Математична модель термомеханіки ідеальної рідини
На основі інтегрування відомих виразів для теплових і механічних характеристик середовища (ідеальної рідини) як функцій вибраних параметрів стану (у довільних заданих інтервалах зміни цих параметрів) встановлено структуру термодинамічних функцій, рівнянь стану та балансу теплової енергії (рівняння т...
Saved in:
| Published in: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
|---|---|
| Date: | 2006 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2006
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21132 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Математична модель термомеханіки ідеальної рідини / О. Гачкевич, М. Солодняк // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 25-38. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859610751358992384 |
|---|---|
| author | Гачкевич, О. Солодяк, М. |
| author_facet | Гачкевич, О. Солодяк, М. |
| citation_txt | Математична модель термомеханіки ідеальної рідини / О. Гачкевич, М. Солодняк // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 25-38. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| description | На основі інтегрування відомих виразів для теплових і механічних характеристик середовища (ідеальної рідини) як функцій вибраних параметрів стану (у довільних заданих інтервалах зміни цих параметрів) встановлено структуру термодинамічних функцій, рівнянь стану та балансу теплової енергії (рівняння теплопровідності). З використанням структури цих виразів, термодинаміки станів і процесів, а також механіки суцільних середовищ побудовано математичну модель термомеханіки ідеальної рідини за відсутності умови малості відхилень термодинамічних параметрів від рівноважних і вихідних виразів для термодинамічних потенціалів.
The structure of thermodynamical functions, constitutive equations and thermal energy balance equation (heat conductive equation) by integrating well known expressions of thermal and mechanical medium characteristics (ideal fluid) as functions of chosen state parameters (in arbitrary specified intervals of parameter’s change) are derived. In default of smallness for thermodynamical parameters deflections and initial expressions for thermodynamic potentials the mathematical model of ideal fluid thermomechanics using those expressions, thermomechanics of states and processes and continuum mechanics is proposed.
На основании интегрирования известных выражений тепловых и механических характеристик среды (идеальной жидкости) как функций избранных параметров состояния (в произвольных заданных интервалах изменения этих параметров), установлено структуру термодинамических функций, уравнений состояния и баланса тепловой энергии (уравнения теплопроводности). С использованием этих выражений, термодинамики состояний и процессов, а также механики сплошных сред, построена математическая модель термомеханики идеальной жидкости при отсутствии условий малости отклонений термодинамических параметров от равновесных и исходных выражений для термодинамических потенциалов.
|
| first_indexed | 2025-11-28T11:30:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
Математична модель термомеханіки ідеальної рідини
Олександр Гачкевич1, Михайло Солодяк2
1 д. ф.-м. н., професор, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України,
вул. Наукова, 3б, Львів, Україна, e-mail: dept3@iapmm.Lviv.ua, Політехніка Опольска, вул. Любошицька, 3,
Ополє, Польща, e-mail: garlu@po.opole.pl
2 к. ф.-м. н., с. н. с., Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України,
вул. Наукова, 3б, Львів, e-mail: dept3@iapmm.Lviv.ua
На основі інтегрування відомих виразів для теплових і механічних характеристик середо-
вища (ідеальної рідини) як функцій вибраних параметрів стану (у довільних заданих інтер-
валах зміни цих параметрів) встановлено структуру термодинамічних функцій, рівнянь
стану та балансу теплової енергії (рівняння теплопровідності). З використанням струк-
тури цих виразів, термодинаміки станів і процесів, а також механіки суцільних середовищ
побудовано математичну модель термомеханіки ідеальної рідини за відсутності умови ма-
лості відхилень термодинамічних параметрів від рівноважних і вихідних виразів для тер-
модинамічних потенціалів.
Ключові слова: взаємозв’язані термомеханічні процеси, ідеальна рідина,
формалізм нерівноважної термодинаміки.
Вступ. У літературі [1-5] відомо достатньо багато робіт, які присвячені розробці ма-
тематичних моделей опису у взаємозв’язку механічних і теплових процесів у ріди-
нах. У більшості таких моделей характеристики середовища приймаються сталими.
Одним із найважливіших питань при побудові згаданих моделей є знахо-
дження термодинамічних потенціалів, необхідних для отримання матеріальних
рівнянь (залежностей між вибраними параметрами стану) і конкретних числових
значень фізико-механічних характеристик матеріалу. Можна виділити два основ-
них підходи до побудови термодинамічних потенціалів:
• записують явний вираз потенціалів, що базуються на розгляді конкретної
фізичної моделі будови тіла;
• застосовують розвинення виразу для термодинамічного потенціалу системи як
аналітичної функції параметрів стану в околі розглядуваного рівноважного
стану у вигляді степеневого ряду за відхиленнями параметрів від рівноважних
при обмеженні (у разі малих відхилень від вихідного стану) певною кількістю
членів ряду (здебільшого до квадратичних, із метою отримання лінійних рів-
нянь стану) та подальшою конкретизацією коефіцієнтів у цьому розвиненні.
Перший підхід характерний для фізики твердого тіла й обмежується не-
значною кількістю моделей. Другий підхід дозволяє отримати відносно просте та
зрозуміле формулювання лінійних рівнянь стану для задач термомеханіки. Проте
він має суттєві недоліки, а саме:
УДК 532.541.13
25
Олександр Гачкевич, Михайло Солодяк
Математична модель термомеханіки ідеальної рідини
26
• розвинення за малими відхиленнями від рівноважного стану не є ефектив-
ним, якщо значення параметра в рівноважному стані є малим;
• термодинамічні потенціали (функції) будуються з точністю до адитивних
сталих для кожного матеріалу, що створює проблеми при формулюванні
умов контакту між тілами з різних матеріалів.
У цій роботі при побудові математичної моделі кількісного опису термоме-
ханічних процесів в ідеальній рідині будемо виходити з відомих виразів для
характеристик матеріалу, на основі яких, із врахуванням термодинамічного фор-
малізму (з використанням виразів для функцій стану через часткові похідні від
термодинамічних функцій), шляхом інтегрування виразів для характеристик у
довільних заданих інтервалах зміни параметрів стану, встановлено структуру
термодинамічних функцій (ентропії, внутрішньої енергії тощо), рівняння стану
та балансу теплової енергії (рівняння теплопровідності). Це дозволило побудувати
варіант теорії термомеханіки за відсутності обмежень на малість відхилень вибраних
параметрів термодинамічних процесів від рівноважних без отримання на основі фі-
зики твердого тіла, статистичної фізики чи трудомістких експериментальних дос-
ліджень виразів для відповідних термодинамічних потенціалів.
1. Вихідні співвідношення термомеханіки ідеальних рідин
Для опису термомеханічної поведінки рідини скористаємося підходом Ейлера [6].
Нехай деформівна рідина займає об’єм V, обмежений гладкою поверхнею Σ, і в
початковий момент часу t = 0 перебуває в природному (ненавантаженому) стані.
Введемо в розгляд прямокутну декартову систему координат ),,( 321 xxx . Довіль-
ній точці P із координатами αx ( 3,1=α ) ставимо у відповідність радіус-вектор rr .
Рух рідини визначаємо шляхом задання поля швидкостей рідини в просторі у
кожний момент часу, тобто
),( trrrr
vv = .
Приймаємо, що всі величини φ, які описують рух рідини у вибраному
об’ємі V, а саме — густина маси ρ, тиск p, температура T та інші, є функціями
змінних Ейлера rr , t, тобто ),( trrϕ=ϕ .
При описі руху середовищ використовують закони збереження (маси, ім-
пульсу та енергії), які виражають фундаментальне положення фізики: зміна в часі
будь-якої величини, розподіленої у фіксованій області (V ), спричиняється пото-
ком цієї величини через його поверхню та наявністю джерел чи стоків цієї вели-
чини у цій області [2, 4, 7].
Закон збереження маси речовини, яку означають інтегралом
∫ρ=
V
dVtrm ),(r ,
у припущенні, що в довільній фіксованій області (V ) маса не виробляється,
в інтегральній формі має вигляд [2, 7]
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 25-38
27
0⌡
⌠ =Σ⋅ρ+⌡
⌠
∂
ρ∂
Σ
dndV
t
V
rr
v . (1)
Тут nv — одинична зовнішня нормаль до поверхні Σ, крапка між векторами озна-
чає їх скалярний добуток. Використовуючи відомий у літературі підхід, а саме
перетворюючи в (1) поверхневий інтеграл на об’ємний за теоремою Гаусса-Остро-
градського та враховуючи, що підобласть V довільна, отримаємо
01
=⋅∇+
ρ
ρ
v
vv
dt
d . (2)
Тут і надалі [6]
ϕ∇⋅+
∂
ϕ∂
=
ϕ vv
v
ttd
d (3)
— повна похідна,
t∂
ϕ∂ — локальна похідна, зумовлена зміною поля ),( trrϕ за ча-
сом, ϕ∇⋅
vv
v — конвективна складова, зумовлена неоднорідністю поля φ, ∇
v
— опе-
ратор Гамільтона.
Сформулюємо закон збереження імпульсу. Враховуючи, що відповідно до
другого закону Ньютона для матеріального континууму, зміна за часом кількості
руху речовини, яка міститься у довільному об’ємі V обмеженому поверхнею Σ,
дорівнює сумі всіх масових сил F
r
і поверхневих зусиль f
r
[2], матимемо
∫∫∫
Σ
Σ+ρ=ρ dfdVFdV
dt
d
VV
vrr
v . (4)
Зауважимо, що поверхневі зусилля f
r
— це сили тиску з розрахунку на одиницю
площі з зовнішньою нормаллю nr . Для ідеальної (нев’язкої) рідини їх пов’язують
із тиском p співвідношенням [1, 2]
npf rr
−= . (5)
Аналогічно до рівняння (2) отримаємо аналітичний вираз закону збережен-
ня імпульсу в локальній формі, яке називають також законом руху або рівнянням
Ейлера,
pF
dt
d
∇
ρ
−=
rrr 1v . (6)
Домноживши рівняння Ейлера (6) скалярно на vr , отримаємо рівняння балансу
кінетичної енергії [2, 3, 7]
Олександр Гачкевич, Михайло Солодяк
Математична модель термомеханіки ідеальної рідини
28
pF
dt
d
∇⋅−⋅ρ=
ρ
rrrrr
vv
v
2
2
. (7)
У розглядуваному випадку зміна за часом повної енергії E тіла визнача-
ється потужністю масових сил F
r
і поверхневих зусиль f
r
та потоком тепла QJ
r
,
пов’язаним із тепловою формою руху, а також питомою потужністю джерел теп-
ла Qw (тепло, яке виробляється за одиницю часу в одиниці об’єму внутрішніми
джерелами тепла).
Густина повної енергії Е (із розрахунку на одиницю об’єму тіла) склада-
ється з густини внутрішньої uρ та кінетичної 2/2v
vρ енергій, тобто
( )2/2v
v+ρ= uE .
Враховуючи це, закон збереження енергії для довільної підобласті V рідини
запишемо у вигляді
( ) ∫∫∫∫∫ +Σ⋅−Σ⋅+⋅ρ=+ρ
ΣΣ V
QQ
VV
dVwdnJdfdVFdVu
dt
d rrvrvrv
vvv 2/2 .
Використовуючи формулу Гаусса-Остроградського, а також співвідношен-
ня (5), отримаємо закон збереження повної енергії у локальній формі
( ) ( ) QQ wJpFu
dt
d
+⋅∇−⋅∇−⋅ρ=+ρ
rrvrvrv
vvv 2/2 . (8)
Приймаючи до уваги рівняння балансу кінетичної енергії (7), а також рів-
няння балансу маси (2), співвідношення (8) можна звести до рівняння балансу
внутрішньої енергії
QQ w
td
dpJ
td
ud
+
ρ
ρ
+⋅∇−=ρ
rr
. (9)
Другу складову у правій частині рівняння (9) інтерпретуватимемо як потужність
елементарної роботи L, виконаної зовнішніми силами над системою, тобто
t
L
td
dp
∂
∂
ρ=
ρ
ρ
. (10)
Рівняння балансу маси (2), імпульсу руху (6) та внутрішньої енергії (9) у
проекціях на осі координат утворюють систему з п’яти рівнянь, тоді як введені
польові параметри u, T, ρ, p, vv і QJ
r
характеризуються десятьма невідомими
компонентами. Співвідношення, які необхідні для доповнення системи рівнянь
моделі, отримаємо з використанням методів термодинаміки. При цьому викорис-
таємо відомий термодинамічний формалізм побудови моделей опису взаємодії
теплових процесів із процесами іншої природи при означених у класичній термо-
механіці базових фізико-механічних і теплофізичних характеристиках середовища.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 25-38
29
2. Рівняння стану та теплопровідності
У розглядуваній моделі ідеальної рідини основою побудови термодинамічних
потенціалів є означення теплових і механічних характеристик матеріалу за ви-
браних параметрів стану. Інтегруючи ці функції у довільних вибраних інтервалах
зміни параметрів стану, а також використовуючи основне рівняння термодинамі-
ки та наслідки, що з нього випливають, отримуємо вирази термодинамічних по-
тенціалів для ідеальної рідини.
Для знаходження термодинамічних потенціалів будемо виходити з основ-
них законів термодинаміки [7-9]. Відповідно до першого закону (який є наслід-
ком закону збереження енергії) існує функція параметрів стану — внутрішня
енергія u, зміна якої du визначається кількістю теплоти Qδ , переданої системі,
та роботою Lδ , виконаною над системою зовнішніми силами, тобто
LQud δ+δ= , (11)
де величини u, Q і L віднесені до одиниці маси тіла. На відміну від внутрішньої
енергії u, величини Q і L не є функціями стану, тобто диференціальні форми δQ і
δL (потужність для якої задається формулою (10)) не є повними диференціалами.
Згідно з другим законом термодинаміки, що постулює існування функції
стану — ентропії s, яка пов’язана з температурою співвідношенням [7-9]
TQsd /δ= ,
з (11) отримаємо рівняння Гіббса [8]
pdvTdsud −= , (12)
де 1−ρ=v — питомий об’єм.
Приймемо гіпотезу локальної термодинамічної рівноваги, згідно якої буде-
мо вважати, що фундаментальне рівняння Гіббса (12) виконується також у малих
інтервалах зміни часу dt. Тоді воно набуває вигляду
td
dp
td
sdT
td
ud ρ
ρ
+ρ=ρ . (13)
Таким чином, питома внутрішня енергія ),( vsu є термодинамічним потен-
ціалом. Величини T і p є спряженими параметрами відповідно до s і v. Співстав-
ляючи формули (9) і (13), отримаємо балансове рівняння для ентропії
QQ wJ
dt
dsT +⋅∇−=ρ
rr
. (14)
Приймемо, що вектор густини потоку тепла в середовищі є окреслений відпо-
відним фізичним зв’язком, вигляд якого залежить головним чином від природи роз-
глядуваної проблеми та можливості проведення відповідних експериментальних
Олександр Гачкевич, Михайло Солодяк
Математична модель термомеханіки ідеальної рідини
30
досліджень. У задачах теплоперенесення зазвичай виходять із найпростішого ви-
гляду такого зв’язку, а саме — закону Фур’є
TJQ ∇−=
rr
æ , (15)
який виражає фізичний факт, що тепло передається з місць тепліших до холодні-
ших, а тим самим вектор густини потоку тепла QJ
r
є пропорційний до градієнта
температури T∇
r
і має протилежний до нього напрям. Головною перевагою да-
ного фізичного закону є те, що існує ряд добре розроблених експериментальних
процедур, необхідних для визначення в (15) коефіцієнта теплопровідності æ .
Зауважимо, що хоча тверді тіла, рідини чи гази значно різняться між собою
за структурою, їх теплопровідність вдається описати за допомогою одного і того
самого закону (15). Це підтвердили експериментальні дослідження, які показали,
що цей закон добре описує теплопровідність, якщо градієнт температури не
перевищує у випадку твердих тіл 3·104 К/м, а у випадку розріджених газів —
108 К/м [10-11].
Підставляючи формулу (15) у співвідношення (14), отримаємо таке рівнян-
ня для ентропії
( ) QwT
dt
dsT +∇⋅∇=ρ
rr
æ . (16)
Приймемо, що у природному (початковому) стані введені вище параметри
набувають значень
000 =↔ sT ; 000 /1 ρ=↔ vp . (17)
Слід відзначити, що із практичної точки зору функція ),( vsu як термоди-
намічний потенціал є незручною, тому що одна з її незалежних змінних — ентро-
пія s — безпосередньо, подібно до величин T, p і v, не може бути виміряна [9].
Тому за незалежні змінні доцільно вибирати T і v або T і p.
Для цього введемо у розгляд питому енергію Гельмгольца
Tsuf −= . (18)
Використавши (18), із співвідношення (12) отримаємо
vpdsdTdf −−= . (19)
Врахувавши, що df є повним диференціалом, із формули (19), як наслідок,
прийдемо до узагальнених рівнянь стану [8]
Tfs ∂−∂= / , vfp ∂−∂= / . (20)
Використовуючи рівність змішаних похідних, із рівнянь (20) приходимо до спів-
відношення Максвелла
Tpvs ∂∂=∂∂ // . (21)
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 25-38
31
Вигляд рівнянь стану (20) будемо встановлювати з використанням відомих
у термомеханіці характеристик для ідеальної рідини [12-15]:
• питомої теплоємності за сталого об’єму
( ) ( )vvv TfTTsTc 22 // ∂∂−=∂∂= ; (22)
• ізотермічного модуля пружності
( ) ( )TTT vfvvpvK 22
00 // ∂∂=∂∂−= ; (23)
• термічного коефіцієнта тиску
vT
f
pT
p
p v
T ∂∂
∂
−=
∂
∂
=γ
2
00
11 . (24)
Зауважимо, що з врахуванням означення (24), співвідношення Максвелла (21)
запишемо так
Tpvs γ=∂∂ 0/ , (25)
а із рівності змішаних похідних для s і p отримаємо додаткові умови на величини
(22)-(24)
T
p
T
c
v
Tv
∂
γ∂
=
∂
∂
0 , ( )0
0
p
vv
K
T T
T γ
∂
∂
−=
∂
∂ . (26)
Приймемо, що характеристики середовища (22)-(24) є заданими функціями
від вибраних параметрів стану (T і v).
Використаємо співвідношення (22)-(24) для встановлення структури залеж-
ностей функцій s і p від спряжених їм параметрів стану T і v. Для цього про-
інтегруємо дані співвідношення в розглядуваних інтервалах зміни температури
),( 0 TT й об’єму ),( 0 vv . Так, проінтегрувавши рівняння (22) і (24) за температу-
рою T, отримаємо такі залежності ентропії та тиску від температури
)(),(),(
0
vsTd
T
vTcvTs
T
T
v ′+= ∫ , )(),(),(
0
0 vpdTvTpvTp
T
T
T ′+γ= ∫ . (27)
Підставивши формули (27) у (23) і (25) і використавши додаткові умови (26),
прийдемо до наступних співвідношень ( )vs′ та ( )vp′
),( 00 vTp
v
s
Tγ=
∂
′∂ ;
0
0 ),(
v
vTK
v
p T=
∂
′∂ . (28)
Інтегруючи співвідношення (28) по v в інтервалі ),( 0 vv , маємо
svdvTpvs
v
v
T ′′+γ=′ ∫
0
),()( 00 , pvdvTK
v
vp
v
v
T ′′+=′ ∫
0
),(1)( 0
0
. (29)
Олександр Гачкевич, Михайло Солодяк
Математична модель термомеханіки ідеальної рідини
32
Тоді з (27) і (29) за початкових умов (17) отримаємо такі вирази для ентропії s і
тиску p, залежних від параметрів T і v
∫∫ γ−=
v
v
T
T
T
v vdvTpTd
T
vTcvTs
00
),(),(),( 00 , (30)
∫∫ −
γ+=
v
v
T
T
T
T vdvTK
v
TdvTpvTp
00
),(1),(1);( 0
0
0 . (31)
Зауважимо, що при інтегруванні в оберненій послідовності: спочатку по v,
а потім по T, аналогами формул (30) і (31) будуть
∫∫ γ−=
v
v
T
T
T
v vdvTpTd
T
vTcvTs
00
),(),(),( 0
0 , (32)
∫∫ −
γ+=
v
v
T
T
T
T vdvTK
v
TdvTpvTp
00
),(1),(1),(
0
00 . (33)
Знайдемо вираз для питомої енергії Гельмгольца. Для цього співвідношен-
ня (30), (31) підставимо у рівняння (20) та проінтегруємо за відповідними пара-
метрами. Одержуємо
( ) +
γ−+−−−= ∫∫ ∫
v
v
T
T
T
T
T
v vdvTTTvvp
T
TdvTcTdvTf
00 0
),(),(),( 0000
∫ ∫+
v
v
v
v
T vdvTKdv
v
0 0
),(1
0
0
. (34)
Зі співвідношення (18), за врахування формул (30)-(33), отримаємо такий
вираз для внутрішньої енергії
∫ ∫∫∫ +
γ−−−=
v
v
v
v
T
v
v
T
T
T
v vdvTKvd
v
vdvTTvvpdTcvTu
0 000
);(1);(),( 0
0
0000 . (35)
При виведені термодинамічних потенціалів (30)-(35) не накладалося ніяких
обмежень на інтервали зміни температури ),( 0 TT і питомого об’єму ),( 0 vv . Ос-
кільки у даній роботі не розглядаються фазові переходи (наприклад, перетворен-
ня рідини в газ чи навпаки), то потрібно обмежитися такими інтервалами зміни
параметрів стану, для яких середовище є рідиною.
Наведемо тепер кілька часткових виразів для термодинамічних потенціалів
(30)-(35). Відомо [12-15], що характеристики рідин (22)-(24) у більшості випадків
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 25-38
33
суттєво залежать від температури та порівняно слабо — від об’єму. Таким чи-
ном, при інженерно-технічних розрахунках залежністю від об’єму можна знехту-
вати та прийняти: )(Tcc vv = , )(TKK TT = і )(TTT γ=γ . Але за такого припущен-
ня з додаткових співвідношень (26) випливає, що ізотермічний модуль пружності
TK і термічний коефіцієнт тиску Tγ не можуть залежати від температури, тобто
)(Tcc vv = , const=TK , const=γT . (36)
Тоді формули (30)-(35) набудуть вигляду
( )00
0
)(),( vvp
T
dTTcvTs T
T
T
v −γ+= ∫ , (37)
( )[ ] TT K
v
vvTTpvTp
0
0
00 1),(
−
−−γ+= , (38)
( ) ( )[ ] ( )20
0
000 2
1)(),(
0 0
vv
v
KTTvvp
T
TdTcTdvTf T
T
T
T
T
T
v −+−γ+−−−= ∫ ∫ , (39)
( )( ) ( )20
0
000 2
1)(),(
0
vv
v
KvvTpTdTcvTu T
T
T
T
v −+−γ−−= ∫ . (40)
Якщо питому теплоємність теж взяти постійною, то рівняння стану (38) не
зміниться, а співвідношення (37), (39) і (40) набудуть вигляду
( )00
0
ln),( vvp
T
TcvTs Tv −γ+= ,
( ) ( )[ ] ( )20
0
000
0
0 2
11ln),( vv
v
KTTvvp
T
TTTcvTf T
Tv −+−γ+−−
−+−= ,
( ) ( )( ) ( )20
0
0000 2
1),( vv
v
KvvTpTTcvTu T
Tv −+−γ−−−= . (41)
Підставивши вираз (30) для ентропії у балансове рівняння (16) та використавши
рівняння балансу маси (3), отримаємо таке узагальнене рівняння теплопровідності
( ) QTv wTTTp
td
TdpTc +∇⋅∇=⋅∇ργ−ρ
rrrr
æ),(),( 00 v . (42)
Якщо характеристики рідини є сталими, то рівняння (42) набуде вигляду
æ
11 Q
T
w
TT
atd
Td
a
+∆=⋅∇− v
rr
, (43)
Олександр Гачкевич, Михайло Солодяк
Математична модель термомеханіки ідеальної рідини
34
де vca ρ= æ — коефіцієнт температуропровідності за сталого об’єму; =Ta
Tp γ= 0æ — параметр зв’язаності полів температури та швидкості. Зауважимо,
що коефіцієнти a і aT мають розмірність коефіцієнта дифузії (м2/с).
Якщо за незалежні змінні взяти температуру T та тиск p, то за термодина-
мічний потенціал потрібно вибрати потенціал Гіббса, тобто
pvTsug +−= .
Для нього рівняння (19) прийме вигляд
pdvTdsgd +−= . (44)
Із виразу (44), як наслідок, випливають узагальнені рівняння стану
Tgs ∂−∂= / , pgv ∂∂= / (45)
та співвідношення Максвела
Tvps ∂∂=∂∂− // . (46)
У цьому випадку вихідними характеристиками рідини будуть:
• питома теплоємність за сталого тиску
pp
p T
gT
T
sTc
∂
∂
−=
∂
∂
= 2
2
; (47)
• термічний коефіцієнт об’ємного розширення
vT
g
vT
v
vT ∂∂
∂
=
∂
∂
=α
2
00
11 ; (48)
• термічний коефіцієнт стисливості
2
2
00
11
p
g
vp
v
vT
∂
∂
−=
∂
∂
−=β . (49)
Зауважимо, що з врахуванням залежності (48), співвідношення Максвела (46)
набудуть вигляду
Tvps α−=∂∂ 0/ , (50)
а із рівності змішаних похідних для s і v отримаємо такі додаткові обмеження на
характеристики (47)-(49)
T
v
T
c
p
Tp
∂
α∂
−=
∂
∂
0 ;
Tp
TT
∂
β∂
−=
∂
α∂ . (51)
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 25-38
35
Надалі характеристики середовища (47)-(49) вважатимемо заданими функ-
ціями від вибраних параметрів стану, тобто від T і p.
Проінтегруємо рівняння (45)-(51) за температурою T та тиском p відповідно в
інтервалах (T0; T ) і (p0; p ). У підсумку отримаємо
∫∫ α−=
p
p
T
T
T
p pdpTvTd
T
pTc
pTs
00
),(
),(
),( 00 ; (52)
β−α+= ∫∫
p
p
T
T
T
T pdpTTdpTvpTv
00
),(),(1),( 00 ; (53)
+−= ∫ ∫
T
T
T
T
p
T
TdpTc
TdpTg
0 0
),(
),(
( )
β−α−+−+ ∫ ∫∫
p
p
p
p
T
p
p
T dppTdpdppTTTppv
0 00
),(),( 00000 ; (54)
+α+−= ∫∫
T
T
T
T
T
p dTpTppvdTpTcpTu
00
),(),(),( 00
β−α+ ∫∫
p
p
T
p
p
T dpppTdppTT
00
),(),( 000 . (55)
Якщо характеристики рідини слабо залежать від зміни об’єму, то
)(Tcc pp = , const=αT , const=βT . (56)
Із врахуванням формул (56), співвідношення (52)-(55) приймають вигляд
( )00
0
)(
),( ppvdT
T
Tc
pTs T
T
T
p −α−= ∫ , (57)
( ) ( )[ ]000 1),( ppTTvpTv TT −β−−α+= , (58)
( ) ( ) ( )
−
β
−−α+−+−= ∫ ∫ 0000 2
1
)(
),(
0 0
ppTTppv
T
dTTc
dTpTg T
T
T
T
T
T
p , (59)
( ) ( )
−
β
−−α+−= ∫ 2
0
2
0000 2
),(
0
ppTppTpvdTcpTu T
T
T
T
p . (60)
За сталої питомої теплоємності pc формули (57)-(60) будуть такими
Олександр Гачкевич, Михайло Солодяк
Математична модель термомеханіки ідеальної рідини
36
( )00
0
ln),( ppv
T
TcpTs Tp −α−= ,
( ) ( ) ( )
−
β
−−α+−+
−+−= 0000
0
0 2
11ln),( ppTTppv
T
TTTcpTg T
Tp ,
( ) ( ) ( )
−
β
−−α+−−= 2
0
2
00000 2
),( ppTppTpvTTcpTu T
Tp . (61)
Зазначимо, що формули (41) і (61) співпадають з аналогічними, отримани-
ми на основі використання розвинень термодинамічних функцій у степеневі ряди
за малих відхилень параметрів від рівноважних [2].
Виходячи із співвідношень (16) і (52), запишемо рівняння теплопровідності
( ) Q
T
p wT
dt
dpTpT
dt
dTpTc +∇⋅∇=
ρ
α
−ρ
rr
æ),(),(
0
0 . (62)
Для сталих характеристик рівняння теплопровідності буде
ææ
1 QT w
T
dt
dpT
dt
dT
a
+∆=
α
− . (63)
Прирівнюючи відповідні вирази для термодинамічних потенціалів (30)-(35)
та відповідні їм формули (52)-(55), отримаємо зв’язки
• між термічними коефіцієнтами
T
TK
β
=
1 , TT
T
T
T p
K
p
γβ=
γ
=α 0
0 ; (64)
• між питомими теплоємностями за сталого тиску та сталого об’єму
Tvpcc TTvp γα=− 00 . (65)
У фізиці вводять показник адіабати (коефіцієнт Пуассона) vp cc /≡γ , який
характеризує відносну різницю між теплоємностями cp і cv. Для цього випадку
1
001
−
γα
−=γ
p
TT
c
Tvp . (66)
Розглянемо адіабатичне розширення, коли s = const чи ds / dt = 0. Тоді з рів-
нянь (37) і (62) зміну температури з часом можна виразити через зміну з часом
об’єму чи тиску, тобто
td
pd
c
TvTv
td
vd
c
TvTp
td
Td
p
T
v
T ),(),( 0000 α
=
γ
−= . (67)
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 25-38
37
Тоді із рівнянь (31) і (53) отримаємо такі співвідношення
td
vd
v
vTK
dt
dp s
0
),(
−= ,
dt
dppTv
td
vd
s ),(0β−= , (68)
де Ks і βs — адіабатичні модулі пружності та стисливості, які пов’язані з ізотер-
мічними характеристиками такими залежностями
vTTTs cTvTvTvpvTKvTK /),(),(),(),( 00
2
00 γγ+= ,
pTTTs cTvTvTvpTpT /),(),(),(),( 000 αα−β=β . (69)
При цьому
ssK β= /1 . (70)
Зауважимо, що у разі постійних характеристик рідини та невеликих відхи-
лень параметрів від рівноважного стану, співвідношення (66) і (67) можна проін-
тегрувати. Використовуючи при цьому початкові умови (17), отримаємо
( ) ( )0
00
0
00
0 pp
c
Tvvv
c
TpTT
p
T
v
T −
α
=−
γ
−=− , (71)
( )0
0
0 vv
v
Kpp s −−=− , ( )000 ppvvv s −β−=− , (72)
а формули (68) і (69) не зміняться (замість функцій необхідно поставити їх сталі
значення).
Висновки. Отримано замкнену систему рівнянь термомеханіки: рівняння балан-
су маси (2), рівняння руху (6), рівняння стану (30), (31) чи (52), (53) (або їх на-
ближення (37), (38) чи (57), (58)), рівняння теплопровідності у формі (42) чи (62)
(або їх наближення (43) чи (63)). Записано зв’язки (64), (65) між термічними ха-
рактеристиками рідини. Розглянуто випадок адіабатичного наближення (66)-(72).
Література
[1] Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика: В 2-х ч. —
М.: Физматгиз, 1963. — Ч. 1. — 584 с.
[2] Бурак Я. Й., Галапац Б. П., Гнідець Б. М. Фізико-механічні процеси в електропро-
відних тілах. — К.: Наук. думка, 1978. — 232 с.
[3] Солодяк М. Т., Чапля Є. Я., Качур І. Р. Вихідні співвідношення математичної моде-
лі електродифузії водних розчинів солей у пористих середовищах. — Львів, 1993. —
46 с. (Препр. / АН України. ЦММ ІППММ; 6-93).
[4] Солодяк М. Т. Термодинамічні функції суміші ідеальних газів у рівноважному стані //
Мат. методи та фіз.-мех. поля. — 1997. — T. 40, № 3. — С. 134-140.
[5] Солодяк М. Т. Математична модель термодифузії в слабких розчинах електролітів //
Фіз.-хім. механіка матеріалів. — 1999. — № 1. — С. 55-60.
Олександр Гачкевич, Михайло Солодяк
Математична модель термомеханіки ідеальної рідини
38
[6] Улітко А. Т., Мольченко Л. В., Ковальчук В. Ф. Магнітопружність при динамічному
навантаженні. — К.: Либідь, 1994. — 156 с.
[7] Де Гроот С. П., Мазур П. Неравновесная термодинамика. — М.: Мир, 1964. — 456 с.
[8] Гиббс Дж. В. Термодинамика. Статистическая механика. — М.: Наука, 1982. — 584 с.
[9] Базаров И. П. Термодинамика. — М.: Высшая шк., 1983. — 344 с.
[10] Wyrwal J. Termodynamiczne podstawy fizyky budowli. Oficyna Wydawnicza Politech-
niki Opolskiej, Opole, 2004. — 251 s.
[11] Wyrwal J., Marynowicz A. Vapour condensation and moisture accumulation in porous
building wall // Building and envaironment. — 2002. — V. 37, № 3. — P. 313-318.
[12] Варгафтик Н. В. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. —
М.: Наука, 1972. — 720 с.
[13] Енохович А. С. Краткий справочник по физике. — М.: Высшая. шк., 1976. — 288 с.
[14] Кей Дж., Леби Т. Таблицы физических и химических постоянных / Под ред.
Яковлева К. П. — М.: Физматгиз, 1962. — 247 с.
[15] Таблицы физических величин. Справочник / Под ред. Кикоина И. К. — М.: Атом-
издат, 1976. — 1008 с.
Математическая модель термомеханики идеальной жидкости
Александр Гачкевич, Михаил Солодяк
На основании интегрирования известных выражений тепловых и механических характе-
ристик среды (идеальной жидкости) как функций избранных параметров состояния
(в произвольных заданных интервалах изменения этих параметров), установлено структу-
ру термодинамических функций, уравнений состояния и баланса тепловой энергии (урав-
нения теплопроводности). С использованием этих выражений, термодинамики состояний
и процессов, а также механики сплошных сред, построена математическая модель тер-
момеханики идеальной жидкости при отсутствии условий малости отклонений термоди-
намических параметров от равновесных и исходных выражений для термодинамических
потенциалов.
Mathematical Model of Thermomechanical
Processes in an Ideal Fluid
Oleksandr Hachkevych, Mykhaylo Solodyak
The structure of thermodynamical functions, constitutive equations and thermal energy balance
equation (heat conductive equation) by integrating well known expressions of thermal and
mechanical medium characteristics (ideal fluid) as functions of chosen state parameters (in
arbitrary specified intervals of parameter’s change) are derived. In default of smallness for ther-
modynamical parameters deflections and initial expressions for thermodynamic potentials the
mathematical model of ideal fluid thermomechanics using those expressions, thermomechanics of
states and processes and continuum mechanics is proposed.
Отримано 18.04.06
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-21132 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1816-1545 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-28T11:30:24Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гачкевич, О. Солодяк, М. 2011-06-15T11:06:08Z 2011-06-15T11:06:08Z 2006 Математична модель термомеханіки ідеальної рідини / О. Гачкевич, М. Солодняк // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 25-38. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21132 532.541.13 На основі інтегрування відомих виразів для теплових і механічних характеристик середовища (ідеальної рідини) як функцій вибраних параметрів стану (у довільних заданих інтервалах зміни цих параметрів) встановлено структуру термодинамічних функцій, рівнянь стану та балансу теплової енергії (рівняння теплопровідності). З використанням структури цих виразів, термодинаміки станів і процесів, а також механіки суцільних середовищ побудовано математичну модель термомеханіки ідеальної рідини за відсутності умови малості відхилень термодинамічних параметрів від рівноважних і вихідних виразів для термодинамічних потенціалів. The structure of thermodynamical functions, constitutive equations and thermal energy balance equation (heat conductive equation) by integrating well known expressions of thermal and mechanical medium characteristics (ideal fluid) as functions of chosen state parameters (in arbitrary specified intervals of parameter’s change) are derived. In default of smallness for thermodynamical parameters deflections and initial expressions for thermodynamic potentials the mathematical model of ideal fluid thermomechanics using those expressions, thermomechanics of states and processes and continuum mechanics is proposed. На основании интегрирования известных выражений тепловых и механических характеристик среды (идеальной жидкости) как функций избранных параметров состояния (в произвольных заданных интервалах изменения этих параметров), установлено структуру термодинамических функций, уравнений состояния и баланса тепловой энергии (уравнения теплопроводности). С использованием этих выражений, термодинамики состояний и процессов, а также механики сплошных сред, построена математическая модель термомеханики идеальной жидкости при отсутствии условий малости отклонений термодинамических параметров от равновесных и исходных выражений для термодинамических потенциалов. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Математична модель термомеханіки ідеальної рідини Mathematical Model of Thermomechanical Processes in an Ideal Fluid Математическая модель термомеханики идеальной жидкости Article published earlier |
| spellingShingle | Математична модель термомеханіки ідеальної рідини Гачкевич, О. Солодяк, М. |
| title | Математична модель термомеханіки ідеальної рідини |
| title_alt | Mathematical Model of Thermomechanical Processes in an Ideal Fluid Математическая модель термомеханики идеальной жидкости |
| title_full | Математична модель термомеханіки ідеальної рідини |
| title_fullStr | Математична модель термомеханіки ідеальної рідини |
| title_full_unstemmed | Математична модель термомеханіки ідеальної рідини |
| title_short | Математична модель термомеханіки ідеальної рідини |
| title_sort | математична модель термомеханіки ідеальної рідини |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21132 |
| work_keys_str_mv | AT gačkevičo matematičnamodelʹtermomehaníkiídealʹnoírídini AT solodâkm matematičnamodelʹtermomehaníkiídealʹnoírídini AT gačkevičo mathematicalmodelofthermomechanicalprocessesinanidealfluid AT solodâkm mathematicalmodelofthermomechanicalprocessesinanidealfluid AT gačkevičo matematičeskaâmodelʹtermomehanikiidealʹnoižidkosti AT solodâkm matematičeskaâmodelʹtermomehanikiidealʹnoižidkosti |