Використання гетерогенних математичних моделей до розв’язування задач тепломасоперенесення в середовищах із тонкими неоднорідностями
У статті розглядається математична модель та алгоритми розв’язування задач перенесення субстанції у середовищах, що містять тонкі канали. Запропонована математична модель передбачає використання рівнянь дифузії в основному середовищі та рівнянь адвекції-дифузії у тонких включеннях. Складна структура...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
|---|---|
| Datum: | 2006 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2006
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21297 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Використання гетерогенних математичних моделей до розв’язування задач тепломасоперенесення в середовищах із тонкими неоднорідностями / В. Кухарський, Н. Кухарська, Я. Савула // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 132-141. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859941147755937792 |
|---|---|
| author | Кухарський, В. Кухарська, Н. Савула, Я. |
| author_facet | Кухарський, В. Кухарська, Н. Савула, Я. |
| citation_txt | Використання гетерогенних математичних моделей до розв’язування задач тепломасоперенесення в середовищах із тонкими неоднорідностями / В. Кухарський, Н. Кухарська, Я. Савула // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 132-141. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| description | У статті розглядається математична модель та алгоритми розв’язування задач перенесення субстанції у середовищах, що містять тонкі канали. Запропонована математична модель передбачає використання рівнянь дифузії в основному середовищі та рівнянь адвекції-дифузії у тонких включеннях. Складна структура середовища вимагає використання співвідношень різної вимірності у побудованій системі ключових рівнянь і застосування спеціально адаптованих схем методу скінченних елементів на етапі числового розв’язування задачі. Особливості геометрії середовища, відповідні методи математичного моделювання та числового дослідження є факторами, що обумовлюють гетерогенність запропонованої моделі.
В статье рассматриваются математические модели и алгоритмы решения задач переноса субстанции в телах с тонкими каналами. Предложенная математическая модель предусматривает использование уравнений диффузии в основной среде и уравнений адвекции-диффузии в тонких включениях. Сложная структура среды требует использования соотношений разной размерности в построенной системе ключевых уравнений, а также применения специально адаптированных схем метода конечных элементов на этапе численного решения задачи. Особенности геометрии среды и соответствующие методы математического моделирования и числового исследования являются факторами, обуславливающими гетерогенность предложенной модели.
The mathematical models and algorithms of substance transfer problems in environments which contain thin channels are considered. Mathematical model provides use of diffusion equations in the basic environment and advection — diffusion equations in thin inclusions. The complex structure of environment, demands use of equations of different measurability in the constructed system of the key equations and applications of specially adapted schemes of finite element method for numerical solving of this problem. The complex structure of environment and apportionment methods of mathematical modeling and numerical research are conditioning factors for heterogeneity of the offered model.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:11:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
Використання гетерогенних математичних моделей
до розв’язування задач тепломасоперенесення
в середовищах із тонкими неоднорідностями
Віталій Кухарський1, Наталія Кухарська2, Ярема Савула3
1 к. ф.-м. н., Львівський національний університет імені Івана Франка, вул. Університетська, 1, Львів, 79000,
e-mail: vetaley@franko.lviv.ua
2 к. ф.-м. н., Львівський державний університет безпеки життєдіяльності, вул. Клепарівська, 35, Львів, 79000
3 д. ф.-м. н., професор, Львівський національний університет імені Івана Франка, вул. Університетська, 1,
Львів, 79000, e-mail: savula@franko.lviv.ua
У статті розглядається математична модель та алгоритми розв’язування задач перене-
сення субстанції у середовищах, що містять тонкі канали. Запропонована математична
модель передбачає використання рівнянь дифузії в основному середовищі та рівнянь адвекції-
дифузії у тонких включеннях. Складна структура середовища вимагає використання спів-
відношень різної вимірності у побудованій системі ключових рівнянь і застосування спеці-
ально адаптованих схем методу скінченних елементів на етапі числового розв’язування за-
дачі. Особливості геометрії середовища, відповідні методи математичного моделювання та
числового дослідження є факторами, що обумовлюють гетерогенність запропонованої моделі.
Ключові слова: середовище з тонкими включеннями, дифузія, адвекція-
дифузія, метод скінченних елементів.
Вступ. Значна кількість актуальних задач мікроелектроніки, біології, медицини,
охорони довкілля передбачає дослідження процесів перенесення субстанції у се-
редовищах складної структури. Такі середовища можуть містити включення, що за
розмірами не суттєво відрізняються від інших складових середовища, а також
включення, в яких один, два або й усі три розміри є суттєво менші від інших. Для
знаходження розв’язків задач першого типу, як правило, використовують тради-
ційні аналітичні та числові підходи. Задачі другого типу вимагають розробки спе-
ціальних математичних моделей і відповідних алгоритмів числового розв’язування.
У роботі запропоновано математичну модель тепломасоперенесення, яка дозво-
ляє враховувати малу товщину криволінійних каналів, присутніх у середовищі.
1. Формулювання задачі
Розглянемо тіло з тонкими криволінійними каналами (рис. 1). Поділимо тіло на
об’ємну частину та тонкі канали [1-4]. Розглянемо окремо кожен криволінійний
канал Θi. Побудуємо для такого каналу криволінійну систему координат α1α2,
пов’язану із заданою параметрично серединною кривою x1 = x1(α1), x2 = x2(α1) та-
ким чином, щоб координата α1 відповідала напрямку дотичної до кривої, а коор-
дината α2 — напрямку нормалі.
УДК 17.958:519.65
132
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 132-141
133
Ωi
Ωi+1
Ωi-1
Θi-1 Θi
Γu
i-1 Γu
i+1
Γd
i-1 Γd
i Γd
i+1
α2
α1
-h +h
αd
1
αu
1
Гi
-
-1 Гi
+
-1 Гi
-
Гi
+
Γl
Γr
Γu
i
Рис. 1. Середовище з тонкими каналами
У введеній системі координат кожен криволінійний канал Θi можна описа-
ти наступним співвідношенням
{ }1 2 1 1 1 2: ,d u
i i ih hΘ = α α α ≤ α ≤ α − ≤ α ≤ , (1)
де hi — півтовщина каналу, яка є малою величиною відносно характерного розмі-
ру тіла.
Компоненти gij метричного тензора ортогональної системи координат α1α2
мають вигляд
( )2
11 22 12 21 2, 1, 0; = 1+g H g g g H A K= = = = α ,
де ( ) ( )2 2
1 2A x x′ ′= + — коефіцієнт Ляме параметрично заданої кривої, K =
( ) 3
2112 Axxxx ′′′+′′′= — її кривина.
Зважаючи на малу товщину каналу, розподіл шуканої концентрації субстан-
ції ( )i
chT у кожному з каналів, подамо у вигляді лінійного закону за змінною α2
( ) ( ) ( )( ) ( ) 2
1 11 2, ,ii i
chT t t
h
α
= τ α + τ α (2)
де τ — час, ( ) ( ) ( )( )
1 11 2, , ,iit tτ α τ α — нові невідомі функції, 1,i n= .
Позначимо через Ti — розподіл концентрації субстанції у кожній із n + 1
об’ємних частин Ωi тіла.
Математична модель задач тепломасоперенесення для середовища з n тон-
кими криволінійними каналами включає: основні співвідношення, граничні та
– h h
Віталій Кухарський, Наталія Кухарська, Ярема Савула
Використання гетерогенних математичних моделей до розв’язування задач ...
134
початкові умови, отримані з урахуванням припущення про лінійний закон розпо-
ділу (2) невідомої функції за товщиною у тонких криволінійних каналах [2-4];
рівняння дифузії в областях Ωi, граничні умови на границях , u d
i iΓ Γ областей Ωi,
а також початкові умови в областях Ωi, де 1, 1i n= + ; умови спряження на спіль-
них границях 1 1,i i− −
− +Γ Γ об’ємних областей та каналів.
Таким чином, основні рівняння тепломасоперенесення в середовищі з тон-
кими криволінійними каналами можуть бути подані у наступному вигляді.
Рівняння адвективно-дифузійного перенесення в тонких каналах
( ) ( )
( )
( )
0
0 0 0
1 1 1
1 ,
i i
i i i i
i i i i i i i
i i
w
A A
∂ ∂ λ ∂∂
κ + κ − + λ =
∂τ ∂ α ∂α ∂α
u u uM L P u f (3)
де
]( ( )1 2 10, , , ix x −τ∈ γ ∈Θ , ( ) ( )
1 2( , )i i T
i t t=u ,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
1
1 1
1 1
i i i i i i i
i
i i i i i i i
q K h q K h q
q K h q K h q
+ −
+ −
− + − −
=
− + + −
f ,
1 0
,
0
3
i ih
=
L
0 0
10i
ih
=
P , 2
1
3 ,
3 3
i i
i
i i i
K h
K h h
=
M
тут wi — швидкість адвективного перенесення у напрямку α1, 1,i n= ;
крайові умови на границі кожного з каналів
( )
( )
0
1
u ui i
i i i i
i
d u u
A d
λ
= µ −
α
uN , 1 1
uα = α , (4)
( )
( )
0
1
d di i
i i i i
i
d u u
A d
λ
= µ −
α
uN , 1 1
dα = α ; (5)
початкові умови в тонкому каналі
( )
00 ,i
i τ= =u u (6)
де
2
1
3 ,
3 3
i i
i
i i i
K h
K h h
−
=
−
N
( )
( )
( )
11
0 ( )
12
0,
,
0,
i
i i
t
tτ=
α
=
α
u
0
1( )
0 0
2
,ii
i
t
t
=
u
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 132-141
135
( )0
1 1 2 2
1 (0, , ) ,
2
i
i
h
i
i ch
i h
t T d
h −
= α α α∫ ( )0
2 1 2 2 22
3 (0, , )
2
i
i
h
i
i ch
i h
t T d
h −
= α α α α∫ ;
рівняння дифузії в об’ємних частинах тіла
]( ( )1 2
1 1 2 2
, 0, , ,i i i
i i i i i
T T T q x x
x x x x
∂ ∂ ∂∂ ∂
− λ − λ + κ = τ∈ γ ∈Ω
∂ ∂ ∂ ∂ ∂τ
, (7)
тут 1, 1i n= + , γ — довжина проміжку часу, ( ) ( )( ) ( )
1 11 2, , ,i it tτ α τ α — невідомі функ-
ції розкладу (2), Ti — шукані розподіли концентрацій субстанції в Ωi, wi — швидкість
адвентивного перенесення в області тонкого включення Θi, ( ) ( )(0) 2 i i
i i ch chh cκ = ρ ,
( )(0) 2 i
i i chhλ = λ , ( ) ( )0 ( )
2 11
i
i
h
i
i ich
h
q q d
−
= + α Κ α∫ , ( )( )(1)
2 2 11
h
i
i ich
h
q q d
−
= +α Κ α α∫ , ( ) 0i
ch Constλ = ≥ ,
( ) 0i
ch Constλ = ≥ — коефіцієнти дифузії (теплопровідності) у включеннях Θi,
0i Constλ = ≥ — коефіцієнти дифузії (теплопровідності) у середовищах Ωi, (0) 1iκ = ,
1iκ = — для задач масоперенесення, (0) 0i Constκ = ≥ ; для задач теплопровідності:
0i Constκ = ≥ — об’ємні теплоємності в Θi та Ωi, ( )( ) , ii
ch chcρ — густина та коефіці-
єнти теплоємності у включеннях Θi, ( )( ) ( )
1,i i
ch chq q= τ α , ( )1 2, ,i iq q x x= τ — інтен-
сивності теплових джерел у Θi та Ωi відповідно.
До цих рівнянь необхідно додати граничні умови на верхніх u
iΓ та нижніх d
iΓ
границях кожної з об’ємних частин
( ) ( )1 2
, ,i
u u ui
i i i i
T T T x x
n
∂
−λ = β − ∈Γ
∂
, (8)
( ) ( )1 2
, ,d d di
i i i i i
T T T x x
n
∂
−λ = β − ∈Γ
∂
, (9)
умови ізольованості на лівій та правій границях тіла
( )0
0 1 2
0, , lT x x
n
∂
−λ = ∈Γ
∂
, (10)
( )1
1 1 2
0, , rn
n
T x x
n
+
+
∂
−λ = ∈Γ
∂
, (11)
n — зовнішня нормаль до границі, умови спряження на ,i i
− +Γ Γ
( )( )
1 2
2
, на ii i
i i i i
TT t t q− −∂
= − λ = Γ
∂α
, (12)
Віталій Кухарський, Наталія Кухарська, Ярема Савула
Використання гетерогенних математичних моделей до розв’язування задач ...
136
( ) ( ) 1
1 1 2
2
, на i i i
i i i i
TT t t q+ ++
+
∂
= + − λ = Γ
∂α
, (13)
та початкові умови у внутрішніх точках об’ємних частин Ωi тіла
( ) ( )0
1 20, ,i iT x x T= . (14)
2. Варіаційне формулювання
Для побудови варіаційного формулювання задачі стосовно областей Θi введемо
простір
( ) ( ) ( ) ( ){ }1
1 1 1 12 , ,u dV v v W= α α ∈ α α
а стосовно областей Ωi —
( ) ( ) ( ) ( ){ }1*
1 2 1 2 2, , iV v x x v x x W= ∈ Ω .
Зважаючи на громіздкість виведення та запису загального варіаційного фор-
мулювання задачі, наведемо її тільки для тонких криволінійних включень. Для
цього введемо білінійні та лінійні форми
( ) ( )
1
1
0
1,
d
u
T
Ti
i i
dm Ad
d
α
α
′ = κ α
τ∫
uu v M v , ( ) ( )
1
1
0
1
1
,
d
u
Ti
i i i
da d
d
α Τ
α
= κ α
α∫
uu v W L v ,
( )
( )
( )
1 1
1 1
0
0
1 1
1 1
,
d d
u u
T Ti
i i i i
d db d Ad
d d
α αΤ
Τ
α α
λ
= α + λ α
Α α α∫ ∫
u vu v N u P v , ( )
1
1
1
d
u
il Ad
α
Τ
α
= α∫v f v ,
де ( )0iw=W , ( )1 2v v Τ=v — довільна вектор-функція, компоненти якої
v1, v2 ∈ V.
Тоді варіаційне формулювання матиме наступний вигляд.
Знайти вектор-функцію { }( ) ( )
1 2, ,i i
i u u=u де ( )( ) ( )
21 2, 0, ;i iu u L V∈ γ , таку що
( ) ( ) ( ) ( ), , , ,i i im a b l′ + + =u v u v u v v (15)
( )( ) , 0,i
im − =0u u v (16)
{ }1 2, ,v v Τ∀ =v
де 1 2, .v v V∈
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 132-141
137
3. Числове розв’язування
Згідно з процедурою Гальоркіна, використаємо розклад за базисом
( ) ( ) ( )1 1 11
1
, ,
N
j j
j
u uη
=
τ α = τ ϕ α∑ ( ) ( ) ( )1 2 12
1
, ,
N
j j
j
u uη
=
τ α = τ ϕ α∑ (17)
де { }1 2, ,
T
u uη η=ηu ( ) ( ) ( )1 1 21 2, , , 0, ;u u L Vη η
ητ α τ α ∈ γ , φi(α1) — базисні функції
( 1,i N= ).
У такий спосіб уведені напівдискретні апроксимації дозволяють отримати
напівдискретизовану за просторовими змінними варіаційну задачу.
Знайти uη такі, що
( ) ( ) ( ) ( ), ,m a b l′ + + =η η ηu u u ,u u ,u u% % % % (18)
( )( ) { }1 1 2 1 20, , 0, , , , ,Tm u u u u Vηα − = ∀ = ∈η 0u u u u% % % % % % (19)
де { }0 0
1 2,
T
u u=0u . Потрібно визначити поведінку розв’язку в часі, тобто 2N неві-
домих функцій часу ( ) ( )1 2,j ju uτ τ .
Дискретизація одновимірними квадратичними лагранжевими скінченними
елементами передбачає поділ проміжку 1 1,u d α α на скінченні елементи
( ) ( 1)
1 1,k k+ α α .
Скориставшись матричним поданням наближеного розв’язку на кожному
елементі у випадку квадратичних апроксимацій, отримаємо
e e
η =u T g ,
де 1 2 3
1 2 3
0 0 0
,
0 0 0e
ϕ ϕ ϕ
= ϕ ϕ ϕ
T { }11 12 13 21 22 23, , , , , T
e u u u u u u=g .
Використання двох змінних )(
1
iu , )(
2
iu у співвідношеннях варіаційного фор-
мулювання для тонких каналів додає певні труднощі при розв’язуванні задачі. Це
ускладнення зумовлене специфікою просторової сітки в області тонкого каналу,
що дозволяє коректно врахувати умови спряження областей. При цьому маємо
збільшення розміру локальних матриць методу скінченних елементів відповідно
у два рази.
Розглянемо випадки використання лінійних і квадратичних апроксимацій.
Побудовані локальні матриці на кожному скінченному елементі матимуть струк-
туру, продиктовану виглядом білінійних форм.
Віталій Кухарський, Наталія Кухарська, Ярема Савула
Використання гетерогенних математичних моделей до розв’язування задач ...
138
Можливість зведення величин )(
1
iu , )(
1
iu до )(i
chT , яка є характеристикою суб-
станції поряд із Ti, забезпечує матриця перетворень B, яка у випадку квадратич-
них апроксимацій має наступний вигляд
1 0 0 1 0 0
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1
0 0 1 0 0 1
−
=
−
−
B .
Форма матриці B пов’язана з локальною нумерацією на скінченному еле-
менті, яка передбачає роздвоєння вузлів у одній точці.
Дискретизація двовимірними скінченними елементами в областях Ωi вимагає
використання апроксимацій на криволінійних чотирикутниках. Використовуються
восьмиточкові двовимірні елементи у вигляді криволінійних чотирикутників та відпо-
відні біквадратичні системи базисних функцій. Інтегрування здійснюється з ви-
користанням квадратурних формул Гауса відповідного порядку.
Розв’язування задачі в часі проводилося з використанням різницевої схеми
Кранка-Ніколсона.
4. Числові приклади
Розглянемо приклад нестаціонарної задачі теплоперенесення в середовищі з тон-
кими включеними криволінійними каналами, що мають інші фізичні характерис-
тики (рис. 2).
Рис. 2. Середовище з трьома каналами
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 132-141
139
Товщини каналів, коефіцієнти теплопровідності та об’ємної теплоємності,
швидкості адвективного перенесення в каналах приймали такими: h1 = h2 = h3 = 0,01 м,
w1 = w2 = w3 = 0,4 м/c, (1) (2) (3) Дж0,54
м с Кch ch chλ = λ = λ = , (1) (2) (3)
3
Дж4,182
м Кch ch chκ = κ = κ = .
Об’ємні ділянки тіла характеризуються однаковими коефіцієнтами теплопровід-
ності й об’ємної теплоємності: λ1 = … = λ4 = 0,03
Ксм
Дж , 1 4 3
Дж... 1,789
м К
κ = = κ = .
На верхніх границях u
1Γ , u
2Γ , u
3Γ , u
4Γ та ( )
1 1
uα = α (для кожного каналу) задають-
ся значення температур зовнішнього середовища, що відповідають величинам
(1) (4)... 50 Co
u uT T= = = , на нижніх — (1) (4)... 0 Co
d dT T= = = . При цьому коефіцієнти
теплообміну на верхніх і нижніх границях вибирали рівними ==β=β==β ...... 141
udd
3
4 10=β= u , 3
1 3 1 3... ... 10d d u uµ = = µ = µ = = µ = .
Область дискретизується біквадратичними скінченними елементами. Побу-
дована сітка включає 48 елементів (8 у напрямку x2, 6 у напрямку x1 у кожній із
підобластей). Дискретизацію в часі проводили з кроком ∆τ = 0,1 c. Початкову
температуру в усіх частинах середовища, у тому числі й у каналах, приймали
рівною нулю.
На рис. 3 та 4 показано розподіл температур у середовищі з тонкими вклю-
ченими каналами у момент часу τ = 500 c для різних швидкостей адвективного
перенесення wi = 0,1 м/с та wi = 0,4 м/с. Характер розподілу відповідає очікуваним
даним і засвідчує, що швидкість адвективного перенесення у тонких включених
каналах суттєво впливає на кінцевий розподіл субстанції в усьому середовищі.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
2
4
6
8
10
Рис. 3. Зображення області при значенні швидкості wi = 0,1 м/с
Віталій Кухарський, Наталія Кухарська, Ярема Савула
Використання гетерогенних математичних моделей до розв’язування задач ...
140
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
2
4
6
8
10
Рис. 4. Зображення області при значенні швидкості wi = 0,4 м/с
Висновки. У роботі запропоновано математичну модель, що описує процес пере-
несення субстанції у середовищах із включеними тонкими криволінійними шара-
ми. Побудовано відповідне варіаційне формулювання, запропоновані числові
схеми розв’язування задачі. Розроблені алгоритми та відповідне програмне забез-
печення дозволяє отримати числові розв’язки задачі, достовірність яких пере-
вірена на спрощених одновимірних задачах, для яких відомі аналітичні розв’яз-
ки. Отримані результати засвідчують вагомість впливу чужорідних включень на
процеси перенесення в усьому середовищі, що стає ще суттєвішим у разі адвек-
тивного перенесення у тонких каналах.
Література
[1] Quarteroni A. Multifields Modeling in Numerical Simulation of Partial Differential
Equations // GAAM-Mitteilungen. — 1996. — Heft 1. — P. 45-63.
[2] Savula Ya. H., Koukharskyi V. M., Chaplia Ye. Ya. Numerical Analysis of Advection-
Diffusion in the continuum with thin canal // Numerical Heat Transfer. Part A. — 1998. —
33(3). — P. 341-351.
[3] Кухарський В., Савула Я. Дослідження варіаційних задач адвекції-дифузії у середо-
вищах із тонкими неоднорідностями // Вісник Львівського університету. Серія
прикладна математика та інформатика. — 2000. — Вип. 2. — С. 155-162.
[4] Кухарський В. М., Савула Я. Г., Копитко М. Ф. Чисельне дослідження задач адвек-
ції-дифузії у середовищах із включеними тонкими криволінійними шарами //
Волинськ. математ. вісник. — 2001. — Вип. 8. — С. 86-92.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2006, вип. 4, 132-141
141
Application of Heterogeneous Mathematical Models
for the Solving of Heat and Mass Transfer Problems
in Environments with Thin Heterogeneities
Vitaliy Kukharskyy, Nataliya Kukharska, Yarema Savula
The mathematical models and algorithms of substance transfer problems in environments which
contain thin channels are considered. Mathematical model provides use of diffusion equations in
the basic environment and advection — diffusion equations in thin inclusions. The complex struc-
ture of environment, demands use of equations of different measurability in the constructed system
of the key equations and applications of specially adapted schemes of finite element method for
numerical solving of this problem. The complex structure of environment and apportionment me-
thods of mathematical modeling and numerical research are conditioning factors for heterogenei-
ty of the offered model.
Использование гетерогенных математических моделей
к решению задач тепломассопереноса в средах
с тонкими неоднородностями
Виталий Кухарский, Наталия Кухарская, Ярема Савула
В статье рассматриваются математические модели и алгоритмы решения задач переноса
субстанции в телах с тонкими каналами. Предложенная математическая модель преду-
сматривает использование уравнений диффузии в основной среде и уравнений адвекции-
диффузии в тонких включениях. Сложная структура среды требует использования соот-
ношений разной размерности в построенной системе ключевых уравнений, а также приме-
нения специально адаптированных схем метода конечных элементов на этапе численного
решения задачи. Особенности геометрии среды и соответствующие методы математи-
ческого моделирования и числового исследования являются факторами, обуславливающими
гетерогенность предложенной модели.
Отримано 06.07.06
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-21297 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1816-1545 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:11:26Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кухарський, В. Кухарська, Н. Савула, Я. 2011-06-15T21:38:11Z 2011-06-15T21:38:11Z 2006 Використання гетерогенних математичних моделей до розв’язування задач тепломасоперенесення в середовищах із тонкими неоднорідностями / В. Кухарський, Н. Кухарська, Я. Савула // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 132-141. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21297 17.958:519.65 У статті розглядається математична модель та алгоритми розв’язування задач перенесення субстанції у середовищах, що містять тонкі канали. Запропонована математична модель передбачає використання рівнянь дифузії в основному середовищі та рівнянь адвекції-дифузії у тонких включеннях. Складна структура середовища вимагає використання співвідношень різної вимірності у побудованій системі ключових рівнянь і застосування спеціально адаптованих схем методу скінченних елементів на етапі числового розв’язування задачі. Особливості геометрії середовища, відповідні методи математичного моделювання та числового дослідження є факторами, що обумовлюють гетерогенність запропонованої моделі. В статье рассматриваются математические модели и алгоритмы решения задач переноса субстанции в телах с тонкими каналами. Предложенная математическая модель предусматривает использование уравнений диффузии в основной среде и уравнений адвекции-диффузии в тонких включениях. Сложная структура среды требует использования соотношений разной размерности в построенной системе ключевых уравнений, а также применения специально адаптированных схем метода конечных элементов на этапе численного решения задачи. Особенности геометрии среды и соответствующие методы математического моделирования и числового исследования являются факторами, обуславливающими гетерогенность предложенной модели. The mathematical models and algorithms of substance transfer problems in environments which contain thin channels are considered. Mathematical model provides use of diffusion equations in the basic environment and advection — diffusion equations in thin inclusions. The complex structure of environment, demands use of equations of different measurability in the constructed system of the key equations and applications of specially adapted schemes of finite element method for numerical solving of this problem. The complex structure of environment and apportionment methods of mathematical modeling and numerical research are conditioning factors for heterogeneity of the offered model. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Використання гетерогенних математичних моделей до розв’язування задач тепломасоперенесення в середовищах із тонкими неоднорідностями Application of Heterogeneous Mathematical Models for the Solving of Heat and Mass Transfer Problems in Environments with Thin Heterogeneities Использование гетерогенных математических моделей к решению задач тепломассопереноса в средах с тонкими неоднородностями Article published earlier |
| spellingShingle | Використання гетерогенних математичних моделей до розв’язування задач тепломасоперенесення в середовищах із тонкими неоднорідностями Кухарський, В. Кухарська, Н. Савула, Я. |
| title | Використання гетерогенних математичних моделей до розв’язування задач тепломасоперенесення в середовищах із тонкими неоднорідностями |
| title_alt | Application of Heterogeneous Mathematical Models for the Solving of Heat and Mass Transfer Problems in Environments with Thin Heterogeneities Использование гетерогенных математических моделей к решению задач тепломассопереноса в средах с тонкими неоднородностями |
| title_full | Використання гетерогенних математичних моделей до розв’язування задач тепломасоперенесення в середовищах із тонкими неоднорідностями |
| title_fullStr | Використання гетерогенних математичних моделей до розв’язування задач тепломасоперенесення в середовищах із тонкими неоднорідностями |
| title_full_unstemmed | Використання гетерогенних математичних моделей до розв’язування задач тепломасоперенесення в середовищах із тонкими неоднорідностями |
| title_short | Використання гетерогенних математичних моделей до розв’язування задач тепломасоперенесення в середовищах із тонкими неоднорідностями |
| title_sort | використання гетерогенних математичних моделей до розв’язування задач тепломасоперенесення в середовищах із тонкими неоднорідностями |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21297 |
| work_keys_str_mv | AT kuharsʹkiiv vikoristannâgeterogennihmatematičnihmodeleidorozvâzuvannâzadačteplomasoperenesennâvseredoviŝahíztonkimineodnorídnostâmi AT kuharsʹkan vikoristannâgeterogennihmatematičnihmodeleidorozvâzuvannâzadačteplomasoperenesennâvseredoviŝahíztonkimineodnorídnostâmi AT savulaâ vikoristannâgeterogennihmatematičnihmodeleidorozvâzuvannâzadačteplomasoperenesennâvseredoviŝahíztonkimineodnorídnostâmi AT kuharsʹkiiv applicationofheterogeneousmathematicalmodelsforthesolvingofheatandmasstransferproblemsinenvironmentswiththinheterogeneities AT kuharsʹkan applicationofheterogeneousmathematicalmodelsforthesolvingofheatandmasstransferproblemsinenvironmentswiththinheterogeneities AT savulaâ applicationofheterogeneousmathematicalmodelsforthesolvingofheatandmasstransferproblemsinenvironmentswiththinheterogeneities AT kuharsʹkiiv ispolʹzovaniegeterogennyhmatematičeskihmodeleikrešeniûzadačteplomassoperenosavsredahstonkimineodnorodnostâmi AT kuharsʹkan ispolʹzovaniegeterogennyhmatematičeskihmodeleikrešeniûzadačteplomassoperenosavsredahstonkimineodnorodnostâmi AT savulaâ ispolʹzovaniegeterogennyhmatematičeskihmodeleikrešeniûzadačteplomassoperenosavsredahstonkimineodnorodnostâmi |