Рівномірне наближення сумою многочлена й експоненти з точним відтворенням значення функції та її похідної у крайніх точках відрізка
Досліджено властивості рівномірного (чебишовського, мінімаксного) наближення функції сумою многочлена й експоненти з найменшою абсолютною похибкою та точним відтворенням значення функції та її похідної в крайніх точках відрізка. Встановлено достатні умови існування такого рівномірного наближення та...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
|---|---|
| Datum: | 2008 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2008
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21881 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Рівномірне наближення сумою многочлена й експоненти з точним відтворенням значення функції та її похідної у крайніх точках відрізка / П. Малачівський // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 7. — С. 112-124. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-21881 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Малачівський, П. 2011-06-20T06:54:05Z 2011-06-20T06:54:05Z 2008 Рівномірне наближення сумою многочлена й експоненти з точним відтворенням значення функції та її похідної у крайніх точках відрізка / П. Малачівський // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 7. — С. 112-124. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21881 518.5+519.65 Досліджено властивості рівномірного (чебишовського, мінімаксного) наближення функції сумою многочлена й експоненти з найменшою абсолютною похибкою та точним відтворенням значення функції та її похідної в крайніх точках відрізка. Встановлено достатні умови існування такого рівномірного наближення та запропоновано алгоритм для визначення його параметрів за схемою Ремеза. The properties of uniform (Chebyshev, minimax) function approximation by a sum of polynomial and exponential with exact reproduction of function and its derivative values at the end points are investigated. The sufficient conditions of such approximation are established and the Remez’s algorithm to determine the parameters of this approximation is proposed. Исследованы свойства равномерного (чебишевского, минимаксного) приближения суммой многочлена и экспоненты с наименьшей абсолютной погрешностью и точным восстановлением значения функции и ее производной в крайних точках отрезка. Установлены достаточные условия существования такого чебишевского приближения и предложен алгоритм для определения его параметров по схеме Ремеза. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Рівномірне наближення сумою многочлена й експоненти з точним відтворенням значення функції та її похідної у крайніх точках відрізка Uniform approximation by sum of a polynomial and exponential with exact reproduction of function and its derivative values at the end points of interval Равномерное приближение суммой многочлена и экспоненты с точным восстановлением значения функции и ее производной в крайних точках отрезка Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Рівномірне наближення сумою многочлена й експоненти з точним відтворенням значення функції та її похідної у крайніх точках відрізка |
| spellingShingle |
Рівномірне наближення сумою многочлена й експоненти з точним відтворенням значення функції та її похідної у крайніх точках відрізка Малачівський, П. |
| title_short |
Рівномірне наближення сумою многочлена й експоненти з точним відтворенням значення функції та її похідної у крайніх точках відрізка |
| title_full |
Рівномірне наближення сумою многочлена й експоненти з точним відтворенням значення функції та її похідної у крайніх точках відрізка |
| title_fullStr |
Рівномірне наближення сумою многочлена й експоненти з точним відтворенням значення функції та її похідної у крайніх точках відрізка |
| title_full_unstemmed |
Рівномірне наближення сумою многочлена й експоненти з точним відтворенням значення функції та її похідної у крайніх точках відрізка |
| title_sort |
рівномірне наближення сумою многочлена й експоненти з точним відтворенням значення функції та її похідної у крайніх точках відрізка |
| author |
Малачівський, П. |
| author_facet |
Малачівський, П. |
| publishDate |
2008 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| publisher |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Uniform approximation by sum of a polynomial and exponential with exact reproduction of function and its derivative values at the end points of interval Равномерное приближение суммой многочлена и экспоненты с точным восстановлением значения функции и ее производной в крайних точках отрезка |
| description |
Досліджено властивості рівномірного (чебишовського, мінімаксного) наближення функції сумою многочлена й експоненти з найменшою абсолютною похибкою та точним відтворенням значення функції та її похідної в крайніх точках відрізка. Встановлено достатні умови існування такого рівномірного наближення та запропоновано алгоритм для визначення його параметрів за схемою Ремеза.
The properties of uniform (Chebyshev, minimax) function approximation by a sum of polynomial and exponential with exact reproduction of function and its derivative values at the end points are investigated. The sufficient conditions of such approximation are established and the Remez’s algorithm to determine the parameters of this approximation is proposed.
Исследованы свойства равномерного (чебишевского, минимаксного) приближения суммой многочлена и экспоненты с наименьшей абсолютной погрешностью и точным восстановлением значения функции и ее производной в крайних точках отрезка. Установлены достаточные условия существования такого чебишевского приближения и предложен алгоритм для определения его параметров по схеме Ремеза.
|
| issn |
1816-1545 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21881 |
| citation_txt |
Рівномірне наближення сумою многочлена й експоненти з точним відтворенням значення функції та її похідної у крайніх точках відрізка / П. Малачівський // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 7. — С. 112-124. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT malačívsʹkiip rívnomírnenabližennâsumoûmnogočlenaieksponentiztočnimvídtvorennâmznačennâfunkcíítaíípohídnoíukrainíhtočkahvídrízka AT malačívsʹkiip uniformapproximationbysumofapolynomialandexponentialwithexactreproductionoffunctionanditsderivativevaluesattheendpointsofinterval AT malačívsʹkiip ravnomernoepribliženiesummoimnogočlenaiéksponentystočnymvosstanovleniemznačeniâfunkciiieeproizvodnoivkrainihtočkahotrezka |
| first_indexed |
2025-11-25T00:29:59Z |
| last_indexed |
2025-11-25T00:29:59Z |
| _version_ |
1850502428547350528 |
| fulltext |
Рівномірне наближення сумою многочлена
й експоненти з точним відтворенням значення функції
та її похідної у крайніх точках відрізка
Петро Малачівський
К. т. н., с. н. с., Центр математичного моделювання ІППММ НАН України, вул. Дж. Дудаєва, 15, Львів, 79005,
e-mail: psmal@cmm.lviv.ua
Досліджено властивості рівномірного (чебишовського, мінімаксного) наближення функції
сумою многочлена й експоненти з найменшою абсолютною похибкою та точним відтво-
ренням значення функції та її похідної в крайніх точках відрізка. Встановлено достатні
умови існування такого рівномірного наближення та запропоновано алгоритм для визна-
чення його параметрів за схемою Ремеза.
Ключові слова: рівномірне (чебишовське) наближення з ермітовим інтер-
полюванням, точки чебишовського альтернансу, схема Ремеза.
Вступ. Рівномірне (чебишовське, мінімаксне) наближення функцій з інтерполяцій-
ними умовами використовується для побудови неперервного мінімаксного сплайн-
наближення [1]. Властивості рівномірного наближення функції нелінійним виразом
з інтерполюванням розглянуто у працях [1-4], умови існування такого наближен-
ня з ермітовим інтерполюванням у зовнішніх точках — у роботі [5]. Дана стаття
присвячена встановленню умов існування рівномірного наближення неперервно
диференційовної на відрізку [α, β] функції f (x) ( f (x) ∈C1[α, β]) сумою многочле-
на й експоненти
( )
0
;
n
i px
n i
i
E a x a x Ae
=
= +∑ , 0≠A , 0≠p , ...,2,1,0=n (1)
з точним відтворенням значення функції та її похідної в крайніх точках відрізка.
Таке рівномірне наближення використовується під час побудови неперервного й
гладкого мінімаксного сплайн-наближення [5] виразом вигляду (1).
1. Існування рівномірного наближення сумою полінома й експоненти
з найменшою абсолютною похибкою та точним відтворенням значення
функції та її похідної у крайніх точках відрізка
Розглянемо неперервно диференційовні на відрізку [α, β] функції f (x), які справ-
джують нерівності
( ) ( ) ( )
00,n n nW W W> ≠ , (2)
де
УДК 518.5+519.65
112
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 7, 112-124
113
( ) ( )
( )3211
4321
,...,,;
,...,,;
++
++=
nn
nnn
zzzfD
zzzfDW , (3)
( ) ( )
( )32111
43211
0 ,...,,;
,...,,;
+++
+++=
nnn
nnnn
zzzsD
zzzsDW , (4)
( ) k
k xxs = ,
( ) ( )
( )
1 1 2 1
1 1
1 1 1 2 1
; , ,...,
; , ,...,
; , ,..,
k j j j k
k j j j k
k k j j j k
D U z z z
D U z z z
D s z z z
− + + + +
+ + +
− − + + + +
= −
( )
( )
1 1
1 1 1
; , ,...,
, 2, 1, 1, 3
; , ,...,
k j j j k
k k j j j k
D U z z z
k n j n k
D s z z z
− + +
− − + +
− = + = − + , (5)
( ) ( ) ( )jjjj zUzUzzUD −= ++ 221 ,; , 2,1 += nj ,
zj ( )4,1 += nj — довільні, упорядковані за зростанням zj < zj + 1 числа з відрізка [α, β].
Достатню умову існування рівномірного наближення функції f (x) виразом (1)
із найменшою абсолютною похибкою на відрізку [α, β] та точним відтворенням зна-
чення функції та її похідної у крайніх точках відрізка сформулюємо у вигляді теореми.
Теорема 1. Нехай функція f (x) неперервно диференційовна на відрізку [α, β], тоді:
а) достатньою умовою існування рівномірного наближення функції f (x) су-
мою многочлена степеня n (n > 1) й експоненти (1) із найменшою абсолютною
похибкою на відрізку [α, β] та точним відтворенням значення функції та її похід-
ної у крайніх точках відрізка α та β є справдження нерівностей (2), у яких
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
1 2 4
1
1 1 2 4
1 1 3 1 2
2 1 2 3
1 1 1 3 1 1 2
1 1 3
4
1 1 1 3
; ,
, якщо 1;
; ,
; , ; ,
; , , , , якщо 1 1;
; , ; ,
; ,
, якщо 1,
; ,
j j j j
j j j j
j j j j
n n
n
n n
D U z z
U z j
D s z z
D U z z D U z z
D U z z z z j n
D s z z D s z z
D U z z
U z j n
D s z z
+ + +
+ + +
+ + +
+ +
+
+ +
′− =
= − < < +
′ − = +
(6)
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1
4 3 2
21 2
3 2 1
4
, якщо 1;
2 , якщо 2;
, якщо 2 ;; ,
2 , якщо 1;
, якщо 2,
j jj j
n n n
n
U z j
U z U z U z j
U z U z j nD U z z
U z U z U z j n
U z j n
++
+ + +
+
′ =
+ − =
− < ≤=
− − = +
′ = +
(7)
U'(x) — похідна функції U(x), zj (j = 3, 2n + ) — довільні, упорядковані за зростан-
ням zj < zj + 1 числа з інтервалу (α, β), z1 = z2 = α, а zn + 3 = zn + 4 = β.
б) у випадку виконання умов пункту а існує єдине рівномірне наближення
Петро Малачівський
Рівномірне наближення сумою многочлена й експоненти з точним відтворенням значення ...
114
функції f (x) сумою многочлена степеня n (n > 1) й експоненти (1) із найменшою
абсолютною похибкою на відрізку [α, β] та точним відтворенням значення функ-
ції та її похідної у крайніх точках відрізка, а його параметри задовольняють сис-
тему рівнянь
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
0
1
1
0
0
1
1
0,
0,
1 , 3, 2 ,
0,
0,
j
n
i p
i
i
n
i p
i
i
n
jpzi
j i j
i
n
i p
i
i
n
i p
i
i
f a Ae
f ia Ape
f z a z Ae j n
f a Ae
f ia Ape
α
=
− α
=
=
β
=
− β
=
α − α − =
′ α − α − =
− − = − µ = +
β − β − =
′ β − β − =
∑
∑
∑
∑
∑ (8)
у якій zj (j= 3, 2n + ) — упорядковані за зростанням точки рівномірного альтер-
нансу з інтервалу (α, β).
Доведення. Нехай функція f (x) задовольняє умови теореми. Тоді, за теоремою
існування та єдиності рівномірного наближення функції нелінійним виразом з
ермітовим інтерполюванням у зовнішніх точках [5], для існування рівномірного
наближення функції f (x) виразом (1) із найменшою абсолютною похибкою на
відрізку [α, β] та точним відтворенням її значення та значення її похідної у крайніх
точках відрізка α та β достатньо, щоб система рівнянь (8) мала єдиний розв’язок
для довільних упорядкованих за зростанням точок zj (j = 3, 2n + ) з інтервалу (α, β).
Покажемо, що у разі справдження умов теореми система рівнянь (8) має єдиний
розв’язок щодо невідомих ai (i = 0,n ), A, p та µ. Виключивши з системи (8) неві-
домі a0 і µ, отримаємо
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 2
2
1 2
1
1
4 3 4 3
1
2 2
1
1 2 1 2
1
1
1
,
2 2 2 ,
, 3, , (9)
2 2 2 ,
j j
n n
n
i p
i
i
n
pz pzi i i p
i
i
n
pz pzi i
i j j j j
i
n
pz pzi i i p
i n n n n
i
n
i p
i
i
ia Ape f
a z z A e e e f z f z f
a z z A e e f z f z j n
a z z A e e e f f z f z
ia Ape f
+
+ +
− α
=
α
=
+ +
=
β
+ + + +
=
− β
=
′α + = α
+ − α + + − = + − α
− + − = − =
β − − + − − = β − −
′β + = β
∑
∑
∑
∑
∑ .
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 7, 112-124
115
З урахуванням позначень (3)-(7) система рівнянь (9) набуває вигляду
( ) ( ) ( )2121
1
21 ,;,;,; ++
=
+ =ϕ+∑ jjjj
n
i
jjii zzfDzzADzzsDa , 2,1 += nj , (10)
де φ( p, x) = epx. Із цієї системи виключимо невідомі ( )niai ,1= і А, які входять лі-
нійно. Виключення параметрів ( )niai ,1= проводитимемо в порядку зростання
індексу. Починаючи з i = 1, із кожного рівняння системи (10) визначаємо ai, а по-
тім, попарно віднімаючи j-ті рівняння від (j + 1)-их, отримуємо систему щодо
решти параметрів ( )nirar ,1+= , А і p. Після виключення з системи (10) невідомо-
го a1 отримаємо
( ) ( )2 1 2 3 2 1 2 3
2
; , , , ; , , ,
n
i i j j j j j j j j
i
a D s z z z z AD z z z z+ + + + + +
=
+ ϕ =∑
( )2 1 2 3; , , , , 1, 1 .j j j jD f z z z z j n+ + += = + (11)
Таке виключення невідомого a1 можна зробити, бо коефіцієнти біля нього
в усіх рівняннях не набувають нульового значення. Справді, жодне зі значень
виразу
( )
4 3 2
21 1 2
3 2 1
1, якщо 1;
2 , якщо 2;
, якщо 2 ;; ,
2 , якщо 1;
1, якщо 2,
j jj j
n n n
j
z z z j
z z j nD s z z
z z z j n
j n
++
+ + +
=
+ − = − < ≤=
− − = +
= +
для 2,1 += nj не дорівнює нулю, оскільки за умовою теореми числа ( )2,3 += njz j —
це різні упорядковані за зростанням числа з інтервалу (α, β), z2 = α і zn + 3 = β. Для
упорядкованих за зростанням точок ( )3,2 += njz j вирази D1(s1; zj, zj + 2 ), 2,1 += nj
набувають лише додатних значень.
Для продовження виключення решти параметрів ( )2,ia i n= із системи рів-
нянь (11) необхідно переконатися, що коефіцієнти біля них також відмінні від
нуля. Для цього оцінимо значення виразів
( )
( )11
111
,...,,;
,...,,;
+++
++++
kjjjkk
kjjjkk
zzzsD
zzzsD
, 2,1 +−= knj . (12)
Для k = 1 і nj ,3= значення виразу (12) дорівнює відношенню приростів
функції s2(x) = x2 до приростів аргументу
( )
( )
2 2
1 2 2 2
21 1 2
; ,
; ,
j j j j
j jj j
D s z z z z
z zD s z z
+ +
++
−
=
−
.
Петро Малачівський
Рівномірне наближення сумою многочлена й експоненти з точним відтворенням значення ...
116
За теоремою Лагранжа [6] про кінцеві прирости значення цього відношення
дорівнює похідній функції s2(x) = x2 в деякій середній точці ζ j з інтервалу (zj, zj + 2).
У випадку j = 2 або j = n + 1 значення виразу (12) дорівнює відповідно
( )
( ) 234
2
2
2
3
2
4
4211
4221
2
2
,;
,;
zzz
zzz
zzsD
zzsD
−+
−+
= (13)
або
( )
( ) 123
2
1
2
2
2
3
3111
3121
2
2
,;
,;
+++
+++
++
++
−−
−−
=
nnn
nnn
nn
nn
zzz
zzz
zzsD
zzsD . (14)
Значення цих виразів на підставі теореми про відношення комбінацій при-
ростів [7] дорівнює похідній функції s2(x) = x2 в середній точці відповідних інтер-
валів: відношення (13) — похідній у точці ζ2 з інтервалу (α, z4), а відношення (14) —
в точці ζ n + 1 із (z n + 1, β).
І, нарешті, у випадку j = 1 або j = n + 2 значення виразу (12) також дорів-
нює похідній функції s2(x) = x2, але вже у конкретних точках, а саме, в точці z1,
якщо j = 1, і точці z n + 4, якщо j = n + 2.
Отже, у випадку k = 1 значення виразу (12) дорівнює похідній функції
s2(x) = x2 в середніх точках ζ j інтервалів (zj, zj + 2) для 1,2 += nj , а для j = 1 або
j = n + 2 точки ζ1 і ζ n + 2 співпадають відповідно з точками z1 і z n + 4. Це означає, що
коефіцієнти біля невідомого a2 в усіх рівняннях системи (11) дорівнюють значен-
ню похідної функції s2(x) = x2 в точках ζ j ( )2,1 += nj , тобто
( ) ( )jjjjj zzzsD ζ−ζ= +++ 13122 2,...,,; , 1,1 += nj . (15)
Оскільки числа ( )3,2 += njz j упорядковані за зростанням, то точки ζ j ( )1,2 += nj
також будуть упорядкованими за зростанням. Окрім того, ці точки належать
інтервалу (α, β). Отже коефіцієнти біля невідомого a2 в усіх рівняннях системи
(11) набувають лише додатних значень. Тому невідоме a2 також можна виклю-
чити з системи рівнянь (11).
Аналогічно, можна переконатися у тому, що коефіцієнти біля решти неві-
домих ai ( )ni ,3= також не набувають нульових значень у процесі їхнього послі-
довного виключення з системи рівнянь. Так, під час виключення невідомого ak
коефіцієнти біля нього будуть такими
( ) ( )
( )
1 1 2 1
1 1
1 1 1 2 1
; , ,...,
; , ,...,
; , ,..,
k k j j j k
k k j j j k
k k j j j k
D s z z z
D s z z z
D s z z z
− + + + +
+ + +
− − + + + +
= −
( )
( )
1 1
1 1 1
; , ,...,
, 1, 3
; , ,...,
k k j j j k
k k j j j k
D s z z z
j n k
D s z z z
− + +
− − + +
− = − + . (16)
Послідовно (k – 1) раз застосувавши до кожного з доданків у правій частині ви-
разу (16) теорему Коші про відношення приростів функцій [6], можна перекона-
тися, що коефіцієнти біля невідомого ak дорівнюють різниці (k – 1)-их похідних
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 7, 112-124
117
степеневої функції sk(z) = zk у деяких середніх точках відповідних інтервалів, тобто
( ) ( )jjkjjjkk kzzzsD ξ−ξ= ++++ 111,...,,; , 3,1 +−= knj ,
де ( )kjjj zz +∈ξ , , 4,1 +−= knj .
Оскільки (k – 1)-а похідна степеневої функції sk(z) = zk строго монотонна та
точки ( )3,2 += njz j упорядковані за зростанням, то числа ξj ( )4,1 +−= knj та-
кож будуть упорядкованими за зростанням, тобто ξ j < ξ j + 1 . Звідси випливає, що
коефіцієнти біля невідомого ak в усіх рівняннях відповідної системи рівнянь
набувають лише додатних значень.
Після виключення з системи рівнянь (11) усіх невідомих параметрів ai ( )0,i n=
отримаємо систему рівнянь щодо невідомих A і p
( ) ( )
( ) ( )
1 2 3 4 1 2 3 4
1 1 2 3 1 1 2 3
; , , ..., ; , , ..., ,
; , , ..., ; , , ...,
n n n n
n n n n
AD z z z D f z z z
AD z z z D f z z z
+ + + +
+ + + +
ϕ =
ϕ = . (17)
Дослідимо вільні члени рівнянь цієї системи та коефіцієнти біля невідомого A.
Для цього розглянемо вирази
( )
( )
1 1
1 1
; , ,...,
; , ,...,
n j j j n
n n j j j n
D U z z z
D S z z z
+ + +
+ + +
, 1,3j = . (18)
Аналогічно, як і у випадку (16), послідовно n разів застосувавши теорему
Коші [6], можна показати, що вирази (18) є розділеними різницями n-го порядку
функції U(z) на множині точок { } 1j n
i i jz + +
= . Отже, кожен із цих виразів дорівнює n-й
похідній функції U(z) у деякій середній точці ς j з інтервалу (zj, zj + n + 1), тобто
( )
( )
( ) ( )1 1
1 1
; , ,...,
; , ,...,
n j j j n n
j
n n j j j n
D U z z z
U
D s z z z
+ + +
+ + +
= ς , 1,3j = , (19)
де ( )1,j j j nz z + +ς ∈ , 1,3j = . Це означає, що коефіцієнти біля невідомого A у сис-
темі рівнянь (17) дорівнюють приросту n-ої похідної функції φ( p, x) = e px по x.
Оскільки похідні експоненти e px для p ≠ 0 є строго монотонними функціями по x,
то коефіцієнти біля A в рівняннях системи (17) для p ≠ 0 не набувають нульового
значення. Тому система рівнянь (17) для від’ємних ( p < 0) і додатних ( p > 0) зна-
чень параметра p матиме дійсний відмінний від нульового розв’язок щодо неві-
домого A, якщо вільні члени її рівнянь також не набувають нульового значення. З ура-
хуванням рівності (19) вільні члени рівнянь системи (17) дорівнюють приростам
n-ої похідної функції f (x), тобто
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1; , ,..., n n
n j j j n j jD f z z z f f+ + + + += ξ − ξ , 2,1=j , (20)
Петро Малачівський
Рівномірне наближення сумою многочлена й експоненти з точним відтворенням значення ...
118
де ( )1,j j j nz z + +ξ ∈ .
Оскільки за умовою теореми
( ) 0>nW , (21)
то відношення приростів n-их похідних функції f (x) додатне. Тому відповідно й
самі прирости функції f (x) відмінні від нуля. Це означає, що вільні члени рівнянь
системи (17) також не набувають нульових значень. Поділивши перше рівняння
системи (17) на друге, отримаємо трансцендентне рівняння відносно p
( ) ( )n
n p Wω = , (22)
де ( ) ( )
( )
1 2 3 4
1 1 2 3
; , ,...,
; , ,...,
n n
n
n n
D z z z
p
D z z z
+ +
+ +
ϕ
ω =
ϕ
, а значення W (n) визначається за формулою (3)
з урахуванням виразів (5)-(7).
Ліву частину цього рівняння з урахуванням (19) подамо у вигляді
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 2
2 1
, ,
,
, ,
n n
n n n
p p
p
p p
ϕ τ −ϕ τ
ω =
ϕ τ −ϕ τ
(23)
де ( ) ( )1, 1,3i i i nz z i+ +τ ∈ = . Підставивши замість φ (n)( p, x) n-у похідну функції
φ( p, x) = epx, отримаємо
( )
3 2
2 1
p p
n p p
e ep
e e
τ τ
τ τ
−
ω =
−
. (24)
Оскільки згідно з [8] для чисел ( )1,3i iτ = справджуються співвідношення
τ1 < τ2 < τ3, то у лівій частині рівняння (22) можна сформувати відношення розді-
лених різниць приростів експоненти. Для цього ліву частину рівняння (22) по-
множимо та поділимо на відповідні різниці приростів аргументу — (τ2 – τ1) / (τ3 – τ2).
Замінивши отримані розділені різниці відповідними похідними в середніх точ-
ках, отримаємо
( ) ( )12 ζ−ζ=ω p
n Kep , (25)
де
12
23
τ−τ
τ−τ=K , ( )311 , +∈ζ nzz , ( )422 , +∈ζ nzz .
Оскільки ліва частина рівняння (22) є експоненційною функцією та коефі-
цієнт K додатний, то рівняння (22) має єдиний розв’язок щодо p, якщо його права
частина додатна та її значення охоплюється множиною можливих значень функ-
ції ωn( p), заданою виразом (22), для ( ) ( )∞∞−∈ ,00, ∪p .
Визначимо множину допустимих значень функції ωn( p). Відповідно до (25)
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 7, 112-124
119
функція ωn( p) строго монотонна на інтервалах (– ∞, 0) і (0, ∞) і набуває таких
граничних значень
( ) 0lim =ω
−∞→
pnp
, ( ) ( )n
np
Wp 00
lim =ω
→
, ( ) ∞=ω
∞→
pnp
lim .
Це означає, що для від’ємних p ліва частина рівняння (22) може набувати значення
з інтервалу ( )),0( 0
nW , а для додатних — з ( ) ),( 0 ∞nW .
Отже, у разі виконання умов теореми, система рівнянь (8) має єдиний розв’я-
зок щодо невідомих ( )niai ,0= , A, p та µ для будь-яких упорядкованих за зростанням
чисел ( )2,3 += njz j з інтервалу (α, β). Таким чином, достатньою умовою існування
для функції f (x) рівномірного наближення виразом (1) із найменшою абсолют-
ною похибкою на відрізку [α, β] та точним відтворенням значення функції та її
похідної у крайніх точках відрізка є виконання умов пункту а теореми.
Оскільки у разі задоволення функцією f (x) умов (2)-(7) система рівнянь (8)
має єдиний розв’язок, то відповідно до теореми про існування та єдиність рівно-
мірного наближення функції нелінійним виразом з ермітовим інтерполюванням
у зовнішніх точках [5] параметри рівномірного наближення f (x) виразом (1) із най-
меншою абсолютною похибкою на [α, β] та точним відтворенням значення функції
та її похідної у крайніх точках відрізка α та β визначаються з системи рівнянь (8),
у якій ( )2,3 += njz j — упорядковані за зростанням точки чебишовського альтер-
нансу. Теорему доведено.
Проаналізуємо умови (2)-(7). Неважко переконатися (шляхом підстановки),
що для полінома (n + 1)-го степеня, величина W (n) набуває значення рівного ( )nW0 .
Отже, друга нерівність ( ) ( )nn WW 0≠ умови (2) справджується, зокрема, для функ-
цій f (x), відмінних від полінома (n + 1)-го степеня.
Під час доведення теореми було встановлено, що перша нерівність умови (2)
виконується для функцій f (x), n-на похідна яких строго монотонна на відрізку
[α, β]. Тому достатній умові існування рівномірного наближення виразом (1)
із найменшою абсолютною похибкою на відрізку [α, β] та точним відтворення
значення функції та її похідної у крайніх точках відрізка задовольняють, зокрема,
функції f (x) ( f (x)∈С n [α, β] ) відмінні від полінома (n + 1)-го степеня, n-на похід-
на яких строго монотонна на [α, β].
Умови (2)-(7) не є необхідними для існування рівномірного наближення функ-
ції f (x) з абсолютною похибкою виразом (1) і точним відтворення значення функ-
ції та її похідної у крайніх точках. Їх виконання необхідне лише в точках рівно-
мірного альтернансу. У разі використання алгоритму Ремеза [4] для знаходження
параметрів рівномірної апроксимації виразом (1) виконання умов (9) необхідне
в усіх точках проміжних наближень до точок альтернансу.
Подібні властивості має рівномірне наближення функції f (x) сумою
многочлена й експоненти (1) із найменшою абсолютною похибкою на відрізку
[α, β] та точним відтворенням значення функції та її похідної в одній із крайніх
точок відрізка α чи β.
Петро Малачівський
Рівномірне наближення сумою многочлена й експоненти з точним відтворенням значення ...
120
2. Рівномірне наближення сумою полінома й експоненти
з найменшою абсолютною похибкою та точним відтворенням
значення функції та її похідної в одній із крайніх точок відрізка
Достатню умову існування рівномірного наближення функції f (x) виразом (1)
із найменшою абсолютною похибкою на відрізку [α, β] та точним відтворенням
значення функції та її похідної у точці α сформулюємо у вигляді теореми 2.
Теорема 2. Нехай функція f (x) неперервно диференційовна на відрізку
[α, β], тоді:
а) достатньою умовою існування рівномірного наближення функції f (x) су-
мою многочлена й експоненти (1) із найменшою абсолютною похибкою на від-
різку [α, β] та точним відтворенням значення функції та її похідної у точці α є
справдження нерівностей (2), у яких
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1 2 4
1
1 1 2 4
2 1 2 3
1 1 3 1 2
1 1 1 3 1 1 2
; ,
, якщо 1;
; ,
; , , ,
; , ; ,
, якщо 1 1;
; , ; ,
j j j j
j j j j
j j j j
D U z z
U z j
D s z z
D U z z z z
D U z z D U z z
j n
D s z z D s z z
+ + +
+ + +
+ + +
′− =
=
− < ≤ +
(26)
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
1 2 4 3 2
2
, якщо 1;
; , 2 , якщо 2;
, якщо 2 2;
j j
j j
U z j
D U z z U z U z U z j
U z U z j n
+
+
′ == + − =
− < ≤ +
(27)
U'(x) — похідна функції U(x), ( )4,3 += njz j — довільні, упорядковані за зрос-
танням zj < zj + 1 числа з (α, β], z1 = z2 = α;
б) у випадку виконання умов пункту а існує єдине рівномірне наближення
функції f (x) сумою многочлена й експоненти (1) із найменшою абсолютною по-
хибкою на відрізку [α, β] та точним відтворенням значення функції та її похідної
у точці α, а його параметри задовольняють систему рівнянь
( )
0
0
n
i p
i
i
f a Ae α
=
α − α − =∑ ,
( ) 1
1
0
n
i p
i
i
f ia Ape− α
=
′ α − α − =∑ ,
( ) ( )
0
1 , 3, 4j
n
jpzi
j i j
i
f z a z Ae j n
=
− − = − µ = +∑ , (28)
у якій ( )4,3 += njz j — упорядковані за зростанням точки чебишовського альтер-
нансу з (α, β].
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 7, 112-124
121
Доведення. Довести цю теорему можна аналогічно до теореми 1, опираючись
на характеристичну теорему існування та єдиності рівномірного наближення функ-
ції f (x) нелінійним виразом і точним відтворенням значення функції та її похід-
ної у зовнішніх точках [5].
Аналогічно можна встановити, що достатньою умовою існування рівномір-
ного наближення функції f (x) сумою многочлена й експоненти (1) із найменшою
абсолютною похибкою на відрізку [α, β] та точним відтворенням значення функ-
ції та її похідної у точці β є справдження нерівностей (2), у яких
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
1 1 3 1 2
1 1 1 3 1 1 2
2 1 2 3
1 1 3
4
1 1 1 3
; , ; ,
, якщо 1 1;
; , ; ,
; , , ,
; ,
, якщо 1,
; ,
j j j j
j j j j
j j j j
n n
n
n n
D U z z D U z z
j n
D s z z D s z z
D U z z z z
D U z z
U z j n
D s z z
+ + +
+ + +
+ + +
+ +
+
+ +
− ≤ < +
=
′ − = +
(29)
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
1 2 3 2 1
4
, якщо 1 ;
; , 2 , якщо 1;
, якщо 2,
j j
j j n n n
n
U z U z j n
D U z z U z U z U z j n
U z j n
+
+ + + +
+
− ≤ ≤
= − − = +
′ = +
(30)
( )2,1 += njz j — довільні, упорядковані за зростанням 1j jz z +< числа з [α, β), а
z n + 3 = z n + 4 = β.
3. Визначення параметрів рівномірного наближення сумою полінома
й експоненти з найменшою абсолютною похибкою та точним відтворенням
значення функції та її похідної у крайніх точках відрізка
Відповідно до теореми про існування та єдиність рівномірного наближення функ-
ції f (x) нелінійним виразом із точним відтворенням значення функції та її похід-
ної у зовнішніх точках [5], параметри рівномірного наближення функції f (x) ви-
разом (1), якщо воно існує, можна визначити за схемою Ремеза. Таке наближення
функції f (x) сумою многочлена й експоненти (1) із найменшою абсолютною по-
хибкою на відрізку [α, β] та точним відтворенням значення функції та її похідної
в обох крайніх точках відрізка α та β має n точок альтернансу, а в разі ермітового
інтерполювання лише в одній із крайніх точок — (n + 1)-у точку альтернансу.
Нехай ( )2,3 += njz j — точки альтернансу у випадку наближення з ермітовим
інтерполюванням в обох крайніх точках відрізка, ( )4,3 += njz j — точки альтернансу
в разі наближення з ермітовим інтерполюванням лише у точці α, а ( )2,1 += njz j —
відповідно у точці β. Якщо функція f (x) задовольняє умови теорем і точки альтер-
нансу відомі, то параметри ( )niai ,0= і A рівномірного наближення функції f (x)
виразом (1) із найменшою абсолютною похибкою на відрізку [α, β] та точним
Петро Малачівський
Рівномірне наближення сумою многочлена й експоненти з точним відтворенням значення ...
122
відтворенням значення функції та її похідної в обох крайніх точках відрізка α та
β або одній із них визначаються за формулами
( ) ( )32113211 ,...,,;,...,,; ++++ ϕ= nnnn zzzDzzzfDA ; (31)
( ) ( ) ( )
( )221
221
1
221221
,...,,;
,...,,;,...,,;,...,,;
+
+
+=
++ ϕ−−
=
∑
kkk
kk
n
ki
kikikk
k zzzsD
zzzADzzzsDazzzfD
a ,
nk ,1= ; (32)
( ) ( ) ( ) ( )
+−+−+= ∑
=
43
1
43430 2
1 pzpz
n
i
ii
i eeAzzazfzfa , (33)
де φ(p, x) = epx, а значення виразів визначаються формулою (5), у якій залежно від
точок інтерполювання для k = 1 і k = 2 використовуються відповідно формули (6)
і (7), (26) і (27) або (29) і (30).
Значення параметра p є розв’язок рівняння (17). Розв’язок цього рівняння шука-
тимемо з урахуванням його властивостей, встановлених під час доведення теореми 1.
Оскільки ліва частина рівняння (17) є експоненційною функцією, то його розв’язок
доцільно шукати як корінь рівняння ( ) ( )n
ng p V= , де ( ) ( )( )lnn ng p p= ω ,
( ) ( )( )lnn nV W= .
Корінь цього рівняння можна обчислити за ітераційним методом Ньютона
( ) ( )
( )in
n
in
ii pg
Vpgpp
′
−
−=+1 , ....,2,1,0=i (34)
де
( ) ( )
( )
( )
( )3211
3211
4321
4321
...,,,;
...,,,;
,...,,;
...,,,;
++
++
++
++
ϕ
ϕ−
ϕ
ϕ=′
nn
nn
nn
nn
n zzzD
zzzD
zzzD
zzzDpg ; (35)
( ) pzzezp =ϕ ; ; ( ) pzezp =ϕ , ;
( ) ( )( )
( )
1324
00
2
zzzz
V
WWsignp
nn
n
nn
−+−
−=
++
; (36)
а значення виразів W (n), ( )
0
nW і Dk(U; zi, zi + 1, ..., zi + k + 1) визначаються формулами
(3)-(5), у яких залежно від точок інтерполювання для k = 1 і k = 2 використову-
ються відповідно формули (6)-(7), (26)-(27) або (29)-(30).
Початкове значення наближення p0 до шуканого кореня рівняння (17) ви-
значається, виходячи з вигляду (25) лівої частини цього рівняння. З міркувань,
викладених під час доведення теореми 1 випливає, що у разі такого вибору зна-
чення p0 його знак завжди співпадає зі знаком шуканого розв’язку. Співпадання
знаків необхідне для забезпечення стійкості ітераційного методу (34) тому, що
функція gn(p) має розрив у точці p = 0. При такому виборі початкового значення
p0 проміжні значення pi завжди будуть одного знаку з шуканим розв’язком і,
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 7, 112-124
123
зрозуміло, не переходитимуть через нуль. Під час розв’язування тестових задач
ітераційний процес (34) збігався за три-чотири ітерації.
У програмній реалізації алгоритму рівномірної апроксимації з інтерполю-
ванням виразом (1) для довільного n процедуру отримання значень величин, що
входять у трансцендентне рівняння (17) і формули (31)-(33) для обчислення зна-
чень параметрів зручно реалізувати за схемою послідовного виключення, вико-
ристаною під час доведення теореми 1.
Висновки. Достатньою умовою існування рівномірного наближення функції f (x)
сумою полінома й експоненти (1) із найменшою абсолютною похибкою на від-
різку [α, β] та точним відтворенням значення функції та її похідної у крайніх точках
відрізка є виконання нерівностей (2), у яких залежно від точок інтерполювання
для k = 1 і k = 2 застосовуються відповідно формули (6), (7), (26), (27) або (29), (30).
Цим умовам задовольняють, зокрема, функції f (x) ( f (x) ∈Cn[α, β]), відмінні від
полінома (n + 1)-го степеня, n-на похідна яких строго монотонна на відрізку [α, β].
Параметри ( )niai ,0= і A такого наближення визначаються за формулами (31)-(33).
Значення параметра p є коренем трансцендентного рівняння (17), розв’язок якого
можна знайти за ітераційною схемою (34).
Рівномірне наближення виразом (1) із точним відтворенням значення функ-
ції та її похідної в крайніх точках відрізка окрім побудови неперервних і гладких
мінімаксних сплайн-наближень використовується ще для апроксимації розв’язків
диференціальних рівнянь.
Література
[1] Попов Б. А. Равномерное приближение сплайнами. — К.: Наук. думка, 1989. — 272 с.
[2] Dunham C., Zhu C. Strong uniqueness of nonlinear Chebyshev approximation (with inter-
polation) // Numerical mathematics and computing, Proc. 20 th Manitoba Conf., Winni-
peg. — Can. 1990, Congr. Numerantium 80, 1991. — P. 161-169.
[3] Meinardus G., Walz G. Best Approximation By Free Knot Splines // BIT. — 2001. —
Vol. 41, № 1. — P. 158-178.
[4] Попов Б. А., Теслер Г. С. Приближение функций для технических приложений. —
К.: Наук. думка, 1980. — 352 с.
[5] Малачівський П. С. Рівномірне наближення нелінійним виразом із точним відтво-
ренням значень функції та її похідної в зовнішніх точках // Волинський математич-
ний вісник. — 2007. — Вип. 4 (13). — C. 109-118.
[6] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников. — М.: Мир,
1977. — 831 с.
[7] Малачівський П. С. Рівномірне наближення сумою многочлена й експоненти з інтер-
полюванням у крайніх точках // Доп. НАН України. — 2008. — № 2. — С. 54-58.
[8] Малачівський П. Рівномірне наближення сумою многочлена і функції з одним не-
лінійним параметром // Фізико-математичне моделювання та інформаційні техно-
логії. — 2005. — Вип. 1. — C. 134-145.
Петро Малачівський
Рівномірне наближення сумою многочлена й експоненти з точним відтворенням значення ...
124
Uniform approximation by sum of a polynomial
and exponential with exact reproduction of function
and its derivative values at the end points of interval
Petro Malachivskyy
The properties of uniform (Chebyshev, minimax) function approximation by a sum of polynomial
and exponential with exact reproduction of function and its derivative values at the end points are
investigated. The sufficient conditions of such approximation are established and the Remez’s
algorithm to determine the parameters of this approximation is proposed.
Равномерное приближение суммой многочлена
и экспоненты с точным восстановлением значения функции
и ее производной в крайних точках отрезка
Петро Малачивский
Исследованы свойства равномерного (чебишевского, минимаксного) приближения суммой
многочлена и экспоненты с наименьшей абсолютной погрешностью и точным восстанов-
лением значения функции и ее производной в крайних точках отрезка. Установлены доста-
точные условия существования такого чебишевского приближения и предложен алгоритм
для определения его параметров по схеме Ремеза.
Отримано 11.03.08
|