Неперервна та гладка мінімаксна сплайн-апроксимація експоненційним виразом
Розглянуто властивості мінімаксного (чебишовського, рівномірного) наближення з точним відтворенням значень функції та її похідної сумою многочлена й експоненти з заданим показником степеня. Встановлено необхідні та достатні умови існування такого мінімаксного наближення. Описано алгоритм побудови не...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
|---|---|
| Дата: | 2007 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2007
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21121 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Неперервна та гладка мінімаксна сплайн-апроксимація експоненційним виразом / В. Адруник, П. Малачівський // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 5. — С. 85-97. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-21121 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Андруник, В. Малачівський, П. 2011-06-15T08:55:54Z 2011-06-15T08:55:54Z 2007 Неперервна та гладка мінімаксна сплайн-апроксимація експоненційним виразом / В. Адруник, П. Малачівський // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 5. — С. 85-97. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21121 519.65 Розглянуто властивості мінімаксного (чебишовського, рівномірного) наближення з точним відтворенням значень функції та її похідної сумою многочлена й експоненти з заданим показником степеня. Встановлено необхідні та достатні умови існування такого мінімаксного наближення. Описано алгоритм побудови неперервного та гладкого мінімаксного сплайн-наближення експоненційним виразом із заданою похибкою. Наведено приклад застосування такого сплайн-наближення для опису низькотемпературної характеристики термодіодного сенсора. Проведено порівняння значень чутливості сенсора та похідної отриманого сплайна. The properties of minimax (Chebyshev, uniform) approximation with exact reproduction of function values and its derivative by sum of polynomial and exponent with a priori given power degree are considered. The algorithm for construction of continuous and smooth spline-approximation with a priori given error is described. The example of application of this approximation for the transfer-function of diode temperature sensor for cryogen temperatures is given. The value comparison of sensor sensitivity and derivative of obtained spline is conducted. Рассмотрены свойства минимаксного (чебышевского, равномерного) приближения с точным восстановлением значений функции и ее производной суммой многочлена и экспоненты с заданным показателем степени. Установлены необходимые и достаточные условия существования такого минимаксного приближения. Описан алгоритм построения непрерывного и гладкого минимаксного сплайн-приближения экспоненциальным выражением с заданной погрешностью. Приведен пример применения такого сплайн-приближения для описания низкотемпературной характеристики термодиодного сенсора. Проведены сравнения значений чувствительности сенсора и производной полученного сплайна. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Неперервна та гладка мінімаксна сплайн-апроксимація експоненційним виразом Continuous and smoothed minimax spline-approximation by exponential expression Непрерывная и гладкая минимаксная сплайн-аппроксимация экспоненциальным выражением Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Неперервна та гладка мінімаксна сплайн-апроксимація експоненційним виразом |
| spellingShingle |
Неперервна та гладка мінімаксна сплайн-апроксимація експоненційним виразом Андруник, В. Малачівський, П. |
| title_short |
Неперервна та гладка мінімаксна сплайн-апроксимація експоненційним виразом |
| title_full |
Неперервна та гладка мінімаксна сплайн-апроксимація експоненційним виразом |
| title_fullStr |
Неперервна та гладка мінімаксна сплайн-апроксимація експоненційним виразом |
| title_full_unstemmed |
Неперервна та гладка мінімаксна сплайн-апроксимація експоненційним виразом |
| title_sort |
неперервна та гладка мінімаксна сплайн-апроксимація експоненційним виразом |
| author |
Андруник, В. Малачівський, П. |
| author_facet |
Андруник, В. Малачівський, П. |
| publishDate |
2007 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| publisher |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Continuous and smoothed minimax spline-approximation by exponential expression Непрерывная и гладкая минимаксная сплайн-аппроксимация экспоненциальным выражением |
| description |
Розглянуто властивості мінімаксного (чебишовського, рівномірного) наближення з точним відтворенням значень функції та її похідної сумою многочлена й експоненти з заданим показником степеня. Встановлено необхідні та достатні умови існування такого мінімаксного наближення. Описано алгоритм побудови неперервного та гладкого мінімаксного сплайн-наближення експоненційним виразом із заданою похибкою. Наведено приклад застосування такого сплайн-наближення для опису низькотемпературної характеристики термодіодного сенсора. Проведено порівняння значень чутливості сенсора та похідної отриманого сплайна.
The properties of minimax (Chebyshev, uniform) approximation with exact reproduction of function values and its derivative by sum of polynomial and exponent with a priori given power degree are considered. The algorithm for construction of continuous and smooth spline-approximation with a priori given error is described. The example of application of this approximation for the transfer-function of diode temperature sensor for cryogen temperatures is given. The value comparison of sensor sensitivity and derivative of obtained spline is conducted.
Рассмотрены свойства минимаксного (чебышевского, равномерного) приближения с точным восстановлением значений функции и ее производной суммой многочлена и экспоненты с заданным показателем степени. Установлены необходимые и достаточные условия существования такого минимаксного приближения. Описан алгоритм построения непрерывного и гладкого минимаксного сплайн-приближения экспоненциальным выражением с заданной погрешностью. Приведен пример применения такого сплайн-приближения для описания низкотемпературной характеристики термодиодного сенсора. Проведены сравнения значений чувствительности сенсора и производной полученного сплайна.
|
| issn |
1816-1545 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21121 |
| citation_txt |
Неперервна та гладка мінімаксна сплайн-апроксимація експоненційним виразом / В. Адруник, П. Малачівський // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 5. — С. 85-97. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT andrunikv neperervnatagladkamínímaksnasplainaproksimacíâeksponencíinimvirazom AT malačívsʹkiip neperervnatagladkamínímaksnasplainaproksimacíâeksponencíinimvirazom AT andrunikv continuousandsmoothedminimaxsplineapproximationbyexponentialexpression AT malačívsʹkiip continuousandsmoothedminimaxsplineapproximationbyexponentialexpression AT andrunikv nepreryvnaâigladkaâminimaksnaâsplainapproksimaciâéksponencialʹnymvyraženiem AT malačívsʹkiip nepreryvnaâigladkaâminimaksnaâsplainapproksimaciâéksponencialʹnymvyraženiem |
| first_indexed |
2025-11-25T08:25:38Z |
| last_indexed |
2025-11-25T08:25:38Z |
| _version_ |
1850507847841873920 |
| fulltext |
Неперервна та гладка мінімаксна
сплайн-апроксимація експоненційним виразом
Василь Андруник1, Петро Малачівський2
1 Національний університет «Львівська політехніка», вул. С. Бандери, 12, Львів, e-mail: aprox@complex.lviv.ua
2 к. т. н., с. н. с., Центр математичного моделювання ІППММ НАН України, вул. Дж. Дудаєва, 15, Львів,
e-mail: psmal@cmm.lviv.ua
Розглянуто властивості мінімаксного (чебишовського, рівномірного) наближення з точним
відтворенням значень функції та її похідної сумою многочлена й експоненти з заданим по-
казником степеня. Встановлено необхідні та достатні умови існування такого мінімаксного
наближення. Описано алгоритм побудови неперервного та гладкого мінімаксного сплайн-
наближення експоненційним виразом із заданою похибкою. Наведено приклад застосування
такого сплайн-наближення для опису низькотемпературної характеристики термодіодного
сенсора. Проведено порівняння значень чутливості сенсора та похідної отриманого сплайна.
Ключові слова: мінімаксне (чебишовське, рівномірне) наближення, непе-
рервне та гладке мінімаксне сплайн-наближення, точки чебишовського аль-
тернанса, схема Ремеза.
Вступ. Для дослідження температурних характеристик сенсорів і їх чутливостей
необхідно отримати такі функціональні залежності, які б із задовільною точністю
відтворювали як характеристику сенсора, так і його чутливість [1-3]. У праці [3]
для отримання такого наближення термометричної характеристики кремнієвих
діодних сенсорів температури використано апроксимації методом найменших
квадратів поліномами Чебишова, які забезпечують задовільну точність набли-
ження термометричної характеристики сенсора і його чутливості при сотому й
вищому степені поліномів Чебишова. Зрозуміло, що висока степінь поліномів
ускладнює їх практичне застосування через характерні для високих степенів
пульсації.
У праці [4] задача відтворення статичної характеристики сенсора та його
чутливості зводиться до побудови неперервного та гладкого сплайн-наближення,
в якому поліноміальне наближення на кожній ланці визначається за мінімаксним
(чебишовським, рівномірним) критерієм. Для підвищення точності апроксимації
значень чутливості сенсора похідною від сплайна в даній роботі пропонується
застосовувати неперервне та гладке мінімаксне сплайн-наближення температурної
характеристики сенсора сумою многочлена й експоненти із заданим показником
степеня. Побудова неперервного та гладкого мінімаксного сплайн-наближення
сумою многочлена й експоненти із заданим показником степеня ґрунтується
УДК 519.65
85
Василь Андруник, Петро Малачівський
Неперервна та гладка мінімаксна сплайн-апроксимація експоненційним виразом
86
на властивостях найкращого рівномірного наближення цим виразом із точним
відтворенням значення функції та похідної у заданих точках.
1. Найкраще рівномірне наближення експоненційним виразом
із точним відтворенням значень функції та похідної у заданих точках
Розглянемо задачу найкращого рівномірного наближення експоненційним виразом
( ) ∑
=
+=
m
i
qxi
im AexaxaE
0
; (1)
від (m + 2)-ох параметрів ( )Amiai ,,0, = і заданим значенням q.
Нехай неперервна та диференційовна функція f (x) ( ) ( ) [ ]( )1f x C∈ α,β задана
в (n + k) різних точках x відрізка [α, β].
{ }1 11 1 1 1: ... ... ...
k kk k j j j k j nX x X x x u x x u x x+ += ∈ α ≤ < < < < < < < < < < ≤ β ,(2)
де 1...1 21 −≤<<<≤ njjj k і відомо, що в точках ui, ( )1,i k= функція f (x) і її по-
хідні f '(x) набувають таких значень
( ) 0,ii vuf = , ( ) 1,ii vuf =′ , ( )1,i k= . (3)
Необхідно цю функцію наблизити експоненційним виразом Em(a; x) (1) від
(m + 2)-ох параметрів (m > 2k) так, щоб у точках ui, ( )1,i k= значення функції f (x)
і її похідної f '(x) відтворювалися точно
( ) ( ), 0 , 1; , ;m i i m i iE a u v E a u v′= = , ( )1,i k= , (4)
і найбільша зважена похибка
( ) ( ) ( ) ( )
1
max ;m i i
i n
a f x E a x w x
≤ ≤
∆ = − (5)
була найменшою з можливих на множині точок Xk, а вагова функція w(x) непе-
рервна і така, що не набуває нульового значення на [α, β] (w(x) ≠ 0, x ∈ [α, β]).
Властивості рівномірного наближення функцій експоненційним виразом (1)
із точним відтворенням значень функції та її похідної у заданих точках встанов-
лює теорема.
Теорема. Нехай неперервна та диференційовна функція f (x) (f (x) ∈ C (1)[α, β])
задана на множині точок (2), неперервна функція w(x) така, що не набуває нульо-
вого значення на [α, β] й експоненційний вираз Em(a; x) (1) залежить від (m + 2)-ох
параметрів, де (m > 2k) і (n > (m – 2k + 2)). Тоді найкраще рівномірне наближення
функції f (x) виразом Em(a; x) на множині (2) точок Xk з ваговою функцією w(x) і
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 5, 85-97
87
точним відтворенням значень функції та її похідної в точках ui ( )1,i k= існує й
єдине. Для того, щоб вираз Em(a*; x) був найкращим рівномірним наближенням
функції f (x) на множині (2) точок Xk з ваговою функцією w(x) і точним
відтворенням її значень і значень її похідної у точках ui ( )1,i k= необхідно та
достатньо, щоб для точок ui ( )1,i k= і деяких (m – 2k + 3)-ох упорядкованих
точок
1 2 2 3... m kz z z − +α ≤ < < < ≤ β (6)
із множини Xk і відмінних від ui ( )( ), , 1, 2 3, 1,j k j iz X z u j m k i k∈ ≠ = − + = викону-
валися рівності
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
*
*
*
,0
,1
; ,
; , 1, ,
; 1 , 1, 2 3,
m i i i
m i i i
i
j m j j
E a u v f u
E a u v f u i k
f z E a z w z j m k
= ≡
′ ′= ≡ =
− = − µ = − +
(7)
де ( ) ( ) ( )*
1
max ;i m i ii n
f x E a x w x
≤ ≤
µ = − , а E'm(a; x) — похідна від виразу Em(a; x)
( ) 1
1
;
m
i qx
m i
i
E a x ia x Aqe−
=
′ = +∑ .
Доведення. Встановимо спочатку справедливість теореми в разі найкращо-
го зваженого рівномірного наближення функції f (x) експоненційним виразом (1)
на відрізку [α, β] з точним відтворенням значень функції та її похідної лише
в одній точці u1. Нехай у деякій точці u1, 1 із відрізка [α, β] відмінній від точок
множини Xk і сусідній із точкою u1
1 11 2 1,1 1 1... ...j j nx x x u u x x+< < < < < < < < (8)
функція f (x) набуває значення f (u1, 1), а експоненційний вираз Em(b; x) є найкра-
щим рівномірним наближенням функції f (x) з ваговою функцією w(x) на множині
точок (8) й інтерполюванням у точках u1 та u1, 1, тобто точним відтворенням зна-
чення функції f (x) у точках u1 та u1, 1. Відповідно до [5] експоненційний вираз (1)
задовольняє умову Хаара на всій числовій осі. Тому згідно властивостей рівно-
мірного наближення з інтерполюванням виразом, який задовольняє умову Хаара [6],
таке наближення існує і до того ж єдине. Окрім того, параметри цього набли-
ження задовольняють систему рівнянь
Василь Андруник, Петро Малачівський
Неперервна та гладка мінімаксна сплайн-апроксимація експоненційним виразом
88
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1,1 1,1
; ,
; ,
; 1 , 1, 1,
m
m
i
i m i i
E b u f u
E b u f u
f z E b z w z i m
=
=
− = − η = + (9)
де
( ) ( ) ( )
1
max ;i m i ii n
f x E b x w x
≤ ≤
η = − . (10)
Оскільки значення функції f (x) і виразу Em(b; x) у точках u1 та u1, 1 співпа-
дають, то за теоремою Лагранжа [7] їхні середні нахили між цими точками одна-
кові. Якщо точку u1, 1 подумки наближати до точки u1, то ці середні нахили бу-
дуть прямувати відповідно до значення похідної функції f (x) і похідної виразу
Em(b; x) у точці u1. Отож, у разі співпадіння точок u1, 1 та u1 отримаємо вираз
Em(b; x), який у точці u1, 1 точно відтворює не лише значення функції, а й значення
похідної.
Нехай Us послідовність точок із відрізку [u1, 1, u1]
( ) ( ) ( ){ }11
2
1
1
11,1 ... uuuuuU s
s <<<<<=
така, що зі збільшенням s точка ( )su1 щораз ближче наближається до точки u1.
Вважаємо, що значення функції f (x) у цих точках відомі. Тоді, згідно властивос-
тей рівномірного наближення з інтерполюванням, рівномірне наближення функції
f (x) виразом Em(b; x) із ваговою функцією w(x) на множині точок ( ){ }suX 1∪ й
інтерполюванням у точках u1 і ( )su1 існує й до того ж єдине [6]. Параметри такого
наближення задовольняють систему рівнянь
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
1 1
1 1
; ,
; ,
; 1 , 1, 1,
s
m
s ss
m
is
i m i i
E b u f u
E b u f u
f z E b z w z i m
=
=
− = − η = +
(11)
де zi, 1, 1i m= + — точки альтернанту, упорядковані за зростанням zi < zi + 1 1,i m= і
відмінні від точок u1 і ( )su1 ; η — похибка наближення, яка визначається за форму-
лою (10). Відповідно до [6] таке наближення існує й єдине для будь-яких точок
( )su1 (s = 1, 2, …) з послідовності Us, а його параметри задовольняють систему
рівнянь (11). Система рівнянь (11) еквівалентна системі
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 5, 85-97
89
( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
1 1
1 1, 1 1,
1 11 1
; ,
; ;
,
; 1 , 1, 1,
s
m
s s
m m s s
s s
is
i m i i
E b u f u
E b u E b u f u f u
u u u u
f z E b z w z i m
=
− −
=
− −
− = − η = +
(12)
в якій друге рівняння є різницею першого та другого рівняння системи (11), поді-
леною на ( )( )suu 11 − .
Оскільки (12) є системою лінійних рівнянь, то її розв’язок є неперервним
щодо ( )su1 у топології простору Rm + 2 [7]. За умовою теореми функція f (x) є непе-
рервно диференційовною, тому відповідно до викладених вище міркувань, пере-
ходячи до границі, спрямувавши ( )su1 до u1, отримаємо
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
*
1 1
*
1 1 1
*
; ,
; ,
; 1 , 1, 1.
m
m
i
i m i i
E b u f u v
E b u f u v
f z E b z w z i m
= ≡
′ ′= ≡
− = − η = +
(13)
Таким чином, у результаті спрямування ( )su1 до u1 отримано вираз Em(b*; x),
який є найкращим рівномірним наближенням функції f (x) на множині (2) точок
Xk з ваговою функцією w(x) і точним відтворенням значення функції та похідної
в точці u1. Згідно з теоремою про рівномірне наближення з інтерполюванням ви-
разом, який задовольняє умову Хаара [6], цей вираз буде єдиним. При цьому
параметри ( )mibi ,0* = цього виразу задовольняють систему рівнянь (13), яка
співпадає з системою рівнянь (7) при k = 1.
Отже, найкраще рівномірне наближення виразом Em(a; x) функції f (x) на
множині (2) точок Xk з ваговою функцією w(x) і точним відтворенням значення
функції та її похідної в точці u1 існує й до того ж єдине, а його параметри задо-
вольняють систему рівнянь (7) для k = 1.
Подібним чином, застосовуючи властивість рівномірного наближення з ін-
терполюванням виразом, який задовольняє умову Хаара [6], можна послідовно
для k різних точок (k = 2, 3, …) встановити справедливість теореми. При цьому
слід приймати, що функція f (x) додатково задана ще в k різних точках ui, 1
( )1,i k= відрізка [α, β], відмінних від точок множини Xk (2) і сусідніх із від-
повідними точками u1 ( )kiuux iiji ,1,1, =<< . Теорему доведено.
Відповідно до цієї характеристичної властивості кількість точок альтернанса
найкращого рівномірного наближення виразом (1) із точним відтворенням зна-
Василь Андруник, Петро Малачівський
Неперервна та гладка мінімаксна сплайн-апроксимація експоненційним виразом
90
чень функції та її похідної в заданих точках дорівнює m – 2k + 3, де m — степінь
поліному, а k — кількість точок інтерполювання. Для знаходження точок альтер-
нанса zi, 1, 2 3i m k= − + (6), у разі визначення параметрів рівномірної апроксимації
деякої неперервно диференційовної функції f (x) на множині (2) точок Xk з точ-
ним відтворенням значень функції та її похідної у точках u1 ( )1,i k= , можна ви-
користати схему Ремеза з одноточковою заміною наближення до точок альтер-
нанса за алгоритмом Валле-Пуссена [8]. При цьому під час вибору початкового
наближення до точок альтернанса слід пам’ятати, що точки u1 ( )1,i k= не мо-
жуть входити в альтернанс.
2. Неперервне й гладке мінімаксне сплайн-наближення
експоненційним виразом із заданою похибкою
Нехай f (x) деяка неперервна та диференційовна функція на відрізку [α, β]
( f (x) ∈ C (1)[α, β]) і w(x) — вагова функція, яка на [α, β] є неперервною і не набуває
нульових значень (w(x) ≠ 0, x ∈ [α, β]). Необхідно функцію f (x) наблизити на від-
різку [α, β] з похибкою G0 неперервним і гладким мінімаксним сплайном
( )
( )( )
( )( )
( )( )
1
1 2
2
2 3
1
; , ,
; , ,
; , ,
m
m
q
m q q
E a x t x t
E a x t x t
S x E a x t x t +
≤ ≤
≤ ≤
⋅ ⋅ ⋅
= ≤ ≤
(14)
де q — кількість ланок у сплайн-наближенні, точки tj ( )1,1 += qj — межі ланок,
їх ще називатимемо вузлами сплайна. Крайні точки t1 і tq + 1 співпадають із межами
відрізка [α, β] — t1 = α, tq + 1 = β, а відрізки [tj, tj + 1], qj ,1= — це ланки сплайна,
на кожній з яких значення сплайна задається відповідним виразом — Em(a(j); x) (1).
У цьому сплайні кожний із виразів Em(a(j); x), qj ,1= є мінімаксним набли-
женням функції f (x) на відрізку [tj, tj + 1] із вагою w(x)
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( )xw
xaExf
xw
xaExf m
txta
j
m
txt jjjj
;maxmin;max
11
−
=
−
++ ≤≤≤≤
, (15)
і для забезпечення неперервності та гладкості сплайна, значення цих виразів і їх
похідних у внутрішніх вузлах сплайна tj, qj ,2= співпадають
( )( ) ( )( )j
j
mj
j
m taEtaE ;;1 =− , qj ,2= ; (16)
( )( ) ( )( )j
j
mj
j
m taEtaE ;;1 ′=′ − , qj ,2= . (17)
Окрім того, якщо Gj — значення похибки наближення функції f (x) із вагою
w(x) на j-й ланці сплайна
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 5, 85-97
91
( ) ( )( ) ( )
1
max ;
j j
j
j mt x t
G f x E a x w x
+≤ ≤
= −
,
то
0
1
max GG j
qj
≤
≤≤
, (18)
де G0 — задана похибка сплайн-наближення.
Задача знаходження для функції f (x) сплайн-наближення S(x) (14) із влас-
тивостями (15)-(18) на відрізку [α, β] полягає в забезпеченні заданої похибки
наближення G0 при найменшій можливій кількості ланок. Розв’язування цієї за-
дачі зводиться до такого вибору меж ланок — вузлів tj ( )qj ,2= сплайн-набли-
ження (14), при якому довжини всіх ланок, можливо, крім останньої, є макси-
мально допустимими для заданої похибки наближення G0. За основу алгоритму
знаходження неперервного та гладкого мінімаксного сплайн-наближення (14)
можна взяти алгоритм, описаний у роботі [9].
Параметри виразів (1) сплайн-наближення (14) на кожній із ланок визнача-
ються відповідно до критерію мінімаксного наближення з точним відтворенням
значення функції та похідної в заданих точках (7). Для отримання неперервного
та гладкого мінімаксного сплайна відповідно до умов (15)-(17) необхідно забез-
печити співпадання значень ланок сплайна та їх похідних у внутрішніх вузлах tj
( )2,j q= . На першій ланці сплайна застосовується найкраще рівномірне набли-
ження з точним відтворенням значення функції та похідної у правій межі ланки —
t2. Параметри найкращого рівномірного наближення виразом (1) на першій ланці
сплайна визначаються з системи рівнянь
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1
1
1 1 11
1
2 2
2 2
; 1 , 1, 1,
; ,
; ,
i
i m i i
m
m
f z E a z w z i m
E a t f t
E a t f t
− = − µ = +
=
′ ′=
(19)
де ( ) 1,1,1 += mizi — упорядковані за зростанням ( ) ( )1
1
1
+< ii zz , ( )mi ,1= точки аль-
тернанса на відрізку [t1, t2]. Кількість точок альтернанса, що визначає таке
мінімаксне наближення, дорівнює — (m + 1). При цьому похибка апроксимації
на першій ланці дорівнює модулю µ1 (G1 = µ1 ).
Параметри виразів (1) сплайн-наближення (14) для функції f (x) на внут-
рішніх ланках, починаючи з другої до передостанньої, визначаються за критерієм
мінімаксного наближення з точним відтворенням значення функції та похідної у
крайніх точках кожної з цих ланок [tj, tj + 1], 1,2 −= qj . Згідно з характеристич-
ною властивістю найкращого рівномірного наближення з точним відтворенням
значення функції та похідної в крайніх точках (7) значення коефіцієнтів відповід-
них виразів (1) задовольняють системам рівнянь
Василь Андруник, Петро Малачівський
Неперервна та гладка мінімаксна сплайн-апроксимація експоненційним виразом
92
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1 1
1 1
; ,
; ,
; 1 , 1, 1,
; ,
; , 2, 1,
j
j
i i i
j
j
m j j
m j j
ij j jj
m j
m j j
m j j
E a t f t
E a t f t
f z E a z w z i m
E a t f t
E a t f t j q
+ +
+ +
=
′ ′=
− = − µ = −
=
′= = −
(20)
де ( ) , 1, 1
i
jz i m= − , 2, 1j q= − — упорядковані за зростанням ( ) ( )j
i
j
i zz 1+< ( )1, 2i m= −
точки альтернанса j-ої ланки, тобто на відрізку [tj, tj + 1]. У цьому випадку є лише
(m – 1)-а точка альтернанса. Як і для першої ланки похибка апроксимації на кож-
ній із цих ланок дорівнює модулю відповідного значення µj (Gj = µj ), 2, 1j q= − .
Для забезпечення неперервності та гладкості сплайна наближення виразом
(1) на останній ланці сплайна визначається як мінімаксне наближення з точним
відтворенням значення функції та похідної у крайній лівій точці ланки — tq.
Значення коефіцієнтів цього наближення відповідно до (7) задовольняють систе-
му рівнянь
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
; ,
; ,
; 1 , 1, 1,
q
q
m q q
m q q
iq q qq
i m i i q
E a t f t
E a t f t
f z E a z w z i m
=
′=
− = − µ = +
(21)
де ( ) 1,1, += miz q
i — упорядковані за зростанням ( ) ( )q
i
q
i zz 1+< ( )mi ,1= точки
альтернанса на відрізку [tq, tq + 1]. Подібно до першої ланки це наближення має
(m + 1)-у точку альтернанса. Похибка апроксимації на останній ланці дорівнює
модулю µq (Gq = µq ).
Задача мінімаксного сплайн-наближення з заданою похибкою в разі набли-
ження таблично заданих функцій не завжди має розв’язок. Вона не має розв’язку,
якщо на одному з підінтервалів [tj, tj + 1] ( )1,j q= мінімально допустимої довжини
ланки отримується похибка Gj, більша від заданої G0 (Gj > G0). Під час побудови
сплайн-наближення (14) мінімально необхідна кількість точок для визначення
першої й останньої ланки дорівнює (m + 2), а для решти ланок — (m + 1).
Якщо під час побудови мінімаксного сплайн-наближення (14) отримується по-
хибка, більша від заздалегідь заданої, то залежно від конкретної задачі можна вибрати
вираз (1) із більшою кількістю параметрів, або на підінтервалах, на яких міні-
максне наближення з необхідною похибкою не вдалося знайти, можна використати
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 5, 85-97
93
ермітову інтерполяцію виразом (1) із відтворенням значення функції та її похідної
у відповідних крайніх точках ланки: на першій ланці у крайній правій точці, на
останній — у крайній лівій точці, а для внутрішніх ланок в обох крайніх точках.
Отже, побудова неперервного та гладкого мінімаксного сплайн-наближення
сумою многочлена й експоненти (1) із заданим показником степеня ґрунтується
на застосуванні характеристичної властивості (7) рівномірного наближення з точ-
ним відтворенням значень функції та її похідної в заданих точках. Значення пара-
метрів наближення на першій ланці цього сплайна визначається як рівномірне
наближення виразом (1) із точним відтворенням значень функції та її похідної
в крайній правій точці ланки (19). Параметри наближення на внутрішніх ланках
сплайна, починаючи з другої до передостанньої, визначаються відповідно до ха-
рактеристичної властивості рівномірного наближення з точним відтворенням
значень функції та її похідної в крайніх точках цих ланок (20). Мінімаксне на-
ближення на останній ланці сплайна точно відтворює значення функції та її
похідної у крайній лівій точці ланки (21). При цьому довжини всіх ланок сплай-
на, крім останньої, вибираються максимально можливими для заданої похибки
сплайн-наближення.
3. Неперервна апроксимація низькотемпературної
характеристики та чутливості термодіодного сенсора
Апроксимуємо неперервним і гладким мінімаксним сплайном (14) температурну
характеристику термодіодного сенсора типу DT-471 фірми Lake Shore, яка пода-
на на сайті [10] (Curve 10). Температурна характеристика цього сенсора задана
120-а значеннями в діапазоні від 1,4 К до 475 К.
Для відтворення цієї температурної характеристики отримано неперервний
і гладкий мінімаксний сплайн із відносною похибкою 0,03 %. Цей сплайн склада-
ється з 6-ох ланок вигляду
( ) ( ) qT
i
ij
j AeTaTU
i
+=∑
=
4
0
, 0,6q = − , 6,1=j , (22)
кожна з яких визначалась за мінімаксним критерієм.
Значення коефіцієнтів виразів (22) для кожної з ланок цього сплайна та межі
ланок містить табл. 1. У колонці «Похибка апроксимації» подано значення відносної
похибки апроксимації мінімаксним сплайном температурної характеристики сен-
сора (Curve 10), а також похибки відтворення чутливості сенсора похідною від
сплайна в точках спостереження. Значення цих похибок подано у відсотках.
Крива на рис. 1 а відповідає відносній похибці відтворення сплайном
значення чутливості сенсора типу DT-471 в діапазоні зміни температури від 1,4 К
до 2,8 К, а на рис. 1 б — у діапазоні зміни температури від 2,8 К до 475 К.
Відносна похибка відтворення сплайном значення чутливості 28 % на пер-
шій ланці зумовлена похибкою відтворення чутливості сенсора в крайній лівій
точці діапазону при температурі 1,4 К. У подальших точках спостереження відносна
Василь Андруник, Петро Малачівський
Неперервна та гладка мінімаксна сплайн-апроксимація експоненційним виразом
94
Таблиця 1
Результати апроксимації
температурної характеристики експоненційним сплайном
Похибка
апроксимації Номер
ланки
Межі
ланки
Значення коефіцієнтів виразу (22)
у порядку їх входження у вираз характе-
ристики
чутли-
вості
1 1,4;
12,5
1,6245503 0,04210133 – 0,014548046
0,001115927 – 2,8705225⋅10– 5 0,09417893
0,027 28
2 12,5;
22
0,7602341 0,17658149 – 0,01740255
6,866103⋅10– 4 – 1,005827497⋅10– 5 22,8597905
0,012 1,1
3 22;
26
– 151,597665 24,5585451 – 1,4805356
0,03965229 – 3,9805297⋅10– 4 51178,444488
0,021 2,4
4 26;
85
1,2004256 – 4,7378948⋅10– 3 7,54468126⋅10– 5
– 8,06131803⋅10– 7 3,02252938⋅10– 9 20877,673728
0,027 3,76
5 85;
410
1,1551988 – 1,48897598⋅10– 3 – 3,77054629⋅10– 6
7,28113453⋅10– 9 – 5,7712894⋅10– 12 – 6,1841068⋅1017
0,025 0,82
6 410;
475
16,477237 – 0,14679077 5,1342327⋅10– 4
– 8,11736325⋅10– 7 4,8113898⋅10– 10 – 9,2054948⋅1031
0,011 0,29
а
δ[%]
0
– 10
– 15
– 20
– 25
12108 6 42
Т [K]
– 5
δ[%]
4
2
0
– 2
– 4
Т [K] 400 300200100
б
Рис. 1. Відносна похибка відтворення сплайном значення чутливості сенсора типу DT-471
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 5, 85-97
95
Рис. 2. Графіки чутливості сенсора типу DT-471
dU mB
dt K
– 10
– 20
– 30
– 40
100 200 300 400 Т [K]
похибка відтворення чутливості сенсора зменшується, зокрема, у другій точці
для температури 1,64 К вона становить 13 %, при температурі 1,8 К — 4,8 % і
для решти точок спостереження на першій ланці продовжує спадати. Починаючи
з температури 2,8 К відносна похибка відтворення чутливості сенсора не переви-
щує 3,4 % (див. графік а на рис. 1). Деяке зростання відносної похибки відтво-
рення сплайном чутливості сенсора до 3,76 % спостерігається на четвертій ланці
для температурі 30 К (див. графік б на рис. 1). Це зростання похибки поясню-
ється наявним у цьому інтервалі локальним максимумом функції, що описує чут-
ливість сенсора (див. рис. 2).
На рис. 2 значення чутливості сенсора, обчислені за сплайном, зображено
неперервною кривою, а спостережувані значення чутливості показано точками.
Подані в табл. 1 результати апроксимації температурної характеристики та
чутливості термодіодного сенсора типу DT-471 фірми Lake в діапазоні від 1,4 К
до 475 К і наведені графіки підтверджують ефективність застосування неперерв-
ного та гладкого мінімаксного сплайн-наближення експоненційним виразом (1)
для відтворення температурної характеристики та чутливості термодіодного сенсора.
Порівняно з відповідним сплайн-наближенням із поліноміальними ланками з та-
кою ж кількістю параметрів [4], відносна похибка відтворення чутливості сенсо-
ра при температурі 30 К майже вдвічі менша.
Висновки. Мінімаксне наближення з точним відтворенням значень функції та її
похідної сумою многочлена й експоненти з заданим показником степеня (1) існує й
до того ж єдине для неперервних і диференційовних функцій. Якщо k — кількість
точок, у яких точно відтворюється значення функції та її похідної, то згідно (7) таке
мінімаксне наближення виразом (1) характеризується (m – k + 1) точками альтернанса.
Під час побудови неперервного та гладкого мінімаксного сплайн-наближення
Василь Андруник, Петро Малачівський
Неперервна та гладка мінімаксна сплайн-апроксимація експоненційним виразом
96
виразом (1) значення його параметрів на першій ланці визначається як рівномірне
наближення з точним відтворенням значення функції та її похідної у крайній правій
точці ланки (19), на останній ланці сплайна з точним відтворенням значення
функції та похідної у крайній лівій точці ланки (21), а на решті ланок, починаючи
з другої до передостанньої, визначаються відповідно до характеристичної власти-
вості рівномірного наближення з точним відтворенням значення функції та похід-
ної у крайніх точках цих ланок (20).
Апроксимація температурної характеристики термодіодного сенсора типу
DT-471 фірми Lake в діапазоні від 1,4 К до 475 К підтверджує ефективність за-
стосування неперервного та гладкого мінімаксного сплайн-наближення сумою
многочлена й експоненти з заданим степенем для відтворення температурної ха-
рактеристики та чутливості термодіодного сенсора. Відносна похибка відтворення
чутливості сенсора цим сплайном майже вдвічі менша від наближення сплайном
із поліноміальними ланками та такою ж кількістю параметрів. Похибку відтво-
рення чутливості сенсора похідною від неперервного мінімаксного сплайн-на-
ближення експоненційним виразом удасться ще дещо зменшити шляхом вибору
відповідного значення степеня експоненти q у виразі (1) або приймаючи різні
значення для параметра q на різних ланках.
Література
[1] Денисюк В. П., Марченко Б. Г. Сплайны и их приложения в задачах моделирования
и обработки измерительных сигналов. — К.: Национальный технический универ-
ситет Украины «КПИ», 1995. — 246 с.
[2] Иващенко А. Н., Шварц Ю. М. Аппроксимация термометрических характеристик
кремниевых диодных сенсоров температуры // Оптоэлектроника и полупроводни-
ковая техника: межвед. сб. науч. тр. — 2003. — Вып. 38. — С. 61-70.
[3] Шварц Ю. М., Яганов П. А., Дзюба В. Г. Нейросетевая аппроксимация термометри-
ческой характеристики диодного сенсора // Технология и конструирование в элект-
рон. аппаратуре. — 2005. — № 5. — С. 18-22.
[4] Малачівський П., Пізюр Я., Андруник В. Неперервне й гладке рівномірне сплайн-
наближнення температурної характеристики сенсора і його чутливості // Вимірю-
вальна техніка та метрологія. — 2007. — № 67.
[5] Коллатц Л., Крабс В. Теория приближений. Чебышевские приближения и их при-
ложения. — М.: Наука, 1978. — 272 с.
[6] Малачівський П. С. Рівномірне наближення функцій з інтерполюванням у заданих
точках // Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології. — 2006. —
Вип. 4. — C. 142-150.
[7] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников. — М.: Мир,
1977. — 831 с.
[8] Попов Б. А. Pавномерное приближение сплайнами. — К.: Наук. думка, 1989. — 272 с.
[9] Малачiвський П., Андруник В. Рівномірне сплайн-наближення // «Комп’ютерні тех-
нології друкарства». — Львів: Українська академія друкарства, 2002. — № 7. —
С. 107-115.
[10] www.lakeshore.com/…/Curve 10/
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 5, 85-97
97
Continuous and Smoothed Minimax Spline-Approximation
by Exponential Expression
Vasyl Andrunyk, Petro Malachivskyy
The properties of minimax (Chebyshev, uniform) approximation with exact reproduction of func-
tion values and its derivative by sum of polynomial and exponent with a priori given power degree
are considered. The algorithm for construction of continuous and smooth spline-approximation
with a priori given error is described. The example of application of this approximation for the
transfer-function of diode temperature sensor for cryogen temperatures is given. The value compa-
rison of sensor sensitivity and derivative of obtained spline is conducted.
Непрерывная и гладкая минимаксная сплайн-аппроксимация
экспоненциальным выражением
Васыль Андруник, Петро Малачивский
Рассмотрены свойства минимаксного (чебышевского, равномерного) приближения с точ-
ным восстановлением значений функции и ее производной суммой многочлена и экспоненты
с заданным показателем степени. Установлены необходимые и достаточные условия су-
ществования такого минимаксного приближения. Описан алгоритм построения непрерывного
и гладкого минимаксного сплайн-приближения экспоненциальным выражением с заданной
погрешностью. Приведен пример применения такого сплайн-приближения для описания
низкотемпературной характеристики термодиодного сенсора. Проведены сравнения зна-
чений чувствительности сенсора и производной полученного сплайна.
Отримано 11.04.07
|