Алгоритм типу Вісковатова розвинення формального трикратного степеневого ряду у тривимірний відповідний правильний неперервний дріб - Кучмінська, Х.Й. (Доповіді НАН України, 2025)
У цій статті ми пропонуємо алгоритм розвинення формального потрійного степеневого ряду у тривимірний відповідний до цього ряду правильний неперервний дріб, який узагальнює один з найпростіших алгоритмів розвинення формального степеневого ряду у відповідний неперервний дріб, а саме — алгоритм Вісковатова. Поняття відповідності формальних степеневих рядів і неперервних дробів приводить до побудови представлень аналітичних функцій неперервними дробами. Побудова алгоритмів обчислення неперервних дробів за відомими коефіцієнтами відповідних до них формальних степеневих рядів належить до однієї з основних задач аналітичної теорії неперервних дробів та їх багатовимірних узагальнень. Найбільш систематизовані вивчення відповідних дробів до формальних степеневих рядів і порядки їх відповідності отримано У. Джоунсом і В. Троном. Алгоритми розвинення у відповідні дроби з різним порядком відповідності для обчислення коефіцієнтів таких дробів використовують визначники Ганкеля. Для багатовимірних узагальнень неперервних дробів, а саме для побудови алгоритмів розвинення формальних кратних степеневих рядів у багатовимірні неперервні дроби також використовуються визначники типу Ганкеля, обчислення яких із збільшенням числа змінних істотно ускладнюється. Пропонується алгоритм типу Вісковатова, який дає ефективне з обчислювальної точки зору розв’язання задачі розвинення формального потрійного степеневого ряду у тривимірний відповідний до цього ряду правильний неперервний дріб. In this paper, we propose an algorithm for decomposing a formal triple power series into a three-dimensional regular continuous fraction corresponding to this series, which generalises one of the simplest algorithms for decomposing a formal power series into a corresponding continuous fraction, namely, Viskovatov’s algorithm. The concept of correspondence between formal power series and continued fractions leads to the construction of representations of analytic functions using continued fractions. The construction of algorithms for calculating continued fractions from the known coefficients of the corresponding formal power series is one of the main tasks of the analytical theory of continued fractions and their multidimensional generalisations. The most systematic study of fractions corresponding to formal power series and the order of their correspondence was obtained by W. Jones and W. Thron. The algorithms for the expanding into corresponding fractions with different orders of correspondence used Hankel’s determinants for computing the coefficients of such fractions. For multidimensional generalizations of continuous fractions, namely for the construction of algorithms for the expansion a formal multiple power series into multidimensional continued fractions, the Hankel-type determinants are also used, but their computation with an increase of the number of variables is essentially complicated. The Viskovatov-type algorithm is proposed, which, from a computational point of view, provides an effective solution to the problem of decomposing a formal triple power series into a three-dimensional regular continuous fraction corresponding to this series.