t
v V u U
d
t z e p t z Az u v
dt
= − +
Тоді
0( ( ) )
0 0( ( ) , ( )) ( ( ( ) , ( )), ( ) ( )
A T z td
T z t z t e p T z t z t Az t t
dt
−
− = − − − −
0( ( ) )
0min max( ( ( ) , ( )), ( ) ( , )) 0
A T z t
v V u U
e p T z t z t Az t u v
−
− − − +
для будь-якого 0( ) ( ( ( ) , ( ), ( )), ( ))t U T z t z t v t v t − . Тут використано закон вибору
керування переслідувачем. Отже, вздовж траєкторій включення (7) функція
0( ( ) , )T z t z − не спадає. Водночас, оскільки 0 0( ( ), ) 0,T z z = 0( ( ) , ( )) 0T z t z t −
для [0, ]t t , звідси випливає нерівність (8).
Таким чином, на відрізку [0, ]t побудовано позиційний закон керування
0( ( ) , , ),U T z t z v− якому відповідає пучок траєкторій включення (7). Однак на кож-
ній з траєкторій справедлива нерівність (8). З точки ( )z t процес побудови закону
керування і відповідних пучків траєкторій можна подовжити в новому околі точ-
ки ( )z t зі збереженням нерівності типу (8) тощо. Запропонована процедура доз-
воляє зробити висновок про те, що ( ( ))T z t перетвориться на нуль не пізніше мо-
менту 0( ).T z
Теорема. Нехай для конфліктно-керованого процесу (1), (2) виконані умови 1
та 2, а також пропозиції хоча б одного з наслідків 1–3. Тоді з будь-якого почат-
кового стану 0z траєкторії системи (1) можуть бути виведені на термінальну
множину (2) за скінченний час.
Доведення випливає з леми 2 та наслідків 1–3.
Розглянемо узагальнений контрольний приклад Понтрягіна [2, 8]. Нехай рух
переслідувача описано рівнянням
( ) ( 1)
1 0... , , , 2, 1,k k s
kx a x a x u x R u s k−
−+ + + = (9)
де 0 1 1, , ..., ka a a − — довільні дійсні числа, а динаміка втікача підпорядковується
закону
( ) ( 1)
1 0... , , , 1m m s
my b y b y v y R v m−
−+ + + = , (10)
де 0 1 1, , ..., mb b b − — також дійсні числа.
Термінальна множина задається співвідношенням .x y− Приведемо
рівняння вищих порядків (9), (10) до систем рівнянь першого порядку. Для
цього покладемо
1 2 1 1, , ..., ,k kx x x x x x −= = =
1 2 1 1, , ..., .m my y y y y y −= = =
Позначимо
T
1 2( , , ..., ) ,kx x x x=
T
1 2( , , ..., ) ,my y y y=
T(0, 0, ..., 0, ) ,u u=
T(0, 0, ..., 0, ) ,v v=
де 0 — s -мірний нульовий вектор. Запишемо рівняння (9) та (10) у вигляді
66 ISSN 2786-6491
1 ,x A x u= + 0(0) ,x x=
1 ,y B y v= + 0(0) .y y=
(11)
Тут у формулах (11)
1
0 1 2 1
0 0 ... 0
0 0 ... 0
... ... ... ... ...
0 0 ... 0
.... k k
E
E
A
E
a E a E a E a E− −
=
− − − −
;
1
0 1 2 1
0 0 ... 0
0 0 ... 0
.... ... ... ... ...
0 0 ... 0
.... m m
E
E
B
E
b E b E b E b E− −
=
− − − −
,
причому є представлення 1 1 ,A A E= 1 1 ,B B E= де
1
0 1 2 1
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
... ... ... ... ...
0 0 ... 0 1
.... k k
A
a a a a− −
=
− − − −
;
1
0 1 2 1
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
.... ... ... ... ...
0 0 ... 0 1
.... m m
B
b b b b− −
=
− − − −
,
а символ означає кронекерівський добуток матриць [12]. Поклавши далі
1T
1
0
( , ) ,
0
A
z x y A
B
= =
, отримаємо конфліктно-керований процес стандартно-
го вигляду. Водночас
0 { : }M z x y= = , { : ( , 0, ..., 0, , 0, ..., 0), },sL z z R= = −
1
1/ 2 0 ... 0 1/ 2 0 ... 0
... ... ... ... ... ... ... ...
1 1/ 2 0 ... 0 1/ 2 0 ... 0
... ... ... ... ... ... ... ...
0 ... ... ... ... ... ... 0
k k m
E E
k E E
k m
+ +
−
=
+ −
+
,
де E — одинична матриця порядку ,s
T T{(0, ..., 0, , 0, ..., 0) : }, {(0, .... , 0, ) : }.
k m
U u u V v v
+
= =
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2024, № 2 67
Многочлени 1
1 0( ) ...k k
kp a a−
− = + + + та 1
1 0( ) ...m m
mq b b−
− = + + +
будемо називати характеристичними многочленами переслідувача і втікача,
а корені алгебраїчних рівнянь ( ) 0,p = ( ) 0q = — їхніми характеристичними
числами відповідно [8].
Очевидно, матриця 1A супроводжуюча для характеристичного многочлена пере-
слідувача ( ),p а матриця 1B — для характеристичного многочлена втікача ( ).q
Введемо потенціали гравців [8]:
1
( ) res
( )j
ts
j
e
f t
p
==
=
,
1
( ) res ,
( )j
tr
j
e
g t
q
==
=
де 1, ..., s та 1, ..., r — різні характеристичні числа переслідувача і втікача,
а символ res означає лишки функції [13].
Відповідно до теореми про повну суму лишків [13] отримаємо
( ) res
( )
te
f t
p
=
= −
, ( ) res
( )
te
g t
q
=
= −
.
Аналогічно [8] отримаємо ( ) ,Ate U f t S = ( ) ,Ate V g t S = .M S=
Отже,
0 0
( ) ( ) ( )
t t
W t S f d S g d S
= + − =
0 0
( ) ( ) .
t t
f d g d S
+ −
(12)
Таким чином, ( )W t для всіх 0t , якщо
0 0
( ) ( ) 0.
t t
f d g d + −
Позначимо
________
( )
0 (0), 0, 1 ,i ix x i k= = −
________
( )
0 (0), 0, 1,i iy y i m= = − і введемо
матриці початкових станів
0 1 1
0 0 0 0[ ... ],kX x x x −=
0 1 1
0 0 0 0[ ... ].mY y y y −=
Тоді [8] 0 0 2 0 2( ) ( )Ate z X A f t Y B g t = − , де
1 2 1
1 2
2
1 ...
0 1 ...
... ... ... ... ...
0 0 0 ... 1
k k
k
a a a
a a
A
− −
−
=
;
1 2 1
1 2
2
1 ...
0 1 ...
... ... ... ... ...
0 0 0 ... 1
m m
m
b b b
b b
B
− −
−
=
;
( 1) ( 2) T( ) ( ( ), ( ), ..., ( )) ;k kf t f t f t f t− −= ( 1) ( 2) T( ) ( ( ), ( ), ..., ( )) .m mg t g t g t g t− −=
Отже,
0 0
0
( ) min{ 0 : [ ( ) ( ) ] }.
t
AtT z t e z f g d= = − +
68 ISSN 2786-6491
З (12) випливає, що
0
( ( ); ) [ ( ) ( ) ] .
t
C W t p f g d p
= − +
Тому
( , )
At
At
e z
P t z
e z
=
при 0Ate z
і виконано умову 2.
Дослідимо питання про повну конфліктну керованість. Очевидно, що ,MC =
( ) ( ) ( ) ,t f g = −
0
( ) ( )
t
t t d = і для отримання висновків можуть бути за-
стосовані наслідки 1–3.
Розглянемо два частинні приклади [14–19].
1. Контрольний приклад Понтрягіна: 0 1 0 12, 0, 0, 2, 0, 0.k a a m b b= = = =
Тоді характеристичні многочлени гравців мають вигляд 2
1( ) ,p a = + ( )q =
2
1 ,b= + а характеристичні числа — 1 2 10, ,a = = − 1 0, = 2 1.b = − Відпо-
відно, потенціали будуть такими:
1
1
1
( ) ,
a t
e
f t
a
−
−
=
1
1
1
( ) ,
b t
e
g t
b
−
−
=
1 1
1 1
1 1
1 1
( ) ( ) .//
a t b t
e e
t a t b
a b
− −
− −
= − −
Тоді ( )W t для 0,t якщо ( ) 0t + для 0.t Час переслідування
є коренем рівняння
1 1
1 2 1 2
0 0 0 0
1 1
1 1
( ) .
a t b t
e e
x x y y t
a b
− − − −
+ − + = +
З огляду на наслідок 3 при 1 1/ / 0a b − цей час скінченний за будь-яких
початкових станів гравців.
2. Хлопчик і крокодил: 1 0 02, 0, 1, 0.k a a m b= = = = = Тоді
2( ) ,p =
( ) ,q = 1 10, 0. = = Відповідно, ( ) ,f t t= ( ) 1,g t =
2( ) 1/ 2 .t t t = − Водно-
час ( )W t для 0,t якщо ( ) 0t + для 0t або
2 / 2 . Час пересліду-
вання є коренем рівняння
1 2 1 2
0 0 0 1/ 2x x t y t t+ − = − +
і з огляду на наслідок 3 скінченний при будь-яких
1 2 1
0 0 0, , .x x y
Висновок
У статті визначено достатні умови повної конфліктної керованості кваз і-
лінійних систем при заданій циліндричній термінальній множині. Водночас
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2024, № 2 69
використано правило екстремального прицілювання в регуляризованому ви-
падку в формі, що запропонована Б.М. Пшеничним. Згадана методика перед-
бачає використання позиційної інформації про стан об’єкта. Ефективність
отриманих результатів перевірена на узагальненому контрольному прикладі
Л.С. Понтрягіна та двох його частинних прикладах. У кожному випадку от-
римано співвідношення, що забезпечують повну конфліктну керованість.
K. Chikrii, O. Chikrii
ON COMPLETE CONFLICT CONTROLLABILITY
IN GAME DYNAMIC PROBLEMS
Kirill Chikrii
V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of NAS of Ukraine, Kyiv,
c.kirill@gmail.com
Olexij Chikrii
V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of NAS of Ukraine, Kyiv,
alarcad@gmail.com
We explore the problem of approaching given cylindrical terminal set by
the conflict-controlled system starting from arbitrary initial states, on the
basis of positional information. As the main tool for investigation stands
the extreme targeting rule in the Pshenichnyi treatment. Using the tech-
nique of set-valued mappings and convex analysis we deduce sufficient
conditions for approach in the regularized (by Krasovskii) case, and on
their basis, general conditions for the complete conflict controllability. In
the regularized case, instead of the conflict-controlled system, we consider
the differential inclusions, which solutions are absolutely continuous func-
tions. The latter, generally speaking is a consequence of the control conti-
nuity in state variable. Under certain conditions, the solution, not always
unique, exists. The obtained results are used to analyze the generalized
Pontryagin’s test example. In so doing, the technique of residue theory is
used. Two particular cases are considered, namely, Pontryagin’s test exam-
ple and «The boy and crocodile problem». In the both cases, we obtain suf-
ficient conditions or complete conflict controllability under current posi-
tional information on the moving objects phase states.
Keywords: conflict-controlled process, set-valued mapping, support function,
Pontryagin’s test example.
ПОСИЛАННЯ
1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М. : Наука, 1979.
430 с.
2. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. М. : Наука, 1988. Т. 2. 576 с.
3. Керимов А.К. К задаче преследования для одного класса дифференциальных игр. Изв. АН
СССР. Техн. кибернетика. 1976. № 2. С. 8–12.
4. Чикрий А.А., Белоусов А.А. Проблема управляемости для конфликтно-управляемых про-
цессов. Докл. АН СССР. 1990. Т. 321. № 6. С. 1330–1335.
70 ISSN 2786-6491
5. Белоусов А.А, Чикрий А.А. Полная конфликтная управляемость квазилинейных процессов.
Прикл. математика и механика. 1990. № 6. С. 763–771.
6. Чикрий А.А. Дифференциальные игры с несколькими преследователями. Тр. Между-
нар. мат. центра им. С. Банана. Мат. теория упр. (Варшава) . 1985. Т. 14. С. 81–107.
7. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М. : Наука, 1970. 420 с.
8. Патланжоглу О.М., Чикрий А.А. Обобщенный контрольный пример Л.С. Понтрягина.
Автоматика. 1991. № 6. С. 38–47.
9. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М. : Мир, 1988. 512 с.
10. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М. : Наука,
1985. 224 с.
11. Пшеничный Б.Н. Линейные диффенциальные игры. Автоматика и телемеханика. 1968.
№ 1. С. 65–78.
12. Ланкастер П. Теория матриц. М. : Наука, 1982. 272 с.
13. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М. :
Наука, 1965. 716 с.
14. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М. : Наука,
1974. 455 с.
15. Пшеничный Б.Н., Остапенко В.В. Дифференциальные игры. Киев : Наук. думка, 1992.
264 с.
16. Chikrii A.A. Conflict controlled processes. Dordrecht, Boston, London : Springer Science and
Business Media, 2013. 424 p.
17. Chikrii A.A., Rappoport J.S., Chikrii K.A. Multivalued mappings and their selectors in the
theory of conflict-controlled processes. Cybernetics and Systems Analysis. 2007. N 5.
P. 719–730.
18. Krivonos Y.G., Matichin I.I., Chikrii A.A. Dynamic games with discontinuous trajectories. Kyiv :
Naukova dumka, 2005. 220 p.
19. Albus J., Meystel A., Chikrii A.A., Belousov A.A., Kozlov A.I. Analytical method for solution of
the game problem of soft landing for moving objects. Cybernetics and Systems Analysis. 2001.
N 1. P. 75–91.
Отримано 25.01.2024
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-211149 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-14T00:21:58Z |
| publishDate | 2024 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Чикрій, К.А. Чикрій, О.А. 2025-12-24T21:31:46Z 2024 Про повну конфліктну керованість в ігрових задачах динаміки / К.А. Чикрій, О.А. Чикрій // Проблеми керування та інформатики. — 2024. — № 2. — С. 61–70. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/211149 517.977 10.34229/1028-0979-2024-2-5 Розглянуто задачу зближення конфліктно-керованої системи із заданою циліндричною термінальною множиною з будь-яких початкових положень на основі позиційної інформації. Використано правило екстремального прицілювання М.М. Красовського в інтерпретації Б.М. Пшеничного. На основі техніки багатозначних відображень та опуклого аналізу отримано достатні умови зближення у регуляризованому випадку (за Красовським) і на їхній основі — загальні умови повної конфліктної керованості. We explore the problem of approaching given cylindrical terminal set by the conflict-controlled system starting from arbitrary initial states, on the basis of positional information. As the main tool for investigation stands the extreme targeting rule in the Pshenichnyi treatment. Using the tech-nique of set-valued mappings and convex analysis we deduce sufficient conditions for approach in the regularized (by Krasovskii) case, and on their basis, general conditions for the complete conflict controllability. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблеми керування та інформатики Конфліктно-керовані процеси та методи прийняття рішень Про повну конфліктну керованість в ігрових задачах динаміки On Complete Conflict Controllability in Game Dynamic Problems Article published earlier |
| spellingShingle | Про повну конфліктну керованість в ігрових задачах динаміки Чикрій, К.А. Чикрій, О.А. Конфліктно-керовані процеси та методи прийняття рішень |
| title | Про повну конфліктну керованість в ігрових задачах динаміки |
| title_alt | On Complete Conflict Controllability in Game Dynamic Problems |
| title_full | Про повну конфліктну керованість в ігрових задачах динаміки |
| title_fullStr | Про повну конфліктну керованість в ігрових задачах динаміки |
| title_full_unstemmed | Про повну конфліктну керованість в ігрових задачах динаміки |
| title_short | Про повну конфліктну керованість в ігрових задачах динаміки |
| title_sort | про повну конфліктну керованість в ігрових задачах динаміки |
| topic | Конфліктно-керовані процеси та методи прийняття рішень |
| topic_facet | Конфліктно-керовані процеси та методи прийняття рішень |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/211149 |
| work_keys_str_mv | AT čikríika propovnukonflíktnukerovanístʹvígrovihzadačahdinamíki AT čikríioa propovnukonflíktnukerovanístʹvígrovihzadačahdinamíki AT čikríika oncompleteconflictcontrollabilityingamedynamicproblems AT čikríioa oncompleteconflictcontrollabilityingamedynamicproblems |