Математичне моделювання дифузії розпадної речовини у регулярних структурах
У роботі знайдено точний розв’язок контактно-крайової задачі дифузії домішкової речовини, що розпадається, в тілі двофазної горизонтально-періодичної шаруватої структури. Досліджено закономірності розподілів концентрації залежно від значень коефіцієнта інтенсивності розпаду мігруючої речовини. Встан...
Saved in:
| Published in: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21889 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Математичне моделювання дифузії розпадної речовини у регулярних структурах / Є. Чапля, О. Чернуха // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 8. — С. 173-185. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860255492427743232 |
|---|---|
| author | Чапля, Є. Чернуха, О. |
| author_facet | Чапля, Є. Чернуха, О. |
| citation_txt | Математичне моделювання дифузії розпадної речовини у регулярних структурах / Є. Чапля, О. Чернуха // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 8. — С. 173-185. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| description | У роботі знайдено точний розв’язок контактно-крайової задачі дифузії домішкової речовини, що розпадається, в тілі двофазної горизонтально-періодичної шаруватої структури. Досліджено закономірності розподілів концентрації залежно від значень коефіцієнта інтенсивності розпаду мігруючої речовини. Встановлено умови існування граничного переходу від контактно-крайових задач дифузії розпадної речовини до континуальних моделей гетеродифузії двома шляхами з урахуванням розпаду частинок. Визначені потоки маси домішкової розпадної речовини, що мігрує в горизонтально-регулярній структурі.
In the paper an exact solution of the contact initial-boundary value problem is found for diffusion of decaying admixture particles in a body of two-phase periodical stratified structure. Regularities of concentration distributions are studied depending on values of the coefficient of intensity of migrating substance decay. Conditions are established for existence of passage to the limit from contact initial-boundary value problems of decaying substance diffusion to continual models of heterodiffusion by two ways allowing for decay process. Mass flows are defined for decaying admixture, which particles migrate in a horizontally regular structure.
В работе найдено точное решение контактно-краевой задачи диффузии распадающегося примесного вещества в теле двухфазной периодической слоистой структуры. Исследовано закономерности распределений концентрации в зависимости от значений коэффициента интенсивности распада мигрирующего вещества. Определены условия существования предельного перехода от контактно-краевых задач диффузии распадающегося вещества к континуальным моделям гетеродиффузии двумя путями с учетом распада. Определены потоки массы распадающегося примесного вещества, мигрирующего в горизонтально-регулярной структуре.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:48:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
Математичне моделювання дифузії
розпадної речовини у регулярних структурах
Євген Чапля1, Ольга Чернуха2
1 д. ф.-м. н., професор, Центр математичного моделювання ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАН України,
вул. Дж. Дудаєва, 15, Львів, 79005; Інститут механіки середовища і прикладної інформатики Університету
Казиміра Великого в Бидгощі, вул. Ходкевича, 30, Бидгощ, Польща, 85-064, e-mail: chaplia@cmm.lviv.ua
2 д. т. н., с. н. с., Центр математичного моделювання ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Дж. Ду-
даєва, 15, Львів, 79005, e-mail: cher@cmm.lviv.ua
У роботі знайдено точний розв’язок контактно-крайової задачі дифузії домішкової речо-
вини, що розпадається, в тілі двофазної горизонтально-періодичної шаруватої структури.
Досліджено закономірності розподілів концентрації залежно від значень коефіцієнта інтен-
сивності розпаду мігруючої речовини. Встановлено умови існування граничного переходу
від контактно-крайових задач дифузії розпадної речовини до континуальних моделей гете-
родифузії двома шляхами з урахуванням розпаду частинок. Визначені потоки маси домішкової
розпадної речовини, що мігрує в горизонтально-регулярній структурі.
Ключові слова: дифузія, потоки маси, регулярна структура, розпадна до-
мішкова речовина.
Вступ. Під час розв’язування практичних задач певний інтерес представляють
точні розв’язки конкретних контактно-крайових задач процесів перенесення для кус-
ково-однорідних систем, зокрема, просторово регулярних [1]. Регулярні структури
з різними коефіцієнтами дифузії моделюють процес перенесення домішкової ре-
човини у полікристалах уздовж границь зерен [2, 3] або пористих середовищах,
наприклад, ґрунтах, які складаються з моноблоків та областей швидкого перемі-
щення частинок [4-6].
Зауважимо, що знаходження аналітичних розв’язків контактно-крайових
задач на основі класичних методів математичної фізики викликає деякі труднощі.
Тому в роботах [7, 8] запропоновано оригінальний метод побудови точних роз-
в’язків крайових задач дифузії у тілах із регулярною структурою на основі засто-
сування інтегральних перетворень. Точні аналітичні розв’язки такої задачі дають
можливість дослідити межі застосовності відомих із літератури розв’язків задач
для тіла з поодиноким включенням [2, 3], а також здійснити граничні переходи
до континуальних моделей гетеродифузії [9] із метою оцінки відповідних коефі-
цієнтів дифузії. У даній роботі досліджуються процеси дифузії розпадної доміш-
кової речовини в двофазному шарі горизонтально-періодичної шаруватої струк-
тури: побудовано точний розв’язок контактно-крайової задачі дифузії розпадних
частинок, визначено потоки маси в контактуючих областях, проведено граничний
перехід до моделі гетеродифузії частинок двома шляхами.
УДК 517.958:539
173
Євген Чапля, Ольга Чернуха
Математичне моделювання дифузії розпадної речовини у регулярних структурах
174
1. Об’єкт дослідження та постановка задачі
Нехай тіло, яке займає область шару товщини x0, складається з періодично розта-
шованих плоских областей двох типів. Поверхні, що обмежують ці області, пер-
пендикулярні до поверхонь шару (рис. 1a) (вісь Ox перпендикулярна до поверхонь
тіла, Oy — до поверхонь складників областей). Приймаємо, що на верхній границі
шару x = 0 концентрація дифундуючої розпадної речовини зберігає постійні зна-
чення, однакові для областей кожного типу, а на нижній x = x0 — домішкова ре-
човина відсутня. При цьому області з коефіцієнтом дифузії D1 мають ширину 2L,
а з коефіцієнтом D2 — 2l. Така структура має сімейство площин симетрії ( y =
= ± n(L + l ), n = 0, 1, 2, ...), які ділять навпіл сусідні контактуючі області. Тому
можемо виділити елемент тіла, на вертикальних границях якого потоки в напрямку,
паралельному до поверхонь шару (в напрямку осі Oy), дорівнюють нулю (рис. 1б).
За відсутності конвективного перенесення концентрація домішкової речо-
вини c1(x, y, t) в області Ω1 = [0; x0] × [0; L] визначається з рівняння
2 2
1 1 1
1 12 2
c c cD c
t x y
∂ ∂ ∂
= + − λ
∂ ∂ ∂
, 1,x y∈Ω . (1)
В області Ω
2 = [0; x0] × [L; L + l ] концентрація домішки c2(x, y, t) задовольняє рівняння
2 2
2 2 2
2 22 2
c c cD c
t x y
∂ ∂ ∂
= + − λ
∂ ∂ ∂
, 2,x y∈Ω , (2)
де λ — коефіцієнт інтенсивності розпаду домішкових частинок.
Приймаємо, що в початковий момент часу
1 20 0( , , ) ( , , ) 0t tc x y t c x y t= == = . (3)
Для t > 0 на поверхні шару x = 0 підтримуються постійні значення концентрацій,
на поверхні x = x0 концентрації дорівнюють нулю
z z
lL +
)2(
0c
x
y0
x
y0
0x
L
1Ω 2Ω
2D1D
)1(
0c
a б
Рис. 1. Горизонтально-періодична структура тіла (а)
та виділений елемент тіла такої структури (б)
z z
x x
x0
y 0 0
Ω1
D1
L L + l
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 8, 173-185
175
(1)
1 00( , , ) xc x y t c const= = ≡ , (2)
2 00( , , ) xc x y t c const= = ≡ ,
0 0
1 2( , , ) ( , , ) 0x x x xc x y t c x y t= == = , (4)
а на бічних поверхнях виділеного елемента y = 0, y = L + l нулю дорівнюють по-
токи, тобто
1
0
( , , ) 0
y
c x y t
y =
∂
=
∂
, 2 ( , , ) 0
y L l
c x y t
y = +
∂
=
∂
. (5)
На границі розділу областей Ω1 і Ω2 задано умови неідеального масового
контакту, які сформульовані для функцій концентрації [10]
1 1 2 2( , , ) ( , , )y L y Lk c x y t k c x y t= == ,
1 2
1 1 2 2
( , , ) ( , , )
y L y L
c x y t c x y tD D
y y= =
∂ ∂
ρ = ρ
∂ ∂
, (6)
де k1 і k2 (k1 ≠ k2) — коефіцієнти концентраційної залежності хімічного потенціалу
частинок в областях Ω1 і Ω2 відповідно, ρ1 і ρ2 — густини маси в областях Ω1 і Ω2.
Зазначимо, що у випадку реалізації ненульових сталих граничних умов 1-го
роду на поверхні тіла x = x0 замінами відповідно в областях Ω1 і Ω2 крайова задача
зводиться до вигляду (1)-(6). При цьому дещо ускладниться контактна умова
на шукані функції, але це не вплине на схему розв’язування задачі.
2. Побудова аналітичного розв’язку задачі
Розв’язок контактно-крайової задачі дифузії (1)-(6) будемо шукати з допомогою
інтегральних перетворень за просторовими змінними окремо в контактуючих об-
ластях [11]. Застосуємо до задачі (1)-(6) скінченне інтегральне sin-перетворення
Фур’є за змінною x ( 0nx x n x→ = π , 1,2,...n = ; ( , , ) ( , , )i ic x y t c n y t→ , 1,2i = ) [12].
Тоді вихідна крайова задача в зображеннях набуде вигляду
2
(1)21 1
1 1 1 1 102 n n
c cD D x c D c x c
t y
∂ ∂
= − + − λ
∂ ∂
, 1 ]0; [y L∈Ω = ; (7)
2
(2)22 2
2 2 2 2 202 n n
c cD D x c D c x c
t y
∂ ∂
= − + − λ
∂ ∂
, 2 ] ; [y L L l∈Ω = + ; (8)
1 20 0 0t tc c= == = , 1
0
0
y
c
y =
∂
=
∂
, 2 0
y L l
c
y = +
∂
=
∂
; (9)
1 1 2 2y L y Lk c k c= == , 1 2
1 1 2 2
y L y L
c cD D
y y= =
∂ ∂
ρ = ρ
∂ ∂
. (10)
Євген Чапля, Ольга Чернуха
Математичне моделювання дифузії розпадної речовини у регулярних структурах
176
Інтегральне перетворення за змінною y виконаємо окремо в областях 1Ω і 2Ω .
Для того, щоб застосувати перетворення Фур’є необхідно знати величину відпо-
відних функцій на границях області перетворення [12]. При y = 0 й y = L + l гра-
нична умова (9) визначає функції 1c y∂ ∂ на границі області 1Ω і 2c y∂ ∂ на гра-
ниці 2Ω . На інших границях областей 1Ω і 2Ω (поверхні контакту) величини
ic y∂ ∂ є невідомі. Дозначимо їх, враховуючи другу контактну умову (10). Вона
означає, що на границі контакту y = L потоки маси рівні між собою та дорівнюють
деякій функції часу g(t), яку в подальшому потрібно знайти, тобто
1 2
1 1 2 2 ( , , ) ( )
y L y L
c cD D g n L t g t
y y= =
∂ ∂
ρ = ρ = ≡
∂ ∂
. (11)
Тоді можемо зробити скінченне інтегральне cos-перетворення Фур’є задачі
(7), (9), (11) в області ( )1 1 1; ( , , ) ( , , )ky y c n y t c n k tΩ → → та cos-перетворення Фур’є
зі зсувом задачі (8), (9), (11) в області ( )2 2 2; ( , , ) ( , , )my y c n y t c n m tΩ → → [11]. Після
цих перетворень задача (7)-(10) у зображеннях набуде вигляду
( ) (1)2 21
1 1 1 0
1
( 1) ( )
k
n k k n
dc D x y c D a c x g t
dt
−
= − + + λ + +
ρ
, (12)
( ) (2)2 22
2 2 2 0
2
( 1) ( )
m
n m m n
dc D x y c D a c x g t
dt
−
= − + + λ + −
ρ
, (13)
1 0( ) 0tc t = = , 2 0( ) 0tc t = = , (14)
де ky k L= π , my m l= π , ,k m = 0, 1, 2, ...;
, 0
0, 1, 2, ...,k
L k
a
k
=
= =
, 0
0, 1, 2,...m
l m
a
m
=
= =
.
Розв’язками звичайних диференціальних рівнянь (12), (13) із початковими
умовами (14) є функції [13]
( ) ( )2 2 2 2
1 1
1 1 0
10
( 1)( ) ( )n k n k
t kD x y t D x y t
k nc t e D a c x g t e dt
′− + +λ + +λ − ′ ′= + ρ
∫ , (15)
( ) ( )2 2 2 2
2 2(2)
2 2 0
20
( 1)( ) ( )n m n m
t mD x y t D x y t
m nc t e D a c x g t e dt
′− + +λ + +λ − ′ ′= − ρ
∫ . (16)
У виразах (15), (16) функція g(t) є невідома. Знайдемо її з першої контактної
умови пропорційності концентрацій на границі розділу областей (10). Для цього
виконаємо обернені інтегральні cos-перетворення отриманих розв’язків.
В області 1Ω , враховуючи значення коефіцієнта ak, для функції 1( , , )c n k t маємо
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 8, 173-185
177
( ) ( ) ( )2 2 2
1 1 1(2)
1 10
10
( )( ,0, ) n n n
t
D x t D x t D x t
n
g tc n t e Lc x D e e dt
′ ′− +λ +λ +λ ′
′= +
ρ
∫ ,
( ) ( )2 2 2 2
1 1
1 0
10
( 1)( , , ) ( )n k n k
t kD x y t D x y t
kc n k t e g t e dt
′− + +λ + +λ
≠
− ′ ′=
ρ∫
і за формулами оберненого cos-перетворення Фур’є [12] одержимо
( )2
1 ( )(1)
1 1 0
10
( )( , , ) n
t
D x t t
n
g tc n y t D c x e
L
′− +λ − ′
= + + ρ
∫
( ) ( )2 2
1 ( )
1 1
2 ( ) ( 1) cos n kD x y t tk
k
k
g t y y e dt
L
∞ ′− + +λ −
=
′ ′+ −
ρ
∑ . (17)
В області 2Ω , враховуючи вигляд коефіцієнта am, маємо такі вирази для
функції 2 ( , , )c n k t
( ) ( ) ( )2 2 2
2 1 2(2)
2 20
20
( )( ,0, ) n n n
t
D x t D x t D x t
n
g tc n t e lc x D e e dt
′ ′− +λ +λ +λ ′
′= −
ρ
∫ ,
( ) ( )2 2 2 2
2 2
1
2 0
20
( 1)( , , ) ( )n m n m
t mD x y t D x y t
mc n m t e g t e dt
+ ′− + +λ + +λ
≠
− ′ ′=
ρ∫ .
Тоді оригінал cos-перетворення зі зсувом [11] функції 2 ( , , )c n k t одержимо
у вигляді
( )2
2 ( )(2)
2 2 0
20
( )( , , ) n
t
D x t t
n
g tc n y t D c x e
l
′− +λ − ′= − − ρ
∫
( ) ( ) ( )( )2 2
2
2 1
2 ( 1) cos n mD x y t tm
m
m
g t y y L e dt
l
∞ ′− + +λ −
=
′ ′− − − ρ
∑ . (18)
Якщо вирази (17) і (18) підставити в контактну умову (10), то для визначення
функції g(t') і отримаємо таке інтегральне рівняння
( )( )2
1(1)
1 10
0
n
t
D x t t
nk c x D e
′− +λ − +
∫
( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2
1 1
1
1 1
2n n kD x t t D x y t t
k
g t
k e e dt
L
∞′ ′− +λ − − + +λ −
=
′ ′+ + = ρ
∑
( )2
2 ( )(2)
2 20
0
n
t
D x t t
nk c x D e
′− +λ −= −
∫
( ) ( ) ( )2 2 2
2 2( ) ( )
2
2 1
2n n mD x t t D x y t t
m
g t
k e e dt
l
∞′ ′− +λ − − + +λ −
=
′ ′− − ρ
∑ .
Євген Чапля, Ольга Чернуха
Математичне моделювання дифузії розпадної речовини у регулярних структурах
178
Звідси
( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
2 2
2 1
2 2
1 2
(2) (1)
2 2 1 10 0
1 2
1 2
2
n n
n n
D x t t D x t t
n
D x t t D x t t
n
x k c D e k c D e
g t
k ke e S t t
L l
′ ′− +λ − − +λ −
′ ′− +λ − − +λ −
− ′ =
′+ + −
ρ ρ
, (19)
де ( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 2
1 2( ) ( )1 2
1 21
( 1)n n
jD x j L t t D x j l t t
n
j
k kS t t e e
L l
∞ ′ ′− +λ+ π − − +λ+ π −
=
−′− = +
ρ ρ
∑ .
Після застосування оберненого інтегрального sin-перетворення Фур’є до ви-
разів (17) і (18) отримаємо точний аналітичний розв’язок контактно-крайової
задачі (1)-(6)
( ) ( )
2
1
(1)
(1) 0
1 10
0 0 1
2( , , ) 1 sinnD x t
n
nn
cxc x y t c e x x D
x x x
∞ − +λ
=
= − − −
∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22
1 11
1 1 10 0
1 2 1 cosn n kk
t t
D x t D x y tD y tk
k
k
g t e dt e y y g t e dt
L L
∞′ ′+λ + +λ−
=
′ ′ ′ ′− + − ρ ρ
∑∫ ∫ ,(20)
( ) ( ) ( )
2
2
(2)
(2) 0
2 20
0 0 1
2, , 1 sinnD x t
n
nn
cxc x y t c e x x D
x x x
∞ − +λ
=
= − − −
∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 222 22
2 2 10 0
1 2 1 cosn n mm
t t
D x t D x y tm D y t
m
m
g t e dt e y y g t e dt
l l
∞′ ′+λ + +λ−
=
′ ′ ′ ′− + − ρ ρ
∑∫ ∫ ,(21)
де функція g(t′) визначається формулою (19).
3. Граничний перехід до континуальних моделей. Безрозмірна форма
Якщо ми усереднимо функції концентрації c1(x, y, t) та c2(x, y, t) по ширині виді-
леного елемента [0; L + l ]
0
1( , ) ( , , )
L l
i ic x t c x y t dy
L l
+
=
+ ∫ , 1, 2i = , (22)
то такі усереднені функції повинні задовольняти рівняння
2
1 1 1 1
1 12
y L
c c D cD c
t L l yx =
∂ ∂ ∂
= − λ +
∂ + ∂∂
,
2
2 2 2 2
2 22
y L
c c D cD c
t L l yx =
∂ ∂ ∂
= − λ +
∂ + ∂∂
.
Якщо потоки маси на границі контакту можна подати через хімічні потен-
ціали так
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 8, 173-185
179
1
1 1 2 2 1 1 y L
y L
cD
y =
=
∂
ρ = θ ∆µ − θ ∆µ
∂
,
2
2 2 1 1 2 2 y L
y L
cD
y =
=
∂
ρ = θ ∆µ − θ ∆µ
∂
,
тут θ1, θ2 (θ1 ≠ θ2) — сталі величини, 0( , , ) ( , , )i i ix y t x y t∆µ = µ −µ , де 0
iµ — відлікові
(рівноважні) значення хімічних потенціалів, то усереднені функції (22) задоволь-
няють рівняння
( )
2
1 1
1 1 2 2 1 12
1
1
( ) y L
c cD c
t L lx =
∂ ∂
= − λ + θ ∆µ − θ ∆µ
∂ ρ +∂
,
( )
2
2 2
2 2 2 2 1 12
2
1
( ) y L
c cD c
t L lx =
∂ ∂
= − λ − θ ∆µ − θ ∆µ
∂ ρ +∂
. (23)
Оскільки i i iy L y Lk c= =∆µ = , то систему рівнянь (23) можна записати у вигляді
( )
2
1 1
1 1 2 2 2 1 1 12
1
1
( ) y L
c cD c k c k c
t L lx =
∂ ∂
= − λ + θ − θ
∂ ρ +∂
,
( )
2
2 2
2 2 2 2 2 1 1 12
2
1
( ) y L
c cD c k c k c
t L lx =
∂ ∂
= − λ − θ − θ
∂ ρ +∂
.
Якщо виконується умова ( )( , , ) ( , )i ic x L t L l c x t+ ≈ , то одержимо взаємо-
зв’язану систему диференціальних рівнянь гетеродифузії двома шляхами розпад-
ної домішки [9]
2
1 1
1 1 1 1 1 1 1 2 22
c cD c k c k c
t x
∂ ∂
ρ = ρ −ρ λ − +
∂ ∂
,
2
2 2
2 2 2 2 2 1 1 2 22
c cD c k c k c
t x
∂ ∂
ρ = ρ −ρ λ + −
∂ ∂
, (24)
де i i ik k= θ (i = 1, 2) — коефіцієнти інтенсивності переходу частинок домішки
між різними шляхами дифузії.
Таким чином, за виконання умови рівності потоків домішкової речовини
на границі контакту областей лінійним комбінаціям хімічних потенціалів на цій
поверхні шляхом усереднення по товщині тіла отримаємо систему рівнянь гете-
родифузії двома шляхами з урахуванням взаємопереходів розпадних частинок
з одного шляху міграції на інший.
Введемо безрозмірні змінні [9]
2k tτ = , ( )1 2
2 1k D xξ = , ( )1 2
2 1k D yη = . (25)
Тоді контактно-крайову задачу (1)-(6) можна подати у природній безроз-
мірній формі
Євген Чапля, Ольга Чернуха
Математичне моделювання дифузії розпадної речовини у регулярних структурах
180
2 2
1 1 1
12 2
c c c c∂ ∂ ∂
= + − λ
∂τ ∂ξ ∂η
, 1 0, [0; ] [0; ]ξ η∈ω = ξ × Λ , (26)
2 2
2 2 2
22 2
c c cd c
∂ ∂ ∂
= + − λ
∂τ ∂ξ ∂η
, 2 0, [0; ] [ ; ]ξ η∈ω = ξ × Λ Λ + λ ; (27)
1 20 0( , , ) ( , , ) 0c cτ= τ=ξ η τ = ξ η τ = ,
(1)
1 00( , , )c cξ=ξ η τ = , (2)
2 00( , , )c cξ=ξ η τ = ,
0 0
1 2( , , ) ( , , ) 0c cξ=ξ ξ=ξξ η τ = ξ η τ = ;
1 2
0
( , , ) ( , , ) 0c c
η= η=Λ+λ
∂ ξ η τ ∂ ξ η τ
= =
∂η ∂η
; (28)
1 1 2 2k c k cη=Λ η=Λ= , 1 2
1 2
c cd
η=Λ η=Λ
∂ ∂
ρ = ρ
∂η ∂η
. (29)
Тут 2 1d D D= , 2kλ = λ ; ( )1 2
0 2 1 0k D xξ = , ( )1 2
2 1k D LΛ = , ( )1 2
2 1k D lλ = .
Таким чином, запропонований граничний перехід від контактно-крайової
задачі дифузії розпадної домішки у горизонтально-періодичних структурах до кон-
тинуальних моделей гетеродифузії двома шляхами дозволяє не тільки знаходити
розв’язки задач гетеродифузії, але й використовувати природну безрозмірну фор-
му (25), яка не містить геометричні характеристики тіла чи його складників, для
розв’язування задач дифузії в тілах періодичної структури.
4. Числовий аналіз розподілів концентрації розпадних частинок
у шарі горизонтально-регулярної структури
Розподіли концентрації домішкової розпадної речовини в шарі з горизонтально-
регулярною структурою, обчислені за формулами (20) і (21), подані на рис. 2-5.
Числові розрахунки проводилися в безрозмірних змінних τ, ξ, η, які введені фор-
мулами (25). Прийнято такі значення коефіцієнтів задачі: ξ0 = 10; Λ = 1, λ = 0,1,
d = D2 / D1 = 0,01, ρ2 / ρ1 = 1,5, (1) (2)
0 0c c =0,1. На рис. 2 та 3 наведені розподіли кон-
центрації нерозпадної (λ = 0) та розпадної (λ = 10) домішки вздовж осі Oξ у мо-
менти часу τ = 1; 5; 10; 20; 100 (криві 1-5 відповідно) для 1 2k k = 10.
Рис. 4 ілюструє поведінку функції концентрації домішки, що розпадається,
в момент часу τ = 10 для різних значень безрозмірного коефіцієнта інтенсивності
розпаду мігруючої речовини λ =2, 5, 10, 20 (криві 1-4 відповідно). На рис. 5 по-
казано розподіли концентрації розпадної домішки ( 10λ = ) вздовж осі Oη, тобто
по ширині виділеного елемента тіла. Рис. 5а ілюструє розподіли концентрації для без-
розмірних моментів часу τ = 1, 5, 10 (криві 1-3) на глибині ξ = 1. На рис. 5б розпо-
діли концентрації наведені для значень відношення коефіцієнтів дифузії d = 0,1; 0,01
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 8, 173-185
181
(криві 1, 2). Тут суцільні лінії відповідають функції (2)
0( , , )c cξ η τ у момент часу
τ = 1 і d = 0,01.
Зазначимо, що поведінка функції концентрації по глибині тіла суттєво від-
різняється для областей Ω1 і Ω2 (рис. 2а-4а та рис. 2б-4б) як для розпадної, так і
нерозпадної дифундуючої речовини. Якщо для міграції частинок, що не розпада-
ються, у горизонтально-періодичних структурах характерні розподіли концент-
рації по глибині шару, подібні до розподілів в однорідному тілі для Ω1 (рис. 2а)
та в багатокомпонентних тілах для Ω2 (рис. 2б), то врахування процесів розпаду
речовини може привести до якісних змін поведінки функції концентрації в усіх
структурних елементах тіла. Зокрема, зі збільшенням потужності джерел маси на по-
верхні й інтенсивності переходу частинок з Ω2 в Ω1 і зменшенням коефіцієнта
дифузії в області Ω2 з часом приповерхневий максимум в області Ω2 зменшується
(рис. 3б) аж до виходу на стаціонарний розподіл концентрації в однорідному сере-
довищі. Водночас в області Ω1 приповерхневий локальний мінімум (рис. 4а), харак-
терний для розподілів концентрації розпадних домішок, із часом виходить на ста-
ціонарний режим однорідного тіла (рис. 3а). Для інших співвідношень коефіцієнтів
задачі спостерігається відповідне зменшення значень концентрації домішкової ре-
човини залежно від величини коефіцієнта розпаду домішкових частинок.
Рис. 2. Розподіли концентрації домішки за координатою ξ
у різні моменти часу та 0λ = , а — в області Ω1, б — в області Ω2
0
0,025
0,05
0,075
0,1
0 2,5 5 7,5 10
)2(
0c
c
ξ
1 2
3
4
5
a
0
0,4
0,8
1,2
1,6
0 2,5 5 7,5 10
)2(
0c
c
ξ
1 2 3
4 5
б
ξ
(2)
0
с
с
ξ
(2)
0
с
с
Рис. 3. Розподіли концентрації домішки за координатою ξ
у різні моменти часу та 10λ = , а — в області Ω1, б — в області Ω2
0
0,025
0,050
0,075
0 2,5 5 7,5
1
2
3
4
5
0
0,5
1
1,5
0 2,5 5 7,5
1
2
3
4
5
(2)
0
с
с
ξ
(2)
0
с
с
ξ
a б
Євген Чапля, Ольга Чернуха
Математичне моделювання дифузії розпадної речовини у регулярних структурах
182
5. Потоки розпадних частинок у шарі горизонтально-регулярної структури
Отримані аналітичні вирази для концентрацій домішкової речовини, що розпада-
ється, дають можливість знайти такі важливі характеристики процесу масопере-
несення як потоки маси домішкових частинок через довільну поверхню шару
x = x*. Вони визначаються за формулами
*
( )
*
( , , )( )i i
i
x x
c x y tJ t D
x =
∂
= −
∂
, ( , ) ix y ∈Ω , 1,2i = ; *
0[0; ]x x∈ . (30)
Підставляючи вирази для концентрацій домішкової речовини (20) і (21) у співвід-
ношення (30), отримаємо формули для потоків маси через поверхню x = x*
( ) ( ) ( )2 2
1 1(1) (1) (1)*1
10 0*
0 11 0
( ) 2 cos ( )n n
t
D x t D x tn
n
n
xDJ t c e x x c D g t e dt
x L
∞ − +λ +λ
=
′ ′= + − +
ρ
∑ ∫
( ) ( )2 22
11
1 1 0
2 ( 1) cos ( ) n kk
t
D x y tD y tkn
k
k
x e y y g t e dt
L
∞ ′+ +λ−
=
′ ′+ − ρ
∑ ∫ , *
1( , )x y ∈Ω , (31)
Рис. 4. Розподіли концентрації домішки для різних значень параметра λ
при τ = 10, а — в області Ω1, б — в області Ω2
0
0,025
0,05
0,075
0,1
0 2,5 5 7,5 10
1
2
3
4
0
0,8
1,6
2,4
0 2,5 5 7,5 10
1
2
3
4
ξ
(2)
0
с
с
a
ξ
б (2)
0
с
с
Рис. 5. Розподіли концентрації домішки по ширині виділеного елемента тіла,
а — для різних моментів часу, б — для різних значень параметра d
0
0,15
0,3
0,45
0,6
0 0,25 0,5 0,75 1
1
2
3
1
2
3
0
0,15
0,3
0,45
0,6
0 0,25 0,5 0,75 1
1
1
2
2
1
η
(2)
0
с
с
η
(2)
0
с
с б a
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 8, 173-185
183
( ) ( ) ( )2 2
2 2(2) (2) (2)*2
20 0*
0 21 0
( ) 2 cos ( )n n
t
D x t D x tn
n
n
xDJ t c e x x c D g t e dt
x l
∞ − +λ +λ
=
′ ′= + − +
ρ
∑ ∫
( ) ( )2 22 22
2 1 0
2 ( 1) cos ( ) n mm
t
D x y tD y tmn
m
m
x e y y g t e dt
l
∞ ′+ +λ−
=
′ ′+ − ρ
∑ ∫ , *
2( , )x y ∈Ω . (32)
Зокрема, для потоків маси через границю шару x = x0 маємо
( ) ( )2 2
1 1(1) (1) (1)1
10 0 0
0 11 0
( ) 2 ( 1) ( )n n
t
D x t D x tn n
n
xDJ t c e c D g t e dt
x L
∞ ′− +λ +λ
=
′ ′= + − − +
ρ
∑ ∫
( ) ( )2 22 11
1 1 0
2 ( 1) cos ( ) n kk
t
D x y tD y tk
k
k
e y y g t e dt
L
∞ ′+ +λ−
=
′ ′+ − ρ
∑ ∫ , 0 1( , )x y ∈Ω ,
( ) ( )2 2
2 2(2) (2) (2)2
20 0 0
0 21 0
( ) 2 ( 1) ( )n n
t
D x t D x tn n
n
xDJ t c e c D g t e dt
x l
∞ ′− +λ +λ
=
′ ′= + − − + ρ
∑ ∫
( ) ( )2 22 22
2 1 0
2 ( 1) cos ( ) n mm
t
D x y tD y tm
m
m
e y y g t e dt
l
∞ ′+ +λ−
=
′ ′+ − ρ
∑ ∫ , 0 2( , )x y ∈Ω .
Аналогічним чином можемо знайти потоки маси домішкових частинок через
будь-яку вертикальну поверхню y = y*.
Висновки. З використанням інтегральних перетворень за просторовими змінними
отримано точний аналітичний розв’язок контактно-крайової задачі дифузії до-
мішкової розпадної речовини в горизонтально-періодичних структурах. Знахо-
дження аналітичних виразів для концентрації домішок дає можливість визначити
потоки маси речовини через задану поверхню. Також точний розв’язок такого
класу задач дифузії дозволяє знайти аналітичні вирази концентрацій для частко-
вих, однак практично важливих, крайових задач.
Знайдено умови, за яких задачу дифузії частинок, що розпадаються, у тілі з го-
ризонтально-періодичною структурою можна звести до задачі вертикальної (однови-
мірної) гетеродифузії двома шляхами. Це, зокрема, дало можливість ввести природну
безрозмірну форму для задачі масоперенесення у горизонтально-регулярних тілах.
Зауважимо, що запропонований тут метод знаходження точного розв’язку
контактно-крайових задач дифузії розпадної речовини не накладає умови на роз-
міри контактуючих областей, тобто може бути застосований, як для тіл із співви-
мірними розмірами контактуючих областей, так і у випадку, коли ширина однієї
з областей є значно більша або менша за іншу.
Зазначимо, що зважаючи на вигляд рівнянь (1), (2), розв’язки задачі масо-
перенесення в горизонтально-періодичних структурах можна застосувати для ви-
вчення процесів теплопровідності.
Робота виконана за часткової підтримки Державного фонду фундаментальних дослі-
джень МОН України (Ф25/95-2008, ДР № 0107U009406).
Євген Чапля, Ольга Чернуха
Математичне моделювання дифузії розпадної речовини у регулярних структурах
184
Література
[1] Нечаев Ю. С. К вопросу об интерпретации некоторых аномалий гетеродиффузии
в металлах // Изв. высш. уч. заведений. Черная металлургия. — 1979. — № 3. —
С. 89-92.
[2] Любов Б. Я. Диффузионные процессы в неоднородных твердых телах. — Москва:
Наука, 1981. — 295 с.
[3] Fisher J. C. Calculation of diffusion penetration curves for surface and grain buondary
diffusion // J. Appl. Phys. — 1951. — Vol. 22. — P. 74-77.
[4] Прохоров В. М. Миграция радиоактивных загрязнений в почвах. — Москва: Энер-
гоатомиздат, 1981. — 106 с.
[5] Bear J., Verruijt A. Modeling groundwater flow and pollution. — Dordrecht, Holland:
Reidel Publishing Company, 1990. — 415 p.
[6] Savula Y. H., Koukharskiy V. M., Chaplia Y. Y. Numerical analysis of advection diffu-
sion in the continuum with thin canal // Numerical Heat Transfer. Part A. — 1998. —
Vol. 36, No 3. — P. 657-679.
[7] Чапля Є. Я., Чернуха О. Ю. Процеси дифузії в тілі з періодичною структурою //
Мат. методи і фіз.-мех. поля. — 2002. — Т. 45, № 4. — С. 124-131.
[8] Chernukha O. Admixture mass transfer in a body with horizontally periodical structure //
International Journal of Heat and Mass Transfer. — 2005. — Vol. 48. — P. 2290-2298.
[9] Чапля Є. Я., Чернуха О. Ю. Фізико-математичне моделювання гетеродифузного
масопереносу. — Львів: СПОЛОМ, 2003. — 128 с.
[10] Райченко А. И. Математическая теория диффузии в приложениях. — Киев: Наук.
думка, 1981. — 396 с.
[11] Фізико-математичне моделювання складних систем / Під наук. ред Я. Бурака,
Є. Чаплі. — Львів: СПОЛОМ, 2004. — 264 с.
[12] Снеддон И. Преобразования Фурье. — Москва: Изд-во иностр. лит-ры, 1955. — 667 с.
[13] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. —
Москва: Наука, 1985. — 304 с.
Mathematical modelling diffusion
of decayable substance in regular structures
Yevhen Chaplya, Olha Chernukha
In the paper an exact solution of the contact initial-boundary value problem is found for diffusion
of decaying admixture particles in a body of two-phase periodical stratified structure. Regularities
of concentration distributions are studied depending on values of the coefficient of intensity of migra-
ting substance decay. Conditions are established for existence of passage to the limit from contact
initial-boundary value problems of decaying substance diffusion to continual models of heterodif-
fusion by two ways allowing for decay process. Mass flows are defined for decaying admixture,
which particles migrate in a horizontally regular structure.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 8, 173-185
185
Математическое моделирование диффузии
распадающегося вещества в регулярных структурах
Евгений Чапля, Ольга Чернуха
В работе найдено точное решение контактно-краевой задачи диффузии распадающегося
примесного вещества в теле двухфазной периодической слоистой структуры. Исследовано
закономерности распределений концентрации в зависимости от значений коэффициента
интенсивности распада мигрирующего вещества. Определены условия существования пре-
дельного перехода от контактно-краевых задач диффузии распадающегося вещества к кон-
тинуальным моделям гетеродиффузии двумя путями с учетом распада. Определены потоки
массы распадающегося примесного вещества, мигрирующего в горизонтально-регулярной
структуре.
Отримано 05.06.08
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-21889 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1816-1545 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:48:15Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Чапля, Є. Чернуха, О. 2011-06-20T07:10:52Z 2011-06-20T07:10:52Z 2008 Математичне моделювання дифузії розпадної речовини у регулярних структурах / Є. Чапля, О. Чернуха // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 8. — С. 173-185. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21889 517.958:539 У роботі знайдено точний розв’язок контактно-крайової задачі дифузії домішкової речовини, що розпадається, в тілі двофазної горизонтально-періодичної шаруватої структури. Досліджено закономірності розподілів концентрації залежно від значень коефіцієнта інтенсивності розпаду мігруючої речовини. Встановлено умови існування граничного переходу від контактно-крайових задач дифузії розпадної речовини до континуальних моделей гетеродифузії двома шляхами з урахуванням розпаду частинок. Визначені потоки маси домішкової розпадної речовини, що мігрує в горизонтально-регулярній структурі. In the paper an exact solution of the contact initial-boundary value problem is found for diffusion of decaying admixture particles in a body of two-phase periodical stratified structure. Regularities of concentration distributions are studied depending on values of the coefficient of intensity of migrating substance decay. Conditions are established for existence of passage to the limit from contact initial-boundary value problems of decaying substance diffusion to continual models of heterodiffusion by two ways allowing for decay process. Mass flows are defined for decaying admixture, which particles migrate in a horizontally regular structure. В работе найдено точное решение контактно-краевой задачи диффузии распадающегося примесного вещества в теле двухфазной периодической слоистой структуры. Исследовано закономерности распределений концентрации в зависимости от значений коэффициента интенсивности распада мигрирующего вещества. Определены условия существования предельного перехода от контактно-краевых задач диффузии распадающегося вещества к континуальным моделям гетеродиффузии двумя путями с учетом распада. Определены потоки массы распадающегося примесного вещества, мигрирующего в горизонтально-регулярной структуре. Робота виконана за часткової підтримки Державного фонду фундаментальних дослі-
 джень МОН України (Ф25/95-2008, ДР № 0107U009406). uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Математичне моделювання дифузії розпадної речовини у регулярних структурах Mathematical modelling diffusion of decayable substance in regular structures Математическое моделирование диффузии распадающегося вещества в регулярных структурах Article published earlier |
| spellingShingle | Математичне моделювання дифузії розпадної речовини у регулярних структурах Чапля, Є. Чернуха, О. |
| title | Математичне моделювання дифузії розпадної речовини у регулярних структурах |
| title_alt | Mathematical modelling diffusion of decayable substance in regular structures Математическое моделирование диффузии распадающегося вещества в регулярных структурах |
| title_full | Математичне моделювання дифузії розпадної речовини у регулярних структурах |
| title_fullStr | Математичне моделювання дифузії розпадної речовини у регулярних структурах |
| title_full_unstemmed | Математичне моделювання дифузії розпадної речовини у регулярних структурах |
| title_short | Математичне моделювання дифузії розпадної речовини у регулярних структурах |
| title_sort | математичне моделювання дифузії розпадної речовини у регулярних структурах |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21889 |
| work_keys_str_mv | AT čaplâê matematičnemodelûvannâdifuzíírozpadnoírečoviniuregulârnihstrukturah AT černuhao matematičnemodelûvannâdifuzíírozpadnoírečoviniuregulârnihstrukturah AT čaplâê mathematicalmodellingdiffusionofdecayablesubstanceinregularstructures AT černuhao mathematicalmodellingdiffusionofdecayablesubstanceinregularstructures AT čaplâê matematičeskoemodelirovaniediffuziiraspadaûŝegosâveŝestvavregulârnyhstrukturah AT černuhao matematičeskoemodelirovaniediffuziiraspadaûŝegosâveŝestvavregulârnyhstrukturah |