Дослідження задачі аналізу лінійних антенних решіток
Досліджується задача аналізу антенних решіток (АР) із тонких ідеально провідних випромінювачів, математична модель яких дозволяє враховувати взаємний вплив елементів. Використовуючи метод інтегральних рівнянь, задача зводиться до розв’язування систем інтегральних рівнянь Поклінгтона або Халлена. Для...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
|---|---|
| Datum: | 2008 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2008
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21879 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Дослідження задачі аналізу лінійних антенних решіток / Л. Клакович // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 7. — С. 79-87. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860238389310128128 |
|---|---|
| author | Клакович, Л. |
| author_facet | Клакович, Л. |
| citation_txt | Дослідження задачі аналізу лінійних антенних решіток / Л. Клакович // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 7. — С. 79-87. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| description | Досліджується задача аналізу антенних решіток (АР) із тонких ідеально провідних випромінювачів, математична модель яких дозволяє враховувати взаємний вплив елементів. Використовуючи метод інтегральних рівнянь, задача зводиться до розв’язування систем інтегральних рівнянь Поклінгтона або Халлена. Для числового розв’язування відповідних систем застосовано метод Гальоркіна. Доведено, що наближений розв’язок системи Поклінгтона, знайдений методом Гальоркіна, збігається до точного розв’язку у гільбертовому просторі Н. Використовуючи метод саморегуляризації, побудовано числовий алгоритм знаходження стійких розв’язків системи Халлена. Наведено порівняльні результати числових експериментів розв’язування задачі аналізу АР для двох розглянутих моделей.
The problem of the analysis of antenna arrays (AR) consisting of the ideally conducting radiators is investigated. The mathematical model of AR accounts the mutual coupling of radiators. The problem is reduced to solving the system of Poklington’s or Hallen’s integral equations, by employing the integral equation method. The Galerkin’s method is used for the numerical solution of these systems. It is shown that the numerical solution of the Poklington’s system, obtained by the Galerkin’s method, is converged to exact solution of the problem in space H. The numerical algorithm of finding the stable solution of Hallen’s system is based on the self-regularization method. The comparison results of numerical solution of the problem of AR analysis is given for two systems.
Исследуется задача анализа антенных решеток (АР), состоящих из тонких идеально проводящих излучателей, математическая модель которых учитывает взаимное влияние элементов. Используя метод интегральных уравнений, задача сводится к решению систем интегральных уравнений Поклингтона или Халлена. Для численного решения соответствующих систем применяется метод Галёркина. Доказана сходимость приближенного решения системы Поклингтона, найденного методом Галёркина, к точному решению в гильбертовом пространстве Н. Используя метод саморегуляризации, разработан численный алгоритм нахождения устойчивых решений системы Халлена. Приведены сравнительные результаты численного решения задачи анализа АР для двух рассматриваемых моделей.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:27:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
79
Дослідження задачі аналізу лінійних антенних решіток
Леся Клакович
К. ф.-м. н., доцент, Львівський національний університет імені Івана Франка, вул. Університетська, 1, Львів,
79000, e-mail: kprog@franko.lviv.ua
Досліджується задача аналізу антенних решіток (АР) із тонких ідеально провідних випро-
мінювачів, математична модель яких дозволяє враховувати взаємний вплив елементів. Ви-
користовуючи метод інтегральних рівнянь, задача зводиться до розв’язування систем
інтегральних рівнянь Поклінгтона або Халлена. Для числового розв’язування відповідних
систем застосовано метод Гальоркіна. Доведено, що наближений розв’язок системи По-
клінгтона, знайдений методом Гальоркіна, збігається до точного розв’язку у гільбертово-
му просторі Н. Використовуючи метод саморегуляризації, побудовано числовий алгоритм
знаходження стійких розв’язків системи Халлена. Наведено порівняльні результати число-
вих експериментів розв’язування задачі аналізу АР для двох розглянутих моделей.
Ключові слова: антенна решітка, взаємний вплив елементів, рівняння По-
клінгтона, рівняння Халлена, метод Гальоркіна.
Вступ. Математичні моделі антенних решіток (АР), одержані на основі розв’язу-
вання задач аналізу (прямих задач) у строгих математичних та електродинаміч-
них формулюваннях, дають змогу враховувати взаємний вплив випромінювачів
та інших конструктивних елементів АР [1]. В основу постановок прямих задач
закладена система рівнянь Максвелла (його скалярний аналог — рівняння Гельм-
гольца) з відповідними граничними умовами, а їх розв’язування, у більшості ви-
падків, ґрунтується на застосуванні методів граничних інтегральних або інтегро-ди-
ференціальних рівнянь [2].
Задача аналізу лінійних АР із тонких ідеально провідних випромінювачів
із використанням методу інтегральних рівнянь зводиться до розв’язування системи
інтегральних рівнянь Поклінгтона чи Халлена [1]. Це системи рівнянь Фредголь-
ма першого роду, а тому виникає питання про існування стійких розв’язків і про
побудову числових методів їх знаходження. У даній роботі обґрунтовано застосу-
вання методу Гальоркіна до розв’язування відповідних систем інтегральних рів-
нянь. Метод Гальоркіна дає змогу отримати стійкі розв’язки задачі.
1. Математичне формулювання задачі аналізу
лінійної АР із циліндричних випромінювачів
Розглянемо в деякій області V∈R3 необмеженого однорідного ізотропного сере-
довища (зі сталим значенням діелектричної ε і магнітної µ проникностей) систему
з 2N + 1 лінійних випромінювачів, яку збуджує стороннє електричне поле стE .
УДК 519.6:621.396
Леся Клакович
Дослідження задачі аналізу лінійних антенних решіток
80
Нехай випромінювачі є ідеально провідні тонкостінні циліндри радіуса а та дов-
жини 2l, центри яких розміщені вздовж осі ОХ, а осі циліндрів — паралельні
до осі OZ.
У строгій постановці аналіз АР зводиться до розв’язування граничних задач
електродинаміки, у яких кількість граничних поверхонь співпадає з кількістю ви-
промінювачів у системі. При виведенні граничних рівнянь застосовують припу-
щення, прийняті в теорії аналізу тонких антен: випромінювачі вважають дуже
тонкими, порівняно з їхньою довжиною та довжиною хвилі, тобто поперечними
струмами у кожному випромінювачі та зміною повздовжнього струму по пери-
метру поперечного перерізу нехтують [1].
З огляду на зроблені припущення, вектор розподілу струму вздовж кожного
випромінювача матиме лише ненульову z-у складову Jn(P) ( ),n N N= − і, відпо-
відно, векторний потенціал, створений цими струмами, теж буде мати ненульову
z-у складову [3]
( ) ( ) ( , )
n
N
z n n
n N S
A Q J P G P Q dS
=−
= ∑ ∫∫ , (1)
де [ ]exp ( , )1( , )
4 ( , )
ikR P Q
G P Q
R P Q
−
=
π
— функція Гріна, R(P, Q) — відстань між точка-
ми P та Q, Sn — поверхня n-го випромінювача: – l ≤ z´ ≤ l, r = a, 0 ≤ φ ≤ 2π; k —
хвильове число.
Враховуючи граничну умову 0Eτ = (тангенціальна складова сумарного
електричного поля на ідеально провідній поверхні кожного випромінювача по-
винна дорівнювати нулю), одержуємо систему
( ) ( )
2
2
2 0z m z
z m m
A Q
k A Q ik E
z
∂ ε
+ − =
µ∂
( ),m N N= − . (2)
Тут z
mE — z-та складова стороннього електричного поля на поверхні m-го випро-
мінювача.
Підставляючи вираз (1) у систему (2), отримуємо систему інтегро-диферен-
ціальних рівнянь Поклінгтона
2
2
2
exp( )( )
4
m
m
S
ikRk J z dz d
Rz
∂ − ′ ′ ′+ ϕ + π∂
∫∫
( )
2 2
2 2
exp ( )
( ) ( ) ,
4 ( )
lN nm z
n m
n N l nmn m
ik z z d
J z dz ik E z m N N
z z d=− −
≠
′− − + ε ′ ′+ = = −
µ′π − +
∑ ∫ (3)
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 7, 79-87
81
відносно вектора ( )( ),..., ( ) T
N NJ J z J z−= повних струмів, які течуть по випромі-
нювачах. Тут dnm — відстань між осями n та m-го випромінювачів.
Поряд із системою (3) для аналізу АР із циліндричних випромінювачів ви-
користовують систему інтегральних рівнянь Халлена, яку одержуємо безпосе-
редньо з системи (2), розв’язуючи її як систему диференціальних рівнянь другого
порядку відносно функції Az(z)
( ) (1) (2)( ) 2 sin sin cosz m m m mA z i k z z U C kz C kzε
= π − + +
µ
( ),m N N= − . (4)
Тут враховано те, що стороннє електричне поле створюється підключеною до
кожного випромінювача різницею потенціалів Um.
Підставляючи вираз (1) у систему (4), одержуємо систему інтегральних
рівнянь Халлена відносно невідомих електричних струмів Jn(t)
( ) (1) (2)( ) ( , ) 2 sin sin cos
lN
n nm m m m m
n N l
J t K z t dt i k z z U C kz C kz
=− −
ε
= π − + +
µ∑ ∫
( ),m N N= − , (5)
2 2
2 2
2 2 2/ 2
2 2 2
0
exp ( )
, ,
( )
( , )
exp ( ) 4 sin2 , .
( ) 4 sin
nm
nm
nm
ik z t d
n m
z t d
K z t
ik z t a
d n m
z t a
π
− − + ≠
− +
=
− − + ϕ ϕ =π − + ϕ
∫
(6)
Сталі (1)
mC , (2)
mC визначаються з умов рівності нулю струмів на кінцях m-го
випромінювача.
Системи рівнянь (3) та (5) є еквівалентними [1] і зв’язують повні струми,
що течуть по випромінювачах зі збуджуючими їх потенціалами з урахуванням
взаємного впливу елементів. Це системи лінійних інтегральних рівнянь першого
роду і, як відомо, задача знаходження їх розв’язків може бути нестійкою щодо
збурення правої частини. Проте ядра типу функцій Гріна, які мають особливість,
дають змогу застосовувати для знаходження стійких розв’язків методи саморегу-
ляризації [3].
2. Обґрунтування збіжності методу Гальоркіна
розв’язування системи інтегральних рівнянь Поклінгтона
Для числового розв’язування системи (3) застосуємо метод Гальоркіна. У прос-
торі L2[– l, l ] виберемо систему базисних функцій { } 1( )i it +∞
=ϕ і наближений розв’я-
зок шукаємо у вигляді
Леся Клакович
Дослідження задачі аналізу лінійних антенних решіток
82
1
( ) ( )
M
n nj j
j
J t I t
=
= ϕ∑ ( ),n N N= − , (7)
а невідомі коефіцієнти ( )1, , ,njI j M n N N= = − вибираємо так, щоб розв’язок (7)
задовольняв систему (3). У результаті для знаходження коефіцієнтів розкладу (7)
отримаємо таку систему лінійних алгебраїчних рівнянь
( )
1
,, 1,
N M
ji
nj mn mi
n N j
I B p m N N i M
=− =
= = − =∑ ∑ , (8)
2
2
2
2 2
2
2
2 2 2
exp( )( ) ( ) , ;
4
exp ( )
( ) ( ) , ;
4 ( )
m
l
i j
l S
ji
mn
l l nm
i j
l l nm
ikRz k z dz d dz n m
Rz
B
ik z z d
z k z dz dz n m
z z z d
−
− −
∂ −′ ′ ′ϕ + ϕ ϕ = π∂ = ′− − + ∂ ′ ′ϕ + ϕ ≠ ∂ ′π − +
∫ ∫∫
∫ ∫
i ( ) ( )
l
z
mi m i
l
p k E z z dz
−
ε
= ϕ
µ ∫ .
Для обґрунтування збіжності наближеного розв’язку (7) до точного роз-
в’язку системи (3) необхідно дослідити властивості оператора системи (3) у від-
повідному гільбертовому просторі.
Нехай 2 2 2
2 1
[ 1,1] [ 1,1] ... [ 1,1]
N
H L L L
+
= − ⊕ − ⊕ ⊕ − — комплексний гільбертів про-
стір інтегрованих із квадратом функцій, скалярний добуток і норму в якому ви-
значимо так
( ) ( )
1 1/ 2(1) (2) (1) (2)
1
, ( ) ( ) , ,
N
n n H HH n N
J J J t J t dt J J J
=− −
= =∑ ∫ . (9)
Лема. Систему інтегральних рівнянь (3) можна записати в операторному
вигляді
1 11 1J J U− −+ =
λ λ
A K A , (10)
де A: H → H — лінійний самоспряжений і додатно визначений оператор, для
якого існує обмежений обернений оператор A – 1; 1−A K — цілком неперервний
оператор у просторі H і в енергетичному просторі HA [4].
Зауважимо, що енергетичний простір HA вводять на основі додатно визна-
ченого оператора A [5] і використовують для доведення збіжності наближеного
розв’язку, знайденого методом Гальоркіна, до точного.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 7, 79-87
83
Із доведеної леми випливає, що оператор задачі (3) задовольняє умови теоре-
ми [5, с. 43] про збіжність наближеного розв’язку системи (3), знайденого методом
Гальоркіна, до точного. Тобто, якщо система рівнянь (3) має єдиний розв’язок
у просторі HA, а система базисних функцій { } 1( )i it +∞
=ϕ повна в HA, то наближений
розв’язок (7), знайдений методом Гальоркіна за функціями { } 1( ) M
i it =ϕ , буде збіж-
ний до точного розв’язку системи (3) у просторах HA та H.
3. Числовий алгоритм розв’язування
системи інтегральних рівнянь Халлена
Система (5) є системою інтегральних рівнянь Фредгольма І роду та для її розв’я-
зування скористаємося методом саморегуляризації, який розвинутий, зокрема,
у роботах [3, 6]. Цей метод дозволяє перейти від системи рівнянь Фредгольма І-го
роду (5) до системи рівнянь Фредгольма ІІ-го роду з ядрами, які мають неперерв-
ну похідну, тобто до коректної задачі.
Введемо апріорне припущення про розв’язок системи (5), вважаючи, що
похідні функцій Jn(t) є обмежені [3]
( ) [ ]( ) , , ,nJ t L n N N t l l′ ≤ = − ∈ − , (11)
де L ≥ 0 — деяка константа.
Ядра Kmm(z, t), які визначаються формулою (6), у разі співпадіння точок z і t
мають логарифмічну особливість. Для виділення особливості запишемо їх у тако-
му вигляді [3]
( ) ( ) ( )| | | | | |mm m mK t L t N t= + , (12)
де
( ) ( )
2 2
| | ( ) ( ), | | ;| | 2
0, | | ;
mm mm mm
m
h tK t K h K h t hL t h
t h
− ′+ − ≤=
≥
( )
( )
2 2
( ) ( ), | | ;| | 2
| | , | | .
mm mm
m
mm
h tK h K h t hN t h
K t t h
− ′− ≤=
≥
Тут h — параметр виділення особливості, а функція Nm( | t | ) є регулярна.
Якщо параметр h взяти таким, щоб виконувалась умова Lh << 1, тоді
( ) (| |) ( ) ( ) ( ) (| |)
l l
m mm m m m m
l l
J t K z t dt z J z J t N z t dt
− −
− ≈ α + −∫ ∫ , (13)
де
( ) (| |)
l
m m
l
z L z t dt
−
α = −∫ . (14)
Леся Клакович
Дослідження задачі аналізу лінійних антенних решіток
84
Підставимо вираз (13) у систему (5) і отримаємо систему інтегральних рів-
нянь Фредгольма ІІ-го роду
( )( ) ( ) ( ) | | ( ) ( , )
l lN
m m m m n nm
n Nl l
n m
z J z J t N z t dt J t K z t dt
=−− −
≠
α + − + =∑∫ ∫
( ) (1)2 / sin sinm m mi k z z U C kz= π ε µ − + ( ),m N N= − . (15)
Тут h є параметр регуляризації задачі: при h → 0 маємо, що αm → 0, тобто при
дуже малих h розв’язок системи (15) буде нестійким, але вже при h ~ a (тобто по-
рядку радіуса випромінювача) параметр αm є величина порядку одиниці й отри-
муємо стійкі розв’язки системи (15).
Для числового розв’язування системи (15) теж застосуємо метод Гальор-
кіна. Функцію струму на кожному випромінювачі запишемо як лінійну комбіна-
цію просторових гармонік (7). Підставляючи (7) у систему (15) і домножуючи
скалярно кожне рівняння на φi(z), отримуємо таку систему лінійних алгебричних
рівнянь для знаходження невідомих коефіцієнтів Inj
( )
1
, , 1,
N M
ji
nj mn mi
n N j
I D b m N N i M
=− =
= = − =∑ ∑ , (16)
де
( )
( ) ( ) ( , ) , ;
( ) ( ) ( ) ( ) (| |) , ;
l l
i j nm
l lji
mn l l
i m j j m
l l
z t K z t dtdz n m
D
z z z t N z t dt dz n m
− −
− −
ϕ ϕ ≠
=
ϕ α ϕ + ϕ − =
∫ ∫
∫ ∫
( ) (1)/ sin ( ) sin( ) ( )
2
l l
mi m i m i
l l
ib U k z z dz C kz z dz
− −
= ε µ ϕ + ϕ∫ ∫ .
Оскільки ядра системи (15) при h ~ a є неперервні, то наближений розв’я-
зок (7) збігається до точного розв’язку системи (15) при M → ∞ [5].
Зауважимо, що діаграма напрямленості АР із тонких циліндричних випро-
мінювачів має ненульову лише ϑ-ву компоненту та з урахуванням розв’язку за-
дачі аналізу набуває вигляду
sin cos cos
1
( , ) sin ( )enm
lN M N
ikd ikz
n
n N m N l
f I e z dzϑ ϕ ϑ
ν ν
=− ν= =− −
ϑ ϕ = ϑ ϕ∑ ∑ ∑ ∫ . (17)
Ця формула наближено описує діаграму напрямленості антенної решітки
з урахуванням взаємного впливу елементів.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 7, 79-87
85
4. Числові приклади розв’язування задачі аналізу
Розглянемо результати числових експериментів розв’язування задач аналізу АР
із тонких циліндричних випромінювачів, в основі математичних моделей яких
лежать системи інтегральних рівнянь Поклінгтона (3) та Халлена (5) (рис. 1, 2).
Досліджували АР із 13 напівхвильових циліндричних випромінювачів ра-
діуса a = 0,005λ, розміщених вздовж осі ОХ на відстані d = 0,45λ один від одного,
kd = 2,8. Елементи решітки збуджуються деяким розподілом напруг (U – N, ..., UN) =
= (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1).
У результаті розв’язування задачі аналізу за описаними вище числовими
алгоритмами знайдено розподіли струмів на випромінювачах. На рис. 1 зображено
розподіли амплітуд струмів на випромінювачах із номерами n = – 6, – 3 (крива 1 —
результат розв’язування системи (3), а крива 2 — системи (5)). За отриманим роз-
поділом струмів обчислені діаграми напрямленості АР. На рис. 2 подано амплі-
туди діаграм напрямленості у перерізі ϑ= 90º відповідними кривими.
Результати числових експериментів підтверджують, що розв’язки задач аналі-
зу, сформульованих у вигляді системи Поклінгтона (3) та системи Халлена (5), незнач-
но різняться між собою. При цьому, діаграми напрямленості (17), обчислені за отри-
маними розподілами струмів, співпадають для обох моделей. Тобто, для постановки
0
0 ,1
0 ,2
0 ,3
-0 ,25 -0 ,10 0 ,01 0 ,17
0
0,0001
0,0002
0,0003
0,0004
0,0005
0,0006
0,0007
0,0008
0,0009
| J -6 (x ) |
x
1 2
0
0,4
0,8
1,2
-0,25 -0,10 0,01 0,17
0
0,0005
0,001
0,0015
0,002
0,0025
0,003
0,0035
| J -3 ( x )|
x
1 2
Рис. 1. Розподіл амплітуд струмів на випромінювачах
0,0
0,3
0,5
0,8
1,0
0,0 0,5 1,0 1,6 2,1 2,6 3,1
φ
| f |
1 2
Рис. 2. Перерізи амплітудних діаграм
|J – 6(x)|
0,2
0,1
0
1 2
– 0,25 – 0,10 0,01 0,17 x
|J – 3(x)|
– 0,25
0
0,4
0,8
– 0,10 0,01 0,17 x
1 2
| f |
0,8
0,5
0,3
0
21
0 0,5 1,0 1,6 2,1 2,6 φ
Леся Клакович
Дослідження задачі аналізу лінійних антенних решіток
86
та розв’язування задачі аналізу АР можна користуватися як математичною моделлю
на основі системи Поклінгтона, так і моделлю на основі системи Халлена. Проте
обчислення коефіцієнтів матриці системи (8), до розв’язування якої зводиться сис-
тема (3), вимагає значно більших затрат машинного часу, ніж обчислення коефі-
цієнтів матриці системи (16) (до розв’язування якої зводиться система (5)).
Висновки. Для отримання точних математичних моделей проектування та синте-
зу АР, що враховують взаємний вплив випромінювачів, необхідно у постановки
задач включати розв’язки відповідних задач аналізу [7, 8]. Задача аналізу АР із
тонких циліндричних випромінювачів у строгій математичній постановці зводить-
ся до розв’язування систем інтегральних рівнянь Поклінгтона (3) або Халлена (5).
Для знаходження числових розв’язків цих систем, як правило, використовують
метод Гальоркіна. Обґрунтовано збіжність наближеного розв’язку системи рівнянь
Поклінгтона, знайденого методом Гальоркіна, до точного розв’язку у просторі Н.
Використовуючи метод саморегуляризації, побудовано числовий алгоритм роз-
в’язування системи рівнянь Халлена, який дозволяє отримати стійкі розв’язки.
Враховуючи результати числових розрахунків і вказані вище переваги при реа-
лізації алгоритмів на комп’ютерах, при постановках задач синтезу ефективнішим
є використання розв’язку задачі аналізу, в основі якої лежить система рівнянь
Халлена.
Література
[1] Чаплин А. Ф. Анализ и синтез антенных решеток. — Львов: Вища шк., 1987. —
179 с.
[2] Вычислительные методы в электродинамике; под ред. Митры Р.: пер. с англ. —
М.: Мир, 1977. — 485 с.
[3] Тихонов А. Н., Дмитриев В. И. Метод расчета распределения тока в системе линей-
ных вибраторов и ДН этой системы // Вычислительные методы и программирова-
ние. — М.: Изд-во МГУ, 1968. — Вып. 10. — С. 3-8.
[4] Клакович Л. Про збіжність методу Гальоркіна в задачах аналізу лінійних випромі-
нюючих систем // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. та інформ. — 2004. —
Вип. 9. — С. 157-163.
[5] Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. —
М.: Наука, 1981. — 416 с.
[6] Ильинский А. С., Бережная И. В. Исследование распределения тока в системе про-
извольно расположенных вибраторов // Вычислительные методы и программиро-
вание. — М.: Изд-во МГУ, 1973. — Вып. 20. — С. 263-269.
[7] Клакович Л., Савенко П. Чисельне розв’язування нелінійних обернених задач стосовно
синтезу антенних ґраток // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. та інформ. —
2002. — Вип. 4. — С. 30-37.
[8] Клакович Л., Савенко П. Про існування розв’язків одного класу задач синтезу
антенних решіток з оптимізацією розміщення випромінювачів // Вісн. Львів. ун-ту.
Сер. прикл. матем. та інформ. — 2007. — Вип. 13. — С.104-109.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 7, 79-87
87
Investigation of the analysis problem of linear antenna arrays
Lesia Klakovych
The problem of the analysis of antenna arrays (AR) consisting of the ideally conducting radiators
is investigated. The mathematical model of AR accounts the mutual coupling of radiators. The
problem is reduced to solving the system of Poklington’s or Hallen’s integral equations, by emp-
loying the integral equation method. The Galerkin’s method is used for the numerical solution of
these systems. It is shown that the numerical solution of the Poklington’s system, obtained by the
Galerkin’s method, is converged to exact solution of the problem in space H. The numerical algo-
rithm of finding the stable solution of Hallen’s system is based on the self-regularization method.
The comparison results of numerical solution of the problem of AR analysis is given for two systems.
Исследование задачи анализа линейных антенных решеток
Леся Клакович
Исследуется задача анализа антенных решеток (АР), состоящих из тонких идеально про-
водящих излучателей, математическая модель которых учитывает взаимное влияние эле-
ментов. Используя метод интегральных уравнений, задача сводится к решению систем
интегральных уравнений Поклингтона или Халлена. Для численного решения соответст-
вующих систем применяется метод Галёркина. Доказана сходимость приближенного ре-
шения системы Поклингтона, найденного методом Галёркина, к точному решению в гиль-
бертовом пространстве Н. Используя метод саморегуляризации, разработан численный
алгоритм нахождения устойчивых решений системы Халлена. Приведены сравнительные
результаты численного решения задачи анализа АР для двух рассматриваемых моделей.
Отримано 24.03.08
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-21879 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1816-1545 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:27:16Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Клакович, Л. 2011-06-20T06:52:15Z 2011-06-20T06:52:15Z 2008 Дослідження задачі аналізу лінійних антенних решіток / Л. Клакович // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 7. — С. 79-87. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21879 519.6:621.396 Досліджується задача аналізу антенних решіток (АР) із тонких ідеально провідних випромінювачів, математична модель яких дозволяє враховувати взаємний вплив елементів. Використовуючи метод інтегральних рівнянь, задача зводиться до розв’язування систем інтегральних рівнянь Поклінгтона або Халлена. Для числового розв’язування відповідних систем застосовано метод Гальоркіна. Доведено, що наближений розв’язок системи Поклінгтона, знайдений методом Гальоркіна, збігається до точного розв’язку у гільбертовому просторі Н. Використовуючи метод саморегуляризації, побудовано числовий алгоритм знаходження стійких розв’язків системи Халлена. Наведено порівняльні результати числових експериментів розв’язування задачі аналізу АР для двох розглянутих моделей. The problem of the analysis of antenna arrays (AR) consisting of the ideally conducting radiators is investigated. The mathematical model of AR accounts the mutual coupling of radiators. The problem is reduced to solving the system of Poklington’s or Hallen’s integral equations, by employing the integral equation method. The Galerkin’s method is used for the numerical solution of these systems. It is shown that the numerical solution of the Poklington’s system, obtained by the Galerkin’s method, is converged to exact solution of the problem in space H. The numerical algorithm of finding the stable solution of Hallen’s system is based on the self-regularization method. The comparison results of numerical solution of the problem of AR analysis is given for two systems. Исследуется задача анализа антенных решеток (АР), состоящих из тонких идеально проводящих излучателей, математическая модель которых учитывает взаимное влияние элементов. Используя метод интегральных уравнений, задача сводится к решению систем интегральных уравнений Поклингтона или Халлена. Для численного решения соответствующих систем применяется метод Галёркина. Доказана сходимость приближенного решения системы Поклингтона, найденного методом Галёркина, к точному решению в гильбертовом пространстве Н. Используя метод саморегуляризации, разработан численный алгоритм нахождения устойчивых решений системы Халлена. Приведены сравнительные результаты численного решения задачи анализа АР для двух рассматриваемых моделей. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Дослідження задачі аналізу лінійних антенних решіток Investigation of the analysis problem of linear antenna arrays Исследование задачи анализа линейных антенных решеток Article published earlier |
| spellingShingle | Дослідження задачі аналізу лінійних антенних решіток Клакович, Л. |
| title | Дослідження задачі аналізу лінійних антенних решіток |
| title_alt | Investigation of the analysis problem of linear antenna arrays Исследование задачи анализа линейных антенных решеток |
| title_full | Дослідження задачі аналізу лінійних антенних решіток |
| title_fullStr | Дослідження задачі аналізу лінійних антенних решіток |
| title_full_unstemmed | Дослідження задачі аналізу лінійних антенних решіток |
| title_short | Дослідження задачі аналізу лінійних антенних решіток |
| title_sort | дослідження задачі аналізу лінійних антенних решіток |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21879 |
| work_keys_str_mv | AT klakovičl doslídžennâzadačíanalízulíníinihantennihrešítok AT klakovičl investigationoftheanalysisproblemoflinearantennaarrays AT klakovičl issledovaniezadačianalizalineinyhantennyhrešetok |