Моделювання електромагнетотермомеханічних процесів у в’язкій електропровідній поляризовній рідині з урахуванням необоротності локальних зміщень маси та електричного заряду
З використанням термодинаміки нерівноважних процесів, механіки й електродинаміки суцільних середовищ отримано повну систему рівнянь для опису взаємозв’язаних електромагнетотермомеханічних процесів у в’язкій електропровідній неферомагнетній поляризовній рідині з урахуванням необоротності процесів лок...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
|---|---|
| Datum: | 2007 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2007
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21131 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Моделювання електромагнетотермомеханічних процесів у в’язкій електропровідній поляризовній рідині з урахуванням необоротності локальних зміщень маси та електричного заряду / О. Грицина, В. Кондрат // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 5. — С. 42-54. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859643159187816448 |
|---|---|
| author | Грицина, О. Кондрат, В. |
| author_facet | Грицина, О. Кондрат, В. |
| citation_txt | Моделювання електромагнетотермомеханічних процесів у в’язкій електропровідній поляризовній рідині з урахуванням необоротності локальних зміщень маси та електричного заряду / О. Грицина, В. Кондрат // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 5. — С. 42-54. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| description | З використанням термодинаміки нерівноважних процесів, механіки й електродинаміки суцільних середовищ отримано повну систему рівнянь для опису взаємозв’язаних електромагнетотермомеханічних процесів у в’язкій електропровідній неферомагнетній поляризовній рідині з урахуванням необоротності процесів локального зміщення електричного заряду та маси. З цією метою вектори градієнта приведеної величини енергетичної міри впливу зміщення маси на внутрішню енергію та напруженості електричного поля подані сумами їх оборотних і необоротних складових. Це дозволило отримати диференціальні реологічні визначальні співвідношення для векторів зміщення маси й електричного заряду (поляризації). Побудована модель дозволяє проаналізувати кінетику поверхневої поляризації та становлення приповерхневої неоднорідності напружено-деформованого стану в’язкої рідини.
Using basic principles of thermodynamics of nonequilibrium processes, continuum mechanics and electrodynamics, a complete set of equations for the description of thermomechanical processes in a viscous electrically conducting nonferromagnetic polarized fluid with taking into account irreversibility of the processes of the local displacements of mass and electric charge is obtained. Thus, a gradient vector of an energy measure of the influence of mass displacement on internal energy and an electric force vector are presented as sums of their reversible and irreversible components. It allows one to obtain differential rheological constitutive relations for the mass displacement vector and electric charge. In particular, the proposed model allows one to analyze the history of surface polarization and to establish near-surface inhomogeneity of the stress-strain state of a viscous fluid.
С использованием базовых положений термодинамики необратимых процессов и механики сплошных сред получено полную систему уравнений для описания взаимосвязанных термомеханических процессов в вязкой сжимаемой жидкости с учетом обратимого смещения массы. С использованием термодинамики неравновесных процессов, механики и электродинамики сплошных сред получена полная система уравнений для описания взаимосвязанных электромагнитотермомеханических процессов в вязкой электропроводной неферромагнитной поляризируемой жидкости с учетом необратимости процессов локального смещения электрического заряда и массы. С этой целью вектор градиента приведенной величины энергетической меры влияния смещения массы на внутреннюю энергию и вектор напряженности электрического поля представлены в виде сумм их обратимых и необратимых составляющих. Это позволило получить для векторов смещения массы и электрического заряда (поляризации) дифференциальные реологические определяющие соотношения. Построенная модель позволяет исследовать динамику поверхностной поляризации и становления приповерхностной неоднородности напряженно-деформированного состояния вязкой жидкости.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:24:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
Mоделювання електромагнетотермомеханічних процесів
у в’язкій електропровідній поляризовній рідині
з урахуванням необоротності локальних зміщень
маси та електричного заряду
Ольга Грицина1, Василь Кондрат2
1 к. ф.-м. н., с. н. с., Центр математичного моделювання IППММ ім. Я. С. Пiдстригача НАН України, вул. Дж. Ду-
даєва, 15, Львів, 79005, e-mail: gryt@cmm.lviv.ua
2 д. ф.-м. н., с. н. с., Центр математичного моделювання IППММ iм. Я. С. Пiдстригача НАН України, вул. Дж. Ду-
даєва, 15, Львів, 79005, e-mail: kon@cmm.lviv.ua
З використанням термодинаміки нерівноважних процесів, механіки й електродинаміки су-
цільних середовищ отримано повну систему рівнянь для опису взаємозв’язаних електромаг-
нетотермомеханічних процесів у в’язкій електропровідній неферомагнетній поляризовній
рідині з урахуванням необоротності процесів локального зміщення електричного заряду та
маси. З цією метою вектори градієнта приведеної величини енергетичної міри впливу змі-
щення маси на внутрішню енергію та напруженості електричного поля подані сумами їх
оборотних і необоротних складових. Це дозволило отримати диференціальні реологічні ви-
значальні співвідношення для векторів зміщення маси й електричного заряду (поляризації).
Побудована модель дозволяє проаналізувати кінетику поверхневої поляризації та станов-
лення приповерхневої неоднорідності напружено-деформованого стану в’язкої рідини.
Ключові слова: в’язка поляризовна рідина, взаємозв’язані електромагне-
тотермомеханічні процеси, необоротне зміщення маси та електричного за-
ряду, нелокальність.
Вступ. Процес локального зміщення маси, який, зазвичай, пов’язаний із деякою
структурною перебудовою речовини, спостерігається при формуванні припо-
верхневої області тіл, поляризації діелектриків, поверхневій взаємодії різнорід-
них фаз [1, 2]. Уперше увагу на процес зміщення маси у термомеханічних систе-
мах звернуто у праці [3]. У низці робіт, зокрема [4-6], локальне зміщення маси
враховано при вивченні приповерхневої неоднорідності та проблем міцності одно-
та багатокомпонентних термомеханічних систем на основі лагранжевого опису.
У дослідженнях [7, 8] із використанням ейлерового підходу побудовано матема-
тичні моделі для опису термомеханічних процесів у в’язкій рідині та твердих
розчинах. При цьому процес локального зміщення маси у згаданих роботах опи-
сувався у наближенні оборотного. Метою цієї роботи є врахування локального
зміщення маси при описі взаємозв’язаних механічних, теплових та електромаг-
нетних процесів у поляризовній електропровідній неферомагнетній в’язкій рідині
у припущенні необоротності процесів локального зміщення як маси, так і заряду.
УДК 539.3
42
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 5, 42-54
43
1. Об’єкт дослідження
Об’єктом дослідження є в’язка поляризовна стислива рідина, в якій протікають
фізико-механічні процеси, визначальними з яких є деформування, тепло- й елект-
ропровідності, а також локального зміщення електричного заряду (поляризація)
та маси. Останні два процеси будемо пов’язувати з упорядкуванням молекуляр-
ної структури рідини (наприклад, під дією електричного поля) та характеризува-
тимемо відповідно векторними потоками esJ та msJ [7, 9].
Базові співвідношення пропонованої фізико-математичної моделі, яка опи-
сує взаємозв’язані електромагнетотермомеханічні процеси в системі «в’язка рі-
дина – зовнішнє електромагнетне поле», будемо формулювати за підходом Ейле-
ра з орієнтацією на лабораторну систему координат із врахуванням підходів і
положень термодинаміки незворотних процесів, механіки й електродинаміки
суцільних середовищ.
2. Рівняння електродинаміки
Рівняння, які відображають закони Ампера, Фарадея та збереження електричного
заряду, в інтегральній формі є такими [9-11]
( ) ( )ll
dE dl B n d
dt Σ
⋅ = − ⋅ Σ∫ ∫ ,
( ) ( )l
ef
l
H dl J n d
Σ
⋅ = ⋅ Σ∫ ∫ ,
( ) ( )
e e
V
dJ n d dV
dtΣ
⋅ Σ = − ρ∫ ∫ . (1)
Тут E та H — вектори напруженостей електричного та магнетного полів; B —
вектор індукції магнетного поля (для неферомагнетного середовища HB 0µ= , 0µ —
магнетна стала); eJ — вектор густини електричного струму; ef e edJ J J= + +
esJ+ — вектор густини повного електричного струму; ( )tEJed ∂∂ε= /0 , де 0ε —
електрична стала; esJ — вектор густини струму, зумовленого впорядкуванням
зарядової системи (поляризаційний струм); ρe — густина вільного електричного
заряду; t — час; (V), (Σ) — довільно вибрана область і поверхня, яка її обмежує;
(l) — контур, який обмежує довільно обрану поверхню (Σl); n — вектор зовніш-
ньої нормалі до поверхні (Σl) або (Σ), «·» — знак скалярного добутку.
Співвідношенням [9]
( ) ( )
0
, , ′ ′Π = ∫
t
e esr t J r t dt (2)
введемо вектор eΠ локального зміщення електричного заряду так, що
e
esJ
t
∂Π
=
∂
. (3)
Ольга Грицина, Василь Кондрат
Mоделювання електромагнетотермомеханічних процесів у в’язкій електропровідній рідині...
44
Тут r — радіус вектор. Тоді для вектора efJ густини повного електричного
струму маємо
0
e
ef e
EJ J
t t
∂Π∂
= + ε +
∂ ∂
. (4)
Введемо також величину ρeπ — густину наведеного заряду [9], яка має
розмірність густини електричного заряду. Вимагаємо, щоб для довільного тіла
скінченних розмірів (область (V)) вектор eΠ локального зміщення електричного
заряду (який має розмірність густини електричного дипольного моменту
Кл·м / м3) та густина ρeπ [9] задовольняли співвідношення
( ) ( )
e e
V V
dV r dVπΠ = ρ∫ ∫ . (5)
З огляду на довільність області )(V , незалежність співвідношення (5) від
вибору системи відліку, а також тотожність ( )( )e ea a r⋅Π = Π ⋅∇ ⋅ ( a довільний
сталий вектор, ∇ — оператор Гамільтона), з виразу (5) маємо [9]
( )
0e
V
dVπρ =∫ , (6)
e eπρ = −∇ ⋅Π . (7)
Якщо продиференціювати співвідношення (7) за часом і прийняти до уваги
формулу (3), то одержимо рівняння
0e
esJ
t
π∂ρ
+∇ ⋅ =
∂
,
яке має форму закону збереження наведеного електричного заряду [9].
Застосовуючи теореми Остроградського-Гауса та Стокса [12] до рівнянь (1)
і використовуючи подання (4), отримуємо таку локальну форму цих рівнянь
BE
t
∂
∇× = −
∂
, 0
e
e
EH J
t t
∂Π∂
∇× = + ε +
∂ ∂
, (8)
0e
eJ
t
∂ρ
∇ ⋅ + =
∂
. (9)
Тут «×» — знак векторного добутку.
Якщо подіяти оператором дівергенції на рівняння (8), врахувати (9) і спів-
відношення ( ) 0f∇ ⋅ ∇× ≡ [12], то одержимо
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 5, 42-54
45
( ) 0B
t
∂
∇ ⋅ =
∂
, ( )0 0e eE
t
∂ ∇ ⋅ ε + Π −ρ = ∂
. (10)
Введемо вектор eED Π+ε= 0 , який природно назвати вектором індукції елект-
ричного поля. Приймемо початкові умови для B⋅∇ та ( )eD ρ−⋅∇ нульовими.
Тоді наслідком співвідношень (10) є рівняння
0B∇ ⋅ = , eD∇ ⋅ = ρ , (11)
які відображають закони Гауса-Фарадея та Гауса-Кулона і разом із рівняннями
(8) складають повну систему рівнянь Максвела [9-11]. Надалі замість вектора eΠ
будемо використовувати загальновживане позначення P для вектора поляризації.
3. Рівняння балансу маси
Рівняння балансу маси рідини в інтегральній формі має вигляд [13, 14]
∫∫
Σ
Σ⋅−=ρ
)(
*
)(
dnJdV
dt
d
V
, (12)
де ρ — густина маси; *J — вектор густини потоку маси. Зазначимо, що при фор-
мулюванні рівняння (12) знехтувано складовими, які зумовлені наявністю елект-
ромагнетного поля, оскільки їх вплив стає вагомим лише за дуже великих зна-
чень напруженостей електричного та магнетного полів (фактично недосяжних на
практиці).
Приймаємо, що вектор *J визначається сумою конвективної складової ∗ρv
(де ∗v — середня швидкість частинок тіла за відсутності упорядкування структу-
ри) та складової msJ , тобто msJJ +ρ= ∗v* .
Аналогічно до вектора локального зміщення електричного заряду введемо
вектор mΠ локального зміщення маси
( ) ( )
0
, , ′ ′Π = ∫
t
m msr t J r t dt , (13)
який має розмірність густини масового дипольного моменту кг·м / м3. Як наслі-
док, із формули (13) маємо
t
J m
ms ∂
Π∂
= . (14)
Тоді, враховуючи формулу (14), для вектора *J потоку маси отримаємо
Ольга Грицина, Василь Кондрат
Mоделювання електромагнетотермомеханічних процесів у в’язкій електропровідній рідині...
46
t
J m
∂
Π∂
+ρ= ∗v* . (15)
Співвідношенням
∂
Π∂+ρρ= ∗ t
mvv 1 (16)
означимо вектор v швидкості центра мас частинок тіла.
З урахуванням співвідношень (15), (16) і теореми Остроградського-Гаусса
рівняння балансу маси (12) у локальній формі набуває стандартного вигляду [12, 13]
0=ρ⋅∇+∂
ρ∂ )( vt . (17)
Якщо врахувати подання (16) і ввести вектор
( )vv −ρ= ∗mJ , (18)
то рівняння (17) балансу маси можна записати так
0=
∂
Π∂
++ρ⋅∇+
∂
ρ∂
t
J
t
m
mv . (19)
Слід зазначити, що зі співвідношень (16) і (18) випливає, що
t
J m
m ∂
Π∂
−= . (20)
Аналогічно до густини наведеного заряду ρeπ введемо величину ρmπ, яка має
розмірність густини маси, і яку назвемо густиною наведеної маси. Приймаємо, що
для довільного тіла скінченних розмірів (область (V)) вектор mΠ локального
зміщення маси та густина ρmπ задовольняють таке інтегральне співвідношення
( ) ( )
m m
V V
dV rdVπΠ = ρ∫ ∫ . (21)
Наслідком формули (21) є
( )
0m
V
dVπρ =∫ , (22)
m mπρ = −∇ ⋅Π . (23)
Із співвідношень (14) і (23) одержуємо рівняння
0m
msJ
t
π∂ρ
+∇ ⋅ =
∂
, (24)
яке має форму закону збереження наведеної маси.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 5, 42-54
47
4. Рівняння балансу ентропії
Швидкість зміни ентропії елемента тіла визначається притоком ентропії ззовні,
конвективною складовою потоку, виникненням ентропії σs за одиницю часу та
джерелами тепла ℜ . В інтегральній формі рівняння балансу ентропії має вигляд [13]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
v
Σ Σ
ℜ
ρ = − ⋅ Σ − ρ ⋅ Σ + σ + ρ∫ ∫ ∫ ∫ ∫s s
V V V
d sdV J n d s n d dV dV
dt T
, (25)
де s — питома ентропія, sJ — вектор густини потоку ентропії, T — абсолютна
температура.
Якщо врахувати співвідношення TJJ qs = між векторами густини потоків
ентропії sJ і тепла qJ , а також теорему Остроградського-Гаусса, то у локальній
формі рівняння (25) є таким
ℜρ+σ+∇⋅+⋅∇−=ρ sqq TTJ
T
J
dt
dsT 1 . (26)
Тут .../ .../ ...d dt t= ∂ ∂ + ⋅∇v — повна похідна за часом.
5. Рівняння балансу енергії електромагнетного поля
Із рівнянь Максвела випливає рівняння, яке трактують як рівняння балансу енер-
гії електромагнетного поля [9-11],
0e
e e
U PS J E
t t
∂ ∂
+∇ ⋅ + + ⋅ = ∂ ∂
. (27)
Тут ( ) 22
0
2
0 HEUe µ+ε= — густина енергії електромагнетного поля, HESe ×=
— вектор густини потоку енергії електромагнетного поля. Остання складова у
рівнянні (27) відображає вплив електромагнетного поля на речовину, яка разом із
полем складає єдину матеріальну систему. Перепишемо цей доданок таким чи-
ном, щоб у нього входили вектори
E E v B∗ = + × , 0 0P P v M∗ = + ε µ × , e e eJ J v∗ = −ρ , (28)
напруженості електричного поля E∗ , поляризації P∗ та густини eJ ∗ електрич-
ного струму провідності, віднесені до системи відліку центрів мас, яка рухається
зі швидкістю v відносно лабораторної системи відліку. У формулах (28) M —
вектор намагнеченості, який у випадку немагнетного тіла дорівнює нулеві. Тоді,
враховуючи рівняння балансу маси (17) та перетворення Лоренца (28) [9], рів-
няння (27) балансу енергії електромагнетного поля запишемо так
Ольга Грицина, Василь Кондрат
Mоделювання електромагнетотермомеханічних процесів у в’язкій електропровідній рідині...
48
( )e
e e e e
U pS J E E J B
t t∗ ∗ ∗ ∗
∂ ∂ ρ +∇ ⋅ + ⋅ + ρ + + × + ∂ ∂
( ) ( ) ˆ 0dpE p v E E p I v
dt∗ ∗ ∗ +ρ ∇⊗ ⋅ ⋅ + ρ ⋅ −∇ ⋅ ρ ⋅ ⋅ = . (29)
Тут /p P= ρ — вектор питомої поляризації, «⊗ » — знак діадного (тензорного)
добутку.
6. Рівняння балансу енергії
Приймаємо, що повна енергія системи «в’язка рідина – електромагнетне поле»
у довільний момент часу є сумою внутрішньої ρu (u — питома внутрішня енер-
гія), кінетичної 22 /vρ енергій та енергії Ue електромагнетного поля. Її зміна від-
бувається внаслідок наявності конвективної складової потоку енергії, дії поверх-
невих сил потужності v⋅σ̂ , потоку енергії електромагнетного поля eS , потоку
тепла qJ , роботи, затраченої на масоперенесення mJµ й «упорядкування»
структури тіла tm ∂Π∂µπ , а також дії масових сил F і розподілених теплових
джерел потужності ℜ
( ) ( )
2 21 1 ˆ
2 2e q
V
d u U dV u J
dt Σ
ρ + + = − ρ + −σ ⋅ + +
∫ ∫ ev v v v+S
( )
( )
m
m
V
J n d F dV
tπ
∂Π
+µ + µ ⋅ Σ + ρ ⋅ + ρℜ∂
∫ v . (30)
Тут vPIp ˆˆˆ +−=σ — тензор напружень, p — тиск, vP̂ — тензор в’язких напру-
жень, Î — одиничний тензор, µ, µπ — хімічний потенціал і зміна внутрішньої
енергії системи, яка зумовлена локальним зміщенням маси.
Враховуючи формулу (20), рівняння балансу маси (17) та ентропії (26),
енергії електромагнетного поля (29), а також теорему Остроградського-Гаусса,
з (30) отримуємо таке рівняння балансу енергії у локальній формі
( )* *
ˆˆ :
d
m
l t
du ds de de de pT p E p P P E
dt dt dt dt dt t tπ
∂∇ ⋅Π∂ ′ρ = ρ − + ρ ⋅ + + + ρ ⋅ − µ −
∂ ∂v v
( )*
ˆm T dJ T p E p Pq st T dtπ
∂Π ∇ ′−∇µ ⋅ − ⋅ − σ − ⋅ ρ +∇ + ρ ⋅ −∇ ⋅ −∂
v
v
v
( )*
( )
e e
pE J B E p F
t∗ ∗
∂ ρ −ρ − + × −ρ ∇⊗ ⋅ − ρ ∂
. (31)
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 5, 42-54
49
Тут tl PIPP vvv
ˆˆˆ += , IP l
ˆ
v та tPv̂ — складові тензора в’язких напружень, зумовлені
відповідно зміною об’єму та форми; dee ˆ, — кульова та девіаторна складові тен-
зора деформації ( )ˆ 2e u u= ∇⊗ + ⊗∇ , u — вектор переміщення, µ−µ=µ′ ππ .
З огляду на подання (23) та рівняння балансу маси (17), із (31) приходимо
до такого рівняння балансу внутрішньої енергії
*
m md ddu ds de dpT p E
dt dt dt dt dt dt∗ π π
ρ π′ ′ρ = ρ − + ρ ⋅ + ρµ −ρ∇µ ⋅ +
* *
ˆˆ :
d
l t e q s
de de TP P J E J T
dt dt T
∇
+ + + ⋅ − ⋅ − σ −v v
ˆ
e
d p P F F
dt ∗ ∗
− ⋅ ρ +∇ −∇ ⋅ − − ρ
v
v
v . (32)
Тут введено питомі величини ρΠ=π /mm , /m mπρ = ρ ρ ; а приведений тиск p∗ ,
вектори густин приведеної масової *F та пондеромоторної eF сил визначаються
такими співвідношеннями
( )* m mp p E p∗ π π′ ′= + ρ ⋅ − ρ µ − π ⋅∇µ , * m mF F π π′ ′= + ρ ∇µ − π ⋅∇⊗∇µ .
( )*
( )
e e e
pF E J B E p
t∗ ∗
∂ ρ = ρ + + × + ρ ∇⊗ ⋅ ∂
.
Подамо вектори *E та πµ′∇ як суми їх оборотних *
rE , r
πµ′∇ та необоротних
*
iE , i
πµ′∇ складових, тобто * * *
r iE E E= + , ir
πππ µ′∇+µ′∇=µ′∇ . Тоді рівняння (32)
балансу внутрішньої енергії набуде вигляду
*
r rm md ddu ds de dpT p E
dt dt dt dt dt dt∗ π π
ρ π′ ′ρ = ρ − + ρ ⋅ + ρµ −ρ∇µ ⋅ +
* * *
ˆˆ :
d
i i m
l t e q s
ddp de de TE P P J E J T
dt dt dt dt Tπ
π ∇′+ρ ⋅ − ρ∇µ ⋅ + + + ⋅ − ⋅ − σ −v v
ˆ
e
d p P F F
dt ∗ ∗
− ⋅ ρ +∇ −∇ ⋅ − − ρ
v
v
v . (33)
Якщо врахувати інваріантність рівняння балансу внутрішньої енергії щодо
просторових трансляцій і прийняти, що внутрішня енергія u визначається ска-
лярними s, e, ρm та векторними p , mπ параметрами, тобто ( ), , , ,m mu u s e p= ρ π ,
то з формули (33) отримаємо рівняння Гіббса
1
*
r r
m mdu Tds p de E dp d d−
∗ π π′ ′= − ρ + ⋅ + µ ρ +∇µ ⋅ π , (34)
Ольга Грицина, Василь Кондрат
Mоделювання електромагнетотермомеханічних процесів у в’язкій електропровідній рідині...
50
вираз для виробництва ентропії
* *
*2
ˆ1 1ˆ :
iid
m
s l t q e
dE Ede de T dpP P J J
T dt T dt T dt T dt TT
π′π ∇µ∇
σ = + − ⋅ + ⋅ + ρ ⋅ − ρ ⋅v v (35)
та рівняння балансу імпульсу
ˆ
e
d p P F F
dt ∗ ∗ρ = −∇ +∇ ⋅ + + ρv
v . (36)
Застосовуючи перетворення Лежандра *
r r
mf u Ts p E π′= − − ⋅ + π ⋅∇µ [12],
перейдемо у рівнянні (34) до питомої узагальненої вільної енергії Гельмгольца.
Приймаючи до уваги, що ( )*, , , ,r r
mf f T e E π′= ρ ∇µ , отримуємо таке узагальнене
рівняння Гіббса
1
*
r r
m mdf sdT p de p dE d d−
∗ π π′ ′= − −ρ − ⋅ + µ ρ + π ⋅ ∇µ . (37)
Відзначимо, що у простір параметрів *, , rT e E , які визначають термодина-
мічний стан в’язкої рідини у класичній термомеханіці поляризовних тіл, тепер
додатково введено нові параметри, а саме: ρm і r
π′∇µ , які пов’язані з урахуванням
локального зміщення маси.
7. Рівняння стану
Враховуючи, що ( )*, , , ,r r
mf f T e E π′= ρ ∇µ , з рівняння Гіббса (37) одержуємо
1
m
m
df df dfp de s dT d
de dT d∗ π
′+ + + + −µ ρ + ρ ρ
*
*
0r r
mr r
df dfp dE d
dE d π
π
′+ + ⋅ + − π ⋅ ∇µ = ′∇µ
. (38)
Звідси, в силу незалежності параметрів *, , , ,r r
mT e E π′ρ ∇µ , маємо такі рів-
няння стану
*
*
, , ,r r
mT E
fp
e
π′ρ ∇µ
∂
= −ρ
∂
,
*, , ,r r
me E
fs
T
π′ρ ∇µ
∂
= −
∂
,
*, , ,r rm T e E
f
π
π
′∇µ
∂′µ =
∂ρ
,
* , , , r
m
r
T e
fp
E
π′ρ ∇µ
∂
= −
∂
,
( )
*, , , r
m
m r
T e E
f
π ρ
∂
π =
′∂ ∇µ
. (39)
Розкладемо вільну енергію f у ряд за збуреннями параметрів стану та для
малих збурень обмежимося в цьому розвиненні квадратичними членами
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 5, 42-54
51
( ) ( )21 2 2
0 0 0 0 0 1 0
1 1 1
2 2 2
s
m T mf f s T T a e a T T a− σ µ
π ρ′= − − + µ ρ + ρ + − + ρ +
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 1
* 0 0 0
1 1
2 2
pr r
eT T mEa a E a e T T a T Tπ −
µ π ρ′+ ∇µ + + ρ − + ρ − +
1
0 *
r r
e m Ea e a E−
ρ µ π′+ ρ ρ + ⋅∇µ . (40)
Тут 1aσ , s
Ta , aµρ , p
Ea , aπ
µ , eTa , Taρ , ea ρ , Ea µ — характеристики матеріалу; 0f , 0s
і 0π′µ — значення узагальненої вільної енергії, ентропії та приведеного потенціа-
лу π′µ у вихідному стані, у якому 00,e T T= = , 0mρ = , 0s s= , 0p∗ = , 0π π′ ′µ = µ ,
* 0rE = , 0r
π′∇µ = , 0p = , 0mπ = . Тоді на основі співвідношень (39) та (40) отри-
маємо такі лінійні рівняння стану
( )1 0eT e mp a e a T T aσ
∗ ρ= − − − − ρ ,
( ) 1
0 0 0
s
T eT T ms s a T T a e a−
ρ = − − + ρ + ρ ,
( )1
0 0 0m e Ta a e a T Tµ −
π π ρ ρ ρ′ ′µ = µ + ρ + ρ + − ,
*
p r r
EEp a E a µ π′= − − ∇µ ,
*
r r
m Ea a Eπ
µ π µ′π = ∇µ + . (41)
8. Кінетичні співвідношення
Подамо рівняння (35) для виробництва ентропії так
6
( ) ( )
1
ˆˆ
n
n n
s k k
k
j X
=
σ = ⋅ ⋅∑ , (42)
де індексом n, який набуває значень 0, 1, 2, відзначено валентність відповідного
тензора; )(ˆ n
kj , )(ˆ n
kX — термодинамічні потоки та сили
lPj v=)0(
1̂ , (0)
1
1ˆ deX
T dt
= , tPj v̂
ˆ )2(
2 = , (2)
2
ˆ1ˆ
ddeX
T dt
= ,
qJj =)1(
3
ˆ , T
T
X ∇−= 2
)1(
3
1ˆ ; (1)
*4
ˆ
ej J= , (1)
*4
1X̂ E
T
= ,
(1)
5
ˆ dpj
dt
= ρ , (1)
*5
1ˆ = iX E
T
; (1)
6
ˆ mdj
dt
π
= ρ , (1)
6
1 iX
T π′= − ∇µ . (43)
Зі співвідношень (42), (43), за врахування принципу Онзагера [13], у ліній-
ному наближенні отримуємо такі кінетичні рівняння
Ольга Грицина, Василь Кондрат
Mоделювання електромагнетотермомеханічних процесів у в’язкій електропровідній рідині...
52
(0) (0)
111 1
ˆĵ L X′= , (2) (2)
222 2
ˆĵ L X′= ,
6
(1) (1)
3
ˆˆ , 3,6lkl k
k
j L X l
=
′= =∑ , (44)
де 11L′ , 22L′ lkL′ ( ), 3,6k l = — кінетичні коефіцієнти.
Враховуючи позначення (43), запишемо кінетичні рівняння (44) у вигляді
11
1
l
deP L
T dt
′=v , 22
ˆ1ˆ
d
t
deP L
T dt
′=v ; (45)
33 34 * 35 * 362
1 1 1 1i i
qJ L T L E L E L
T T TT π′ ′ ′ ′ ′= − ∇ + − − ∇µ ,
* 43 44 * 45 * 462
1 1 1 1i i
eJ L T L E L E L
T T TT π′ ′ ′ ′ ′= − ∇ + − − ∇µ ,
53 54 * 55 * 562
1 1 1 1i idp L T L E L E L
dt T T TT π′ ′ ′ ′ ′ρ = − ∇ + − − ∇µ ,
63 64 * 65 * 662
1 1 1 1i imd L T L E L E L
dt T T TT π
π ′ ′ ′ ′ ′ρ = − ∇ + − − ∇µ . (46)
Якщо в співвідношеннях (46) врахувати рівняння стану (41), то вони набудуть
вигляду
33 34 * 35 36 37q mJ L T L E L p L Lπ′= − ∇ + + − ∇µ + π
* 43 44 * 45 46 47e mJ L T L E L p L Lπ′= − ∇ + + − ∇µ + π ,
53 54 * 55 56 57 m
dp L T L E L p L L
dt π′ρ = − ∇ + + − ∇µ + π ,
63 64 * 65 66 67π
π ′ρ = − ∇ + + − ∇µ + πm
m
d L T L E L p L L
dt
. (47)
Тут
3 32
1
k kL L
T
′= ( )4 4 5
1
k k kL L L
T
′ ′= − , 5 6
5 2
1 ,k k E
k p
E E
L a L a
L
T a a a
π
µ µ
π
µ µ
′ ′−
=
−
6 6
1
k kL L
T
′= , 5 6
7 2
1 p
k E k E
k p
E E
L a L a
L
T a a a
µ
π
µ µ
′ ′−
=
−
, 3,6k = .
Відзначимо, що два останні рівняння системи (47) є нелокальними реологічними
співвідношеннями для визначення векторів p та mπ .
Отримані рівняння Максвелла (8), (11), балансу маси (17) та ентропії (26),
визначальні співвідношення (41), (45), (47) разом із відповідними геометричними
співвідношеннями складають повну систему рівнянь, яка може бути використана
для опису електромагнетотермомеханічних процесів у в’язкій поляризовній рі-
дині з урахуванням необоротності процесів локального зміщення маси та заряду.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2007, вип. 5, 42-54
53
Висновки. Побудовано фізико-математичну модель для опису електромагнето-
термомеханічних процесів у в’язкій поляризовній неферомагнетній електропро-
відній стисливій рідині за врахування необоротності процесів локального змі-
щення електричного заряду та маси. Показано, що наслідком врахування локаль-
ного зміщення маси є розширення простору параметрів стану скалярним і
векторним параметром, а саме — густиною наведеної маси та просторовим гра-
дієнтом приведеної величини енергетичної міри впливу локального зміщення маси
на внутрішню енергію. З’ясовано також, що врахування необоротності процесів
зміщення маси та електричного заряду приводить до нелокальних реологічних
визначальних співвідношень для векторів зміщень маси й електричного заряду
(поляризації). Повна система рівнянь, яка відповідає побудованій моделі, дозво-
ляє, зокрема, описати процес становлення неоднорідного напружено-деформо-
ваного стану та приповерхневої поляризації рідини.
Література
[1] Френкель Я. И. Собрание избранных трудов. В 3-х томах. — М.-Л., 1956-1959.
[2] Киселев В. Ф. Поверхностные явления в полупроводниках и диэлектриках. —
М.: Наука, 1970. — 400 с.
[3] Бурак Я. Й. Визначальні співвідношення локально-градієнтної термомеханіки //
Доп. АН УССР. Сер. А. — 1987. — № 12. — С. 19-23.
[4] Бурак Я. Й., Нагірний Т. С. Теоретичні основи розрахунку локально-градiєнтних
термомеханiчних систем з врахуванням поверхневих явищ // Фіз.-хім. механіка
матеріалів. — 1993. — № 4. — С. 24-30.
[5] Бурак Я. И., Нагирный Т. С., Грицина О. Р., Червинка К. А. Поверхностные напря-
жения в слое. Влияние температуры и примесей на прочность // Проблемы проч-
ности. — 2000. — № 6. — С. 35-43.
[6] Нагірний Т., Грицина О., Червінка К. Локально-градієнтний підхід у термомеханіці
// Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології. — 2006. —
Вип. 3. — С. 72-83.
[7] Грицина О., Кондрат В. Термомеханічні процеси у в’язкій рідині з урахуванням
локального зміщення маси // Фізико-математичне моделювання та інформаційні
технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 72-83.
[8] Бурак Я. Й., Кондрат В. Ф., Грицина О. Р. Математичне моделювання механотер-
модифузійних процесів у твердих розчинах при врахуванні локального зміщення
маси // Доп. НАН України. — 2007. — № 3. — С. 59-64.
[9] Бредов М. М., Румянцев В. В., Топтыгин И. Н. Классическая электродинамика. —
М.: Наука, 1985. — 400 с.
[10] Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред. — М.: Мир, 1991. —
560 с.
[11] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука, 1982. —
620 с.
[12] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. — М.: Наука, 1974. — 831 с.
[13] Гроот де С., Мазур П. Ш. Неравновесная термодинамика. — М.: Мир, 1964. — 456 с.
[14] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — М.: Наука, 1986. — 736 с.
Ольга Грицина, Василь Кондрат
Mоделювання електромагнетотермомеханічних процесів у в’язкій електропровідній рідині...
54
Modelling Electro-magneto-thermo-mechanical
Processes in a Viscous Electrically Conducting Polarized Fluid
Taking into Account Irreversibility of a Local Displacements
of Mass and Electric Charge
Olha Hrytsyna, Vasyl Kondrat
Using basic principles of thermodynamics of nonequilibrium processes, continuum mechanics and
electrodynamics, a complete set of equations for the description of thermomechanical processes in
a viscous electrically conducting nonferromagnetic polarized fluid with taking into account
irreversibility of the processes of the local displacements of mass and electric charge is obtained.
Thus, a gradient vector of an energy measure of the influence of mass displacement on internal
energy and an electric force vector are presented as sums of their reversible and irreversible
components. It allows one to obtain differential rheological constitutive relations for the mass
displacement vector and electric charge. In particular, the proposed model allows one to analyze
the history of surface polarization and to establish near-surface inhomogeneity of the stress-strain
state of a viscous fluid.
Моделирование электромагнитотермомеханических процессов
в вязкой электропроводной поляризированной жидкости
с учетом необратимости локальных смещений массы
и электрического заряда
Ольга Грицина, Василий Кондрат
С использованием базовых положений термодинамики необратимых процессов и механики
сплошных сред получено полную систему уравнений для описания взаимосвязанных термо-
механических процессов в вязкой сжимаемой жидкости с учетом обратимого смещения
массы. С использованием термодинамики неравновесных процессов, механики и электроди-
намики сплошных сред получена полная система уравнений для описания взаимосвязанных
электромагнитотермомеханических процессов в вязкой электропроводной неферромаг-
нитной поляризируемой жидкости с учетом необратимости процессов локального смещения
электрического заряда и массы. С этой целью вектор градиента приведенной величины
энергетической меры влияния смещения массы на внутреннюю энергию и вектор напря-
женности электрического поля представлены в виде сумм их обратимых и необратимых
составляющих. Это позволило получить для векторов смещения массы и электрического
заряда (поляризации) дифференциальные реологические определяющие соотношения. По-
строенная модель позволяет исследовать динамику поверхностной поляризации и станов-
ления приповерхностной неоднородности напряженно-деформированного состояния вязкой
жидкости.
Отримано 4.03.07
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-21131 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1816-1545 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:24:11Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Грицина, О. Кондрат, В. 2011-06-15T09:29:19Z 2011-06-15T09:29:19Z 2007 Моделювання електромагнетотермомеханічних процесів у в’язкій електропровідній поляризовній рідині з урахуванням необоротності локальних зміщень маси та електричного заряду / О. Грицина, В. Кондрат // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2007. — Вип. 5. — С. 42-54. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21131 539.3 З використанням термодинаміки нерівноважних процесів, механіки й електродинаміки суцільних середовищ отримано повну систему рівнянь для опису взаємозв’язаних електромагнетотермомеханічних процесів у в’язкій електропровідній неферомагнетній поляризовній рідині з урахуванням необоротності процесів локального зміщення електричного заряду та маси. З цією метою вектори градієнта приведеної величини енергетичної міри впливу зміщення маси на внутрішню енергію та напруженості електричного поля подані сумами їх оборотних і необоротних складових. Це дозволило отримати диференціальні реологічні визначальні співвідношення для векторів зміщення маси й електричного заряду (поляризації). Побудована модель дозволяє проаналізувати кінетику поверхневої поляризації та становлення приповерхневої неоднорідності напружено-деформованого стану в’язкої рідини. Using basic principles of thermodynamics of nonequilibrium processes, continuum mechanics and electrodynamics, a complete set of equations for the description of thermomechanical processes in a viscous electrically conducting nonferromagnetic polarized fluid with taking into account irreversibility of the processes of the local displacements of mass and electric charge is obtained. Thus, a gradient vector of an energy measure of the influence of mass displacement on internal energy and an electric force vector are presented as sums of their reversible and irreversible components. It allows one to obtain differential rheological constitutive relations for the mass displacement vector and electric charge. In particular, the proposed model allows one to analyze the history of surface polarization and to establish near-surface inhomogeneity of the stress-strain state of a viscous fluid. С использованием базовых положений термодинамики необратимых процессов и механики сплошных сред получено полную систему уравнений для описания взаимосвязанных термомеханических процессов в вязкой сжимаемой жидкости с учетом обратимого смещения массы. С использованием термодинамики неравновесных процессов, механики и электродинамики сплошных сред получена полная система уравнений для описания взаимосвязанных электромагнитотермомеханических процессов в вязкой электропроводной неферромагнитной поляризируемой жидкости с учетом необратимости процессов локального смещения электрического заряда и массы. С этой целью вектор градиента приведенной величины энергетической меры влияния смещения массы на внутреннюю энергию и вектор напряженности электрического поля представлены в виде сумм их обратимых и необратимых составляющих. Это позволило получить для векторов смещения массы и электрического заряда (поляризации) дифференциальные реологические определяющие соотношения. Построенная модель позволяет исследовать динамику поверхностной поляризации и становления приповерхностной неоднородности напряженно-деформированного состояния вязкой жидкости. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Моделювання електромагнетотермомеханічних процесів у в’язкій електропровідній поляризовній рідині з урахуванням необоротності локальних зміщень маси та електричного заряду Modelling electro-magneto-thermo-mechanical processes in a viscous electrically conducting polarized fluid taking into account irreversibility of a local displacements of mass and electric charge Моделирование электромагнитотермомеханических процессов в вязкой электропроводной поляризированной жидкости с учетом необратимости локальных смещений массы и электрического заряда Article published earlier |
| spellingShingle | Моделювання електромагнетотермомеханічних процесів у в’язкій електропровідній поляризовній рідині з урахуванням необоротності локальних зміщень маси та електричного заряду Грицина, О. Кондрат, В. |
| title | Моделювання електромагнетотермомеханічних процесів у в’язкій електропровідній поляризовній рідині з урахуванням необоротності локальних зміщень маси та електричного заряду |
| title_alt | Modelling electro-magneto-thermo-mechanical processes in a viscous electrically conducting polarized fluid taking into account irreversibility of a local displacements of mass and electric charge Моделирование электромагнитотермомеханических процессов в вязкой электропроводной поляризированной жидкости с учетом необратимости локальных смещений массы и электрического заряда |
| title_full | Моделювання електромагнетотермомеханічних процесів у в’язкій електропровідній поляризовній рідині з урахуванням необоротності локальних зміщень маси та електричного заряду |
| title_fullStr | Моделювання електромагнетотермомеханічних процесів у в’язкій електропровідній поляризовній рідині з урахуванням необоротності локальних зміщень маси та електричного заряду |
| title_full_unstemmed | Моделювання електромагнетотермомеханічних процесів у в’язкій електропровідній поляризовній рідині з урахуванням необоротності локальних зміщень маси та електричного заряду |
| title_short | Моделювання електромагнетотермомеханічних процесів у в’язкій електропровідній поляризовній рідині з урахуванням необоротності локальних зміщень маси та електричного заряду |
| title_sort | моделювання електромагнетотермомеханічних процесів у в’язкій електропровідній поляризовній рідині з урахуванням необоротності локальних зміщень маси та електричного заряду |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21131 |
| work_keys_str_mv | AT gricinao modelûvannâelektromagnetotermomehaníčnihprocesívuvâzkíielektroprovídníipolârizovníirídinízurahuvannâmneoborotnostílokalʹnihzmíŝenʹmasitaelektričnogozarâdu AT kondratv modelûvannâelektromagnetotermomehaníčnihprocesívuvâzkíielektroprovídníipolârizovníirídinízurahuvannâmneoborotnostílokalʹnihzmíŝenʹmasitaelektričnogozarâdu AT gricinao modellingelectromagnetothermomechanicalprocessesinaviscouselectricallyconductingpolarizedfluidtakingintoaccountirreversibilityofalocaldisplacementsofmassandelectriccharge AT kondratv modellingelectromagnetothermomechanicalprocessesinaviscouselectricallyconductingpolarizedfluidtakingintoaccountirreversibilityofalocaldisplacementsofmassandelectriccharge AT gricinao modelirovanieélektromagnitotermomehaničeskihprocessovvvâzkoiélektroprovodnoipolârizirovannoižidkostisučetomneobratimostilokalʹnyhsmeŝeniimassyiélektričeskogozarâda AT kondratv modelirovanieélektromagnitotermomehaničeskihprocessovvvâzkoiélektroprovodnoipolârizirovannoižidkostisučetomneobratimostilokalʹnyhsmeŝeniimassyiélektričeskogozarâda |