Числовий аналіз напружено-деформованого стану порожнистого циліндра з тонким включенням

Розглядається плоска задача про визначення напружено-деформованого стану пружного циліндра з тонким включенням, що перебуває під дією рівномірного навантаження. Напружено-деформований стан циліндра описується рівняннями просторової теорії пружності, а включення — рівняннями безмоментної теорії оболо...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Datum:	2007
Hauptverfasser:	Савула, Я., Винницька, Л.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainisch
Veröffentlicht:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2007
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21115
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Числовий аналіз напружено-деформованого стану порожнистого циліндра з тонким включенням / Я. Савула, Л. Винницька // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 6. — С. 54-65. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860245535151095808
author	Савула, Я. Винницька, Л.
author_facet	Савула, Я. Винницька, Л.
citation_txt	Числовий аналіз напружено-деформованого стану порожнистого циліндра з тонким включенням / Я. Савула, Л. Винницька // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 6. — С. 54-65. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
description	Розглядається плоска задача про визначення напружено-деформованого стану пружного циліндра з тонким включенням, що перебуває під дією рівномірного навантаження. Напружено-деформований стан циліндра описується рівняннями просторової теорії пружності, а включення — рівняннями безмоментної теорії оболонок. На межі контакту задаються умови спряження, які відповідають ідеальному механічному контакту. Для числового аналізу цієї крайової задачі застосовується метод скінченних елементів (МСЕ). Подано результати числових експериментів. Проведено порівняння аналітичного розв’язку з розв’язком задачі, отриманим з використанням МСЕ. Plane static elasticity problem is considered in domain, which consists of hollow cylinder and thin inclusion under uniform loading. Stressed-strained state of the cylinder is described by equations of elasticity theory and equations of membrane shell theory are used to describe the state of the thin inclusion. Junction conditions of ideal mechanical contact are satisfied on the interface boundary. Numerical analysis of the problem is carried out by finite elements method. The analytical solution is compared to numerical results obtained by FEM. Рассматривается плоская задача о нахождении напряженно-деформированного состояния цилиндра с тонким включением под воздейсвием равномерного нагружения. Напряженно-деформированное состояние цилиндра описывается уравнениями математической теории упругости, а включения — уравнениями безмоментной теории оболочек. На границе контакта задаются условия сопряжения, соответствующие идеальному механическому контакту. Для численного анализа сформулированной краевой задачи используется метод конечных элементов (МКЭ). Приведены результаты численных экспериментов. Проведено сравнение аналитического решения с численнымы результатами, полученными с использованием МКЭ.
first_indexed	2025-12-07T18:36:13Z
format	Article
fulltext	Числовий аналіз напружено-деформованого стану порожнистого циліндра з тонким включенням Ярема Савула1, Людмила Винницька2 1 д. ф.-м. н., професор, Львівський національний університет імені Івана Франка, вул. Університетська, 1, Львів, 79000, e-mail: savula@franko.lviv.ua 2 Львівський національний університет імені Івана Франка, вул. Університетська, 1, Львів, 79000, e-mail: lyuda_vyn@yahoo.com Розглядається плоска задача про визначення напружено-деформованого стану пружного циліндра з тонким включенням, що перебуває під дією рівномірного навантаження. Напру- жено-деформований стан циліндра описується рівняннями просторової теорії пружності, а включення — рівняннями безмоментної теорії оболонок. На межі контакту задаються умови спряження, які відповідають ідеальному механічному контакту. Для числового аналізу цієї крайової задачі застосовується метод скінченних елементів (МСЕ). Подано результати числових експериментів. Проведено порівняння аналітичного розв’язку з розв’язком задачі, отриманим з використанням МСЕ. Ключові слова: плоска задача, гетерогенна математична модель, матема- тична теорія пружності, безмоментна теорія оболонок, метод скінченних елементів, ієрархічний базис. Вступ. У математичному моделюванні реальних об’єктів виникає потреба об’єд- нання в одній моделі різномасштабних елементів, які мають різні властивості. Такий підхід у сучасній науці отримав назву гетерогенного різномасштабного методу (ГРМ) [1]. До проблем, що вирішують із використанням ГРМ, належить також моделювання процесів деформування в механіці пружних тіл із тонкими покриттями та включеннями. Необхідність розгляду таких задач зумовлена тим, що наявність тонких включень чи покриттів істотно впливає на розподіл перемі- щень, деформацій і напружень у системах. В огляді [2] зазначено, що в основу сучасного підходу до моделювання контактної взаємодії тіл із тонкими включеннями закладено принцип спряження континуумів різної вимірності, який полягає в заміні тонкого прошарку його се- рединною кривою (у двовимірних задачах) чи серединною поверхнею (для три- вимірних задач). Таким чином, тонкий об’єкт вилучають із розгляду, замінюючи його вплив, зокрема, для задач теорії пружності, стрибками напружень. Ще одним підходом до розв’язування задач із тонкими включеннями є застосування числових методів, зокрема методу скінченних елементів. При цьому вважають, що і тонке включення, і масивна частина описуються однією і тією ж моделлю. У даній роботі об’єднано обидва підходи. Для запису математичної моделі використано теорію пружності (масивна частина) та безмоментну теорію оболонок УДК 519.6; 539.3 54 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2007, вип. 6, 54-65 55 Рис. 1. Поперечний переріз циліндричного тіла з тонким включенням (тонке включення). Із припущення, що на спільних границях матриці та тонкого прошарку виконуються умови ідеального механічного контакту, отримано умови спряження, які дають змогу об’єднати рівняння в одну систему. Числовий аналіз задачі здійснено методом скінченних елементів. 1. Формулювання задачі Розглянемо циліндричне тіло, яке перебуває під дією рівномірного внутрішнього p1 і зовнішнього p2 навантажень (див. рис. 1). Нехай r1, r2 — внутрішній і зов- нішній радіуси циліндра. Циліндр містить тонке включення — оболонку товщи- ни h, серединна поверхня якої співпадає з поверхнею r = rs , r1 ≤ rs ≤ r2. Розглянемо випадок, коли r1 < rs < r2. Тоді область поперечного перерізу ци- ліндра з тонким включенням Ω складається з трьох підобластей 1 1 2 + −Ω = Ω ∪Ω ∪Ω (див. рис. 1). Нехай 1 1 2, ,+ −Γ Γ Γ — відповідно границі 1 1,+ −Ω Ω і 2Ω . Приймемо та- кож, що 1 2 1 2,+ + − −Γ = Γ ∩Γ Γ = Γ ∩Γ . Віднесемо 1 1,+ −Ω Ω до полярної системи координат r, θ. Позначимо через ( ) ( )1 2 1 2, , ,n n n t t t= = одиничні вектори нормалі та дотичної в точках кривих 1 1,+ −Γ Γ . Підобласть Ω2 віднесемо до криволінійної ортогональної системи координат ξ1, ξ2, яка пов’язана з серединною кривою S. У кожній точці кривої S визначено 1e — одиничний вектор дотичної й 2e — одиничний вектор нормалі. Вектори 1 2,e e утворюють ортогональний базис таким чином, що ξ1 співпадає з напрямком 1e , а 2ξ — з напрямком 2e . Серединну криву S задамо радіус-вектором ( ) ( )1 1,m m sr r rξ ξ = . Тоді радіус-вектор ( )1 3,r ξ ξ довільної точки з Ω2 можна по- дати у вигляді Ярема Савула, Людмила Винницька Числовий аналіз напружено-деформованого стану порожнистого циліндра з тонким включенням 56 ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 1 2, , , 2 2m h hr r e  ξ ξ = ξ + ξ ξ ξ ∈ −   . Коефіцієнти Ляме та кривизни серединної кривої оболонки є такими 1 2 1 2 1, 1, , 0S S A r A k k r = = = = , а коефіцієнти Ляме криволінійної системи координат визначаються співвідно- шеннями ( ) ( )1 1 1 2 2 2 2 2 31 , 1 1, 1H A k H A k H= + ξ = + ξ = = . Напружено-деформований стан пружного тіла, що займає області 1 1,+ −Ω Ω , описується рівняннями [3] 1 1 1 0, , , 1 2 0, r rrrr r r r r r r r r r θ θθ + − θ θθ θ ∂σ σ −σ∂σ + + = ∂ ∂θ θ∈Ω Ω ∂σ ∂σ σ + + =  ∂ ∂θ . (1) Компоненти тензора напружень σrr, σθθ, σrθ та тензора деформацій εrr, εθθ, εrθ пов’язані співвідношеннями ( ) ( )1 1 1 1 12 2 11 1 , , 11 1rr rr rr r r E E E θθ θθ θθ θ θσ = ε + ν ε σ = ε + ν ε σ = ε + ν− ν − ν , де Е1 — модуль Юнга, ν1 — коефіцієнт Пуассона. Для визначення деформацій εrr, εθθ, εrθ маємо формули 1 1, , 2 r r rr r r r u uu uu u r r r r θ θ θθ θ ∂ ∂∂ ∂   ε = ε = + ε = − +   ∂ ∂θ ∂θ ∂    , де ur, uθ — компоненти вектора переміщень точок областей 1 1,+ −Ω Ω . Напружено-деформований стан пружного тіла, яке займає область Ω2, опишемо рівняннями безмоментної теорії оболонок [4] 11 1 12 1 12 1 1 1 1 11 1 22 1 22 1 1 1 , 2 2 1 1 , 2 2 dT h hk k A d S h hk T k k + − + −     − = + σ − − σ    ξ     ξ ∈     = + σ − − σ        . (2) Тут Т11 — зусилля в оболонці, 12 22,+ +σ σ — компоненти поверхневого наванта- ження на зовнішній лицевій поверхні оболонки ξ2 = h / 2, а 12 22,− −σ σ — компоненти ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2007, вип. 6, 54-65 57 Рис. 2. Фрагмент області Ω з розділеними границями поверхневого навантаження на внутрішній лицевій поверхні оболонки ξ2 = – h / 2. Відомо, що 2 1 11 11 11 12 1 12 1, 1 E h dT k w A d υ = ε ε = + ξ− ν , де Е2 — модуль Юнга, а ν2 — коефіцієнт Пуассона матеріалу включення, υ1, w — компоненти вектора переміщень точок серединної кривої S. Зазначимо, що в без- моментній теорії оболонок приймають, що переміщення не змінюються по тов- щині оболонки. На границі області Ω задамо такі граничні умови 1 2 1 2 1 2, , 0rr rr r rr r r r r r r rp p θ θ= = = =σ = − σ = − σ = σ = . (3) Вважаємо, що на спільних границях тіла та включення виконуються умови ідеального механічного контакту. Для запису таких умов спряження розглянемо фрагмент А області Ω з розділеними границями (рис. 2). Тоді на Γ+ умови спря- ження подамо у вигляді 1,n tu w u= − = −υ , (4) 22 12,nn nt + +σ = σ σ = σ , (5) на Γ– умови спряження задамо співвідношеннями 1,n tu w u= = υ , (6) 22 12,nn nt − −σ = σ σ = σ , (7) де Ярема Савула, Людмила Винницька Числовий аналіз напружено-деформованого стану порожнистого циліндра з тонким включенням 58 ( ) 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 , , 2 , . n r t r nn rr r nt rr r u u n u n u u n u n n n n n n t n t n t n t θ θ θ θθ θ θθ = + = − + σ = σ + σ + σ σ = σ + σ + + σ (8) Оскільки на 1 + +Γ ∈Γ для векторів нормалі та дотичної маємо n = (– 1, 0), t = (0, – 1), то, враховуючи подання (8), для умов спряження дістаємо такі співвідношення 1,ru w uθ= = υ , (9) 22 12,rr r + + θσ = σ σ = σ . (10) Оскільки ( ) ( )1,0 , 0,1n t= = на 1 − −Γ ∈Γ , то, враховуючи співвідношення (8), головні умови спряження (6) також можна подати у вигляді (9), а природні умови мають вигляд 22 12,rr r − − θσ = σ σ = σ . (11) Отже, для визначення напружено-деформованого стану циліндра з тонким включенням, який перебуває під дією рівномірного навантаження, маємо систе- ми рівнянь (1), (2), граничні умови (3) й умови спряження (9)-(11). Для запису варіаційного формулювання задачі розглянемо простір ( ) ( )( ){ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) } 1 1 1 12 1 1 22 , : , , , , , , , , умова (9) . r rV U u u u u w u u W W S w L S + − θ θ= = υ = υ = υ ∈ Ω ∪Ω υ ∈ ∈ Введемо білінійну форму ( ) ( ) ( )1 2, , ,A U U a u u a= + υ υ , де ( ) ( ) ( ) 1 1 , , rr rr r r rr rr r r a u u rdrd rdrd + θ θ θθ θθ Ω θ θ θθ θθ = σ ε + σ ε + σ ε θ + + σ ε + σ ε + σ ε θ ∫∫ ∫∫ ( )2 11 11 1 1, S a T A dυ υ = ε ξ∫ , та лінійну форму ( ) 1 1 1 2 \ \ r rl U p u d p u d − − + +Γ Γ Γ Γ = − Γ − Γ∫ ∫ . Тоді слабке варіаційне формулювання задачі запишемо так: знайти таку функцію U∈V, що задовольняє варіаційне рівняння ( ) ( ),A U U l U U V= ∀ ∈ . (12) Аналогічним чином можна сформулювати задачу, якщо включення є по- криттям на внутрішній чи зовнішній поверхні тіла, тобто rs = r1 або rs = r2 . ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2007, вип. 6, 54-65 59 2. Розв’язування задачі Таким чином ми отримали полівимірну задачу: підобласті 1 1,+ −Ω Ω є двовимірни- ми, а замість тонкого включення Ω2 розглядаємо лише його серединну лінію S, яка є одновимірною областю. Задачу (12) розв’язуємо методом скінченних елементів. Вважаємо, що дво- вимірні підобласті є об’єднанням трикутних елементів, одновимірна область — об’єднання одновимірних елементів, а вузли області S співпадають із вузлами двовимірних областей. 2.1. Апроксимації на скінченних елементах. Для апроксимації наближеного розв’язку на одно- та двовимірних скінченних елементах застосуємо ієрархічні базиси, які будуються з використанням поліномів Лежандра та володіють такою властивістю: базис порядку p + 1 охоплює усі базисні функції від 1-го до р-го порядку апроксимації [5, 6]. Одновимірний ієрархічний базис. На відрізку ( ) { }1 : 1 1∗Ω = ξ − ≤ ξ ≤ будуємо базис порядку р. Подамо апроксимаційні функції у вигляді ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 2 1 3 1 1, , 2 2 1 , 3, 1, 2 2 3 j j jP P j p j − − − ξ + ξ ϕ ξ = ϕ ξ = ϕ = ξ − ξ = + − (13) де Pi — поліноми Лежандра, для яких справджується така рекурентна формула ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 11 2 1 , 1,2,..., 1, .n n nn P t n P t nP t n P t P t t+ −+ = + − = = = Зазначимо, що базисні функції φj(ξ) мають такі властивості ( ) ( )1 21 1 1ϕ − = ϕ = , ( ) ( )1 21 1 0ϕ = ϕ − = , ( ) ( )1 1 0, 3, 1j j j pϕ − = ϕ = = + . Тому функції φ1(ξ), φ2(ξ) називають вузловими, а φj(ξ) 3, 1j p= + — функ- ціями-«бульбашками». Двовимірний ієрархічний базис. Двовимірний ієрархічний базис порядку р бу- дують на стандартному скінченному елементі ( )2 ∗Ω — рівносторонньому трикут- нику зі стороною довжини 2 (рис. 3). Базис складається з таких груп функцій: вузлових, ребрових та внутрішніх. Для їхньої побудови використовують бари- центричні координати L1, L2, L3, де 1 2 3 1 11 , 1 , 2 23 3 3 L L L   η η η = − ξ − = + ξ − =        . (14) Ярема Савула, Людмила Винницька Числовий аналіз напружено-деформованого стану порожнистого циліндра з тонким включенням 60 Усього визначено три вузлові функції, які набувають одиничного значення у відповідній вершині трикутника та дорівнюють нулю на стороні, протилежній до цієї вершини ( )0 , , 1,3i iN L iξ η = = . (15) На кожній стороні трикутника визначено p – 1 ребрових функцій таких, що набувають нульових значень на двох інших сторонах ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, , , , 1,3, 1, 1, 1 mod3; 8 4 2, . 1 j i j k i j k i j k i j k N L L L L j i p k j iL L P L L i i ξ η = ϕ = = − = + + ′ϕ = − − + (16) Також визначено ( p – 2)( p – 1) / 2 внутрішніх функцій, які дорівнюють нулю на усіх сторонах трикутника ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 2 1 3 , , , , 3, , 3 2 , 1, 2, 3, 2 , , 2 1 . ki r j j k j j j j N L L L L L L k p k k i j k j j k L L L P L L P L + ξ η = ψ = − − = = − + = − ψ = − − (17) Отже, розмірність базису на трикутнику дорівнює ( p – 2)( p – 1) / 2. Зазначимо, що реброві функції входять до базису починаючи з другого порядку апроксимації, а внутрішні — з третього. 2.2. Формування системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). Двовимір- ний базис р-го порядку апроксимації побудований таким чином, що на кожній стороні трикутника дві вузлові функції та p – 1 ребрових функцій не дорівнюють нулю (разом p + 1 функція). Відображаючи сторони трикутника на відрізок [–1; 1] при обході проти годинникової стрілки, отримуємо, що значення ребрових функцій співпадають зі значеннями відповідних функцій одновимірного базису порядку р. Оскільки головні умови спряження (9) мають простий вигляд, а кожному з p + 1 шуканих значень на одновимірному елементі однозначно ставиться у від- повідність одна з ( p + 1)( p + 2) / 2 невідомих на відповідному трикутному елемен- ті, то локальні матриці жорсткості та вектори навантажень як для двовимірних, так і для одновимірних елементів не потребують ніяких змін. Формування СЛАР здійснюється у традиційний спосіб поелементно. 3. Аналітичний розв’язок задачі Оскільки задача є осесиметричною, то для 1 1,+ −Ω Ω 0uθ = і розв’язок задачі не за- лежить від θ. Для Ω2 отримуємо Рис. 3. Стандартний трикутний елемент ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2007, вип. 6, 54-65 61 1 0υ = , 12 12 0− +σ = σ = , w const= , (18) 2 11 112 21 E hT = ε − ν , 11 1k wε = . (19) Враховуючи співвідношення (18) та (19), перше рівняння системи (2) перетворю- ється в тотожність, а друге набуде вигляду 2 2 1 1 22 1 222 2 1 1 2 21 E hk h hw k k+ −   = + σ − − σ   − ν     . (20) Якщо тонке включення відсутнє, тобто Ω2 = ∅ , то отримуємо класичну за- дачу Ляме, для якої відомий аналітичний розв’язок ( ) ( )0 0 0 0 0 0 1 12 2 1 12 , 2 , 2 1 1rr r C C CB B u B r E rr rθθ  σ = + σ = − = − ν − + ν   , (21) де В0 і С0 невідомі величини, які визначаємо з граничних умов. Якщо r1 < rs < r2 на { }1 1: Sr r r r−Ω = ≤ ≤ , то вирази (21) для σrr та ur набу- дуть вигляду ( ) ( )1 1 1 1 1 12 1 12 , 2 1 1rr r C CB u B r E rr − −  σ = + = − ν − + ν   , (22) і, відповідно, на { }1 2: Sr r r r+Ω = ≤ ≤ ( ) ( )2 2 2 2 1 12 1 12 , 2 1 1rr r C CB u B r E rr + +  σ = + = − ν − + ν   . (23) Якщо врахувати граничні умови й умови спряження, які мають вигляд 1 2 1 2 22 22 , , , , , , S S S S rr rrr r r r r rrr r r r r rrr r r r p p w u w u − + = = − − − = = + + + = = σ = − σ = − = σ = σ = σ = σ (24) то для невідомих Ci, Bi (i = 1, 2) одержимо ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 22 2 21 1 1 2 , 2 , 2 1 1 1 , , 22 1 1 s s C r p B C r p B B r r r p r p lB B lr r ν ν ν ν ν = − + = − +  − + + + + − = =  − + +  (25) де Ярема Савула, Людмила Винницька Числовий аналіз напружено-деформованого стану порожнистого циліндра з тонким включенням 62 ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 12 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 , 2 S S S E r p r p r rhl k r p E hk r r r hk r p r p   − ν + ν − −   = − − +   − ν + + ν     + + + + ν     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 22 2 2 1 12 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 . 2 S S s S S S E r rhl k r r E hk r r r hk r r r r − ν  − ν + + ν = − − +  − ν + + ν   + + − − − ν − + ν     Аналогічним чином можна знайти аналітичні розв’язки для випадків rs = r1 та rs = r2. 4. Результати числових експериментів Розглянемо задачу для циліндра з тонким включенням, який перебуває під дією зовнішнього тиску p2 = 1. Наведемо тут результати порівняння аналітичного та числового розв’язків цієї задачі. З огляду на осьову симетрію числовий аналіз проведемо для області Ω ∈Ω , ( ){ } 1 2 1 2, : ,r r r rΩ = θ ≤ ≤ θ ≤ θ ≤ θ . Приймаємо, що на частинах границі θ = θ1 та θ = θ2 виконуються умови симетрії, r2 / r1 = 2, rs / r1 = 1,5, θ1 = 0, θ2 = 1, E2 / E1 = 70, h1 / h = 100, де h1 = r2 – r1 — товщина циліндра. Для аналізу похибок та порядків збіжності проведемо дослідження задачі на скінченно-елементних поділах С, M, F (рис. 4). Нехай (r, θ) i — деяка вузлова точка. Оскільки розв’язок не залежить від θ, то результати наведено на лінії θ = 0,5. Табл. 1 містить значення відносної похибки δ в сітковій нормі 2 hL ∗ , де 2 2 0 0 h h h r r L r L u u u ∗ ∗ ∗ − δ = , ( ) 2 2 ( , ) ,h iL i g r g r∗  θ = θ ∑ , Рис. 4. Поділи на скінченні елементи для дослідження похибки та порядку збіжності C M F ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2007, вип. 6, 54-65 63 для поділів C, M, F і порядків апроксимації 1 ≤ p ≤ 5. Тут h ru ∗ — числовий ре- зультат, 0 ru — аналітичний розв’язок. У табл. 2 подано апостеріорні порядки збіжності переміщень ur, обчислені за формулою 2 2 2 0 0 ln 2 h h r r r rL L u u u u n ∗ ∗− − − = , ( ) ( ) 2 2 1 2, , , r L r g r g r dr constθ = θ θ =∫ для різних порядків апроксимації р. Тут h* = 0,25, h ru ∗ та 2h ru ∗ — значення ur, знайдені на поділах F та M відповідно. На рис. 5 та 6 наведено розподіли наближених значень переміщення ur. Обчислення здійснено на поділі з кроком, вдвічі меншим від кроку поділу F, для порядку апроксимації p = 3. Бачимо (див. рис. 5), що збільшення відношення модуля Юнга матеріалу включення до модуля Юнга матеріалу масивної частини циліндра у разі сталого відношення їх товщин приводить до зменшення переміщень ur. Такого ж резуль- тату можна досягнути завдяки збільшенню товщини включення при фіксованих характеристиках матеріалу (див. рис. 6). Криві на рис. 7 і 8 ілюструють розподіли напружень у тілі з включенням. Внаслідок наявності включення всередині циліндра напруження σrr, σθθ мають стрибок, величина якого прямо пропорційно залежить від товщини включення (рис. 7) і величини відношення модулів пружності включення та тіла (рис. 8). Таблиця 1 Значення відносної похибки переміщень ur М p C M F 1 3,60312×10-2 1,09450×10-2 9,34566×10-3 2 4,22831×10-3 1,29422×10-3 5,91032×10-4 3 4,04952×10-4 1,00318×10-4 4,04873×10-5 4 4,17230×10-5 9,29692×10-6 2,19531×10-6 5 4,64413×10-6 6,72261×10-7 1,57916×10-7 Таблиця 2 Апостеріорні порядки збіжності p 1 2 3 4 5 n 1,7438 2,3800 3,5444 4,3274 4,7004 Ярема Савула, Людмила Винницька Числовий аналіз напружено-деформованого стану порожнистого циліндра з тонким включенням 64 Рис. 5. Розподіли переміщень ur для rs / r1 = 1,25; h1 / h = 50 ur × 103 – 0,3 – 0,4 – 0,5 – 0,6 – 0,7 – 0,8 – 0,9 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 r / r1 E2 / E1 = 1 E2 / E1 = 30 E2 / E1 = 70 ur × 103 – 0,225 – 0,300 – 0,375 – 0,450 – 0,525 – 0,600 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 r / r1 h1 / h = 100 h1 / h = 50 h1 / h = 25 Рис. 6. Розподіли переміщень ur для rs / r1 = 1,75; E2 / E1 = 70 σrr / p2 0 – 0,2 – 0,4 – 0,6 – 0,8 – 1,0 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 r / r1 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 r / r1 σθθ / p2 – 0,6 – 0,8 – 1,4 – 0,4 – 1,6 h1 / h = 100 h1 / h = 50 h1 / h = 25 Рис. 7. Розподіли напружень для rs / r1 = 1,5; E2 / E1 = 70 Рис. 8. Розподіли напружень σrr, σθθ для rs = 1,75; h1 / h = 50 σrr / p2 0 – 0,2 – 0,4 – 0,6 – 0,8 – 1,0 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 r / r1 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 r / r1 E2 / E1 = 1 E2 / E1 = 30 E2 / E1 = 70 σθθ / p2 – 0,9 – 1,2 – 1,5 – 1,8 – 2,1 – 2,4 – 2,7 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2007, вип. 6, 54-65 65 Висновки. У роботі запропоновано підхід, який приводить до формулювання різно- масштабних задач: напружено-деформований стан масивної частини описується просторовою теорією пружності, тонкого включення — безмоментною теорією обо- лонок і групи рівнянь різної вимірності, зв’язані спеціальними умовами спряження. Для числового аналізу задач використано схеми МСЕ, побудовані на осно- ві 2D й 1D ієрархічних базисів. Як свідчать результати числових експериментів, ці схеми володіють властивістю hp-збіжності. Апостеріорні порядки апроксима- ції корелюють з апріорними даними. Досліджено, що на межі контакту масивної частини та тонкого включення виникають стрибки напружень. Література [1] W. E, B. Engquist, X. Li, W. Ren, E. Vanden-Eijden The heterogeneous multiscale method: a review, 2005. Available from http://www.math.princeton.edu/multiscale. [2] Сулим Г. Т., Піскозуб Й. З. Умови контактної взаємодії тіл (огляд) // Мат. методи та фіз.-мех. поля. — 2004. — Т. 47, № 3. — С. 110-125. [3] Демидов С. П. Теория упругости. — М: Высш. школа, 1979. — 432 c. [4] Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. — М: Гос. из-во технико- теоретической литературы, 1953. — 544 с. [5] Szabo B., Babushka І. Finite element analysis. — New York: John Wiley & Sons, inc., 1991. — 368 p. [6] Савула Я. Г. Числовий аналіз задач математичної фізики варіаційними методами. — Львів: видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2004. — 221 с. Numerical analysis of stress-strain state of hollow cylinder with thin inclusion Yarema Savula, Lyudmyla Vynnytska Plane static elasticity problem is considered in domain, which consists of hollow cylinder and thin inclusion under uniform loading. Stressed-strained state of the cylinder is described by equations of elasticity theory and equations of membrane shell theory are used to describe the state of the thin inclusion. Junction conditions of ideal mechanical contact are satisfied on the interface boundary. Numerical analysis of the problem is carried out by finite elements method. The ana- lytical solution is compared to numerical results obtained by FEM. Численный анализ напряженно-деформированного состояния полого цилиндра с тонким включением Ярема Савула, Людмила Винницка Рассматривается плоская задача о нахождении напряженно-деформированного состояния цилиндра с тонким включением под воздейсвием равномерного нагружения. Напряженно- деформированное состояние цилиндра описывается уравнениями математической теории упругости, а включения — уравнениями безмоментной теории оболочек. На границе кон- такта задаются условия сопряжения, соответствующие идеальному механическому кон- такту. Для численного анализа сформулированной краевой задачи используется метод конечных элементов (МКЭ). Приведены результаты численных экспериментов. Проведено сравнение аналитического решения с численнымы результатами, полученными с использо- ванием МКЭ. Отримано 11.10.07
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-21115
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1816-1545
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T18:36:13Z
publishDate	2007
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
record_format	dspace
spelling	Савула, Я. Винницька, Л. 2011-06-15T08:29:08Z 2011-06-15T08:29:08Z 2007 Числовий аналіз напружено-деформованого стану порожнистого циліндра з тонким включенням / Я. Савула, Л. Винницька // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 6. — С. 54-65. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21115 519.6; 539.3 Розглядається плоска задача про визначення напружено-деформованого стану пружного циліндра з тонким включенням, що перебуває під дією рівномірного навантаження. Напружено-деформований стан циліндра описується рівняннями просторової теорії пружності, а включення — рівняннями безмоментної теорії оболонок. На межі контакту задаються умови спряження, які відповідають ідеальному механічному контакту. Для числового аналізу цієї крайової задачі застосовується метод скінченних елементів (МСЕ). Подано результати числових експериментів. Проведено порівняння аналітичного розв’язку з розв’язком задачі, отриманим з використанням МСЕ. Plane static elasticity problem is considered in domain, which consists of hollow cylinder and thin inclusion under uniform loading. Stressed-strained state of the cylinder is described by equations of elasticity theory and equations of membrane shell theory are used to describe the state of the thin inclusion. Junction conditions of ideal mechanical contact are satisfied on the interface boundary. Numerical analysis of the problem is carried out by finite elements method. The analytical solution is compared to numerical results obtained by FEM. Рассматривается плоская задача о нахождении напряженно-деформированного состояния цилиндра с тонким включением под воздейсвием равномерного нагружения. Напряженно-деформированное состояние цилиндра описывается уравнениями математической теории упругости, а включения — уравнениями безмоментной теории оболочек. На границе контакта задаются условия сопряжения, соответствующие идеальному механическому контакту. Для численного анализа сформулированной краевой задачи используется метод конечных элементов (МКЭ). Приведены результаты численных экспериментов. Проведено сравнение аналитического решения с численнымы результатами, полученными с использованием МКЭ. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Числовий аналіз напружено-деформованого стану порожнистого циліндра з тонким включенням Numerical analysis of stress-strain state of hollow cylinder with thin inclusion Численный анализ напряженно-деформированного состояния полого цилиндра с тонким включением Article published earlier
spellingShingle	Числовий аналіз напружено-деформованого стану порожнистого циліндра з тонким включенням Савула, Я. Винницька, Л.
title	Числовий аналіз напружено-деформованого стану порожнистого циліндра з тонким включенням
title_alt	Numerical analysis of stress-strain state of hollow cylinder with thin inclusion Численный анализ напряженно-деформированного состояния полого цилиндра с тонким включением
title_full	Числовий аналіз напружено-деформованого стану порожнистого циліндра з тонким включенням
title_fullStr	Числовий аналіз напружено-деформованого стану порожнистого циліндра з тонким включенням
title_full_unstemmed	Числовий аналіз напружено-деформованого стану порожнистого циліндра з тонким включенням
title_short	Числовий аналіз напружено-деформованого стану порожнистого циліндра з тонким включенням
title_sort	числовий аналіз напружено-деформованого стану порожнистого циліндра з тонким включенням
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21115
work_keys_str_mv	AT savulaâ čisloviianalíznapruženodeformovanogostanuporožnistogocilíndraztonkimvklûčennâm AT vinnicʹkal čisloviianalíznapruženodeformovanogostanuporožnistogocilíndraztonkimvklûčennâm AT savulaâ numericalanalysisofstressstrainstateofhollowcylinderwiththininclusion AT vinnicʹkal numericalanalysisofstressstrainstateofhollowcylinderwiththininclusion AT savulaâ čislennyianaliznaprâžennodeformirovannogosostoâniâpologocilindrastonkimvklûčeniem AT vinnicʹkal čislennyianaliznaprâžennodeformirovannogosostoâniâpologocilindrastonkimvklûčeniem

Числовий аналіз напружено-деформованого стану порожнистого циліндра з тонким включенням

Institution

Ähnliche Einträge