Про узагальнення однієї математичної моделі дробово-диференціальної динаміки комп’ютерних вірусів
Розглядається задача математичного та комп’ютерного моделювання динаміки поширення комп’ютерних вірусів на основі узагальнення дробово-диференціальної математичної моделі, представленої авторами в [1]. У даній статті розглянуто дробово-диференціальний аналог модельної системи рівнянь з [1], що базує...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблеми керування та інформатики |
|---|---|
| Дата: | 2025 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2025
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/211372 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про узагальнення однієї математичної моделі дробово-диференціальної динаміки комп’ютерних вірусів / В.М. Булавацький, В.О. Богаєнко, В.О. Арзамасцев // Проблемы управления и информатики. — 2025. — № 2. — С. 43-54. — Бібліогр.: 29 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859571809215578112 |
|---|---|
| author | Булавацький, В.М. Богаєнко, В.О. Арзамасцев, В.О. |
| author_facet | Булавацький, В.М. Богаєнко, В.О. Арзамасцев, В.О. |
| citation_txt | Про узагальнення однієї математичної моделі дробово-диференціальної динаміки комп’ютерних вірусів / В.М. Булавацький, В.О. Богаєнко, В.О. Арзамасцев // Проблемы управления и информатики. — 2025. — № 2. — С. 43-54. — Бібліогр.: 29 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблеми керування та інформатики |
| description | Розглядається задача математичного та комп’ютерного моделювання динаміки поширення комп’ютерних вірусів на основі узагальнення дробово-диференціальної математичної моделі, представленої авторами в [1]. У даній статті розглянуто дробово-диференціальний аналог модельної системи рівнянь з [1], що базується на використанні дробових похідних Капуто як сталого, так і змінного порядку.
The problem of mathematical and computer modeling of the dynamics of the spread of computer viruses based on the generalization of the fractional-differential model previously published by the authors [1] is considered. This paper considers a fractional-differential analogue of the model from the paper [1] constructed using the Caputo fractional derivative of both constant and variable orders in the system of equations.
|
| first_indexed | 2026-03-13T18:17:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.М. БУЛАВАЦЬКИЙ, В.О. БОГАЄНКО, В.О. АРЗАМАСЦЕВ, 2025
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2025, № 2 43
КЕРОВАНІ ПРОЦЕСИ З ДРОБОВОЮ ДИНАМІКОЮ
УДК 517.9: 519.6
В.М. Булавацький, В.О. Богаєнко, В.О. Арзамасцев
ПРО УЗАГАЛЬНЕННЯ ОДНІЄЇ МАТЕМАТИЧНОЇ
МОДЕЛІ ДРОБОВО-ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЇ
ДИНАМІКИ КОМП’ЮТЕРНИХ ВІРУСІВ
Булавацький Володимир Михайлович
Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, м. Київ,
v_bulav@ukr.net
Богаєнко Всеволод Олександрович
Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, м. Київ,
https://orcid.org/0000-0002-3317-9022
sevab@ukr.net
Арзамасцев Владислав Олександрович
компанія «Iterasec», м. Львів,
arzik66677@gmail.com
Розглядається задача математичного та комп’ютерного моделювання динаміки
поширення комп’ютерних вірусів на основі узагальнення дробово-диферен-
ціальної математичної моделі, представленої авторами в [1]. Актуальність та-
кої задачі обумовлена необхідністю побудови ефективних систем антивірусно-
го захисту комп’ютерних мереж, що базуються на результатах математичного
моделювання поширення шкідливого програмного коду. З метою врахування в
моделі нелокальних за часом ефектів у [1] запропоновано дробово-диферен-
ціальну модифікацію з похідними Капуто сталого порядку модельної системи
зі звичайними локальними похідними з [2]. У межах зазначеної модифікації
отримано деякі замкнені розв’язки та побудовано й програмно реалізовано скін-
ченно-різницеву схему дробового методу Адамса. У даній статті розглянуто
дробово-диференціальний аналог модельної системи рівнянь з [1], що базуєть-
ся на використанні дробових похідних Капуто як сталого, так і змінного по-
рядку. За таких обставин розвинуто методику розв’язання задачі на основі
комбінованого підходу: одну частину шуканих функціональних залежностей
знайдено в замкненому вигляді, а іншу — за допомогою чисельної методики як
розв’язок відповідної нелінійної задачі Коші з дробовою похідною змінного
порядку. Наводяться результати якісного аналізу щодо умов коректності вка-
заної задачі Коші, а також деякі результати комп’ютерного моделювання дро-
бової динаміки розповсюдження комп’ютерних вірусів на основі розглядуваної
моделі комп’ютерної вірусології. Зокрема, чисельні експерименти показали,
що у разі малих значень параметра ймовірності інфікування уразливих ком-
п’ютерів спостерігається досить помітний вплив нелокальних за часом ефектів
у динаміці інфікованих комп’ютерів. А коли цей параметр має великі значення,
визначальну роль у зазначеній динаміці відіграє наявність нелінійної складової
(та її вплив) у відповідному модельному рівнянні.
mailto:v_bulav@ukr.net
https://orcid.org/0000-0002-3317-9022
mailto:sevab@ukr.net
mailto:arzik66677@gmail.com
44 ISSN 2786-6491
Ключові слова: математичне і комп’ютерне моделювання, динаміка по-
ширення комп’ютерних вірусів, нелінійні дробово-диференціальні мате-
матичні моделі, похідна Капуто змінного порядку, якісний аналіз, чи-
сельно-аналітичні розв’язки.
Вступ
Важливою задачею сучасних комп’ютерних наук є створення ефективних систем
антивірусного захисту комп’ютерних мереж, що базуються на результатах математич-
ного моделювання щодо поширення шкідливого програмного коду. Водночас дослі-
дження показують, що нерідко розповсюдження комп’ютерних вірусів адекватно опи-
сують моделі, побудовані на використанні математичних теорій біологічних епідемій,
зокрема такі, як SIR (Susceptible-Infected-Removed), SEIR (Susceptible-Exposed-Infected-
Removed), SIES (Susceptible-Exposed-Infectious-Susceptible) тощо [3–7]. Наприклад, у
SIR-моделі [3] розглядаються три стани: S (susceptible — схильний до інфікування),
(infected — інфікований), R (recovered — той, що одужав). Модель SEIR — модифі-
кація SIR-моделі, що враховує можливість наявності деякого «інкубаційного періоду»,
під час якого вірус не завдає шкоди інфікованому вузлу. Протягом латентного періоду
(E — exposed) вузол є зараженим, але не поширює вірус. Через деякий час він набуває
здатності до зараження інших ( ) і далі стає «таким, що одужав» (R). Зазначимо, що
у SIES-моделі [2] вивчається динаміка поширення комп’ютерних вірусів за наявності
дії зовнішніх комп’ютерів. Згідно з даною моделлю передбачається, що в будь-який
момент комп’ютер може бути внутрішнім або зовнішнім, залежно від того, чи доступ-
ний він у мережі інтернет. У разі побудови динамічної моделі процесу використовують
такі функціональні залежності на момент часу :t ( )S t — кількість уразливих ком-
п’ютерів, ( )t — кількість інфікованих , ( )E t — кількість зовнішніх.
Загальна кількість комп’ютерів у мережі на момент часу t визначається спів-
відношенням . ( ) ( ) ( ) ( )N t S t t E t= + +
Деструктивні впливи вірусу на мережу описуються модельною системою
рівнянь [2]
2 2 1
1 2 1
1 1 1 2
,
,
S E S S S
S E
E S E E E
= + − − −
= −− − +
= + + − − −
(1)
з початковими умовами (0) 0, (0) 0, (0) 0.S E
Надалі вважатимемо, що функції ( ), ( ), ( )S t t E t неперервні, а коефіцієнти
1 2 1 2, , , , , , — постійні відомі параметри моделі, характеристики яких
наводяться в [2].
З метою врахування нелокальних ефектів у процесі моделювання динаміки різно-
манітних еволюційних систем, наразі широкого поширення набув підхід, що ґрунту-
ється на ідеях теорії інтегро-диференціювання дробового порядку [8–10]. У межах да-
ного підходу дробово-диференціальний аналог системи (1) набуває такого вигляду:
( )
2 2 1
( )
1 2 1
( )
1 1 1 2
,
,
,
tC
t
tC
t
tC
t
D S E S S S
D S E
D E S E E E
= + − − −
= −− − +
= + + − − −
(2)
де
( )tC
tD
— оператор дробового диференціювання Капуто [9, 10] за змінною t
порядку ( ) (0 ( ) 1).t t
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2025, № 2 45
Отже, з урахуванням дії ефекту зовнішніх комп’ютерів, а також нелокальних
ефектів у розглядуваному випадку задача моделювання динаміки комп’ютерних
вірусів для дробового аналога SIES-моделі зводиться до розв’язання задачі Коші
для системи (2) за таких початкових умов:
0 0 0 0 0 0(0) , (0) , (0) ( , , 0).S S E E S E= = = (3)
Зазначимо, що досліджена в [2] SIES-модель є окремим випадком відповід-
ного дробово-диференціального аналога, визначеного згідно з (2). Водночас для
випадку ( ) constt = = подібна модель досить детально вивчалася в [1].
Очевидно, що систему рівнянь (2) з урахуванням умов (3) також можна запи-
сати як
( )
0( ) ( ) , (0) ,
tC
tD N t N t N N
+ = = (4)
( )
1 0( ) ( ) ( ), (0) ,
tC
tD E t E t N t E E
+ = + = (5)
( )
0( ) ( ( ), ( ), ( )), (0) ,
tC
tD t F N t E t t
= = (6)
де
2
1
1 1 2 1 2
( ( ), ( ), ( )) ( ) [ ( ( ) ( )) ] ( ) ( ),
, , .
F N t E t t E t N t E t t t
N S E
= + − − −
= + + + = + + = + +
(7)
У даній статті розглядатимемо більш загальний, ніж у [1], випадок динаміки
процесу, коли рівняння динаміки кількості інфікованих комп’ютерів (6) — це
дробово-диференціальне рівняння змінного порядку ( ),t а порядки двох інших
рівнянь (4), (5) є фіксованими та загалом різними. За вказаних умов задача дина-
міки комп’ютерних вірусів зводиться до знаходження розв’язків задачі Коші що-
до некласичної нелінійної модельної системи вигляду
1
0( ) ( ) , (0) ,C
tD N t N t N N
+ = = (8)
2
1 0( ) ( ) ( ), (0) ,C
tD E t E t N t E E
+ = + = (9)
3( )
0( ) ( ( ), ( ), ( )), (0) ,
tC
tD t F N t E t t
= = (10)
де функція ( ( ), ( ), ( ))F N t E t t визначається згідно з (7), 3 ( )tC
tD
— оператор дро-
бової похідної Капуто [9, 10] змінного порядку 3( ),t 3( ) :[0, ] (0,1]t T → — за-
дана функція аргументу 0 0 0[0, ], 0, 0, 0.t T N E
Нижче викладено методику отримання чисельно-аналітичного розв’язку пред-
ставленої задачі, наведено результати якісного аналізу щодо її коректності та де-
які результати комп’ютерного моделювання особливостей динаміки розповсю-
дження комп’ютерних вірусів в межах розглядуваної моделі.
Чисельно-аналітичний підхід до розв’язання задачі
З огляду на лінійність задачі Коші (8) вона має точний розв’язок, який на
підставі результатів робіт [9, 10] запишемо як
1 1 1
1 1 10 , 1( ) ( ) ( ),N t N E t t E t
+= − + − (11)
де ,( ), ( )E E — відповідно одно- та двопараметрична функції Міттаг-Леф-
флера [11].
46 ISSN 2786-6491
Аналогічно для задачі (9), з урахуванням [9, 10], отримуємо
2 2 2
2 2 20 , 1( ) ( ) ( )E t E E t t E t
+= − + − +
2 2
2 2
1
1 ,
0
( ) [ ( ) ] ( ) ,
t
t E t N d
−
+ − − − (12)
де ( )N t визначається згідно зі співвідношенням (11).
Таким чином, після знаходження невідомих функцій ( ), ( )N t E t згідно з на-
веденими вище аналітичними співвідношеннями (11), (12) розв’язування розгля-
дуваної задачі зводиться до розв’язування відносно функції кількості інфікованих
комп’ютерів ( )t нелінійної задачі Коші (10), де ( ( ), ( ), ( )) : ( , ( ))F N t E t t f t t =
( [0, ]).t T Зазначимо, що для цього можна використати ефективні чисельні мето-
дики, наведені в [12–17].
Якісний аналіз нелінійної задачі (10)
Візьмемо за основу класичні підходи теорії нерухомих точок операторів [18–27]
та встановимо деякі достатні умови існування та єдиності розв’язку задачі (10).
Нехай ( , )C J X — банахів простір неперервних функцій ( ),t таких, що
( )t X для : [0, ]t J T = і
[0, ]
( ) .sup
t T
t
= Тоді, якщо ( ) [0, ],h t L T ( )t
[0, ] [0, ],C T L T то розв’язок задачі Коші для рівняння змінного порядку
3( )
0( ) ( ), (0) ,
tC
tD t h t
= = згідно з [16, 17] має вигляд
3
0 1 ( )
3 0
1 ( )
( ) ,
( ( )) ( )
t
t
h d
t
t t
−
= +
−
де ( ) — гамма-функція Ейлера [28].
З урахуванням попереднього співвідношення вважаємо, що розв’язування задачі
3( )
0( ) ( , ( )), (0) ,
tC
tD t f t t
= = (13)
зводиться до пошуку розв’язку такого нелінійного інтегрального рівняння:
3( ) 1
0
3 0
1
( ) ( ) ( , ( )) .
( ( ))
t
t
t t f d
t
−
= + −
(14)
Для того щоб довести існування розв’язку розглядуваної задачі, визначимо
оператор : ([0, ]) ([0, ])P С T С T→ у такий спосіб: 0( ) ( ) : ( ),t P t t → = + де з
урахуванням співвідношення (14) введено позначення
3( ) 1
3 0
1
( ) ( ) ( , ( )) .
( ( ))
t
t
t t f d
t
−
= −
(15)
Припустимо також виконання певних умов (гіпотез).
• 1( ).H Нехай функція : [0, ]f T → є неперервною і такою, що ( , ( ))f
([0, ]).C T
• 2( ).H Нехай для будь-якого ([0, ])C T існують такі сталі , 0,m n що
( , ( )) ( (0, ]).f t t n m t T +
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2025, № 2 47
•
3( ).H Нехай функція : [0, ]f T → є неперервною і такою, що для
будь-якого ([0, ]) ( , ( )) ([0, ]),C T f C T причому існує така константа Ліп-
шиця 0,fL що для будь-яких , ( (0, ])u t T виконується нерівність
( , ( )) ( , ( )) .ff t u t f t t L u− − (16)
Доведемо, що за цих умов для будь-якого
rS виконується співвідношен-
ня ,rP S де
[0, ]
{ ( ) : }, sup ( ) .r C
t T
S u C J u r u u t
= =
Згідно зі співвідношенням (15) маємо
3( ) 1
3 0
1
( ) ( ) ( , ( ))
( ( ))
t
t
t t f d
t
−
−
або з огляду на гіпотезу
2( )H звідси одержуємо для будь-яких
rS таку не-
рівність:
3( ) 1
3 0
1
( ) ( )
( ( ))
t
t
t n m d
t
−
− +
3 3( ) ( )
* * * *
3 3
( ) ( ).
( ( ) 1) ( ( ) 1)
t t
T T
n m n m r
t t
+ +
+ +
(17)
Отже, з урахуванням співвідношення (17) маємо
3( )
0 0
3
( ) ( ) ( ) .
( ( ) 1)
t
T
P t t n m r r
t
+ + +
+
Ця нерівність виконується для
3
3
3
( )
( )0 3
3( )
3
( ( ) 1)
, ( ( ( ) 1), (0, ]).
( ( ) 1)
t
t
t
t n T
r m T t t T
t m T
−
+ +
+
+ −
(18)
Виходить, що за умови виконання (18) маємо ( ) ( (0, ]),P t r t T тобто
.rP S
Далі для будь-яких 1 2, (0, ),t t T таких, що 1 2,t t за виконання умови
rS та гіпотези 2( )H маємо
2 1( ) ( )P t P t − =
2 1
3 2 3 1( ) 1 ( ) 1
2 1
3 2 3 10 0
1 1
( ) ( , ( )) ( )
( ( ) 1) ( ( ) 1)
t t
t t
t f d t d
t t
− −
= − − −
+ +
2 1
3 2 3 1( ) 1 ( ) 1
2 1
3 2 3 10 0
1 1
( ) ( )
( ( ) 1) ( ( ) 1)
t t
t t
f t d t d
t t
− −
− − − =
+ +
3 3 12
( ) ( )
2 1
3 2 3 1
.
( ( ) 1) ( ( ) 1)
t t
t t
f
t t
= −
+ +
48 ISSN 2786-6491
Звідси одержуємо 2 1( ) ( ) 0P t P t − → при 2 1.t t→
Отже, оператор P є цілком неперервним відповідно до теореми Арцела–Ас-
колі [19]. Тому з огляду на принцип нерухомої точки Шаудера [18] робимо
висновок, що існує нерухома точка оператора P і розглядувана задача має при-
наймні один розв’язок.
Далі доведемо, що оператор P є стискальним відображенням на ([0, ]).C T
Припустімо, що ( , ( ))f є неперервною функцією, такою, що виконується гіпо-
теза 3( ),H та одержимо для , ([0, ])C T з урахуванням нерівності (16)
3( ) 1
3 2 0
1
( ) ( ) ( ) ( , ( )) ( , ( ))
( ( ))
t
t
P t P t t f f d
t
−
− − −
3
3
( )
( ) 1
3 30
( ) ( ) ( ) : ( ) .
( ( )) ( ( ) 1)
tt
f ft
L L T
t d t
t t
−
− − − = −
+
Звідси випливає, що у разі виконання умови
3( )
3
( ) 1 ( [0, ])
( ( ) 1)
t
fL T
t t T
t
=
+
опе-
ратор P є стискальним відображенням і відповідно до принципу Банаха [18, 19]
задача (13) має єдиний розв’язок у ( , ).C J X
Методика чисельного розв’язання задачі
З огляду на викладене вище підсумовуємо, що алгоритм розв’язування роз-
глядуваної задачі зводиться до послідовного пошуку значень функцій ( ), ( )N t E t
відповідно до явних співвідношень (11), (12) та розв’язування нелінійної задачі
Коші (10) відносно функції кількості інфікованих комп’ютерів ( ).t Розв’язок ці-
єї задачі, зважаючи на її нелінійність, слід відшукувати за допомогою відповід-
них чисельних методик. За таких умов найпростіша ефективна методика одер-
жання вказаного розв’язку ґрунтується на застосуванні дробово-диференціальної
модифікації методу Ейлера [14, 17]. Зокрема, якщо ввести до розгляду сітку
1 0( 0, 1), 0,j jt t h j n t+ = + = − = де 0h — крок сітки за змінною ,t та взяти
1
( ) ( ),
n
i i
i
t t
=
= де
1
1
1, ( , ]
( ) ,
0, ( , ]
i i
i
i i
t t t
t
t t t
−
−
=
то можна записати відповідний алго-
ритм знаходження розв’язку задачі як
1
1 0 0
1
( ) ( ) ( , ( )), ( ) ( 0, 1),
( 1)
j
j j j j
j
h
t t f t t t j n
+
+
+
= + = = −
+
де ( ) — гамма-функція Ейлера [17, 28].
Зауважимо, що ефективність цієї обчислювальної схеми неодноразово під-
тверджено, зокрема при дослідженні епідемії коронавірусу в межах моделі з дро-
бовими похідними Капуто змінного порядку [17, 29].
Результати комп’ютерної реалізації розв’язку
Комп’ютерну реалізацію викладеної методики для чисельно-аналітичного
розв’язання задачі моделювання дробової динаміки комп’ютерних вірусів
у межах розглядуваної дробово-диференціальної моделі виконано для вихід-
них даних, наведених у [6], зокрема для таких початкових значень: (0) 800,N =
(0) 600, (0) 200.E = =
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2025, № 2 49
Деякі з отриманих результатів графічно представлено на рис. 1–7.
Так, на рис. 1 криві 1–5 відповідно візуалізують використані в обчисленнях
різні види функцій показника порядку дробової похідної 3( ) :t
1 —
25
3( ) 0,5 5 ;
1
t
t
t
= +
+
2 —
2 0,15
3( ) (1 ) ;t t − = +
3 — 3 2
0,5
( ) 0,5 ;
1 0,1( 5)
t
t
= +
+ −
4 — 3 1 2( ) 0,8;t = = = 5 — 3( ) cos(cos(0,6 )).t t =
Рис. 1
На рис. 2 представлено динаміку кількості інфікованих комп’ютерів ( )t за
фіксованих 1 20,5, 1,0 = = для функціональних залежностей 3( ) :t 3( )t =
2 0,15(1 )t −= + (крива 1) та 2 2
3( ) 0,5(2 0,1( 5) ) / (1 0,1( 5) )t t t = + − + − (крива 2).
Рис. 2
Криві 1, 2 на рис. 3 показують динаміку ( )t для 1 21,0, 0,5 = = щодо за-
лежностей 3( )t як
25
3( ) 0,5 5
1
t
t
t
= +
+
та 3( ) cos(cos(0,6 ))t t = відповідно.
На рис. 4 візуалізовано загальну картину еволюції кількості інфікованих
комп’ютерів ( )t за фіксованих показників порядків похідних 1 2 0,8 = = що-
1
2
3
4
5
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0 2 4 6 8 10
t
α3
600
500
400
300
200
ℑ
0 2 4 6 8 10
t
2
1
50 ISSN 2786-6491
до різноманітних функціональних залежностей змінного показника порядку дро-
бової похідної 3( )t (тут номер кривої відповідає номеру функції показника по-
рядку дробової похідної згідно з рис. 1).
Рис. 3
Рис. 4
Порівняльну картину динаміки ( )t за класичного підходу без урахування
часової нелокальності та дробово-диференціального підходу представлено на
рис. 5: 1 2 3( ) 1,0t = = = (крива 1) та
25
1 2 30,8, 0,9, ( ) 0,5 5
1
t
t
t
= = = +
+
(крива 2).
На рис. 6 показано вплив нелінійної складової у рівнянні для ( )t на динаміку
кількості інфікованих комп’ютерів з плином часу: 1 2 3( ) 1t = = = (криві 1, 3),
25
1 2 30,9, 0,8, ( ) 0,5 5
1
t
t
t
= = = +
+
(криві 2, 4), 0,03 = (криві 1, 2),
0,0025 = (криві 3, 4).
На рис. 7 представлено загальну картину еволюції шуканих функцій модель-
ної системи рівнянь відповідно до значень порядків похідних 1 20,9, 0,7, = =
( )3 0,5(1 ( /10)).t th t = +
ℑ
600
500
400
300
200
0 2 4 6 8 10
t
1
2
ℑ
600
500
400
300
200
0 2 4 6 8 10
5
3
4
2
1
t
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2025, № 2 51
Рис. 5
Рис. 6
Рис. 7
Представлений вище графічний матеріал дає змогу зробити такі висновки:
1) спостерігається і спадна динаміка ( )t (криві 1 на рис. 2, 3), і змінна з
переходом зі спадної на зростаючу (крива 2 на рис. 2), а також має місце пуль-
суючий з плином часу режим зміни ( ),t який відповідає періодичній функ-
ції 3( )t (крива 2 на рис. 3);
ℑ
600
500
400
300
200
0 2 4 6 8 10
t
2
1
ℑ
600
500
400
300
200
0 2 4 6 8 10
t
2
1
4
3
1 — S
2 — E
3 — ℑ
S, E, ℑ
600
500
400
300
200
100
0
0 20 30 40 50 60
t
3
1
2
52 ISSN 2786-6491
2) якісна картина щодо еволюції функції кількості інфікованих комп’ютерів
( )t з часом суттєво залежить саме від типу функціональної залежності (спадна,
зростаюча, періодична тощо) для 3( )t (рис. 2–4);
3) у разі переходу від класичної (крива 1 на рис. 5) до дробової динаміки
з урахуванням нелокальних ефектів (крива 2 на рис. 5) швидкість спадання кіль-
кості інфікованих комп’ютерів ( )t здебільшого зменшується порівняно з кла-
сичним випадком похідних першого порядку в модельній системі рівнянь;
4) за відносно великих значень коефіцієнта (імовірності інфікування враз-
ливих комп’ютерів) визначальну роль у динаміці ( )t відіграє врахування не не-
локальності за часовою змінною процесу поширення комп’ютерного вірусу, а
вплив нелінійної складової у відповідному модельному рівнянні для ( )t (рис. 6);
5) аналіз картини еволюції всіх шуканих функцій задачі — ( ), ( ), ( )S t t E t —
показує, що вплив вірусу на мережу призводить до зменшення сумарної кількості
комп’ютерів у ній. Водночас на початковому етапі процесу відбувається змен-
шення кількості інфікованих комп’ютерів за умов збільшення кількості вразливих
комп’ютерів, тоді як у подальшому спостерігається зменшення кількості вразли-
вих комп’ютерів паралельно зі зменшенням інфікованих (рис. 7).
Висновок
У даній статті, на відміну від [1], розглядається більш загальна задача мо-
делювання нелокальної динаміки комп’ютерних вірусів: припускається, що рів-
няння динаміки кількості інфікованих комп’ютерів є дробово-диференціаль-
ним рівнянням змінного порядку, а порядки двох інших рівнянь модельної сис-
теми (відносно функції зовнішніх комп’ютерів та загальної їх кількості у
мережі) є фіксованими та загалом різними. Потенційною ситуацією, якій влас-
тива така поведінка, може бути зміна коду вірусу як реакція на дії для зупи-
нення його поширення. За вказаних умов задача динаміки комп’ютерних ві-
русів зводиться до пошуку розв’язків задачі Коші щодо нелінійної модельної
системи дробово-диференціальних рівнянь. Викладено методику отримання
чисельно-аналітичного розв’язку поставленої задачі, наведено результати якіс-
ного аналізу щодо її коректності, а також деякі результати комп’ютерного мо-
делювання особливостей динаміки розповсюдження комп’ютерних вірусів у
межах запропонованої моделі.
V. Bulavatsky, V. Bohaienko, V. Arzamastsev
ON THE GENERALIZATION
OF ONE MATHEMATICAL MODEL
OF FRACTIONAL-DIFFERENTIAL
DYNAMICS OF COMPUTER VIRUSES
Volodymyr Bulavatsky
V.M. Glushkov Institute of cybernetics of NAS of Ukraine, Kyiv,
v_bulav@ukr.net
Vsevolod Bohaienko
V.M. Glushkov Institute of cybernetics of NAS of Ukraine, Kyiv,
sevab@ukr.net
mailto:v_bulav@ukr.net
mailto:sevab@ukr.net
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2025, № 2 53
Vladyslav Arzamastsev
«Iterasec» company, Lviv,
arzik66677@gmail.com
The problem of mathematical and computer modeling of the dynamics of the
spread of computer viruses based on the generalization of the fractional-
differential model previously published by the authors [1] is considered. The
relevance of the considered problem is due to the need to build effective antivi-
rus systems for computer networks based on the results of mathematical mode-
ling the spread of malicious software. In the paper [1], to take into account
non-local time effects in the model, a fractional-differential modification with
Caputo derivatives of constant order was proposed for the model with ordinary
local derivatives from the paper [2]. Within such a framework, closed-form solu-
tions were obtained and a finite-difference scheme of the Adams fractional
method was constructed and implemented in software. In contrast, this paper
considers a fractional-differential analogue of the model from the paper [1] con-
structed using the Caputo fractional derivative of both constant and variable or-
ders in the system of equations. Here a technique for solving the problem is de-
veloped basing on a combined approach: part of the dependencies was found in
a closed form, and the other part — using a numerical technique, as a solution of
the corresponding nonlinear Cauchy problem with a variable-order fractional de-
rivative. The results of a qualitative analysis of the correctness conditions for
this Cauchy problem are given, as well as some simulation results regarding the
fractional dynamics of the spread of computer viruses based on the considered
model of computer virology. In particular, the results of numerical experiments
show that at small values of the parameter of infection probability for vulnera-
ble computers, the influence of time-non-local effects on the dynamics of in-
fected computers is quite noticeable but, at large values of this parameter, the
determining role in the dynamics is played by the influence of the presence of
nonlinear component in the corresponding equation.
Кeywords: mathematical and computer modeling, dynamics of computer vi-
ruses spreading, nonlinear fractional-differential mathematical models, variable-
order Caputo derivative, qualitative analysis, numerical-analytical solutions.
ПОСИЛАННЯ
1. Богаєнко В.О., Булавацький В.М. Чисельно-аналітичне розв’язання однієї задачі моделю-
вання дробово-диференціальної динаміки комп’ютерних вірусів. Міжнародний науково-
технічний журнал Проблеми керування та інформатики. 2022. Вип. 67, № 1. С. 56–65. DOI:
https://doi.org/10.34229/1028-0979-2022-1-6
2. Gan C., Yang X., Zhu Q. The spread of computer virus under the effect of external computers. Non-
linear Dynamics. 2013. Vol. 73, N 3. P. 1615–1620. DOI: https://doi.org/10.1007/s11071-013-0889-5
3. Gan C., Yang X., Zhu Q. Propagation of computer virus under the influences of infected external
computers and removable storage media. Nonlinear Dynamics. 2014. Vol. 78, N 2. P. 1349–1356.
DOI: https://doi.org/10.1007/s11071-014-1521-z
4. A propagation model of computer virus with nonlinear vaccination probability / C. Gan, X. Yang,
W. Liu, Q. Zhu. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2014. Vol. 19,
N 1. P. 92–100. DOI: https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2013.06.018
5. Epidemics of computer viruses: A complex-network approach / L. Yang, X. Yang, J. Liu, Q. Zhu,
C. Gan. Applied Mathematics and Computation. 2013. Vol. 219, N 16. P. 8705–8717. DOI:
https://doi.org/10.1016/j.amc.2013.02.031
6. A mixing propagation model of computer viruses and countermeasures / Q. Zhu, X. Yang, L. Yang, X.
Zhang. Nonlinear Dynamics. 2013. Vol. 73, N 3. P. 1433–1441. DOI: https://doi.org/10.1007/s11071-
013-0874-z
7. A novel computer virus model and its dynamics / J. Ren, X. Yang, Q. Zhu, L. Yang, C. Zhang.
Nonlinear Analysis: Real World Applications. 2012. Vol. 13, N 1. P. 376–384. DOI:
https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2011.07.048
8. Pinto C.M.A., Tenreiro Machado J.A. Fractional dynamics of computer virus propagation. Mathe-
matical Problems in Engineering. 2014. Vol. 2014, N 1. ID: 476502. 7 p. DOI: https://doi.org/
10.1155/2014/476502
mailto:arzik66677@gmail.com
https://doi.org/10.1007/s11071-013-0889-5
https://doi.org/10.1007/s11071-014-1521-z
https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2013.06.018
https://doi.org/10.1016/j.amc.2013.02.031
https://doi.org/10.1007/s11071-013-0874-z
https://doi.org/10.1007/s11071-013-0874-z
https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2011.07.048
https://doi.org/%0b10.1155/2014/476502
https://doi.org/%0b10.1155/2014/476502
54 ISSN 2786-6491
9. Podlubny I. Fractional differential equations. Mathematics in Science and Engineering. New York :
Academic Press, 1999. Vol. 198. 341 p.
10. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equa-
tions. North-Holland Mathematics Studies. Amsterdam : Elsevier, 2006. Vol. 204. 523 p.
11. Mittag-Leffler functions, related topics and applications / R. Gorenflo, A.A. Kilbas, F. Mainardi,
S.V. Rogosin. Berlin : Springer Verlag, 2014. 454 p. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-61550-8
12. Li C., Tao C. On the fractional Adams method. Computers and Mathematics with Applications.
2009. Vol. 58, N 8. P. 1573–1588. DOI: https://doi.org/10.1016/j.camwa.2009.07.050
13. Diethelm K., Ford N.J., Freed A.D. Detailed error analysis for a fractional Adams method. Numerical
Algorithms. 2004. Vol. 36. P. 31–52. DOI: https://doi.org/10.1023/B:NUMA.0000027736.85078.be
14. Owolabi K.N., Atangana A. Numerical methods for fractional differentiations. Springer Series in
Computational Mathematics (SSCM). Springer Nature Singapore Pte Ltd, 2019. Vol. 54. 329 p.
DOI: https://doi.org/10.1007/978-981-15-0098-5
15. Odetunde O.S., Taiwo O.A. A decomposition algorithm for the solution of fractional quadratic Ric-
cati differential equations with Caputo derivatives. American Journal of Computational and Ap-
plied Mathematics. 2014. Vol. 4, N 3. P. 83–91. DOI: https://doi.org/10.5923/j.ajcam.20140403.03
16. Stability and convergence of a new explicit finite-difference approximation for the variable-order
nonlinear fractional diffusion equation / R. Lin, F. Liu, V. Anh, I. Turner. Applied Mathematics and
Computation. 2009. Vol. 212, N 2. P. 435–445. DOI: https://doi.org/10.1016/j.amc.2009.02.047
17. Study of fractional variable order COVID–19 environmental transformation model / M.B. Zada,
H. Rashid, K. Shah, T. Abdeljawad. Open Physics. 2023. Vol. 21, N 1. 9 p. DOI: https://doi.org/10.
1515/phys-2023-0123
18. Granas A., Dugudji J. Fixed point theory. New York : Springer, 2003. 690 p. DOI: http://dx.doi.
org/10.1007/978-0-387-21593-8
19. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elements of the theory of functions and functional analysis. Mos-
kow : Nauka, 1976. 496 p. (in russian)
20. Xu Y., He Z. Existence and uniqueness results for Cauchy problem of variable-order fractional dif-
ferential equations. Journal of Applied Mathematics and Computing. 2013. Vol. 43, N 1–2. P. 295–305.
DOI: https://doi.org/10.1007/s12190-013-0664-2
21. Razminia A., Dizajib A.F., Majda V.S. Solution existence for non-autonomous variable- order frac-
tional differential equations. Mathematical and Computer Modelling. 2012. Vol. 55, N 3–4.
P. 1106–1117. DOI: https://doi.org/10.1016/j.mcm.2011.09.034
22. Almalahi M.A., Abdo M.S., Panchal S.K. Periodic boundary value problems for fractional implicit
differential equations involving Hilfer fractional derivative. Issues of Analysis. 2020. Vol. 9(27),
N 2. P. 16–44. DOI: https://doi.org/10.15393/j3.art.2020.7410
23. Benchohra M., Bourian S., Nieto J.J. Boundary value problem for differential equations with gen-
eralized Hilfer-type fractional derivative. Fixed Point Theory. 2021. Vol. 22, N 2. P. 527–542.
DOI: http://dx.doi.org/10.24193/fpt-ro.2021.2.35
24. Kassim M.D., Tatar N.-E. Well-posedness and stability for a differential problem with Hilfer-
Hadamard fractional derivative. Abstract and Applied Analysis. 2013. Vol. 2013, N 1. ID: 605029.
12 p. DOI: https://doi.org/10.1155/2013/605029
25. Vivek D., Kanagarajan K., Elsayed E.M. A study of fractional integro-differential equations via
Hilfer-Hadamard fractional derivative. General Mathematics. 2019. Vol. 27, N 1. P. 71–84. DOI:
http://dx.doi.org/10.2478/gm-2019-0007
26. Salamooni Ahmad Y.A., Pawar D.D. Existence and uniqueness of generalized fractional Cauchy-
type problem. Universal Journal of Mathematics and Applications. 2020. Vol. 3, N 3. P. 121–128.
DOI: http://dx.doi.org/10.32323/ujma.756304
27. Wang J., Zhou Y., Medved’ M. Existence and stability of fractional differential equations with
Halamard derivative. Topological Methods in Nonlinear Analysis. 2013. Vol. 41, N 1. P. 113–133.
28. Abramovitz M., Stegun I.A. Handbook of mathematical functions: with formulas, graphs and
mathematical tables. New York : Dover Publications Inc., 1965. 831 p.
29. Hammouch Z., Yavuz M., Ozdemir N. Numerical solutions and synchronization of a variable-order
fractional chaotic system. Mathematical Modelling and Numerical Simulation with Applications.
2021. Vol. 1, N. 1. P. 11–23. DOI: https://doi.org/10.53391/mmnsa.2021.01.002
Отримано 09.01.2025
https://doi.org/10.1007/978-3-662-61550-8
https://doi.org/10.1016/j.camwa.2009.07.050
https://doi.org/10.1023/B:NUMA.0000027736.85078.be
https://doi.org/10.1007/978-981-15-0098-5
https://doi.org/10.5923/j.ajcam.20140403.03
https://doi.org/10.1016/j.amc.%0b2009.02.047
https://doi.org/10.1007/s12190-013-0664-2
https://doi.org/10.1016/j.mcm.2011.09.034
https://doi.org/10.15393/j3.art.2020.7410
http://dx.doi.org/10.24193/fpt-ro.2021.2.35
https://doi.org/10.1155/2013/605029
http://dx.doi.org/10.2478/gm-2019-0007
http://dx.doi.org/10.32323/ujma.756304
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-211372 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-13T18:17:53Z |
| publishDate | 2025 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Булавацький, В.М. Богаєнко, В.О. Арзамасцев, В.О. 2025-12-31T10:19:39Z 2025 Про узагальнення однієї математичної моделі дробово-диференціальної динаміки комп’ютерних вірусів / В.М. Булавацький, В.О. Богаєнко, В.О. Арзамасцев // Проблемы управления и информатики. — 2025. — № 2. — С. 43-54. — Бібліогр.: 29 назв. — укр. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/211372 517.9: 519.6 10.34229/1028-0979-2025-2-4 Розглядається задача математичного та комп’ютерного моделювання динаміки поширення комп’ютерних вірусів на основі узагальнення дробово-диференціальної математичної моделі, представленої авторами в [1]. У даній статті розглянуто дробово-диференціальний аналог модельної системи рівнянь з [1], що базується на використанні дробових похідних Капуто як сталого, так і змінного порядку. The problem of mathematical and computer modeling of the dynamics of the spread of computer viruses based on the generalization of the fractional-differential model previously published by the authors [1] is considered. This paper considers a fractional-differential analogue of the model from the paper [1] constructed using the Caputo fractional derivative of both constant and variable orders in the system of equations. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблеми керування та інформатики Керовані процеси з дробовою динамікою Про узагальнення однієї математичної моделі дробово-диференціальної динаміки комп’ютерних вірусів On the generalization of one mathematical model of fractional-differential dynamics of computer viruses Article published earlier |
| spellingShingle | Про узагальнення однієї математичної моделі дробово-диференціальної динаміки комп’ютерних вірусів Булавацький, В.М. Богаєнко, В.О. Арзамасцев, В.О. Керовані процеси з дробовою динамікою |
| title | Про узагальнення однієї математичної моделі дробово-диференціальної динаміки комп’ютерних вірусів |
| title_alt | On the generalization of one mathematical model of fractional-differential dynamics of computer viruses |
| title_full | Про узагальнення однієї математичної моделі дробово-диференціальної динаміки комп’ютерних вірусів |
| title_fullStr | Про узагальнення однієї математичної моделі дробово-диференціальної динаміки комп’ютерних вірусів |
| title_full_unstemmed | Про узагальнення однієї математичної моделі дробово-диференціальної динаміки комп’ютерних вірусів |
| title_short | Про узагальнення однієї математичної моделі дробово-диференціальної динаміки комп’ютерних вірусів |
| title_sort | про узагальнення однієї математичної моделі дробово-диференціальної динаміки комп’ютерних вірусів |
| topic | Керовані процеси з дробовою динамікою |
| topic_facet | Керовані процеси з дробовою динамікою |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/211372 |
| work_keys_str_mv | AT bulavacʹkiivm prouzagalʹnennâodníêímatematičnoímodelídrobovodiferencíalʹnoídinamíkikompûternihvírusív AT bogaênkovo prouzagalʹnennâodníêímatematičnoímodelídrobovodiferencíalʹnoídinamíkikompûternihvírusív AT arzamascevvo prouzagalʹnennâodníêímatematičnoímodelídrobovodiferencíalʹnoídinamíkikompûternihvírusív AT bulavacʹkiivm onthegeneralizationofonemathematicalmodeloffractionaldifferentialdynamicsofcomputerviruses AT bogaênkovo onthegeneralizationofonemathematicalmodeloffractionaldifferentialdynamicsofcomputerviruses AT arzamascevvo onthegeneralizationofonemathematicalmodeloffractionaldifferentialdynamicsofcomputerviruses |