Визначення параметрів внутрішніх джерел тепла у півпросторі за заданими значеннями температури на його поверхні
Отримано розв’язок оберненої задачі про визначення функції температури та параметрів внутрішніх джерел тепла (потужність, місцезнаходження) у теплопровідному півпросторі за заданих умов теплообміну та значеннях температури в окремих точках на його поверхні. Показано, що оцінити потужність і характер...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
|---|---|
| Datum: | 2008 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2008
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21892 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Визначення параметрів внутрішніх джерел тепла у півпросторі за заданими значеннями температури на його поверхні / Б. Гера // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 8. — С. 37-47. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860034263003430912 |
|---|---|
| author | Гера, Б. |
| author_facet | Гера, Б. |
| citation_txt | Визначення параметрів внутрішніх джерел тепла у півпросторі за заданими значеннями температури на його поверхні / Б. Гера // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 8. — С. 37-47. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| description | Отримано розв’язок оберненої задачі про визначення функції температури та параметрів внутрішніх джерел тепла (потужність, місцезнаходження) у теплопровідному півпросторі за заданих умов теплообміну та значеннях температури в окремих точках на його поверхні. Показано, що оцінити потужність і характер джерел тепла можна, замінивши розподілені джерела тепла — точковими. Кількість таких джерел та оцінка меж і координат їх розташування можуть бути отримані з аналізу поверхневих теплових контрастів, із подальшим їх уточненням, а також визначенням глибини та потужності джерел із розв’язку оберненої задачі теплопровідності. Досліджено результати числових розрахунків.
The solution of the inverse problem on evaluation of the temperature function and parameters of internal thermal sources (power, location) in heat conducting half-space with known heat exchange conditions and temperature at some points on its surface is obtained. It was shown that it is possible to evaluate the power and distributions of thermal sources by replacing them with concentrated sources. The number of such sources and assessment of their boundaries and coordinates may be obtained using the surface thermal contrast analysis, with their subsequent refinement, and also by evaluation of depth and power of sources from the solution of the inverse thermal conductivity problem. The results of calculations are investigated.
Получено решение обратной задачи об определении функции температуры и параметров внутренних источников тепла (мощности, местоположения) в теплопроводном полупространстве при заданных условиях теплообмена и значениях температуры в отдельных точках его поверхности. Показано, что оценить мощность и расположение источников тепла можно, заменив распределенные источники тепла — точечными. Количество таких источников и оценку их координат получаем из анализа тепловых контрастов на поверхности, с последующим их уточнением, а также определением глубины и мощности источников из решения обратной задачи теплопроводности. Исследованы результаты численных расчетов.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:53:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
Визначення параметрів внутрішніх
джерел тепла у півпросторі за заданими значеннями
температури на його поверхні
Богдан Гера
д. т. н., проф., Центр математичного моделювання IППММ iм. Я. С. Пiдстригача НАН України, вул. Дж. Ду-
даєва, 15, Львів, 79005, Дніпропетровський національний університет залізничного транспорту імені академіка
В. Лазаряна, вул. І. Блажкевич, 12а, Львів, e-mail: gera@cmm.lviv.ua
Отримано розв’язок оберненої задачі про визначення функції температури та параметрів
внутрішніх джерел тепла (потужність, місцезнаходження) у теплопровідному півпрос-
торі за заданих умов теплообміну та значеннях температури в окремих точках на його по-
верхні. Показано, що оцінити потужність і характер джерел тепла можна, замінивши
розподілені джерела тепла — точковими. Кількість таких джерел та оцінка меж і коор-
динат їх розташування можуть бути отримані з аналізу поверхневих теплових конт-
растів, із подальшим їх уточненням, а також визначенням глибини та потужності джерел
із розв’язку оберненої задачі теплопровідності. Досліджено результати числових розрахунків.
Ключові слова: обернена задача, теплопровідність, параметри джерела тепла.
Вступ. Особливістю обернених задач про визначення параметрів внутрішніх джерел
тепла в телопровідному тілі є їх некоректність, що може проявлятися у неєди-
ності та нестійкості розв’язків. Суттєво ускладнює їх розв’язування сильна за-
лежність розв’язків від незначної зміни вхідних даних, які, переважно, задані не
точно, а з деякою похибкою. Крім того може бути відсутня додаткова кількісна
інформація про межі зміни параметрів джерел тепла, яка б дозволила звузити
область їх пошуку. Відомі два шляхи подолання некоректності розв’язку оберне-
ної задачі: зміна постановки задачі так, щоб вона стала коректною, або побудова
«регуляризуючого» алгоритму розв’язку без попереднього переформулювання
постановки задачі [1, 2].
Задачі про визначення інтегральної потужності та розташування внутріш-
ніх джерел тепла у теплопровідному тілі за викликаними ними тепловими анома-
ліями на поверхні розглядали в роботах [3-6].
У пропонованій роботі для регуляризації задачі теплову дію розподілених
джерел тепла заміняємо дією невеликої кількості точкових джерел, границі об-
ласті просторового розташування яких вважаємо відомими. У такому наближенні
записано постановку оберненої задачі про визначення інтенсивностей і коорди-
нат розташування точкових джерел тепла. Додаткову інформацію про область
пошуку джерел тепла пропонується отримувати з аналізу форми теплової анома-
лії на поверхні тіла. Розв’язок оберненої задачі зведено до відшукання умовного
УДК 510.5
37
Богдан Гера
Визначення параметрів внутрішніх джерел тепла у півпросторі за заданими значеннями ...
38
екстремуму функції середньоквадратичного відхилення від заданих значень тем-
ператури внаслідок наявності у тілі точкових джерел. Із використанням методу
найшвидшого спуску чисельно отримані параметри точкових джерел тепла за диск-
ретними даними, тобто за значеннями температури в окремих точках теплової
аномалії на поверхні півпростору.
1. Постановка оберненої задачі визначення параметрів джерел тепла
Розглянемо однорідний теплопровідний півпростір, в обмеженій внутрішній області
якого відбуваються стаціонарні тепловиділення, наслідком яких є неоднорідний
розподіл температури (температурна аномалія) на поверхні півпростору. Потрібно
оцінити потужність і охарактеризувати розподіл внутрішніх джерел тепла за да-
ними про температуру в окремих точках поблизу або на поверхні півпростору.
Відомо, що обернена задача визначення інтенсивності розподілених джерел
тепла в області, яка знаходиться всередині тіла, за заданою функцією температури
поза цією областю має неєдиний розв’язок [3]. Тому для оцінки таких параметрів
джерел тепла, як загальна їх потужність і розташування, розподілені джерела тепла
замінимо сукупністю K зосереджених у точках (ξi, ηi, ζi) джерел, потужності
Qi ( )1,i K= . Півпростір віднесемо до прямокутної системи координат x, y, z (осі Ox
і Oy якої належать його поверхні, а Oz — спрямована всередину півпростору).
Рівняння теплопровідності для визначення створюваного ними поля темпе-
ратури t(x, y, z) запишемо у вигляді
( ) ( ) ( )
1
1( , , )
K
i i i i
i
t x y z Q x y z
=
∆ = − δ − ξ δ − η δ − ζ
λ∑ , (1)
умову теплообміну на поверхні півпростору z = 0
0
( , ,0)
z
t t x y
z =
∂
λ = α
∂
, (2)
а умови на безмежності
, ,
lim ( , , ) 0
x y z
t x y z
→∞
= . (3)
Окрім того у точках Aj (xj, yj, zj) ( )1,j N= півпростору задані, з деякою похибкою
вимірювань, значення температури θj, викликаної цими джерелами тепла. Тобто
задано N значень
( ), ,j j j j jt x y zθ = + ∆ , (4)
де ∆j — похибки вимірювань температури. Вважаємо, що ці значення задані біля
поверхні, тобто max zj << min ζi.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 8, 37-47
39
Оскільки кількість невідомих ξi, ηi, ζi, Qi складає 4К, то для їх визначення
потрібно провести не менше 4К незалежних вимірювань температури θj. Тобто
N ≥ 4К. У випадку двовимірної задачі теплопровідності незалежність вимірювань
і достатність їх кількості для визначення параметрів двох джерел тепла досліджено
в роботі [3].
Приймаємо, що можна встановити обмеження для величин шуканих пара-
метрів вигляду
( ),i i Dξ η ∈ , i
− +ζ ≤ ζ ≤ ζ , iQ Q Q− +≤ ≤ , (5)
де D — область температурної аномалії; ζ –, ζ +, Q –, Q + — задані величини.
Задача полягає у визначенні невідомих потужностей Qi ( )1,i K= та відпо-
відних їм координат ξi, ηi, ζi внутрішніх зосереджених джерел тепла, які забезпе-
чують у точках Aj значення температури, найближчі до заданих величин θj
( )1,j N= . Якщо таку близькість приймати у сенсі мінімуму середньоквадратич-
ного відхилення, то параметри точкових джерел тепла будемо визначати так, щоб
середньоквадратичне відхилення
( ) 2
1
1 , ,
2
N
j j j j
j
t x y z
=
Ω = θ − ∑ , (6)
приймало мінімальне значення за виконання умов (1)-(3),(5).
2. Числове розв’язування задачі умовної мінімізації
Розподіл температури у півпросторі, який викликаний наявністю одного джерела
тепла з параметрами ξ, η, ζ, Q, визначаємо з рівняння (1) за крайових умов (2), (3) [7]
( ) ( ) ( ) ( )
1/ 22 2 2, , , , , ,
4
Qt x y z Q x y z
− ξ η ζ = − ξ + −η + − ς + πλ
( ) ( ) ( )
1/ 22 2 2x y z
−
+ − ξ + − η + + ς −
( )
( ) ( )2 2
0
0
2
ze J x y d
∞ −ρ +ς − µ ρ − ξ + − η ρ ρ + µ
∫ . (7)
Тут µ = α / λ, J0(ρ) — функція Бесселя першого роду.
Тоді за дії у точках (xj, yj, zj) К зосереджених джерел тепла, використовуючи
лінійність задачі теплопровідності, температуру можна подати у вигляді суми
температур від кожного точкового джерела тепла
( ) ( )
1
, , , , ,
K
j j j j i i i i
i
t x y z t Q
=
= ξ η ζ∑ , ( )1,j N= . (8)
Вираз tj(ξi, ηi, ζi, Qi), враховуючи формулу (7), запишемо у вигляді
Богдан Гера
Визначення параметрів внутрішніх джерел тепла у півпросторі за заданими значеннями ...
40
( )
1/ 22 2
, , , 1
4
ij ji
j i i i i
i i i
r zQt Q
−
ξ η ζ = + − + πλζ ζ ζ
1/ 22 2
1ij j
i i
r z
−
+ + + ζ ζ ( ) 0
0
2 ij
i
i ji j
re J dt
zz
∞ −τ τ − µζ ζ +τ + µ ζ +
∫ , (9)
де ( ) ( )222
ij j i j ir x y= − ξ + −η .
Оскільки max zj << min ζi, тобто глибина джерел значно перевищує глибину
приповерхневих вимірювань температури, то у (9) можна знехтувати складниками
zj
/ ζi, які малі порівняно з одиницею. З метою переходу до безрозмірних парамет-
рів проведемо заміну змінних
j jX x= µ ; j jY y= µ ; i iu = µξ ; i iv = µη ; i iw = µζ ,
max2
i
i
i
Qq
t
=
πλζ
.
Тоді співвідношення (9) перетворимо до вигляду
( ) ( ) ( ){ 1/ 22 2 2
max, , ,j i i i i i i j i j i it u v w q t q w X u Y v w
−
= − + − + −
( ) ( )
1/ 22 2
0
0
i j i j i
i i
ew J X u Y v d
w w
∞ −τ τ − − + − τ τ +
∫ . (10)
Тут max
1,
max j
j J
t t
=
= — нормуючий множник.
Для визначення невідомих величин ui, vi, wi, qi ( )1,i K= , що забезпечують
значення t(xi, yi, zi), найближчі до заданих значень θj, виходитимемо з умови міні-
муму функції середньоквадратичного відхилення (6)
( )
2
1 1
1 , , ,
2
N K
j j i i i i
j i
t u v w q
= =
Ω = θ −
∑ ∑ . (11)
Розв’язок такої задачі існує, оскільки невідомі параметри шукаємо в замкнутій
області, що визначається умовами (4), і, якщо похибки вимірювань ∆ → 0 (∆ ≥ |∆j|),
їх числові значення прямуватимуть до реальних значень параметрів джерел тепла.
Опишемо алгоритм чисельної мінімізації Ω, використовуючи метод най-
швидшого спуску [8]. На першому кроці задаємо початкове наближення шуканих
параметрів (0) (0) (0) (0), , ,i i i iu v w q з області їх допустимих значень. Обчислені значення
будуть вхідними для обчислення наступних наближень цих параметрів
( ) ( ) ( ) ( ), , ,n n n n
i i i iu v w q . На кожному наступному n-ому кроці обчислюємо компоненти
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 8, 37-47
41
матриці ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ,n n n n n
ij j i i i ib t u v w q= як масив розміру K × N і за формулою (11)
визначаємо Ω(n). Далі знаходимо напрямок спуску ( ) ( ) ( ) ( ), , ,n n n n
i i i iqξ η ζ . Вираз для
визначення ( )n
iξ запишемо у вигляді
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1
, , ,n n n nN K j i i i in n
i j ij
i ij i
t u v w q
b
u u= =
∂∂Ω ξ = − ≡ − θ −
∂ ∂
∑ ∑ . (12)
Аналогічним чином можна подати решту компонент напрямку спуску
( )n
i
iv
∂Ω
η = −
∂
, ( )n
i
iw
∂Ω
ζ = −
∂
, ( )n
i
i
q
q
∂Ω
=
∂
(13)
при ( )n
i iu u= , ( )n
i iv v= , ( )n
i iw w= , ( )n
i iq q= .
Для визначення числових значень ( ) ( ) ( ) ( ), , ,n n n n
i i i iqξ η ζ , окрім обчислених ра-
ніше ( )( ) ( ) ( ) ( ), , ,n n n n
j i i i it u v w q , слід також знайти значення похідних, які входять
у співвідношення (12), (13), тобто
2
j j i
i ij
i i
t X u
q
u w
∂ −
= Ξ
∂
, 2
j j i
i ij
i i
t Y v
q
v w
∂ −
= Ξ
∂
,
( )
3
2 2 21j i
i ij i ij i
i i
t wq w r w
w w
− ∂ +
= ψ − +
∂
, j
ij
i
t
q
∂
= ψ
∂
(14)
при ( )n
i iu u= , ( )n
i iv v= , ( )n
i iw w= , ( )n
i iq q= . Тут
( ) ( )
2 2
03 2 2
02 2 2
iji i
ij ij i
iij i
ij i
rw w ew J d
wr wr w
∞ −τ τ
Ξ = + ψ − τ
τ − +
∫ ,
( )
01
02 2 2
iji
ij i
i i
ij i
rw ew J d
w w
r w
∞ −τ τ
ψ = + τ τ + +
∫ , (15)
( ) ( )2 22
ij j i j ir X u Y v= − + − , Nj ,1= , Ki ,1= .
Якщо в процесі обчислень виявиться, що Xj = ui, Yj = vi за будь-яких 1,j N= , 1,i K=
й, отже, 2 0ijr = , то Ξij має особливість вигляду 0
0
. Тоді формула (15) стає
непридатна для обчислень із використанням ЕОМ. Знайдемо граничні вирази
j
i
t
u
∂
∂
, j
i
t
v
∂
∂
при Xj → ui, Yj → vi. Запишемо j
i
t
u
∂
∂
у вигляді
Богдан Гера
Визначення параметрів внутрішніх джерел тепла у півпросторі за заданими значеннями ...
42
( )
( )
03 2
02 2 2
1j iji
i j i
i i iij
ij i
t rw eq X u J d
u w wr
r w
∞ −τ
∂ τ τ
= − − τ ∂ τ + +
∫ . (16)
Розкладемо функцію Бесселя першого роду в ряд
( )
( )
2 1
3
0 2 1
0
1
16
21 2
l
l ij
ij ij iji
l
i i il
r
r r rw
J
w w wl l
+
∞
+
=
τ
− τ τ ττ + ≡ = − +
+
∑ .
Вважаючи, що rij — малий параметр, обмежимося у цьому розкладі першим чле-
ном ряду та підставимо його у співвідношення (16). Враховуючи, що
( )2
1
0
1e d E
∞ −ττ
τ = − ζ − ζ ζ
τ + ζ∫ ,
отримаємо
( )
( )
( ) ( )2 2
13
2 2 2
1 1j i
i j i i i i ij
i i
ij i
t wq X u w w E w O r
u w
r w
∂ = − − − − + ∂ +
.
Звідси випливає, що при Xj = ui, Yj = vi справджується рівність 0j
i
t
u
∂
=
∂
. Аналогічним
чином можна показати, що 0j
i
t
v
∂
=
∂
при Xj = xi, Yj = yi. Отримавши компоненти на-
прямку спуску, (n + 1)-ше наближення розв’язку задачі шукатимемо у вигляді
( 1) ( ) ( ) ( )n n n n
i i iu u+ = + υ ξ , ( 1) ( ) ( ) ( )n n n n
i i iv v+ = + υ η ,
( 1) ( ) ( ) ( )n n n n
i i iw w+ = + υ ζ , ( 1) ( ) ( ) ( )n n n n
i i iq q q+ = + υ , (17)
де крок спуску ( )nυ визначається з умов мінімуму по υ виразу
( ) ( )
2
( 1) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1 , , ,
2
J K
n n n n n
j j i i i i
j i
t u v w q+
= =
Ω υ = θ −
∑ ∑ . (18)
Цим забезпечується зменшення критерію (11) за переходу від n-го до (n + 1)-го
наближення, оскільки
( ) ( ) ( )( 1) ( ) ( )0 0n n n+Ω ≡ Ω υ ≤Ω . (19)
Під час практичної реалізації числової мінімізації ( )( 1)n+Ω υ знаходимо
спочатку значення υ , при якому одночасно виконуються нерівності
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 8, 37-47
43
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
0
0
2
n
n n d
d
υ=
Ω υυ
Ω υ > Ω −
υ
, (20)
( ) ( )( )
( ) ( )
0
0
2 4
n
n n d
d
υ=
Ω υυ υ Ω < Ω − υ
, (21)
і приймаємо ( ) / 2nυ = υ . Нерівність (21) забезпечує виконання умови (19), оскільки
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2 2 2 2( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
10
0
n K
n n n n
i i i i
i
d
q
d
+ + + +
=υ=
Ω υ ≡ − ξ + η + ζ + < υ ∑ .
Після визначення ( )nυ знаходимо (n + 1)-ше наближення шуканих параметрів
і відповідні йому значення Ω. Критерієм завершення обчислень вважаємо вико-
нання нерівностей
( ) ( 1) (1)(0) (0) (0)n n+Ω −Ω < εΩ , (22)
де ε — задане мале число. Якщо нерівність (22) не виконується, визначаємо на-
ступне (n + 2)-ге наближення розв’язку задачі, а у разі її виконання обчислення
закінчуємо та розв’язком вважаємо
( 1)n
i iu u += , ( 1)n
i iv v += , ( 1)n
i iw w += , ( 1)n
i iq q += , 1,i K= .
3. Числові дослідження
Для тестових розрахунків вибирали температурні дані, що відповідають джерелам
тепла з заданими параметрами. Обчислення проводили для кількох випадків, коли
конфігурація теплової аномалії свідчила про наявність одного (K = 1), двох (K = 2)
чи трьох (K = 3) центрів джерел тепла. При цьому на поверхні z = 0 у точках
із координатами (xj, yj), розташованих в області температурної аномалії, задавали
значення θj, що відповідають чотирьом варіантам дії теплових джерел (a, b, c, d),
Таблиця 1
Тестові значення параметрів точкових джерел тепла
Варіант ξ i(м) η i(м) ζ i(м) Qi(К⋅м)
a – 3 0 5 160
(К = 2) 0 0 6 170
b – 3 0 5 160
(К = 2) 4 0 6 170
c – 3 0 5 160
(К = 2) 7 0 6 170
d – 3 0 5 160
(К = 3) 4 0 6 170
0 7 3 100
Богдан Гера
Визначення параметрів внутрішніх джерел тепла у півпросторі за заданими значеннями ...
44
параметри яких наведені в табл. 1. При цьому похибку ∆ вхідних даних θj можна
контролювати й у разі потреби встановлювати достатньо малою для забезпечення
стійкості розв’язку оберненої задачі.
На рис. 1 відповідно для кожного з чотирьох (a, b, c, d) варіантів нагрівання пів-
простору точковими джерелами тепла показано лінії рівнів функції t в області теплової
аномалії, за якими можна визначити теплові контрасти на поверхні півпростору.
У результаті аналізу теплових зображень можна встановити кількість центрів
джерел тепла та зробити попередні оцінки їх координат (xj, yj). Під час розв’язу-
вання обернених задач для варіантів даних, що відповідають рис. 1b та с, прийма-
ємо К = 2, для даних, показаних на рис. 1d, — К = 3 та лише для першого з роз-
глянутих випадків, якому відповідає рис. 1a, коли джерела знаходяться достатньо
близько й їхня дія сприймається на тепловому зображенні як нагрів одним зосе-
редженим джерелом тепла, приймаємо, що К = 1.
Попередня оцінка координат джерел тепла (див. рис. 1) дає наступні набли-
ження (0) (0),i ix y для варіантів a-d:
Рис. 1. Лінії рівня температурного поля на поверхні (варіанти a, b, c, d)
b
d с
15
10
5
0
– 5
– 10
– 15
15
10
5
0
– 5
– 10
– 15
15
10
5
0
– 5
– 10
– 15
a
15
10
5
0
– 5
– 10
– 15
– 15 – 10 – 5 0 5 10 15 – 15 – 10 – 5 0 5 10 15
– 15 – 10 – 5 0 5 10 15 – 15 – 10 – 5 0 5 10 15
0,39
0,719
1,049
1,379
1,709
0,325
0,583
0,842
1,101
1,359
0,256
0,451
0,647
0,842
1,039
1,234
0,349
0,627
0,904
1,181
1,459
1,736
2,013
1,736
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 8, 37-47
45
a) (0) (0)
1 12, 0x y= − = ;
b) (0) (0)
1 12, 0x y= − = ; (0) (0)
2 23, 0x y= = ;
c) (0) (0)
1 12,5, 0x y= − = ; (0) (0)
2 25,7, 0x y= = ;
d) (0) (0)
1 12, 0x y= − = ; (0) (0)
2 23, 0,5x y= = ; (0) (0)
3 30, 6x y= = .
Оцінки глибини (0)
iz і потужності (0)
iQ проводили з використанням розв’язку обер-
неної задачі з одним локальним джерелом тепла [9] за відомих розподілів темпе-
ратури в околах точок ( )(0) (0),i ix y на поверхні z = 0. Для перших трьох розгляду-
ваних варіантів такі розрахунки дають
a) (0) (0)
1 15,5, 318z Q= = ;
b) (0) (0)
1 15,5, 259z Q= = ; (0) (0)
2 26,5, 270z Q= = ;
c) (0) (0)
1 15,3, 194z Q= = ; (0) (0)
2 26,5, 212z Q= = .
Ці значення приймалися за нульове наближення при визначенні точкових джерел
тепла. У четвертому варіанті нульове наближення вибирали так
d) (0) (0)
1 14,5, 150z Q= = ; (0) (0)
2 26,5, 180z Q= = , (0) (0)
2 22, 90z Q= = .
У табл. 2 приведено отримані методом найшвидшого спуску параметри
джерел тепла, для яких функція (11) набуває мінімального значення.
Максимальні відхилення визначених потужностей від дійсних (табл. 1)
складають у першому варіанті 5%, другому 2%, третьому 5,3% та четвертому 9,7%
їх величин. Максимальні абсолютні зміщення джерел відповідно складають 1,19;
0,18; 0,25; 0,70 м. У першому варіанті великі відхилення знайдених параметрів по-
яснюються поганою ідентифікацією близько розташованих джерел тепла. Зі збіль-
шення відстані між джерелами, коли їхня дія локалізована у різних областях, ці
параметри визначаються значно точніше.
Таблиця 2
Отримані значення параметрів точкових джерел тепла
Варіант ξ i(м) η i(м) ζ i(м) Qi(К⋅м)
a (К = 1) 1,78 – 0,010 5,79 342,6
b (К = 2) – 2,35 – 0,003 5,63 168,0
– 1,17 – 0,002 5,00 169,0
c (К = 2) – 3,06 0,00 4,90 153,0
6,87 – 0,010 6,19 179,0
d (К = 3) – 2,62 – 0,100 4,72 144,5
3,49 0,130 6,45 180,5
0,34 7,000 2,97 100,4
Богдан Гера
Визначення параметрів внутрішніх джерел тепла у півпросторі за заданими значеннями ...
46
Висновки. Показано, що характер внутрішніх тепловиділень, які відбуваються
у замкнутій області теплопровідного півпростору, можна оцінити, замінивши роз-
поділені джерела тепла невеликою кількістю точкових джерел. Розрахункову кіль-
кість таких джерел і оцінку координат їх розташування отримуємо з аналізу по-
верхневих теплових зображень. Подальше уточнення цих координат, а також
визначення глибини та потужності джерел можна отримати з використанням роз-
в’язку оберненої задачі теплопровідності, якщо похибки вхідних даних для неї
достатньо малі. Температура на поверхні при визначених параметрах джерел тепла
практично співпадає з заданою.
Література
[1] Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. — Москва:
Наука, 1986. — 288 с.
[2] Старостенко В. И. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии. —
Киев: Наук. думка, 1978. — 228 с.
[3] Кондорская Е. Е., Гласко В. Б. Об определении положения теплового источника
по заданному температурному полю // Вестник Московского ун-та. Сер. физ.,
астроном. — 1982. — № 1. — С. 79-83.
[4] Ильинский А. С., Ланеев Е. Б. Об определении положения источника тепла по кос-
венным данным // Вестн. Московского ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика
и кибернетика. — 1988. — № 2. — С. 18-22.
[5] Stefaniak J. Controlling the concentrated sources in some problems of heat conduction //
Journal of Theoretical Physics. — 1985. — Vol. 26, 3-4. — P. 349-358.
[6] Mościcki W. J. Temperature anomalies over underground cavities // Geophysical Pro-
specting. — 1987. — Vol. 35. — P. 393-423.
[7] Гера Б. В. Зворотна задача визначення характеристик зосереджених джерел тепла
у півпросторі // Доп. АН УРСР. Сер. А. — 1988. — № 3. — С. 75-78.
[8] Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. —
Москва: Наука, 1978. — 488 с.
[9] Гера Б. В., Чапля Е. Я. Определение характеристик сосредоточенных источников
тепла в полупространстве при заданных условии теплообмена и распределении
температуры на его поверхности // Мат. методы и физ.-мех. поля. — 1989. —
Вып. 29. — С. 46-51.
Obtaining the parameters of internal thermal sources in a half-space
by the given surface temperature values on its surface
Bogdan Gera
The solution of the inverse problem on evaluation of the temperature function and parameters of
internal thermal sources (power, location) in heat conducting half-space with known heat exchange
conditions and temperature at some points on its surface is obtained. It was shown that it is pos-
sible to evaluate the power and distributions of thermal sources by replacing them with concentra-
ted sources. The number of such sources and assessment of their boundaries and coordinates may
be obtained using the surface thermal contrast analysis, with their subsequent refinement, and
also by evaluation of depth and power of sources from the solution of the inverse thermal con-
ductivity problem. The results of calculations are investigated.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 8, 37-47
47
Определение параметров внутренних источников тепла
в полупространстве по заданным значениям температуры
на его поверхности
Богдан Гера
Получено решение обратной задачи об определении функции температуры и параметров
внутренних источников тепла (мощности, местоположения) в теплопроводном полупрост-
ранстве при заданных условиях теплообмена и значениях температуры в отдельных точках
его поверхности. Показано, что оценить мощность и расположение источников тепла
можно, заменив распределенные источники тепла — точечными. Количество таких источ-
ников и оценку их координат получаем из анализа тепловых контрастов на поверхности,
с последующим их уточнением, а также определением глубины и мощности источников из
решения обратной задачи теплопроводности. Исследованы результаты численных расчетов.
Отримано 12.05.08
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-21892 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1816-1545 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:53:00Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гера, Б. 2011-06-20T07:15:12Z 2011-06-20T07:15:12Z 2008 Визначення параметрів внутрішніх джерел тепла у півпросторі за заданими значеннями температури на його поверхні / Б. Гера // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 8. — С. 37-47. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21892 510.5 Отримано розв’язок оберненої задачі про визначення функції температури та параметрів внутрішніх джерел тепла (потужність, місцезнаходження) у теплопровідному півпросторі за заданих умов теплообміну та значеннях температури в окремих точках на його поверхні. Показано, що оцінити потужність і характер джерел тепла можна, замінивши розподілені джерела тепла — точковими. Кількість таких джерел та оцінка меж і координат їх розташування можуть бути отримані з аналізу поверхневих теплових контрастів, із подальшим їх уточненням, а також визначенням глибини та потужності джерел із розв’язку оберненої задачі теплопровідності. Досліджено результати числових розрахунків. The solution of the inverse problem on evaluation of the temperature function and parameters of internal thermal sources (power, location) in heat conducting half-space with known heat exchange conditions and temperature at some points on its surface is obtained. It was shown that it is possible to evaluate the power and distributions of thermal sources by replacing them with concentrated sources. The number of such sources and assessment of their boundaries and coordinates may be obtained using the surface thermal contrast analysis, with their subsequent refinement, and also by evaluation of depth and power of sources from the solution of the inverse thermal conductivity problem. The results of calculations are investigated. Получено решение обратной задачи об определении функции температуры и параметров внутренних источников тепла (мощности, местоположения) в теплопроводном полупространстве при заданных условиях теплообмена и значениях температуры в отдельных точках его поверхности. Показано, что оценить мощность и расположение источников тепла можно, заменив распределенные источники тепла — точечными. Количество таких источников и оценку их координат получаем из анализа тепловых контрастов на поверхности, с последующим их уточнением, а также определением глубины и мощности источников из решения обратной задачи теплопроводности. Исследованы результаты численных расчетов. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Визначення параметрів внутрішніх джерел тепла у півпросторі за заданими значеннями температури на його поверхні Obtaining the parameters of internal thermal sources in a half-space by the given surface temperature values on its surface Определение параметров внутренних источников тепла в полупространстве по заданным значениям температуры на его поверхности Article published earlier |
| spellingShingle | Визначення параметрів внутрішніх джерел тепла у півпросторі за заданими значеннями температури на його поверхні Гера, Б. |
| title | Визначення параметрів внутрішніх джерел тепла у півпросторі за заданими значеннями температури на його поверхні |
| title_alt | Obtaining the parameters of internal thermal sources in a half-space by the given surface temperature values on its surface Определение параметров внутренних источников тепла в полупространстве по заданным значениям температуры на его поверхности |
| title_full | Визначення параметрів внутрішніх джерел тепла у півпросторі за заданими значеннями температури на його поверхні |
| title_fullStr | Визначення параметрів внутрішніх джерел тепла у півпросторі за заданими значеннями температури на його поверхні |
| title_full_unstemmed | Визначення параметрів внутрішніх джерел тепла у півпросторі за заданими значеннями температури на його поверхні |
| title_short | Визначення параметрів внутрішніх джерел тепла у півпросторі за заданими значеннями температури на його поверхні |
| title_sort | визначення параметрів внутрішніх джерел тепла у півпросторі за заданими значеннями температури на його поверхні |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21892 |
| work_keys_str_mv | AT gerab viznačennâparametrívvnutríšníhdžerelteplaupívprostorízazadanimiznačennâmitemperaturinaiogopoverhní AT gerab obtainingtheparametersofinternalthermalsourcesinahalfspacebythegivensurfacetemperaturevaluesonitssurface AT gerab opredelenieparametrovvnutrennihistočnikovteplavpoluprostranstvepozadannymznačeniâmtemperaturynaegopoverhnosti |