Моделирование макроэкономических систем эконометрико-игровым методом
Для моделирования макроэкономических систем предложен обобщенный метод конструирования математических моделей, следуя которому ситуация на рынке сводится к конфликту или кооперации нескольких участников и представляется в виде дифференциальной игры. Динамика развития моделируемой ситуации описываетс...
Saved in:
| Published in: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
|---|---|
| Date: | 2006 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2006
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21143 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Моделирование макроэкономических систем эконометрико-игровым методом / А. Назаренко, А. Васильев // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 158-168. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859627479064379392 |
|---|---|
| author | Назаренко, А. Васильев, А. |
| author_facet | Назаренко, А. Васильев, А. |
| citation_txt | Моделирование макроэкономических систем эконометрико-игровым методом / А. Назаренко, А. Васильев // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 158-168. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| description | Для моделирования макроэкономических систем предложен обобщенный метод конструирования математических моделей, следуя которому ситуация на рынке сводится к конфликту или кооперации нескольких участников и представляется в виде дифференциальной игры. Динамика развития моделируемой ситуации описывается системой градиентного типа, на основании которой строится и идентифицируется эконометрическая модель макроэкономической системы.
For the macroeconomic system modeling generalized method of mathematical method construction is proposed. According to it situation on the market is reduced to the conflict or cooperation of a number of participants. The model is represented representing at form of differential game. Evolution dynamics of this system is described by the system of gradient type, on basis of which the econometric model of that system constructed and identified.
ля моделювання макроекономічних систем запропоновано узагальнений метод конструювання математичних моделей, за яким ситуація на ринку зводиться до конфлікту чи кооперації декількох учасників і подається у вигляді диференціальної гри. Динаміка розвитку ситуації, що моделюється, описується системою градієнтного типу, на основі якої будується та ідентифікується економетрична модель макроекономічної системи.
|
| first_indexed | 2025-11-29T12:33:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
Моделирование макроэкономических систем
эконометрико-игровым методом
Александр Назаренко1, Антон Васильев2
1 к. ф.-м. н., Сумский государственный университет, ул. Римского-Корсакова, 2, Сумы, 40007
2 Сумский государственный университет, ул. Римского-Корсакова, 2, Сумы, 40007,
e-mail: antonvas@gmail.com
Для моделирования макроэкономических систем предложен обобщенный метод конструи-
рования математических моделей, следуя которому ситуация на рынке сводится к конф-
ликту или кооперации нескольких участников и представляется в виде дифференциальной
игры. Динамика развития моделируемой ситуации описывается системой градиентного
типа, на основании которой строится и идентифицируется эконометрическая модель
макроэкономической системы.
Ключевые слова: дифференциальные игры, идентификация, эконометрика.
Введение. Возрастающее признание важности анализа явлений, протекающих в
экономических системах, требует построения соответствующих математических
моделей с целью их практического применения. Необходимость разрешения дан-
ной проблемы особенно остро ощущается в настоящее время на Украине [1].
Эконометрические методы и модели охватывают широкую область эконо-
мических исследований таких, как статистическое регулирование технологичес-
ких процессов [2, 3], теория и практика экспертных оценок [4, 5], прогнозирова-
ние динамики развития экономических систем [6, 7]. Указанные исследования
посвящены либо разработке теоретических основ методов прикладной статисти-
ки, либо содержат примеры проведения эконометрического моделирования ре-
альных экономических систем. Здесь методы регрессионного и корреляционного
анализа позволяют не только проверить адекватность предложенных моделей, но
и провести их экономический анализ. Вместе с тем выбор вида конкретной
используемой модели недостаточно обоснован, что зачастую ведет к неадекват-
ному представлению реальной экономической системы.
Важным подходом, применяемым для моделирования процесса принятия
решений, является теория игр, в частности, динамические или дифференциальные
игры, в которых процесс принятия решения в условиях взаимодействия сторон
исследуется во времени. Теоретические исследования и приложения теории игр
быстро развиваются в широком диапазоне — от управления самолетами и раке-
тами [8] до методов ведения переговоров, финансового инвестирования и охраны
окружающей среды [9]. Работы, использующие аппарат теории игр для моделиро-
вания экономических систем, зачастую носят чисто теоретический характер [10, 11].
УДК 330.43
158
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 158-168
159
В них можно найти теоретически обоснованные модели, применение которых на
практике сталкивается с рядом трудностей, которые обусловлены особенностями
экономической науки.
Таким образом, при моделировании экономических процессов и систем,
целесообразным представляется построение таких математических моделей, ко-
торые были бы теоретически обоснованы, например, с помощью аппарата диф-
ференциальной теории игр, и могли быть идентифицированы эконометрическими
методами.
В работе [12] предложен новый подход к построению динамических моде-
лей, где представление макроэкономического процесса сводится к ситуации кон-
фликта двух игроков-участников, записанной в виде системы дифференциальных
уравнений, а участвующие стороны осуществляют выбор стратегии во времени
путем изменения управляющих параметров.
В данной работе дается обобщение этого метода на случай многих участ-
ников, что повышает адекватность предложенных моделей и позволяет модели-
ровать крупные экономические системы и изучать их внутренние связи. Предла-
гается пример идентификации реальной макроэкономической системы.
1. Построение модели
Следуя методу, предложенному в работе [12], при моделировании макроэконо-
мической системы, будем рассматривать ее как рынок, на котором взаимодейст-
вует между собой некоторое ограниченное количество участников-игроков, каж-
дый из которых управляет одним из сопоставленных ему факторов-ресурсов,
представленных на данном рынке. При этом выделяется основной показатель h,
на который оказывают влияние остальные элементы системы. Наличие факта
влияния и его направленность предполагаются известными на основании эконо-
мической теории. В противном случае необходимо проводить корреляционный
анализ системы показатель-факторы, после чего можно выделить не только
значимо влияющие факторы, но и направленность их воздействия.
Пусть p1, p2, …, pn — факторы, имеющие положительную направленность
на величину h, т. е. с увеличением значения каждого из этих факторов величина h
возрастает, а факторы q1, q2, …, qm — имеют отрицательную направленность.
Тогда можно построить функцию G(p1, p2, …, pn, q1, q2, …, qm), выражающую
взаимное влияние факторов системы на показатель h. В общем случае она может
быть любой гладкой производственной функцией. Для определенности будем
строить ее в виде производственной функции типа Кобба-Дугласа [13]
mn
mn qqqpppaG βββααα ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ...... 2121
21210 , (1)
что позволяет давать качественное экономическое обоснование полученных резуль-
татов. Считаем, что Nt ,0= — моменты времени, в которых известны значения изу-
чаемых величин на рассматриваемом рынке. Тогда неизвестные коэффициенты
a0, α1, α2, …, αn, β1, β2, …, βm в формуле (1) определяются из условия близости к
реальным статистическим данным
Александр Назаренко, Антон Васильев
Моделирование макроэкономических систем эконометрико-игровым методом
160
h ≈ G(p1, p2, …, pn, q1, q2, …, qm). (2)
Изучая взаимодействие между описанными выше игроками, будем исходить из
принципа максимизации прибыли в экономическом анализе [14], согласно кото-
рому при моделировании макроэкономической деятельности можно рассматри-
вать рынок, все участники которого имеют одну цель — максимизировать собст-
венную прибыль. Тогда группа игроков, которая управляет факторами p1, p2, …, pn,
будет стремиться максимизировать свою прибыль, и, как следствие, увеличивать
величину h, в силу их одинаковой направленности. В то же время, вторая группа,
управляющая факторами q1, q2, …, qm, стремясь максимизировать собственную
прибыль, будет уменьшать величину h на протяжении рассматриваемого проме-
жутка времени Nt ,0= . Следовательно, функция G(p1, p2, …, pn, q1, q2, …, qm) мо-
жет быть истолкована, как результат разрешения конфликта между двумя опи-
санными выше группами игроков и рассматриваться, как функция выигрыша в
некоторой антагонистической игре.
Рассматривая описанный рынок во времени, каждому фактору необходимо
поставить в соответствие функцию, зависящую от времени. В этом случае, следуя
[12], динамику изменения изучаемых величин можно описать системой диффе-
ренциальных уравнений градиентного типа [15]
∂
∂
−=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
∂
∂
−=
∂
∂
=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
∂
∂
=
m
mn
m
m
mn
n
mn
n
n
mn
q
qqqpppGtv
dt
dq
q
qqqpppGtv
dt
dq
p
qqqpppGtu
dt
dp
p
qqqpppGtu
dt
dp
)...,,,,...,,,()(
,)...,,,,...,,,()(
,)...,,,,...,,,()(
,)...,,,,...,,,()(
2121
1
2121
1
1
2121
1
2121
1
1
(3)
при начальных условиях )0()0(),0()0( **
jjii qqpp == ( ni ,1= ; mj ,1= ).
В общем случае для установления связей между переменными макроэконо-
мической системы может использоваться не только система градиентного типа (3),
но и другие дифференциальные системы, траектории которых являются миними-
зирующими (максимизирующими), например, вытекающие из метода тяжелого
шарика [16].
Функции ui(t) и vj(t) в (3) характеризуют величину шага градиентного мето-
да и могут рассматриваться как функции управления. С экономической точки
зрения их можно трактовать как характеристики скорости инвестиций средств в
развитие фактора, которым управляет соответствующий игрок.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 158-168
161
2. Идентификация модели
В системе уравнений (3) единственными неизвестными являются функции ui(t) и
vj(t). Задача их нахождения (задача идентификации модели) теоретически может
быть решена несколькими способами [17], но процедуры их численной реализации
требуют настолько много вычислений, что проведение полной идентификации
модели (3) затруднительно. Поэтому здесь предлагается другой подход к реше-
нию данной задачи, который базируется на использовании аппарата эконометрии
и позволяет не только провести регрессионный и корреляционный анализ модели,
но и оценить качество приближения с помощью коэффициента детерминации R2 [13].
В данной работе функции управления аппроксимируются многочленами
nitbtbtbbtu i
i
k
ikiiii ,1,...)( 2
210 =++++= ;
mjtctctcctv j
j
l
jljjjj ,1,...)( 2
210 =++++= , (4)
а степени многочленов устанавливаются экспериментально на основе критерия,
который будет описан ниже. В такой постановке задача идентификации модели
заключается в нахождении оценок неизвестных коэффициентов в системе (4).
Для ее решения запишем дифференциальные уравнения (3) в разностной форме,
заменив неизвестные функции ui(t) и vj(t) их аналогом из (4). Получим следую-
щую модель, которую будем использовать в дальнейшем
+
∂
∂
−−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
+
∂
∂
−−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−=
+
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
+
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+=
+
+
+
+
,...
,...
,...
,...
2
210
1
1
1
1
2
12
1
11
1
101
1
1
1
2
210
1
1
1
1
2
12
1
11
1
101
1
1
1
1
1
1
1
1
t
l
m
l
ml
m
m
m
m
m
m
t
m
t
m
t
l
l
l
tt
t
k
n
k
k
n
n
n
n
n
n
t
n
t
n
t
k
k
k
tt
m
m
m
n
n
n
v
q
Gtc
q
Gtc
q
Gtc
q
Gcqq
v
q
Gtc
q
Gtc
q
Gtc
q
Gcqq
u
p
Gtb
p
Gtb
p
Gtb
p
Gbpp
u
p
Gtb
p
Gtb
p
Gtb
p
Gbpp
(5)
где 1,0 −= Nt ; t
ip ( ni ,1= ), t
jq ( mj ,1= ) — известные на основании статистичес-
ких данных значения параметров системы в момент времени t; ki ( ni ,1= ),
lj ( mj ,1= ) — степени полиномов из (4); bij ( ni ,1= ; ikj ,0= ), cij ( mi ,1= ; ilj ,0= ) —
неизвестные коэффициенты, подлежащие оцениванию; t
ki
u ( ni ,1= ), t
l j
v ( mj ,1= ) —
случайные отклонения переменных модели в момент времени t.
Следует отметить, что в модели (5) выражения, стоящие при неизвестных
коэффициентах, можно вычислить. Поэтому, группируя известные переменные
Александр Назаренко, Антон Васильев
Моделирование макроэкономических систем эконометрико-игровым методом
162
модели (5) и рассматривая каждое уравнение данной системы для всех моментов
времени 1,0 −= Nt , можно использовать метод наименьших квадратов для на-
хождения оценок неизвестных коэффициентов. Для наглядности запишем первое
уравнение системы (5) для всех возможных значений времени в матричном виде
−
−
−
−
=
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−−
−=−=−=
===
===
=
1
23
12
01
1
3
2
1
1
12
11
10
111
222
111
0
.........
)1(...)1(
............
2...2
...
0...0
1
1
1
1
1
1
1
NNN
k
k
k
k
k
Nt
k
NtNt
t
k
tt
ttt
t
pp
pp
pp
pp
u
u
u
u
b
b
b
b
p
GN
p
GN
p
G
p
G
p
G
p
G
p
G
p
G
p
G
p
G
(6)
или сокращенно
yub k
rrr
=+
11A ,
тогда оценки неизвестных коэффициентов будут вычисляться согласно формуле [13]
( ) yb TT rr)
AAA
1
1
−
= , (7)
где AT — матрица, транспонированная по отношению к A.
Для выбора оптимальных степеней полиномов, аппроксимирующих функ-
ции управления (4), в работе предлагается использовать эконометрический ме-
тод, который применяется для оценивания значимости вклада добавленного члена
в уравнение регрессии [18]. Для этого рассмотрим любое, например, первое,
уравнение системы (5) как полиномиальную регрессию, в которую с наращива-
нием степени добавляются новые члены. Для установления того, что вновь до-
бавленная независимая переменная действительно оказывает значимое влияние
на регрессант, воспользуемся двусторонним критерием Стьюдента значимости
коэффициента
11kb
кр
b
k t
b
k
>
σ
11
11
)
)
)
, (8)
где
11kb
)
— оценка коэффициента
11kb ,
11kb
)
)σ — его стандартная ошибка, tкр —
квантиль распределения Стьюдента, соответствующий числу степеней свободы
N – k1 – 1 и уровню значимости α.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 158-168
163
Если критерий (8) выполняется для
11kb
)
, но не выполняется для коэффици-
ентов )1(1 1+kb
)
и )2(1 1+kb
)
, то, следуя [18], можно заключить, что k1 является опти-
мальной степенью полинома, так как добавление следующих членов не дает зна-
чимого вклада в соответствующее уравнение регрессии. Как показал численный
эксперимент, именно использование оптимальных (в описанном выше смысле)
степеней полиномов (4) в модели (5) позволяет давать наиболее точные прогноз-
ные значения исследуемых величин.
Таким образом, после нахождения оценок неизвестных коэффициентов в
модели (5) и нахождения оптимальных степеней полиномов (4) будет решена
соответствующая задача идентификации. Следует отметить, что с помощью (5)
можно не только изучать внутренние связи моделируемой системы, но и нахо-
дить прогнозные значения изучаемых величин.
3. Практическая реализация
Проиллюстрируем описанный выше подход на примере рассмотрения некоторой
макроэкономической системы небольшой размерности. Рассмотрим рынок, со-
стоящий всего из двух обобщенных участников: первый — это производители
товаров и услуг, которые выпускают конечный продукт. В качестве характерис-
тики его деятельности возьмем объем основных фондов p1. Вторым участником
выберем домохозяйства, и будем характеризовать его численностью рабочей си-
лы p2. Тогда, исходя из [14], можно предположить, что в процессе экономической
деятельности производители товаров в каждый момент времени выбирали объем
производства и цены продаж, стремясь максимизировать валовой внутренний
продукт (ВВП) h, и, как следствие, — свою прибыль. Домохозяйства, также мак-
симизируя собственную прибыль, стремились увеличить национальный доход
(НД) и, вследствие линейной зависимости величин ВВП и НД, своими дейст-
виями увеличивали величину h.
Для построения модели по предложенной методике, описывающей сло-
жившуюся ситуацию на описанном рынке, достаточно иметь статистические дан-
ные об объеме основных фондов p1, количестве рабочих p2 и ВВП h на протяже-
нии некоторого промежутка времени Nt ,0= .
В качестве примера рассмотрим динамику развития Украины в период
1970-1988 гг. (табл. 1). Построение моделей осуществим на данных 1970-1986 гг.,
а на 1987 г. и 1988 г. будем вычислять прогнозные значения изучаемых величин.
Функция (1) принимает вид
21
21021 ),( αα ⋅= ppappG (9)
и ее можно трактовать как эмпирический закон зависимости ВВП от объема ос-
новных фондов и количества рабочей силы. Также (9) может быть истолкована,
как результат кооперативной деятельности между двумя указанными обобщен-
ными игроками на изучаемом рынке.
Александр Назаренко, Антон Васильев
Моделирование макроэкономических систем эконометрико-игровым методом
164
Таблица 1
Макроэкономические показатели Украины в период 1970-1988 гг.
t Год
Основные
фонды p1
(млрд руб.)
Численность
рабочих p2
(млн чел.)
Материальные затраты
q1 (млрд руб.) ВВП h
(млрд руб.)
0 1970 102,11 16,13 70,41 122,44
1 1971 109,25 16,61 75,86 131,01
2 1972 116,40 17,10 79,19 135,95
3 1973 124,57 17,42 86,24 148,15
4 1974 133,76 17,90 91,50 155,49
5 1975 140,91 18,23 96,07 161,62
6 1976 151,12 18,71 99,76 168,96
7 1977 161,33 19,03 105,21 177,53
8 1978 170,52 19,35 109,44 184,88
9 1979 179,71 19,68 111,37 187,33
10 1980 194,00 20,00 114,00 191,00
11 1981 205,23 20,16 116,82 195,97
12 1982 217,48 20,32 120,00 203,24
13 1983 229,74 20,32 124,40 211,81
14 1984 243,01 20,48 127,59 219,16
15 1985 255,00 20,70 135,00 242,00
16 1986 265,20 20,70 139,17 249,26
17 1987 277,95 20,60 142,97 258,94
18 1988 290,70 20,40 148,35 266,20
Неизвестные коэффициенты a0, α1 и α2 в выражении (9) могут быть оце-
нены методом наименьших квадратов. Используя данные табл. 1, находим
G(p1, p2) = 3,220·p1
0,578·p2
0,357, R2 = 0,9815. (10)
Тогда, следуя (5), приходим к следующей модели
+
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+=
+
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+=
+
+
....
,...
2
2
2
1
1
1
2
1
2
2
22
2
21
2
202
1
2
1
1
1
2
12
1
11
1
101
1
1
t
k
k
k
tt
t
k
k
k
tt
u
p
Gtb
p
Gtb
p
Gtb
p
Gbpp
u
p
Gtb
p
Gtb
p
Gtb
p
Gbpp
(11)
Придерживаясь описанной выше процедуры идентификации модели, мож-
но оценить значения неизвестных коэффициентов и выбрать оптимальные степе-
ни полиномов в (11). Для неизвестных функций u1(t) и u2(t) были получены сле-
дующие оптимальные полиномы
u1(t) = 9,929 + 0,932·t; u2(t) = 0,172 – 0,0108·t,
при которых величины p1 и p2 приближаются с высокой точностью (соответству-
ющие им коэффициенты детерминации равны 0,99663 и 0,99715).
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 158-168
165
Прогнозные значения величин p1 и p2 на 1987 год равны 275,25 и 20,70 со-
ответственно (относительные ошибки прогноза составили 0,97% и 0,48%).
Так как в результате прогноза были получены точечные оценки, необходимо оце-
нить их доверительные интервалы. Поскольку в (5) значения исследуемых вели-
чин в (N + 1)-ый момент времени зависят только от известных значений этих же
величин в предыдущие моменты времени, то в данном случае имеет место безус-
ловное прогнозирование (предсказание), и для оценки доверительного интервала
может быть использована следующая формула [13]
α++ δ±= tyy NN 11
) , ))(1( 1
1
1
2 T
N
T
Nu aa +
−
++σ=δ
rr) AA .
Здесь δ — среднеквадратическая ошибка прогноза, tα — двусторонний квантиль
распределения Стьюдента с N – l – 1 степенями свободы (l — степень соответст-
вующего полинома), 2
uσ
) — оценка дисперсии остаточного члена, 1+Nar — значе-
ние вектора объясняющих переменных в момент времени N + 1.
В ходе численного эксперимента для прогнозных значений величин p1 и p2
на 1987 год при уровне значимости α = 0,05 получены доверительные интервалы
p1 = 276,54±3,28 и p2 = 20,70±0,20, что свидетельствует о высокой точности прог-
ноза. Точечные оценки прогнозов для p1 и p2 на 1988 год равны 285,34 и 20,21 со-
ответственно (относительные ошибки составили 1,88% и 0,95%).
Видно, что предложенная модель дает очень хорошие результаты, как при
аппроксимации самой системы, так и при построении прогнозных значений пара-
метров системы. Вместе с тем, как показывают расчеты, в модели (10), (11) фак-
тор p2 (численность рабочей силы) является незначимым, поэтому эта модель
неадекватно описывает сложившуюся ситуацию на рынке в рассматриваемый пе-
риод времени.
Попытаемся добиться улучшения модели путем введения в нее дополни-
тельного фактора q1 согласно описанной выше процедуре. Выберем в качестве
него некоторого обобщенного игрока, который бы управлял материальными
(амортизационными) затратами производителей, и сопоставим ему в качестве
управляемого фактора материальные затраты предприятий q1. Так как с увеличе-
нием амортизационных затрат снижается выпуск товаров и услуг, можно заклю-
чить, что q1 имеет отрицательную направленность на изучаемую величину h.
Исходные данные для моделирования выберем из табл. 1. Тогда
G(p1, p2, q1) = 10,164·p1
0,181·p2
-1,385·q1
1,294, R2 = 0,99834. (12)
В (12) все используемые факторы значимы, поэтому можно полагать, что поведе-
ние новой модели можно сопоставить с поведением реальной системы. В данной
модели p2 ведет к снижению величины h, а материальные затраты q1 — к увели-
чению ВВП. Следовательно, связи, существующие между указанными тремя
участниками на данном рынке, будут описываться следующей моделью
Александр Назаренко, Антон Васильев
Моделирование макроэкономических систем эконометрико-игровым методом
166
+
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+=
+
∂
∂
−−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−=
+
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+=
+
+
+
,...
,...
,...
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
12
1
11
1
101
1
1
2
2
2
2
22
2
21
2
202
1
2
1
1
1
2
12
1
11
1
101
1
1
t
l
l
l
tt
t
k
k
k
tt
t
k
k
k
tt
v
q
Gtc
q
Gtc
q
Gtc
q
Gcqq
u
p
Gtb
p
Gtb
p
Gtb
p
Gbpp
u
p
Gtb
p
Gtb
p
Gtb
p
Gbpp
(13)
Вычисляя неизвестные коэффициенты в (13), получим
u1(t) = 35,545 – 2,293·t + 1,0598·t2 – 0,0513·t3,
u2(t) = 0,0444 – 0,00277·t, v1(t) = 1,950,
причем величины p1, p2, q1 будут аппроксимироваться с коэффициентами детер-
минации 99,968%, 99,845% и 98,354% соответственно, а их прогнозные значения
на 1987 год будут равны 275,27; 20,71; 143,81 (относительные ошибки прогноза
составят 0,97%, – 0,54%, – 0,58%). Доверительные интервалы (α = 0,05) будут
равны p1 = 275,27 ± 4,72, p2 = 20,71 ± 0,20, q1 = 143,81 ± 3,32. Прогнозные значе-
ния для величин p1, p2, q1 на 1988 год составят 283,96; 20,66 и 148,38 соответст-
венно (относительные ошибки прогноза равны 2,37%, – 1,27% и – 0,02%).
Проведем сравнение моделей (10), (11) и (12), (13). Проанализируем снача-
ла функции G(p1, p2) и G(p1, p2, q1). При добавлении третьего фактора заметно
снижение влияния основных фондов на величину ВВП. Так, для (10) эластич-
ность выпуска ВВП по основным фондам равна 0,578, а для (11) уже 0,181. При
этом фактор p2 меняет динамику влияния на величину h.
Теперь рассмотрим функции управления u1(t) и u2(t) для моделей (10), (11)
и (12), (13). Изобразим их графически на рис. 1.
а )
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 5 10 15
t
u 1(t )
u1(t) (для (11))
u1(t) (для (13)) б )
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0 5 10 15
t
u 2(t )
v(t) (для (11))
v(t) (для (13))
Рис. 1. Функции управления u1(t) (a) и u2(t) (б) для моделей (11) и (13)
u1(t) (для (11))
u1(t) (для (13))
u2(t) (для (11))
u2(t) (для (13))
0,2
0,1
0,2
0,15
0,1
0,05
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 158-168
167
Из рис. 1. видно, что характер поведения функции u1(t) для (11) и (13) прак-
тически не изменился. Однако вследствие снижения показателя эластичности
ВВП по основным фондам для второй модели, чтобы поддержать сложившуюся
динамику изменения величин в ней, необходимо увеличение скорости роста ин-
вестиций в p1. Так, сравнение этих моделей показывает, что относительное сни-
жение коэффициента эластичности (оно составило 303%), компенсируется уве-
личением среднего значения скорости инвестиций (319%). В то же время для
функции u2(t) наблюдается снижение количественного значения скорости инвес-
тиций в увеличение численности рабочей силы.
Выводы. В работе дана постановка общей задачи моделирования ситуации, во-
зникающей на рынке, когда он представлен в виде совокупности конкурирую-
щих или кооперирующихся участников. Исходя из дифференциальной теории
игр, предложена система дифференциальных уравнений градиентного типа, опи-
сывающая данную ситуацию, и на основании которой построена модель макро-
экономической системы. Также в работе предложен эконометрический подход к
идентификации динамических моделей, который иллюстрируется на моделиро-
вании динамики развития Украины за некоторый промежуток времени. Проведен-
ные расчеты показали высокую степень адекватности построенной модели реальным
данным и хорошее качество полученных краткосрочных прогнозов. Включение в
модель дополнительных факторов может не только приводить к изменению зна-
чимости коэффициентов модели, но и существенно влиять на изменение коли-
чественных показателей системы, и даже приводить к качественному изменению
структуры.
Литература
[1] Глушков В. М. Кибернетика. Вычислительная техника. Информатика. В 3-х т. —
К.: Наук. думка, 1990. — Т. 1. — 262 с.
[2] Тырсин А. И. Робастное построение линейных регрессионных моделей по экспери-
ментальным данным // Заводская лаборатория. — М.: ТЕСТ-ЗЛ, 2005. — № 11. —
С. 53-58.
[3] Орлов А. И. «Шесть сигм» — новая система внедрения математических методов
исследования // Заводская лаборатория. — М.: ТЕСТ-ЗЛ, 2006. — № 5. — С. 50-53.
[4] Шніпко О. С. Моделювання ВВП та впливу на нього показників господарської
діяльності підприємств окремих галузей промисловості України // Формування
ринкових відносин в Україні. — 2006. — № 1. — С. 11-19.
[5] Осауленко О. Моделювання динаміки та фактори державного регулювання валово-
го внутрішнього продукту // Економіка України. — 2001. — № 6. — С. 10-15.
[6] Муха О. В. Економетричний аналіз і прогнозування інфляції на сучасному етапі в
Республіці Білорусь // Статистика України. — 2005. — № 4. — С. 20-27.
[7] Петрик О. І., Половньов Ю. О. Аналіз чинників інфляції та її прогнозування в
Україні // Економіка і прогнозування. — 2003. — № 1. — С. 86-103.
[8] Чикрий А. А. Конфликтно управляемые процессы. — К.: Наук. думка, 1992. —
384с.
Александр Назаренко, Антон Васильев
Моделирование макроэкономических систем эконометрико-игровым методом
168
[9] Weidlich W. Sociodynamics: A Systematic Approach to Mathematical Modelling in the
Social Sciences. — Harwood: Academic Publishers, 2000.
[10] Жуковский В. И., Золотарев В. В. Существование гибридного равновесия в одной
дифференциальной игре // Проблемы управления и информатики. — 2002. — № 1. —
С. 32-43.
[11] Antipin A. Gradient approach of computing fixed points of equilibrium problems // Jour-
nal of Global Optimization. — 2001. — P. 1-25.
[12] Назаренко А. М. Об эконометрико-игровом методе построения и идентификации
математических моделей макроэкономических процессов // Механизм регулирова-
ния экономики — Сумы: ИТД «Университетская книга», 2006. — № 1. — С. 105-114.
[13] Назаренко О. М. Основи економетрики: Підручник. — Вид. 2-ге, перероб. — К.: «Центр
навчальної літератури», 2005. — 392 c.
[14] Макконелл К. Р., Брю С. Л. Экономикс: принципы, проблемы, политика: Пер. с 13-
го англ. изд. — М.: ИНФРА-М, 1999. — XXXIV. — 974 с.
[15] Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач: Учеб. пособие
для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1988. — 552 с.
[16] Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — М., 2003, 632 с.
[17] Альбрехт Э. Г., Быстрай Г. П. О динамических моделях эволюции некоторых мак-
роэкономических процессов // Исследование федерализма в России: междисципли-
нарный подход. — Екатеринбург: Институт философии и права УрО РАН, 1999. —
С. 214-232.
[18] Справочник по прикладной статистике. В 2-х т.: Пер. с англ. / Под ред. Э. Ллойда,
У. Ледермана, Ю. Н. Тьюрина. — М.: Финансы и статистика, 1989. — 510 с.
Моделювання макроекономічних систем
економетрико-ігровим методом
Олександр Назаренко, Антон Васильєв
Для моделювання макроекономічних систем запропоновано узагальнений метод конструю-
вання математичних моделей, за яким ситуація на ринку зводиться до конфлікту чи коопе-
рації декількох учасників і подається у вигляді диференціальної гри. Динаміка розвитку
ситуації, що моделюється, описується системою градієнтного типу, на основі якої буду-
ється та ідентифікується економетрична модель макроекономічної системи.
Macroeconomic Systems Modeling
by the Econometric and Game Method
Alecsandr Nazarenko, Anton Vasil’ev
For the macroeconomic system modeling generalized method of mathematical method construc-
tion is proposed. According to it situation on the market is reduced to the conflict or cooperation
of a number of participants. The model is represented representing at form of differential game.
Evolution dynamics of this system is described by the system of gradient type, on basis of which
the econometric model of that system constructed and identified.
Отримано 05.10.06
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-21143 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1816-1545 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-29T12:33:04Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Назаренко, А. Васильев, А. 2011-06-15T11:22:14Z 2011-06-15T11:22:14Z 2006 Моделирование макроэкономических систем эконометрико-игровым методом / А. Назаренко, А. Васильев // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 158-168. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21143 330.43 Для моделирования макроэкономических систем предложен обобщенный метод конструирования математических моделей, следуя которому ситуация на рынке сводится к конфликту или кооперации нескольких участников и представляется в виде дифференциальной игры. Динамика развития моделируемой ситуации описывается системой градиентного типа, на основании которой строится и идентифицируется эконометрическая модель макроэкономической системы. For the macroeconomic system modeling generalized method of mathematical method construction is proposed. According to it situation on the market is reduced to the conflict or cooperation of a number of participants. The model is represented representing at form of differential game. Evolution dynamics of this system is described by the system of gradient type, on basis of which the econometric model of that system constructed and identified. ля моделювання макроекономічних систем запропоновано узагальнений метод конструювання математичних моделей, за яким ситуація на ринку зводиться до конфлікту чи кооперації декількох учасників і подається у вигляді диференціальної гри. Динаміка розвитку ситуації, що моделюється, описується системою градієнтного типу, на основі якої будується та ідентифікується економетрична модель макроекономічної системи. ru Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Моделирование макроэкономических систем эконометрико-игровым методом Macroeconomic Systems Modeling by the Econometric and Game Method Моделювання макроекономічних систем економетрико-ігровим методом Article published earlier |
| spellingShingle | Моделирование макроэкономических систем эконометрико-игровым методом Назаренко, А. Васильев, А. |
| title | Моделирование макроэкономических систем эконометрико-игровым методом |
| title_alt | Macroeconomic Systems Modeling by the Econometric and Game Method Моделювання макроекономічних систем економетрико-ігровим методом |
| title_full | Моделирование макроэкономических систем эконометрико-игровым методом |
| title_fullStr | Моделирование макроэкономических систем эконометрико-игровым методом |
| title_full_unstemmed | Моделирование макроэкономических систем эконометрико-игровым методом |
| title_short | Моделирование макроэкономических систем эконометрико-игровым методом |
| title_sort | моделирование макроэкономических систем эконометрико-игровым методом |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21143 |
| work_keys_str_mv | AT nazarenkoa modelirovaniemakroékonomičeskihsistemékonometrikoigrovymmetodom AT vasilʹeva modelirovaniemakroékonomičeskihsistemékonometrikoigrovymmetodom AT nazarenkoa macroeconomicsystemsmodelingbytheeconometricandgamemethod AT vasilʹeva macroeconomicsystemsmodelingbytheeconometricandgamemethod AT nazarenkoa modelûvannâmakroekonomíčnihsistemekonometrikoígrovimmetodom AT vasilʹeva modelûvannâmakroekonomíčnihsistemekonometrikoígrovimmetodom |