Равлик Паскаля, коло Аполлонія та овал Декарта в класичних ігрових задачах перехоплення рухомих керованих об’єктів
Представлено короткий огляд методів математичної теорії керування за умов конфлікту та невизначеності, підкреслено їхню практичну значущість і визначено основні інформаційні характеристики, які використовуються у разі закінчення гри за оптимальний або гарантований час. Основна увага приділяється мет...
Saved in:
| Published in: | Проблеми керування та інформатики |
|---|---|
| Date: | 2025 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2025
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/211449 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Равлик Паскаля, коло Аполлонія та овал Декарта в класичних ігрових задачах перехоплення рухомих керованих об’єктів / А.О. Чикрій, В.І. Вишенський // Проблемы управления и информатики. — 2025. — № 5. — С. 19-32. — Бібліогр.: 28 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859529514490527744 |
|---|---|
| author | Чикрій, А.О. Вишенський, В.І. |
| author_facet | Чикрій, А.О. Вишенський, В.І. |
| citation_txt | Равлик Паскаля, коло Аполлонія та овал Декарта в класичних ігрових задачах перехоплення рухомих керованих об’єктів / А.О. Чикрій, В.І. Вишенський // Проблемы управления и информатики. — 2025. — № 5. — С. 19-32. — Бібліогр.: 28 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблеми керування та інформатики |
| description | Представлено короткий огляд методів математичної теорії керування за умов конфлікту та невизначеності, підкреслено їхню практичну значущість і визначено основні інформаційні характеристики, які використовуються у разі закінчення гри за оптимальний або гарантований час. Основна увага приділяється методу розв’язувальних функцій, який тісно пов’язаний з першим прямим методом Л.С. Понтрягіна.
A brief overview of the methods from mathematical theory of control under conditions of conflict and uncertainty is given. The practical significance of these methods is emphasized, and the main informational characteristics used to determine the end of a game at an optimal or guaranteed time are identified. The primary focus is on the method of resolving functions, which is closely related to L.S. Pontryagin’s first direct method.
|
| first_indexed | 2026-03-13T07:05:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
© А.О. ЧИКРІЙ, В.І. ВИШЕНСЬКИЙ, 2025
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2025, № 5
19
КОНФЛІКТНО-КЕРОВАНІ ПРОЦЕСИ
ТА МЕТОДИ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ
УДК 517.977
А.О. Чикрій, В.І. Вишенський
РАВЛИК ПАСКАЛЯ, КОЛО АПОЛЛОНІЯ
ТА ОВАЛ ДЕКАРТА В КЛАСИЧНИХ ІГРОВИХ
ЗАДАЧАХ ПЕРЕХОПЛЕННЯ РУХОМИХ
КЕРОВАНИХ ОБ’ЄКТІВ
Чикрій Аркадій Олексійович
Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, м. Київ,
https://orcid.org/0000-0001-9665-9085
g.chikrii@gmail.com
Вишенський Віктор Іванович
Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, м. Київ,
https://orcid.org/0000-0002-9127-8520
vyshenskyy@ukr.net
Представлено короткий огляд методів математичної теорії керування за
умов конфлікту та невизначеності, підкреслено їхню практичну значущість
і визначено основні інформаційні характеристики, які використовуються
у разі закінчення гри за оптимальний або гарантований час. Основна увага
приділяється методу розв’язувальних функцій, який тісно пов’язаний з пер-
шим прямим методом Л.С. Понтрягіна. Завдяки методу розв’язувальних
функцій можна ефективно застосовувати сучасні техніки опуклого аналізу,
багатозначних відображень та їхніх селекторів задля обґрунтування ігро-
вих конструкцій та отримання на їхній основі змістовних результатів
щодо широкого кола задач керування в умовах конфлікту. Зокрема, за до-
помогою цього методу забезпечується вичерпне теоретичне обґрунтування
класичних законів паралельного переслідування, погонної кривої Ейлера та
пропорційної навігації. Для простих рухів гравців з кулеподібними облас-
тями керування побудовано розв’язувальні функції в аналітичному вигляді
як більші додатні корені відповідних квадратних рівнянь, пов’язаних
з динамікою та областями керування гравців. На цьому підґрунті розроб-
лено позиційні стратегії керування переслідувача, які гарантують закінчен-
ня гри за скінченний час. Якщо втікач рухається з максимальною швидкістю
прямолінійно під довільним ненульовим кутом до відрізка, що з’єднує по-
чаткові положення гравців, то застосування методу паралельного переслі-
дування є запорукою, що його спіймають за менший час. За цих обставин
геометричне місце точок перехоплення з паралельним переслідуванням —
це коло Аполлонія, а за погонної кривої — равлик Паскаля. Для такого руху
втікача наведено розрахунок часу перехоплення за методом пропорційної
навігації не лише у двовимірному, але й у багатовимірному просторі. Також
Роботу виконано за часткової підтримки проєкту №2.3/25-П Національної академії наук України.
20 ISSN 2786-6491
розглянуто задачу епсилон-перехоплення. Побудовано позиційну стратегію
керування переслідувача і розраховано час, за який буде спіймано втікача, як-
що той рухатиметься прямолінійно та з максимальною швидкістю під певним
кутом. У разі використання позиційної інформації та епсилон-перехоплення
об’єкта геометричним місцем точок перехоплення є овал Декарта.
Ключові слова: конфліктно-керовані процеси, диференціальна гра, па-
ралельне переслідування, погонна крива Ейлера, метод розв’язувальних
функцій.
Вступ
Одним з центральних розділів прикладної математики є математична теорія керу-
вання за умов конфлікту та невизначеності (конфліктно-керовані процеси). Для позна-
чення цього кола наукових проблем також широко використовується інший термін —
диференціальні або динамічні ігри. Внаслідок поєднання положень теорії керованих
процесів, теорії ігор та оптимізації цей напрям досліджень має важливе практичне зна-
чення для прийняття рішень та керування в складних ситуаціях конфліктної взаємодії
рухомих об’єктів, зокрема груп керованих об’єктів. Поштовхом до розвитку до-
сліджень стали реальні прикладні задачі у військовій справі, економіці, техніці, біоло-
гії та медицині, такі як перехоплення цілей та уникнення сутичок із супротивником.
У теорії конфліктно-керованих процесів для дослідження різних ситуацій
протистояння розроблено широкий спектр фундаментальних математичних мето-
дів. З певною часткою суб’єктивізму їх можна умовно поділити на два типи.
Характерною особливістю методів першого типу є спроба побудувати оптимальні
стратегії гравців та встановити необхідні й достатні умови завершення гри. Це
методики, що так чи інакше пов’язані з динамічним програмуванням: оберненими
процедурами Понтрягіна–Пшеничного [1], альтернативами Красовського [2] та
ідеями Айзекса щодо основного рівняння теорії диференціальних ігор — рівняння
Гамільтона–Якобі–Беллмана–Айзекса [3].
До другого типу відносяться методи, що забезпечують гарантований резуль-
тат. У цьому разі питання оптимальності не є першорядним — головним є досяг-
нення мети і розв’язання задачі за заданих умов. Такими є перший прямий ме-
тод Понтрягіна [4], правило екстремального прицілювання Красовського [5]
і метод розв’язувальних функцій [6]. Важливим моментом під час дослідження
динамічних ігор зближення є інформованість її учасників про поточний стан про-
цесу, поточне керування та всю передісторію керування супротивника відповідно
до керування в класі позиційних [2], стробоскопічних та квазістратегій [6].
Зауважимо, що результат позиційної гри зближення з циліндричною термі-
нальною множиною можна реалізувати з точністю до , 0 , де — як завгод-
но мала величина, в класі стробоскопічних стратегій, якщо для конфліктно-керо-
ваного процесу виконано умову «сідлової точки в маленькій грі» [2].
Перший прямий метод Понтрягіна і метод розв’язувальних функцій об’єднує
спільний принцип побудови гарантованих керувань переслідувача на основі
теорем вимірного вибору, наприклад теореми Філіпова–Кастена [7]. Забезпечує цей
вибір класична умова Понтрягіна, яка являє собою непорожність спеціального багато-
значного відображення, що залежить від фундаментальної матриці системи та областей
керування гравців. Крім того, слід зауважити, що метод розв’язувальних функцій в пев-
ному сенсі є розвитком першого прямого методу Понтрягіна. Справді, зі схеми першого
з них випливає, що гарантований час закінчення гри для методу розв’язувальних функ-
цій не перевищує гарантованого часу першого прямого методу. До того ж першому
прямому методу відповідає розв’язувальна функція, що набуває значення .+ У [6] ви-
значено умови рівності та строгої нерівності щодо гарантованого часу вищезгаданих
методів, а також описано структуру екстремальних селекторів першого прямого методу.
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2025, № 5 21
Оскільки у разі циліндричної термінальної множини умовою Понтрягіна не
враховується її тілесна складова, запропоновано низку модифікацій цієї умови.
Одна з них полягає у включенні до умови Понтрягіна тілесної частини терміналь-
ної множини з певним ваговим коефіцієнтом. Інша умова складається з двох час-
тин: вводиться спеціальна матрична функція для вирівнювання ресурсів керуван-
ня гравців, а потім доданий ресурс компенсується завдяки термінальній множині.
Ці модифікації ефективні для об’єктів з різною інерційністю. Для коливних сис-
тем умова Понтрягіна може виконуватися лише періодично. У цьому разі ефектив-
ним засобом є, зокрема, принцип розтягування часу [8]. Інші модифікації роз-
глянуто в [6].
Метод розв’язувальних функцій виник внаслідок розв’язання задачі про уник-
нення зустрічі втікача з групою переслідувачів [9]. За допомогою введеної в ній
мінімаксимінної функції формалізовано ситуацію «оточення» [10], що дало по-
штовх до розвитку теорії групового переслідування, у подальшому — задач почер-
гового зближення, ігрових задач з фазовими обмеженнями [6] та інтегральними
обмеженнями на керування з термінальним функціоналом [11].
Завдяки універсальності методу розв’язувальних функцій та накопичувально-
го принципу, закладеному в схемі, цей метод узагальнено для процесів, заданих
системами різницевих, звичайних диференціальних, диференціально-різницевих,
інтегральних та інтегро-диференціальних рівнянь і рівнянь з дробовими та час-
тинними похідними, імпульсними та стохастичними системами.
Важливу роль у розвитку методу розв’язувальних функцій відіграють верхні
та нижні розв’язувальні функції різних типів, функції зсуву, які орієнтовані на ви-
падки, коли умови Понтрягіна не виконуються [12] і селектора Понтрягіна не іс-
нує. Введені матричні розв’язувальні функції [13] дають змогу істотно розширити
клас задач, які піддаються дослідженню.
Зауважимо, що розв’язувальні функції в загальному випадку можна виразити
як обернені функціонали Мінковського [6] певних багатозначних відображень, що
надає додаткові можливості для дослідження. Так, зокрема, для обґрунтування
схеми методу і побудови керувань переслідувача визначальною є L B -вимірність
спеціальних замкненозначних відображень, пов’язаних з конфліктно-керованим
процесом, а також суперпозиційна вимірність їхніх селекторів [14].
Метод дає змогу ефективно застосовувати сучасні техніки опуклого аналізу,
багатозначних відображень та їхніх селекторів для обґрунтування ігрових кон-
струкцій і подальшого отримання на їх основі змістовних результатів щодо широ-
кого кола задач керування в умовах конфлікту.
Апарат розв’язувальних функцій, які в прикладах з еліпсоїдоподібними облас-
тями керування гравців є більшими додатними коренями квадратних рівнянь, над-
звичайно зручний і ефективний для розв’язування конкретних задач, що покри-
ваються, зокрема, узагальненим контрольним прикладом Л.С. Понтрягіна. Остан-
ній дає змогу застосувати теорію лишків [15] та отримати результати в аналітичному
вигляді.
Перевага методу розв’язувальних функцій полягає в тому, що він надає
повне теоретичне обґрунтування класичних способів перехоплення цілей, які
використовуються проєктувальниками ракетної та космічної техніки, як-от па-
ралельне переслідування, погонна крива Ейлера, метод пропорційної навіга-
ції [16]. Значний практичний інтерес щодо дослідження цих методів виник
у 50-х роках минулого століття внаслідок розвитку ракетної техніки [16].
Удосконалення теорії та практики керування літальними апаратами сприяло
продовженню теоретичних [9, 10, 17] і прикладних [18, 19] досліджень способів
перехоплення цілей.
22 ISSN 2786-6491
Наразі знову активізувався інтерес до теоретичного і прикладного дослі-
дження вже, здавалося, добре відомих, класичних, методів перехоплення цілей
та ухиляння від погоні [20–22]. Це викликано розвитком високошвидкісних
засобів ураження, а також появою досить повільних, але маневрених безпілот-
них літальних апаратів. Тому вивчення різних варіантів перехоплення і втечі
та способів їх застосування набуло особливої актуальності .
Диференціальна гра
Для дослідження оберемо таку диференціальну гру. У просторі n руха-
ються дві точки, P (переслідувач) та E (утікач), координати яких задано від-
повідно векторами x і ,y де , .nx y Переслідувач може довільно змінювати
напрямок і величину вектора швидкості ,u обмеженого за нормою числом
, 1.a a Утікач також може довільно змінювати напрямок і величину вектора
швидкості ,v норма якого не перевищує одиниці. Отже, рух точок можна задати
системою рівнянь
0
0
: , (0) ,
: , (0) ,
P x u x x
E y v y y
= =
= =
(1)
водночас
, 1,
1.
u a a
v
(2)
Тут і надалі позначає евклідову норму вектора, тобто ( , ) ,x x x= де ( , ) є
скалярним добутком двох векторів.
Задача переслідувача полягає в тому, щоб з обраним керуванням u за скін-
ченний час T досягти точного перехоплення втікача, тобто щоб було викона-
но співвідношення ( ) ( ).x T y T= Задача втікача протилежна — запобігти цьому
впродовж усього напівнескінченного інтервалу часу [0, )+ або принаймні
максимально збільшити час перехоплення. Вважаємо, що обидва гравці, пере-
слідувач і втікач, вибирають керування у вигляді вимірних функцій часу
( ), ( )u t v t відповідно. Як відомо, в цьому разі функції ( ), ( ),x t y t що задають
траєкторії руху точок P та ,E абсолютно неперервні. Позначимо ,z x y= −
тоді з (1) випливає
0, (0) .z u v z z= − = (3)
Перехоплення означає, що ( ) 0.z T =
У разі побудови позиційного керування за допомогою методів погонної кри-
вої, паралельного переслідування і пропорційної навігації будемо застосовувати
єдиний підхід — метод розв’язувальних функцій.
Розглянемо невід’ємну скалярну функцію, що називається розв’язуваль-
ною [6]; її можна задати виразом
( , ) sup{ 0 : },z v z aS v = − − (4)
де параметр a — деяке число, більше за одиницю, { : 1}nS x x= — куля
одиничного радіуса з центром у нулі, ,x v — вектори n -вимірного евклідового
простору ,n
причому .v S
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2025, № 5 23
Розв’язувальна функція (4) є більшим коренем квадратного рівняння
,v z a− = (5)
який можна знайти в явному вигляді:
2( , ) ,v z v z a− − =
2( , ) 2( , ) ( , ) ,v v v z z z a− + =
2 2 2 22 ( , ) ( ) 0,z z v v a − + − =
2 2 2 2
2
( , ) ( , ) ( )
( , ) .
z v z v z a v
z v
z
+ + −
= (6)
Залежно від інформованості про рух і керування втікача, переслідувач може
вибирати різні стратегії керування [23], що дає змогу виконати перехоплення за
скінченний час [23, 24]. Розглянемо варіанти застосування розв’язувальної функ-
ції для обґрунтування і побудови таких стратегій.
Погонна крива Ейлера
Припустимо, що переслідувачу в кожен момент часу , 0,t t відомо взаєм-
не розташування точок , ,P E тобто відома поточна позиція ( ).z t Нехай переслі-
дувач вибирає вектор швидкості u так, щоб його напрямок збігався з напрямком
вектора ,z− тобто
, 0.u z= − (7)
Коефіцієнт визначимо таким, щоб норма швидкості u була максимальною:
.u z a= − = (8)
Рівняння (8) збігається з (5), у якому 0.v = Отже, коефіцієнт у виразі (7) є
розв’язувальною функцією з 0.v = У результаті з (6) отримуємо вираз для керу-
вання переслідувача
( ,0) .
z
u z z a
z
= − = − (9)
Такий спосіб переслідування називається переслідуванням за погонною кри-
вою [16].
Покажемо, що вибір керування переслідувача у вигляді (9) дає змогу викона-
ти перехоплення за скінченний час. Підставимо (9) у (3) й отримаємо
.
z
z a v
z
= − − (10)
Дослідимо функцію ( ) .z t З урахуванням (10) маємо
( ) , , ( 1).
d z z
z t z a v a
dt z z
= = − − − −
24 ISSN 2786-6491
Після інтегрування отримуємо 0( ) ( 1) ,z t z a t − − звідки випливає, що
( )z t стане нулем не пізніше моменту
0
max 0( ) .
1
z
T T z
a
= =
−
(11)
Такий найбільший час перехоплення буде в разі руху втікача з максимальною
швидкістю вздовж прямої ( , )P E у напрямку від переслідувача. Найменший час
перехоплення
0
min
1
z
T
a
=
+
(12)
буде, коли втікач рухатиметься з максимальною швидкістю в напрямку до пере-
слідувача.
У двовимірному просторі можна геометрично описати рух гравців за певних
обмежень на керування втікача. На рис. 1 представлено переслідування за погон-
ною кривою.
Нехай втікач рухається з максимальною постійною швидкістю прямолінійно
під довільним кутом до відрізка, що з’єднує початкові положення гравців. То-
ді, як показано в [17], геометричне місце точок перехоплення можна задати рів-
нянням у полярних координатах
( ) cos ,c d = + (13)
де 0
2
, .
1
z
d c ad d
a
= =
−
Така крива має назву «равлик Паскаля» (limaçon de
Pascal) (рис. 2).
Рис. 1 Рис. 2
Обчислимо час перехоплення для описаного вище руху втікача. У полярних
координатах рух гравців можна задати рівняннями
cos ,
sin ,
r v u
r v
= −
= −
де r — відстань між гравцями, — кут між вектором швидкості цілі та лінією,
що з’єднує поточні положення гравців. Позначимо /p u v= (тут )p a і скорис-
таємося результатом цієї роботи [16]. Якщо ціль віддаляється, маємо
0 0(cos )
,f
r p
t
pu v
+
=
−
(14)
z
u
v
r
φ
y
x
30
20
10
0
0 10 20 30
утікач
погонна
крива
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2025, № 5 25
де 0 0(0), (0).r r= = З урахуванням того, що
( , ) ( , ) ( , )
, cos ,
u v u v z v
r z
u v a z
= = = = −
отримуємо час перехоплення
0 0
2
( , )
.
1
f
a z z v
T
a
−
=
−
(15)
Тут 0 0 0.z x y= − Такий самий результат отримуємо й у разі руху втікача назу-
стріч переслідувачу. Важливо, що формула (14) справедлива лише для двовимір-
ного простору, а формула (15) — також для n -вимірного, де 2.n
Паралельне переслідування
Тепер припустимо, що переслідувач знає початкову позицію 0 ,z а також по-
точне значення ( )v t керування втікача в кожен момент часу , 0.t t Керування
переслідувача подамо у вигляді
.u v u= + (16)
Тоді рівняння (3) можна переписати як 0, (0) ,z u z z= = де немає залежності
від керування втікача. Складову u виберемо так, щоб її напрямок збігався з на-
прямком вектора 0 ,z− тобто у вигляді
0, 0.u z= − (17)
Коефіцієнт виберемо з умови максимальної величини норми :u
0 .u v z a= − = (18)
Вираз (18) збігається з рівнянням (5) у разі 0.z z= Отже, коефіцієнт у ви-
разі (17) є розв’язувальною функцією від початкової позиції та поточного керу-
вання втікача 0( , ).z v = Унаслідок цього отримуємо такий вираз для керування
переслідувача:
0 0( , ) .u v z v z= − (19)
Підставляємо (19) у (3) й одержуємо
0 0( , ) .z z v z= − (20)
Після інтегрування маємо
0 0
0
( ) 1 ( , ( )) .
t
z t z z v d
= −
(21)
Оскільки вираз у дужках є скаляром, вектор ( )z t буде колінеарним векто-
ру 0z впродовж усієї гри, тобто
0
0
( )
.
( )
z z t
z z t
=
Такий метод має назву «метод паралельного переслідування».
26 ISSN 2786-6491
Покажемо, що вибір керування у вигляді (19) дає змогу впіймати втікача за
скінченний час. Для цього оцінимо норму вектора ( ).z t З огляду на те, що
1
1
min ( , ) , ,
v
z a
z v z
z z
−
= − =
маємо
0 0 0
0
( ) 1 ( , ( )) ( 1) .
t
z t z z v d z a t
= − − −
Звідси випливає, що траєкторію системи можна привести до початку коорди-
нат не пізніше моменту
0
max 0( ) .
1
z
T T z
a
= =
−
(22)
Час (22) збігається з (11).
Розглянемо ще один спосіб керування переслідувача, який також є результа-
том застосування методу паралельного переслідування. Припустимо, що переслі-
дувач у кожен момент часу , 0,t t має інформацію про поточну позицію ( ),z t
а також знає поточне керування втікача ( ).v t Як і раніше, виключимо керування
втікача з рівняння (3), керування переслідувача подамо у вигляді (16). Складову
u виберемо так:
.u z= − (23)
Будемо вимагати, щоб швидкість переслідувача була максимальною за нор-
мою в кожен момент часу; тоді коефіцієнт у виразі (23) є розв’язувальною
функцією від поточної позиції та поточного керування втікача. У підсумку
отримуємо
( , ) .u v z v z= − (24)
Після підстановки цього виразу в (3) рівняння руху матиме вигляд
( , ) .z z v z= − (25)
Покажемо, що зазначений метод керування переслідувача також є методом
паралельного переслідування. Для цього достатньо продемонструвати, що
розв’язок рівняння (20) у разі підстановки в рівняння (25) зводить останнє до то-
тожності. Легко помітити, що розв’язувальна функція має таку властивість: для
будь-якого 0k
1
( , ) ( , ).kz v z v
k
= (26)
Позначимо 0
0
1 ( , ( ))
t
k z v d= − і підставимо вираз (21), який є розв’язком
рівняння (20), у рівняння (25). З урахуванням (26) маємо
0 0 0 0 0 0 0 0
1
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) .z v z z v z kz v kz z v kz z v z
k
− = − = − = = −
З отриманої тотожності випливає, що закон керування (24) є також законом
паралельного переслідування.
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2025, № 5 27
Час перехоплення втікача за законом паралельного переслідування можна
знайти згідно з основною схемою методу розв’язувальних функцій:
0
( )
0
min 0 : inf ( , ( )) 1 ,
t
P
v
T t z v d
=
де ( )v — така довільна вимірна функція, що ( ) 1, 0.v Якщо ( ) ,v v =
0, — постійний фіксований вектор, то
0
0
min 0 : ( , ) 1} ,
t
v
PT t z v d
= =
тобто 01/ ( , ),v
PT z v= або
2 2 2 22
0 0 00
2 22 2 2
0 0 0
( , ) ( ) ( , )
.
( , ) ( , ) ( )
v
P
z v z a v z vz
T
a vz v z v z a v
+ − −
= =
−+ + −
Якщо втікач рухається прямолінійно з максимальною швидкістю 1,v = то
час перехоплення становитиме
2 2 2
0 0 01
2
( , ) ( 1) ( , )
.
1
P
z v z a z v
T
a
+ − −
=
−
(27)
З рівностей (15) та (27) отримуємо
1 2 2 2
0 0 02
1
( , ) ( 1)
1
f PT T a z z v z a
a
− = − + − =
−
2
20 0
2
0
, 1 .
1
z z
a v a
za
= − + − −
(28)
Зі співвідношення (28) зрозуміло, що 1 0,f PT T− причому рівність досяга-
ється лише за умови, що вектор v напрямлений строго від переслідувача чи стро-
го на нього. Отже, якщо втікач рухається з максимальною швидкістю прямоліній-
но під довільним ненульовим кутом до відрізка, що з’єднує початкові положення
гравців, то застосування методу паралельного переслідування гарантує менший
час перехоплення втікача.
Як і в разі переслідування за погонною кривою, найбільший час перехоп-
лення втікача max ,T заданий виразом (22), буде за умови, що втікач рухається
з максимальною швидкістю вздовж прямої ( , )P E у напрямку від переслідувача.
Найменший час перехоплення min 0 / ( 1),T z a= + що дорівнює часу (12), бу-
де, коли втікач рухається з максимальною швидкістю в напрямку до переслі-
дувача.
У двовимірному просторі можна представити геометричний опис руху грав-
ців за певних обмежень на керування втікача. Нехай втікач рухається з макси-
мальною постійною швидкістю прямолінійно під довільним кутом до відрізка, що
з’єднує початкові положення гравців. Тоді геометричне місце точок перехоплення
28 ISSN 2786-6491
є так званим «колом Аполлонія» [20, 25] (рис. 3). Його можна описати різними
способами. Розглянемо один з них:
• точку 1,x що відповідає часу min ,T задано виразом 1 0 min 0 0/ ;x x aT z z= −
• точку 2 ,x що відповідає часу max ,T задано виразом 2 0 max 0 0/ ;x x aT z z= −
• центр кола Аполлонія знаходиться в точці c 1 2( ) / 2,x x x= + а його радіус —
2 1 / 2;r x x= −
• 0 0, ,x z a беруть з рівнянь руху гравців (1)–(3).
Епсилон-перехоплення та овал Декарта
Нехай, як і раніше, рух гравців можна задати системою (1) з обмеження-
ми (2). У задачі епсилон-перехоплення [25, 26] мета переслідувача полягає в то-
му, щоб вибрати керування u та за скінченний час T досягти епсилон-пере-
хоплення, тобто виконати співвідношення ( ) ( ) .y T x T−
Нехай переслідувач і втікач рухаються прямолінійно з максимальними швид-
костями вздовж променів PL та EL і «зустрічаються» в момент t у точці ,w
P Ew L L (рис. 4). Позначимо початкову відстань між гравцями як ,d
0 0 .d y x= − Вважаємо, що .d
Рис. 3 Рис. 4
Позначимо кут напрямку руху втікача до осі OX як , а кут напрямку руху
переслідувача до осі OX — як .
У двовимірному просторі геометричне місце точок зустрічі гравців має таку
інтерпретацію. Виберемо прямокутну систему координат OXY з початком у точці
0 ,x вісь OX напрямлена на втікача в момент 0,t = тобто 0y знаходиться на осі
OX (рис. 4). Очевидно, що координати ,X Y точки перетину променів ,P EL L
задовольняють рівняння
2 2 2
2 2 2
( ) ,
( ) .
X d Y t
X Y at
− + =
+ = +
(29)
Тут ураховано, що 1, .v u a= = Тоді
2 2
2 2
( ) ,
;
X d Y t
X Y at
− + =
+ = +
y
x
P E
d
w
φ θ
ε
LP
LE
y
x
утікач
паралельна
навігація
30
20
10
0
0 10 20 30
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2025, № 5 29
звідси, виключаючи ,t отримуємо
2 2 2 2( ) .X Y a X d Y+ − − + =
Це рівняння задає криву, що називається овалом Декарта [27].
На рис. 5 зображено овал Декарта, а також, для порівняння, коло Аполлонія
та равлик Паскаля. Як видно, у разі прямолінійного руху втікача з максимальною
швидкістю епсилон-перехоплення відбудеться швидше, ніж перехоплення за до-
помогою методів погонної кривої чи паралельного переслідування.
Знайдемо час ,T за який відбудеться перехоплення, тобто переслідувач опи-
ниться на відстані від утікача. Згідно з рис. 4 координати точки w задовольня-
ють рівняння
sin ,
cos .
w
w
Y T
X T d
=
= +
Рис. 5
Ці значення підставимо у друге з рівнянь (29) і отримаємо
2 2 2( cos ) ( sin ) ( ) .T d T aT + + = +
Звідси одержуємо квадратне рівняння відносно T
2 2 2 2( 1) 2( cos ) 0.a T d a T d − − − + − =
Час перехоплення є більшим додатним коренем цього рівняння
2 2 2 2
2
cos ( cos ) ( 1)( )
.
1
d a d a a d
T
a
− + − + − −
=
−
(30)
y
50
40
30
20
10
0
–10
0 10 20 30 40 50
x
утікач
епсилон-перехоплення
30 ISSN 2786-6491
Менший корінь є від’ємним і відповідає точці перетину променя EL з овалом
Декарта у минулому. З рис. 5 видно, що sin ( )sin .wY T aT = = + Отже,
sin
sin .
T
aT
=
+
Аналогічно cos ( )cos ,wX T d aT = + = +
cos
cos .
T d
aT
+
=
+
Позиційне керування переслідувача у двовимірному просторі можна задати
вектором
cos
.
sin
u a
=
Максимальний час перехоплення відповідає руху втікача з максимальною
швидкістю в напрямку від переслідувача, тобто 0, cos 1, = = тоді з (30) ма-
ємо max ,
1
d
T
a
−
=
−
а мінімальний час перехоплення — руху втікача з максималь-
ною швидкістю в напрямку до переслідувача, тобто , cos 1. = = − Отже,
min .
1
d
T
a
−
=
+
Висновок
За допомогою єдиного підходу, а саме методу розв’язувальних функцій, про-
ведено порівняння класичних методів перехоплення рухомих цілей, таких як па-
ралельне переслідування і погонна крива Ейлера.
Якщо втікач рухається з максимальною швидкістю прямолінійно під довільним
ненульовим кутом до відрізка, що з’єднує початкові положення гравців, то за допо-
могою методу паралельного переслідування забезпечується менший час перехоп-
лення втікача. Водночас геометричне місце точок перехоплення у разі паралельного
переслідування — це коло Аполлонія, а в разі погонної кривої — равлик Паскаля.
Для такого руху втікача наведено розрахунок часу перехоплення методом погонної
кривої не лише у двовимірному, а й у багатовимірному просторі.
Розглянуто задачу епсилон-перехоплення. Побудовано позиційне керування
переслідувача і розраховано час, за який можна спіймати втікача, якщо він руха-
ється прямолінійно та з максимальною швидкістю під певним кутом. За умови
використання позиційної інформації та епсилон-перехоплення об’єкта геометрич-
не місце точок перехоплення — овал Декарта.
A. Chikrii, V. Vyshenskyy
PASCAL’S SNAIL, APOLLONIUS CIRCLE,
AND CARTESIAN OVAL IN CLASSICAL GAME
PROBLEMS OF MOVING CONTROLLED OBJECTS
INTERCEPTION
Arcadii Chikrii
V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of the NAS of Ukraine, Kyiv,
g.chikrii@gmail.com
Viktor Vyshenskyy
V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of the NAS of Ukraine, Kyiv,
vyshenskyy@ukr.net
Міжнародний науково-технічний журнал
Проблеми керування та інформатики, 2025, № 5 31
A brief overview of the methods from mathematical theory of control under
conditions of conflict and uncertainty is given. The practical significance
of these methods is emphasized, and the main informational characteristics used
to determine the end of a game at an optimal or guaranteed time are identified.
The primary focus is on the method of resolving functions, which is closely re-
lated to L.S. Pontryagin’s first direct method. The method of resolving functions
enables the effective use of modern techniques from convex analysis, multi-
valued mappings, and their selectors in the justification of game-theoretic con-
structions and in obtaining meaningful results for a wide range of control prob-
lems in conflict scenarios. In particular, the method provides a complete theo-
retical justification for classical laws of parallel pursuit, Euler’s pursuit curve
(simple pursuit), and proportional navigation. For simple player motions with
spherical control regions, resolving functions are constructed in analytical
form as the larger positive roots of corresponding quadratic equations related to
the dynamics and control regions of the players. Based on this, positional control
strategies for the pursuer are developed that guarantee the game ends in finite
time. If the evader moves at maximum speed in a straight line at an arbitrary
non-zero angle to the segment connecting the players’ initial positions,
the method of parallel pursuit yields a shorter capture time. In this case,
the locus of capture points under parallel pursuit is an Apollonius circle, while
under Euler’s pursuit curve it is a Pascal’s snail. For such evader movement, the
interception time using the proportional navigation method is calculated not
only in two-dimensional but also in multidimensional space. The problem of ep-
silon-capture is also considered. A positional control strategy for the pursuer is
constructed, and the interception time is calculated when the evader moves
in a straight line at maximum speed at a given angle. When using positional in-
formation and epsilon-capture of the object, the locus of capture points is a Car-
tesian oval.
Keywords: conflict-driven processes, differential game, parallel pursuit, Euler’s
pursuit curve, method of resolving functions.
ПОСИЛАННЯ
1. Pshenichnyi B.N., Ostapenko V.V. Differential games. Kyiv : Naukova Dumka, 1992.
263 p. (in Russian).
2. Krasovsky N.N., Subbotin A.I. Positional differential games. Moscow : Nauka, 1974.
455 p. (in Russian).
3. Isaacs R. Differential games: a mathematical theory with applications to warfare
and pursuit, control and optimization. New York : John Wiley and Sons, 1965.
384 p.
4. Pontryagin L.S. Selected works in four volumes. New York; London; Paris; Montreux;
Tokyo : Taylor & Francis, 1986. Vol. 2. Topological groups. 618 p.
5. Krasovskii N.N., Subbotin A.I. Game-theoretical control problems. New York :
Springer-Verlag, 1988. 517 p.
6. Chikrii A.A. Conflict-controlled processes. Mathematics and Its Applications (MAIA).
Boston; London; Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 1997. Vol. 405. 424 p.
DOI: https://doi.org/10.1007/978-94-017-1135-7
7. Filippov A.F. Differential equations with discontinuous righthand side / ed. by
F.M. Arscott. Mathematics and Its Applications (MAIA). Dordrecht : Kluwer Aca-
demic Publishers, 1988. Vol. 18. 304 p. DOI: https://doi.org/10.1007/978-94-015-
7793-9
8. Chikrii G.T., Chikrii A.O. Time dilation principle in dynamic game problems. Cyber-
netics and Systems Analysis. 2022. Vol. 58, N 1. P. 36–44. DOI: https://doi.org/
10.1007/s10559-022-00433-6
9. Chikrii A.A. Linear problem of evasion from several pursuers. Bulletin of the
Academy of Sciences of USSR. Technical Cybernetics Series. 1976. N 4. P. 46–50
(in Russian).
10. Pshenichnyi B.N. Simple pursuit by several objects. Cybernetics and Systems Analysis.
1976. Vol. 12, N 3. P. 484–485. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01070036
11. Rappoport J.S. Stroboscopic strategy in dynamic game problems with terminal
payoff function and integral constraints on controls. Cybernetics and Systems
Analysis. 2019. Vol. 55, N 2. P. 284–297. DOI: https://doi.org/10.1007/s10559-
019-00133-8
https://doi.org/10.1007/978-94-015-7793-9
https://doi.org/10.1007/978-94-015-7793-9
https://doi.org/%0b10.1007/s10559-022-00433-6
https://doi.org/%0b10.1007/s10559-022-00433-6
https://doi.org/10.1007/s10559-019-00133-8
https://doi.org/10.1007/s10559-019-00133-8
32 ISSN 2786-6491
12. Chikriy A.A., Chikrii V.K. Image structure of multivalued mapping in game problems
of motion control. Journal of Automation and Information Sciences. 2016. Vol. 48, N 3.
P. 20–35. DOI: https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v48.i3.30
13. Chikrii A.O., Chikrii G.T. Matrix resolving functions in dynamic games of approach.
Cybernetics and Systems Analysis. 2014. Vol. 50, N 2. P. 201–217. DOI: https://doi.
org/10.1007/s10559-014-9607-7
14. Chikrii A.A., Rappoport I.S. Method of resolving functions in the theory of conflict-
controlled processes. Cybernetics and Systems Analysis. 2012. Vol. 48, N 4. P. 512–531.
DOI: https://doi.org/10.1007/s10559-012-9430-y
15. Chikrii A.A., Patlanzhoglu O.M. On a certain class of quasilinear differential pursuit
games. Differential Equations. 1997. Vol. 33, N 6. P. 786–794 (in Russian).
16. Locke A. Guidance. Princeton : D. Van Nostrand Company Inc., 1955. 729 p.
17. Perekatov A.E., Chikrii A.A. Alternating positional pursuit. Automation and Re-
mote Control. 1993. N 10. P. 86–95. https://www.mathnet.ru/links/be6af4ca6a06f14e09
f82da5ec899a9e/at3026.pdf (in Russian).
18. Shneydor N.A. Missile guidance and pursuit: kinematics, dynamics and control. Cam-
bridge : Woodhead Publishing Limited, 1998. 276 p. DOI: https://doi.org/10.1533/
9781782420590
19. Yanushevsky R. Modern missile guidance. Boca Raton : CRC Press, 2007. 240 p. DOI:
https://doi.org/10.1201/9781420062281
20. Weintraub I., Garcia E., Pacher M. Optimal guidance strategy for the defence of a non-
manoeuvrable target in 3-dimensions. IET Control Theory & Applications. 2020.
Vol. 14, N 11. P. 1531–1538. DOI: https://doi.org/10.1049/iet-cta.2019.0541
21. Implementation of parallel navigation and PID controller for drone swarm pursuit /
A.R. Rahardian, Y.Y. Nazaruddin, V. Nadhira, S. Bandong. IFAC-PapersOnLine.
2023. Vol. 56, N 2. P. 2513–2518. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2023.10.
1300
22. Hodžić M., Prljača N. Missile guidance using proportional navigation and machine
learning. Journal of Engineering Research and Sciences. 2024. Vol. 3, N 3. P. 19–26.
DOI: https://doi.org/10.55708/js0303003
23. Chikriy A.A., Matichin I.I. Resolving functions in parallel and pure pursuit. Journal of
Automation and Information Sciences. 2003. Vol. 35, N 11. P. 1–6. DOI: https://doi.
org/10.1615/JAutomatInfScien.v35.i11.10
24. Ignatenko A.P., Chikriy A.A. On substantiation of the proportional navigat ion
method in the simple pursuit problem. Journal of Automation and Information
Sciences. 2004. Vol. 36, N 1. P. 19–27. DOI: https://doi.org/10.1615/
JAutomatInfScien.v36.i1.30
25. Petrosyan L.A., Tomskiy G.V. Geometry of simple pursuit. Novosibirsk : Nauka, 1983.
144 p. (in Russian).
26. Petrosyan L.A. Pursuit differential games. Leningrad : Leningrad University Press,
1977. 224 p. (in Russian).
27. Savelov A.A. Flat curves: taxonomy, properties, application. Moscow : State Publishing
House of Physics and Mathematics Literature, 1960. 294 p. (in Russian).
Отримано 02.07.2025
Доопрацьовано 28.07.2025
https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v48.i3.30
https://doi.org/10.1007/s10559-012-9430-y
https://www.mathnet.ru/links/be6af4ca6a06f14e09%0bf82da5ec899a9e/at3026.pdf
https://www.mathnet.ru/links/be6af4ca6a06f14e09%0bf82da5ec899a9e/at3026.pdf
https://doi.org/10.1201/9781420062281
https://doi.org/10.1049/iet-cta.2019.0541
https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2023.10.%0b1300
https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2023.10.%0b1300
https://doi.org/10.55708/js0303003
https://doi.org/10.1615/%0bJAutomatInfScien.v36.i1.30
https://doi.org/10.1615/%0bJAutomatInfScien.v36.i1.30
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-211449 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-13T07:05:38Z |
| publishDate | 2025 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Чикрій, А.О. Вишенський, В.І. 2026-01-02T15:31:55Z 2025 Равлик Паскаля, коло Аполлонія та овал Декарта в класичних ігрових задачах перехоплення рухомих керованих об’єктів / А.О. Чикрій, В.І. Вишенський // Проблемы управления и информатики. — 2025. — № 5. — С. 19-32. — Бібліогр.: 28 назв. — укр. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/211449 517.977 10.34229/1028-0979-2025-5-2 Представлено короткий огляд методів математичної теорії керування за умов конфлікту та невизначеності, підкреслено їхню практичну значущість і визначено основні інформаційні характеристики, які використовуються у разі закінчення гри за оптимальний або гарантований час. Основна увага приділяється методу розв’язувальних функцій, який тісно пов’язаний з першим прямим методом Л.С. Понтрягіна. A brief overview of the methods from mathematical theory of control under conditions of conflict and uncertainty is given. The practical significance of these methods is emphasized, and the main informational characteristics used to determine the end of a game at an optimal or guaranteed time are identified. The primary focus is on the method of resolving functions, which is closely related to L.S. Pontryagin’s first direct method. Роботу виконано за часткової підтримки проєкту No2.3/25-П Національної академії наук України. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблеми керування та інформатики Конфліктно-керовані процеси та методи прийняття рішень Равлик Паскаля, коло Аполлонія та овал Декарта в класичних ігрових задачах перехоплення рухомих керованих об’єктів Pascal’s snail, Apollonius circle, and Cartesian oval in classical game problems of moving controlled objects interception.. Article published earlier |
| spellingShingle | Равлик Паскаля, коло Аполлонія та овал Декарта в класичних ігрових задачах перехоплення рухомих керованих об’єктів Чикрій, А.О. Вишенський, В.І. Конфліктно-керовані процеси та методи прийняття рішень |
| title | Равлик Паскаля, коло Аполлонія та овал Декарта в класичних ігрових задачах перехоплення рухомих керованих об’єктів |
| title_alt | Pascal’s snail, Apollonius circle, and Cartesian oval in classical game problems of moving controlled objects interception.. |
| title_full | Равлик Паскаля, коло Аполлонія та овал Декарта в класичних ігрових задачах перехоплення рухомих керованих об’єктів |
| title_fullStr | Равлик Паскаля, коло Аполлонія та овал Декарта в класичних ігрових задачах перехоплення рухомих керованих об’єктів |
| title_full_unstemmed | Равлик Паскаля, коло Аполлонія та овал Декарта в класичних ігрових задачах перехоплення рухомих керованих об’єктів |
| title_short | Равлик Паскаля, коло Аполлонія та овал Декарта в класичних ігрових задачах перехоплення рухомих керованих об’єктів |
| title_sort | равлик паскаля, коло аполлонія та овал декарта в класичних ігрових задачах перехоплення рухомих керованих об’єктів |
| topic | Конфліктно-керовані процеси та методи прийняття рішень |
| topic_facet | Конфліктно-керовані процеси та методи прийняття рішень |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/211449 |
| work_keys_str_mv | AT čikríiao ravlikpaskalâkoloapolloníâtaovaldekartavklasičnihígrovihzadačahperehoplennâruhomihkerovanihobêktív AT višensʹkiiví ravlikpaskalâkoloapolloníâtaovaldekartavklasičnihígrovihzadačahperehoplennâruhomihkerovanihobêktív AT čikríiao pascalssnailapolloniuscircleandcartesianovalinclassicalgameproblemsofmovingcontrolledobjectsinterception AT višensʹkiiví pascalssnailapolloniuscircleandcartesianovalinclassicalgameproblemsofmovingcontrolledobjectsinterception |