Механотермодифузійні процеси в багатокомпонентних твердих розчинах з урахуванням необоротності локального зміщення маси
З використанням підходів і методів нерівноважної термодинаміки та механіки суцільних середовищ отримано повну систему рівнянь для опису взаємозв’язаних механотермодифузійних процесів у деформівному хімічно інертному n-компонентному твердому розчині з урахуванням необоротності процесу локального зміщ...
Saved in:
| Published in: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
|---|---|
| Date: | 2007 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2007
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21127 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Механотермодифузійні процеси в багатокомпонентних твердих розчинах з урахуванням необоротності локального зміщення маси / О. Грицина // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 5. — С. 30-41. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-21127 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Грицина, О. 2011-06-15T09:25:35Z 2011-06-15T09:25:35Z 2007 Механотермодифузійні процеси в багатокомпонентних твердих розчинах з урахуванням необоротності локального зміщення маси / О. Грицина // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 5. — С. 30-41. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21127 539.3 З використанням підходів і методів нерівноважної термодинаміки та механіки суцільних середовищ отримано повну систему рівнянь для опису взаємозв’язаних механотермодифузійних процесів у деформівному хімічно інертному n-компонентному твердому розчині з урахуванням необоротності процесу локального зміщення маси. Показано, що наслідком врахування необоротності процесу локального зміщення маси є реологічні визначальні співвідношення. Побудована модель дозволяє дослідити, зокрема, динаміку становлення приповерхневої неоднорідності напружено-деформованого стану твердих розчинів та вивчити за об’ємного підходу закономірності розподілу компонент твердого розчину у приповерхневих областях. Відтак вона є ефективною при дослідженні тонких плівок, волокон, які характеризуються співвимірністю вкладів поверхневого та об’ємного чинників у внутрішню енергію. Based on approaches and methods of both non-equilibrium thermodynamics and solid mechanics a complete set of equations for description of coupled mechano-thermo-diffusion processes in the deformable chemically-inert n-component solid solution was obtained where the irreversibility of a process of local mass displacement was accounted for. It is shown that the rheologycal constitutive equations are the consequences of an accounting for the irreversibility of the process of local mass displacement. This model allows one to describe, in particular, the dynamics of development of a near-surface inhomogeneity of solid solution under stress-strain condition and to study a near-surface distribution of components in solid solution using volumetric approach. Such a model could be effective in studying both thin films and fibres where the volumetric and interfacial contributions to internal energy are of the same order of magnitude. С использованием подходов и методов неравновесной термодинамики и механики сплошных сред получена полная система уравнений для описания взаимосвязанных механотермодиффузионных процессов в деформируемом химически-инертном n-компонентном твердом растворе с учетом необратимости процесса локального смещения массы. Показано, что следствием учета необратимости процесса локального смещения массы являются реологические определяющие соотношения. Построенная модель позволяет исследовать, в частности, динамику становления приповерхностной неоднородности напряженно-деформированного состояния твердых растворов и изучать в объемном подходе закономерности распределения компонент твердого раствора в приповерхностных областях. Вследствие этого она является эффективной при исследовании тонких пленок, волокон, которые характеризуются соизмеримостью вкладов поверхностного и объемного факторов во внутреннюю энергию. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Механотермодифузійні процеси в багатокомпонентних твердих розчинах з урахуванням необоротності локального зміщення маси Mechano-thermo-diffusion processes in multicomponent solid solutions taking іnto account the irreversibility of local displacement of mass Механотермодиффузионные процессы в многокомпонентных твердых растворах с учетом необратимости локального смещения массы Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Механотермодифузійні процеси в багатокомпонентних твердих розчинах з урахуванням необоротності локального зміщення маси |
| spellingShingle |
Механотермодифузійні процеси в багатокомпонентних твердих розчинах з урахуванням необоротності локального зміщення маси Грицина, О. |
| title_short |
Механотермодифузійні процеси в багатокомпонентних твердих розчинах з урахуванням необоротності локального зміщення маси |
| title_full |
Механотермодифузійні процеси в багатокомпонентних твердих розчинах з урахуванням необоротності локального зміщення маси |
| title_fullStr |
Механотермодифузійні процеси в багатокомпонентних твердих розчинах з урахуванням необоротності локального зміщення маси |
| title_full_unstemmed |
Механотермодифузійні процеси в багатокомпонентних твердих розчинах з урахуванням необоротності локального зміщення маси |
| title_sort |
механотермодифузійні процеси в багатокомпонентних твердих розчинах з урахуванням необоротності локального зміщення маси |
| author |
Грицина, О. |
| author_facet |
Грицина, О. |
| publishDate |
2007 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| publisher |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Mechano-thermo-diffusion processes in multicomponent solid solutions taking іnto account the irreversibility of local displacement of mass Механотермодиффузионные процессы в многокомпонентных твердых растворах с учетом необратимости локального смещения массы |
| description |
З використанням підходів і методів нерівноважної термодинаміки та механіки суцільних середовищ отримано повну систему рівнянь для опису взаємозв’язаних механотермодифузійних процесів у деформівному хімічно інертному n-компонентному твердому розчині з урахуванням необоротності процесу локального зміщення маси. Показано, що наслідком врахування необоротності процесу локального зміщення маси є реологічні визначальні співвідношення. Побудована модель дозволяє дослідити, зокрема, динаміку становлення приповерхневої неоднорідності напружено-деформованого стану твердих розчинів та вивчити за об’ємного підходу закономірності розподілу компонент твердого розчину у приповерхневих областях. Відтак вона є ефективною при дослідженні тонких плівок, волокон, які характеризуються співвимірністю вкладів поверхневого та об’ємного чинників у внутрішню енергію.
Based on approaches and methods of both non-equilibrium thermodynamics and solid mechanics a complete set of equations for description of coupled mechano-thermo-diffusion processes in the deformable chemically-inert n-component solid solution was obtained where the irreversibility of a process of local mass displacement was accounted for. It is shown that the rheologycal constitutive equations are the consequences of an accounting for the irreversibility of the process of local mass displacement. This model allows one to describe, in particular, the dynamics of development of a near-surface inhomogeneity of solid solution under stress-strain condition and to study a near-surface distribution of components in solid solution using volumetric approach. Such a model could be effective in studying both thin films and fibres where the volumetric and interfacial contributions to internal energy are of the same order of magnitude.
С использованием подходов и методов неравновесной термодинамики и механики сплошных сред получена полная система уравнений для описания взаимосвязанных механотермодиффузионных процессов в деформируемом химически-инертном n-компонентном твердом растворе с учетом необратимости процесса локального смещения массы. Показано, что следствием учета необратимости процесса локального смещения массы являются реологические определяющие соотношения. Построенная модель позволяет исследовать, в частности, динамику становления приповерхностной неоднородности напряженно-деформированного состояния твердых растворов и изучать в объемном подходе закономерности распределения компонент твердого раствора в приповерхностных областях. Вследствие этого она является эффективной при исследовании тонких пленок, волокон, которые характеризуются соизмеримостью вкладов поверхностного и объемного факторов во внутреннюю энергию.
|
| issn |
1816-1545 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21127 |
| citation_txt |
Механотермодифузійні процеси в багатокомпонентних твердих розчинах з урахуванням необоротності локального зміщення маси / О. Грицина // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 5. — С. 30-41. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT gricinao mehanotermodifuzíiníprocesivbagatokomponentnihtverdihrozčinahzurahuvannâmneoborotnostílokalʹnogozmíŝennâmasi AT gricinao mechanothermodiffusionprocessesinmulticomponentsolidsolutionstakingíntoaccounttheirreversibilityoflocaldisplacementofmass AT gricinao mehanotermodiffuzionnyeprocessyvmnogokomponentnyhtverdyhrastvorahsučetomneobratimostilokalʹnogosmeŝeniâmassy |
| first_indexed |
2025-11-25T20:42:18Z |
| last_indexed |
2025-11-25T20:42:18Z |
| _version_ |
1850527530462740480 |
| fulltext |
Механотермодифузійні процеси в багатокомпонентних
твердих розчинах з урахуванням необоротності
локального зміщення маси
Ольга Грицина
к. ф.-м. н., с. н. с., Центр математичного моделювання IППММ iм. Я. С. Пiдстригача НАН України, вул. Дж. Ду-
даєва, 15, Львів, 79005; e-mail: gryt@cmm.lviv.ua
З використанням підходів і методів нерівноважної термодинаміки та механіки суцільних
середовищ отримано повну систему рівнянь для опису взаємозв’язаних механотермоди-
фузійних процесів у деформівному хімічно інертному n-компонентному твердому розчині з
урахуванням необоротності процесу локального зміщення маси. Показано, що наслідком
врахування необоротності процесу локального зміщення маси є реологічні визначальні спів-
відношення. Побудована модель дозволяє дослідити, зокрема, динаміку становлення припо-
верхневої неоднорідності напружено-деформованого стану твердих розчинів та вивчити
за об’ємного підходу закономірності розподілу компонент твердого розчину у приповерхне-
вих областях. Відтак вона є ефективною при дослідженні тонких плівок, волокон, які ха-
рактеризуються співвимірністю вкладів поверхневого та об’ємного чинників у внутрішню
енергію.
Ключові слова: твердий розчин, взаємозв’язані механотермодифузійні
процеси, необоротне зміщення маси, нелокальність.
Вступ. Уперше процес локального зміщення маси при розгляді термопружних
систем враховано у працях Я. Й. Бурака [1]. У розвиток ідеї, запропонованої в
[1], на основі лагранжевого підходу були побудовані локально-градієнтні моделі
[2], які дозволяли вивчати за об’ємного опису приповерхневі та приконтактні
явища у термопружних тілах, у тому числі твердих розчинах. На цій основі було
вивчено закономірності розподілу компонент твердих розчинів та напружено-
деформованого стану у приповерхневих областях тіл простої геометрії.
У роботі [3] базові співвідношення математичної моделі термопружного
твердого розчину із врахуванням локального зміщення маси записано у змінних
Ейлера (з орієнтацією на лабораторну систему координат). Однак, в усіх пере-
лічених дослідженнях локальне зміщення маси описувалося у наближенні обо-
ротного, що не дозволяло вивчати динаміку його становлення, зокрема у припо-
верхневій області. Слід відзначити, що у праці [4] враховано необоротність про-
цесу локального зміщення маси в електропровідних в’язких рідинах.
Метою даного дослідження є формулювання повної системи рівнянь меха-
нотермодифузії деформівного твердого розчину із врахуванням необоротності
процесу локального зміщення маси скелета.
УДК 539.3
30
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 5, 30-41
31
1. Рівняння балансу маси та ентропії
Розглянемо n-компонентний хімічно інертний ізотропний твердий розчин, який
складається із підсистем скелета (підсистема n) та домішок (підсистеми
1, 1k n= − ). Тіло перебуває в умовах дифузійного насичення під дією зовнішніх
силового та температурного навантаження. Поряд із спричиненими такою зов-
нішньою дією процесами деформування, тепло- й масоперенесення будемо
також враховувати можливість упорядкування структури тіла (локальне змі-
щення маси) [3, 4]. Таке упорядкування будемо описувати у наближенні необо-
ротного процесу.
Тіло, яке займає область ( )V евклідового простору та обмежене гладкою
поверхнею ( )Σ , віднесемо до декартової системи координат { }ix з ортонормо-
ваним базисом { }iэ ( )1,3i = . Відтак місцеперебування будь-якої точки простору
визначається її радіус-вектором 3
1 i iir x э
=
=∑ .
Для опису процесу масоперенесення введемо скалярні поля хімічних по-
тенціалів ( ),k r tµ , густин ( ),k r tρ , векторні поля дифузійних потоків маси mkJ
компонент твердого розчину та вектор потоку маси s
mnJ , спричинений упоряд-
куванням структури тіла (скелета). Тоді рівняння балансу маси підсистем твер-
дого розчину в інтегральній формі мають вигляд [3]
( ) ( )
k k k
V
d dV nd
dt Σ
ρ = − ρ ⋅ Σ∫ ∫ v , 1, 1k n= − , (1)
( )
( ) ( )
s
n n mn
V
d dV J nd
dt Σ
ρ = − ρ + ⋅ Σ∫ ∫ nv , (2)
де kv — вектор швидкості k-ої компоненти у точці евклідового простору з радіус-
вектором r , n — вектор зовнішньої нормалі до поверхні тіла ( )Σ .
Введемо вектор mΠ локального зміщення маси скелета [3]
( ) ( )
0
, ,
t
s
m mnr t J r t dt′ ′Π = ∫ . (3)
Звідси для визначення вектора s
mnJ маємо таке співвідношення
s m
mnJ
t
∂Π
=
∂
. (4)
Поряд із континуумами скелета та домішок введемо у розгляд континуум
центрів мас, який характеризуватимемо густиною ρ
( ) ( )
1
, ,
n
k
k
r t r t
=
ρ = ρ∑ (5)
Ольга Грицина
Механотермодифузійні процеси в багатокомпонентних твердих розчинах ...
32
та вектором v швидкості центра мас частинок тіла
1
1 n
m
k k
k t=
∂Π
= ρ +
ρ ∂
∑v v . (6)
Якщо додати рівняння (1), (2) і врахувати формули (4), (5), то отримаємо
рівняння балансу маси континуума центрів мас у загальноприйнятому вигляді [5]
( ) ( )V
d dV n d
dt Σ
ρ = − ρ ⋅ Σ∫ ∫ v . (7)
З урахуванням теореми Остоградського–Гаусса [6] рівняння (1), (2), (7)
балансу маси у локальній формі набувають вигляду
( ) 0, 1, 1k
k k n
t
∂ρ
+∇ ⋅ ρ = = −
∂ kv , (8)
0n m
nt t
∂ρ ∂Π
+∇ ⋅ ρ + = ∂ ∂
nv , (9)
0=ρ⋅∇+∂
ρ∂ )( vt . (10)
Тут 3
1 ... i ii x э
=
∇ = ∂ ∂∑ — оператор Гамільтона.
Для векторів mkJ потоків маси компонент твердого розчину маємо [3]
( )mk k kJ = ρ −v v . (11)
Співвідношенням k kC = ρ ρ ( 1, 1k n= − ) введемо концентрації компонент твер-
дого розчину. Тоді рівняння (8), (9) балансу маси можна записати так
k
mk
dC J
dt
ρ = −∇ ⋅ , 1, 1k n= − , (12)
n m
mn
dC J
dt t
∂Π
ρ = −∇ ⋅ + ∂
. (13)
Тут .../ .../ ...d dt t= ∂ ∂ + ⋅∇v — оператор субстанціональної похідної за часом.
Слід зазначити, що наслідком співвідношень (5), (6) та (11) є
1
n
m
mk
k
J
t=
∂Π
= −
∂∑ . (14)
Введемо величину mπρ , яка має розмірність густини маси, і яку назвемо
густиною наведеної маси скелета [3, 4]. Приймаємо, що для довільного тіла
скінченних розмірів (область ( )V ) вектор mΠ локального зміщення маси та
густина mπρ задовольняють таке інтегральне співвідношення [4, 7]
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 5, 30-41
33
( ) ( )
m m
V V
dV rdVπΠ = ρ∫ ∫ . (15)
Як наслідок із формули (15) маємо [7]
( )
0m
V
dVπρ =∫ , (16)
m mπρ = −∇ ⋅Π . (17)
Якщо співвідношення (17) продиференціювати за часом і врахувати формулу (4),
то одержимо рівняння
0sm
mnJ
t
π∂ρ
+∇ ⋅ =
∂
, (18)
яке має форму закону збереження наведеної маси скелета [4].
В інтегральній формі рівняння балансу ентропії має вигляд [5]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
v
Σ Σ
ℜ
ρ = − ⋅ Σ − ρ ⋅ Σ + σ + ρ∫ ∫ ∫ ∫ ∫s s
V V V
d sdV J n d s n d dV dV
dt T
. (19)
Тут s — питома ентропія; sJ — вектор густини потоку ентропії; σs — виникнен-
ня ентропії за одиницю часу; T — абсолютна температура; ℜ — джерело тепла.
Якщо врахувати теорему Остоградського–Гаусса, то у локальній формі рів-
няння (19) є таким
ℜρ+σ+∇⋅+⋅∇−=ρ sqq TTJ
T
J
dt
dsT 1 . (20)
Тут q sJ TJ= — вектор густини потоку тепла.
2. Рівняння балансу енергії
Приймаємо, що повна енергія твердого розчину у довільний момент часу є
сумою внутрішньої ρu (u — питома внутрішня енергія) та кінетичної 22 /vρ
енергій. Відповідно до закону збереження енергії, її зміна може відбутися
внаслідок наявності конвективної складової потоку, дії внутрішніх поверхневих
сил потужності v⋅σ̂ , потоку тепла qJ , роботи, затраченої на перенесення маси
1
n
k mkk J
=
µ∑ й «упорядкування» структури тіла tm ∂Π∂µπ , а також дії масових
сил F та розподілених теплових джерел потужності ℜ
( ) ( )
2 21 1 ˆ
2 2 q
V
d u dV u J
dt Σ
ρ + = − ρ + − σ ⋅ +
∫ ∫v v v v+
Ольга Грицина
Механотермодифузійні процеси в багатокомпонентних твердих розчинах ...
34
( )
( )1
n
m
k mk
k V
J n d F dV
tπ
=
∂Π
+ µ + µ ⋅ Σ + ρ ⋅ + ρℜ∂
∑ ∫ v . (21)
Тут σ̂ — тензор напружень, µπ — міра зміни внутрішньої енергії системи,
зумовленої локальним зміщенням маси скелета.
Якщо врахувати рівняння балансу маси (10), (12), (13), ентропії (20),
формулу (14), а також теорему Остоградського–Гаусса, то з (21) отримуємо таку
локальну форму рівняння балансу енергії
1
1
ˆˆ :
n
k m m
k
k
dCdu ds deT
dt dt dt dt t t
−
π π
=
∂∇ ⋅Π ∂Π′ ′ ′ρ = ρ + σ + ρµ −µ −∇µ ⋅ −
∂ ∂∑
1
1
ˆ
n
k k q
k
T dJ J T FsT dt
−
=
∇ ′− ⋅∇µ − ⋅ − σ − ⋅ ρ −∇ ⋅σ−ρ
∑ v
v . (22)
Тут ( )ˆ 2e u u= ∇⊗ + ⊗∇ — тензор деформації, u — вектор переміщення, «⊗ »
— знак діадного (мультиплікативного) добутку; k k n′µ = µ −µ , nπ π′µ = µ −µ .
З огляду на подання (17) та рівняння (10) балансу маси континуума центрів
мас, з формули (22) одержуємо таке рівняння балансу внутрішньої енергії
1
1
ˆˆ :
n
k m m
k
k
dC d ddu ds deT
dt dt dt dt dt dt
−
∗ π π
=
ρ π′ ′ ′ρ = ρ + σ + ρµ + ρµ −ρ∇µ ⋅ −∑
1
1
n
k k q s
k
TJ J T
T
−
=
∇′− ⋅∇µ − ⋅ − σ −∑ *ˆd F
dt ∗
⋅ ρ −∇ ⋅σ −ρ
v
v . (23)
Тут ρΠ=π /mm — питомий вектор локального зміщення маси, /m mπρ = ρ ρ —
питома густина наведеної маси,
( ) ˆˆ ˆ m m I∗ π π′ ′σ = σ −ρ ρ µ − π ⋅∇µ , * m mF F π π′ ′= − ρ ∇µ + π ⋅∇⊗∇µ ,
Î — одиничний тензор.
Подамо вектор πµ′∇ сумою його оборотної r
πµ′∇ та необоротної i
πµ′∇
складових, тобто ir
πππ µ′∇+µ′∇=µ′∇ . Тоді рівняння (23) балансу внутрішньої
енергії набуде вигляду
1
1
ˆˆ :
n
rk m m
k
k
dC d ddu ds deT
dt dt dt dt dt dt
−
∗ π π
=
ρ π′ ′ ′ρ = ρ + σ + ρµ + ρµ −ρ∇µ ⋅ −∑
1
1
n
i m
mk k q s
k
d TJ J T
dt T
−
π
=
π ∇′ ′−ρ∇µ ⋅ − ⋅∇µ − ⋅ − σ −∑ *ˆd F
dt ∗
⋅ ρ −∇ ⋅σ − ρ
v
v . (24)
Якщо врахувати інваріантність рівняння балансу внутрішньої енергії щодо
просторових трансляцій та прийняти, що внутрішня енергія u визначається ска-
лярними s, { } ( )1, 1kC k n= − , ρm, векторним mπ та тензорним ê параметрами,
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 5, 30-41
35
тобто { }( )ˆ, , , ,k m mu u s e C= ρ π , то з формули (24) отримуємо таку диференціаль-
ну 1-форму
1
1
1
ˆ ˆ:
n
r
k k m m
k
du Tds de dC d d
−
−
∗ π π
=
′ ′ ′= + ρ σ + µ + µ ρ −∇µ ⋅ π∑ , (25)
вираз для виробництва ентропії
1
2
1
in
k m
s q mk
k
dTJ J
T dt TT
−
π
=
′ ′∇µ π ∇µ∇
σ = − ⋅ − ⋅ − ρ ⋅∑ (26)
та рівняння балансу імпульсу
ˆd F
dt ∗ ∗ρ = ∇ ⋅σ + ρ
v . (27)
Аналіз співвідношень (25)–(27) показує, що врахування процесу локаль-
ного зміщення маси скелета у твердому розчині у підсумку привело до пере-
означення тензора напружень та вектора масових сил, розширення, порівняно з
класичною моделлю, простору параметрів стану (поряд із s, ê , { } ( )1, 1kC k n= −
параметрами стану також є густина наведеної маси скелета ρm та вектор ло-
кального зміщення маси mπ ), а також до виникнення додаткової термоди-
намічної сили, пов’язаної з необоротною складовою градієнта величини π′µ .
4. Рівняння стану
З допомогою співвідношення r
mf u Ts π′= − + π ⋅∇µ перейдемо у виразі (25) до
питомої узагальненої вільної енергії Гельмгольца. Для { }( ˆ, , , ,k mf f T e C= ρ
)r
π′∇µ отримуємо таке узагальнене рівняння Гіббса
1
1
1
ˆ ˆ:
n
r
k k m m
k
df sdT de dC d d
−
−
∗ π π
=
′ ′ ′= − + ρ σ + µ + µ ρ + π ⋅ ∇µ∑ . (28)
З рівняння Гіббса (28) в силу незалежності параметрів { }ˆ, , , , r
k mT e C π′ρ ∇µ
( 1, 1k n= − ) маємо такі рівняння стану
{ }ˆ, , , r
k me C
fs
T
π′ρ ∇µ
∂
= −
∂
,
{ }
*
, , ,
ˆ
ˆ r
k mT C
f
e
π′ρ ∇µ
∂
σ = ρ
∂
,
( )
{ }ˆ, , ,k m
m r
T e C
f
π ρ
∂
π =
′∂ ∇µ
,
ˆ, , , r
m
k
k T e
f
C
π′ρ ∇µ
∂′µ =
∂
( 1, 1k n= − ),
{ }ˆ, , , r
k
m T e C
f
π
π
′∇µ
∂′µ =
∂ρ
. (29)
Ольга Грицина
Механотермодифузійні процеси в багатокомпонентних твердих розчинах ...
36
Розкладемо вільну енергію f в ряд за збуреннями параметрів стану та для
малих збурень обмежимося в цьому розвиненні квадратичними членами
( ) ( )221 2
0 0 0 0 1 2 0
0 0
1
2 2
s
m T
a af f s T T I I a T T
σ σ
π′= − − + µ ρ + + + − +
ρ ρ
( ) ( ) ( )
1 1 22
1 0 0
01 1
1 1 1
2 2 2
n n
kl r eT
c l k m T m
k l
aa C C a a I T T a T T
− −
µ π
µ ρ µ π ρ
= =
′+ + ρ + ∇µ + − + ρ − +
ρ∑∑
( )
1 1 1
1 1 0
0 01 1 1
kn n n
e k kec
m c m k k Tc k
k k k
a aI a C I C a T T C
− − −
ρ
ρ
= = =
+ ρ + ρ + + −
ρ ρ∑ ∑ ∑ . (30)
Тут 1
ˆˆ :I e I e= ≡ , 2 ˆ ˆ:I e e= — перший та другий інваріанти тензора деформації
відповідно; 1 2,a aσ σ , s
Ta , aµρ , aπ
µ , eTa , Taρ , ea ρ , kp
caµ , k
caρ , k
eca , k
Tca ( 1, 1k n= − ) —
характеристики матеріалу; 0f , 0s та 0π′µ — значення вільної енергії, ентропії та
потенціалу π′µ у вихідному стані. Зазначимо, що при записі виразу для вільної
енергії ми приймали, що у вихідному стані 0ˆ 0,e T T= = , 0mρ = , 0r
π′∇µ = ,
0kC = ( 1, 1k n= − ), 0s s= , ˆ 0∗σ = , 0π π′ ′µ = µ , 0mπ = .
На основі співвідношень (30) та (29) отримаємо такі лінійні рівняння стану
( )
1
1
0 0 0
1
n
s k
T eT T m Tc k
k
s s a T T a e a a C
−
−
ρ
=
= − − + ρ + ρ +
∑ ,
( )
1
2 1 0
1
ˆˆ ˆ2
n
k
eT e m ec k
k
a e a e a T T a a C I
−
σ σ
∗ ρ
=
σ = + + − + ρ +
∑ ,
( )
1
1
0 0
1
n
kl k k k
k c l Tc ec c m
l
a C a T T a e a
−
−
µ ρ
=
′µ = + − + ρ + ρ∑ , ( 1, 1k n= − )
( )
1
1
0 0 0
1
n
k
m e T c k
k
a a e a T T a C
−
µ −
π π ρ ρ ρ ρ
=
′ ′µ = µ + ρ + ρ + − +∑ ,
r
m aπ
µ π′π = ∇µ . (31)
5. Кінетичні співвідношення
Подамо рівняння (26) для виробництва ентропії у вигляді
1
1
n
s l l
l
j X
+
=
σ = ⋅∑ , (32)
де lj , lX — термодинамічні потоки та сили
l mlj J= , 1
l lX
T
′= − ∇µ ( )1, 1l n= − ;
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 5, 30-41
37
m
n
dj
dt
π
= ρ , 1 i
nX
T π′= − ∇µ , 1n qj J+ = , 1 2
1
nX T
T+ = − ∇ . (33)
Приймаємо, що термодинамічні потоки lj є функціями термодинамічних сил
lX ( )1, 1l n= + . Структура цих функціональних залежностей повинна задоволь-
няти другому закону термодинаміки ( )0sσ ≥ та умовам взаємності Онзагера [5].
Зі співвідношень (32), (33) у лінійному наближенні отримаємо такі кінетичні
рівняння
1
, 1 1
1
, 1, 1
n
k kl l kn n k n n
l
j L X L X L X k n
−
+ +
=
= + + = −∑ ,
1
, 1 1
1
,
n
n nl l nn n n n n
l
j L X L X L X
−
+ +
=
= + +∑
1
1 1, 1, 1 1, 1 1
1
n
n n l l n n n n n n
l
j L X L X L X
−
+ + + + + + +
=
= + +∑ , (34)
де , 1, 1, 1, 1k lL k n l n= + = + — кінетичні коефіцієнти. Згідно принципу взаєм-
ності Онзагера kl lkL L= .
Якщо врахувати позначення (33), то кінетичні рівняння (34) набудуть
вигляду
1
, 1 2
1
, 1, 1
in
l
mk kl kn k n
l
TJ L L L k n
T T T
−
π
+
=
′ ′∇µ ∇µ ∇
= − − − = −∑ ,
1
, 1 2
1
,
in
m l
nl nn n n
l
d TL L L
dt T T T
−
π
+
=
′ ′π ∇µ ∇µ ∇
ρ = − − −∑
1
1, 1, 1, 1 2
1
in
l
q n l n n n n
l
TJ L L L
T T T
−
π
+ + + +
=
′ ′∇µ ∇µ ∇
= − − −∑ . (35)
Звідси, приймаючи до уваги останнє співвідношення системи (31),
одержимо
1
1
, 1, 1
n
k
mk kl l k kT m
l
J T k n
a
−
µ
µ π π
= µ
λ
′ ′= − λ ∇µ − λ ∇µ − λ ∇ + π = −∑ ,
1
1
,
n
m
m l l T
l
d T
dt a
−
πµ
π πµ π ππ
=µ
λπ ′ ′ρ + π = − λ ∇µ + λ ∇µ − λ ∇∑
1
1
n
q
q ql l q T m
l
J T
a
−
µ
µ π π
= µ
λ
′ ′= − λ ∇µ − λ ∇µ − λ ∇ + π∑ . (36)
Тут
Ольга Грицина
Механотермодифузійні процеси в багатокомпонентних твердих розчинах ...
38
1
kl klL
T
λ = , T
Lkn
k =λ µ , 2
1,
T
L nk
kT
+=λ ,
T
Lnl
l =λπ , nnL
Tπµλ = − , 2
1,
T
L nn
T
+
π =λ ,
T
L ln
ql
,1+=λ , T
L nn
q
,1+
µ =λ , 2
1,1
T
L nn
T
++=λ , 1, 1, 1, 1k n l n= − = − .
Якщо n-не рівняння системи (36), яке пов’язує вектор локального зміщення
маси та його похідну з градієнтами приведених потенціалів ,l π′ ′µ µ і температу-
ри, проінтегрувати і для вектора mπ прийняті нульові початкові умови, то
отримаємо
1
0 10
exp
t n
l T
m l
l
t t T dt
−
πµ π π
π
π πµ πµ=
λ ′ λ λ− ′ ′ ′π = − ∇µ − ∇µ − ∇ ρ τ λ λ
∑∫ . (37)
де aπ
π µ πµτ = ρ λ — час релаксації, 0ρ = ρ в силу лінійності наближення.
Бачимо, що в актуальний момент часу вектор локального зміщення маси mπ
визначається історією градієнтів величини πµ′ , приведених хімічних потенціалів
k′µ ( 1,1 −= nk ) та температури T. Співвідношення (37) відображає необоротність
процесу локального зміщення маси.
Якщо подання (37) врахувати у формулах для визначення потоків маси та
тепла, то
1
1
n
mk kl l k kT
l
J T
−
µ π
=
′ ′= − λ ∇µ − λ ∇µ − λ ∇ +∑
1
10
exp
t n
k l T
l
l
t t T dt
−
µ π π
π
π π πµ πµ=
λ ′ λ λ− ′ ′ ′+ − ∇µ − ∇µ − ∇ τ τ λ λ
∑∫ ,
1
1
n
q ql l q T
l
J T
−
µ π
=
′ ′= − λ ∇µ − λ ∇µ − λ ∇ +∑
1
10
exp
t n
q l T
l
l
t t T dt
−
µ π π
π
π π πµ πµ=
λ ′ λ λ− ′ ′ ′+ − ∇µ − ∇µ − ∇ τ τ λ λ
∑∫ . (38)
Бачимо, що кінетичні рівняння (38) враховують вплив історій градієнтів
температури, приведених хімічних потенціалів домішок та величини πµ′ .
Отримані рівняння балансу маси компонент твердого розчину (12), ентро-
пії (20), визначальні співвідношення (31), (36) разом із відповідними геометрич-
ними співвідношеннями Коші складають повну систему рівнянь, яка може бути
використана для опису механотермодифузійних процесів у деформівному n-ком-
понентному твердому розчині з урахуванням необоротності процесу локального
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 5, 30-41
39
зміщення маси. Слід відзначити, що отримана система рівнянь дозволяє за об’єм-
ного підходу описати, зокрема, процес становлення неоднорідного напружено-
деформованого стану приповерхневих областей тіла.
Запишемо лінеаризовану систему рівнянь моделі для випадку двоком-
понентного твердого розчину (n = 2) у ключовій формі. Якщо за ключові функції
прийняти вектор переміщення u , температуру T, концентрацію домішок 1C та
приведену величину 0π π π′ ′ ′µ = µ −µ , то ця система рівнянь має вигляд
( )
22
0 1 2 22
0
eau a a u a u
t a
ρσ σ σ
µ
ρ
∂
ρ = + − ∇ ∇ ⋅ + ∆ + ∂ ρ
1
1
1 0
e T e c e
eT ec
a a a a a
a T a C F
a a a
ρ ρ ρ ρ ρ
πµ µ µ
ρ ρ ρ
′+ − ∇ + − ∇ + ∇µ + ρ
,
( ) ( )
2
0 0 1 1 1 1
0
Ts ec
T T q Tc q c q
a aTT a a T a C u
ta
ρ
µµ
ρ
∂
−ρ − = λ + λ ∆ + λ ∆ + λ ∆ ∇⋅ + ∂ ρ
( ) 1 1 1
0 0 0
T e T
q eT Tc c
ua a a CT a T a a
t ta a
ρ ρ ρ
µ π ρµ µ
ρ ρ
∂ ∇ ⋅ ∂′+λ ∆µ + − + ρ − + ∂ ∂
( )1
0 0 1 0 0
0
qT e
c T
a a
T a C a T T u
ta a a
µρ ρπ
π ρ ρµ π µ
ρ µ ρ
λ′ ∂µ ′+ρ + µ − − − − ∇ ⋅ + ρ ℜ ∂ ρ
,
( )
1
1
0 11 1 11 1 11
0
cec
c
aadC a C u
dt a
ρ
µ µ πµ
ρ
′ρ = λ ∆ + λ ∆ ∇ ⋅ + λ + λ ∆µ + ρ
( ) ( )1 1
1 11 0 1
0
e
T Tc T c
a
a T a T T a C u
a a
µ ρ
π ρ ρµ π
ρ µ
λ
′+ λ + λ ∆ + µ − − − − ∇ ⋅ ρ
,
( )
1
1 1 1 1
0
exp
t
c
T Tc c
a at t a T a C
a
µ
ρ ρ
πµ π π π π π µµ
π π ρ
′− ′− − λ − λ ∆µ − λ + λ ∆ −λ ∆ − τ τ
∫
( )1
0
eca u dtπ
′−λ ∆ ∇ ⋅ ρ
( ) 1 1
0 1 0T c ea T T a C a u−
π ρ ρ ρ′= µ − − − −ρ ∇ ⋅ . (39)
Тут 1
ec eca a= − 1
c ea a aµρ ρ ρ , ( )211 1
c c ca a a aµµ µ ρ ρ= − , 1 1
Tc Tc c Ta a a a aµρ ρ ρ= − .
Для забезпечення однозначності розв’язку при постановці крайових задач
систему рівнянь (39) слід доповнити відповідними початковими, граничними, кон-
тактними умовами, а у разі необхідності також умовами обмеженості розв’язку.
Висновки. З використанням підходів та методів термодинаміки нерівноважних
процесів та механіки суцільних середовищ побудовано фізико-математичну мо-
дель для опису механотермодифузійних процесів у деформівному n-компонент-
Ольга Грицина
Механотермодифузійні процеси в багатокомпонентних твердих розчинах ...
40
ному твердому розчині за врахування необоротності процесу локального зміщен-
ня маси. Показано, що наслідком врахування локального зміщення маси скелета
є розширення простору параметрів стану густиною наведеної маси та просторо-
вим градієнтом приведеної величини енергетичної міри впливу локального
зміщення маси на внутрішню енергію. Показано також, що врахування необорот-
ності процесу зміщення маси приводить до нелокальних реологічних визначаль-
них співвідношень. Лінеаризовану повну систему рівнянь моделі записано у клю-
човій формі. Побудована модель дозволяє описати, зокрема, процес становлення
неоднорідного напружено-деформованого стану приповерхневих областей тіла.
Література
[1] Бурак Я. Й. Визначальні співвідношення локально-градієнтної термомеханіки //
Доп. АН УССР. Сер. А. — 1987. — № 12. — С. 19-23.
[2] Нагірний Т., Грицина О., Червінка К. Локально-градієнтний підхід у термомеха-
ніці // Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології. — 2006. —
Вип. 3. — С. 72-83.
[3] Бурак Я. Й., Кондрат В. Ф., Грицина О. Р. Математичне моделювання механотер-
модифузійних процесів у твердих розчинах при врахуванні локального зміщення
маси // Доп. НАН України. — 2007. — № 3. — С. 59-64.
[4] Грицина О., Кондрат В. Mоделювання електромагнетотермомеханічних процесів у
в’язкій електропровідній поляризовній рідині з урахуванням необоротності ло-
кальних зміщень маси та електричного заряду // Фізико-математичне моделювання
та інформаційні технології. — 2007. — Вип. 5. — С. 42-54.
[5] Гроот де С., Мазур П. Ш. Неравновесная термодинамика. — М.: Мир, 1964. — 456 с.
[6] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. — М.: Наука, 1974. — 831 с.
[7] Бредов М. М., Румянцев В. В., Топтыгин И. Н. Классическая электродинамика. —
М.: Наука, 1985. — 400 с.
Mechano-thermo-diffusion Processes
in Multicomponent Solid Solutions Taking іnto Account
the Irreversibility of Local Displacement of Mass
Olha Hrytsyna
Based on approaches and methods of both non-equilibrium thermodynamics and solid mechanics
a complete set of equations for description of coupled mechano-thermo-diffusion processes in the
deformable chemically-inert n-component solid solution was obtained where the irreversibility of
a process of local mass displacement was accounted for. It is shown that the rheologycal
constitutive equations are the consequences of an accounting for the irreversibility of the process
of local mass displacement. This model allows one to describe, in particular, the dynamics of
development of a near-surface inhomogeneity of solid solution under stress-strain condition and to
study a near-surface distribution of components in solid solution using volumetric approach. Such
a model could be effective in studying both thin films and fibres where the volumetric and
interfacial contributions to internal energy are of the same order of magnitude.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 5, 30-41
41
Механотермодиффузионные процессы
в многокомпонентных твердых растворах с учетом
необратимости локального смещения массы
Ольга Грицина
С использованием подходов и методов неравновесной термодинамики и механики сплошных
сред получена полная система уравнений для описания взаимосвязанных механотермодиф-
фузионных процессов в деформируемом химически-инертном n-компонентном твердом
растворе с учетом необратимости процесса локального смещения массы. Показано, что
следствием учета необратимости процесса локального смещения массы являются реоло-
гические определяющие соотношения. Построенная модель позволяет исследовать, в част-
ности, динамику становления приповерхностной неоднородности напряженно-деформи-
рованного состояния твердых растворов и изучать в объемном подходе закономерности
распределения компонент твердого раствора в приповерхностных областях. Вследствие
этого она является эффективной при исследовании тонких пленок, волокон, которые ха-
рактеризуются соизмеримостью вкладов поверхностного и объемного факторов во внут-
реннюю энергию.
Отримано 4.01.07
|