До ідентифікації параметрів багатошарових тіл із використанням теплового зондування
Розглядається математична модель для ідентифікації структури та теплофізичних властивостей плоских багатошарових тіл із використанням стаціонарних теплових процесів. У рамках моделі встановлені множини інформативних параметрів і сформульовані прямі й обернені задачі ідентифікації. На прикладі двошар...
Saved in:
| Published in: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21884 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | До ідентифікації параметрів багатошарових тіл із використанням теплового зондування / В. Чекурін // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 7. — С. 9-20. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860205577242673152 |
|---|---|
| author | Чекурін, В. |
| author_facet | Чекурін, В. |
| citation_txt | До ідентифікації параметрів багатошарових тіл із використанням теплового зондування / В. Чекурін // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 7. — С. 9-20. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| description | Розглядається математична модель для ідентифікації структури та теплофізичних властивостей плоских багатошарових тіл із використанням стаціонарних теплових процесів. У рамках моделі встановлені множини інформативних параметрів і сформульовані прямі й обернені задачі ідентифікації. На прикладі двошарового тіла проведено дослідження впливу його структури на вимірювальні інформативні параметри.
The mathematical model for identification of the structure and thermal properties of multilayer plane bodies with the use of stationary thermal processes has been considered. Within the frame of the model, the information parameters have been established and direct and inverse problems for identification have been formulated. For the case of a two-layered body the influence of the body structure on the measuring information parameters has been investigated.
Рассматривается математическая модель для идентификации структуры и теплофизических свойств плоских многослойных тел с использованием стационарных тепловых процессов. В рамках модели установлены множества информативных параметров, сформулированы прямые и обратные задачи идентификации. На примере двухслойного тела выполнены количественные исследования влияния структуры и условий нагрева тела на измеряемые информативные параметры.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:12:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
9
До ідентифікації параметрів багатошарових тіл
із використанням теплового зондування
Василь Чекурін
Д. ф.-м. н., професор, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України,
вул. Наукова, 3б, Львів, e-mail: chekurin@iapmm.lviv.ua
Розглядається математична модель для ідентифікації структури та теплофізичних влас-
тивостей плоских багатошарових тіл із використанням стаціонарних теплових процесів.
У рамках моделі встановлені множини інформативних параметрів і сформульовані прямі й
обернені задачі ідентифікації. На прикладі двошарового тіла проведено дослідження впли-
ву його структури на вимірювальні інформативні параметри.
Ключові слова: ідентифікація, неруйнівні методи, прямі й обернені задачі,
теплове зондування, багатошарові структури.
Вступ. Задачі ідентифікації параметрів структури та фізичних властивостей кусково-
однорідних тіл виникають у багатьох прикладних дисциплінах — технічній діаг-
ностиці, геофізиці, геологічній розвідці, біофізиці тощо. Неруйнівні методи базу-
ються на зондуванні об’єктів фізичними полями та вимірюванні змін параметрів
зондувального поля, зумовлених його взаємодією з тілом. Якщо теплофізичні
характеристики складових кусково-однорідного тіла відрізняються, то для зонду-
вання об’єктів можна застосовувати температурне поле, створене зовнішніми по-
токами чи об’ємними джерелами тепла [2, 3]. При цьому інформативними пара-
метрами є збурення температурного поля та теплового потоку на поверхні об’єкту,
зумовлені неоднорідністю теплофізичних властивостей. Дослідимо можливість
застосування методу теплового зондування для неруйнівної ідентифікації внут-
рішньої структури та теплофізичних властивостей плоских шаруватих тіл.
1. Математичні моделі зондування температурним полем
Обмежимося випадком зондування стаціонарним двовимірним температурним
полем. Із цією метою розглянемо модель багатошарового тіла — безмежну пря-
мокутну область D = {x∈(– ∞, ∞)∪ y∈(0, 1)}, де x, y — безрозмірні координати,
віднесені до товщини тіла. Коефіцієнт теплопровідності λ матеріалу в області D є
кусково-постійною функцією координати y
( )
( )
( )
( )
1 1
2 2
, , ,
, , ,
, , ,N N
x y
x y
y
x y
λ ∈
λ ∈λ = λ =
λ ∈
D
D
D
1, Nα = , (1)
УДК 536.24
Василь Чекурін
До ідентифікації параметрів багатошарових тіл із використанням теплового зондування
10
де ( ){ }1( , ) ,x y Y Yα α− α= ∈ −∞ ∞ ∪ ∈D , 0constαλ = > , ( )0,1Yα ∈ , 0 0Y = .
Параметри Yα та λα визначають внутрішню структуру та теплофізичні влас-
тивості шаруватого тіла, що підлягають визначенню.
Якщо на сторонах y = 0 та y = 1, що обмежують область D, задані розподіли
температури T0(x) та T1(x), то в тілі виникає стаціонарне двовимірне температурне
поле T(x, y), яке, за певних обмежень на функції T0(x), T1(x), x∈( – ∞, ∞), у кожній
із відкритих областей Dα задовольняє рівняння Лапласа
2 2
2 2 0T T
x y
∂ ∂
+ =
∂ ∂
, ( , )x y α∈D , (2)
на межах сусідніх областей Dα, 1, Nα = , умови
( ) ( )1, , 0,T x Y T x Yα α−− =
( ) ( )
1
1
, ,
0,
y Y y Y
T x y T x y
y y
α α−
α α−
= =
∂ ∂
λ − λ =
∂ ∂
(3)
а на зовнішній межі області D умови
( ) ( ) ( ) ( )0 1, 0 , ,1 .T x T x T x T x= = (4)
Лінійна крайова задача (2)-(4) має єдиний розв’язок, за яким, зокрема, можна
визначити густини теплових потоків на поверхнях y = 0 та y = 1
( ) ( ) ( ) ( )
0 1 1
0 1
, ,
, N
y y
T x y T x y
J x J x
y y
= =
∂ ∂
= −λ = −λ
∂ ∂
. (5)
Таким чином, при заданих параметрах Y1, Y2, ..., YN та λ1, λ2, ..., λN матема-
тична модель (2)-(5) встановлює відповідність між парами функцій (T0(x), T1(x))
та (J0(x), J1(x)). Позначатимемо ці пари функцій як T та J, а множину структурних
Y1, Y2, ..., YN і теплофізичних параметрів λ1, λ2, ..., λN як Y та Λ. Тоді відповідність
між парами (T0(x), T1(x)) і (J0(x), J1(x)), яку встановлює математична модель (2)-(5),
можна трактувати як відображення
( ), :T
Y T JΛM . (6)
Оскільки лінійна стосовно функції T(x, y) крайова задача (2)-(5) математично
коректна, то у разі виконання обмежень (2) на функції (T0(x), T1(x)) відображення
( ),
T
Y ΛM є бієктивне, тобто існує обернене до нього відображення
( ), :J
Y J TΛM . (7)
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 7, 9-20
11
Відображення (7) визначається математичною моделлю, повна система спів-
відношень якої складається з рівняння (2), умов спряження (3), крайових умов
( ) ( ) ( ) ( )0 0 1
0 1
, ,
, ,N
y y
T x y T x y
J x J x
y y
= =
∂ ∂
λ = λ =
∂ ∂
(8)
а також формул
( ) ( ) ( ) ( )0 1,0 , ,1T x T x T x T x= = , (9)
де J0(x), J1(x) — задані функції, T(x, y) — розв’язок задачі (2), (3), (8).
Таким чином маємо дві математичні моделі (2)-(5) та (2), (3), (8), (9), які
називатимемо моделями T- та J-зондування відповідно. Обидві моделі пов’язу-
ють розподіли температури та густини теплового потоку, що діють на зовнішній
поверхні об’єкта з його внутрішніми параметрами — структурою та теплофізич-
ними властивостями.
2. Емпіричні моделі та множини інформативних параметрів
Математичні об’єкти T та J є моделями реальних фізичних полів — температури
та густини потоку, що діють на поверхнях y = 0 та y = 1. Ці поля можна визначити
незалежно від математичної моделі (2)-(4), наприклад, шляхом фізичних вимірю-
вань. Для цього слід узяти шарувате тіло, теплофізичні властивості якого визна-
чаються співвідношенням (1), створити на його верхній і нижній поверхнях стаціо-
нарні розподіли температури 0 ( )ET x і 1 ( )ET x , а відтак виміряти густини теплових
потоків 0 ( )EJ x і 1 ( )EJ x на цих поверхнях. У такий спосіб буде встановлено відоб-
раження ( ),
T
Y ΛE між парами ( )0 1( ), ( )E ET x T x і ( )0 1( ), ( )E EJ x J x (позначатимемо їх як
T E та J E відповідно)
( ), :T E E
Y T JΛE . (10)
У позначеннях T E, J E, ( ),
T
Y ΛE і т. д. літери E та E вказують на емпіричну
(апостеріорну) природу відповідних об’єктів.
Аналогічно, задаючи на зовнішніх поверхнях тіла теплові потоки 0 ( )EJ x та
1 ( )EJ x і вимірюючи стаціонарні розподіли температур, які при цьому виникати-
муть на цих поверхнях, встановимо відповідність між парами J E, T E
( ), :J E E
Y J TΛE . (11)
Слід підкреслити, що об’єкти T та J з одного боку та J E та T E з іншого,
мають істотні відмінності між собою. Якщо областю визначення функцій T та J є
Василь Чекурін
До ідентифікації параметрів багатошарових тіл із використанням теплового зондування
12
числова пряма – ∞ < x < ∞ і вони є об’єктами детерміністичних математичних
моделей (2)-(5) та (2), (3), (8), (9), то J E та T E визначені на скінченних відрізках
прямої (можливо, навіть на скінченній множині точок на них) і є реалізаціями
деяких випадкових процесів, що описують процеси відбору даних шляхом фізич-
них вимірювань, які застосовують для знаходження відповідних фізичних пара-
метрів (температури та теплового потоку). Це стосується й відображень ( ),
T
Y ΛM ,
( ),
J
Y ΛM та ( ),
T
Y ΛE , ( ),
J
Y ΛE , що пов’язують відповідні функції. Отже, на відміну від
T, J, ( ),
T
Y ΛM , ( ),
J
Y ΛM , які є детерміністичними об’єктами, об’єкти T E, J E, ( ),
T
Y ΛE ,
( ),
J
Y ΛE є нечіткими (стохастичними). Називатимемо їх об’єктами класів M та E
відповідно.
Проте, якщо вибрати поздовжній розмір фізичного об’єкта, на якому здійс-
нюються вимірювання, значно більшим за його товщину, та зондування здійс-
нювати шляхом локального нагрівання, тобто вибирати функції T E, J E відмінними
від нуля лише на відрізках, довжини яких значно менші за довжину об’єкта та
достатньо віддалені від його поперечних країв, то математичні моделі (2)-(4) та
(2), (3), (8) достатньо точно описуватимуть фізичні процеси, які виникають за таких
умов. На цій основі можна визначити правила для співставлення об’єктів класів
M з їх нечіткими аналогами — об’єктами класу E та навпаки, тобто — правила,
що встановлюють відношення еквівалентності між цими двома групами об’єктів.
Нехай R відображення, що ставить у відповідність об’єктові класу E об’єкт
класу M. Його можна реалізувати, застосовуючи до емпіричних даних статистичне
усереднення, інтерполяцію, згладжування, екстраполяцію тощо.
Отже, якщо задано два об’єкти T E та J E класу E, які визначають емпіричні
(апостеріорні) розподіли температур на зовнішніх поздовжніх поверхнях N-ша-
рової плоскої структури та відповідні їм розподіли теплових потоків на цих по-
верхнях, то зіставляючи за правилом R ці дані з математичною моделлю ( ),
T
Y ΛM
чи ( ),
J
Y ΛM , отримуємо деяку інформацію щодо внутрішньої структури та тепло-
фізичних параметрів цього тіла. Таке зіставлення для моделей T- та J-зондування
можна подати у вигляді символічних рівнянь
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ), ,,T E E J E E
Y YT J J TΛ Λ= =M R R M R R , (12)
чи відповідних їм діаграм
( ) ( ) ( ) ( ), , , ,,T T J J
Y Y Y Y
E E
E E
T T J J
J J T T
Λ Λ Λ Λ
→ →
→ →
↓ ↓ ↓ ↓E M E M
R R
R R
, (13)
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 7, 9-20
13
в яких невідомі є параметри внутрішньої структури та теплофізичних властивос-
тей Y та λ.
Тож пари функцій ( )0 1( ), ( )E E ET T x T x= та ( )0 1( ), ( )E E EJ J x J x= , відповід-
ність ( ),
T
Y ΛE ( )( ),або J
Y Λ E між якими встановлюють у процесі фізичних вимірю-
вань за методиками, які описані вище, можна використовувати як інформативні
параметри для неруйнівної ідентифікації шаруватих структур із використанням
температурного поля.
Зондування тіла за цими методиками можна здійснювати неодноразово, ви-
користовуючи різні умови нагрівання. При цьому щораз отримуватимемо нову інфор-
мацію щодо структури та властивостей тіла, позаяк для кожної пари T E∈T E та
J E∈J E справедливе рівняння виду (12). Так одержимо сукупності рівнянь для
моделі T-зондування
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
1 1,
2 2,
,
,
, , ,
T
T E E
Y
T E E E E E E
i iY
T E E
Z ZY
T J
T J T J
T J
Λ
Λ
Λ
=
= ∈ ∈
=
M R R
M R R T J
M R R
(14)
та для моделі J-зондування
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
1 1,
2 2,
,
,
,
, , .
J
J E E
Y
J E E
Y
J E E E E E E
Z Z i iY
J T
J T
J T J T
Λ
Λ
Λ
=
=
= ∈ ∈
M R R
M R R
M R R J T
(15)
Тут ZT та ZJ — кількості відповідних зондувань.
Множини { }1 2, , ,
T
E E E E
ZT T T= …T та { }1 2, , ,
T
E E E E
ZJ J J= …J , між якими діє відоб-
раження ( ),
T
Y ΛE , називатимемо множиною інформаційних параметрів для T-зон-
дування, а множини { }1 2, , ,
J
E E E E
ZJ J J= …J та { }1 2, , ,
J
E E E E
ZT T T= …T , які по-
в’язані відображенням ( ),
J
Y ΛE називатимемо множиною інформаційних парамет-
рів для J-зондування. Відображення ( ),
T
Y ΛE та ( ),
J
Y ΛE є емпіричними моделями
тіла для T- та J-зондувань відповідно.
Василь Чекурін
До ідентифікації параметрів багатошарових тіл із використанням теплового зондування
14
У разі збільшення кількості зондувань зростає кількість елементів множин
T E та J E (ZT — під час T-зондування та ZJ під час J-зондування), а відтак —
збільшується інформативність відповідних емпіричних моделей ( ),
T
Y ΛE та ( ),
J
Y ΛE .
Як випливає з діаграм (13), сукупності рівнянь (14) і (15) можна розглядати
як зіставлення відповідних емпіричних і математичних моделей N-шарової
структури, які можна подати у вигляді символічних рівнянь
( )( ) ( ) ( )( ) ( ), , , ,,T T J J
Y Y Y YΛ Λ Λ Λ= =R E M R E M . (16)
3. Прямі й обернені задачі ідентифікації
Розглядатимемо пряму й обернену задачі ідентифікації структури та теплофізич-
них властивостей шаруватого тіла з використанням теплового зондування.
Пряма задача для моделі T-зондування. Нехай задані множини параметрів
структури Y = {Y1, Y2, ..., YN} і теплофізичних параметрів Λ = {λ1, λ2, ..., λN}. Знай-
ти для заданої множини функцій T відповідну їй за відображенням ( ),
T
Y ΛM мно-
жину функцій J.
Щоб розв’язати цю пряму задачу необхідно для кожної пари функцій кра-
йових умов ( )0 1,T T ∈T розв’язати задачу (2)-(4), а відтак за формулами (5)
обчислити відповідну їй пару функцій ( )0 1,J J ∈ J . Її розв’язок можна подати
символічно у вигляді
( ) ( ), ,T
YJ T TΛ= ∈M T або ( ) ( ),
T
Y Λ=J M T . (17)
Множину J називатимемо розв’язком цієї прямої задачі ідентифікації
на множині T для множини параметрів Y, Λ.
Пряма задача для моделі J-зондування. Нехай задані множини параметрів
структури Y = {Y1, Y2, ..., YN} і теплофізичних параметрів Λ = {λ1, λ2, ..., λN}. Для зада-
ної множини J знайти відповідну їй за відображенням ( ),
J
Y ΛM множину функцій T.
Щоб розв’язати цю пряму задачу необхідно для кожної пари функцій кра-
йових умов ( )0 1,J J ∈ J розв’язати задачу (2), (3), (8), а відтак за формулами (9)
обчислити відповідну їй пару функцій ( )0 1,T T ∈T . Розв’язок цієї задачі можна
подати символічно як
( ) ( ), ,J
YT J JΛ= ∈M J або ( ) ( ),
J
Y Λ=T M J . (18)
Множину T називатимемо розв’язком цієї прямої задачі ідентифікації
на множині J для множина параметрів Y, Λ.
Із використанням розв’язків прямих задач ідентифікації можна кількісно
оцінювати інформативні параметри для різних умов теплового зондування, а також
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 7, 9-20
15
вплив на них параметрів Y1, Y2, ..., YN та λ1, λ2, ..., λN, що підлягають визначенню.
Це, своєю чергою, дозволяє оцінювати чутливість і роздільну здатність методу
ідентифікації, здійснювати його оптимізацію за цими показниками шляхом від-
повідного вибору умов зондування.
Для цього введемо обернене до R відображення R – 1, що ставить у відпо-
відність об’єктові класу M об’єкт класу E. Дію відображення R – 1 для моделей T-
та J-зондування можна зобразити діаграмами
( ) ( ) ( ) ( ), , , ,
1 1
1 1
,T T J J
Y Y Y Y
E E
E E
T T J J
J J T T
Λ Λ Λ Λ
− −
− −
→ →
→ →
↓ ↓ ↓ ↓M E M E
R R
R R
, (19)
з яких випливає, зокрема, що R – 1 встановлює також відповідності між множинами
1 1: , :E E− −→ →R T T R J J , (20)
а також математичними й емпіричними моделями
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
, , , ,: , :T T J J
Y Y Y Y
− −
Λ Λ Λ Λ→ →R M E R M E . (21)
Відображення R – 1 можна реалізувати шляхом моделювання процесів від-
бору даних під час теплового зондування. Наприклад, якщо вимірювання здійснюють
у дискретній множині точок на поверхні тіла, то відображення R – 1 включатиме
формування на основі розв’язків відповідних прямих задач дискретної множини
значень пар функцій (J0(x), J1(x)) (для T-зондування) або (T0(x), T1(x)) (для J-зон-
дування) у заданих дискретних множинах точок вимірювання на поверхнях тіла
y = 0,1. Щоб врахувати вплив випадкових похибок на результати вимірювання
можна змоделювати процес відбору даних певним стохастичним процесом, який
для заданого розв’язку прямої задачі, генерує задану кількість випадкових реалі-
зацій із заданим статистичним розкидом [4].
Використовуючи відображення R – 1 і розв’язок прямої задачі ( ) ( ),
T
Y Λ=J M T
та ( ) ( ),
T
Y Λ=T M J , можемо збудувати множини T E, J E, а також відображення
( ),
T
Y ΛE таке, що ( ) ( ),
E T E
Y ΛJ = E T
( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1
, ,, ,E E T T
Y Y
− − −
Λ Λ= = =T D T J D J E D M , (22)
які утворюють модель множини інформативних параметрів для моделі T-зондування.
Аналогічно для моделі J-зондування матимемо
Василь Чекурін
До ідентифікації параметрів багатошарових тіл із використанням теплового зондування
16
( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1
, ,, ,E E J J
Y Y
− − −
Λ Λ= = =J D J T D T E D M , (23)
де ( ) ( ) ( ) ( ), ,,J E J E
Y YΛ Λ= =J M T J E T .
Моделі множин інформативних параметрів можна використовувати як вхідні
дані для відповідних обернених задач із метою відлагоджування алгоритмів їх
розв’язування, оцінки їх швидкодії та впливу статистичних розкидів даних на точ-
ність розв’язування, стійкість алгоритмів тощо.
Обернена задача для моделі T-зондування. Нехай задані множини T E, J E,
що пов’язані відображенням ( ),
T
Y ΛE : ( ) ( ),
E T E
Y Λ=J E T й отримані шляхом T-зон-
дування N-шарового тіла. Знайти такі множини структурних Y та теплофізичних Λ
параметрів, для яких розв’язок прямої задачі T-зондування на множині R (T E) є
еквівалентний множині J E за відображенням R
( ) ( )( ) ( ),
T E E
Y Λ =M R T R J . (24)
Обернена задача для моделі J-зондування. Нехай задані множини J E, T E,
що пов’язані відображенням ( ),
J
Y ΛE : ( ) ( ),
E T E
Y Λ=T E J й отримані шляхом J-зон-
дування N-шарового тіла. Знайти множини структурних Y та теплофізичних Λ
параметрів, для яких розв’язок прямої задачі J-зондування на множині R (J E) є
еквівалентний у сенсі відображення R множині T E
( ) ( )( ) ( ),
J E E
Y Λ =M R J R T (25)
T E, J E у формулах (24), (25) — задані множини функцій; R, ( ),
T
Y ΛM та ( ),
J
Y ΛM —
відомі відображення, тому їх можна розглядати як рівняння стосовно множин
невідомих параметрів Y та Λ.
4. Числове дослідження прямої задачі
Для розв’язування прямої задачі застосуємо до функцій T(x, y), T0(x) і T1(x) пере-
творення Фур’є щодо змінної x. Рівняння (2), умови (3) та (4), записані стосовно
трансформанти t(ω, y) функції T(x, y) матимуть вигляд
( ) ( )
2
2
2
,
, 0
d t y
t y
dy
ω
−ω ω = , (26)
( ) ( )1, , 0,t Y t Yα α−ω − ω =
( ) ( )
1
1
, ,
0,
y Y y Y
t y t y
y y
α α−
α α−
= =
∂ ω ∂ ω
λ − λ =
∂ ∂
(27)
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 7, 9-20
17
а на зовнішній межі області D умови
( ) ( ) ( ) ( )0 1,0 , ,1 .t t t tω = ω ω = ω (28)
Загальний розв’язок рівняння (26) має вигляд
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2, , exp , expt y C y y C y yω = ω −ω + ω ω , (29)
де ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 0 1
2 1 2
1
, ,
, ,
,
, ,
i
i
i
iN N N
C y Y Y
C y Y Y
C y
C y Y Y−
ω ∈
ω ∈ω =
ω ∈
, 1, 2i = . (30)
Підставляючи розв’язок (29) в умови (27), (28), отримуємо систему лінійних
алгебраїчних рівнянь стосовно невідомих коефіцієнтів
( )11 21 0 ,C C t+ = ω
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 1 2exp exp exp exp 0,C Y C Y C Y C Yα+ α α+ α α α α α−ω + ω − −ω − ω =
( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 1 1exp exp expC Y C Y C Yα+ α+ α α+ α+ α α α α−λ −ω + λ ω + λ −ω −
( )2 exp 0,C Yα α α−λ ω =
( )1 2 1exp( ) exp( ) , 1, 1 .N NC C w t N −ω + = ω α∈ − (31)
Розглянемо для прикладу двошарову структуру (N = 2) й обмежимося випад-
ками зондувань, за яких на поверхні y = 1 підтримується стала температура
T1(x) = 0, а на y = 0 задано температурне поле T0(x). При цьому
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
0
11
ch sh sh 1 ch 1
,
1 sh 1 sh 2 1
t Y Y Y Y
C
Y
ω ω + ω ω − + ξ ω − ω =
ξ + ω + ξ − ω −
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
0
21
ch sh sh 1 ch 1
1 sh 1 sh 2 1
t Y Y Y Y
C
Y
ω ω − ω − ω − + ξ ω − ω = −
ξ + ω + ξ − ω −
, (32)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
0
12
exp
,
1 sh 1 sh 2 1
t
C
Y
ω ω
ω =
ξ + ω + ξ − ω −
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
0 1
22
2
exp
, .
1 sh 1 sh 2 1
t
C
Y
ω −ω λ
ω = − ξ =
λξ + ω + ξ − ω −
Василь Чекурін
До ідентифікації параметрів багатошарових тіл із використанням теплового зондування
18
Використовуючи розв’язок (29), з урахуванням формул (5) знаходимо фор-
мули для Фур’є-трансформант функцій J0(x) і J1(x), які визначають густини теп-
лового потоку на поверхнях x = 0 та x = 1
( ) ( ) ( )0 1 11 21j C Cω = −λ −ω ω +ω ω ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 12 22exp expj C Cω = −λ −ω ω −ω +ω ω ω . (33)
Застосовуючи до функцій t(ω, y) і j0(ω), j1(ω) обернене перетворення Фур’є,
визначаємо температурне поле T(x, y) і теплові потоки J0(x) і J1(x).
Отриманий розв’язок прямої задачі використали для дослідження впливу
умов нагрівання та внутрішньої структури тіла на теплові потоки J0(x) та J1(x).
На рисунку наведені розподіли цих потоків під час T-зондування за умови, що
на поверхні y = 1 підтримують сталу температуру T1 = 0, на відрізку x∈[– π / 2a, π / 2a]
поверхні y = 0 діє температурне поле T0(x) = cos(ax), а поза його межами T0(x) = 0.
Криві 1, 2 та 3 на графіках відповідають значенням параметра a = 1, 2, 3, який
визначає ступінь зосередженості нагрівання під час зондування.
Щоб оцінити вплив товщини складових двошарового тіла числові дослі-
дження проведено для трьох значень параметра Y (товщини верхнього шару) 0,2,
0,5 і 0,8. У таблиці для порівняння наведені значення густин потоків J0(x) і J1(x)
(віднесені до теплопровідності верхнього шару) в точці максимуму x = 0 (див. рис.).
При розрахунках приймали, що відношення питомих теплопровідностей шарів ξ
дорівнює двом.
Таблиця
а Y = 0,2 Y = 0,5 Y = 0,8
1 5,026 3,997 3,497
2 6,707 5,505 5,123 J0(0)
3 8,946 7,755 7,464
1 3,499 2,858 2,417
2 2,506 2,087 1,792 J1(0)
3 1,860 1,561 1,348
Рис.
J0
8
6
4
2
0
– 2
– 4
– 4 – 2 0 2 x
J1
2
3
1
0
– 4 – 2 0 2 x
3
2
1
Y = 0,2Y = 0,2
Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 7, 9-20
19
Висновки. У статті розглянуто два способи теплового зондування багатошарового
тіла з метою отримання даних для неруйнівної ідентифікації його внутрішньої
структури та теплофізичних властивостей — T- та J-моделі зондування.
Для кожного з цих способів сформульовані прямі й обернені задачі іденти-
фікації. Формулювання обернених задач враховують стохастичну природу даних,
які отримують шляхом фізичних вимірювань на реальних об’єктах. На прикладі
двошарової структури проведено числове дослідження інформативних парамет-
рів у разі застосування локального нагріву за моделлю T-зондування. Крім T- та
J-зондувань можливі й інші способи збору даних про внутрішню структуру та
теплофізичні властивості багатошарових тіл із використанням теплових процесів.
Це, зокрема, способи, які приводять до змішаних задач теплопровідності для без-
межної смуги, наприклад, коли на одній із її сторін задано теплових потік, а
на іншій — розподіл температури.
Спосіб зондування та конкретні умови теплообміну (розподіли температур
та\чи теплових потоків, які задають, щоб ініціювати теплові процеси в тілі) мо-
жуть суттєво спливати на чутливість і точність відповідного методу ідентифікації.
Так, отримані числові результати вказують на істотні залежності вимірювальних
параметрів T-зондування, а саме, залежності густин теплових потоків, що переті-
кають через нижню та верхню поверхні тіла, від товщини окремих шарів, з яких
воно складається. Крім того, з проведених числових досліджень випливає, що змі-
нюючи область локалізації нагрівання, можна впливати на чутливість інформа-
тивних параметрів до змін параметрів, що підлягають визначенню в задачах іден-
тифікації. Тому з використанням розробленого методу розв’язування прямих задач
ідентифікації необхідно дослідити інформативні параметри для різних способів
зондування та конкретних умов теплообміну з тим, щоб вибрати оптимальні.
Запропоновані формулювання обернених задач дозволяють будувати алго-
ритми їх числової реалізації, застосовуючи розв’язки відповідних прямих задач.
Тому важливого значення набуває проблема створення швидких алгоритмів роз-
в’язування сформульованих прямих задач ідентифікації. Розвинутий тут метод,
який базується на перетворенні Фур’є, дозволяє отримувати аналітичні розв’язки
прямих задач і є одним із найефективніших способів вирішення цієї проблеми. У
подальших дослідженнях цей метод буде застосовано для числового аналізу від-
повідних обернених задач.
Література
[1] Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука,
1977. — 736 с.
[2] Чекурін В. Ф., Шуміліна Н. В. До ідентифікації прямокутного включення у півпло-
щині з використанням потенціального поля // Фізичні методи та засоби контролю
середовищ, матеріалів та виробів (серія), вип. 7: Неруйнівний контроль конструк-
ційних та функціональних матеріалів: Зб. наук. пр. — Львів: Фізико-механічний
інститут ім. Г. В. Карпенка, 2002. — С. 130-132.
Василь Чекурін
До ідентифікації параметрів багатошарових тіл із використанням теплового зондування
20
[3] Чекурин В. Ф., Шумилина Н.В. Обратная задача идентификации приповерхностных
включений с использованием потенциального поля // Тезисы докладов Междунар.
школы-конференции «Обратные задачи: теории и приложения» (11-19 августа 2002 г.,
г. Ханты-Мансийск, Россия). — Ч. 1. — С. 64-65.
[4] Чекурин В. Ф. Обратная задача неразрушающего контроля уровня закалки листо-
вого стекла // Известия Академии Наук: Механика твердого тела. — 1998. — № 3. —
С. 86-97.
To identification of multilayered bodies parameters
with use of thermal sounding
Vasyl Chekurin
The mathematical model for identification of the structure and thermal properties of multilayer
plane bodies with the use of stationary thermal processes has been considered. Within the frame of
the model, the information parameters have been established and direct and inverse problems for
identification have been formulated. For the case of a two-layered body the influence of the body
structure on the measuring information parameters has been investigated.
К идентификации параметров многослойных тел
с использованием теплового зондирования
Василь Чекурин
Рассматривается математическая модель для идентификации структуры и теплофизи-
ческих свойств плоских многослойных тел с использованием стационарных тепловых про-
цессов. В рамках модели установлены множества информативных параметров, сформули-
рованы прямые и обратные задачи идентификации. На примере двухслойного тела выполнены
количественные исследования влияния структуры и условий нагрева тела на измеряемые
информативные параметры.
Отримано 22.04.08
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-21884 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1816-1545 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:12:18Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Чекурін, В. 2011-06-20T07:01:35Z 2011-06-20T07:01:35Z 2008 До ідентифікації параметрів багатошарових тіл із використанням теплового зондування / В. Чекурін // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 7. — С. 9-20. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21884 536.24 Розглядається математична модель для ідентифікації структури та теплофізичних властивостей плоских багатошарових тіл із використанням стаціонарних теплових процесів. У рамках моделі встановлені множини інформативних параметрів і сформульовані прямі й обернені задачі ідентифікації. На прикладі двошарового тіла проведено дослідження впливу його структури на вимірювальні інформативні параметри. The mathematical model for identification of the structure and thermal properties of multilayer plane bodies with the use of stationary thermal processes has been considered. Within the frame of the model, the information parameters have been established and direct and inverse problems for identification have been formulated. For the case of a two-layered body the influence of the body structure on the measuring information parameters has been investigated. Рассматривается математическая модель для идентификации структуры и теплофизических свойств плоских многослойных тел с использованием стационарных тепловых процессов. В рамках модели установлены множества информативных параметров, сформулированы прямые и обратные задачи идентификации. На примере двухслойного тела выполнены количественные исследования влияния структуры и условий нагрева тела на измеряемые информативные параметры. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології До ідентифікації параметрів багатошарових тіл із використанням теплового зондування To identification of multilayered bodies parameters with use of thermal sounding К идентификации параметров многослойных тел с использованием теплового зондирования Article published earlier |
| spellingShingle | До ідентифікації параметрів багатошарових тіл із використанням теплового зондування Чекурін, В. |
| title | До ідентифікації параметрів багатошарових тіл із використанням теплового зондування |
| title_alt | To identification of multilayered bodies parameters with use of thermal sounding К идентификации параметров многослойных тел с использованием теплового зондирования |
| title_full | До ідентифікації параметрів багатошарових тіл із використанням теплового зондування |
| title_fullStr | До ідентифікації параметрів багатошарових тіл із використанням теплового зондування |
| title_full_unstemmed | До ідентифікації параметрів багатошарових тіл із використанням теплового зондування |
| title_short | До ідентифікації параметрів багатошарових тіл із використанням теплового зондування |
| title_sort | до ідентифікації параметрів багатошарових тіл із використанням теплового зондування |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21884 |
| work_keys_str_mv | AT čekurínv doídentifíkacííparametrívbagatošarovihtílízvikoristannâmteplovogozonduvannâ AT čekurínv toidentificationofmultilayeredbodiesparameterswithuseofthermalsounding AT čekurínv kidentifikaciiparametrovmnogosloinyhtelsispolʹzovaniemteplovogozondirovaniâ |