Процеси дифузії-конвекції з урахуванням сорбції у двошаровому фільтрі

Розглянуто контактно-крайову задачу конвективної дифузії для фільтра, що складається з двох шарів різної пористості, насичених водним розчином. На зовнішніх поверхнях задано значення концентрації забруднюючої речовини (що відповідає існуючим можливостям доступного контролю), а на внутрішній поверхні...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Datum:	2006
Hauptverfasser:	Сівак, В., Чапля, Є., Чернуха, О.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainisch
Veröffentlicht:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2006
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21134
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Процеси дифузії-конвекції з урахуванням сорбції у двошаровому фільтрі / В. Сівак, Є. Чапля, О. Чернуха // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 78-91. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859905800027242496
author	Сівак, В. Чапля, Є. Чернуха, О.
author_facet	Сівак, В. Чапля, Є. Чернуха, О.
citation_txt	Процеси дифузії-конвекції з урахуванням сорбції у двошаровому фільтрі / В. Сівак, Є. Чапля, О. Чернуха // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 78-91. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
description	Розглянуто контактно-крайову задачу конвективної дифузії для фільтра, що складається з двох шарів різної пористості, насичених водним розчином. На зовнішніх поверхнях задано значення концентрації забруднюючої речовини (що відповідає існуючим можливостям доступного контролю), а на внутрішній поверхні їх контакту — умови неідеально масового контакту. У вихідних рівняннях враховується сорбція домішок на скелеті пористого матеріалу, яка описується в лінеаризованому варіанті. Для побудови аналітичних розв’язків сформульованої задачі конвективної дифузії узагальнено метод, який базується на застосуванні інтегральних перетворень окремо в контактуючих областях. Отримано аналітичні вирази для визначення концентрацій домішки та потоків маси у кожному структурному елементі. Це дало змогу запропонувати схему для знаходження часу насичення забруднюючою речовиною двошарового фільтра та дослідити його залежність від фізико-хімічних властивостей матеріалу і геометричних параметрів. A contact initial-boundary value problem is considered for advective diffusion in a filter consisting of two distinct porosity two layers saturated by water solution. On the external body surfaces the values of pollution concentration are given (that agrees with existing capabilities in valid control) and on the internal surface of layer contact the conditions of non-ideal mass contact are imposed. In the basic equations it is taken into account admixture sorption on a skeleton of porous material, which is described in the linearized variant. For constructing analytical solutions of the formulated contact initial-boundary value problems of advective diffusion the method based on application of integral transformations separately in contacting regions is generalized. The analytical expressions for determinating admixture concentration in each of structural elements are found as well as mass fluxes that takes the opportunity to propose a scheme for evaluating time of two-layered filter saturation by polluting substance and to analyze its dependence on physical-chemical material properties and geometrical parameters. Рассмотрена контактно-краевая задача конвективной диффузии для фильтра, состоящего из двух слоев различной пористости, насыщенных водным раствором. На внешних поверхностях заданы значения концентрации загрязняющего вещества (что соответствует существующим возможностям достоверного контроля), а на внутренней поверхности контакта слоев — условия неидеального массового контакта. В исходных уравнениях учитывается сорбция примесей на скелете пористого материала, которая описывается в линеаризированном варианте. Для построения аналитических решений сформулированной задачи конвективной диффузии обобщен метод, базирующийся на использовании интегральных преобразований отдельно в контактирующих областях. Получены аналитические выражения для определения концентрации примеси в каждом структурном элементе и потоков массы, что дало возможность предложить схему определения времени насыщения загрязняющим веществом двухслойного фильтра и исследовать его зависимость от физико-химических свойств материала и геометрических параметров.
first_indexed	2025-12-07T15:59:47Z
format	Article
fulltext	Процеси дифузії-конвекції з урахуванням сорбції у двошаровому фільтрі Віктор Сівак1, Євген Чапля2, Ольга Чернуха3 1 к. т. н., доцент, Національний університет водного господарства та природокористування, вул. Соборна, 11, 33000, Рівне, 2 д. ф.-м. н., с. н. с., Центр математичного моделювання ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Дж. Ду- даєва, 15, 79005, Львів, e-mail: chaplia@cmm.lviv.pl; Інститут механіки середовища і прикладної інформатики Університету Казиміра Великого в Бидгощі, вул. Ходкевича, 30, 85-064, Бидгощ, Польща, e-mail: czapla@ukw.edu.pl 3 к. ф.-м. н., с. н. с., Центр математичного моделювання ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Дж. Дудаєва, 15, 79005, Львів, е-mail: cher@cmm.lviv.ua Розглянуто контактно-крайову задачу конвективної дифузії для фільтра, що складається з двох шарів різної пористості, насичених водним розчином. На зовнішніх поверхнях задано значення концентрації забруднюючої речовини (що відповідає існуючим можливостям до- ступного контролю), а на внутрішній поверхні їх контакту — умови неідеально масового контакту. У вихідних рівняннях враховується сорбція домішок на скелеті пористого мате- ріалу, яка описується в лінеаризованому варіанті. Для побудови аналітичних розв’язків сформульованої задачі конвективної дифузії узагальнено метод, який базується на засто- суванні інтегральних перетворень окремо в контактуючих областях. Отримано аналітичні вирази для визначення концентрацій домішки та потоків маси у кожному структурному елементі. Це дало змогу запропонувати схему для знаходження часу насичення забрудню- ючою речовиною двошарового фільтра та дослідити його залежність від фізико-хімічних властивостей матеріалу і геометричних параметрів. Ключові слова: конвективна дифузія, двошаровий фільтр, контактно-крайо- ва задача, час насичення. Вступ. В існуючих промислових системах очистки питної води та забруднених стоків широко використовуються багатошарові фільтри з різною пористістю ша- рів [1]. Ефективність їхньої роботи істотно залежить від сорбційних властивос- тей окремих шарів, пористості, а також відповідних геометричних параметрів. В інженерній практиці для розрахунку таких фільтрів, як правило, використовують комп’ютерне моделювання, розв’язуючи числовими методами нелінійні задачі фільтрації стічних вод [2]. Разом із тим, для аналізу впливу пористості та геометричних параметрів фільтра на довговічність його роботи доцільно отримати аналітичні розв’язки аналогічних задач у лінеаризованому варіанті опису процесів сорбції. У даній ро- боті досліджуються процеси масоперенесення частинок домішкової речовини за урахування конвективної складової перенесення та сорбційних процесів у двоша- ровому фільтрі. УДК 517.958:539 78 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 4, 78-91 79 1. Вихідні модельні співвідношення При формулюванні вихідних співвідношень моделі перенесення забруднення в двошаровому фільтрі вважаємо, що довільна область кожного шару складається зі скелета та водного розчину, який заповнює поровий простір. Приймемо, що в процесі фільтрації скелет не деформується і пористість залишається сталою (не враховуються зміни, пов’язані з сорбцією домішкової речовини). Водний роз- чин є двокомпонентним і складається з частинок води та забруднюючої субстан- ції. Частинки забруднення перебувають у двох станах — конвективно рухомому розчині та поверхні скелета. Основними процесами, що розглядаються, є конвективна дифузія домішок і їхня сорбція скелетом. Ці процеси описуються з використанням наближення континуума центрів мас [3] для рідкої фази, приймаючи швидкість конвективно- го руху частинок rvr наближено рівною істинній швидкості порового розчину при фільтрації, тобто κ≅ fr vv rr , де fvr — швидкість фільтрації, κ — пористість. Зазначимо, що середовище є ізотропним і поверхнева та об’ємна пористості при- ймаються рівними. Рівняння балансу для порового розчину запишемо у вигляді [3] mii i J dt rtdc σ+⋅∇−=ρ rrr),( , 2,0=i , (1) де ∑ ρ=ρ i i — сумарна густина розчину; ρi, σmi — густина та потужність ви- робництва маси i-ої компоненти; ρρ= iic — масова концентрація компоненти i; iJ r — дифузійний потік i-ої складової розчину; ∇⋅+∂∂= rr rvtdtd — повна по- хідна за часом; αα ∂∂=∇ xi rr — оператор Гамільтона; αi r — базисний одиничний орт; xα — координата декартової системи координат, до якої віднесено тіло; α α= ixr rr ( 3,1=α ); t — час; крапкою позначено скалярний добуток. Компоненті розчину, що відповідає воді, надаємо значення індексу i = 0, забруднюючій речовині у конвективно рухомому розчині — i = 1, а у зв’язаному стані — i = 2. При цьому σm0 = 0. Вважаємо, що дифузійний потік визначається градієнтами хімічних потен- ціалів µi, які лінійно залежать від концентрацій, тобто iii cLLJ ∇−=µ∇−= rrr * , 2,0=i , (2) де L, L* — кінетичні коефіцієнти перенесення. Потужність виробництва маси компоненти i є пропорційна до локальної різниці хімічних потенціалів µi (i = 1; 2) і, як наслідок, різниці концентрацій ci (i = 1; 2). Якщо знехтувати зворотним переходом частинок забруднюючої речо- вини зі зв’язаного стану в розчин і прийняти лінійну залежність хімічних потен- ціалів від концентрацій, то 1 * 1 ckm −=σ , 02 =σm , 00 =σm , де k* — кінетичний коефіцієнт процесу сорбції. Віктор Сівак, Євген Чапля, Ольга Чернуха Процеси дифузії-конвекції з урахуванням сорбції у двошаровому фільтрі 80 Концентрації ci та потоки iJ r ( 2,0=i ) задовольняють умови нормування 1=∑i ic і 0=∑i iJ r . Перенесення у зв’язаному стані відсутнє. Густину ρ і кіне- тичні коефіцієнти L* та k* приймаємо сталими. Тоді концентрації c1 і c2 визнача- ємо з рівнянь ),(),(),(),( 111 1 rtkcrtcvrtcD t rtc r rrrrr r −∇⋅−∆= ∂ ∂ , ),(),( 1 2 rtkc t rtc r r = ∂ ∂ , (3) де D = L/ρ0 — коефіцієнт дифузії домішки, k = k/ρ0 — приведений кінетичний коефіцієнт процесу сорбції, ρ0 — стале значення густини розчину, ∇⋅∇=∆ rr — оператор Лапласа. Приведемо систему рівнянь (3) до безрозмірного вигляду. З цією метою введемо нові змінні τ= kt ; ( ) )(21 * )( αα =ξ xDk . (4) Тут };min{ 21* kkk = , а };max{ 21* DDD = для розглядуваних шарів фільтра. Тоді отримаємо ),(),(),(),( 111 1 ξτ−ξτ∇⋅−ξτ∆= τ∂ ξτ∂ ξξ rrrrr r accvcdc , ),(),( 1 2 ξτ= τ∂ ξτ∂ r r acc , (5) де DDd = , ( ) rvDkv rr 21 = , kka = — безрозмірні коефіцієнти. При цьому су- марний потік у безрозмірній формі буде 11 cvcdJ rrr +∇−= ξ . (6) 2. Контактно-крайова задача конвективної дифузії Розглянемо шар безрозмірної товщини ξ, який складається з двох шарів товщин ξ' та δξ (δξ = ξ – ξ') відповідно (рис. 1). Система декартових координат вибрана так, щоб вісь Оξ була перпендикулярна до поверхонь шару з початком відліку на верхній границі та спрямована вглиб тіла. Вважаємо, що на верхній і нижній по- верхнях тіла відомі сталі значення концентрації домішки const),( 00 )1( 1 ≡=ξτ =ξ cc , const),( * )2( 1 * ≡=ξτ ξ=ξ cc . (7) Також приймаємо, що в початковий момент часу 0),(),( 0 )( 20 )( 1 =ξτ=ξτ =τ=τ jj cc . (8) Тут j — номер шару фільтра: j = 1 — для Ω1 = ]0; ξ'[, j = 2 — для Ω2 = ]ξ'; ξ[. У випадку одновимірної (вертикальної) конвективної дифузії масоперене- сення домішок описують такі системи рівнянь ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 4, 78-91 81 Рис. 1. Двошарове тіло, в якому мігрує домішкова речовина ),( ),(),(),( )( 1 )( 1 2 )( 1 2)( 1 ξτ− ξ∂ ξτ∂ − ξ∂ ξτ∂ = τ∂ ξτ∂ j j j j j j j ca c v c d c , ),( ),( )( 1 )( 2 ξτ= τ∂ ξτ∂ j j j ca c , jΩ∈ξ ( 2;1=j ), (9) де DDd jj = , ( ) jj vDkv 21 *= , kka jj = . Зауважимо, що jrj vv κ= , jκ — пористість j-го шару. На границі контакту ξ = ξ' виконується умова рівностей хімічних потенціа- лів і сумарних потоків маси, які запишемо вигляді ξ′=ξξ′=ξ ξτ=ξτλ ),(),( )2( 1 )1( 1 cc ; (10) ξ′=ξξ′=ξ − ξ∂ ∂ =− ξ∂ ∂ )2( 12 )2( 1 2 )1( 11 )1( 1 1 cv c dcv c d , (11) де λ = λ1/λ2 — відношення коефіцієнтів концентраційної залежності хімічних по- тенціалів у станах 1 і 2. 3. Схема розв’язування задачі Зазначимо, що можемо проінтегрувати другі рівняння систем (9). З урахуванням початкових умов маємо ∫ τ τ′ξτ′=ξτ 0 )( 1 )( 2 ),(),( dcac j j j . (12) Розв’язок контактно-крайової задачі (7)-(11) будемо шукати з допомогою інтегральних перетворень за просторовою змінною окремо в областях Ω1 і Ω2 [4]. Для того, щоб застосувати перетворення за змінною ξ, необхідно знати величину відповідних функцій (або їхніх похідних) на границях області перетворення [5]. Тому на поверхні ξ = ξ' доозначимо шукані функції з допомогою першої контакт- ної умови (10), тобто приймемо, що функції )1( 1cλ та )2( 1c є рівні між собою і дорівнюють деякій функції часу g(τ) Віктор Сівак, Євген Чапля, Ольга Чернуха Процеси дифузії-конвекції з урахуванням сорбції у двошаровому фільтрі 82 )(),(),(),( )2( 1 )1( 1 τ≡ξ′τ=ξτ=ξτλ ξ′=ξξ′=ξ ggcc . (13) Тепер можемо виконати інтегральні перетворення за змінною ξ в областях Ω1 і Ω2. Враховуючи вигляд операторів у перших рівняннях систем (9) ξ∂ ∂ − ξ∂ ∂ ≡ jjj vdL 2 2 , а також те, що задано граничні умови 1-го роду, в області Ω1 застосуємо таке скінченне інтегральне перетворення [6] ( ) ξξτξ=τ ∫ ξ′ ξ − dyecnc n d v sin),(),( 0 2)1( 11 1 1 ; (14а) ( ) ( )∑ ∞ = ξ ξ ξ′ =τξ 1 1 2)1( 1 1 1 2, n n d v ycec , ξ′π= nyn , ...,2,1=n . (14б) Застосуємо перетворення (14а) до виразу ξ∂ ∂ − ξ∂ ∂ )1( 1 12 )1( 1 2 1 c v c d . Інтегруючи частинами та враховуючи граничні умови (7), (13), отримаємо ( ) ( ) −ξ−=ξξ         ξ∂ ∂ − ξ∂ ∂ ξ′ ξ − ξ −ξ′ ∫ 0 )1( 1 2 1 2 0 )1( 1 12 )1( 1 2 1 cossin 1 1 1 1 n d v nn d v yceyddyecvcd ( ) ),()()1(sin 1 2 1 2 01 0 2)1( 1 2 1 1 1 1 1 τ−τ λ − −=ξξ− ξ′ −ξ′ ξ − ∫ ncydegcyddyecyd n d vn nn d v n . Тоді крайова задача в зображеннях в області Ω1 набуде вигляду ( ) 1 1 2 10111 2 1 1 )()1( d vn nnn egydcydcayd dt cd ξ′ − τ λ − −++−= , (15) 0),( 01 =τ =τ nc . Її розв’язок має вигляд [7] τ′               ξ′ −τ′ λ − −=τ τ′+ τ τ+− ∫ de d vgcydenc ayd n n ayd nn )( 0 1 1 0 2 1 )( 1 1 2 11 2 1 2 exp)()1(),( . (16) Тепер розглянемо крайову задачу конвективної дифузії в області Ω2. Вве- демо скінченне інтегральне перетворення за змінною ξ таким чином [ ] ξξ′−ξτξ=τ ∫ ξ ξ′ ξ′−ξ − dyecmc m d v )(sin),(),( * 2 2 2 )( )2( 12 , ...,2,1=m ; (17а) де ym = mπ/(δξ). Отримаємо формулу оберненого перетворення до (17а). Для цьо- го зробимо заміну змінних r = ξ – ξ'. Тоді одержимо ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 4, 78-91 83 ( )drryercmc m d rv sin),(),( 0 2)2( 12 2 2 ∫ δξ − τξ′+=τ , ...,2,1=m . Для такого перетворення обернений перехід здійснюється згідно формули (14б) ( )rymcerc m m d rv sin),(2),( 1 2 2)2( 1 2 2 ∑ ∞ = τ δξ =τξ′+ . Вертаючись до змінної ξ, остаточно отримаємо [ ])(sin),(2),( 1 2 2 )( )2( 1 2 2 ξ′−ξτ δξ =τξ ∑ ∞ = ξ′−ξ m m d v ymcec . (17б) Тепер застосуємо перетворення (17) до виразу ξ∂ ∂ − ξ∂ ∂ )2( 1 22 )2( 1 2 2 c v c d . Маємо [ ] =ξξ′−ξ         ξ∂ ∂ − ξ∂ ∂ ξ′−ξ −δξ ξ′ ∫ dyecvcd m d v )(sin2 2 2 )()2( 1 22 )2( 1 2 2 [ ] [ ] =ξξ′−ξ−ξ′−ξ−= ∫ ξ ξ′ ξ′−ξ −ξ ξ′ ξ′−ξ − * 2 2 * 2 2 )(sin)(cos 2 )( )2( 1 2 2 )2( 1 2 )( 2 dyecydyceyd m d v mm d v m ),()1()( 2 2 2 2 * 2 22 2 2 τ−−−τ= δξ − mcydecydgyd m d v m mm . Тоді крайова задача в зображеннях в області Ω2 набуде вигляду ( )         −−τ++−= τ δξ − 2 2 2 222 2 2 2 )1()( d v m mm ecgydcayd d cd , 0),( 02 =τ =τ mc , (18) розв’язок якої знаходимо у вигляді [7] τ′         −−τ′=τ τ′+ τ δξ − τ+− ∫ deecgydemc aydd v m m ayd mm )( 0 2 2 2 )( 2 2 2 22 2 2 2 2 )1()(),( . (19) У співвідношеннях (16) і (19) функція g(τ') є невідомою. Шукатимемо її з дру- гої контактної умови рівності потоків маси на границі розділу областей (11). Після виконання обернених перетворень (14б) і (17б) виразів (16) і (19) відповідно, підставляємо формули для концентрацій та їхніх похідних у точці ξ = ξ' у співвід- ношення (11). Одержимо рівняння =τ′         λ τ′ −− ξ′ τ′−τ+− ξ′τ ∞ = ∫ ∑ degceydd aydd v n n n n ))(( 0 2 0 1 21 1 1 2 11 1 )()1(2 Віктор Сівак, Євген Чапля, Ольга Чернуха Процеси дифузії-конвекції з урахуванням сорбції у двошаровому фільтрі 84 τ′         −τ′− δξ = τ′−τ+− δξ −τ ∞ = ∫ ∑ deecgydd aydd v m m m m ))((2 * 0 1 22 2 2 2 22 2 )()1(2 , (20) яке розв’язуємо відносно функції g(τ'). Зауважимо, що інтегральне рівняння (20) має неєдиний розв’язок, оскільки існують такі функції )(τ′F , що 0)( 0 =τ′τ′∫ τ dF . У той же час, розв’язок вихідної задачі є єдиним, незалежно від способу розв’я- зування рівняння (20), оскільки функція g(τ') у співвідношеннях (16) і (19) є тіль- ки під знаком інтеграла за змінною τ'. У результаті отримаємо вираз для функції g(τ') −+− + δξ − − ξ′ Σ+Σλ Σ+Σ =τ′ mn m d v n d v AA ecAecAg 2 1 1 2 2 2 01 2 2 1 1 )( , (21) де ξ′= 2 11 2dA , δξ= 2 22 2dA ; ))((2 1 1 2 1)1( τ′−τ+−∞ = ± ∑ ±=Σ ayd nn n n ney , ))((2 1 2 2 2)1( τ′−τ+−∞ = ± ∑ ±=Σ ayd mm m m mey . У підсумку для концентрації домішкової речовини знайдемо [ ] ( ) ( ) −         + ξ ξ′ − ξ′η ξ−ξ′η = τ+− ∞ = ξ ∑ )( 1 1 2 1 1 1 12 0 )1( 1 1 2 11 1 sin2 sh )(sh ayd n n nnd v ne ayd yydecc ( ) τ′τ′ξ− ξ′λ − ∫∑ τ τ′−τ+− ∞ = degyyd ayd nn n n n 0 ))(( 1 1 1 2 1)(sin)1(2 ; (22а) [ ] ( ) [ ] −         + ξ′−ξ − δξ − δξη ξ′−ξη = τ+− ∞ = ξ−ξ − ∑ )( 1 2 2 2 2 2 22 )( )2( 1 2 2 22 2 )(sin)1(2 sh )(sh ayd m m mmmd v me ayd yydecc [ ] τ′τ′ξ′−ξ δξ − ∫∑ τ τ′−τ+− ∞ = ξ′−ξ degyyed ayd m n m d v m 0 ))(( 1 2 )( 2 2 2 22 2 )()(sin2 . (22б) Тут jjj da=η ( 2;1=j ). Зауважимо, що розв’язки (22а) і (22б) мають однакову структуру. Два до- данки у цих виразах залежать тільки від характеристик відповідного шару, а одна інтегральна складова враховує вплив параметрів контактуючої області й умов контакту. Залежності концентрації домішкової речовини, що мігрує у конвективно рухомому розчині, від параметрів середовища проілюстровані на рис. 2-7. При цьому прийнято такі значення параметрів: d1 = 1; d2= 0,01; v1 = 1; v2 = 0,01; a1 = 1; a2 = 10; c0 = 1; c = 0; λ = 2; ξ' = 0,5; ξ* = 1; τ = 1. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 4, 78-91 85 Проведений числовий аналіз показує, що коли коефіцієнт дифузії є біль- шим у першому шарі, то у другому — відбувається зростання концентрації в околі границі контакту. У протилежному випадку наявне суттєве збільшення концент- рації у першому шарі (див. рис. 2). Загалом, для d1 < d2 з часом концентрація домішки в обох шарах зростає до виходу на усталений режим. У випадку d1 > d2 для малих часових проміжків ха- рактерна наявність двох локальних максимумів в околі границі контакту. У пер- шому шарі з часом концентрація зростає всередині області, локальний максимум зменшується і функція концентрації поступово набуває монотонно спадного ха- рактеру (стаціонарний режим). Водночас у другому шарі приконтактний максимум концентрації спочатку зростає, а потім зменшується і зсувається вглиб області. Рис. 2. Розподіли концентрацій для різних значень коефіцієнтів дифузії. Криві 1-3 відповідають d1 = 1; d2 = 10–3; 10–2; 0,1; 4-6 — d1 = 0,1; 10–2; 10–3; d2 = 1 Рис. 3. Розподіли концентрацій для різних значень коефіцієнта λ (рис. а — d1 = 1, d2 = 10–2; рис. b — d1 = 10–2, d2 = 1). Криві 1-4 відповідають значенням λ = 5; 2; 1; 0,5 Рис. 4. Розподіли концентрацій для різних значень швидкості конвективного перенесення в першому шарі при v2 = 1 (рис. а — d1 = 1, d2 = 10–2; рис. b — d1 = 10–2, d2 = 1). Криві 1-4 відповідають значенням v1 = 10; 5; 0,5; 0,1 0 0,5 1 0 0,5 1 1 2 3 4 5 6 4-6 1-3 c1 c0 – ξ 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 0,5 1 1 4 1 2 3 a 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 0,5 1 1 4 32 b— c1 c0 ξ —c1 c0 ξ ξ c0 c1 — ξ ξ 0 0,5 1 1,5 2 0 0,5 1 1 2 3 4 1 b 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 0 0,5 1 1 4 1 2 3 a c1 c0 – ξ c1 c0 – ξ Віктор Сівак, Євген Чапля, Ольга Чернуха Процеси дифузії-конвекції з урахуванням сорбції у двошаровому фільтрі 86 Коефіцієнт λ, який відображає стрибок функції концентрації на границі контакту, може істотно (в декілька разів) збільшувати локальний максимум кон- центрації в околі цієї межі для d1 > d2 (рис. 3а) чи всередині другого шару для d1 < d2 (рис. 3b). Зміна коефіцієнтів конвективного перенесення може призводити до якісних і кількісних змін у розподілах концентрації частинок домішки (рис. 4). Наприклад, якщо d1 > d2, то зі зростанням різниці між коефіцієнтами конвектив- ного перенесення у двох шарах істотно збільшуються приконтактні максимуми концентрації (рис. 4а). Зазначимо, що числові розрахунки проводилися для зна- чень безрозмірних коефіцієнтів конвективного перенесення, співвимірних із без- розмірними коефіцієнтами дифузії. Також зауважимо, що зі зростанням коефіці- єнтів інтенсивності сорбційних процесів суттєво зменшується концентрація час- тинок домішкової речовини у конвективно рухомому розчині в обох шарах фільтра. 4. Потоки домішкової речовини Одержання аналітичних виразів для концентрації домішкової речовини, що міг- рує у двошаровому тілі, з урахуванням конвективного механізму масоперенесен- ня та сорбційних процесів дає змогу визначити потоки маси забруднюючої речовини Jj в області Ωj (j = 1; 2) через поверхню ξ=ξ [3]. За урахування співвідношення (6) в одновимірному випадку для j-го шару маємо ξ=ξ ξ=ξ τξ+ ξ∂ τξ∂ −=τ ),( ),( )( )( 1 )( 1 j j j jj cv c dJ , 2;1=j . (23) Підставляючи у формулу (23) вирази для концентрацій (22), отримаємо потоки в області Ω1 [ ] ( )    +         + ξ ξ′ − ξ′η ξ−ξ′η =τ τ− ∞ = τ− ξ ξ=ξ ∑ 2 111 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 01 )sin(2 sh )(sh 2 1)( nyd n n nnad v e ayd yyedvecJ [ ] ( ) −     + ξ ξ′ + ξ′η ξ−ξ′η η+ τ− ∞ = τ− ∑ 2 11 1 1 2 1 2 2 1 1 1 11 )cos(2 sh )(ch nyd n n nna e ayd yyedd [ ] τ′τ′ξ+ξ− ξ′λ − ∫∑ τ τ′−τ+− ∞ = degyydyvyd ayd n nnnn n n 0 ))(( 1 11 1 1 2 1)()cos()sin()1(2 (24а) та в області Ω2 [ ] ( )       − δξη ξ′−ξη =τ ξ−ξ − ξ=ξ 2 2 2 2 )( 2 sh )(sh 2 3)( 2 2 vecJ d v ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 4, 78-91 87 [ ] [ ] ( ) + δξη ξ′−ξη η−     + ξ′−ξ − δξ − τ− ∞ = τ− ∑ 2 2 22 1 2 2 2 2 sh )(ch)(sin)1(2 2 22 de ayd yyed myd m m mmma [ ] × δξ −     + ξ′−ξ δξ + ∑∑ ∞ = ξ′−ξ τ− ∞ = τ− 1 2 )( 2 1 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2)(cos2 m m d v yd m m mma yede ayd yyed m [ ] [ ] τ′τ′       ξ′−ξ+ξ′−ξ× ∫ τ τ′−τ+− degyydyv ayd mmm m 0 ))(( 22 2 2 2)()(cos)(sin 2 1 . (24б) З формул (7), (23) та (24) можна визначити потоки маси через зовнішні гра- ниці тіла: потік через поверхню ξ = 0 =+ ξ∂ τξ∂ −=τ =ξ =ξ 01 0 )1( 1 101 ),( )( cv c dJ ( ) −         +ξ′ +ξ′ηη+= τ− ∞ = τ− ∑ 2 11 1 1 2 1 2 2 111110 2cth 2 1 nyd n n na e ayd yeddvc τ′τ′− ξ′λ − ∫∑ τ τ′−τ+− ∞ = degyd ayd n n n n 0 ))(( 1 2 2 1 1 2 1)()1(2 ; потік через поверхню ξ = ξ* =+ ξ∂ τξ∂ −=τ ξ=ξ ξ=ξ 2 )2( 1 22 * ),( )( cv c dJ ( ) −         + − δξ +δξηη−= τ− ∞ = τ− ∑ 2 22 1 2 2 2 2 2 22222* )1(2cth 2 3 myd m m m m a e ayd yeddvc τ′τ′− δξ − ∫∑ τ τ′−τ+− ∞ = δξ degyed ayd m m md v m 0 ))(( 1 22 2 2 2 2 22 2 )()1(2 , у тому числі при c* = 0 τ′τ′− δξ −= ξ∂ τξ∂ −=τ ∫∑ τ τ′−τ+− ∞ = δξ ξ=ξ ξ=ξ degyedcdJ ayd m m md v m 01 22 2 2 2 1 22 2 2 22 2 12 ))(( )( )()(),()( * * , де функція g(τ') набуде вигляду −+− −ξ′ Σ δξ ξ′ +Σλ Σ =τ′ mn nd v d d ceg 2 1 2 21 02 1 1 )( . Віктор Сівак, Євген Чапля, Ольга Чернуха Процеси дифузії-конвекції з урахуванням сорбції у двошаровому фільтрі 88 Рис. 5. Розподіли потоків домішки через поверхню ξ = 0,25 для різних значень коефіцієнтів дифузії d1 (рис. а — d1 = 10–1; 10–2; 10–3, d2 = 1) та швидкості конвективного перенесення v1 (рис. b — v1 = 0,1; 5; 10, d1 = 10–2) Зазначимо, що потік через поверхню контакту з урахуванням співвідно- шення (13) можна подати таким чином ( ) ( )τ+ ξ∂ τξ∂ −=τ λ + ξ∂ τξ∂ −=τ ξ′=ξξ′=ξ ξ′ gv c dgvc dJ 2 )2( 1 2 1 )1( 1 1 ),(),( )( . Криві на рис. 5 ілюструють розподіли потоків маси домішкової речовини через поверхню 25,0=ξ (серединна поверхня шару Ω1) за різних значень відно- шення коефіцієнтів дифузії та швидкості конвективного перенесення у ньому. 5. Концентрація сорбованої домішки та довговічність роботи фільтра Для визначення концентрації частинок, сорбованих на скелеті фільтра, підстави- мо вирази (22) для концентрації домішки у розчині у відповідні співвідношення (12). Тоді маємо [ ] ( ) ( ) ( )[ ] [ ] ( ) +             ξ′η ξ−ξ′η       ξ′ ξ ++ ξ′η ξη η ξ′ +τ ξ′η ξ−ξ′η = ξ 1 1 2 1 1 111 12 0 )1( 2 sh )(ch1 sh sh 2sh )(sh 1 1 d ecc d v [ ] ( ) ( ) ( )[ ] [ ] ( ) +             ξ′η ξ−ξ′η       ξ′ ξ ++ ξ′η ξη η ξ′ +τ ξ′η ξ−ξ′η = ξ 1 1 2 1 1 111 12 0 )1( 2 sh )(ch1 sh sh 2sh )(sh 1 1 d ecc d v ( ) ( ) −     + ξ ξ′ + τ− ∞ = τ− ∑ 2 11 1 2 1 2 1 1 sin2 nyd n n nna e ayd yyed – ( ) τ′τ ′′τ ′′ξ− ξ′λ ∫ ∫∑ τ τ ′′−τ′+− τ′∞ = ddegyyd ayd nn n n n 0 ))(( 01 1 1 2 1)(sin)1(2 ; (25а) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 2 4 b 1 2 3 τ J 0 0,2 0,4 0,6 0 2 4 a 1 2 3 τ J 0,6 0,4 0,2 0 J 0 2 4 τ 3 2 1 a J 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 2 4 τ 3 2 1 b ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 4, 78-91 89 [ ] ( ) [ ] ( )[ ]        + δξη ξ′−ξ+δξη η δξ +τ δξη ξ′−ξη = ξ−ξ − 2 2 2 222 22 )( * )2( 2 sh )(sh 2sh )(sh 2 2 d ecc d v [ ] ( ) [ ] ( ) −     + ξ′−ξ − δξ +   δξη ξ′−ξη       δξ ξ′−ξ ++ τ− ∞ = τ− ∑ 2 22 1 2 2 2 2 2 2 2 )(sin)1(2 sh )(ch1 myd m m mmma e ayd yyed [ ] τ′τ ′′τ ′′ξ′−ξ δξ − ∫ ∫∑ τ τ ′′−τ′+− τ′∞ = ξ′−ξ ddegyyed ayd m m m d v m 0 ))(( 01 2 )( 2 2 2 22 2 )()(sin2 . (25б) Зазначимо, що концентрація сорбованої домішки як у першому, так і у дру- гому шарах фільтра містить складові, прямопропорційні часовій змінній τ. Така ситуація характерна за умови безмежної сорбційної здатності скелета. У той же час, якщо відоме максимальне значення концентрації частинок домішкової речовини, спроможної адсорбуватися скелетом тіла, то можна про- аналізувати довговічність роботи фільтра. Зокрема, за умови a1<< a2 знайдемо час насичення τ, як розв’язок нелінійного рівняння ( ) 2* )2( 2 , 2 Nc =τξ Ω∈ξ sup , (26) де N2 — максимальна концентрація частинок домішки, здатних адсорбуватися на скелеті. Рівняння (26) розв’язуємо, наприклад, методом Ньютона, записуючи по- хідну через скінченні різниці )()( ))(( 1 1 1 − − + τ−τ τ−ττ −τ=τ ii iii ii ff f , ,...2,1=i , де ( ) [ ] [ ] ( )[ ]    − δξη ξ′−ξ+δξη η δξ − ξ′−ξη δξη + η δξ−ξ−ξ′ =τ 2 2 2 222 2 22 sh )(sh 2)(sh sh 2 )( dd f [ ] [ ++ + ξ′−ξ − δξ − ξ−ξ τ− ∞ = τ− ∑ 2 2 )( * 2 2 2 21 2 2 *2 2 22 1 )( )(sin)1(2 Ne c e ayd yyed d v yd m mm m ma m [ ] ( )         τ′τ ′′τ ′′ξ′−ξ δξ + ∫ ∫∑ τ τ′ τ ′′−τ′+− ∞ = ξ′−ξ 0 0 ))(( 1 2 )( 2 2 2 22 2 )(sin2 ddegyyed ayd m mm d v m . Висновки. Таким чином, раніше розвинений метод побудови точних розв’язків кон- тактно-крайових задач дифузії, який базується на застосуванні інтегральних пере- творень за просторовими змінними в контактуючих областях, узагальнено на випадок врахування конвективного механізму масоперенесення та сорбційних процесів. Побудовані аналітичні розв’язки задачі конвективної дифузії для двошарового фільтра Віктор Сівак, Євген Чапля, Ольга Чернуха Процеси дифузії-конвекції з урахуванням сорбції у двошаровому фільтрі 90 дають змогу аналізувати розподіли концентрацій дифундуючої речовини у кож- ному з елементів структури, визначати потоки маси домішкових частинок та час насичення забруднюючою субстанцією фільтра, а тим самим — час його заміни. Література [1] Журба М. Г. Основы процессов доочистки сточных вод фильтрированием / В сб.: Доочистка сточных вод. — Кишинев: Молдагропромреклама, 1990. — С. 4-38. [2] Бомба А. Я., Присяжнюк І. М., Сівак В. М. Комп’ютерне моделювання процесів очищення стічної води на каркасно-засипних фільтрах // Вісник Нац. ун-ту водн. госп. та природокорист.: Збірн. наук. праць. — Вип. 4(32). — Рівне: НУВГП. — 2005. — С. 164-169. [3] Чапля Є. Я, Чернуха О. Ю. Фізико-математичне моделювання гетеродифузного ма- сопереносу. — Львів: СПОЛОМ, 2003. — 128 с. [4] Фізико-математичне моделювання складних систем / Під. ред. Я. Бурака, Є. Чаплі. — Львів: СПОЛОМ, 2004. — 264 с. [5] Снеддон И. Преобразования Фурье. – М.: Изд-во иностр. литературы, 1955. – 667 с. [6] Мартыненко Н. А., Пустыльников Л. М. Конечные интегральные преобразования и их применение к исследованию систем с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1985. — 304 с. [7] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1976. — 576 с. Diffusion-Advection Processes Allowing for Sorption in a Two-Layered Filter Viktor Sivak, Evgen Chaplia, Olha Chernukha A contact initial-boundary value problem is considered for advective diffusion in a filter consisting of two distinct porosity two layers saturated by water solution. On the external body surfaces the values of pollution concentration are given (that agrees with existing capabilities in valid control) and on the internal surface of layer contact the conditions of non-ideal mass contact are imposed. In the basic equations it is taken into account admixture sorption on a skeleton of porous material, which is described in the linearized variant. For constructing analytical solutions of the formula- ted contact initial-boundary value problems of advective diffusion the method based on applica- tion of integral transformations separately in contacting regions is generalized. The analytical expressions for determinating admixture concentration in each of structural elements are found as well as mass fluxes that takes the opportunity to propose a scheme for evaluating time of two- layered filter saturation by polluting substance and to analyze its dependence on physical-chemi- cal material properties and geometrical parameters. Процессы диффузии-конвекции с учетом сорбции в двухслойном фильтре Виктор Сивак, Евгений Чапля, Ольга Чернуха Рассмотрена контактно-краевая задача конвективной диффузии для фильтра, состоящего из двух слоев различной пористости, насыщенных водным раствором. На внешних поверх- ностях заданы значения концентрации загрязняющего вещества (что соответствует ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 4, 78-91 91 существующим возможностям достоверного контроля), а на внутренней поверхности кон- такта слоев — условия неидеального массового контакта. В исходных уравнениях учитывается сорбция примесей на скелете пористого материала, которая описывается в линеаризиро- ванном варианте. Для построения аналитических решений сформулированной задачи кон- вективной диффузии обобщен метод, базирующийся на использовании интегральных пре- образований отдельно в контактирующих областях. Получены аналитические выражения для определения концентрации примеси в каждом структурном элементе и потоков мас- сы, что дало возможность предложить схему определения времени насыщения загрязняю- щим веществом двухслойного фильтра и исследовать его зависимость от физико-химичес- ких свойств материала и геометрических параметров. Отримано 06.11.06
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-21134
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1816-1545
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T15:59:47Z
publishDate	2006
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
record_format	dspace
spelling	Сівак, В. Чапля, Є. Чернуха, О. 2011-06-15T11:10:05Z 2011-06-15T11:10:05Z 2006 Процеси дифузії-конвекції з урахуванням сорбції у двошаровому фільтрі / В. Сівак, Є. Чапля, О. Чернуха // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 78-91. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21134 517.958:539 Розглянуто контактно-крайову задачу конвективної дифузії для фільтра, що складається з двох шарів різної пористості, насичених водним розчином. На зовнішніх поверхнях задано значення концентрації забруднюючої речовини (що відповідає існуючим можливостям доступного контролю), а на внутрішній поверхні їх контакту — умови неідеально масового контакту. У вихідних рівняннях враховується сорбція домішок на скелеті пористого матеріалу, яка описується в лінеаризованому варіанті. Для побудови аналітичних розв’язків сформульованої задачі конвективної дифузії узагальнено метод, який базується на застосуванні інтегральних перетворень окремо в контактуючих областях. Отримано аналітичні вирази для визначення концентрацій домішки та потоків маси у кожному структурному елементі. Це дало змогу запропонувати схему для знаходження часу насичення забруднюючою речовиною двошарового фільтра та дослідити його залежність від фізико-хімічних властивостей матеріалу і геометричних параметрів. A contact initial-boundary value problem is considered for advective diffusion in a filter consisting of two distinct porosity two layers saturated by water solution. On the external body surfaces the values of pollution concentration are given (that agrees with existing capabilities in valid control) and on the internal surface of layer contact the conditions of non-ideal mass contact are imposed. In the basic equations it is taken into account admixture sorption on a skeleton of porous material, which is described in the linearized variant. For constructing analytical solutions of the formulated contact initial-boundary value problems of advective diffusion the method based on application of integral transformations separately in contacting regions is generalized. The analytical expressions for determinating admixture concentration in each of structural elements are found as well as mass fluxes that takes the opportunity to propose a scheme for evaluating time of two-layered filter saturation by polluting substance and to analyze its dependence on physical-chemical material properties and geometrical parameters. Рассмотрена контактно-краевая задача конвективной диффузии для фильтра, состоящего из двух слоев различной пористости, насыщенных водным раствором. На внешних поверхностях заданы значения концентрации загрязняющего вещества (что соответствует существующим возможностям достоверного контроля), а на внутренней поверхности контакта слоев — условия неидеального массового контакта. В исходных уравнениях учитывается сорбция примесей на скелете пористого материала, которая описывается в линеаризированном варианте. Для построения аналитических решений сформулированной задачи конвективной диффузии обобщен метод, базирующийся на использовании интегральных преобразований отдельно в контактирующих областях. Получены аналитические выражения для определения концентрации примеси в каждом структурном элементе и потоков массы, что дало возможность предложить схему определения времени насыщения загрязняющим веществом двухслойного фильтра и исследовать его зависимость от физико-химических свойств материала и геометрических параметров. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Процеси дифузії-конвекції з урахуванням сорбції у двошаровому фільтрі Diffusion-Advection Processes Allowing for Sorption in a Two-Layered Filter Процессы диффузии-конвекции с учетом сорбции в двухслойном фильтре Article published earlier
spellingShingle	Процеси дифузії-конвекції з урахуванням сорбції у двошаровому фільтрі Сівак, В. Чапля, Є. Чернуха, О.
title	Процеси дифузії-конвекції з урахуванням сорбції у двошаровому фільтрі
title_alt	Diffusion-Advection Processes Allowing for Sorption in a Two-Layered Filter Процессы диффузии-конвекции с учетом сорбции в двухслойном фильтре
title_full	Процеси дифузії-конвекції з урахуванням сорбції у двошаровому фільтрі
title_fullStr	Процеси дифузії-конвекції з урахуванням сорбції у двошаровому фільтрі
title_full_unstemmed	Процеси дифузії-конвекції з урахуванням сорбції у двошаровому фільтрі
title_short	Процеси дифузії-конвекції з урахуванням сорбції у двошаровому фільтрі
title_sort	процеси дифузії-конвекції з урахуванням сорбції у двошаровому фільтрі
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21134
work_keys_str_mv	AT sívakv procesidifuzííkonvekcíízurahuvannâmsorbcííudvošarovomufílʹtrí AT čaplâê procesidifuzííkonvekcíízurahuvannâmsorbcííudvošarovomufílʹtrí AT černuhao procesidifuzííkonvekcíízurahuvannâmsorbcííudvošarovomufílʹtrí AT sívakv diffusionadvectionprocessesallowingforsorptioninatwolayeredfilter AT čaplâê diffusionadvectionprocessesallowingforsorptioninatwolayeredfilter AT černuhao diffusionadvectionprocessesallowingforsorptioninatwolayeredfilter AT sívakv processydiffuziikonvekciisučetomsorbciivdvuhsloinomfilʹtre AT čaplâê processydiffuziikonvekciisučetomsorbciivdvuhsloinomfilʹtre AT černuhao processydiffuziikonvekciisučetomsorbciivdvuhsloinomfilʹtre

Процеси дифузії-конвекції з урахуванням сорбції у двошаровому фільтрі

Institution

Ähnliche Einträge