Моделювання вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву гнучких в’язкопружних пластин із розподіленими актуаторами

Розглядається задача про резонансні коливання та дисипативний розігрів композитних ортотропних пластин із розподіленими актуаторами. За допомогою актуаторів демпфуються вказані коливання. Залежність властивостей матеріалів від температури не враховується. Тоді спряжена задача зводиться до задачі мех...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Date:	2008
Main Authors:	Карнаухов, В., Козлов, В., Карнаухова, Т.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2008
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21893
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Моделювання вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву гнучких в’язкопружних пластин із розподіленими актуаторами / В. Карнаухов, В. Козлов, Т. Карнаухов // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 8. — С. 48-68. — Бібліогр.: 32 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859966725378801664
author	Карнаухов, В. Козлов, В. Карнаухова, Т.
author_facet	Карнаухов, В. Козлов, В. Карнаухова, Т.
citation_txt	Моделювання вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву гнучких в’язкопружних пластин із розподіленими актуаторами / В. Карнаухов, В. Козлов, Т. Карнаухов // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 8. — С. 48-68. — Бібліогр.: 32 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
description	Розглядається задача про резонансні коливання та дисипативний розігрів композитних ортотропних пластин із розподіленими актуаторами. За допомогою актуаторів демпфуються вказані коливання. Залежність властивостей матеріалів від температури не враховується. Тоді спряжена задача зводиться до задачі механіки про резонансні вимушені нелінійні коливання пластини та задачі про розрахунок температури дисипативного розігріву. Для розв’язування задачі механіки використано метод Бубнова-Гальоркіна. В результаті одержано звичайне нелінійне інтегро-диференціальне рівняння. Його розв’язок знаходиться методом гармонічного балансу. Досліджено вплив геометричної нелінійності та температури дисипативного розігріву на ефективність активного демпфування вимушених резонансних коливань прямокутної пластини з шарнірно опертими торцями. Problem about forced resonance vibrations and dissipative heating of flexible composite orthotropic plates with distributed actuators is considered. These vibrations are damped by the actuators. It is supposed that the electromechanical material characteristics do not depend on the temperature. Then the coupled problem is reduced to the problem of mechanics about forced nonlinear vibrations of a plate and the problem on calculation of dissipative heating temperature. The problem of mechanics is solved by the Bubnov-Galerkin method. As a result the ordinary nonlinear integro-differential equation is obtained, which is solved by the harmonic balance method. The influence of geometric nonlinearity and dissipative heating temperature on the effectiveness of active damping vibrations of a rectangular plate with supported edges by the piezoelectric actuators is studied. Рассматривается задача о резонансных колебаниях и диссипативном разогреве гибких композитных ортотропных пластин с распределенными актуаторами. При помощи актуаторов демпфируются указанные колебания. Зависимость свойств материалов от температуры не учитывается. В этом случае связанная задача сводится к задаче механики о вынужденных резонансных нелинейных колебаниях пластины и задаче расчета температуры диссипативного разогрева. Для решения задачи механики используется метод Бубнова-Галёркина. В результате получено обыкновенное нелинейное интегро-дифференциальное уравнение. Его решение находится методом гармонического баланса. Исследовано влияние геометрической нелинейности и температуры диссипативного разогрева на эффективность активного демпфирования вынужденных резонансных колебаний прямоугольной пластины с шарнирным закреплением торцов.
first_indexed	2025-12-07T16:22:07Z
format	Article
fulltext	Моделювання вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву гнучких в’язкопружних пластин із розподіленими актуаторами Василь Карнаухов1, Володимир Козлов2, Тетяна Карнаухова3 1 д. ф.-м. н., професор, Ін-т механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України, вул. Нестерова, 3, Київ, e-mail: Karn@inmech. kiev.ua 2 д. ф.-м. н., с. н. с., Ін-т механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України, вул. Нестерова, 3, Київ 3 к. ф.-м. н., доцент, Нац. техн. ун-т України «КПІ», пр. Перемоги, 37, Київ Розглядається задача про резонансні коливання та дисипативний розігрів композитних орто- тропних пластин із розподіленими актуаторами. За допомогою актуаторів демпфуються вказані коливання. Залежність властивостей матеріалів від температури не враховується. Тоді спряжена задача зводиться до задачі механіки про резонансні вимушені нелінійні коли- вання пластини та задачі про розрахунок температури дисипативного розігріву. Для роз- в’язування задачі механіки використано метод Бубнова-Гальоркіна. В результаті одержано звичайне нелінійне інтегро-диференціальне рівняння. Його розв’язок знаходиться методом гармонічного балансу. Досліджено вплив геометричної нелінійності та температури дисипа- тивного розігріву на ефективність активного демпфування вимушених резонансних коли- вань прямокутної пластини з шарнірно опертими торцями. Ключові слова: в’язкопружна пластина, вимушені коливання, демпфування, актуатори, дисипативний розігрів. Вступ. Тонкі композитні пластинки широко застосовують у багатьох галузях су- часної техніки [1, 2, 4, 19, 20]. У разі дії на них гармонічних за часом навантажень із частотою, близькою до резонансної, виникають коливання, амплітуди яких мо- жуть бути співмірні до товщини пластинок. При вивченні процесів у таких тілах слід враховувати геометричну нелінійність. Потреба врахування геометричної нелінійності виникає також під час дослідження досить тонких пластинок, а та- кож за дії інтенсивного механічного навантаження. Якщо матеріал пластини є непружний, то за моногармонічного наванта- ження на резонансних частотах внаслідок гістерезисних втрат може суттєво під- вищитися температура пластини (так званий дисипативний розігрів). Інтенсивні коливання пластини та дисипативний розігрів можуть привести до втрати її функціональної здатності внаслідок втомного руйнування та високої температури. У зв’язку з цим виникає необхідність у демпфуванні вимушених резонансних коливань гнучких пластин. Найрозповсюдженішими є пасивні методи демпфування, коли в структуру пластини вводять включення з високими гістерезисними втратами. Огляд робіт із пасивного демпфування вимушених коливань тонкостінних елементів подано в [8, 15, 17, 18, 25]. Проте в останні роки почали використовувати ефективніші УДК 539.3 48 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 8, 48-68 49 методи активного демпфування вимушених резонансних коливань тонкостінних еле- ментів, коли в структуру пластини вводять п’єзоелектричні включення, які вико- нують функції, так званого, актуатора [12, 22, 23, 28, 31]. Основна задача під час використання цього методу полягає у розрахунку різниці потенціалів, яку необхідно підвести до актуатора для компенсації дії механічного навантаження. На цю різни- цю потенціалів може вплинути як геометрична нелінійність, так і температура диси- пативного розігріву [10, 11, 13, 26, 27, 29, 32]. Наприклад, якщо температура досягає точки Кюрі, то п’єзоелектричний актуатор втрачає своє функціональне призначення через відсутність п’єзоефекту за такої температури. При цьому реалізується специ- фічний тип теплового руйнування, коли пластина не втрачає цілісності, але керувати її коливаннями неможливо. У цій роботі наведено основні співвідношення, які описують вимушені ре- зонансні коливання та дисипативний розігрів гнучких шаруватих тонких пластин за дії на них поверхневого механічного тиску, який змінюється за часом згідно моногармонічного закону. Для моделювання термомеханічної поведінки таких плас- тин використовуємо механічні гіпотези Кірхгофа-Лява, які доповнені відповідними гіпотезами про розподіл по товщині електричних польових величин і температури. Пасивні матеріали пластини вважаємо в’язкопружними, а активні шари — пружними. Для випадку гармонічного навантаження використовуємо концепцію комплекс- них характеристик. Наведено загальну нелінійну систему інтегрально-диференці- альних рівнянь, яка описує коливання та дисипативний розігрів пасивних ортотропних пластин із розподіленими актуаторами за дії гармонічного тиску. Обмежуючись одночленним наближенням резонансних коливань гнучкої прямокутної пластини з шарнірно закріпленими торцями, методом Бубнова-Гальоркіна одержано звичайне нелінійне інтегрально-диференціальне рівняння, яке описує нестаціонарні коливання пластини в околі резонансної частоти. З цього рівняння одержано співвідношення для визначення різниці потенціалів, яку необхідно підвести до актуатора для ком- пенсації механічного навантаження. Записано рівняння енергії, розв’язок якого ви- значає температуру дисипативного розігріву. Для випадку теплоізольованих торців одержано точний розв’язок цього рівняння. Аналіз виразу для різниці потенціа- лів показує, що геометрична нелінійність не впливає на неї. Таким чином, для роз- рахунку вказаної різниці потенціалів можна використати значно простішу лінійну теорію, згідно якої співвідношення, які пов’язують деформації та переміщення, є лінійні. Прирівнюючи максимальну температуру дисипативного розігріву до тем- ператури Кюрі, одержано вираз для критичного значення поверхневого тиску, після досягнення якого керувати коливаннями пластини неможливо внаслідок втрати активним матеріалом п’єзоефекту. При цьому слід пам’ятати, що у разі встанов- лення цього критичного значення уже необхідно враховувати вплив геометрич- ної нелінійності. Розглядатимемо матеріали, властивості яких не залежать від температури. При цьому спряжена задача ділиться на такі три: 1) задачу про нелінійні згинні коливання пластини; 2) розрахунок дисипативної функції; 3) розв’язування рів- няння енергії з відомим джерелом тепла. Розглянемо окремо кожну з цих задач. Василь Карнаухов, Володимир Козлов, Тетяна Карнаухова Моделювання вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву ... 50 1. Постановка задачі про активне демпфування вимушених коливань гнучких багатошарових пластин Для активного демпфування стаціонарних гармонічних коливань гнучких пластин із пасивних матеріалів (металів, полімерів, композитів тощо) за допомогою актуаторів у її структуру вводять п’єзоелектричні включення, які можуть бути розташовані як на її поверхні, так і в будь-якому місці по товщині. Вони можуть покривати всю поверхню пластини або наноситися у вигляді плям. До цих включень потрібно підвес- ти таку різницю потенціалів, яка б компенсувала зовнішнє механічне навантаження. У загальному випадку області з включеннями є тонкі шаруваті в’язкопружні п’єзопластини, які складені з довільної кількості пасивних або п’єзоактивних ша- рів постійної товщини. Пасивні шари можуть бути металеві, полімерні або ком- позитні. Вважаємо їх ортотропними. П’єзоактивні шари є трасверсально-ізотропні та поляризовні по товщині пластини. Якщо між шарами електроди відсутні, то на їх границі реалізується ідеальний механічний і електричний контакт. Дисипативні властивості матеріалів пасивних і п’єзоактивних шарів враховуються на основі моделей лінійної в’язкопружності, які за гармонічного деформування приводять до комплексних характеристик [9, 10, 11, 14, 16, 18, 21, 25]. Деформації вважаємо малими, а кути повороту такими, що необхідно враховувати їх квадрати. Відтак можна використати найпростіший варіант геометрично нелінійної квадратичної теорії. При цьому рівняння руху є також нелінійні. Пластина віднесена до криволінійної ортогональної системи координат α, β, γ. Координатна поверхня γ = 0 може міститися всередині деякого шару, співпадати з поверхнею контакту шарів або з граничною поверхнею пластини. Модель шаруватої пластини будуємо на основі гіпотез Кірхгофа-Лява для всього пакету шарів [1, 2, 5, 6, 10, 11]. Ці гіпотези доповнюємо гіпотезами щодо електричних польових величин, а саме [7, 10, 11, 22, 23]: 1) вважаємо, що танген- ціальні складники напруженості електричного поля й індукції Eα = E1, Eβ = E2, Dα = D1, Dβ = D2 є значно менші від їх нормальних складників Eγ = E3, Dγ = D3, а тому ними можна знехтувати; 2) тоді з рівняння електростатики для індукції ∂Dγ / ∂γ = 0 маємо, що нормальний складник індукції Dγ у кожному діелектричному пасивному або п’єзоактивному шарі постійний по товщині. У зв’язку з умовами ідеального електричного контакту між діелектричними шарами нормальний склад- ник індукції буде постійною величиною у пакеті діелектричних шарів, якщо між ними немає електродів. За наявності електродів індукція змінюється стрибком при переході через них. Металеві шари вважаємо ідеальними провідниками, на їхніх поверхнях потенціал постійний, а напруженість електричного поля в них дорівнює нулю. Під час вивчення впливу температури на активне демпфування коливань за допомогою актуаторів згадані вище рівняння потрібно доповнити рівнянням енергії, яке описує дисипативний розігрів. Надалі будемо розглядати шаруваті в’язкопружні гнучкі пластини постійної товщини, що складаються з довільної кількості пасивних або п’єзоактивних ша- рів. Пасивні шари можуть бути металеві, полімерні чи композитні. У загальному ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 8, 48-68 51 випадку пасивні шари будемо вважати ортотропними. П’єзоактивні шари приймаємо поляризованими по товщині. Вони можуть бути виготовлені з п’єзокераміки або п’єзополімеру. Якщо між шарами відсутні електроди, то між ними реалізується ідеальний механічний та електричний контакт. Для моделювання нестаціонарних процесів використано лінійні моделі в’язкопружності, в яких усі електромеханічні характеристики заміняються на оператори Вольтерра. Приймаємо, що під час коли- вань кути повороту координатної поверхні великі, а кінематичні характеристики — нелінійні. При цьому рівняння руху є нелінійні, хоча деформації — малі. Для пасивного ортотропного матеріалу рівняння стану матимуть вигляд [1, 5, 6] 1 11 11 12 22 13 33 12 66 12, ,a a a aε = ∗σ + ∗σ + ∗σ ε = ∗σ 2 12 11 22 22 23 33 12 55 13, ,a a a aε = ∗σ + ∗σ + ∗σ ε = ∗σ 3 13 11 23 22 33 33 23 44 23,a a a aε = ∗σ + ∗σ + ∗σ ε = ∗σ . (1) Тут символ «» означає оператор Вольтерра [9, 21] 0 1 ( ) ( ) t a b ab a t b d −∞ ∗ = − − τ τ τ∫ . (2) Ядра akl(t) визначаються експериментально та можуть бути вибрані в різній формі. Найпоширеніші в літературі — ядра Абеля, експоненціальні ядра, ядра М. Колтунова, А. Ржаніцина, Ю. Работнова [9, 21]. Для кожного з них розроблено алгебру операторів, яка дозволяє конкретизувати запис функцій цих операторів, що діють на будь-яку польову величину [9, 21]. Для гармонічних процесів спів- відношення (2) приводять до концепції комплексних модулів, коли у виразах (1) зірочка замінюється на комплексний множник так, що ( )( )a b a ia b ib′ ′′ ′ ′′∗ = + + . (3) Величини akl у співвідношеннях (1) можна подати через технічні характе- ристики [1, 2] ( )(11,12,13) 12 13 (1,2,3) (22,23,33)1, , ,a E a= −ν −ν = ( )23 (2,3,3) (44,55,66) (23,13,12)1, ,1 , 1E a G= −ν = . (4) Для поляризованих у товщинному напрямку п’єзоактивних матеріалів ви- значальні рівняння одержимо з наведених у [7, 11, 12] шляхом заміни пружних характеристик операторами (2) 1 11 11 12 22 13 33 31 3 ,E E ES S S d Eε = ∗σ + ∗σ + ∗σ + 2ε 12 11 11 22 13 33 31 3 E E ES S S d E= ∗σ + ∗σ + ∗σ + ∗ , ( )3 13 11 22 33 33 33 3 E ES S d Eε = ∗ σ + σ + ∗σ + ∗ , 23 44 23 15 2 13 44 13 15 1,E ES d E S d Eε = ∗σ + ∗ ε = ∗σ + ∗ , ( )12 66 12 11 12 122E E ES S Sε = ∗σ = − ∗σ , Василь Карнаухов, Володимир Козлов, Тетяна Карнаухова Моделювання вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву ... 52 1 1 1 15 13 2 1 2 15 23,T TD E d D E d= ε ∗ + ∗σ = ε ∗ + ∗σ , ( )3 3 3 31 11 22 33 33 TD E d d= ε ∗ + ∗ σ + σ + ∗σ . (5) Якщо використати кінематичні гіпотези Кірхгофа-Лява для всього пакету загалом, то переміщення та деформації будуть змінюватися по товщині кожного шару за лінійним законом [1, 2, 4-6] 1 2, , k k k u u u v u wα β γ= + γω = + γω = , 1 1 2 2 12 12, , k k k α β αβε = ε + γκ ε = ε + γκ ε = ε + γκ , (6) де u, v, w — переміщення координатної поверхні в напрямках α, β, γ відповідно. Вважаючи, що поворот елемента оболонки відносно нормалі до координат- ної поверхні є мала величина більш високого порядку, ніж поворот відносно осей α, β, матимемо такі вирази для тангенціальних і згинних деформацій через пере- міщення та кути повороту [1, 4, 6, 10, 11] ( )2 1 1 1 1 1 1 2, , , 2 u A v u v A B A AB ∂ ∂ ε = + + ω ↔ α↔β ↔ ↔ ∂α ∂β , 12 1 2 A u B v B A A B ∂ ∂   ε = + + ω ω   ∂β ∂α    , ( )1 1 1 1 1 2, , ,A v u v A B A AB ∂ω ∂ ∂ κ = + ↔ α↔β ↔ ↔ ∂α ∂β ∂β , 2 1 12 1 2 1 1 12 A B A B AB ∂ω ∂ω  ∂ ∂ κ = + − ω + ω ∂α ∂β ∂β ∂α  , (7) де 1 2 1 1,w w A B ∂ ∂ ω = − ω = − ∂α ∂β . (8) Співвідношення (7)-(8) визначають найпростіший варіант рівнянь теорії гнучких пластин у квадратичному наближенні. Відповідно до динамічних гіпотез Кірхгофа-Лява рівняння стану для па- сивних шарів значно спрощуються та набувають вигляду 1 11 11 12 22 12 66 12( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )a a aε γ = γ ∗σ γ + γ ∗σ γ ε γ = γ ∗σ γ , 2 12 11 22 22( ) ( ) ( ) ( ) ( )a aε γ = γ ∗σ γ + γ ∗σ γ . (9) Із співвідношень (9) маємо 11 11 1 12 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )B Bσ γ = γ ∗ ε γ + γ ∗ ε γ , 22 12 1 22 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )B Bσ γ = γ ∗ ε γ + γ ∗ ε γ , 12 66 12( ) ( ) ( )Bσ γ = γ ∗ ε γ . (10) Тут ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 8, 48-68 53 11 22 22 11( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )B a B aγ = γ Ω γ γ = γ Ω γ , 12 12( ) ( ) ( )B aγ = − γ Ω γ , 2 11 22 12( ) ( ) ( ) ( )a a aΩ γ = γ γ − γ . (11) Для конкретизації визначальних співвідношень тут і надалі потрібно вико- ристати згадану вище алгебру операторів. Інтегруючи вирази (10) по товщині пакетів пасивних шарів, одержимо складники зусиль, які вносять у сумарні зусилля пасивні пакети 1 11 1 12 2 11 1 12 2T C C K K= ∗ε + ∗ε + ∗ κ + ∗κ , 2 12 1 22 2 12 1 22 2T C C K K= ∗ε + ∗ε + ∗ κ + ∗κ , 66 12 66 12 1 11 1 12 2 11 1 12 2,S C K M K K D D= ∗ε + ∗ κ = ∗ε + ∗ε + ∗κ + ∗κ , 2 12 1 22 2 12 1 22 2 66 12 66 12,M K K D D H K D= ∗ε + ∗ε + ∗ κ + ∗κ = ∗ε + ∗ κ , (12) де ( ) ( )( ) ( ) 2, , 1, ,kl kl kl kl h C K D B d= γ γ γ γ∫ . (13) За врахування прийнятих вище гіпотез для п’єзоактивного шару отримаємо спрощені рівняння стану ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 1211 1 1 2 2 31 k k k k k B B Eγσ = γ ∗ ε + γκ + γ ∗ ε + γκ − γ γ ∗ , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 2222 1 1 2 2 31 k k k k k B B Eγσ = γ ∗ ε + γκ + γ ∗ ε + γκ − γ γ ∗ , ( ) ( )6612 12 12 k k Bσ = γ ∗ ε + γκ , ( ) ( ) ( ) ( )3 1 2 1 233 31 k k k k D Eγ= γ γ ∗ + γ γ ∗  ε + ε + γ κ + κ   . (14) Тут ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 11 22 11 12 111 1 , k k k k k k k B B S B B    γ = γ = γ − ν γ γ = ν γ γ      , ( ) ( ) ( )66 11 1 1 2 k k k B B  γ = − ν γ γ    , ( )2 3333 1 k k k T pk  γ = ε − γ    , ( ) ( ) ( ) 2 31 31 11 1 kk k k Ed S     γ = γ γ − ν γ      , ( ) ( ) ( )2 2 33 112 1 k k k k k T E p pk d S   = γ ε γ − ν γ    . Нехай оболонка складена по висоті з N пакетів п’єзоактивних шарів із mn шарів у кожному пакеті та з N пакетів пасивних шарів із kn шарів у кожному пакеті. Вважаємо, що пакети розділені нескінченно тонкими електродами, до яких може бути підведена різниця потенціалів. Відповідно до зроблених вище гіпотез для кожного п’єзоактивного шару маємо Василь Карнаухов, Володимир Козлов, Тетяна Карнаухова Моделювання вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву ... 54 ( )1 2 3 3 3... , 1, mn m D D D C m N= = = = = . (15) Останнє рівняння системи (14) дає ( ) ( ) ( ) 1 1 3 1 2 1 233 33 33 1, ; 1, m k k k k mC E m N k n − −       ∗ γ = + γ ∗ γ  ε + ε +γ κ + κ  = =              . (16) Інтегруючи співвідношення (16) по пакету m ( )1,m N= , знайдемо ( ) ( )0 0 1 1 2 0 2 1 2 m m m m m m mC C V C C C C= ∗ + ∗ ∗ ε + ε + ∗ ∗ κ + κ . (17) Із використанням (14)-(16) отримаємо ( ) ( ) 0 0 0 1 231 3 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) om m mm m E d e V e eγ γ ∗ γ γ = − ∗ + ∗ ε + ε + ∗ κ + κ∫ , (18) ( ) ( ) 1 0 1 2 231 3 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) om m mm m E d e V e eγ γ ∗ γ γ γ = − ∗ + ∗ ε + ε + ∗ κ + κ∫ . (19) Тут 0 0 1 2 0 1 00 1 0 1 3 0 2, ,m m mm m m m m m me C C e C C C e C C= ∗ = ∗ − = ∗ , 1 0 2 2 20 2 5 0 1 2 4,m mm m m m m m me C C C e C C C C= ∗ − = ∗ ∗ − ; (20) { } 11 2 0 3 ( ) ( )* 1 ( )T m p m C k d −−  = ε γ − γ γ ∫ , { } 12 2 2 3 11 31 ( ) ( )* 1 ( ) 1 ( ) * ( )E m p m C S k d d −    = γ − ν γ ∗ − γ γ γ   ∫ , { } 12 2 2 4 11 31 ( ) ( )* 1 ( ) 1 ( ) * ( )E m p m C S k d d −    = γ − ν γ ∗ − γ γ γ γ   ∫ , { } 12 2 2 2 5 11 31 ( ) ( )* 1 ( ) * 1 ( ) * ( )E m p m C S k d d −    = γ − γ γ − γ γ γ γ   ∫ , (21) Vm — різниця потенціалів, яка підведена до електродів, що обмежують пакет. У результаті складники рівнянь стану для шаруватих п’єзоелектричних оболонок, які вносяться п’єзоактивними пакетами, матимуть вигляд 1 11 1211 121 2 1 2 0* * * T C C K K T= ε + ε + κ + κ + , 2 12 2212 221 2 1 2 0 * * T C C K K T= ε + ε + κ + κ + , 6666 12 12 S C K= ε + κ , 1 11 12 11 121 2 1 2 0 * * M K K D D M= ε + ε + κ + κ + , (22) ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 8, 48-68 55 2 12 22 12 221 2 1 2 0 * * M K K D D M= ε + ε + κ + κ + , 66 6612 12 H K D= ε + κ . Тут { } 012 11 1 11 2211 ( ) ( ) 1 ( ) ,E m m mm C S d e C C −  = γ − ν γ γ − = ∑ ∑∫ , { } 012 12 111 ( ) ( ) * 1 ( ) * ( )E m m mm C S d e −  = γ − ν γ ν γ γ − ∑ ∑∫ , { } 012 11 22 211 ( ) ( ) * 1E m m mm K K S d e −  = = γ − ν γ γ − ∑ ∑∫ , { } 012 12 211 ( ) ( ) * 1 * ( )E m m mm K S d e −  = γ − ν ν γ γ γ − ∑ ∑∫ , [ ]{ } 1 66 11 ( ) 2 ( ) * 1 ( )E m m K S d − = γ + ν γ γ γ∑ ∫ ; (23) { } 112 2 11 11 22211 ( ) ( )* 1 ( ) ,E m m mm D S d e D D −  = γ − ν γ γ γ − = ∑ ∑∫ , { }{ } 112 2 12 212 ( ) ( ) * 1 ( ) * ( )E m m mm D S d e − = γ − ν γ ν γ γ γ −∑ ∑∫ , [ ]{ } 1 2 66 11 ( ) 2 ( ) * 1 ( )E m m D S d − = γ + ν γ γ γ∑ ∫ ; (24) 0 1 0 00 0 1 , , . N m mm m m m m m T e V M e V = = ∗ = ∗ =∑ ∑ ∑ ∑ Рівняння стану для оболонки, яка складається з пасивних і п’єзоактивних пакетів, мають вигляд 1 11 1 12 2 12 1 22 2 0* * * T C C K K T= ε + ε + κ + κ + , 2 12 1 22 2 12 1 22 2 0 * * T C C K K T= ε + ε + κ + κ + , 66 12 66 12 S C K= ε + κ , 1 11 1 12 2 11 1 12 2 0 * * M K K D D M= ε + ε + κ + κ + , 2 12 1 22 2 12 1 22 2 0 * * M K K D D M= ε + ε + κ + κ + , 66 12 66 12 H K D= ε + κ , (25) де , ,kl klklkl kl kl kl kl klC C C K K K D D D= + = + = + . До наведених вище рівнянь потрібно додати рівняння руху [1, 4, 6, 10, 11] Василь Карнаухов, Володимир Козлов, Тетяна Карнаухова Моделювання вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву ... 56 ( ) ( )2 1 2 1 0BBT T A S A ∂ ∂ ∂ − + = ∂α ∂α ∂β , ( ) ( ) 2 1 2 3 2 0wBQ AQ AB q c tρ  ∂ ∂ ∂ + − + =  ∂α ∂β ∂  , ( ) ( )1 2 A BBM AH H M∂ ∂ ∂ ∂ + + − − ∂α ∂β ∂β ∂α ( )1 2 1 0 1 2, ,ABQ ABS ABT A B u v− − ω − ω = ↔ ↔ ↔ . (26) Тут використано позначення, прийняті у монографіях [1, 2, 10, 11]. Граничні та початкові умови мають стандартний для теорії пластин вигляд і на контурі α = const можуть бути подані за допомогою комбінацій величин 1 1 1 1 1 1ˆ, , , HT M S S Q Q B ∂ = = + ∂β . (27) Кінематичні граничні умови на контурі α = const можна записати через переміщення, як комбінації величин , , ,u v w w∂ ∂α . Наприклад, якщо на контурі α = const задано зусилля ( ) 1 11 cosT T t= ω , то задача повинна розв’язуватися за такої граничної умови на контурі 1 11 cosT T t= ω при α = const. (28) У разі однорідної граничної умови на контурі α = const та заданих різницях по- тенціалів, підведених до зовнішніх або внутрішніх електродів, граничні умови все ж будуть неоднорідні, оскільки у вирази (25) для зусиль і моментів входять величини T0 і M0. Таким чином, для дослідження вимушених коливань п’єзоелектричних пластин із розподіленими актуаторами необхідно розв’язувати нелінійну крайову задачу у разі задання на поверхні чи на торцях пластинки періодичного за часом навантаження (силового чи кінематичного). Згідно [1, 4, 10, 11] подамо рівняння стану в змішаній формі 1 11 1 12 2 11 1 12 2 0 * A T A T P Pε = + ∗ + κ + κ + ε , 2 12 1 12 2 12 1 22 2 0 12 66 66 12 * * , * A T A T P P A S Pε = + + κ + κ + ε ε = + κ ; (29) 0 1 11 1 12 2 11 1 12 2 * * M R N R N Q Q M= + + κ + κ + , 0 2 12 1 22 2 12 1 22 2 66 66 12 * * * , * M R N R N Q Q M H R S Q= + + κ + κ + = + κ . (30) Тут 1 1 1 2 2 11 11 12 12 66 66 11 12 , * , ,A C A C A C C C− − −= ∆ = − ∆ = ∆ = − , ( ) 1 11 12 12 11 11* * P B C B C −= − ∆ , ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 8, 48-68 57 ( ) 1 12 11 12 12 11 66 66 66 * * , P B C B C P B A−= − ∆ = − , 11 11 11 12 12 12 11 11 66 66 66 * , * , R A B A B R A B R A B= + = = , 11 11 11 12 12 11 12 11 12 12 11 12,Q B P B P D Q B P B P D= ∗ + ∗ + = ∗ + ∗ + , ( ) 1 66 66 66 66 0 11 12 0 , * Q R P D C C T−= + ε = − − ∆ , ( ) 0 0 11 12 0M M B B= − + ε . (31) Відповідно до співвідношень (7), (8) 1 2 2 1 12 3, ,L w L w L wκ = − κ = − κ = , (32) де 1 22 2 1 1 1 1 1 1,B AL L B B A AA B AB  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + = +   ∂β ∂β ∂α ∂α ∂α ∂α ∂β ∂β   , 2 3 1 1 1A BL AB A B  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − − −  ∂α∂β ∂β ∂α ∂α ∂β  . (33) При цьому два з трьох нелінійних рівнянь сумісності деформацій задоволь- няються тотожно [1, 4, 10, 11]. Якщо ввести функцію зусиль 1 1 2 2 3, ,T L T L S L= Φ = Φ = Φ , (34) то два перших рівняння рівноваги будуть задовольнятися тотожно. Якщо співвідношення (29), (31) підставити в спрощені рівняння руху та не- розривності деформацій, то для визначення функцій Φ та w одержимо ( ) ( ) 2 11 6 4 12 6 4 1 2 12 0* * * * * * 0A A L P B L∆∆ + Φ − ∆∆ + Φ + κ κ − κ + ∆ε = ; (35) ( ) ( ) ( )11 6 4 12 6 4* * * * * ,D D L w R A L L w q Rw∆∆ + − ∆∆ + ∗Φ + Φ = − , (36) де ( ) ( )4 1 2 2 1 1 1 1 AL BL L AL L AB A B       ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + −      ∂α ∂α ∂β ∂β ∂β ∂β       ; (37) 1 B A AB A B   ∂ ∂ ∂ ∂ ∆ = +   ∂α ∂α ∂β ∂β     ; (38) ( ) ( )1 1 2 2 2 1 1( , )L w B T S A T S AB  ∂ ∂ Φ =  ω + ω  +  ω + ω     ∂α ∂β  ; (39) 0 66 66 12 11 11 12 66 1 , , 2 A A A A A R R R q q M= + − = − − = + ∆ , 6 11 12 66 11 11 6 66 11 12, , 2B P P P D Q D Q Q Q= − − = = − + ; (40) ( ) ( ) 0 1 11 1 1 2 11 2 2 1* * * * * M R L L Q L L w M= + ν Φ − + ν + , Василь Карнаухов, Володимир Козлов, Тетяна Карнаухова Моделювання вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву ... 58 ( ) ( ) 0 2 11 1 1 2 11 2 2 1 * * * * M R L L Q L L w M= ν + Φ − ν + + , ( )1 1 1 12 11 2 12 1 1 , * , k k k k R R Q Q R− − −ν = ν = = ρ γ − γ∑ . (41) Граничні умови мають стандартний для теорії пластин вигляд [1, 2, 6, 10, 11]. 2. Постановка задачі про вимушені коливання гнучких тришарових в’язкопружних пластин із розподіленими актуаторами Тришарові п’єзопластини різної структури широко використовуються в сучасній техніці [19, 20, 22, 23]. Так, наприклад, за контролювання коливань пасивних тон- костінних елементів найчастіше маємо справу саме з такою структурною неодно- рідністю, коли середній шар виготовлено з пасивного металевого, полімерного чи композитного матеріалу, а зовнішні — з полімерного чи керамічного п’єзома- теріалу, до того ж ці шари поляризовані в товщинному напрямку. Між п’єзоактив- ними та пасивними шарами може бути розміщено нескінченно тонкий електрод, до якого підводиться гармонічна за часом різниця потенціалів. На такий п’єзо- елемент може діяти механічне навантаження. Розглянемо тришарові пластини різної будови. У першому випадку приймаємо, що між пасивним і п’єзоактивним шарами нанесено нескінченно тонкі електроди, до яких підведено різницю потенціалів, що змінюється з часом за гармонічним законом. Такі ж електроди нанесено і на зовнішні поверхні. Будемо також вважати, що середній шар — діелектричний і різниця потенціалів на ньому дорівнює нулю. Індукція в такому шарі постійна по товщині кожного шару, зокрема, ( )3 , k k D C= α β . (42) Використовуючи записані вище формули (22)-(25), одержимо, що у визна- чальних рівняннях (25) слід покласти ( ) 2 21 2 1 21 2 3 3 1 2 ( ) 0 0 ij ij h v v C B d v v            = γ γ + ν + ν − −∫ , ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 44 1 2 ( ) 0 0 , , 1,2ij ij h v v v vK B d v i j v v = γ γ γ + +ν − − =∫ , ( ) 2 21 2 2 21 2 2 55 1 2 ( ) 0 0 ij ij h v v D B d v v v            = γ γ γ + +ν − −∫ , ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 8, 48-68 59 ( ) ( )2 66 66 66 66 ( ) , , 1, , h C K D B d= γ γ γ∫ , 1 2 1 2 0 1 2 0 1 2 1 1 2 2 0 0 0 01 2 1 2 0 0 0 0 ,v v v vT V V M V V v v v v = + = + , (43) де ( ) ( ) 2 2 31 31 (1,2) (3,4,5)0 ( ) ( ) ( )33 33 33 1, , 1,1 , , i i i i i i i i i i i h h h v d v d v d   γ γ γ γ γ  = γ = γ = γ γ γ γ ∫ ∫ ∫ . (44) Тут слід пам’ятати, що для пасивного діелектрика ( ) 0 0 1,5iv i= = . Якщо ж серед- ній пасивний шар — металевий, то додатково покладаємо також, що 0 33 0γ → . Аналіз співвідношень (43) показує, що тип симетрії пластини повністю ви- значається характером симетрії пасивного шару, бо поляризований по товщині п’єзоактивний шар формально є ізотропний. Розглянемо другий випадок, коли середній шар — діелектричний, внутрішні електроди відсутні, а до зовнішніх електродів підведена різниця потенціалів V0. На відміну від співвідношення (42) у цьому випадку індукція постійна по тов- щині всієї пластини ( )3 , k D C= α β . (45) При цьому напруженість електричного поля визначається формулою ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 2 1 233 31 33, k k k k E C= α β γ γ − γ γ  ε + ε + γ κ + κ  γ γ  . (46) Тоді у визначальних рівняннях (25) слід покласти ( ) ( )2 1 0 4 1 2 0 ( ) ( ) ,ij ij ij ij h h C B d v v K B d v v v v= γ γ − = γ γ γ + −∫ ∫ , ( ) 0 0 2 2 5 2 0 1 0 0 2 0 0 ( ) , ,ij ij h D B d v v v T v V v M v V v= γ γ γ + − = =∫ , (47) де ( ) ( )( ) ( )0 33 (1,2) 31 33 ( ) ( ) 1 , 1, h h v d v d= γ γ γ = γ γ γ γ γ γ∫ ∫ , ( ) ( ) ( )2 2 (3,4,5) 31 33 ( ) 1, , h v d= γ γ  γ γ γ γ γ ∫ . (48) Надалі обмежимося розглядом п’єзоактивних шарів, які мають однакові товщину й властивості, за винятком того, що поляризація їх протилежна, тобто Василь Карнаухов, Володимир Козлов, Тетяна Карнаухова Моделювання вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву ... 60 2 1 31 31γ = − γ . Тоді у рівняннях стану (25) для визначення електромеханічних характеристик матимемо такі вирази: — за наявності внутрішніх електродів, до яких підведені різниці потенціа- лів 0 0 0 1 2 , 0V V V= = 0 1 0 12 , 0ij ijij ijC h B h B K= + = , ( ) 1 0 10 0 1 031 10, 2 T M h h V= = γ + , ( ) ( )( ) ( ) ( ) 22 21 20 0 1 1 0 1 03 11 2 3 3 1 0 1 0 0,5 0,52 1 31 12 3 2 41 0,5 0,5 p ij ijij p h h hkhD B B B hk h h h   + −  + ν = + + ⋅ × − ×   − + −       ( ) ( )3 3 0 1 00,5 0,5h h h × + −  ; (49) — за відсутності внутрішніх електродів 21 1 0 1 1 110 1 21 12 , 0 2 1 p ij ijij ij p k vC h B h B B K k     +  = + + ⋅ =    −      , 0 0T = , ( ) ( )( ) ( ) ( ) 21 22 21 3 0 1 1 0 1 00 11 2 3 31 1 0 1 0 0,5 0,52 1 31 12 3 2 4 0,5 0,5 1 p ij ijij p k h h hh vD B B B h h h h k        + − +  = + + ⋅ − ×  + −    −       ( ) 0 31 33 0 11 0 0 133 33 2 0,5 2 h h h h h  γ × +γ + γ  , ( ) 0 0 1 0 131 33 0 01 0 0 133 332 h h h M V h h γ + γ = γ + γ . (50) У декартовій системі координат x, y, z, осі Оx, Оy якої співпадають із лініями кривизн серединної поверхні, а вісь Оz направлена вздовж нормалі до оболонки, кінематичні співвідношення мають вигляд 22 1 2 1 1, 2 2x y u w v w x x y y  ∂ ∂ ∂ ∂ ε = ε = + ε = ε = +   ∂ ∂ ∂ ∂    , 12xy u v w w y x x y ∂ ∂ ∂ ∂ ε = ε = + + ∂ ∂ ∂ ∂ , 2 2 2 1 2 122 2, , 2x y xy w w w x yx y ∂ ∂ ∂ κ = κ = − κ = κ = − κ = κ = − ∂ ∂∂ ∂ . (51) ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 8, 48-68 61 Рівняння сумісності деформацій має вигляд 22 22 2 2 2 2 2 2 2 y xyx w w w x y x yy x x y ∂ ε ∂ ε  ∂ ε ∂ ∂ ∂ + − = −  ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂  , (52) а рівняння руху (Tx = T1, Ty = T2, Mx = M1, My = M2, Mxy = H) 0, 0yx TT S S x y x y ∂∂ ∂ ∂ + = + = ∂ ∂ ∂ ∂ , 2 22 2 22 xy yx M MM x yx y ∂ ∂∂ + + + ∂ ∂∂ ∂ x w wT S x x y  ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂  2 2 0y w w wS T q y x y x  ∂ ∂ ∂ ∂ + + + + ρ = ∂ ∂ ∂ ∂  . (53) Тип симетрії рівнянь стану визначається типом симетрії матеріалів пасив- ного шару. Так, наприклад, якщо пасивний шар ортотропний, то нелінійні рів- няння (35), (36) набувають вигляду ( ) ( ) 4 4 4 2 11 12 66 224 2 2 4 22 2 , ( , , ) 0w w w wD D D D L w q x y t x x y y t ∂ ∂ ∂ ∂ ∗ + + ∗ + ∗ − Φ +ρ + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , ( ) ( ) 4 4 4 11 12 66 22 04 2 2 42 , 0wA A A A L w x x y y ∂ Φ ∂ Φ ∂ ∗ + − + ∗ + ∗ + Φ − ε = ∂ ∂ ∂ ∂ , (54) де ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2, 2L x y x yx y y x ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ϕ ϕ = + − ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ , 11 22 22 11 66 66, , 1A C A C A C= ∆ = ∆ = , 2 2 2 0 022 12 11 12 12 12 11 22 12 0 2 2/ , , T TC C C CA C C C C x y ∂ ∂− − = ∆ ∆ = − ε = + ∆ ∆∂ ∂ . (55) Рівняння (54) мають такий же ж вигляд, як і класичні рівняння для пружного анізотропного матеріалу при заміні відповідних характеристик на оператори. 3. Рівняння енергії Вважаємо, що в’язкість і геометрична нелінійність мають однаковий кількісний вплив. Приймаючи температуру постійною по товщині пластини, матимемо таке рівняння енергії [10, 11] ( )11 , 22 , 2 / 0xx yy h W hλ θ + λ θ − δ θ+ = , (56) де ( ) 11,22 11,22 k k k h hλ = λ∑ — усереднені по всіх шарах пластини коефіцієнти тепло- провідності; h — сумарна товщина пластини; θ = T – T 0, δ = (α3 + α4)/2, T 0 = = (α3θ3 + α4θ4) / (α3 + α4); α3, α4 — коефіцієнти теплообміну на поверхнях z = ± h/2 Василь Карнаухов, Володимир Козлов, Тетяна Карнаухова Моделювання вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву ... 62 контакту з зовнішнім середовищем із температурами θ3, θ4; ( )k ijλ — коефіцієнти теплопровідності шарів. У рівнянні (56) дисипативна функція W визначається за формулою [10, 11] ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2 12 122 2 W T T T T S Sω ′′ ′ ′ ′′ ′′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ ′ ′′=  ε − ε + ε − ε + ε − ε + ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2 1 12 1 122M M M M H H′′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′′ ′ ′ ′′+ κ − κ + κ − κ + κ − κ  . (57) З огляду на прийняту вище гіпотезу про однакову величину впливу в’яз- кості та геометричної нелінійності, у випадку згинних коливань пластини у вира- зі (57) слід залишити лише моменти та згинні деформації. 4. Розв’язок задачі для тришарової пластини Для прикладу, розглянемо тришарову пластину, яка складається з середнього ізо- тропного пасивного шару та двох активних протилежно поляризованих шарів. Ці активні шари можуть бути розміщені плямами на поверхнях пластини або покривати їх повністю. На пластину діє рівномірний поверхневий тиск, який змінюється за гар- монічним у часі законом. Торці пластини шарнірно оперті. Тоді задача електромеха- ніки зводиться до розв’язування такої системи інтегрально-диференціальних рівнянь ( ) ( ) 2 02, , , 0wD w L w q x y t M t ∂ ∗∆∆ − Φ + ρ − − ∆ = ∂ , ( , ) 0 2 h L w w∆∆Φ − = . (58) Тут ( ) ( ) 31 12 0 31 0 1 31 11 11 1 , , 2 1 E A E d sM h h V s s = γ + γ = ν = − − ν , де VA — підведена до актуа- тора різниця потенціалів, а позначення електромеханічних характеристик такі, як у монографіях [7, 10, 11]. У праці [12] показано, що під час коливань для першої моди ефективність актуатора максимальна за повного покриття пластини актуа- тором. Розв’язок задачі для пластин із шарнірно опертими торцями будемо шукати у загальноприйнятому для такого типу граничних умов вигляді ( )sin sin , ( )sin sinmns m n mns m nw w t k x p y t k x p y= Φ = Φ , 0( )sin sin , ( )sin sinmns m n mns m nq q t k x p y M M t k x p y= = . (59) Для знаходження коефіцієнтів wmn(t), Φmn(t) використаємо метод Бубнова- Гальоркіна [1, 4]. Після громіздких викладок одержимо таке інтегрально-дифе- ренціальне рівняння для wmn(t) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 2 22 2 2 2 512 9 m n m n mn mn mn mn m n k p k p hw D w E w w c c a b k pρ ρ + + ∗ + ∗ = + ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 8, 48-68 63 ( )2 21 mn m n mnq k p M cρ  = − +  . (60) При цьому функція зусиль Φmn(t) визначається за формулою ( ) ( )2 22 2 16 3 m n mn mn m n k p h E w c ab k pρ Φ = − ∗ + . (61) Враховуючи припущення про однаковий порядок впливу геометричної не- лінійності та в’язкості, можемо замінити величину ( )2 mnE w∗ на ( )2 mnEw . Для розв’язування нелінійного інтегрально-диференціального рівняння (60) застосуємо метод гармонічного балансу [3]. Для цього вираз 0mn mnD w D w∗ = − 1( ) ( ) t mnD t w d −∞ − − τ τ τ∫ замінимо виразом Awmn + Bwmn згідно з вказаним методом. При цьому матимемо 0 1 1,C mn S mnA D D D B D D′ ′′= = − = ω = ω . Тут D1C, D1S — cos- і sin-перетворення Фур’є ядра D1(t), тобто 1 1 1 1 0 0 ( )cos , ( )sinC SD D t t dt D D t t dt ∞ ∞ = ω = ω∫ ∫ . Тоді інтегрально-диференціальне рівняння (60) стає нелінійним диференці- альним рівнянням другого порядку 2 3 02 cosw w w w p t ⋅ + ε + ω + α = ω . (62) Тут опущено індекси після букв, а ( ) ( )2 22 2 2 2 2 02 , m n m nk p B k p A C Cρ ρ + + ε = ω = , Рис. Cmn 0 δmn A B C D E F Василь Карнаухов, Володимир Козлов, Тетяна Карнаухова Моделювання вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву ... 64 ( ) ( )2 22 2 22 2 2 2 512 , 9 mn m n mnm n m n q k p Mk p E p CC k p a b ρ ρ − + α = = + . (63) Скористаємося результатами роботи [1], у якій проаналізовано розв’язок цього рівняння. Нехай частота коливань є близька до резонансної: 0ω = ω + δ , де δ — мала величина. Розв’язок однорідного рівняння (62) шукаємо у вигляді ( )cosw C t= ω . Тоді 2 2 2 0 3 4 Cω =ω + α або 2 0 3 8 Cα ω== ω + ω . (64) Розв’язок задачі про вимушені коливання має вигляд [1] 2 2 2 2 2 2 0 0 3 8 4 pC C   α δ − + ε =   ω ω   . (65) Рівняння (65) є кубічне відносно амплітуди C 2 та, починаючи з навантаження ( )2 3 3 064 3p∗ = ω ε α , має три дійсні корені (область неоднозначності). Границі цієї області визначаються з квадратного рівняння 2 2 2 2 4 2 0 0 3 27 0 64 C Cαδ α δ + ε − + = ω ω . (66) Розв’язуючи рівняння (65) і (66), можна вказати області, так званого, неліній- ного гістерезису на амплітудно-частотній характеристиці, яка зображена на рисунку. Ділянка СD відповідає нестійким коливанням пластини. У точці С є зрив амплі- туди, яка стрибком зменшується до точки Е. У точці D амплітуда стрибком зрос- тає до точки В. Розглянемо тепер рівняння енергії (62). У випадку шарнірно опертих тор- ців пластини дисипативна функція визначається формулою [ ]0 1 1 1 1 1 1(cos2 cos2 ) (cos 2 cos2 )W W W k x p y W k x p y= + + + , (67) де ( ) ( )2 22 22 2 2 2 2 2 0 2 1 1 1 1 1 1 1, 48 8W W D C k p W D C k p k pω ω  ′′ ′′= = + = − − + ν   . Розглянемо випадок теплоізольованих торців пластини. Розв’язок задачі шукаємо у вигляді ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 2 1 3 1 1cos 2 cos 2 cos 2 cos 2k x p y k x p yθ = θ + θ + θ + θ . (68) Підставляючи подання (67), (68) у рівняння енергії (56), одержимо такі ви- рази для коефіцієнтів ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 8, 48-68 65 ( ) ( ) ( )2 2 0 0 1 1 11 1 2 1 11 12 , 2 4 , 2 4W W h k W h pθ = α θ = α + λ θ = α + λ , ( )2 2 3 2 11 1 11 12 4 4W h k h pθ = α + λ λ . (69) Максимальна температура дисипативного розігріву досягається в центрі пластини (a / 2, b / 2) та дорівнює max 0 1 2 3.θ = θ + θ + θ + θ (70) За досягнення цією температурою точки Кюрі актуатор перестає виконувати своє функціональне призначення внаслідок втрати п’єзоелектричних властивостей. Тому будемо вважати, що досягнення точки Кюрі недопустиме. З цієї умови знайдемо те критичне значення механічного навантаження, після досягнення якого керувати коливаннями пластини за допомогою актуатора неможливо. З умови θ = θK та з рів- няння (70) знайдемо квадрат критичної амплітуди коливань 2 KC , після переви- щення якої актуатор перестає виконувати своє функціональне призначення ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 12 4 2K KC D k p k p k pω  ′′= θ + + − + ν     . Підставляючи останнє співвідношення в рівняння (65), одержимо критичне значення механічного навантаження, після досягнення якого актуатор перестає виконувати своє функціональне призначення ( ) 2 2 2 2 2 0 1 32 4 4K K KP C C = ω ε + ω −ω + α ω   . Бачимо, що геометрична нелінійність може суттєво вплинути на критичні значення механічного навантаження. Величина PK залежить від положення точки (CK, ω) на амплітудо-частотній характеристиці. В області нелінійного гістерезису PK є неоднозначна функція частоти. Аналіз рівняння (62) показує, що амплітуда вимушених коливань для будь- якої моди буде дорівнювати нулю у разі виконання умови ( )2 2 mn m n mnq k p M= + . (71) Для рівномірного тиску величини qmn, Mmn потрібно замінити відповідно на q0, M0. За наявності чи відсутності внутрішніх електродів величина M0 визнача- ється виразами (49) або (50) відповідно. З виразу (71) бачимо, що різниця потен- ціалів, яку потрібно прикласти до актуатора для компенсації механічного наван- таження, в одномодовому наближенні не залежить від геометричної нелінійності, оскільки в цей вираз не входять ані амплітуда коливань, ані параметр нелінійнос- ті. Аналіз системи рівнянь (52) свідчить, що при знаходженні її розв’язку варіа- ційним методом чи методом Бубнова-Гальоркіна з використанням одномодового наближення такий висновок справедливий не тільки для випадку шарнірного опирання торців, а й для інших типів граничних умов. Це значно спрощує Василь Карнаухов, Володимир Козлов, Тетяна Карнаухова Моделювання вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву ... 66 розрахунок згаданої різниці потенціалів, бо можна використати лінійну теорію пластин. При цьому справджуються наведені в роботі [12] результати про залеж- ність величини різниці потенціалів від моди коливань, місця розташування акту- атора та його розмірів. Література [1] Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин. — Москва: Наука, 1967. — 266 с. [2] Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. — Москва: Наука, 1974. — 446 с. [3] Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нели- нейных колебаний. — Москва: Наука, 1974. — 504 с. [4] Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. — Москва: Наука, 1972. — 432 с. [5] Григоренко Я. М., Василенко А. Т. Теория оболочек переменной жесткости. — Киев: Наук. думка, 1981. — 544 с. [6] Григоренко Я. М., Крюков Н. Н. Численное решение задач статики гибких слоистых оболочек с переменными параметрами. — Киев: Наук. думка, 1988. — 264 с. [7] Гринченко В. Т., Улитко А. Ф., Шульга Н. А. Механика связанных полей в элемен- тах конструкций. Электроупругость. Т. 5. — Киев: Наук. думка, 1989. — 290 с. [8] Дубенец В. Г., Хильчевский В. В. Колебания демпфированных композитных конст- рукций. Т.1. — Киев: Вища школа, 1995. — 226 с. [9] Ильюшин А. А., Победря Б. Е. Основы математической теории термовязкоупругости. — Москва: Наука, 1970. — 280 с. [10] Карнаухов В. Г., Киричок И. Ф. Связанные задачи теории вязкоупругих пластин и оболочек. — Киев: Наук. думка, 1986. — 222 с. [11] Карнаухов В. Г., Киричок И. Ф. Механика связанных полей в элементах конструк- ций. Электротермовязкоупругость. Т.4. — Киев: Наук. думка, 1988. — 320 с. [12] Карнаухов В. Г., Козлов А. В., Пятецкая Е. В. Демпфирование колебаний вязкоупру- гих пластин при помощи распределенных пьезоэлектрических включений // Акус- тический вестник. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 15-32. [13] Карнаухов В. Г. Тепловое разрушение полимерных элементов конструкций при моно- гармоническом деформировании // Прикладная механика. — 2004. — Т. 40, № 6. — С. 30-70. [14] Карнаухов В. Г., Михайленко В. В. Нелинейная термомеханика пьезоэлектрических неупругих тел при моногармоническом нагружении. — Житомир: ЖТТУ, 2005. — 428 с. [15] Коренев Б. Г., Резников Л. М. Динамические гасители колебаний. Теория и прило- жения. — Москва: Наука, 1988. — 304 с. [16] Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. — Москва: Мир, 1974. — 338с. [17] Матвеев В. В. Демпфирование колебаний деформируемых тел. — Киев: Наук. думка, 1985. — 264 с. [18] Нашиф А., Джоунс Д., Хендерсон Дж. Демпфирование колебаний. — Москва: Мир, 1988. — 448 с. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 8, 48-68 67 [19] Методы расчета оболочек: в 5 т.; под ред. Гузя А. Н. — Киев: Наук. думка, 1980- 1982. — 2444 с. [20] Механика композитных материалов и элементов конструкций: в 3 т.; под ред. Гу- зя А. Н. — Киев: Наук. думка, 1982-1983. — 1096 с. [21] Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. — Москва: Наука, 1977. — 384 с. [22] Gabber U. and Tzou H. S. Smart Structures and Structronic Systems. — Kluver Acade- mic Pub.: Dordrecht / Boston / London, 2001. — 384 p. [23] Gopinathan S., Varadan V. V., Varadan V. K. A review and critique of theories for pie- zoelectric laminates // Smart Mater. Struct. — 2000. — Vol. 9. — P. 24-48. [24] Karnaukhov V. G. Thermomechanics of coupled fields in passive and piezoactive inelastic bodies under harmonic deformations // Journal of Thermal Stresses. — Vol. 28, № 6-7. — P. 783-815. [25] Lazan B. Damping of materials and members in structural mechanics. — Oxford etc.: Pergamon Press, 1968. — 318 p. [26] Lu X., Hanagud S. V. Extended irreversible thermodynamics modeling for self-heating and dissipation in piezoelectric ceramics // IEEE transactions on ultrasonics, ferroelect- rics, and frequency control. — 2004. — Vol. 31, No 12. — P. 1582-1592. [27] Mauk L. D., Lynch C. S. Thermo-electro-mechanical behavior of ferroelectric materials. Part I: Computational micromechanical model versus experimental results // J. Int. Mat. Sys. Struct. — 2003. — Vol. 14. — P. 587-602. [28] Rao S. S., Sunar M. Piezoelectricity and its use in disturbance sensing and control оf structure: A survey // Applied mechanics reviews. — 1994. — Vol. 47, No 44. — P. 113-123. [29] Tani J., Takagi T., Qiu J. Intelligent material systems: Applications of functional mate- rials // Applied mechanic reviews. — 1998. — Vol. 51, No 8. — P. 505-521. [30] Tzou H. S. Piezoelectric shells (Distributed Sensing and Control of Continua). — Kluver Academic Pub.: Dordrecht / Boston / London, 1993. — 400 p. [31] Tzou H. S., Bergman L. A. Dynamics and control of distributed systems. — Cambridge: Cambridge University Press, 1998. — 400 p. [32] Weiland L. M., Lynch C. S. Thermo-electro-mechanical behavior of ferroelectric mate- rials. Part II: Introduction of Rate and Self-heating Effects // J. Int. Mat. Sys. Struct. — 2003. — Vol. 14. — P. 602-621. Modelling of forced resonance vibrations and dissipative heating of the flexible viscoelastic plates with distributed actuators Vasyl Karnaukhov, Volodymyr Kozlov, Tatiana Karnaukhova Problem about forced resonance vibrations and dissipative heating of flexible composite orthotro- pic plates with distributed actuators is considered. These vibrations are damped by the actuators. It is supposed that the electromechanical material characteristics do not depend on the tempe- rature. Then the coupled problem is reduced to the problem of mechanics about forced nonlinear vibrations of a plate and the problem on calculation of dissipative heating temperature. The problem of mechanics is solved by the Bubnov-Galerkin method. As a result the ordinary nonlinear integro- differential equation is obtained, which is solved by the harmonic balance method. The influence of geometric nonlinearity and dissipative heating temperature on the effectiveness of active dam- ping vibrations of a rectangular plate with supported edges by the piezoelectric actuators is studied. Василь Карнаухов, Володимир Козлов, Тетяна Карнаухова Моделювання вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву ... 68 Моделирование вынужденных резонансных колебаний и диссипативного разогрева гибких вязкоупругих пластин с распределенными актуаторами Василий Карнаухов, Владимир Козлов, Татьяна Карнаухова Рассматривается задача о резонансных колебаниях и диссипативном разогреве гибких ком- позитных ортотропных пластин с распределенными актуаторами. При помощи актуаторов демпфируются указанные колебания. Зависимость свойств материалов от температуры не учитывается. В этом случае связанная задача сводится к задаче механики о вынужден- ных резонансных нелинейных колебаниях пластины и задаче расчета температуры дисси- пативного разогрева. Для решения задачи механики используется метод Бубнова-Галёркина. В результате получено обыкновенное нелинейное интегро-дифференциальное уравнение. Его решение находится методом гармонического баланса. Исследовано влияние геометричес- кой нелинейности и температуры диссипативного разогрева на эффективность активного демпфирования вынужденных резонансных колебаний прямоугольной пластины с шарнир- ным закреплением торцов. Отримано 15.05.08
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-21893
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1816-1545
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T16:22:07Z
publishDate	2008
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
record_format	dspace
spelling	Карнаухов, В. Козлов, В. Карнаухова, Т. 2011-06-20T07:16:36Z 2011-06-20T07:16:36Z 2008 Моделювання вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву гнучких в’язкопружних пластин із розподіленими актуаторами / В. Карнаухов, В. Козлов, Т. Карнаухов // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 8. — С. 48-68. — Бібліогр.: 32 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21893 539.3 Розглядається задача про резонансні коливання та дисипативний розігрів композитних ортотропних пластин із розподіленими актуаторами. За допомогою актуаторів демпфуються вказані коливання. Залежність властивостей матеріалів від температури не враховується. Тоді спряжена задача зводиться до задачі механіки про резонансні вимушені нелінійні коливання пластини та задачі про розрахунок температури дисипативного розігріву. Для розв’язування задачі механіки використано метод Бубнова-Гальоркіна. В результаті одержано звичайне нелінійне інтегро-диференціальне рівняння. Його розв’язок знаходиться методом гармонічного балансу. Досліджено вплив геометричної нелінійності та температури дисипативного розігріву на ефективність активного демпфування вимушених резонансних коливань прямокутної пластини з шарнірно опертими торцями. Problem about forced resonance vibrations and dissipative heating of flexible composite orthotropic plates with distributed actuators is considered. These vibrations are damped by the actuators. It is supposed that the electromechanical material characteristics do not depend on the temperature. Then the coupled problem is reduced to the problem of mechanics about forced nonlinear vibrations of a plate and the problem on calculation of dissipative heating temperature. The problem of mechanics is solved by the Bubnov-Galerkin method. As a result the ordinary nonlinear integro-differential equation is obtained, which is solved by the harmonic balance method. The influence of geometric nonlinearity and dissipative heating temperature on the effectiveness of active damping vibrations of a rectangular plate with supported edges by the piezoelectric actuators is studied. Рассматривается задача о резонансных колебаниях и диссипативном разогреве гибких композитных ортотропных пластин с распределенными актуаторами. При помощи актуаторов демпфируются указанные колебания. Зависимость свойств материалов от температуры не учитывается. В этом случае связанная задача сводится к задаче механики о вынужденных резонансных нелинейных колебаниях пластины и задаче расчета температуры диссипативного разогрева. Для решения задачи механики используется метод Бубнова-Галёркина. В результате получено обыкновенное нелинейное интегро-дифференциальное уравнение. Его решение находится методом гармонического баланса. Исследовано влияние геометрической нелинейности и температуры диссипативного разогрева на эффективность активного демпфирования вынужденных резонансных колебаний прямоугольной пластины с шарнирным закреплением торцов. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Моделювання вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву гнучких в’язкопружних пластин із розподіленими актуаторами Modelling of forced resonance vibrations and dissipative heating of the flexible viscoelastic plates with distributed actuators Моделирование вынужденных резонансных колебаний и диссипативного разогрева гибких вязкоупругих пластин с распределенными актуаторами Article published earlier
spellingShingle	Моделювання вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву гнучких в’язкопружних пластин із розподіленими актуаторами Карнаухов, В. Козлов, В. Карнаухова, Т.
title	Моделювання вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву гнучких в’язкопружних пластин із розподіленими актуаторами
title_alt	Modelling of forced resonance vibrations and dissipative heating of the flexible viscoelastic plates with distributed actuators Моделирование вынужденных резонансных колебаний и диссипативного разогрева гибких вязкоупругих пластин с распределенными актуаторами
title_full	Моделювання вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву гнучких в’язкопружних пластин із розподіленими актуаторами
title_fullStr	Моделювання вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву гнучких в’язкопружних пластин із розподіленими актуаторами
title_full_unstemmed	Моделювання вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву гнучких в’язкопружних пластин із розподіленими актуаторами
title_short	Моделювання вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву гнучких в’язкопружних пластин із розподіленими актуаторами
title_sort	моделювання вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву гнучких в’язкопружних пластин із розподіленими актуаторами
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21893
work_keys_str_mv	AT karnauhovv modelûvannâvimušenihrezonansnihkolivanʹídisipativnogorozígrívugnučkihvâzkopružnihplastinízrozpodílenimiaktuatorami AT kozlovv modelûvannâvimušenihrezonansnihkolivanʹídisipativnogorozígrívugnučkihvâzkopružnihplastinízrozpodílenimiaktuatorami AT karnauhovat modelûvannâvimušenihrezonansnihkolivanʹídisipativnogorozígrívugnučkihvâzkopružnihplastinízrozpodílenimiaktuatorami AT karnauhovv modellingofforcedresonancevibrationsanddissipativeheatingoftheflexibleviscoelasticplateswithdistributedactuators AT kozlovv modellingofforcedresonancevibrationsanddissipativeheatingoftheflexibleviscoelasticplateswithdistributedactuators AT karnauhovat modellingofforcedresonancevibrationsanddissipativeheatingoftheflexibleviscoelasticplateswithdistributedactuators AT karnauhovv modelirovanievynuždennyhrezonansnyhkolebaniiidissipativnogorazogrevagibkihvâzkouprugihplastinsraspredelennymiaktuatorami AT kozlovv modelirovanievynuždennyhrezonansnyhkolebaniiidissipativnogorazogrevagibkihvâzkouprugihplastinsraspredelennymiaktuatorami AT karnauhovat modelirovanievynuždennyhrezonansnyhkolebaniiidissipativnogorazogrevagibkihvâzkouprugihplastinsraspredelennymiaktuatorami

Моделювання вимушених резонансних коливань і дисипативного розігріву гнучких в’язкопружних пластин із розподіленими актуаторами

Institution

Similar Items