Якісний аналіз нелокальної задачі щодо одновимірного аналога біпараболічного рівняння з похідними Капуто

Досліджується нелінійна задача з нелокальною умовою для одного дробово-диференціального аналога біпараболічного рівняння. A nonlinear problem with a nonlocal condition for a one-dimensional version of the fractional-differential analogue of the biparabolic evolutionary equation is considered....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Проблеми керування та інформатики
Дата:	2025
Автор:	Булавацький, В.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2025
Теми:	Керування системами з розподіленими параметрами, математичне моделювання
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/211401
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Якісний аналіз нелокальної задачі щодо одновимірного аналога біпараболічного рівняння з похідними Капуто / В.М. Булавацький // Проблемы управления и информатики. — 2025. — № 3. — С. 57-65. — Бібліогр.: 25/ назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859713350006472704
author	Булавацький, В.М.
author_facet	Булавацький, В.М.
citation_txt	Якісний аналіз нелокальної задачі щодо одновимірного аналога біпараболічного рівняння з похідними Капуто / В.М. Булавацький // Проблемы управления и информатики. — 2025. — № 3. — С. 57-65. — Бібліогр.: 25/ назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Проблеми керування та інформатики
description	Досліджується нелінійна задача з нелокальною умовою для одного дробово-диференціального аналога біпараболічного рівняння. A nonlinear problem with a nonlocal condition for a one-dimensional version of the fractional-differential analogue of the biparabolic evolutionary equation is considered.
first_indexed	2026-03-15T07:47:37Z
format	Article
fulltext	© В.М. БУЛАВАЦЬКИЙ, 2025 Міжнародний науково-технічний журнал Проблеми керування та інформатики, 2025, № 3 57 КЕРУВАННЯ СИСТЕМАМИ З РОЗПОДІЛЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ, МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ УДК 517.9:519.6 В.М. Булавацький ЯКІСНИЙ АНАЛІЗ НЕЛОКАЛЬНОЇ ЗАДАЧІ ЩОДО ОДНОВИМІРНОГО АНАЛОГА БІПАРАБОЛІЧНОГО РІВНЯННЯ З ПОХІДНИМИ КАПУТО Булавацький Володимир Михайлович Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, м. Київ, v_bulav@ukr.net Досліджується нелінійна задача з нелокальною умовою для одного дробо- во-диференціального аналога біпараболічного рівняння. Зазначається, що класичні математичні моделі динаміки процесів переносу, які ґрунтуються на лінійних рівняннях параболічного типу, передбачають нескінченну швидкість розповсюдження збурень, що призводить до низки відомих па- радоксів. У працях В.І. Фущича та його учнів запропоновано узагальнення класичного параболічного рівняння Фур’є і введено до розгляду нове (бі- параболічне) еволюційне рівняння з частинними похідними четвертого порядку. Зазначене рівняння інваріантне щодо групи Галілея і може вико- ристовуватися для опису процесів переносу без огляду на те, в яких інер- ційних системах вони спостерігаються. Воно більш коректно описує ево- люційні процеси та дозволяє досліджувати спеціальні режими, зокрема зі скінченною швидкістю розповсюдження збурень. Біпараболічне рівняння неодноразово застосовувалося для моделювання некласичної динаміки різ- номанітних еволюційних процесів, і за значного розвитку досліджень особ- ливостей динаміки аномальних процесів переносу (зокрема, на основі ідей інтегро-диференціювання дробового порядку) щодо даного рівняння за- проваджено деякі дробово-диференціальні аналоги та розв’язано низку крайових задач у галузі моделювання геофільтраційних та фільтраційно-кон- солідаційних процесів. Для одновимірного варіанта дробово-диференціаль- ного аналога біпараболічного еволюційного рівняння з похідними типу Капуто у статті розглядається нелінійна задача з нелокальною умовою. Ви- вчаються деякі питання її коректності щодо зазначеного одновимірного дробово-диференціального рівняння. Розв’язання поставленої задачі зведе- но до розв’язання відповідного нелінійного інтегрального рівняння. З огля- ду на класичну методологію теорії нерухомих точок нелінійних операторів встановлено деякі умови коректності цієї задачі. Зокрема висвітлено пи- тання існування і єдиності її розв’язку та визначено умови UH-стійкості. Ключові слова: нелінійні дробово-диференціальні рівняння, дробово-ди- ференціальний аналог біпараболічного рівняння, похідна Капуто, якісний аналіз, нелокальні умови, існування розв’язку, єдиність, UH-стійкість. Вступ Серед актуальних напрямів розвитку прикладної математики та кібернетики вагоме місце посідає математичне та комп’ютерне моделювання динаміки склад- mailto:v_bulav@ukr.net 58 ISSN 2786-6491 них процесів переносу, зокрема вивчення фундаментальних закономірностей ди- наміки і керування процесами тепло- та масообміну. Зазначимо, що класичні ма- тематичні моделі динаміки процесів переносу ґрунтуються на лінійних рівняннях параболічного типу і передбачають нескінченну швидкість розповсюдження збу- рень, що призводить до низки відомих парадоксів. У [1, 2] запропоновано уза- гальнення класичного рівняння теплопровідності Фур’є як 1 1 2 2 ,Lu L u L u f + = (1) де 2 1 1,L L L= 1L — оператор теплопровідності (дифузії): 1 ,L t  = −    — опе- ратор Лапласа за геометричними змінними, ( , )u x t — температура, f — функція джерел, 1 2,  — дійсні параметри, const 0. =  Рівняння (1) — біпараболічне [1, 2] — є інваріантним щодо групи Галілея, тому може використовуватися для опису теплових та дифузійних процесів без огляду на те, в яких інерційних системах вони спостерігаються [2]. Порівняно з класичним лінійним рівнянням параболічного типу за допомогою рівняння (1) можна описати коректніше еволюційні процеси та дослідити спеціальні режими, зокрема зі скінченною швидкістю розповсюдження збурень [1, 2]. Біпараболічне рівняння (1) неодноразово використовувалося для моделюван- ня динаміки різноманітних еволюційних процесів [3, 4]. За такої умови наразі на- були подальшого розвитку дослідження особливостей аномальних процесів пере- носу на основі ідей інтегро-диференціювання дробового порядку [5–8]. Зокрема запроваджено дробово-диференціальні аналоги біпараболічного еволюційного рів- няння та розв’язано деякі модельні крайові задачі з урахуванням часової нелокаль- ності, наприклад щодо процесів геофільтрації в тріщинувато-пористому середовищі та фільтраційно-консолідаційних процесів — у водонасичених ґрунтах [9–11]. Для математичного моделювання динаміки теплових і дифузійних процесів з урахуванням ефектів пам’яті запропоновано кілька дробово-диференціальних аналогів біпараболічного еволюційного рівняння, один з яких згідно з [9] запису- ється у такому вигляді: 2 2 0 02 2 ( , ) ( , ) ,C C t tD D u x t u x t f x x       −  −  =         (2) де дійсне число 0,  0 C tD — оператор дробової похідної Капуто порядку (0 1)    [5, 6], ( , )u x t — шукана функція, f — функція джерел. В [11] рівняння (2) використовувалося для математичного моделювання ано- мальної дробово-диференціальної фільтраційної динаміки тришарового геопорис- того масиву з наявним слабкопроникним прошарком. Відповідна модельна крайо- ва задача зводиться до розв’язання в області {0 1, 0}x t=    крайової задачі для рівняння (2) з виконанням таких умов: (0, ) (0, ) 0, ( 0),xxu t u t t= =  (3) (1, ) (1, ) 0, ( 0),xxu t u t t= =  (4) 0( , 0) ( ), ( , 0) 0, (0 1).C tu x x D u x x=  =   (5) За цих обставин із застосуванням, наприклад, методу інтегральних перетво- рень [12] крайова задача (2)–(5) зводиться до розв’язання такої послідовності за- дач Коші: Міжнародний науково-технічний журнал Проблеми керування та інформатики, 2025, № 3 59 0 0( )( ( ) ( )) ,C C t n t n n n nD D u t u t f + + = ( , 0 1),n N   0 ) ( ),(0) , (0 0,C n n t nu u nD N = = де 2 2 2(0,1) (0,1) (0,1) ( ) ( ( , ), ( )) , ( ( ), ( )) , ( , ( )) ,n n n n n nL L L u t u x t x x x f f x=   =   =  2( ) sin( ), , , ( ).n n n n nx x n n N =   =   =   Зауважимо, що детальний розв’язок задачі (2)–(5) наведено в [11]. У статті розглядається нелінійна задача з нелокальною умовою для такого одновимірного варіанта дробово-диференціального аналога (2) біпараболічного еволюційного рівняння (1): 0 0( )( ( ) ( )) ( , ( )),C C t tD D u t u t f t u t + + = (6) де 0 C tD — оператор дробової похідної Капуто порядку , ( )u t — шукана функ- ція, f — функція джерел. Вивчаються деякі питання коректності щодо задачі з нелокальною умовою для одновимірного дробово-диференціального рівняння вигляду (6) з дробовими похідними Капуто. Розв’язання даної задачі зводиться до розв’язання відповідно- го нелінійного інтегрального рівняння. Згідно з методологією теорії нерухомих точок нелінійних операторів встановлюються деякі умови її коректності, зокрема висвітлено питання існування та єдиності розв’язку. Також визначено умови UH-стій- кості щодо розв’язку цієї задачі. Постановка задачі та зведення її до нелінійного інтегрального рівняння Розглянемо задачу з нелокальною умовою для нелінійного дробово-диферен- ціального рівняння з похідними Капуто вигляду 0 0( )( ( ) ( )) ( , ( )),C C t tD D u t u t f t u t + + = (7) 0 (0) 0, (0) ( ),C tD u u u T = = (8) де 0 C tD — оператор дробової похідної Капуто [5, 6] порядку 1 1 , 2          ( )u t — шукана функція, f — функція джерел, (0, ],t T .+ Застосуємо до (7) перетворення Лапласа за змінною t та використаємо пер- шу з умов (8), тоді одержимо 2 1 1 2 2 2 1 ( ( )) (0) ( ( , ( ))) ( ) ( ) p p u t u f t u t p p − −   +  = + +  +  (9) або, повертаючись у співвідношенні (9) до оригіналів перетворення Лапласа, маємо ( )2 , ,2 0 ( ) (0) ( ) ( ) ; ( , ( )) , t t u t u E t E t e t f u d           = − + − + −           (10) де 2 1 2 2 1 2 ,2 ,2 ,2 1 ,2( ; ) : ( ) ( ( ) (1 ) ( )), t e t t E t E t E t − −         −   = − = − + − −  ( ),E  , ,( ), ( )E E       — відповідно одно-, дво- та трипараметрична функції Міттаг-Леф- флера [13]. 60 ISSN 2786-6491 З рівності (10) з урахуванням другої з умов (8) одержуємо 2 ,2 0 (0) ( ; ) ( , ( )) , T u e T f u d =  −      (11) де 1 ,1 ( ) ( ) . T E T E T −          = − − − −     (12) З огляду на (11) в (10) остаточно маємо 2 , ,2 0 ( ) ( ) ( ) ( ; ) ( , ( )) T t u t E t E t e T f u d           =  − + − −     +      2 ,2 0 ( ; ) ( , ( )) , t e t f u d + −      (13) де величина  визначається згідно з (12). Таким чином, розв’язання розглядуваної задачі зводиться до знаходження розв’язку ( )u t нелінійного рівняння (13). Спираючись на класичні підходи теорії нерухомих точок нелінійних операторів [14–20], надалі встановимо деякі умови коректності задачі (7), (8). Існування розв’язку задачі (7), (8) Визначимо оператор : [0, ] [0, ]P C T C T→ як 1 2( ) ( ) ,u t Pu t Pu P u→ = + причому ( )2 1 , ,2 0 ( ) ( ) ; ( , ( )) , T t Pu E t E t e T f u d           =  − + − −           (14) 2 2 ,2 0 ( ; ) ( , ( )) . t P u e t f u d = −      (15) Спочатку покажемо, що для всіх , ru S має місце співвідношення вклю- чення 1 2 ,rPu P S+  де { [0, ]: },r C S u C T u r=   [0, ] max ( ) . C t T f f t  = Припустимо, що функція : (0, ]f T  → є неперервною, такою, що ( , ( )) [0, ],f u C T   для кожного [0, ],u C T і існує позитивна константа 0,fL  така, що для всіх , , ( (0, ])u t T  виконується нерівність ( , ( )) ( , ( )) .ff t u t f t t L u−   − (16) Тоді, з урахуванням (16), одержуємо згідно з (14) таке співвідношення: 2 1 , ,2 0 ( ) ( ) ( ; ) ( , ( )) T t Pu E t E t e T f u d            − + − −         2 1 0 1 [ ( , ( )) ( , 0) ( ) ] ( 1) (2 ) T T T f u f f d  −    +   −  +       +     Міжнародний науково-технічний журнал Проблеми керування та інформатики, 2025, № 3 61 ( ) 2 1 0 1 [ ( ) ] ( 1) (2 ) T f T T L u f d  −    +  +       +     1( ),f C C L u f + (17) де 2 1 1 , ( 1) (2 ) T T    =  +    +    ( ) ( , 0),f f =  (18) ( )z — гамма-функція Ейлера [13]. Аналогічно, зважаючи на (15), маємо 2 1 2 2 ,2 0 0 ( ; ) ( , ( )) [ ( , ( )) ( ,0) ( ) ] (2 ) t t T P e t f d f f f d −    −           −  +        2 2( ) ( ), (2 ) f fC C C C T L f L f    + =   +   (19) де 2 2 . (2 ) T   =   (20) Таким чином, з урахуванням (17) та (19) одержуємо 1 2 , С Pu P r+   + (21) де 1 2: ( ), : ,f C f L f L   =  +  = (22) а величини 1 2,  згідно зі співвідношеннями (18) та (20) визначаються відповідно. Нехай має місце така нерівність: 2 1 1 1. (2 ) ( 1) f T T L       = +  +         +   (23) Тоді, якщо , ,ru S за виконання нерівності (23) для значень 1 r   − згідно з (21) справджується нерівність 1 2 , С P u P r+   звідси випливає, що 1 2 .rPu P S+  Далі зазначимо, що для , ru S з урахуванням (16) одержуємо 1 1Pu P−   2 , ,2 0 ( ) ( ) ( ; ) ( , ( )) ( , ( )) T t E t E t e T f u f d            − + − −     −        2 1 0 1 ( ) ( ) ( 1) (2 ) T f T T L u d  −    +  −       +     1 .f C L u −  (24) Звідси з огляду на (22), (23) та нерівність 1 1fL    одержуємо, що 1P є стискальним відображенням. Стосовно оператора 2P слід зауважити, що оскільки за умови , C u r зважаючи на (19), має місце нерівність 2 2( fC P u L r + ), C f+ то оператор 2P рівномірно обмежений. 62 ISSN 2786-6491 Доведемо, що 2P є також рівноступенево неперервним (equicontinuo- us [14, 15]) оператором. Дійсно, для будь-яких значень 1 2, (0, ),t t T таких, що 1 2 ,t t з виконанням умови ru S та означених вище припущень щодо функції ( , ( ))f u  маємо 2 1 2 2 2 2 2 1 ,2 2 ,2 1 0 0 ( ) ( ) ( ; ) ( , ( )) ( ; ) ( , ( )) t t P u t P u t e t f u d e t f u d   − = −     − −        2 1 2 1 2 10 ( ). (2 ) C f T t t t t− − → →   Звідси випливає, що оператор 2P є рівноступенево неперервним. З огляду на теорему Арцела–Асколі [14, 15] робимо висновок, що 2P є компактом на .rS То- ді, згідно з теоремою Красносельського про нерухому точку [14], підсумовуємо, що розглядувана задача (7), (8) допускає хоча б один розв’язок в [0, ].C T Доведення єдиності розв’язку задачі Спочатку зауважимо, що для будь-якої неперервної функції f визначений вище оператор P є неперервним. Дійсно, для будь-яких 0, (0, ]t t T маємо 0 0 , 0 , 0( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ( ) ( ))Pu t Pu t E t E t t E t t E t              −   − − − + − − −     2 ,2 0 ( ; ) ( , ( )) T e T f u d  −      + 2 ,2 0 ( ; ) ( , ( )) t e t f u d  −      − 0 2 ,2 0 0 0 ( ; ) ( , ( )) 0 ( ). t e t f u d t t − −      → → Далі покажемо, що оператор P є стискальним відображенням на [0, ].C T Припустимо, що ( , )f   є неперервною функцією, такою, що виконується не- рівність (16), і одержуємо для , [0, ]u C T 2 2 2 ,2 0 ( ) ( ) ( ; )( ( , ( )) ( , ( ))) t P u t P t e t f u f d −  = −     −      2 1 2 2 0 ( ) ( ) . (2 ) (2 ) t f f fC C T T L u d L u L u −    −    − =  −      (25) Тоді з урахуванням (24) та (25) маємо 1 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f C Pu t P t Pu t P t P u t P t L u−   −  + −    − + 2 .f C C L u u+  − = − Звідси випливає, що у разі виконання умови (23) оператор P є стискальним відображенням на [0, ].C T Отже, відповідно до принципу Банаха [14, 15] зада- ча (7), (8) має єдиний розв’язок в [0, ].C T Міжнародний науково-технічний журнал Проблеми керування та інформатики, 2025, № 3 63 Аналіз UH-стійкості щодо задачі (7), (8) Стисло розглянемо питання аналізу стійкості згідно з Уламом–Хайєрсом (Ulam–Hyers) щодо задачі (7), (8). Як відомо [21–24], задача (7), (8) називається UH-стійкою, якщо існує дійсне число 0,fC  таке, що для кожного 0  і для кожного розв’язку [0, ]z C T нерівності 2 0 0 0( ) 2 ( ) ( ) ( , ( )) ( (0, ])C C C t t tD D z t D z t z t f t z t t T  +  + −    (26) існує розв’язок ( ) [0, ]u t C T задачі (7), (8), такий, що ( ) ( ) ( (0, ]).fz t u t C t T−    (27) Водночас зазначимо, що функція [0, ]z C T є розв’язком (26) тоді і лише то- ді, коли існує функція ( ) [0, ],g t C T така, що виконуються певні співвідношен- ня [21–24]: ( ) ( (0, ]);g t t T   (28) 0 0( )( ( ) ( )) ( , ( )) ( (0, ]). ( )C C t tD z g tD z t t f t z t t T + + = + (29) Розв’язок задачі з нелокальною умовою для рівняння (29) у разі, якщо 0 , (0) (0) ( ) ( ), ( ) 0 0C tz u u T z T D z= = = = (30) згідно з (13) матиме вигляд 2 , ,2 0 ( ) ( ) ( ) ( ; )( ( , ( )) ( )) T t z t E t E t e T f z g d           =  − + − −     +  +      2 ,2 0 ( ; )( ( , ( )) ( )) . t e t f u g d + −     +   (31) Тоді, з урахуванням співвідношень (13), (28), (30), (31) та нерівності (16), одержуємо 2 ,2 0 ( ) ( ) ( ; )( ( , ( )) ( , ( )) t z t u t e t f z f u d −  −     −   + 2 ,2 0 0 ( ; ) ( ) ( ) ( ) , t e t g d a bI z t u t   ++ −       + − (32) де 2 ( ) , ( const 0), (2 ) f T M a b L M    = = =     0 ( )I f t + — дробовий інтеграл Ріма- на–Ліувілля порядку  від функції 1( ) [0, ]f t C T [5, 6]. З нерівності (32) відповідно до узагальненої нерівності Гронуолла [25] маємо ( ) ( ) ( ) : , (0, ],fz t u t aE bT C t T −   =   (33) де ( )E  — однопараметрична функція Міттаг-Леффлера [5, 6, 13]. Унаслідок зіставлення (33) та (27) доходимо висновку, що задача (7), (8) є UH-cтійкою. 64 ISSN 2786-6491 Висновок Розглянуто задачу з нелокальною умовою для нелінійного дробово-диферен- ціального одновимірного аналога біпараболічного рівняння з дробовими похід- ними Капуто. Виконано постановку вказаної задачі та зведено її до розв’язання еквівалентного нелінійного інтегрального рівняння. Вивчено питання існуван - ня розв’язку, єдиності та UH-стійкості щодо зазначеної нелокальної дробово-ди- ференціальної задачі. V. Bulavatsky QUALITATIVE ANALYSIS OF NON-LOCAL PROBLEM IN RELATION TO ONE-DIMENSIONAL ANALOGUE OF BIPARABOLIC EQUATION WITH CAPUTO DERIVATIVES Volodymyr Bulavatsky V.M. Glushkov Institute of cybernetics of NAS of Ukraine, Kyiv, v_bulav@ukr.net A nonlinear problem with a nonlocal condition for a one-dimensional version of the fractional-differential analogue of the biparabolic evolutionary equation is con- sidered. It is noted that classical mathematical models of the dynamics of transport processes, which are based on linear equations of the parabolic type, predict an infi- nite speed of propagation of disturbances, which leads to a number of well-known paradoxes. In the works of V.I. Fuschich and his students, a generalization of the classical parabolic Fourier equation was proposed and a new (biparabolic) evolu- tionary equation with fourth-order partial derivatives was introduced. This equation is invariant with respect to the Galileo group and can therefore be used to describe transfer processes independent of in which inertial systems they are observed. Com- pared to the classical linear parabolic equation, this equation describes evolutionary processes more correctly and allows us to study special regimes, in particular, with a finite perturbation propagation rate. It is worth noting that the biparabolic equation has been repeatedly used to model the dynamics of various evolutionary processes. At present (with the significant development of studies of the dynamics of anomalous transport processes based on the ideas of fractional order integro-differentiation), some fractional differential analogues have been introduced for this equation and a number of model boundary value problems have been solved (in particular, for geofiltration and filtration-consolidation processes). For a one-dimensional version of the fractional-differential analogue of a biparabolic evolutionary equation with de- rivatives of the Caputo type, this work considers a nonlinear problem with a non-lo- cal condition. Some questions of correctness the problem with a nonlocal condition regarding the specified one-dimensional fractional differential equation are studied. The problem solution is reduced to the solution of the corresponding nonlinear integral equation and, on the basis of the classical methodology of the theory of fixed points of nonlinear operators, some conditions for the correctness of this problem are estab- lished. In particular, the question of the existence and uniqueness of its solution is highlighted and the conditions of UH-stability are determined. Keywords: nonlinear fractional-differential equation, fractional-differential ana- logue of the biparabolic equation, Caputo’s derivative, qualitative analysis, non- local conditions, existence solution, uniqueness, UH-stability. ПОСИЛАННЯ 1. Фущич В.I., Галiцин А.С., Полубинський А.С. Нова математична модель дифузiйних про- цесiв зi скiнченною швидкiстю. Доповіді АН УРСР. Сер. А. 1988. № 8. С. 21–26. 2. Fushchich V.I., Galitsyn A.S., Polubinskii A.S. A new mathematical model of heat conduction processes. Ukrainian Mathematical Journal. 1990. Vol. 42, N 2. P. 210–216. DOI: https:// doi.org/10.1007/BF01071016 mailto:v_bulav@ukr.net Міжнародний науково-технічний журнал Проблеми керування та інформатики, 2025, № 3 65 3. Булавацький В.М. Біпараболічна математична модель процесу фільтраційної консолідації. Доповіді НАН України. 1997. № 8. С. 13–17. 4. Булавацький В.М., Кривонос Ю.Г., Скопецький В.В. Некласичні математичні моделі про- цесів тепло- та масопереносу. К. : Наукова думка, 2005. 284 с. 5. Podlubny I. Fractional differential equations. Mathematics in Science and Engineering. New York : Academic Press, 1999. Vol. 198. 341 p. 6. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equa- tions. North-Holland Mathematics Studies. Amsterdam : Elsevier, 2006. Vol. 204. 523 p. 7. Mainardi F. Fractional calculus and waves in linear viscoelasticity: an introduction to mathemati- cal models. London : Imperial College Press, 2010. 368 p. DOI: https://doi.org/10. 1142/9781848163300 8. Sandev T., Tomovsky Z. Fractional equations and models: theory and applications. Cham, Switzerland : Springer Nature Switzerland AG, 2019. 344 p. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-29614-8 9. Bulavatsky V.M. Fractional differential analog of biparabolic evolution equation and some its ap- plications. Cybernetics and Systems Analysis. 2016. Vol. 52, N 5. P. 737–747. DOI: https://doi.org/10.1007/s10559-016-9875-5 10. Bulavatsky V.M., Bohaienko V.O. Some consolidation dynamics problems within the framework of the biparabolic mathematical model and its fractional differential analog. Cybernetics and Systems Analysis. 2020. Vol. 56, N 5. P. 770–783. DOI: https://doi.org/10.1007/s10559-020-00298-7 11. Bulavatsky V.M. Some boundary-value problems of fractional differential filtration dynamics re- garding the biparabolic mathematical model. Cybernetics and Systems Analysis. 2024. Vol. 60, N 1. P. 60–71. DOI: https://doi.org/10.1007/s10559-024-00647-w 12. Sneddon I. The use of integral transforms. New York : Mc. Graw Hill Book Company, 1973. 539 p. 13. Mittag-Leffler functions, related topics and applications / R. Gorenflo, A.A. Kilbas, F. Mainardi, S.V. Rogosin. Berlin : Springer-Verlag, 2014. 454 p. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-43930-2 14. Granas A., Dugundji J. Fixed point theory. New York : Springer-Verlag, 2003. 690 p. DOI: https://doi.org/10.1007/978-0-387-21593-8 15. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elements of the theory of functions and functional analysis. Mos- kow : Nauka, 1976. 496 p. (in Russian). 16. Almalahi M.A., Panchal S.K. Existence and stability results of relaxation fractional differential equa- tions with Hilfer-Katugampola fractional derivative. Advances in the Theory of Nonlinear Analysis and its Application. 2020. Vol. 4, N 4. P. 299–315. DOI: http://dx.doi.org/10.31197/atnaa.686693 17. Harikrishnan S., Kanagarajan K., Vivek D. Some existence and stability result for integro- differential equations by Hilfer-Katugampola ractional derivative. Palestine Journal of Mathe- matics. 2020. Vol. 9, N 1. P. 254–262. 18. Harikrishnan S., Kanagarajan K., Elsayed E.M. Existence of solutions of nonlocal initial value problems for differential equations with Hilfer-Katugampola fractional derivative. Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Ser. A. Matemáticas. 2019. Vol. 113. ID: 3903. 9 p. DOI:https://doi.org/10.1007/s13398-019-00645-0 19. A study of nonlinear Langevin equation involving two fractional orders in different intervals / B. Ahmad, J.J. Nieto, A. Alsaedi, M. El-Shahed. Nonlinear Analysis: Real World Applications. 2012. Vol. 13, N 2. P. 599–606. DOI: https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2011.07.052 20. Ahmad B., Alsaedi A., Salem S. On a nonlocal integral boundary value problem of nonlinear Langevin equation with different fractional orders. Advances in Difference Equations. 2019. Vol. 2019. ID: 57. 14 p. DOI: https://doi.org/10.1186/s13662-019-2003-x 21. Kassim M.D., Tatar N.-E. Well-posedness and stability for a differential problem with Hilfer- Hadamard fractional derivative. Abstract and Applied Analysis. 2013. Vol. 2013, N 1. ID: 605029. 12 p. DOI: https://doi.org/10.1155/2013/605029. 22. Vivek D., Kanagarajan K., Sivasundaram S. On the behavior of solutions of Hilfer-Hadamard type fractional neutral pantograph equations with boundary conditions. Communications in Ap- plied Analysis. 2018. Vol. 22, N 2. P. 211–232. 23. Vivek D., Kanagarajan K., Elsayed E.M. A study of fractional integro-differential equations via Hilfer-Hadamard fractional derivative. General Mathematics. 2019. Vol. 27, N 1. P. 71–84. DOI: https://doi.org/10.2478/gm-2019-0007 24. Promsakon C., Ntouyas S.K., Tariboon J. Hilfer-Hadamard nonlocal integro-multipoint fractional boundary value problems. Journal of Function Spaces. 2021. Vol. 2021, N 1. ID: 8031524. 9 p. DOI: https://doi.org/10.1155/2021/8031524 25. Ye H., Gao J., Ding Y. A generalized Gronwall inequality and its application to a fractional dif- ferential equation. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2007. Vol. 328, N 2. P. 1075–1081. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2006.05.061 Отримано 03.02.2025 https://www.sciencedirect.com/bookseries/mathematics-in-science-and-engineering https://www.sciencedirect.com/bookseries/north-holland-mathematics-studies https://doi.org/10.%0b1142/9781848163300 https://doi.org/10.%0b1142/9781848163300 https://doi.org/10.1007/978-3-030-29614-8 https://doi.org/10.1007/s10559-016-9875-5 https://doi.org/10.1007/s10559-020-00298-7 https://doi.org/10.1007/s10559-024-00647-w https://doi.org/10.1007/978-3-662-43930-2 https://doi.org/10.1007/978-0-387-21593-8 http://dx.doi.org/10.31197/atnaa.686693 https://doi.org/10.1007/s13398-019- https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2011.07.052 https://doi.org/10.1186/s13662-019-2003-x https://doi.org/10.1155/2013/605029 https://doi.org/10.2478/gm-2019-0007 https://doi.org/10.1155/2021/8031524 https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2006.05.061
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-211401
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0572-2691
language	Ukrainian
last_indexed	2026-03-15T07:47:37Z
publishDate	2025
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Булавацький, В.М. 2026-01-01T19:36:54Z 2025 Якісний аналіз нелокальної задачі щодо одновимірного аналога біпараболічного рівняння з похідними Капуто / В.М. Булавацький // Проблемы управления и информатики. — 2025. — № 3. — С. 57-65. — Бібліогр.: 25/ назв. — укр. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/211401 517.9:519.6 10.34229/1028-0979-2025-3-5 Досліджується нелінійна задача з нелокальною умовою для одного дробово-диференціального аналога біпараболічного рівняння. A nonlinear problem with a nonlocal condition for a one-dimensional version of the fractional-differential analogue of the biparabolic evolutionary equation is considered. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблеми керування та інформатики Керування системами з розподіленими параметрами, математичне моделювання Якісний аналіз нелокальної задачі щодо одновимірного аналога біпараболічного рівняння з похідними Капуто Qualitative analysis of non-local problem in relation to one-dimen-sional analogue of biparabolic equation with Caputo derivatives Article published earlier
spellingShingle	Якісний аналіз нелокальної задачі щодо одновимірного аналога біпараболічного рівняння з похідними Капуто Булавацький, В.М. Керування системами з розподіленими параметрами, математичне моделювання
title	Якісний аналіз нелокальної задачі щодо одновимірного аналога біпараболічного рівняння з похідними Капуто
title_alt	Qualitative analysis of non-local problem in relation to one-dimen-sional analogue of biparabolic equation with Caputo derivatives
title_full	Якісний аналіз нелокальної задачі щодо одновимірного аналога біпараболічного рівняння з похідними Капуто
title_fullStr	Якісний аналіз нелокальної задачі щодо одновимірного аналога біпараболічного рівняння з похідними Капуто
title_full_unstemmed	Якісний аналіз нелокальної задачі щодо одновимірного аналога біпараболічного рівняння з похідними Капуто
title_short	Якісний аналіз нелокальної задачі щодо одновимірного аналога біпараболічного рівняння з похідними Капуто
title_sort	якісний аналіз нелокальної задачі щодо одновимірного аналога біпараболічного рівняння з похідними капуто
topic	Керування системами з розподіленими параметрами, математичне моделювання
topic_facet	Керування системами з розподіленими параметрами, математичне моделювання
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/211401
work_keys_str_mv	AT bulavacʹkiivm âkísniianalíznelokalʹnoízadačíŝodoodnovimírnogoanalogabíparabolíčnogorívnânnâzpohídnimikaputo AT bulavacʹkiivm qualitativeanalysisofnonlocalprobleminrelationtoonedimensionalanalogueofbiparabolicequationwithcaputoderivatives

Якісний аналіз нелокальної задачі щодо одновимірного аналога біпараболічного рівняння з похідними Капуто

Репозитарії

Схожі ресурси