Об автомодельных свойствах уравнений магнитной гидродинамики при конечной электропроводности
Рассматриваются возможности построения автомодельных решений уравнений магнитной гидродинамики конечной электропроводности. На этом основании в случае линеаризированных уравнений векторная задача сведена к двум скалярным разрешающим уравнениям. The possibilities to construct self-similarity solution...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21887 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об автомодельных свойствах уравнений магнитной гидродинамики при конечной электропроводности / И. Селезов // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 8. — С. 157-161. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859628166279069696 |
|---|---|
| author | Селезов, И. |
| author_facet | Селезов, И. |
| citation_txt | Об автомодельных свойствах уравнений магнитной гидродинамики при конечной электропроводности / И. Селезов // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 8. — С. 157-161. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| description | Рассматриваются возможности построения автомодельных решений уравнений магнитной гидродинамики конечной электропроводности. На этом основании в случае линеаризированных уравнений векторная задача сведена к двум скалярным разрешающим уравнениям.
The possibilities to construct self-similarity solutions of magnetohydrodynamic equations of finite electroconductivity are considered. On this basis in the case of linearized equations the reduction of the vector problem to two scalar resolving equations is shown.
Розглядається можливість побудови автомодельних розв’язків рівнянь магнітної гідродинаміки скінченної електропровідності. На цій основі у випадку лінеаризованих рівнянь векторна задача зводиться до двох скалярних розв’язуючих рівнянь.
|
| first_indexed | 2025-11-29T13:51:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
Об автомодельных свойствах уравнений магнитной
гидродинамики при конечной электропроводности
Игорь Селезов
Д. ф.-м. н., профессор, Институт гидромеханики НАН Украины, ул. Желябова, 8/4, Киев, 03680,
е-mail: selezov@uninet.kiev.ua
Рассматриваются возможности построения автомодельных решений уравнений магнитной
гидродинамики конечной электропроводности. На этом основании в случае линеаризиро-
ванных уравнений векторная задача сведена к двум скалярным разрешающим уравнениям.
Ключевые слова: магнитная гидродинамика, конечная электропроводность,
автомодельное решение.
Движение электропроводящей среды в магнитном поле характеризуется магнит-
ным числом Рейнольдса Rm = µlcσ, которое пропорционально электропроводности
среды σ (µ — магнитная проницаемость, l — характерная длина, c — характерная
скорость). Учет электропроводности усложняет систему уравнений магнитной гид-
родинамики и, естественно, затрудняет анализ. Поэтому большинство исследова-
ний относятся к вырожденному случаю идеальной электропроводности Rm → ∞.
Волновое движение проводящей сжимаемой жидкости рассматривается в пред-
положении об адиабатическом характере протекающих процессов. Условия, опре-
деляющие справедливость такого приближения, рассмотрены в работах [2, 4, 5].
Здесь, следуя Ф. Чену [3] и Б. Б. Кадомцеву [1], лишь отметим, что привлечение
адиабатического уравнения состояния для замыкания системы МГД-уравнений
справедливо для плазменных сред, когда теплопроводность среды мала и тепло-
выми потоками можно пренебречь. Такое приближение с большей степенью точ-
ности справедливо для волновых движений плазмы поперек магнитного поля и
с меньшей — для движений, параллельных ему.
Запишем исходную систему МГД-уравнений в виде [2]
( ) ( )1,t Hv v v p P H H ρ + ⋅∇ = − ∇ + ∇× × γ
, (1)
( )1 2, RmtH H v H−= ∇ +∇× × , (2)
( ), 0t v vρ + ⋅∇ ρ + ρ∇ ⋅ = , p ν= ρ . (3)
Здесь введены безразмерные переменные по формулам (звездочки в изложении
опущены)
УДК 537.84
157
Игорь Селезов
Об автомодельных свойствах уравнений магнитной гидродинамики ...
158
* * *
0 0 0, ,v v c p p p= ρ = ρ ρ = ,
* * *
0, ,aH H H r r l t tc l= = = ,
( )2 2 2
0 0 0 0 0, H ac p P H c= γ ρ = µ ρ ,
где ( ), ,r x y z= — радиус-вектор в декартовой системе координат, ρ0, p0, Hа —
характерные величины плотности, давления и напряженности магнитного поля,
c0 — адиабатическая скорость звука, PH — магнитное давление.
Рассмотрим некоторые общие свойства системы (1)-(3). Прежде всего отметим,
что эти уравнения инвариантны относительно преобразований Галилея-Ньютона
* 0 * 0 * 0, , ,u u u v v v w w w= + = + = +
* * *, ,H H p p= ρ = ρ = ,
* 0 * 0 0,t t t x x u t x= + = + + .
Кроме того, с помощью преобразований подобия
Rm , Rm , Rmn k mv v p p H H′ ′ ′= = = ,
Rm , Rm , Rms b at t r r′ ′ ′= = ρ = ρ , (4)
уравнения (1)-(3) приводятся к виду, не зависящему от Rm. При этом
12 , 2 1, 1
1
ba s b n b+
= − = + = − −
γ −
, 1 1, 2
1 1
b bm k+ +
= −γ = − γ
γ − γ −
,
где b — произвольный параметр, γ ≠ 1.
Таким образом, если найдено решение системы (1)-(3) при Rm = 1, то с помо-
щью преобразования (4) из него могут быть получены решения для произвольных Rm.
Если искомые функции в (1)-(3) зависят лишь от одной пространственной
координаты (например, от x), исходные соотношения записываются в виде
( ) ( )1
2 2, 3 3,, , ,t x x H x xu uu P H H H Hγ−ρ + = −ρ ρ − + ,
( ) 2,, , cost x H xv uv P Hρ + = θ ,
( ) 3,, , cost x H xw uw P Hρ + = θ ,
( )1
2, 2, 2Rm cos , 0t xx xH H uH v−− + − θ = ,
( )1
3, 3, 3Rm cos , 0t xx xH H uH w−− + − θ = ,
, , , 0t x xu uρ + ρ +ρ = , (5)
где ( )1 0,i Hθ = .
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 8, 157-161
159
Если ввести функции 2 2 3 3 2 3,h H i H i V vi wi= + = + и повернуть систему ко-
ординат относительно оси Ox, то уравнения (5) несколько упрощаются
( ) 1, , , ,t x x H xu uu P hhγ−ρ + = −ρ ρ − ,
( ), , , cost z H xV uV P hρ + = θ ,
( )1, Rm , cos , 0t xx xh h uh V−− + − θ = , (6)
, , , 0t x xu uρ + ρ +ρ = .
Одно из свойств системы (6) заключается в том, что при θ ≠ π / 2 она не инвари-
антна относительно группы преобразований подобия
1 2 3 4, , , ,A u A u h A h V A V′ ′ ′ ′ρ = ρ = = = 6,sx A x t A t′ ′= = (7)
и, следовательно, не имеет автомодельных решений вида f = tnF(xt – m). При θ = π / 2
уравнения (6) инвариантны относительно однопараметрической группы
2 1, ,x Ax t A t u A u−′ ′ ′= = = , ( ) ( )2 / 1 / 1,A h A h−γ γ −γ′ ′ρ = ρ = при γ ≠ 1,
x = x ', t = t ', u = u ', ρ = A2ρ ', h = Ah ' при γ = 1. (8)
Таким образом, система (6) при θ = π / 2 и γ ≠ 1 имеет автомодельные решения вида
( ) ( ) ( ) ( )
1
2 11 1, ,t R u U h t F
t
γ
−γ−γρ = ξ = ξ = ξ , /x tξ = . (9)
Кроме того, в случае θ = π / 2, γ = 1 существуют еще инвариантные решения вида
( ) ( ) ( )2, ,t tu u x e R x h e F xα α= ρ = = , (10)
где α — произвольный параметр. Наконец, при любых γ и θ система уравнений (6)
имеет автомодельные решения типа бегущей волны: ξ = x –ct, u = u(ξ), V = V(ε),
ρ = ρ(ξ), h = h(ξ).
Переходя к рассмотрению конкретных задач распространения нелинейных
волн, прежде всего отметим, что с методологической точки зрения такой анализ
должен включать по крайней мере три этапа. На первом необходимо получить и
исследовать дисперсионное уравнение для волн бесконечно малой амплитуды
(линейное приближение). На втором этапе с помощью асимптотических или дру-
гих (например, вариационных) методов выводится эволюционное уравнение для
некоторой характеристики волнового поля. Следует подчеркнуть, что линейная
часть полученного таким образом уравнения должна в точности соответствовать
уравнению, выведенному с помощью эвристического подхода из дисперсионного
соотношения для линейных волн. На третьем этапе анализируются свойства и ре-
шения найденного эволюционного уравнения, что позволяет получить основную,
наиболее существенную информацию о закономерностях распространения волн
в системе, взаимном влиянии эффектов нелинейности, дисперсии, диссипации и т. д.
Рассмотрим систему линеаризированных уравнений магнитной гидродинамики
Игорь Селезов
Об автомодельных свойствах уравнений магнитной гидродинамики ...
160
( ) 0,t Hv P h H= −∇ρ + ∇× × ,
, 0t vρ +∇ ⋅ = , (11)
( )2
0
1,
Rmth h v H= ∇ +∇× × .
Предположим, что среда отнесена к прямоугольной декартовой системе координат
(x, y, z), а невозмущенное магнитное поле задано в виде (0, 0, H0z). В этом случае
все искомые функции оказываются не зависящими от z и, кроме того, справедливы
соотношения ( ) ( ) ( )0 0 0 3 0,z z zh H H h v H i H v∇× × = − ∇ ∇× × = − ∇ ⋅ . Отсюда следует,
что отличной от нуля составляющей возмущенного магнитного поля будет лишь
z-компонента, и тогда векторное уравнение для h из (11) сводится к одному
скалярному относительно h = hz
21,
Rmth h v= ∇ −∇ ⋅ . (12)
Здесь 2∇ — двумерный оператор Лапласа, ( ),x y∇ ≡ ∂ ∂ ∂ ∂ — двумерный опе-
ратор набла.
Введем потенциал скоростей возмущенного движения жидкости v = ∇ϕ .
При этом первое уравнение в (11) интегрируется. С точностью до произвольной
функции времени получаем
,t HP P h= −ϕ − . (13)
В результате исходная связанная система из двух векторных и одного скалярного
уравнений (11) приводится к системе двух скалярных уравнений
2 , ,tt H tP h∇ −ϕ = ,
2 2Rm , Rmth h∇ − = ∇ ϕ . (14)
При исследовании волн в средах конечной электропроводности удобно во-
спользоваться свойством автомодельности системы (14) по параметру Rm, кото-
рое заключается в том, что с помощью замены x ' = xRm, h ' = h / Rm, P ' = P / Rm
она приводится к виду, не зависящему от Rm (штрихи опускаются)
2 , ,tt H tP h∇ ϕ−ϕ = , 2 2,th h∇ − =∇ ϕ . (15)
Уравнения (15) описывают возмущенное волновое движение электропроводной
жидкости в плоском и осесимметричном случаях, характеризуемых условием
0v H⊥ . С точки зрения классификации эта система является гиперболо-параболи-
ческой и, следовательно, имеет решение, описывающие распространение возму-
щений с бесконечной скоростью. Частичная параболичность системы (15) связана
с пренебрежением в исходной модели токами смещения Максвелла. В терминах
теории волн такое пренебрежение оправдано для низких частот колебаний (в случае
гармонических процессов) или вдали от фронта волны (для неустановившихся волн).
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 8, 157-161
161
Литература
[1] Кадомцев Б. Б. Коллективные явления в плазме. — Москва: Наука, 1988. — 303 с.
[2] Селезов И. Т., Селезова Л. В. Волны в магнитогидроупругих средах. — Киев: Наук.
думка, 1975. — 161 с.
[3] Chen F. F. Introduction to plasma physics and controlled fusion. Vol. 1: Plasma physics. —
Plenum Press, New York and London, 1984. (Русский перевод: Чен Ф. Введение в фи-
зику плазмы. — Москва: Мир, 1987. — 398 с.)
[4] Selezov I. T. Some models of coupled magnetoelastic fields and their application to the
investigation of propagation and diffraction of waves // J. Math. Sciences. — 2001. —
Vol. 104, № 5. — P. 1490-1500.
[5] Selezov I. T. Wave processes in fluids and elastic media // Int. J. Fluid Mechanics Rese-
arch. — 2003. — Vol. 30, № 2. — P. 219-249.
On self-similarity properties of magnetohydrodynamic
equations of finite electroconductivity
Ihor Selezov
The possibilities to construct self-similarity solutions of magnetohydrodynamic equations of finite
electroconductivity are considered. On this basis in the case of linearized equations the reduction
of the vector problem to two scalar resolving equations is shown.
Про автомодельні властивості рівнянь магнітної
гідродинаміки за скінченної електропровідності
Ігор Селезов
Розглядається можливість побудови автомодельних розв’язків рівнянь магнітної гідродина-
міки скінченної електропровідності. На цій основі у випадку лінеаризованих рівнянь векторна
задача зводиться до двох скалярних розв’язуючих рівнянь.
Отримано 17.06.08
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-21887 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1816-1545 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-29T13:51:28Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Селезов, И. 2011-06-20T07:08:53Z 2011-06-20T07:08:53Z 2008 Об автомодельных свойствах уравнений магнитной гидродинамики при конечной электропроводности / И. Селезов // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 8. — С. 157-161. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21887 537.84 Рассматриваются возможности построения автомодельных решений уравнений магнитной гидродинамики конечной электропроводности. На этом основании в случае линеаризированных уравнений векторная задача сведена к двум скалярным разрешающим уравнениям. The possibilities to construct self-similarity solutions of magnetohydrodynamic equations of finite electroconductivity are considered. On this basis in the case of linearized equations the reduction of the vector problem to two scalar resolving equations is shown. Розглядається можливість побудови автомодельних розв’язків рівнянь магнітної гідродинаміки скінченної електропровідності. На цій основі у випадку лінеаризованих рівнянь векторна задача зводиться до двох скалярних розв’язуючих рівнянь. ru Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Об автомодельных свойствах уравнений магнитной гидродинамики при конечной электропроводности On self-similarity properties of magnetohydrodynamic equations of finite electroconductivity Про автомодельні властивості рівнянь магнітної гідродинаміки за скінченної електропровідності Article published earlier |
| spellingShingle | Об автомодельных свойствах уравнений магнитной гидродинамики при конечной электропроводности Селезов, И. |
| title | Об автомодельных свойствах уравнений магнитной гидродинамики при конечной электропроводности |
| title_alt | On self-similarity properties of magnetohydrodynamic equations of finite electroconductivity Про автомодельні властивості рівнянь магнітної гідродинаміки за скінченної електропровідності |
| title_full | Об автомодельных свойствах уравнений магнитной гидродинамики при конечной электропроводности |
| title_fullStr | Об автомодельных свойствах уравнений магнитной гидродинамики при конечной электропроводности |
| title_full_unstemmed | Об автомодельных свойствах уравнений магнитной гидродинамики при конечной электропроводности |
| title_short | Об автомодельных свойствах уравнений магнитной гидродинамики при конечной электропроводности |
| title_sort | об автомодельных свойствах уравнений магнитной гидродинамики при конечной электропроводности |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21887 |
| work_keys_str_mv | AT selezovi obavtomodelʹnyhsvoistvahuravneniimagnitnoigidrodinamikiprikonečnoiélektroprovodnosti AT selezovi onselfsimilaritypropertiesofmagnetohydrodynamicequationsoffiniteelectroconductivity AT selezovi proavtomodelʹnívlastivostírívnânʹmagnítnoígídrodinamíkizaskínčennoíelektroprovídností |