Скінченно-граничноелементна схема методу декомпозиції області для плоских задач теорії пружності з несумісними розбиттями підобластей

Розглядається узагальнення паралельної Неймана-Неймана та послідовної Діріхле-Неймана схем методу декомпозиції області для плоскої задачі теорії пружності за несумісних сіток на межі підобластей. Із використанням мортарних елементів умови ідеального механічного контакту підобластей наближаються слаб...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Дата:	2008
Автори:	Дияк, І., Матисяк, С., Прокопишин, І.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2008
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21886
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Скінченно-граничноелементна схема методу декомпозиції області для плоских задач теорії пружності з несумісними розбиттями підобластей / I. Дияк, С. Матисяк, І. Прокопишин // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 7. — С. 40-51. — Бібліогр.: 20 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859934683539701760
author	Дияк, І. Матисяк, С. Прокопишин, І.
author_facet	Дияк, І. Матисяк, С. Прокопишин, І.
citation_txt	Скінченно-граничноелементна схема методу декомпозиції області для плоских задач теорії пружності з несумісними розбиттями підобластей / I. Дияк, С. Матисяк, І. Прокопишин // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 7. — С. 40-51. — Бібліогр.: 20 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
description	Розглядається узагальнення паралельної Неймана-Неймана та послідовної Діріхле-Неймана схем методу декомпозиції області для плоскої задачі теорії пружності за несумісних сіток на межі підобластей. Із використанням мортарних елементів умови ідеального механічного контакту підобластей наближаються слабкими умовами. Числові результати отримані з використанням лінійних гібридних скінченно-граничноелементних апроксимацій. Досліджено якість наближеного розв’язку від кількості мортарних елементів і його збіжність при згущенні несумісних сіток методу скінченних елементів і прямого методу граничних елементів. A generalization of parallel Neumann-Neumann and sequential Dirichlet-Neumann domain decomposition schemes for a plane elasticity problem with nonconforming meshes on the common boundary of subdomains is proposed. These schemes are based on approximation of ideal mechanical contact conditions of subdomains by weak contact conditions using the mortar element method. Numerical solution is obtained by using linear hybrid finite-boundary element approximation. The quality of the approximate solution depending on a number of mortar elements and its convergence in nonconforming meshes of the method of finite elements and the direct method of boundary-value elements are investigated. Дано обобщение параллельной Неймана-Неймана и последовательной Дирихле-Неймана схем метода декомпозиции области для плоской задачи теории упругости в случае несовместных сеток на общей границе подобластей. Такое обобщение основано на приближении условий идеального механического контакта подобластей слабыми условиями с помощью метода мортарных элементов. Численное решение получено с использованием линейных гибридных конечно-гранично-элементных аппроксимаций. Изучены влияние на решение количества мортарных элементов, сходимость решения при сгущении и сближении несовместных сеток.
first_indexed	2025-12-07T16:09:41Z
format	Article
fulltext	Скінченно-граничноелементна схема методу декомпозиції області для плоских задач теорії пружності з несумісними розбиттями підобластей Іван Дияк1, Станіслав Матисяк2, Ігор Прокопишин3 1 к. ф.-м. н., Львівський національний університет імені Івана Франка, вул. Університетська, 1, Львів, e-mail: dyyak@franko.lviv.ua 2 професор, Варшавський університет, алея Жвірки і Віґури, 93, Варшава, Польща, e-mail: s.j.matysiak@uw.edu.pl 3 Львівський національний університет імені Івана Франка, вул. Університетська, 1, Львів, e-mail: ihor84@gmail.com Розглядається узагальнення паралельної Неймана-Неймана та послідовної Діріхле-Неймана схем методу декомпозиції області для плоскої задачі теорії пружності за несумісних сіток на межі підобластей. Із використанням мортарних елементів умови ідеального механічного контакту підобластей наближаються слабкими умовами. Числові результати отримані з вико- ристанням лінійних гібридних скінченно-граничноелементних апроксимацій. Досліджено якість наближеного розв’язку від кількості мортарних елементів і його збіжність при згущенні несумісних сіток методу скінченних елементів і прямого методу граничних елементів. Ключові слова: метод декомпозиції області, метод скінченних елементів, прямий метод граничних елементів, мортарні функції. Вступ. Гібридні скінченно-граничноелементні апроксимації [1, 2] у поєднанні з мето- дом декомпозиції області (МДО) [3, 4] є ефективним методом розв’язування задач математичної фізики для геометрично складних областей і середовищ із неоднорід- ними фізико-механічними характеристиками. Вони дозволяють врахувати специ- фіку задачі в окремій підобласті та використати переваги різних числових методів. У роботах [5-7] розглянуто послідовні та паралельні гібридні скінченно- граничноелементні схеми МДО розв’язування плоскої задачі теорії пружності. У дослідженні [6] показано відповідність розроблених дискретних схем методу простої ітерації розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Це дозволило здійснити оптимальний вибір ітераційних параметрів цих схем. У згаданих робо- тах використовувалися скінченноелементні та граничноелементні дискретизації з сумісними апроксимаціями та вузлами дискретизації, що співпадали на межі підобластей. У працях [8, 9] запропоновано метод розв’язування крайових задач для рів- няння Пуассона з несумісними апроксимаціями в окремих підобластях. Головна ідея цього методу полягає у наближенні умов неперервності на межі підобластей слабкими умовами з використанням спеціальних базисних функцій — мортарних (стягуючих) функцій. Цей метод отримав назву методу мортарних елементів [10]. За варіаційної постановки задач врахування слабких умов контакту на межі підобластей найчастіше здійснюють методом множників Лагранжа [11-14]. УДК 519.677 40 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 7, 40-51 41 Для нестаціонарних задач, задач із локальною анізотропією та скачками фі- зико-механічних характеристик, кутовою сингулярністю, задач контакту з рухо- мими підобластями схеми МДО з несумісними апроксимаціями є гнучкішими та ефективнішими від звичайних схем, які використовують сумісні дискретизації [14]. Окрім того, такі схеми дозволяють проводити подрібнення сіток незалежно для різ- них підобластей. Це зумовило інтенсивний розвиток методу мортарних елемен- тів. Огляд останніх здобутків у цьому напрямку подано у праці [15]. У пропонованій статті методом мортарних елементів отримано матриці зв’язку між вузловими значеннями переміщень і зусиль для різних підобластей на їх межі. Це дозволило узагальнити гібридні схеми МДО [5, 6] на випадок несумісних сіток. Показано відповідність отриманих схем методу простої ітерації для деяких систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Досліджено їх числову ефективність. 1. Формулювання задачі Розглянемо плоску задачу лінійної теорії пружності для області Ω⊂ R2 з ліпши- цевою межею Γ = ∂Ω [16]. Вектор переміщень u = (u1, u2)T задовольняє в цій об- ласті рівняння рівноваги Ляме ( )grad div ,= µ∆ + λ + µ = ∈ΩLu u u f x , (1) де λ > 0, µ > 0 — параметри Ляме, f — вектор об’ємних сил. Компоненти тензора напружень виражаються через переміщення так ( ) 1 2 11 1 2 2 u u x x ∂ ∂ σ = λ + µ + λ ∂ ∂ , ( )1 2 22 1 2 2u u x x ∂ ∂ σ = λ + λ + µ ∂ ∂ , 1 2 12 21 2 1 u u x x  ∂ ∂ σ = σ = µ + ∂ ∂  . (2) На частині межі Γu⊂ Γ задані кінематичні крайові умови , u= ∈Γu u x , (3) а на частині Γσ⊂ Γ — статичні крайові умови , σ= ∈Γp p x , (4) де p = ( p1, p2)T — вектор зусиль із компонентами 2 1 i ij j j p n = = σ∑ (i =1, 2); nj (j =1, 2) — компоненти зовнішньої одиничної нормалі n = ( n1, n2)T до межі Γ. Розділимо область Ω на підобласті ΩF і ΩB з межами ΓF = ∂ΩF та ΓB = ∂ΩB так, щоб виконувалися умови ,F B F BΩ=Ω Ω Ω Ω =∅∪ ∩ (рис. 1). Нехай S = B F= ∂Ω ∂Ω = ab∩ — спільна межа підобластей, a — початкова точка кривої S, а b — кінцева. Об’єкти та величини, які відносяться до окремої підобласті, будемо відзначати відповідним нижнім індексом. Іван Дияк, Станіслав Матисяк, Ігор Прокопишин Скінченно-граничноелементна схема методу декомпозиції області для плоских задач ... 42 Рис. 1 0 4 x1 x2 2 a p S ΩB ΩF b Крайова задача (1)-(4) еквівалентна таким крайовим задачам для окремих підобластей , , , , , , { , }u d d d d d d d B Fσ= ∈Ω = ∈Γ = ∈Γ ∈Lu f x u u x p p x або у скороченому записі , { , }d d d d B F= ∈L u f (5) з додатковими умовами ідеального механічного контакту на спільній межі B F=u u , B F= −p p , S∈x . (6) Умови ідеального контакту (6) замінимо слабкими умовами ( ) ( ) 0B F k S dS− ϕ =∫ u u x , ( ) ( ) 0B F k S dS+ ϕ =∫ p p x , 1,k m= , (7) де φk(x), x∈S, 1,k m= — система лінійно-незалежних мортарних функцій. Розглянемо деяке розбиття дуги 1 2 2 3 1: m m−=ab ab x x x x x x∪ ∪…∪ , де x1 = a, xm = b. Йому відповідає поділ відрізка [0, \| S \|]: {0 = t1 < ... < tm = \| S \| }, де , 1,k kt k m= =ax . Мортарні функції на межі S, зокрема, можна вибрати лінійними [9] ( ) ( ),k k t Sϕ = ϕ ∈x x , , 1,t k m= =ax , де ( )k tϕ — одновимірні кусково-лінійні функції вигляду (рис. 2) 1 2 1 2 1, [ , ] ( ) 0, t t t t t t ∈ ϕ =  > , ( ) ( ) 1 2 2 3 3 2 2 3 3 1, [ , ] ( ) , [ , ] 0, t t t t t t t t t t t t t ∈ ϕ = − − ∈  > , ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 0, , ( ) , [ , ] , [ , ] k k k k k k k k k k k k k t t t t t t t t t t t t t t t t t t t − + − − − + + +  < >  ϕ = − − ∈  − − ∈ , 3, 2k m= − , ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 7, 40-51 43 ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 1 1 0, ( ) , [ , ] 1, [ , ] m m m m m m m m m t t t t t t t t t t t t t − − − − − − − − < ϕ = − − ∈  ∈ , 1 1 0, ( ) 1, [ , ] m m m m t t t t t t − − < ϕ =  ∈ . Нехай nd — кількість вузлів розбиття підобласті Ωd ( { , }d B F∈ ), що лежать на межі контакту S. Вектори переміщень і зусиль у цих вузлах для області d позначатимемо відповідно j du та j dp , 1, dj n= . Тоді переміщення ud та зусил- ля pd підобласті Ωd ( { , }d B F∈ ) на межі контакту можна наближено подати 1 ( ) ( ) dn j j d d d j f = ≈∑u x u x , 1 ( ) ( ) dn j j d d d j g = ≈∑p x p x , S∈x , (8) де ( ) , ( ) , 1,j j dd df g j n=x x — системи базисних функцій, породжених апроксима- цією, заданою на Ωd. Звідси отримуємо 1 ( ) ( ) dn j j d k d dk jS dS = ϕ ≈ φ∑∫u x x u , 1 ( ) ( ) dn j j d k d dk jS dS = ϕ ≈ χ∑∫p x x p , 1,k m= , де ( ) ( )j j kdk d S f dSφ = ϕ∫ x x , ( ) ( )j j kdk d S g dSχ = ϕ∫ x x , 1, , 1, , { , }dj n k m d B F= = ∈ . Дискретний аналог слабких умов контакту (7) подамо так ,B B F F B B F F= = −H u H u Q p Q p , (9) де ( ) ( ) ( )1 2, , , d TTT T n d d d d  =     u u u u… — узагальнений вектор вузлових переміщень, ( ) ( ) ( )1 2, , , d TTT T n d d d d  =     p p p p… — узагальнений вектор вузлових зусиль; мат- риці Hd, Qd складаються з m×nd блоків розміру 2×2 , 1, 1 dm nj d dk k j= =  =  H H , 0 0 j dkj dk j dk  φ =   φ   H , , 1, 1 dm nj d dk k j= =  =  Q Q , 0 0 j dkj dk j dk  χ =   χ   Q . Рис. 2 t1 t2 t3 t4 ... tm – 3 tm – 2 tm – 1 tm t Іван Дияк, Станіслав Матисяк, Ігор Прокопишин Скінченно-граничноелементна схема методу декомпозиції області для плоских задач ... 44 Перепишемо умови (9) у вигляді ,T T T T B B B B F F F B B F F F= = −H H u H H u Q Q p Q Q p . Тоді отримаємо B BF F=u H u , (10) F FB B= −p Q p , (11) де 2 ,2 2 ,2, B F F BBF n n FB n nM M∈ ∈H Q — прямокутні матриці розмірів 2nB ×2nF та 2nF ×2nB ( ) ( )1 1 ,T T T T BF B B B F FB F F F B − − = =H H H H H Q Q Q Q Q . (12) Оскільки для прямокутної матриці A — rank(ATA) = rank(A) [17], то при визначенні матриці HBF достатньо покласти m ≥ nB, а при визначенні QFB — m ≥ nF. Коли для кінематичних умов контакту за мортарні функції взято базисні функції ( ) ( )k k Bfϕ =x x , 1, Bk n= , то матриця HB буде квадратною, симетричною та додатно визначеною. Тоді матриця зв’язку HBF набуде вигляду 1 BF B F −=H H H . Аналогічно, взявши для статичних умов контакту ( ) ( ) , 1,k k F Fg k nϕ = =x x , отри- маємо 1 FB F B −=Q Q Q . Із цих міркувань зрозуміло, що збільшення m не може суттєво впливати на матриці HBF та QFB. Зауважимо, що коли розбиття є сумісними на межі контакту S (nB = nF), то виконується умова HB = HF, QB = QF і HBF = QFB = I, де I — одинична матриця. У цьому випадку умови (10), (11) є дискретним аналогом умов ідеального меха- нічного контакту (6). Для розв’язування задачі (5), (10), (11) застосуємо ітераційні гібридні схе- ми МДО, використовуючи в області ΩF метод скінченних елементів (МСЕ) [18], а в області ΩB — прямий метод граничних елементів (ПМГЕ) на основі методу Бубнова-Гальоркіна [19]. 2. Ітераційні схеми МДО Розглянемо ітераційні схеми МДО для задач із несумісними на межі контакту сітками, які узагальнюють відповідні алгоритми МДО [5-7] для сумісних сіток, і покажемо їх відповідність методу простої ітерації [4, 20] розв’язування деяких систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Це дозволяє провести аналіз збіжності алгоритмів. Ітераційні наближення позначатимемо верхнім індексом. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 7, 40-51 45 2.1. Паралельна схема Неймана-Неймана. У цьому алгоритмі крайові задачі для підобластей ΩB та ΩF розв’язуємо паралельно з використанням статичних крайових умов (умов Неймана) на спільній межі S. Крок 0. Для заданої кількості мортарних функцій m обчислюємо матриці HB, HF, QB, QF і матриці зв’язку HBF, QFB за формулами (12). Покладаємо лічильник ітерацій k := 0. Задаємо початкове значення зусилля для підобласті ΩB на спільній межі 0 ,k B B S= ∈p p x . Використовуючи співвідношення (11), обчислюємо значення зусилля для підобласті ΩF на спільній межі ,k k F FB B S= − ∈p Q p x . Крок 1. Із використанням ПМГЕ розв’язуємо в області ΩB крайову задачу з умовою Неймана на межі S k B B B=L u f , k k B B=p p , S∈x й обчислюємо значення переміщень на межі областей k k B B=u u , S∈x . Застосовуючи МСЕ в області ΩF, розв’язуємо аналогічну крайову задачу k F F F=L u f , k k F F=p p , S∈x . Визначаємо переміщення на межі S ,k k F F S= ∈u u x . Знаходимо нев’язку ,k k k B BF F S= − ∈r u H u x . Крок 2. Якщо справджується нерівність ,k k B S≤ ε ∈r u x , де ε — задана точність, то алгоритм завершено. Інакше, задаємо нові наближення для зусиль на спільній границі 1k k k B B k + = − ωp p r , 1 1k k F FB B + += −p Q p , S∈x , (13) де ωk — розмірний параметр. Приймаємо k := k + 1 і переходимо на Крок 1. Покажемо, що цей алгоритм реалізує метод простої ітерації для деякої сис- теми лінійних алгебраїчних рівнянь. Подамо зв’язок між вузловими переміщеннями та зусиллями у такій мат- ричній формі * B B B B= +u G p u , * F F F F= +u G p u , (14) де GB, GF — матриці межової податливості відповідно розмірностей 2nB × 2nB та 2nF × 2nF, а * Bu , * Fu — переміщення на межі контакту S, зумовлені умовами поза нею. Іван Дияк, Станіслав Матисяк, Ігор Прокопишин Скінченно-граничноелементна схема методу декомпозиції області для плоских задач ... 46 Ці матриці отримують шляхом виключення невідомих із повних матриць подат- ливості ПМГЕ та МСЕ для відповідних підобластей, вони — симетричні та до- датно визначені [5]. Підставимо вираз (14) для Bu в умову контакту (10). Тоді ( )* * BF F F F B B B+ = +H G p u G p u . Далі, враховуючи (11), отримаємо * * BF F FB B BF F B B B− + = +H G Q p H u G p u . Отож, приходимо до системи рівнянь B =Ap f , (15) де * ,B BF F FB BF F B= + = −A G H G Q f H u u . Застосуємо до розв’язування цієї системи метод простої ітерації [4, 20] ( )1 , 0,1,...k k k B B k B k+ = −ω − =p p Ap f . (16) Бачимо, що нев’язка цієї системи має вигляд k k k k B B BF F− = − =Ap f u H u r , (17) що відповідає ітераційному процесу (13). Узагальнення методу Неймана-Неймана на випадок кількох областей є оче- видним. 2.2. Послідовна схема Діріхле-Неймана. У цьому алгоритмі крайові задачі для областей ΩB та ΩF розв’язуємо послідовно. Для області ΩB на спільній межі S задаємо кінематичні крайові умови (умови Діріхле), а для області ΩF — статичні крайові умови (умови Неймана). Крок 0. Задаємо кількість мортарних функцій m і обчислюємо матриці HB, HF, QB, QF. Обчислюємо матриці зв’язку HBF і QFB за формулами (12). Покладаємо лічильник ітерацій k := 0 і задаємо початкове переміщення на межі S для області ΩB 0 ,k B B S= ∈u u x . Крок 1. Використовуючи ПМГЕ, розв’язуємо в області ΩB крайову задачу з умовою Діріхле на межі S k B B B=L u f , k k B B=u u , S∈x . Обчислюємо ,k k B B S= ∈p p x . ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 7, 40-51 47 Крок 2. Використовуючи (11), покладаємо ,k k F FB B S= − ∈p Q p x . В області ΩF методом скінченних елементів розв’язуємо крайову задачу з умовою Неймана на спільній межі k F F F=L u f , k k F F=p p , S∈x . Знаходимо ,k k F F S= ∈u u x . Визначаємо нев’язку ,k k k B BF F S= − ∈r u H u x . Крок 3. Перевіряємо точність, якщо k k B ≤ εr u , то алгоритм завершено. Інакше, знаходимо нове наближення для переміщення на спільній межі для об- ласті ΩB 1 ,k k k B B k S+ = − α ∈u u r x , (18) збільшуємо лічильник ітерацій на одиницю k := k + 1 і переходимо на Крок 1. Покажемо, що запропонований алгоритм реалізує метод простої ітерації для деякої системи рівнянь. Для цього перепишемо співвідношення (14) у вигляді F F F F= +u G p u , 1 * B B B B −= +p G u p , (19) де * 1 * B B B −= −p G u . Підставимо вираз (19) для Fu у формулу (10). З огляду на співвідношення (11) та подання для Bp отримаємо ( )* * B BF F F F BF F FB B BF F= + = − + =u H G p u H G Q p H u 1 * * BF F FB B B BF F FB B BF F −= − − +H G Q G u H G Q p H u . У підсумку приходимо до системи рівнянь B =Au f , (20) де 1 BF F FB B −= +A I H G Q G , * * BF F BF F FB B= −f H u H G Q p . Застосовуючи метод простої ітерації для цієї системи, отримаємо ( )1 , 0,1,...k k k B B k B k+ = − α − =u u Au f . (21) Бачимо, що нев’язка для цієї системи має вигляд k k k k B B BF F− = − =Au f u H u r , (22) що відповідає ітераційному процесу (18). Іван Дияк, Станіслав Матисяк, Ігор Прокопишин Скінченно-граничноелементна схема методу декомпозиції області для плоских задач ... 48 3. Числове дослідження схем МДО з несумісними розбиттями підобластей Для числового дослідження ефективності запропонованого алгоритму розглянуто плоску задачу про згин консольної двошарової плити (з модулем пружності E та коефіцієнтом Пуассона ν = 0,3) під дією рівномірного нормального зусилля (рис. 1). Для дискретної моделі верхнього шару використано МСЕ з лінійними трикутними елементами [18], а для нижнього — ПМГЕ з лінійною граничноелементною апрок- симацією [19]. Дослідження, проведені паралельним методом Неймана-Неймана та послідовним методом Діріхле-Неймана, показали аналогічні результати. Спершу вивчено вплив кількості мортарних елементів на виконання умов контакту. Використано розбиття: 32 трикутних елементів для ΩF, nF – 1 = 8; 16 × 4 граничних елементів для ΩB, nB – 1 = 16. Початкова кількість мортарних елементів дорівнювала m – 1 = 16, далі мортар-розбиття згущувалося удвічі. У таблиці подані абсолютні та відносні похибки норм нев’язок переміщень ( )2i iu E p u= вздовж зони контакту ( ) 2 ( )i iB iF L Su u u∆ = − , ( )iuδ = ( ) 2 ( )i iB L Su u= ∆ , i = 1, 2 залежно від кількості мортарних елементів. Отож, кількість мортарних елементів мало впливає на виконання умов кон- такту, а відтак — і на загальний розв’язок. На рис. 3, 4 подано графіки переміщень 1u та 2u вздовж лінії x2 = 0,5, отримані при одночасному згущенні несумісних сіток МСЕ та ПМГЕ. Криві 1-3 отримані для випадку густішого розбиття області ΩF і відповіда- ють таким відношенням nB – 1 до nF – 1: 8/16, 16/32, 32/64. Криві 4-6 отримані для випадку густішого розбиття області ΩB за таких відношень nB – 1 до nF – 1: 64/32, 32/16, 16/8. Штриховою лінією показані переміщення, отримані для сумісного розбиття 64/64. В обох випадках (криві 1-3 та криві 4-6), розв’язки наближаються до розв’язку, отриманого з використанням сумісного розбиття. Для густіших сі- ток ПМГЕ (криві 6-4) швидкість збіжності більша, оскільки застосований варіант ПМГЕ є точніший за відповідну схему МСЕ [19]. На рис. 5, 6 показано графіки переміщень 1u та 2u вздовж лінії x2 = 0,5, отримані при зближенні сіток МСЕ та ПМГЕ на межі контакту. Таблиця m – 1 ( )1u∆ ( )1uδ ( )2u∆ ( )2uδ 1 16 0,016117 0,020538 0,057379 0,000973 2 32 0,015635 0,020129 0,054972 0,000941 3 64 0,015552 0,020043 0,054605 0,000936 4 128 0,015659 0,020122 0,055197 0,000943 5 256 0,015789 0,020221 0,055895 0,000951 6 512 0,015886 0,020295 0,056416 0,000958 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 7, 40-51 49 Криві 1-3 відповідають таким відношенням nB – 1 до nF – 1: 16/64, 32/64, 48/64, а штрихові лінії відповідають сумісним сіткам, а саме — 64/64. Отже, спостерігаємо збіжність розв’язку на несумісних сітках до розв’язку отриманого на сумісних сітках при зближенні несумісних сіток МСЕ та ПМГЕ. Висновки. Проведено узагальнення паралельної Неймана-Неймана та послідов- ної Діріхле-Неймана схем МДО розв’язування плоскої задачі теорії пружності для випадку несумісних сіток на межі контакту з використанням лінійних мор- тарних елементів. Показано відповідність цих схем методу простої ітерації роз- в’язування деяких СЛАР, що дозволяє досліджувати збіжність цих схем. Числове дослідження запропонованих схем із застосуванням лінійних гіб- ридних гранично-скінченноелементних апроксимацій показало слабку залежність розв’язку від кількості мортарних елементів, збіжність розв’язку при одночасному Рис. 5 1u 2u – 6,4 – 6,8 – 7,2 – 52 – 48 – 56 3,4 3,6 3,8 x1 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 x1 Рис. 6 Рис. 3 Рис. 4 – 6,0 – 6,4 – 6,8 – 7,2 – 7,6 1u 2u – 50 – 52 – 54 – 56 – 58 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 x1 3,6 3,7 3,8 3,9 x1 Іван Дияк, Станіслав Матисяк, Ігор Прокопишин Скінченно-граничноелементна схема методу декомпозиції області для плоских задач ... 50 згущенні несумісних сіток МСЕ та ПМГЕ, збіжність числових результатів до розв’язку на сумісних сітках при зближенні сіток МСЕ та ПМГЕ. Іван Дияк висловлює вдячність Касі імені Юзефа Мяновського і Фонду Польської Науки (м. Варшава) за надану фінансову підтримку під час виконання досліджень за те- матикою статті. Література [1] Головач Н. П., Дияк І. І. Метод декомпозиції області та комбінований скінченно- граничноелементний аналіз пружності // Фіз.-хім. механіка матеріалів. — 2000. — № 1. — С. 115-117. [2] Hsiao G. C., Schnack E., Wendland W. L. Hybrid coupled finite-boundary element me- thods for elliptic systems of second order // Comput. Methods Appl. Meсh. Engrg. — 2000. — Vol. 190. — P. 431-485. [3] Агошков В. И. Методы разделения области в задачах математической физики // Вычислительные процессы и системы. — М.: Наука, 1991. — Вып. 8.— С. 4-50. [4] Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1989. — 608 с. [5] Григоренко А. Я., Дыяк И. И., Прокопышин И. И. Метод декомпозиции области для задач теории упругости с использованием гибридных аппроксимаций // Приклад- ная механика. — 20 с. (у друці). [6] Дияк І., Макар І., Прокопишин І. Числова ефективність гібридних скінченно-гра- ничноелементних апроксимацій задач теорії пружності на підставі методу деком- позиції області // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. та інформ. — 2007. — Вип. 12. — C. 93-100. [7] El-Gebeily M., Elleithy W., Al-Gahtani H. J. Convergence of domain decomposition fi- nite element-boundary element coupling methods // Comput. Methods Appl. Meсh. Engrg. — 2002. — Vol. 191. — P. 4851-4867. [8] Bernardi C., Debit N., Maday Y. Coupling finite element and spectral methods: First re- sults // Mathematics of Computation. — 1990. — Vol. 54 — P. 21-39. [9] Bernardi C., Maday Y., Patera A. T. A new nonconforming approach to domain decom- position: The mortar element method // Nonlinear partial differential equations and their applications. — Paris, 1994. — P. 13-51. [10] Рукавишников А. В. Численный метод решения задачи Стокса с разрывным коэффици- ентом // Вычислительные методы и программирование. — 2005. — Т. 6. — С. 17-26. [11] Braess D., Dahmen W., Wieners C. A multigrid algorithm for the mortar finite element method // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 1999. — Vol. 37. — P. 48-69. [12] Lamichhane B., Wohlmuth B. Mortar finite elements for interface problems // Compu- ting. — 2004. — Vol. 72. — P. 333-348. [13] Wohlmuth B. Multigrid methods for saddlepoint problems arising from mortar finite ele- ment discretizations // Electronic Transactions on Numerical Analysis. — 2000. — Vol. 11. — P. 43-54. [14] Wohlmuth B. A mortar finite element method using dual spaces for the Lagrange multi- plier // SIAM J. Numer. Anal. — 2000. — Vol. 38. — P. 989-1012. [15] Hauret P., Ortiz M. BV estimates for mortar methods in linear elasticity // Comput. Me- thods Appl. Mech. Engrg. — 2006. — Vol. 195. — P. 4783-4793. [16] Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. — М.: Наука, 1975. — 576 с. [17] Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. — М.: Мир, 1989. — 655 с. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 7, 40-51 51 [18] Szabo B., Babuska I. Finite element analysis. — N. Y.: J. Wiley & Sons, 1991. — 268 p. [19] Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках. — М.: Мир, 1984. — 494 с. [20] Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. — М.: Наука, 1989. — 432 с. Coupled finite-boundary element domain decomposition scheme for a plane elasticity problem with nonconforming subdomain meshes Ivan Dyyak, Stanislav Matysyak, Ihor Prokopyshyn A generalization of parallel Neumann-Neumann and sequential Dirichlet-Neumann domain de- composition schemes for a plane elasticity problem with nonconforming meshes on the common boundary of subdomains is proposed. These schemes are based on approximation of ideal mecha- nical contact conditions of subdomains by weak contact conditions using the mortar element method. Numerical solution is obtained by using linear hybrid finite-boundary element approximation. The quality of the approximate solution depending on a number of mortar elements and its convergen- ce in nonconforming meshes of the method of finite elements and the direct method of boundary- value elements are investigated. Конечно-гранично-элементная схема метода декомпозиции области для плоских задач теории упругости с несовпадающими разбиениями подобластей Иван Дыяк, Станислав Матысяк, Игорь Прокопышин Дано обобщение параллельной Неймана-Неймана и последовательной Дирихле-Неймана схем метода декомпозиции области для плоской задачи теории упругости в случае несовместных сеток на общей границе подобластей. Такое обобщение основано на приближении условий идеального механического контакта подобластей слабыми условиями с помощью метода мортарных элементов. Численное решение получено с использованием линейных гибридных конечно-гранично-элементных аппроксимаций. Изучены влияние на решение количества мортарных элементов, сходимость решения при сгущении и сближении несовместных сеток. Отримано 22.02.08
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-21886
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1816-1545
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T16:09:41Z
publishDate	2008
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
record_format	dspace
spelling	Дияк, І. Матисяк, С. Прокопишин, І. 2011-06-20T07:03:47Z 2011-06-20T07:03:47Z 2008 Скінченно-граничноелементна схема методу декомпозиції області для плоских задач теорії пружності з несумісними розбиттями підобластей / I. Дияк, С. Матисяк, І. Прокопишин // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 7. — С. 40-51. — Бібліогр.: 20 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21886 519.677 Розглядається узагальнення паралельної Неймана-Неймана та послідовної Діріхле-Неймана схем методу декомпозиції області для плоскої задачі теорії пружності за несумісних сіток на межі підобластей. Із використанням мортарних елементів умови ідеального механічного контакту підобластей наближаються слабкими умовами. Числові результати отримані з використанням лінійних гібридних скінченно-граничноелементних апроксимацій. Досліджено якість наближеного розв’язку від кількості мортарних елементів і його збіжність при згущенні несумісних сіток методу скінченних елементів і прямого методу граничних елементів. A generalization of parallel Neumann-Neumann and sequential Dirichlet-Neumann domain decomposition schemes for a plane elasticity problem with nonconforming meshes on the common boundary of subdomains is proposed. These schemes are based on approximation of ideal mechanical contact conditions of subdomains by weak contact conditions using the mortar element method. Numerical solution is obtained by using linear hybrid finite-boundary element approximation. The quality of the approximate solution depending on a number of mortar elements and its convergence in nonconforming meshes of the method of finite elements and the direct method of boundary-value elements are investigated. Дано обобщение параллельной Неймана-Неймана и последовательной Дирихле-Неймана схем метода декомпозиции области для плоской задачи теории упругости в случае несовместных сеток на общей границе подобластей. Такое обобщение основано на приближении условий идеального механического контакта подобластей слабыми условиями с помощью метода мортарных элементов. Численное решение получено с использованием линейных гибридных конечно-гранично-элементных аппроксимаций. Изучены влияние на решение количества мортарных элементов, сходимость решения при сгущении и сближении несовместных сеток. Іван Дияк висловлює вдячність Касі імені Юзефа Мяновського і Фонду Польської Науки (м. Варшава) за надану фінансову підтримку під час виконання досліджень за тематикою статті. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Скінченно-граничноелементна схема методу декомпозиції області для плоских задач теорії пружності з несумісними розбиттями підобластей Coupled finite-boundary element domain decomposition scheme for a plane elasticity problem with nonconforming subdomain meshes Конечно-гранично-элементная схема метода декомпозиции области для плоских задач теории упругости с несовпадающими разбиениями подобластей Article published earlier
spellingShingle	Скінченно-граничноелементна схема методу декомпозиції області для плоских задач теорії пружності з несумісними розбиттями підобластей Дияк, І. Матисяк, С. Прокопишин, І.
title	Скінченно-граничноелементна схема методу декомпозиції області для плоских задач теорії пружності з несумісними розбиттями підобластей
title_alt	Coupled finite-boundary element domain decomposition scheme for a plane elasticity problem with nonconforming subdomain meshes Конечно-гранично-элементная схема метода декомпозиции области для плоских задач теории упругости с несовпадающими разбиениями подобластей
title_full	Скінченно-граничноелементна схема методу декомпозиції області для плоских задач теорії пружності з несумісними розбиттями підобластей
title_fullStr	Скінченно-граничноелементна схема методу декомпозиції області для плоских задач теорії пружності з несумісними розбиттями підобластей
title_full_unstemmed	Скінченно-граничноелементна схема методу декомпозиції області для плоских задач теорії пружності з несумісними розбиттями підобластей
title_short	Скінченно-граничноелементна схема методу декомпозиції області для плоских задач теорії пружності з несумісними розбиттями підобластей
title_sort	скінченно-граничноелементна схема методу декомпозиції області для плоских задач теорії пружності з несумісними розбиттями підобластей
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21886
work_keys_str_mv	AT diâkí skínčennograničnoelementnashemametodudekompozicííoblastídlâploskihzadačteoríípružnostíznesumísnimirozbittâmipídoblastei AT matisâks skínčennograničnoelementnashemametodudekompozicííoblastídlâploskihzadačteoríípružnostíznesumísnimirozbittâmipídoblastei AT prokopišiní skínčennograničnoelementnashemametodudekompozicííoblastídlâploskihzadačteoríípružnostíznesumísnimirozbittâmipídoblastei AT diâkí coupledfiniteboundaryelementdomaindecompositionschemeforaplaneelasticityproblemwithnonconformingsubdomainmeshes AT matisâks coupledfiniteboundaryelementdomaindecompositionschemeforaplaneelasticityproblemwithnonconformingsubdomainmeshes AT prokopišiní coupledfiniteboundaryelementdomaindecompositionschemeforaplaneelasticityproblemwithnonconformingsubdomainmeshes AT diâkí konečnograničnoélementnaâshemametodadekompoziciioblastidlâploskihzadačteoriiuprugostisnesovpadaûŝimirazbieniâmipodoblastei AT matisâks konečnograničnoélementnaâshemametodadekompoziciioblastidlâploskihzadačteoriiuprugostisnesovpadaûŝimirazbieniâmipodoblastei AT prokopišiní konečnograničnoélementnaâshemametodadekompoziciioblastidlâploskihzadačteoriiuprugostisnesovpadaûŝimirazbieniâmipodoblastei

Скінченно-граничноелементна схема методу декомпозиції області для плоских задач теорії пружності з несумісними розбиттями підобластей

Репозитарії

Схожі ресурси