Оптимізація просторового розміщення безпілотних літальних апаратів для моніторингу земної поверхні

У статті розглянуто задачі оптимізації просторового розміщення БПЛА для моніторингу земної поверхні. Метою таких задач є максимізація покриття важливих ділянок на визначеній області земної поверхні областями спостереження БПЛА та мінімізація сумарної площі попарних перетинів цих областей, що зазвича...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Проблеми керування та інформатики
Дата:	2025
Автори:	Андон, П.І., Пашко, С.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2025
Теми:	Методи оптимізації та оптимальне керування
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/211469
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Оптимізація просторового розміщення безпілотних літальних апаратів для моніторингу земної поверхні / П.І. Андон, С.В. Пашко // Проблемы управления и информатики. — 2025. — № 6. — С. 29-44. — Бібліогр.: 24 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859960006943703040
author	Андон, П.І. Пашко, С.В.
author_facet	Андон, П.І. Пашко, С.В.
citation_txt	Оптимізація просторового розміщення безпілотних літальних апаратів для моніторингу земної поверхні / П.І. Андон, С.В. Пашко // Проблемы управления и информатики. — 2025. — № 6. — С. 29-44. — Бібліогр.: 24 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Проблеми керування та інформатики
description	У статті розглянуто задачі оптимізації просторового розміщення БПЛА для моніторингу земної поверхні. Метою таких задач є максимізація покриття важливих ділянок на визначеній області земної поверхні областями спостереження БПЛА та мінімізація сумарної площі попарних перетинів цих областей, що зазвичай збільшує роздільну здатність покриття та зменшує дублювання спостереження. Розроблено метод випадкового пошуку з локальною оптимізацією. This paper considers optimization problems of the spatial deployment of drones for monitoring the Earth's surface. The objective of the optimization problems is to maximize the coverage of important areas of a defined region of the Earth's surface by the observation zones of drones and to minimize the total area of pairwise intersections of these observation zones, which usually increases the resolution of coverage and reduces observation duplication. A random search method with local optimization has been developed.
first_indexed	2026-03-18T01:08:08Z
format	Article
fulltext	© П.І. АНДОН, С.В. ПАШКО, 2025 Міжнародний науково-технічний журнал Проблеми керування та інформатики, 2025, № 6 29 УДК 519.8 П.І. Андон, С.В. Пашко ОПТИМІЗАЦІЯ ПРОСТОРОВОГО РОЗМІЩЕННЯ БЕЗПІЛОТНИХ ЛІТАЛЬНИХ АПАРАТІВ ДЛЯ МОНІТОРИНГУ ЗЕМНОЇ ПОВЕРХНІ Андон Пилип Іларіонович Інститут програмних систем НАН України, м. Київ, https://orcid.org/0009-0000-1737-5579, andon@isofts.kiev.ua Пашко Сергій Володимирович Інститут програмних систем НАН України, м. Київ, https://orcid.org/0000-0002-0453-4128, pashko1955@gmail.com Задачі покриття області спостереження сенсорними системами привертають значну увагу дослідників. Системи безпілотних літальних апаратів (БПЛА) можна застосовувати для спостереження за природними явищами, під час рятувальних операцій, у військовій справі тощо. У статті розглянуто задачі оптимізації просторового розміщення БПЛА для моніторингу земної по- верхні. Метою таких задач є максимізація покриття важливих ділянок на визначеній області земної поверхні областями спостереження БПЛА та мінімізація сумарної площі попарних перетинів цих областей, що зазви- чай збільшує роздільну здатність покриття та зменшує дублювання спо- стереження. Розроблено метод випадкового пошуку з локальною оптиміза- цією. Цільова функція задачі, яку треба максимізувати, є негладкою та не- увігнутою. Тому на етапі локальної оптимізації застосовано метод узагальненого градієнта. Внаслідок того, що на цьому етапі початкова точ- ка вибирається випадковим способом з множини допустимих розв’язків, нескінченнокрокова версія методу випадкового пошуку з локальною опти- мізацією збігається до глобального максимуму, а локальна оптимізація дає змогу підвищити швидкість збіжності. Виконано числові експерименти, які засвідчують можливість застосування запропонованого методу до задач, що мають практичний інтерес. Для опуклих задач наведено оцінки ефектив- ності субградієнтного методу, що дають уявлення про трудомісткість ме- тоду узагальненого градієнта на етапі локальної оптимізації. Описано не- стаціонарні задачі розміщення (параметри яких змінюються з часом) та за- пропоновано метод їх розв’язання. Для опуклих нестаціонарних задач, за умови обмеженої швидкості змін цільової функції, розроблено нескінчен- нокроковий метод, що генерує послідовність допустимих розв’язків, похиб- ка яких починаючи з деякого кроку не перевищує заданої величини. Ключові слова: БПЛА, спостереження, багатокутник, покриття, оптиміза- ція, узагальнений градієнт, субградієнт, метод. Вступ Наразі задача покриття області спостереження сенсорними системами є акту- альною проблемою, що привертає значну увагу дослідників, оскільки системи БПЛА можна застосовувати для спостереження за природними явищами, під час рятувальних операцій, у військовій справі тощо. У [1] представлено алгоритми керування та координації для груп БПЛА. Основну увагу сфокусовано на мережах БПЛА, що виконують завдання розподіленого зондування, де кожен БПЛА відіг- 30 ISSN 2786-6491 рає роль мобільного настроюваного датчика. Запропоновано алгоритми градієнт- ного спуску для класу функцій корисності, що описують оптимальне покриття та політику зондування. У [2, 3] побудовано математичні моделі сенсорів та розгля- нуто оптимізаційні задачі їх розміщення. Для таких задач запропоновано метод, за допомогою якого можна знайти близький до оптимального розв’язок. Для покрит- тя області спостереження застосовуються діаграми Вороного [4], метод потен- ціальних полів [5], метод навчання з підкріпленням [6], мапінг скалярної функції (поля) [7, 8]. За останні кілька років дослідження з оптимізації просторового розміщення та маршрутного планування БПЛА для моніторингу земної поверхні розвивалися в кількох напрямах. З’явилися масштабні огляди та класифікації алгоритмів для планування покриття та шляхів систем БПЛА, в яких структуруються підходи до побудови цих алгоритмів за критеріями (цільові функції, обмеження енергії та зв’язку, централізоване чи розподілене планування дій системи тощо) і тим самим закладається база для порівняння нових методів [9]. Удосконалювалися геометричні та граф-орієнтовані підходи, що включають класичні методи покриття (розбиття області, графи Вороного, триангуляції Дело- не, boustrophedon-декомпозиції та ін.), які були адаптовані для систем БПЛА: у цьому разі задача багатоплатформенного покриття перетворюється на набір ло- кальних задач для кожного апарата, що знижує складність та дає змогу застосову- вати відомі алгоритми обходу та синтезу маршрутів для великомасштабних площ. Ці підходи часто використовуються як базові стратегії для інспекцій та агромоні- торингу. В [10] відносна локалізація (інформація щодо глобальних координат на- дається для головного БПЛА, а для інших — визначається за допомогою радіосиг- налу на основі вимірювання відстані між ними) поєднується з розподіленим керуванням покриттям. Оптимальне розміщення вибрано з урахуванням цієї ло- калізації. Досягнуто ефективного покриття області з кількома БПЛА. В [11] засто- совується метаевристика рою частинок для генерації маршрутів у 3D-середовищі, щоб забезпечити повне покриття. В [12] побудовано алгоритм, в якому завдання пок- риття поділено на етапи. Перед кожним етапом кожний БПЛА планує маршрут за до- помогою динамічної функції винагороди, що поєднує критерії покриття та енерго- споживання. Також застосовується комунікація між БПЛА для координації взаємодії. Інший активний напрям досліджень представлений роботами, які присвячено не простому геометричному покриттю, а максимізації інформаційної вигоди збору даних (мінімізація невизначеності карти, виявлення цілей тощо). Для цього широ- ко застосовуються стохастичні моделі просторових залежностей (найчастіше га- уссівські процеси) та алгоритми IPP (Informative Path Planning) з адаптивним пе- реплануванням, за допомогою яких можна збалансувати очікуваний приріст інфор- мації, обмеження сенсора й динаміку апарата. Ці методи особливо корисні для моніторингу масивних або нерівномірно інформативних поверхонь (наприклад, екологічний моніторинг, пошуково-рятувальні операції). У [13] розроблено метод IPP, який враховує невизначеність розміщення робота (локалізації). Для моделю- вання поля застосовуються гауссівський процес і функція корисності, яка має на меті поєднання зменшення помилки карти та невизначеності локалізації. За допо- могою числових експериментів показано, що у разі такого підходу зменшується середня помилка карти й середня невизначеність розміщення порівняно з метода- ми, в яких ігнорується локалізаційна невизначеність. У [14] гауссівський процес застосовується для моделювання інформаційного поля на поверхні у 3D, плану- вання траєкторій у режимі горизонту планування, що оновлюється, з обмеженням щодо часу польоту. У разі такого підходу числові експерименти показують пок- ращення реконструкції інформаційного поля (меншу помилку карти) та показни- ків за інформаційно-теоретичними метриками порівняно з «традиційним» покрит- тям чи випадковими маршрутами. Міжнародний науково-технічний журнал Проблеми керування та інформатики, 2025, № 6 31 Важливим напрямом досліджень виступає розробка цілочисельних і неліній- них оптимізаційних моделей та відповідних математичних методів, у тому числі евристичних, для одночасного розв’язання задач розміщення та маршрутизації БПЛА. За допомогою таких підходів, що застосовуються і для моніторингу статич- них об’єктів, і для відстеження динамічних цілей, можна формалізувати компроміси між покриттям, пропускною здатністю каналу зв’язку та витратами енергії та ча- су [15]. Для систем БПЛА важливими є обмеження на ємність акумуляторів, вимоги до підтримання зв’язку між платформами та забезпечення персистентного (трива- лого) моніторингу. У роботах останніх років пропонуються «енерго- та комуніка- ційно-чутливі» стратегії розміщення й маршрутного планування (включно з оп- тимізацією місць дозарядки й платформ базування) та алгоритми збалансування навантаження між БПЛА для підтримання якості моніторингу в часі. Це веде до появи гібридних схем, у яких поєднуються планування покриття, повторне про- ходження важливих точок і розклад підзарядок [16]. Наразі спостерігається ще одна помітна тенденція — перехід від централізо- ваних оптимізаторів до розподілених (децентралізованих) підходів, внаслідок чо- го підвищуються масштабованість та стійкість мереж БПЛА, що особливо важли- во для аварійних і катастрофічних сценаріїв. За допомогою розподілених алгорит- мів можна локально приймати рішення щодо переміщення або перерозподілу ресурсів зі збереженням прийнятного рівня глобального покриття [17]. В останні роки опубліковано низку наукових робіт та оглядів, у яких розгля- даються нестаціонарні, тобто часово-змінні задачі оптимізації розміщення БПЛА для моніторингу поверхні. У [18] пропонується адаптивна в режимі реального ча- су PSO-стратегія (Particle Swarm Optimization) для рою БПЛА, за допомогою якої відстежуються рухомі та частково закриті цілі у середовищі з перешкодами. Та- кий підхід орієнтований на динамічні задачі покриття та виявлення. У [19] запро- поновано ефективну стратегію планування місій для БПЛА з урахуванням мож- ливості змін середовища. У [20] наведено огляд сучасних підходів (включно з муль- тиагентними методами) для спостереження й моніторингу; в окремих розділах розглядаються нестаціонарні задачі. У даній статті для пошуку оптимального розміщення БПЛА побудовано вер- сію методу випадкового пошуку з локальною оптимізацією [21]. На етапі локаль- ної оптимізації застосовується метод узагальненого градієнта [22]. Описано не- стаціонарні задачі розміщення БПЛА та метод їх розв’язання. Виконано числові розрахунки, які підтверджують ефективність запропонованих методів. Постановка задачі Нехай система, що складається з m БПЛА, має спостерігати за визначеною на поверхні землі областю .G Множину G вважатимемо багатокутником, тобто замкненою ламаною, утвореною скінченним числом відрізків (без самоперетинів та самодотиків) разом із точками, що лежать всередині. Вважатимемо, що у три- вимірному просторі задано декартову систему координат, точки мають координа- ти , , ,x y z і багатокутник G лежить у площині 0.z = Нехай положення кожного БПЛА (агента) описується координатами , , ;i i ix y z вважатимемо, що 0, 1, 2,..., .iz i m = Областю спостереження i -го БПЛА визначимо квадрат ,iB що лежить у площині 0z = та являє собою основу правильної піраміди, у вершині якої iD з координатами , ,i i ix y z знаходиться цей БПЛА (рис. 1). Сторони квадрата паралельні осям абсцис та ординат відповідно, а центр квадрата знаходиться у точці iD площини 0z = з координатами , .i ix y Да- https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B0%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0 32 ISSN 2786-6491 лі запис ( , )x y означає точку площини 0z = з координатами ( , ).x y Точка ( , )x y тоді і тільки тоді належить квадрату спостереження ,iB коли виконуються умови tg tg , tg tg . i i i i i i i i x z x x z y z y y z −    +  −    +  Тут  — кут, що утворює висота піраміди з висотою бічної грані, 0 / 2.    Довжина сторони квадрата iB дорівнює 2 tg .iz  У даній статті застосовується цільова функція для системи БПЛА, запропо- нована в [6]. Метою цієї системи є повне покриття важливих ділянок області G областями спостереження БПЛА .iB Крім того, мінімізується сумарна площа по- парних перетинів областей спостереження БПЛА, що зазвичай збільшує роздільну здатність покриття та зменшує дублювання спостереження. Рис. 1 Нехай вектор 1 1 1 2 2 2( , , , , , ,..., , , )m m mu x y z x y z x y z= містить координати всіх БПЛА, 1 . m i i B B = =  Цільова функція має вигляд 1 1( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) . i j m m i j ix y G B x y G B B f u W x y dxdy W x y dxdy = = +  = −    (1) Тут додатна обмежена неперервна на G функція ( , )W x y визначає важливість час- тин області .G Вважатимемо, що ( , ) 0W x y = за умови ( , ) ,x y G а координати БПЛА мають задовольняти умови min max ,ix x x  min max ,iy y y  min max ,iz z z  1, 2,..., ,i m= (2) де min max min max min max, , , , ,x x y y z z — задані дійсні скінченні числа, такі, що min max ,x x min max ,y y min max ,z z min 0.z  Множину точок ,u координати яких задовольняють нерівності (2), позначимо .U Необхідно розв’язати задачу оптимізації ( ) max. u U f u  → (3) Di Bi   iD Міжнародний науково-технічний журнал Проблеми керування та інформатики, 2025, № 6 33 Вважатимемо, що всі точки ( , ),x y які належать багатокутнику ,G задовольняють нерівності min max,x x x  min max.y y y  Зауважимо, що за умови ( , ) 1W x y = для будь-яких ( , )x y G функція ( )f u на- буває вигляду 1 1 ( ) ( ) ( ), m m i j i j i f u s G B s G B B = = + = −   (4) де ( )s A — площа геометричної фігури .A У [6] для розв’язання задачі (3) запропоновано метод навчання з підкріплен- ням, у якому для визначення оптимальної поведінки агентів застосовується коре- льована рівновага. Однак задача лінійного програмування (ЗЛП) для розрахунку корельованої рівноваги сформульована некоректно: використано ймовірності ( )i kP a для дії ka i -го агента в момент ,k у той час як стандартна ЗЛП для коре- льованої рівноваги оперує ймовірностями кожного спільного вектора дій ( ),kP A де 1 2( , ,..., ).m k k k kA a a a= Загалом неможливо обчислити корельовану рівновагу за допомогою ЗЛП, що описана в [6]. Правильну ЗЛП для корельованої рівноваги викладено в [23]. Вважається, що кількість станів системи та кількість дій, які можуть бути виконані агентами, скін- ченні. Позначимо ( )p a ймовірність обрати спільну дію 1 2( , ,...., ).ma a a a= Нехай ( , )i kQ S a — корисність i -го агента у стані kS в момент часу k за умови вико- нання спільної дії .a Потрібно в момент k максимізувати спільну користь ( )1 ( ) ( , ) max m i k pa A i p a Q S a  = →  за умов ( ) 1, a A p a  = ( ) 0,p a  ,a A  ( , )( ( , , ) ( , , )) 0, , , 1, 2,..., . i i i i i k i i i k i i i i i a A p a a Q S a a Q S a a a a A i m − − − − −   −    = Тут A — множина всіх допустимих спільних дій ;a ia− — вектор a без компо- ненти ;ia iA− — множина всіх таких векторів; змінними виступають величи- ни ( ).p a Метод навчання з підкріпленням для системи БПЛА, у якому застосовується описана коректна ЗЛП для обчислення корельованої рівноваги, протестовано за допомогою числових експериментів. Отримані результати продемонстрували його низьку ефективність для задач оптимального покриття області спостереження, тобто низьку точність та високу трудомісткість навіть для невеликої кількості БПЛА, тому цей метод у статті не розглядається. Для розв’язання задачі (3) можна застосувати метод випадкового пошуку або повного перебору вузлів побудованої сітки, але тільки за умови, що число агентів невелике або необхідна точність розв’язку невисока, оскільки ефективність цих методів вкрай низька. У наступному розділі для задачі оптимального покриття (3) представлено метод випадкового пошуку з локальною оптимізацією, який можна застосовувати для систем з багатьма агентами. 34 ISSN 2786-6491 Метод випадкового пошуку з локальною оптимізацією Позначимо K множину точок, що належать ,U для яких виконується така умова: сторона одного з квадратів iB перетинається зі стороною іншого квадра- та jB або зі стороною багатокутника ,G причому довжина перетину більша за нуль. Градієнт ( )f u (вектор частинних похідних) функції ( )f u завжди існує на множині \U K та може не існувати в точках множини .K На множині K функція ( )f u має ліві та праві частинні похідні за всіма змінними. Якщо ,u K то можна використати ліві або праві похідні. Зауважимо, що міра Лебега множини K дорів- нює нулю. На множині \U K градієнт ( )f u обчислюється досить просто. Розглянемо квад- рат ,iB що є областю спостереження i -го БПЛА. Його вершини мають координати ( , ),i i i ix y− − ( , ),i i i ix y− + ( , ),i i i ix y+ + ( , ),i i i ix y+ − де tg .i iz =  Сторона квадрата 1,A що сполучає вершини ( , ),i i i ix y− − ( , ),i i i ix y− + та сторона 2 ,A що сполучає вершини ( , ),i i i ix y+ − ( , ),i i i ix y+ + паралельні осі ординат. Нехай 1 1 \ ,iK A G B−=  тобто 1K — множина, що складається з точок сторо- ни 1,A таких, що належать багатокутнику G та не належать множині 1 . m i l l l i B B− =  =  Аналогічно 2 2 \ .iK A G B−=  Множина 1K являє собою суму скінченного числа відрізків 1 ,lK які не перетинаються та лежать на стороні 1,A 1 1 1 1 . q l l K K = =  Анало- гічно множина 2K являє собою суму скінченного числа відрізків 2 ,lK які не пе- ретинаються та лежать на стороні 2 ,A 2 2 2 1 . q l l K K = =  Нехай кінцями відрізка 1lK виступають точки 1( , ),i i lx a− 1( , ),i i lx b− де 1 1 ,l la b а кінцями відрізка 2lK — точки 2( , ),i i lx a+ 2( , ),i i lx b+ де 2 2 .l la b Частинна похідна першого доданка у співвідношенні (1) обчислюється за формулою 2 12 1 2 1 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . l l l l b bq q i i i i i l lx y G B a a W x y dxdy W x y dy W x y dy x = =  = +  − −        (5) Нехай 1 1 ,jQ A G B=  2 2 ,jQ A G B=  .j i Множина 1Q являє собою суму скінченного числа відрізків 1 ,lQ які не перетинаються та лежать на сторо- ні 1,A 1 1 1 1 . r l l Q Q = =  Аналогічно множина 2Q являє собою суму скінченного числа відрізків 2 ,lQ які не перетинаються та лежать на стороні 2 ,A 2 2 2 1 . r l l Q Q = =  Нехай кінцями відрізка 1lQ є точки 1( , ),i i lx c− 1( , ),i i lx d− де 1 1 ,l lc d а кінцями від- Міжнародний науково-технічний журнал Проблеми керування та інформатики, 2025, № 6 35 різка 2lQ — точки 2( , ),i i lx c+ 2( , ),i i lx d+ де 2 2 .l lc d Частинна похідна вели- чини ( , ) ( , ) i jx y G B B W x y dxdy    за умови i j у співвідношенні (1) обчислюється за формулою 2 12 1 2 1 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . l l i j l l d dr r i i i i i l lx y G B B c c W x y dxdy W x y dy W x y dy x = =  = +  − −        (6) Із співвідношень (5), (6) випливає 2 12 1 2 1 1 1 ( ) ( , ) ( , ) l l l l b bq q i i i i i l la a f u W x y dy W x y dy x = =  = +  − −  −     2 12 1 2 1 1 1 1 ( , ) ( , ) . l l l l d dr rm i i i i j l lc c j i W x y dy W x y dy = = =     − +  − −          Таким самим способом розраховуються частинні похідні ( ) , i f u y   ( ) , i f u z   а також праві та ліві частинні похідні за всіма змінними. Нехай вектор ( )g u дорівнює градієнту ( )f u за умови \u U K та вектору правих частинних похідних функції ( )f u за умови .u K Вектор ( )g u є узагаль- неним градієнтом ([22]). Дефект ( )u допустимого розв’язку u U визначимо за формулою ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) , ( , ) x y G x y G W x y dxdy f u u W x y dxdy   −  =   де ( )f u обчислюється за формулою (1). Якщо ( , ) 1W x y = всюди на множині ,G то дефект ( )u допустимого розв’язку u U приймає вигляд ( ) ( ) ( ) . ( ) s G f u u s G −  = Тут ( )f u обчислюється за формулою (4). Зауважимо, що ( ) 0, ;u u U   дефект оптимального розв’язку може бути більшим за нуль. Нехай U — множина елементарних подій, P — імовірність, ( ) 1.P U = (7) Припустимо, для будь-якої точки u U та будь-якого шару ( )b u додатного раді- уса з центром у цій точці виконується співвідношення ( ( ) ) 0.P b u U  (8) 36 ISSN 2786-6491 Обчислення локальних екстремумів методом випадкового пошуку з локаль- ною оптимізацією здійснюється за допомогою методу узагальненого градієнта. Позначимо N задане максимально допустиме число кроків цього методу, 1.N  Правила, що описують метод, такі: a1) покласти 1k = та вибрати початкову точку 1u з множини U випадковим способом відповідно до розподілу ймовірностей ,P для якого виконуються спів- відношення (7), (8), та перейти до a2); a2) обчислити функцію ( )kf u та дефект ( ).ku Нехай ku — найкраща серед точок 1 2, , ..., ,ku u u тобто ( ) ( ), 1, 2,..., .k jf u f u j k = Покласти , ( ).k ku u f f u= = Якщо k N= або ( )ku не перевищує задану допустиму величину дефекту, то ре- зультатом роботи методу вважати точку u та відповідне значення цільової функ- ції f і зупинити роботу методу, інакше — перейти до a3); a3) обчислити 1 ( ( )).k k k U ku u g u+ =  +  Збільшити k на одиницю та перейти до a2). Тут ( )U  — операція проєктування точки  на множину U в евклідовій нормі, k — дійсні числа, 0.k  У [22] доведено, що нескінченнокрокова версія методу узагальненого градієнта збігається до множини точок, у яких виконуються необхідні умови екстремуму. Оскільки задача (3) не є задачею опуклого програмування, за допомогою мето- ду a1)–a3) можна отримати розв’язок, що близький до локального максимуму. Опишемо метод випадкового пошуку з локальною оптимізацією, що дає змогу наблизитися до глобального максимуму. Нехай M — задане максимально допус- тиме число кроків методу, 1.M  б1) Покласти 1,j = 0f = та перейти до б2). б2) Застосувати метод a1)–a3), за допомогою якого обчислюються допусти- мий розв’язок u та значення цільової функції ( ).f f u= Якщо 1j = або ,f f  покласти , ,f f u u= =  та перейти до б3). б3) Якщо j M= або ( )u не перевищує задану допустиму величину дефек- ту, то результатом роботи методу вважати точку u і відповідне значення ці- льової функції f та зупинити роботу методу, інакше — збільшити j на оди- ницю та перейти до б2). Внаслідок того, що на кроці a1) початкова точка 1u вибирається випадковим способом з множини U відповідно до розподілу ймовірностей, що задовольняє умови (7), (8), нескінченнокрокова версія методу випадкового пошуку з локальною оптимізацією ( , )M N=    збігається за цільовою функцією до глобального мак- симуму задачі (3), а локальна оптимізація дає змогу підвищити швидкість збіжності. Результати числових розрахунків Розглянемо приклади застосування методу випадкового пошуку з локальною оптимізацією до задачі (3). У прикладах на рис. 2–5 величини ,x y вимірюються в кілометрах, багатокутник ,G за яким ведеться спостереження, зображений пунк- тирною лінією, а квадрати означають області спостереження БПЛА. На рис. 2–5 представлено результати розрахунків задач, у яких кількість використаних БПЛА m дорівнює відповідно 3, 6, 10, 20. Координати БПЛА , ,i i ix y z отримано в ре- зультаті застосування методу випадкового пошуку з локальною оптимізацією. Вважаємо, що виконується умова ( , ) 1, ( , ) .W x y x y G=  Міжнародний науково-технічний журнал Проблеми керування та інформатики, 2025, № 6 37 Параметри задач, розв’язки яких зображено на рис. 2–5, такі: min 1,x = max min max min max6, 1, 6, 1, 1,5.x y y z z= = = = = У випадках 3, 6, 10,m m m= = = 20m = вибрано відповідно tg 1, tg 0,6, tg 0,5, tg 0,4. =  =  =  = Параметри методу були такими: 5, 3000,M N= = бажане максимальне значення дефекту становить 0,001. Імовірність P визначено так: для кожного БПЛА початкова точка ( , )i ix y вибирається з багатокутника G згідно з рівномірним розподілом імо- вірності на ,G а початкова величина iz незалежно вибирається з проміжку min max[ , ]z z відповідно до рівномірного розподілу на цьому проміжку. Випад- кові елементи ( , , )i i ix y z та ( , , )j j jx y z незалежні, якщо .i j Вибрана таким способом імовірність P не задовольняє (8), але покращує якість результатів. Величини k визначалися за формулою 0,1/ .k k = Вибір k пов’язаний з тим, що у доведенні збіжності методу узагальненого градієнта [22] застосову- ються умови lim 0,k k→  = 1 .k k  =  =  Для всіх чотирьох розв’язків дефект не пе- ревищив 0,012. Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5 0 2 4 y 2 4 x 0 2 4 6 y 2 4 6 x 0 2 4 y 2 4 x 0 2 4 y 2 4 x 6 0 0 0 0 38 ISSN 2786-6491 Уявлення про трудомісткість методу може дати наведена таблиця. Таблиця m tg Дефект Час, с Кількість кроків 3 1,0 0,020 3,57 5574 6 0,6 0,022 9,02 5497 10 0,5 0,022 28,75 7987 20 0,4 0,018 36,82 3127 Для кожного значення 3, 6, 10, 20m m m m= = = = задачу розв’язано 20 разів. Результати виявилися різними, оскільки початкові точки являють собою випадко- ві елементи. Параметри задач та методу вибрані такими самими, як і вищезазна- чені, за виключенням того, що бажане максимальне значення дефекту обирається рівним 0,02. У стовпцях «Дефект» і «Час» наведено відповідні середні значення для одного застосування методу до однієї задачі. Тут час вимірюється в секундах (задачі розв’язувалися на процесорі Intel i3). У стовпці «Кількість кроків» наведе- но середнє значення загальної кількості кроків a3), які виконано під час одного застосування методу до однієї задачі. Отже, числові експерименти свідчать про те, що запропонований метод ви- падкового пошуку з локальною оптимізацією є придатним для розв’язання задачі оптимального розміщення у разі, коли кількість БПЛА має практичний інтерес. Ефективність субградієнтного методу для задач опуклого програмування Задача (3) не є задачею опуклого програмування. Як відомо, складність кла- сів неопуклих задач настільки висока, що гарантоване розв’язання таких задач неможливе [24] (за винятком задач малої розмірності та невисокої точності). У [24] досліджено складність класів задач опуклого програмування, яка виявилася значно нижчою порівняно з загальним випадком. Тому розглянемо ефективність субградієнтного методу для опуклих задач; це дає деяке уявлення про трудоміст- кість методу узагальненого градієнта на етапі локальної оптимізації. Розглянемо задачу опуклого програмування ( ) min. x X x   → (9) Тут 1 2( , ,..., )nx x x x= — вектор n -вимірного евклідового простору ,nE в якому скалярний добуток ,x y  векторів 1 2( , ,..., )nx x x x= та 1 2( , ,..., )ny y y y= визна- чається за формулою 1 , , n j j j x y x y =   =  а норма x вектора x — за формулою 2 2 2 1 2 ... .nx x x x= + + + Множина X опукла, обмежена, замкнена та має просту структуру, на неї легко проєктувати. Вважаємо, що діаметр X дорівнює одиниці; цього можна досягти заміною змінних. Функція ( )x опукла, в кожній точці x X існує субградієнт, тобто n -вимірний вектор ( ),g x такий, що для всіх y X виконується нерівність ( ) ( ) ( ), .y x g x y x   + −  (10) Вважаємо, що ,для будь-як( г) о оg x L x X  (11) де L — константа, .L   Похибка ( )x у точці x X визначається за формулою Міжнародний науково-технічний журнал Проблеми керування та інформатики, 2025, № 6 39 1 ( ) ( ( ) ( )),x x x L  =  −  (12) де x — оптимальний розв’язок задачі (9). Оскільки діаметр множини X дорівнює одиниці та виконуються співвідношення (10), (11), то .для буд к( ) 1 ь-я огоx x X   Вважатимемо, що замість точних значень ( ), ( )x g x відомо наближені зна- чення ( ), ( ),x g x  які для всіх ,x X y X  задовольняють умови ( ) ( ) ( ), ,y x g x y x   + −   (13) 0( ) ( ) ,x x L   − (14) ( ) .g x L (15) Тут 0 — константа, 0 0.  Застосуємо субградієнтний метод: 1 ,x X 1 ( ( )),k k k X kx x g x+ =  −   1 2{ , ,..., } argmin ( ), k k x x x x x x  =  1, 2,...,k = (16) де 0.k  В [24] доведено теорему для методів зеркального спуску, що призначені для банахових просторів. Наведемо спрощений варіант цієї теореми для субградієнт- ного методу та евклідового простору. Теорема. Справедливі нерівності 2 2 1 0 1 1 ( ) , 1, 2, 3,... . 2 k j jk k j j L x k L = = +     + =    (17) Доведення. Для всіх , nx X y E  виконується нерівність ( )X y x −  .y x − Тому 2 2 21 ( ( )) ( )j j j j j X j jx x x g x x x g x x+   − =  − −  − − = ( ) , ( )j j j j j jx g x x x g x x =  − − − −  = 2 222 ( ), ( )j j j j j jx x g x x x g x = − −   −  +  2 2 22 ( ( ) ( )) , 1, 2,..., .j j j jx x x x L j k  − −   − +  = Остання нерівність випливає з нерівностей (13), (15). Оскільки ( ) ( ),j kx x   то 2 21 2 22 ( ( ) ( )) , 1, 2,..., .j j k j jx x x x x x L j k+   −  − −   − +  = Використовуємо (14) та отримуємо 2 21 2 2 02 ( ( ) ( ) ) , 1, 2,..., .j j k j jx x x x x x L L j k+   −  − −   − − +  = З цих співвідношень та з (12) випливає 2 21 2 2 02 ( ( ) ) , 1, 2,..., .j j k j jx x x x L x L j k+  −  − −   − +  = 40 ISSN 2786-6491 Підсумовуємо ці нерівності від 1j = до j k= та отримуємо 2 21 1 2 2 0 1 1 2 ( ( ) ) . k k k k j j j j x x x x L x L+   = = −  − −  −   +   Оскільки 21 1,x x−  то 2 2 0 1 1 0 1 2 ( ( ) ) , k k k j j j j L x L = =  −  −   +   звідси випливає співвідношення (17). Теорему доведено. Зробимо висновки з теореми. Розглянемо скінченнокрокову версію мето- ду (16). Нехай constk =  = та методом передбачено N кроків, 1,N  після чого його робота зупиняється. З (17) випливає 2 2 0 1 ( ) . 2 N L N x LN +     +  Для до- сягнення заданої точності розв’язку 0( ,1]  достатньо вибрати N та  так, щоб виконувалася нерівність ( ) ;Nx   досить, щоб 2 2 0 1 . 2 L N LN +    −   Вибе- ремо 0 . L  −   = З нерівності 2 0 0 0 1 ( ) , 2 ( ) N N +  −    −   −  тобто 2 0( ) 1,N  −   ви- пливає, що достатньо вибрати 2 0 1 , ( ) N   =    −    де  a означає найменше ціле число, не менше за .a Отже, за умов 0 , L  −   = 2 0 1 ( ) N   =    −    похибка методу не перевищує . У [24] побудовано оцінки знизу складності класів опуклих задач, з яких випли- ває, що за умов 0 0, = 1( ) ,X c  2с n   трудомісткість ніякого детермінованого методу не може бути меншою за 3 2 ; c  тут 1 2 3, ,c c c — абсолютні константи, ( )X — асферичність множини X; під трудомісткістю розуміється кількість обчислень зна- чення { ( ), ( )}.x g x  Тому за таких умов метод (16) (із завершенням роботи після ви- конання N -го кроку, де 2 1 ,N   =     та застосуванням / )k L =  є субоптимальним. Нестаціонарні екстремальні задачі розміщення Нестаціонарними екстремальними задачами називаються такі задачі матема- тичного програмування, в яких цільова функція та обмеження змінюються з ча- сом. Задача розміщення (3) є умовною задачею без обмежень, тому вважатимемо, що нестаціонарна задача має вигляд ( , ) min, x X x k   → 1, 2, 3,....k = (18) Тут змінна k відіграє роль часу, ( , )x k — ліпшицеві на X з константою L для кожного k функції, X — опукла замкнена обмежена множина n-вимірного евк- лідового простору діаметру 1. Міжнародний науково-технічний журнал Проблеми керування та інформатики, 2025, № 6 41 Швидкість змін функцій ( , )x k вважається обмеженою: 1,2,... sup sup ( , ) ( , 1) , k x X x k x k L =   − +   (19) де  — константа, 0 .    З (19) випливає, що для натуральних чисел k та ,N таких, що 1 ,k N  справедливі співвідношення ( , ) ( , ) .x k x N LN −   (20) Похибка ( , )x k точки x X для кожного 1, 2, 3,...k = визначається за формулою 1 ( , ) ( ( , ) ( ( ), )),x k x k x k k L  =  −  де ( )x k — оптимальний розв’язок задачі ( , ) min. x X x k   → Скажемо, що послідовність , 1, 2, 3,...,kx k = є розв’язком нестаціонарної за- дачі (18) точності , 0 1,    якщо можна вказати таке ціле число , 1 ,N N   що для кожного k N виконується нерівність ( , ) .kx k   Припустимо, що функції ( , )x k опуклі за ,x у кожній точці x X існує суб- градієнт ( , ),g x k норма якого не перевищує числа .L Вважаємо, що для кожного 1, 2, 3,...k = відомо точні значення функції ( , )x k та її субградієнта ( , ).g x k Опишемо метод, яким будується послідовність , 1, 2, 3,...,kx k = що є розв’язком нестаціонарної задачі (18) точності . Нехай N — ціле число, 1.N  Позначимо 0 2 .N =  Припустимо, що 0 .   Для розв’язання задачі ( , ) min, x X x N   → (21) (тут N — фіксоване число) застосуємо скінченнокрокову версію субградієнтного методу (16), що завершує свою роботу після виконання N -го кроку та застосовує постійні величини .k =  У методі (16) застосовуються такі функції ( ), ( ) :x g x  ( ) ( , ) , ( ) ( , ), 1, 2,..., .x x k LN g x g x k k N =  −  = =  (22) Результатом роботи методу вважається найкраща точка Nx серед побудова- них 1 2, , ..., ,Nx x x тобто 1 2{ , , ..., } argmin ( ). N N x x x x x x  =  З (20), (22) та з опуклості функцій випливає, що для всіх ,x X y X  виконуються нерівності ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), ,y N LN y k x k g x k y x +      + −  тобто ( , ) ( , ) ( , ), ,y N x k LN g x k y x   − + −  звідки випливає співвідношення ( , ) ( ) ( ), .y N x g x y x   + −   (23) 42 ISSN 2786-6491 Також маємо 0( ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ,x x k LN x N LN x N L =  −    −  =  − тобто 0( ) ( , ) .x x N L   − (24) Співвідношення (23), (24) означають, що справедливі нерівності (13), (14), в яких функцію ( )x замінено на ( , ).x N Згідно з припущенням також вико- нується нерівність (15). Тому з теореми попереднього розділу випливає, що на N -му кроці методу (16), де 2 0 1 , ( ) N   =    −    в якому застосовуються величи- ни 0( ) / ,k L = − похибка точки Nx для задачі (21), тобто для N -ї задачі з (18), не перевищує . Водночас має виконуватися умова 0 2 .N =    Точку Nx обчислено з використанням точок 1 2, , ..., ,Nx x x які побудовано методом (16). Зробимо ще один ( 1)N + -й крок методу (16) з 1 0( ) /N L+ = − та побудуємо точку 1Nx + за допомогою точок 2 3 1, , ..., .Nx x x + Похибка точки 1Nx + для ( 1)N + -ї задачі з (18) також не перевищує . Далі отримаємо послідовність точок 1 2, , , ...,N N Nx x x+ + кожна з яких для задач , 1, 2,...N N N+ + з (18) відповід- но має похибку, не більшу за . Отже, побудовано розв’язок нестаціонарної зада- чі (18). Якщо задачі (18) не є задачами опуклого програмування, доцільно спочатку застосувати метод випадкового пушуку з локальною оптимізацією, а потім — нескінченнокрокову версію методу узагальненого градієнта, в якому початко- вою точкою є розв’язок, побудований методом випадкового пошуку з локаль- ною оптимізацією. У разі погіршення якості поточного розв’язку слід знову застосувати метод випадкового пушуку з локальною оптимізацією, після чого знову перейти до методу узагальненого градієнта та продовжувати чергувати ці методи. Висновок У статті розглянуто задачі оптимізації просторового розміщення БПЛА для моніторингу земної поверхні. Метою екстремальних задач є повне покрит- тя важливих ділянок визначеної області на поверхні землі областями спосте- реження БПЛА та мінімізація сумарної площі попарних перетинів областей спостереження БПЛА, що зазвичай збільшує роздільну здатність покриття та зменшує дублювання спостереження. Представлено метод випадкового пошу- ку з локальною оптимізацією. Цільова функція задачі, яку треба максимізува- ти, є негладкою та неувігнутою. Тому на етапі локальної оптимізації застосо- вано метод узагальненого градієнта. Виконано числові експерименти, які за- свідчують можливість застосування запропонованого методу до задач, що мають практичний інтерес. Описано нестаціонарні задачі розміщення (парамет- ри яких змінюються з часом) та запропоновано метод їх розв’язання. Для опук- лих задач наведено оцінки ефективності субградієнтного методу, що дають уявлення про трудомісткість методу узагальненого градієнта на етапі локаль- ної оптимізації. Міжнародний науково-технічний журнал Проблеми керування та інформатики, 2025, № 6 43 P. Andon, S. Pashko OPTIMIZATION OF THE SPATIAL DEPLOYMENT OF UNMANNED AERIAL VEHICLES FOR EARTH SURFACE MONITORING Philip Andon Institute of Software Systems of the NAS of Ukraine, Kyiv, andon@isofts.kiev.ua Serhii Pashko Institute of Software Systems of the NAS of Ukraine, Kyiv, pashko1955@gmail.com Problems of covering observation areas with sensor systems attract significant attention from researchers. Drone systems can be used for monitoring natural phenomena, during rescue operations, in the military sphere, and so on. This pa- per considers optimization problems of the spatial deployment of drones for monitoring the Earth's surface. The objective of the optimization problems is to maximize the coverage of important areas of a defined region of the Earth's sur- face by the observation zones of drones and to minimize the total area of pair- wise intersections of these observation zones, which usually increases the reso- lution of coverage and reduces observation duplication. A random search meth- od with local optimization has been developed. The objective function of the problem to be maximized is nonsmooth and nonconcave. Therefore, at the stage of local optimization, the generalized gradient method is applied. Since at this stage the initial point is chosen randomly from the set of feasible solutions, the infinite-step version of the random search method with local optimization con- verges to the global maximum, while local optimization makes it possible to in- crease the rate of convergence. Numerical experiments have been carried out, demonstrating the applicability of the proposed method to problems of practical interest. For convex problems, estimates of the efficiency of the subgradient method are provided, giving an idea of the computational complexity of the generalized gradient method at the stage of local optimization. Nonstationary placement problems are described, that is, those whose parameters change over time, and a method for solving them is proposed. For convex nonstationary problems, under the condition of a limited rate of change of the objective func- tions, an infinite-step method has been developed that generates a sequence of feasible solutions whose error, starting from a certain step, does not exceed a specified value. Keywords: UAV, observation, polygon, coverage, optimization, generalized gradient, subgradient, method. ПОСИЛАННЯ 1. Coverage control for mobile sensing networks / J. Cortes, S. Martinez, T. Karatas, F. Bullo. IEEE Transactions on Robotics and Automation. 2004. Vol. 20, N 2. P. 243–255. DOI: https://doi.org/ 10.1109/TRA.2004.824698 2. Pashko S.V. Optimal placement of multi-sensor system for threat detection. Cybernetics and Sys- tems Analysis. 2018. Vol. 54, N 2. P. 249–257. DOI: https://doi.org/10.1007/s10559-018-0026-z 3. Optimal sensor placement for underwater threat detection / S. Pashko, A. Molyboha, M. Zabaran- kin, S. Gorovyy. Naval Research Logistics. 2008. Vol. 55, N 7. P. 684–699. DOI: https://doi. org/10.1002/nav.20311 4. Voronoi coverage of non-convex environments with a group of networked robots / A. Breiten- moser, M. Schwager, J.-C. Metzger, R. Siegwart, D. Rus. Proceedings of the 2010 IEEE Interna- tional Conference on Robotics and Automation (ICRA). USA : Anchorage, 03–07 May 2010. P. 4982–4989. DOI: http://dx.doi.org/10.1109/ROBOT.2010.5509696 5. Eyes in the sky: decentralized control for the deployment of robotic camera networks / M. Schwager, B.J. Julian, M. Angermann, D. Rus. Proceedings of the IEEE. 2011. Vol. 99, N 9. P. 1541–1561. DOI: http://dx.doi.org/10.1109/jproc.2011.2158377 https://doi.org/10.1007/s10559-018-0026-z 44 ISSN 2786-6491 6. Cooperative and distributed reinforcement learning of drones for field coverage / H.X. Pham, H.M. La, D. Feil-Seifer, A. Nefian. arXiv. 2018. 9 p. DOI: https://doi.org/10.48550/arXiv.1803. 07250 7. La H.M., Sheng W. Distributed sensor fusion for scalar field mapping using mobile sensor net- works. IEEE Transactions on Cybernetics. 2013. Vol. 43, N 2. P. 766–778. DOI: https://doi. org/10.1109/TSMCB.2012.2215919 8. La H.M., Sheng W., Chen J. Cooperative and active sensing in mobile sensor networks for scalar field mapping. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics: Systems. 2015. Vol. 45, N 1. P. 1–12. DOI: https://doi.org/10.1109/TSMC.2014.2318282 9. Rahman M., Sarkar N.I., Lutui R. A survey on multi-UAV path planning: classification, algo- rithms, open research problems, and future directions. Drones. 2025. Vol. 9, N 4. Art. 263. 32 p. DOI: https://doi:10.3390/drones9040263 10. Multi-UAV area coverage based on relative localization: algorithms and optimal UAV placement / Z. Zhang, X. Xu, J. Cui, W. Meng. Sensors. 2021. Vol. 21, N. 7. ID: 2400. 14 p. DOI: https:// doi.org/10.3390/s21072400 11. Ahmed N., Pawase Ch.J., Chang K.H. Distributed 3-D path planning for multi-UAVs with full area surveillance based on particle swarm optimization. Applied Sciences. 2021. Vol. 11, N 8. ID: 3417. 20 p. DOI: https://doi.org/10.3390/app11083417 12. Multi-UAV cooperative coverage search for various regions based on differential evolution algo- rithm / L. Wang, J. Li, H. Zhang, X. Wang. Biomimetics. 2024. Vol. 9, N 7. ID: 327. 17 p. DOI: https://doi.org/10.3390/biomimetics9070384 13. Informative path planning for active field mapping under localization uncertainty / M. Popović, T. Vidal-Calleja, J.J. Chung, J. Nieto, R. Siegwart. arXiv. 2019. [arXiv:1902.09660v3]. 8 p. DOI: https://doi.org/10.48550/arXiv.1902.09660 14. Online path planning for active information gathering of a 3D surface / H. Zhu, J.J. Chung, N.R.J. Lawrance, R. Siegwart, J. Alonso-Mora. arXiv. 2021. 7 p. DOI: https://doi.org/10.48550/ arXiv.2103.09556 15. Optimized unmanned aerial vehicles deployment for static and mobile targets’ monitoring / F. Al-Turjman, H. Zahmatkesh, I. Al-Oqily, R. Daboul. Computer Communications. 2020. Vol. 149, N C. P. 27–35. DOI: https://doi.org/10.1016/j.comcom.2019.10.001 16. Balanced multi-UAV path planning for persistent monitoring / X. Zhan, Y. Chen, X. Chen, W. Zhang. Robotica. 2025. Vol. 43, N 1. P. 332–349. DOI: https://doi.org/10.1017/ S0263574724001899 17. Multi-UAV area coverage based on relative localization: algorithms and optimal UAV placement / Z. Zhang, X. Xu, J. Cui, W. Meng. Sensors. 2021. Vol. 21, N 7. ID: 2400. 14 p. DOI: https:// doi.org/10.3390/s21072400 18. Nathan R.J.A.A., Kurmi I., Bimber O. Drone swarm strategy for the detection and tracking of oc- cluded targets in complex environments. Communications Engineering. 2023. Vol. 2, N 1. ID: 55. 12 p. DOI: https://doi.org/10.1038/s44172-023-00104-0 19. Yan X., Chen R., Jiang Z. UAV cluster mission planning strategy for area coverage tasks. Sen- sors. 2023. Vol. 23, N 22. ID: 9122. 21 p. DOI: https://doi.org/10.3390/s23229122 20. Fang Z., Savkin A.V. Strategies for optimized UAV surveillance in various tasks and scenarios: a review. Drones. 2024. Vol. 8, N 5. ID: 193. 41 p. DOI: https://doi.org/10.3390/drones8050193 21. Papadimitriou C.H., Steiglitz K. Combinatorial optimization: algorithms and complexity. Cor- rected, unabridged republication. Mineola : Dover Publications, Incorporated, 1998. 528 p. 22. Mikhalevich V.S., Gupal A.M., Norkin V.I. Methods of nonconvex optimization. M. : Nauka, 1987. 280 p. (in Russian). 23. Papadimitriou C.H., Roughgarden T. Computing correlated equilibria in multi-player games. Journal of the ACM (JACM). 2008. Vol. 55, N 3. Art. 14. 29 p. DOI: https://doi.org/10.1145/ 1379759.1379762 24. Nemirovsky A.S., Yudin D.B. The complexity of problems and the efficiency of optimization methods. M. : Nauka, 1979. 383 p. (in Russian). Отримано 28.10.2025 https://doi.org/10.48550/arXiv.1902.09660 https://doi.org/10.48550/arXiv.2103.09556 https://doi.org/10.48550/arXiv.2103.09556 https://doi.org/10.1016/j.comcom.2019.10.001 https://www.cambridge.org/core/journals/robotica/article/balanced-multiuav-path-planning-for-persistent-monitoring/CE470EE46AB8FD2855016020E8C2E51C https://doi.org/10.1017/S0263574724001899 https://doi.org/10.1017/S0263574724001899 https://doi.org/10.1038/s44172-023-00104-0 https://www.mdpi.com/1424-8220/23/22/9122 https://doi.org/10.3390/s23229122 https://doi.org/10.3390/drones8050193 https://www.google.com/books?hl=uk&lr=&id=cDY-joeCGoIC&oi=fnd&pg=PP1&dq=papadimitriou+steiglitz+combinatorial+optimization&ots=XnJ1um9ck8&sig=JhwPA37reqzAqGaLFR7obYMj5X8 https://doi.org/10.1145/1379759.1379762 https://doi.org/10.1145/1379759.1379762
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-211469
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0572-2691
language	Ukrainian
last_indexed	2026-03-18T01:08:08Z
publishDate	2025
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Андон, П.І. Пашко, С.В. 2026-01-03T09:52:17Z 2025 Оптимізація просторового розміщення безпілотних літальних апаратів для моніторингу земної поверхні / П.І. Андон, С.В. Пашко // Проблемы управления и информатики. — 2025. — № 6. — С. 29-44. — Бібліогр.: 24 назв. — укр. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/211469 519.8 10.34229/1028-0979-2025-6-2 У статті розглянуто задачі оптимізації просторового розміщення БПЛА для моніторингу земної поверхні. Метою таких задач є максимізація покриття важливих ділянок на визначеній області земної поверхні областями спостереження БПЛА та мінімізація сумарної площі попарних перетинів цих областей, що зазвичай збільшує роздільну здатність покриття та зменшує дублювання спостереження. Розроблено метод випадкового пошуку з локальною оптимізацією. This paper considers optimization problems of the spatial deployment of drones for monitoring the Earth's surface. The objective of the optimization problems is to maximize the coverage of important areas of a defined region of the Earth's surface by the observation zones of drones and to minimize the total area of pairwise intersections of these observation zones, which usually increases the resolution of coverage and reduces observation duplication. A random search method with local optimization has been developed. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблеми керування та інформатики Методи оптимізації та оптимальне керування Оптимізація просторового розміщення безпілотних літальних апаратів для моніторингу земної поверхні Optimization of the spatial deployment of unmanned aerial vehicles for Earth surface monitoring Article published earlier
spellingShingle	Оптимізація просторового розміщення безпілотних літальних апаратів для моніторингу земної поверхні Андон, П.І. Пашко, С.В. Методи оптимізації та оптимальне керування
title	Оптимізація просторового розміщення безпілотних літальних апаратів для моніторингу земної поверхні
title_alt	Optimization of the spatial deployment of unmanned aerial vehicles for Earth surface monitoring
title_full	Оптимізація просторового розміщення безпілотних літальних апаратів для моніторингу земної поверхні
title_fullStr	Оптимізація просторового розміщення безпілотних літальних апаратів для моніторингу земної поверхні
title_full_unstemmed	Оптимізація просторового розміщення безпілотних літальних апаратів для моніторингу земної поверхні
title_short	Оптимізація просторового розміщення безпілотних літальних апаратів для моніторингу земної поверхні
title_sort	оптимізація просторового розміщення безпілотних літальних апаратів для моніторингу земної поверхні
topic	Методи оптимізації та оптимальне керування
topic_facet	Методи оптимізації та оптимальне керування
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/211469
work_keys_str_mv	AT andonpí optimízacíâprostorovogorozmíŝennâbezpílotnihlítalʹnihaparatívdlâmonítoringuzemnoípoverhní AT paškosv optimízacíâprostorovogorozmíŝennâbezpílotnihlítalʹnihaparatívdlâmonítoringuzemnoípoverhní AT andonpí optimizationofthespatialdeploymentofunmannedaerialvehiclesforearthsurfacemonitoring AT paškosv optimizationofthespatialdeploymentofunmannedaerialvehiclesforearthsurfacemonitoring

Оптимізація просторового розміщення безпілотних літальних апаратів для моніторингу земної поверхні

Репозитарії

Схожі ресурси