Напружено-деформований стан пружного тіла з тонким включенням

Досліджується напружено-деформований стан пружного тіла з тонким включенням. Для опису поведінки масивної частини тіла використано класичну теорію пружності, а тонкого включення — безмоментну теорії оболонок. З умов ідеального контакту на межі матриці та прошарку записано відповідні умови спряження....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Дата:	2008
Автори:	Винницька, Л., Савула, Я.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2008
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21885
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Напружено-деформований стан пружного тіла з тонким включенням / Л. Винницька, Я. Савула // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 7. — С. 21-29. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-21885
record_format	dspace
spelling	Винницька, Л. Савула, Я. 2011-06-20T07:02:40Z 2011-06-20T07:02:40Z 2008 Напружено-деформований стан пружного тіла з тонким включенням / Л. Винницька, Я. Савула // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 7. — С. 21-29. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21885 519.6; 539.3 Досліджується напружено-деформований стан пружного тіла з тонким включенням. Для опису поведінки масивної частини тіла використано класичну теорію пружності, а тонкого включення — безмоментну теорії оболонок. З умов ідеального контакту на межі матриці та прошарку записано відповідні умови спряження. Доведено додатність оператора отриманої крайової задачі. Числовий аналіз здійснено методом скінченних елементів. Проведено порівняння переміщень та інтенсивності напружень, які виникають за відсутності й у разі наявності включення різної товщини. The stress-strain state of an elastic body with a thin inclusion is investigated. The stress-strain state of the matrix is described by the elasticity theory. The inclusion stress-strain state is described by the membrane shell theory. The corresponding junction conditions are written from the conditions of prefect contact on the interlayer and matrix boundary. Operator of such a boundary value problem is positive. Numerical analysis is performed by the finite elements method. Displacements and stress intensities appearing in the presence of the inclusion of different thickness and without it are compared. Исследуется напряженно-деформированное состояние упругого тела с тонким включением. Для описания напряженно-деформированного состояния массивной части использована классическая теория упругости, а включения — уравнения безмоментной теории оболочек. Для объединения уравнений в одну систему записаны условия сопряжения, следующие из условия идеального механического контакта на общей границе матрицы и включения. Показана положительность оператора сформулированной краевой задачи. Для численного анализа используется метод конечных элементов. Проведено сравнение перемещений и интенсивности напряжений при отсутствии и наличии включения разной толщины. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Напружено-деформований стан пружного тіла з тонким включенням Stress-strain state of elastic body with thin inclusion Напряженно-деформированное состояние упругого тела с тонким включением Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Напружено-деформований стан пружного тіла з тонким включенням
spellingShingle	Напружено-деформований стан пружного тіла з тонким включенням Винницька, Л. Савула, Я.
title_short	Напружено-деформований стан пружного тіла з тонким включенням
title_full	Напружено-деформований стан пружного тіла з тонким включенням
title_fullStr	Напружено-деформований стан пружного тіла з тонким включенням
title_full_unstemmed	Напружено-деформований стан пружного тіла з тонким включенням
title_sort	напружено-деформований стан пружного тіла з тонким включенням
author	Винницька, Л. Савула, Я.
author_facet	Винницька, Л. Савула, Я.
publishDate	2008
language	Ukrainian
container_title	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
format	Article
title_alt	Stress-strain state of elastic body with thin inclusion Напряженно-деформированное состояние упругого тела с тонким включением
description	Досліджується напружено-деформований стан пружного тіла з тонким включенням. Для опису поведінки масивної частини тіла використано класичну теорію пружності, а тонкого включення — безмоментну теорії оболонок. З умов ідеального контакту на межі матриці та прошарку записано відповідні умови спряження. Доведено додатність оператора отриманої крайової задачі. Числовий аналіз здійснено методом скінченних елементів. Проведено порівняння переміщень та інтенсивності напружень, які виникають за відсутності й у разі наявності включення різної товщини. The stress-strain state of an elastic body with a thin inclusion is investigated. The stress-strain state of the matrix is described by the elasticity theory. The inclusion stress-strain state is described by the membrane shell theory. The corresponding junction conditions are written from the conditions of prefect contact on the interlayer and matrix boundary. Operator of such a boundary value problem is positive. Numerical analysis is performed by the finite elements method. Displacements and stress intensities appearing in the presence of the inclusion of different thickness and without it are compared. Исследуется напряженно-деформированное состояние упругого тела с тонким включением. Для описания напряженно-деформированного состояния массивной части использована классическая теория упругости, а включения — уравнения безмоментной теории оболочек. Для объединения уравнений в одну систему записаны условия сопряжения, следующие из условия идеального механического контакта на общей границе матрицы и включения. Показана положительность оператора сформулированной краевой задачи. Для численного анализа используется метод конечных элементов. Проведено сравнение перемещений и интенсивности напряжений при отсутствии и наличии включения разной толщины.
issn	1816-1545
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21885
citation_txt	Напружено-деформований стан пружного тіла з тонким включенням / Л. Винницька, Я. Савула // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 7. — С. 21-29. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT vinnicʹkal napruženodeformovaniistanpružnogotílaztonkimvklûčennâm AT savulaâ napruženodeformovaniistanpružnogotílaztonkimvklûčennâm AT vinnicʹkal stressstrainstateofelasticbodywiththininclusion AT savulaâ stressstrainstateofelasticbodywiththininclusion AT vinnicʹkal naprâžennodeformirovannoesostoânieuprugogotelastonkimvklûčeniem AT savulaâ naprâžennodeformirovannoesostoânieuprugogotelastonkimvklûčeniem
first_indexed	2025-11-24T03:12:58Z
last_indexed	2025-11-24T03:12:58Z
_version_	1850839305444917248
fulltext	21 Напружено-деформований стан пружного тіла з тонким включенням Людмила Винницька1, Ярема Савула2 1 Львівський національний університет імені Івана Франка, вул. Університетська, 1, Львів, 79000, e-mail: lyuda_vyn@yahoo.com 2 д. ф.-м. н., професор, Львівський національний університет імені Івана Франка, вул. Університетська, 1, Львів, 79000, e-mail: savula@franko.lviv.ua Досліджується напружено-деформований стан пружного тіла з тонким включенням. Для опису поведінки масивної частини тіла використано класичну теорію пружності, а тонко- го включення — безмоментну теорії оболонок. З умов ідеального контакту на межі мат- риці та прошарку записано відповідні умови спряження. Доведено додатність оператора отриманої крайової задачі. Числовий аналіз здійснено методом скінченних елементів. Про- ведено порівняння переміщень та інтенсивності напружень, які виникають за відсутності й у разі наявності включення різної товщини. Ключові слова: різномасштабна крайова задача, класична теорія пруж- ності, безмоментна теорія оболонок, метод скінченних елементів. Вступ. Сучасні конструкції елементів машин і споруд дуже часто містять тонкі включення — прошарки малої товщини. Наявність таких включень має істотний вплив на розподіл переміщень, деформацій і напружень. Тонкі включення є також важливими компонентами композитних матеріалів, які мають кращі механічні характеристики, ніж вихідні матеріали матриці та включення. У цьому випадку тонкими включеннями бувають нанорозмірні прошарки. Сучасний стан проблеми, яка стосується механіки взаємодії пружних тіл із тонкими включеннями, досить вичерпно описано у монографії [1]. У ній автор звертає увагу на той факт, що для дослідження напружено-деформованого стану тіл із тонкими включеннями рідко застосовують числові методи, зокрема, метод скінченних елементів. Цю прогалину можна пояснити тим, що мала товщина включення створює значні труднощі для застосування числових методів. Із ме- тою подолання цих проблем у роботах [2-5] запропонований підхід, який базу- ється на використанні моделей пониженої вимірності для дослідження процесів деформування тонких включень. У рамках такого підходу вважають, що товщи- ною неоднорідності можна знехтувати та таким чином отримують математичні моделі, в яких напружено-деформований стан включення опиcується рівняннями теорії пластин і оболонок. Відзначимо, що математичні моделі деформування нанорозмірних вклю- чень будують на основі дискретних моделей молекулярної динаміки. Проте при дослідженні композитів дуже часто застосовують також підхід, який ґрунтується УДК 519.6; 539.3 Людмила Винницька, Ярема Савула Напружено-деформований стан пружного тіла з тонким включенням 22 на використанні співвідношень механіки суцільного середовища. Зокрема, у пра- ці [6], яка присвячена дослідженню напружено-деформованого стану композиту з карбоновими нанотрубками, автори зазначають, що саму нанотрубку можна розглядати як оболонку з приведеними характеристиками. Підходи, які описані вище, усувають проблеми, пов’язані з явищем «малої товщини» включення, а це дає змогу застосовувати метод скінченних елементів до аналізу механіки взаємодії пружних тіл із тонкими включеннями. 1. Формулювання задачі Вважаємо, що криволінійне включення можна описати безмоментною теорією оболонок. Для дослідження напружено-деформованого стану матриці використа- ємо класичну теорію пружності. Приймаємо також, що на межі масивної частини та включення виконуються умови ідеального механічного контакту. 1.1. Різномасштабна крайова задача. Розглянемо двовимірне тіло, обмежене об- ластю Ω, яка складається з трьох однозв’язних підобластей: ( ) ( )1 2 21 1 ,∗Ω =Ω ∪Ω ∪Ω що не перетинаються між собою (див. рис. 1). Віднесемо ( ) ( )1 2 1 1 1Ω =Ω ∪Ω до де- картової системи координат x1, x2. Нехай ( )1 2,n n n= , ( )1 2,t t t= — одиничні век- тори нормалі та дотичної на границі Γ1 підобласті Ω1. У кожній точці серединної кривої S підобласті 2 ∗Ω визначимо 1e — оди- ничний вектор дотичної й 2e — одиничний вектор нормалі, напрямлений у сто- рону випуклості серединної кривої. Підобласть 2 ∗Ω віднесемо до криволінійної ортогональної системи координат ξ1, ξ2 таким чином, що ξ1 співпадає з напрямком 1e , ξ2 — з напрямком 2e , а 1 2,e e утворюють ортогональний базис. Серединну криву S задамо радіус-вектором ( )1mr ξ . Нехай h — товщина підобласті 2 ∗Ω . Тоді радіус- вектор ( )1 2,r ξ ξ довільної точки з 2 ∗Ω можна подати у вигляді Рис. 1. Область Ω * 2Ω (2) 1Ω (1) 1Ω Γ – Γ + x1 x2 1 bξ Sξ1 1e 1 eξ 2e ξ2 Γ1 t n un ut σnn σnt Рис. 1. Геометрія досліджуваного об’єкту ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 7, 21-29 23 ( ) ( ) ( ) [ ]1 2 1 2 2 1 1 1 1 2, , , , 2, 2b e mr r e h h ξ ξ = ξ + ξ ξ ξ ∈ ξ ξ ξ ∈ −  . Напружено-деформований стан пружного тіла, що займає область Ω1, опи- шемо рівняннями [7] 2 1 2 1 1 , 1,2, ,ik i kk f i x x x= ∂σ − = = ∈Ω ∂∑ . (1) Тут σik — компоненти тензора напружень, fі — компоненти вектора масових сил масивної частини тіла. Згідно закону Гука компоненти тензорів напружень σik та деформацій eik пов’язані співвідношеннями ( )11 222 , , 1,2ik ik ike e e i kσ = µ + λ + δ = , (2) де ( ) ( )( )1 1 1 1 1 12 1 , 1 1 2E Eµ = + ν λ = ν + ν − ν — коефіцієнти Ляме, Е1 — модуль Юнга, ν1 — коефіцієнт Пуассона матеріалу матриці, ikδ – символ Кронекера. Компоненти тензора деформації eik визначаються формулами 1 , , 1,2 2 i k ik k i u ue i k x x  ∂ ∂ = + = ∂ ∂  , (3) де u1(x1, x2), u2(x1, x2) — компоненти вектора переміщень точок області Ω1. Вважаємо, що товщина h включення, яке займає область 2 ∗Ω , є настільки малою, що його напружено-деформований стан можна описати рівняннями безмо- ментної теорії оболонок [8] 11 1 1 1 1 1 ,dT F S A d − = ξ ∈ ξ , 1 11 2k T F= . (4) Тут T11(ξ1) — зусилля в оболонці, A1(ξ1) — коефіцієнт Ляме включення, k1(ξ1) — кривизна. Відомо, що Рис. 2. Фрагмент області 2 ∗Ω T11 T11 w 11 −σ 12 −σ υ1 22 +σ 12 +σ Людмила Винницька, Ярема Савула Напружено-деформований стан пружного тіла з тонким включенням 24 2 1 11 11 11 12 1 12 1, 1 E h dT k w A d υ = ε ε = + ξ− ν , (5) ( ) 2 1 1 12 1 12 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 h h h hF k k k p d+ − −    = + σ − − σ + + ξ ξ        ∫ , (6) ( ) 2 2 1 22 1 22 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 h h h hF k k k p d+ − −    = + σ − − σ + + ξ ξ        ∫ , (7) де Е2 — модуль Юнга, а ν2 — коефіцієнт Пуассона матеріалу включення; 1υ (ξ1), w(ξ1) — компоненти вектора переміщення точок серединної кривої S; 12 22,+ +σ σ — компоненти поверхневого навантаження на зовнішній лицевій поверхні оболонки ξ2 = h / 2; 12 22,− −σ σ — компоненти поверхневого навантаження на внутрішній лицевій поверхні оболонки ξ2 = – h / 2 (див. рис. 2); p1, p2 — компоненти вектора масових сил включення. Доповнимо рівняння (1), (4) граничними умовами ( ) * 1 2 20, 0, , \ ,n tu u x x= = ∈∂Ω ∂Ω (8) ( ) ( )1 1 1 1 0.b eυ ξ = υ ξ = (9) На спільних границях областей Ω1 та * 2Ω задамо умови спряження + 1 1, на , , наn t n tu w u u w u −= − = −υ Γ = = υ Γ , (10) + 22 12 22 12, на , , наnn nt nn nt + + − − −σ = σ σ = σ Γ σ = σ σ = σ Γ . (11) У співвідношеннях (8)-(11) використано позначення 1 1 2 2 1 2 2 1, ,n tu u n u n u u n u n= + = − + 2 2 11 1 12 1 2 22 22nn n n n nσ = σ + σ + σ , ( )11 1 1 12 1 2 2 1 22 2 2nt n t n t n t n tσ = σ + σ + + σ . (12) Отже, крайову задачу утворюють системи рівнянь (1), (4), граничні умови (8), (9) та умови спряження (10), (11). 1.2. Дослідження крайової задачі. Для дослідження сформульованої крайової за- дачі домножимо скалярно ліву частину системи (1) на ( )1 2,u u=u , де 1 2,u u — до- вільні функції, які задовольняють граничні умови (8). Отриманий вираз зінтегру- ємо за областю Ω1. Тоді, з урахуванням формули Остроградського, виразів (12) і граничних умов (8) дістаємо білінійну форму ( ) ( ) ( ) 1 * 1 11 11 22 22 12 12 1, nn n nt ta e e e d u u d + −Ω Γ ∪Γ = σ + σ + σ Ω − σ + σ Γ∫∫ ∫u u . (13) ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 7, 21-29 25 У рівняннях системи (4) доданки, що містять компоненти поверхневого на- вантаження, перенесемо в ліву частину. Подібно, як для системи (1), домножимо скалярно ліву частину системи (4) на ( )1, w= υυ , де 1,wυ — довільні функції, які задовольняють граничні умови (9). Отриманий вираз зінтегруємо за серединною кривою S області * 2Ω . Тоді, враховуючи формули інтегрування частинами та бе- ручи до уваги граничні умови (9), отримаємо таку білінійну форму ( ) ( ) 1 1 1 1 * 2 11 11 1 1 12 1 22 1 1 1, 1 2 e e b b ha T A d w k A d ξ ξ + + ξ ξ  = ε ξ − σ υ + σ + ξ +   ∫ ∫υ υ ( ) 1 1 12 1 22 1 1 11 2 e b hw k A d ξ − − ξ  + σ υ + σ − ξ =   ∫ ( ) ( )11 11 12 1 22 12 1 22 S T dS w d w d + − + + + − − − Γ Γ = ε − σ υ + σ Γ + σ υ + σ Γ∫ ∫ ∫ . (14) Вважаємо, що u та υ задовольняють головні умови спряження (10). Дода- мо білінійні форми (13), (14). Тоді отримаємо ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1, , , , де , , , ,a a a u u w= + = υU U u u υ υ U ( ) ( ) 1 1 11 11 22 22 12 12 1,a e e e d Ω = σ + σ + σ Ω∫∫u u , ( )2 11 11, S a T dS= ε∫υ υ . Лема. Оператор крайової задачі (1), (4), (8)-(11) — симетричний. Доведення. Оператор крайової задачі складається з оператора задачі (1), (8), який є симетричним [9, 10], й оператора задачі (4), (9), для дослідження якого розглянемо білінійну форму ( )2 ,a υ υ . Вирази для зусилля та деформації запише- мо через функції переміщень (5). Тоді отримаємо співвідношення ( ) ( ) ( )22 1 1 1 1 1 1 2 1 222 1 1 1 1 1 112 1, , 1 S E h d d k d k da w w k ww dS a d d A d A dA  υ υ υ υ = + + + =  ξ ξ ξ ξ−ν   ∫υ υ υ υ . Окрім того, область визначення оператора є щільною множиною в просторі L2(S), оскільки 0C∞ належить області визначення оператора та 0C∞ утворює щіль- ну множину в просторі L2(S). Лему доведено. Теорема. Оператор крайової задачі (1), (4), (8)-(11) — додатний. Доведення. Розглянемо вираз ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 11 11 22 22 12 12 1, , ,a a a e e e d Ω = + = σ + σ + σ Ω +∫∫U U u u υ υ 22 112 2 . 1 S E h dS+ ε − ν ∫ Людмила Винницька, Ярема Савула Напружено-деформований стан пружного тіла з тонким включенням 26 Оскільки оператор задачі (1), (8) додатний [9, 10] і ( )2 , 0a ≥υ υ для 0 < ν2 < 0,5, то ( ), 0a ≥ ∀U U U . З додатності цього оператора отримуємо також, що u ≡ 0 на Ω1. З огляду на умови спряження (10) і тотожну рівність нулю переміщень в області Ω1, отримуємо, що 1 0,υ ≡ w ≡ 0 на S. Теорему доведено. Зазначимо, що розв’язок задачі, яка описується системою рівнянь (4) та граничними умовами (9), у переміщеннях не є єдиним. Варіаційне формулювання задачі подамо у вигляді: знайти таку функцію U∈V, що задовольняє варіаційне рівняння ( ) ( ) ( )( ) 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 , 1 h hS a U U f u f u d k p p w d dS U V Ω −    = + Ω + + ξ υ + ξ ∀ ∈     ∫ ∫ ∫ , ( ) ( )( ){ ( ) ( )1 1 2 1 1 2 12, : , , , , , ,V U u u u u w u u W= = υ = υ = υ ∈ Ω ( ) ( ) ( ) }1 1 22 , , умови (8)-(10)W S w L Sυ ∈ ∈ . 2. Числовий аналіз У даному розділі подамо результати числових експериментів, отримані для тес- тової задачі. При цьому розглянемо випадок, коли тонке включення є покриттям на частині границі матриці. Нехай пружне тіло займає область * 1 2Ω =Ω ∪Ω (див. рис. 3). Підобласть Ω1 обмежена границями Γ1, Γ2, Γ3, Γ4, а підобласть * 2Ω — покриття на Γ4. Вважаємо, що тіло закріплене на Γ2, на границі Γ1 діє тиск р, а на Γ3 задано умови симетрії. Нехай Рис. 4. Поділ на скінченні елементи для тестової задачі * 2Ω x1 x2 Γ4 Γ1 Γ2Γ3 Ω1 A Рис. 3. Геометрична схема тестової задачі р ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 7, 21-29 27 Рис. 5. Залежність переміщення w у точці А від товщини покриття – 1,25 – 1,50 – 1,75 – 2,00 – 2,25 – 2,50 w·104 / R0 0 0,01 0,02 0,03 h / R Γ4 є сегментом кола радіуса R / R0 = 0,65; a / R0 = 0,6; b / R0 = 0,4, де R0 — деяка розмірна величина, a — довжина границі Γ1, b — довжина границі Γ2. Нехай матеріали підобластей * 1 2,Ω Ω мають такі властивості: E1 / p = 3000, E2 / p = 60000, ν1 = ν2 = 0,3. Відтак, граничні умови задачі запишемо у вигляді 1 2 3на , 0 на , 0 наnn n t n ntp u u uσ = − Γ = = Γ = σ = Γ . Результати числових експериментів отримано при застосуванні схеми методу скінченних елементів третього порядку апроксимації для одновимірної та двовимір- ної областей. Для реалізації схеми застосовано апроксимаційні функції-бульбаш- ки [11, 12] на поділі, який наведений на рис. 4. Рис. 6. Ізолінії переміщень u2 при h/R = 0 для тестової задачі Рис. 7. Ізолінії переміщень u2 при h/R = 1/25 0,4 0,3 0,2 0,1 0 – 0,1 – 0,2 – 0,3 – 0,4 x2 / R0 0,4 0,3 0,2 0,1 0 – 0,1 – 0,2 – 0,3 – 0,4 x2 / R0 0 0,2 0,4 x1 / R0 0 0,2 0,4 x1 / R0 0,35 0,30 0,25 0, 25 0,20 0, 20 0, 15 0, 15 0, 10 0,25 0,20 0,15 0,15 0,10 0,10 0,05 Людмила Винницька, Ярема Савула Напружено-деформований стан пружного тіла з тонким включенням 28 Рис. 8. Інтенсивність напружень на Г4 1,6 1,2 0,8 0,4 σeq / p 0 0,2 0,4 x1 / R0 h / R = 0 h / R = 1 / 100 h / R = 1 / 25 Крива на рис. 5 ілюструє вплив товщини покриття h на переміщення w, у точці А (див. рис. 3), в якій w набуває максималь- ного за абсолютною величиною значення. Точка h / R = 0 відповідає випадку відсут- ності покриття. Порівняємо розподіли переміщень u2, які ви- никають у тілі за відсутності покриття (див. рис. 6) і для покриття товщини h / R = 1 / 25 (див. рис. 7). Наявність покриття приводить до зменшення переміщень і змінює харак- тер їх розподілу. У точках границі Γ4 обчислимо інтенсив- ність напружень за формулою ( )2 2 2 1 2 1 2 1 2eq  σ = σ − σ + σ + σ   , де σ1, σ2 — головні напруження. Як свідчать результати числових експериментів (див. рис. 8), інтенсивність напружень обернено пропорційно залежить від товщини включення. Висновки. У роботі сформульовано різномасштабну крайову задачу про визначення напружено-деформованого стану тіла, яке складається з масивної частини та тонкого включення. Для опису масивної частини тіла застосовано співвідношення класичної теорії пружності, а для тонкого включення — безмоментної теорії оболонок. Групи рівнянь різної вимірності зв’язані спеціальними умовами спряження. Здійснено теоретичне дослідження отриманої крайової задачі, яке показує додатність оператора, що забезпечує єдиність розв’язку. Для числового аналізу задачі використано схеми МСЕ, побудовані на основі 2D й 1D функцій-бульбашок третього порядку апроксимації. Числові результати для тестової задачі свідчать про те, що наявність покриття, виготовленого з міцні- шого матеріалу, ніж масивна частина, приводить до зменшення переміщень точок матриці та включення й інтенсивності напружень. Література [1] Сулим Г. Т. Основи математичної теорії термопружної рівноваги деформівних твердих тіл з тонкими включеннями. Монографія. — Львів: Дослідно-видавничий центр НТШ, 2007. — 716 с. [2] Григоренко О., Савула Н. Полівимірна крайова задача гетерогенної математичної моделі контактної взаємодії пружного тіла з тонким включенням // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. та інформ. — 2006. — Вип. 11. — С. 120-126. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 7, 21-29 29 [3] Савула Я., Винницька Л. Числовий аналіз напружено-деформованого стану порож- нистого циліндра з тонким включенням // Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології. — 2007. — Вип. 6. — С. 54-65. [4] Dyyak I., Savula Ya., Shahin M. Investigation of the Heterogeneous Problems of the Elasticity With Coupled Boundary Finite Elements Schemes // Advances in Applied and Computational Mathematics, Nova Science Publisher. — 2006. — P. 63-79. [5] Savula Ya., Savula N., Shchukin V. Finite Element Analysis Based on Heterogeneous Models // Journal of Computational and Applied Mechanics. — 2004. — Vol. 5, № 1. — Р. 129-140. [6] Liu Y. J., Chen X. L. Continuum Models of Carbon Nanotube-Based Composites Using Boundary Element Method // Electronic Journal of Boundary Elements. — 2005. — Vol. 1, № 2. — Р. 316-335. [7] Демидов С. П. Теория упругости. — М: Высш. школа, 1979. — 432 c. [8] Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. — М: Гос. из-во технико- теоретической литературы, 1953. — 544 с. [9] Михлин С. Г. Проблема минимума квадратичного функционала. — Гостехиздат, 1952. — 216 с. [10] Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике: пер. с англ. — М.: Мир, 1985. — 590 с. [11] Савула Я. Г. Числовий аналіз задач математичної фізики варіаційними методами. — Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2004. — 221 с. [12] Szabo B., Babushka І. Finite element analysis. — New York: John Wiley & Sons, inc., 1991. — 368 p. Stress-strain state of elastic body with thin inclusion Lyudmyla Vynnytska, Yarema Savula The stress-strain state of an elastic body with a thin inclusion is investigated. The stress-strain state of the matrix is described by the elasticity theory. The inclusion stress-strain state is described by the membrane shell theory. The corresponding junction conditions are written from the con- ditions of prefect contact on the interlayer and matrix boundary. Operator of such a boundary va- lue problem is positive. Numerical analysis is performed by the finite elements method. Displa- cements and stress intensities appearing in the presence of the inclusion of different thickness and without it are compared. Напряженно-деформированное состояние упругого тела с тонким включением Людмила Винницка, Ярема Савула Исследуется напряженно-деформированное состояние упругого тела с тонким включением. Для описания напряженно-деформированного состояния массивной части использована клас- сическая теория упругости, а включения — уравнения безмоментной теории оболочек. Для объединения уравнений в одну систему записаны условия сопряжения, следующие из условия идеального механического контакта на общей границе матрицы и включения. Показана поло- жительность оператора сформулированной краевой задачи. Для численного анализа ис- пользуется метод конечных элементов. Проведено сравнение перемещений и интенсивнос- ти напряжений при отсутствии и наличии включения разной толщины. Отримано 11.02.08

Напружено-деформований стан пружного тіла з тонким включенням

Репозитарії

Схожі ресурси