Статистична модель довговічності скла за статичного навантаження. Логарифмічно нормальний розподіл ймовірності

Із використанням запропонованого раніше теоретико-експериментального методу встановлено статистичні параметри довготривалої міцності скла С52-7 за статичних навантажень, сталих температурі та вологості середовища. На основі проведених статистичних випробувань кількох серій зразків отримано кількісні...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Date:	2008
Main Authors:	Чекурін, В., Лазар, В., Дяків, В.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2008
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21897
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Статистична модель довговічності скла за статичного навантаження. Логарифмічно нормальний розподіл ймовірності / В. Чекурін, В. Лазар, В. Дяків // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 8. — С. 186-197. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859984303812771840
author	Чекурін, В. Лазар, В. Дяків, В.
author_facet	Чекурін, В. Лазар, В. Дяків, В.
citation_txt	Статистична модель довговічності скла за статичного навантаження. Логарифмічно нормальний розподіл ймовірності / В. Чекурін, В. Лазар, В. Дяків // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 8. — С. 186-197. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
description	Із використанням запропонованого раніше теоретико-експериментального методу встановлено статистичні параметри довготривалої міцності скла С52-7 за статичних навантажень, сталих температурі та вологості середовища. На основі проведених статистичних випробувань кількох серій зразків отримано кількісні оцінки параметрів (математичного сподівання та дисперсії) для логарифмічно нормального закону розподілу довговічності скла за дії зовнішнього статичного навантаження. Встановлено емпіричні залежності цих параметрів від прикладених напружень розтягу. Отримані результати можна використати для оцінки довговічності тонкостінних елементів конструкцій і приладів зі скла за дії на них зовнішнього навантаження. Statistical parameters of long-term strength of C52-7 glass under static loading at constant environment temperature and humidity have been determined with use of the previously suggested theoretical-experimental method. Statistical tests of several sets of glass samples have been conducted. On the basis of these data the quantitative estimations for the parameters of lognormal probability distribution — the mathematical expectation and the variance — have been obtained and empirical dependences of these parameters on the applied tensile stresses determined. The results can be used to develop a methodology for estimation of thin-walled glass elements durability under external loading. С использованием предложенного ранее теоретико-экспериментального метода установлены статистические параметры длительной прочности стекла С52-7 при статических нагрузках, постоянных температуре и влажности среды. На основе проведенных статистических испытаний нескольких серий образцов полученные количественные оценки параметров логарифмически нормального закона распределения вероятности для логарифма долговечности стекла при внешних статических нагрузках — математического ожидания и дисперсии, а также установлены эмпирические зависимости этих параметров от приложенных растягивающих напряжений. Полученные результаты могут быть использованы для создания методологии оценки долговечности тонкостенных стеклянных элементов конструкций и приборов при внешних силовых нагрузках.
first_indexed	2025-12-07T16:28:13Z
format	Article
fulltext	Статистична модель довговічності скла за статичного навантаження. Логарифмічно нормальний розподіл ймовірності Василь Чекурін1, Василь Лазар2, Василь Дяків3 1 д. ф.-м. н., професор, Інститут прикладних проблем механіки і математики НАН України, вул. Наукова, 3б, Львів, e-mail: chekurin@iapmm.lviv.ua 2 к. т. н., Мукачівський технологічний інститут МОН України, вул. Ужгородська, 26, Мукачево 3 Інститут прикладних проблем механіки і математики НАН України, вул. Наукова, 3б, Львів Із використанням запропонованого раніше теоретико-експериментального методу вста- новлено статистичні параметри довготривалої міцності скла С52-7 за статичних наван- тажень, сталих температурі та вологості середовища. На основі проведених статистичних випробувань кількох серій зразків отримано кількісні оцінки параметрів (математичного сподівання та дисперсії) для логарифмічно нормального закону розподілу довговічності скла за дії зовнішнього статичного навантаження. Встановлено емпіричні залежності цих пара- метрів від прикладених напружень розтягу. Отримані результати можна використати для оцінки довговічності тонкостінних елементів конструкцій і приладів зі скла за дії на них зовнішнього навантаження. Ключові слова: скло, довготривала міцність, статистичні випробування. Вступ. Скло — матеріал, який широко використовують у будівництві, машино- та приладобудуванні, у виробах спеціального призначення й ужиткових. Тож, розробка ефективних методів визначення параметрів міцності скла є важливе науково-технічне завдання. Руйнування скла за достатньо високих швидкостей навантаження та достат- ньо низьких, порівняно з температурою скловання, температур відбувається за ме- ханізмом, близьким до ідеально крихкого. Водночас для процесу руйнування скла властиві деякі особливості [1, 2]. По-перше, реальна міцність скла значно менша за теоретичну та спостерігається її значний розкид. Друга особливість полягає у пере- важаючому впливові властивостей поверхні на міцність скла. Третьою особливістю є ефект статичної втоми, що проявляється залежно від міцності скла, швидкості де- формування або часу витримки об’єкта під статичним навантаженням. Низьку, порівняно з теоретичною, реальну міцність скла можна пояснити наявністю структурних недосконалостей і дефектів. Їх концентрація значно вища біля поверхні виробу, ніж у товщі матеріалу. У статті подано результати кількісної оцінки статистичних параметрів дов- готривалої міцності електровакуумного скла С52-7 за дії статичних навантажень, отримані з використанням розробленого раніше теоретико-експериментального методу [4-6]. УДК 539.4 186 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 8, 186-197 187 1. Моделі руйнування скла за тривалого навантаження Довговічність об’єкта за дії зовнішнього силового навантаження можна означити як проміжок часу τ між моментом прикладання навантаження та моментом руй- нування. У результаті проведених експериментальних досліджень встановлено [3], що довговічність твердих тіл за статичних навантажень експоненційно спадає зі збільшенням прикладених напружень розтягу σ ( )expAτ = −ασ . (1) Тут А й α — характеристики матеріалу. Залежність (1) знайшла своє обґрунтування в рамках термофлуктуаційної теорії [3], яка встановлює залежність довговічності твердих тіл від прикладених напружень розтягу та температури у вигляді 0 0 exp B U k T  − γσ τ = τ     . (2) Тут τ0 — параметр, близький за величиною до періоду теплових коливань атомів у твердому тілі τ0 ≈ 10 – 13 с; U0 — енергія активації для розриву зв’язків між ато- мами в твердому тілі; γ — коефіцієнт, який враховує зменшення енергії активації, зумовлене напруженнями; kB — стала Больцмана; T — абсолютна температура. Термофлуктуаційна теорія пов’язує процес утворення розривів суцільності в об’ємі твердих тіл із тепловими флуктуаціями, енергія ∆Ef яких співмірна з енергією активації U0 – γσ. Як випливає зі статистичної фізики, середній період часу τf між двома послідовними такими флуктуаціями експоненційно зменшується зі зростанням енергії ∆Ef , тобто 0 exp f f B E k T ∆  τ = τ −    . (3) Звідси і випливає формула (2) для довговічності. Слід наголосити, однак, що, згідно з термофлуктуаційною моделлю, руйну- вання є стохастичний процес, відтак довговічність — випадковий параметр. Таким чином формули (1), (2) для довговічності насправді визначають лише деякий ста- тистично середній час життя навантаженого об’єкта. Проте для матеріалів, які в до- статній мірі фізично та структурно однорідні, зокрема, для зразків високоміцного хімічно полірованого скла чи тонких кварцових волокон [2], залежність (1) на- ближає результати вимірювань із доволі малим розкидом. Тож, довговічність та- ких об’єктів можна оцінювати за детерміністичним підходом, використовуючи формулу (1) і нехтуючи розкидом цих параметрів, приймаючи їх детермінованими. Сталі матеріалу, що в ній фігурують, можна визначити на основі випробу- вань порівняно невеликої кількості зразків. Для цього кожен зразок слід наванта- жити заданим напруженням розтягу σ, виміряти час до руйнування, а відтак, апроксимувавши залежність виміряних значень логарифму довговічності зразків від прикладених напружень лінійною функцією, визначити сталі А й α, викорис- товуючи, наприклад, метод найменших квадратів. Василь Чекурін, Василь Лазар, Василь Дяків Статистична модель довговічності скла за статичного навантаження … 188 Однак для скла низької та середньої міцності апроксимація експеримен- тальних даних довговічності формулами (1), (2) дає занадто великий для інже- нерних застосувань розкид. Це можна пояснити тим, що скло такого типу є мік- ронеоднорідним матеріалом, в якому присутня значна кількість структурних і фізичних неоднорідностей і дефектів (варіації хімічного складу та структури, бульбашки газу, подряпини, сколи, тріщини, свілі), розподіл яких в об’ємі та на по- верхні об’єкта випадковий. Внаслідок цього властивості матеріалу, зокрема, ті, що відповідають за довготривалу міцність — енергія активації U0 і коефіцієнт γ — матимуть різні значення в околах різних включень. Включення та дефекти є концент- ратори напружень, тож навіть за однорідного зовнішнього навантаження напру- ження в околі кожної неоднорідності можуть істотно відрізнятися від прикладеного навантаження σ, тобто σ (i) = k (i)σ, де k (i) — коефіцієнт концентрації напружень. Під дією напружень розтягу на концентраторах напружень можуть зароджуватися та розвиватися гострокінцеві дефекти (тріщини). Властивості матеріалу, які визна- чають можливість виникнення та розвиток дефектів, будуть, взагалі кажучи, різними в околі різних концентраторів. Отже кожен такий дефект характеризуватиметься своїм проміжком часу τ (і), який спливе від моменту прикладання навантаження до до- сягнення дефектом критичних розмірів. Якщо σ (і) — напруження розтягу, ( ) 0 iU та γ (і) — значення енергії активації та параметра γ на i-тому концентраторі, то τ (і) можна оцінити за формулою ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 exp i i i i B U k k T  − γ σ  τ = τ    , (4) а довговічність об’єкта можна визначити як ( )( )min iτ = τ . (5) Щоб застосувати детерміністичний підхід до визначення довговічності об’єк- та, що базується на формулах (4), (5), необхідно виявити усі наявні в об’єкті кон- центратори напружень і встановити для кожного з них значення параметрів σ (і), ( ) 0 iU та ( )iγ . Зрозуміло, що його реалізація для реальних об’єктів, виготовлених зі скла низької та середньої міцності, натикається на серйозні труднощі, оскільки кількість таких концентраторів може бути вельми значною та вони випадково роз- поділені в об’єкті, а також за їх властивостями, розмірами, формою, орієнтацією тощо. У зв’язку з цим важливого значення набувають статистичні методи оцінки параметрів довготривалої міцності скла, які дозволяють визначати надійність об’єкта на заданий час експлуатації за дії статичних навантажень. Метою статистичного підходу є встановлення функції розподілу Wσ(τ) дов- готривалої міцності зразків матеріалу за часом t, яка визначає ймовірність руйну- вання зразка під дією прикладених однорідних і незмінних у часі напружень роз- тягу σ за проміжок часу τ від моменту прикладання навантаження. Відтак, за відомою ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 8, 186-197 189 функцією ймовірності Wσ(τ) можна визначити математичне сподівання для часу життя навантаженого об’єкта, його дисперсію, оцінити інтервали довіри, надій- ність об’єкта на заданий час експлуатації тощо. Функцію Wσ(τ) можна оцінити на основі даних вибіркових випробувань серій взірців за фіксованих значень прикладених однорідних напружень розтягу σ. З цією метою до вибірки статистично ідентичних зразків прикладають задане наванта- ження σ та реєструють проміжок часу між моментами прикладання навантаження та руйнування [2]. Нехай τі — момент руйнування і-го зразка, відрахований від початку дії навантаження, Ni — кількість зразків, які зруйнувалися до моменту часу τі, Nv — кількість зразків у вибірці. Тоді відношення ( )1i iW N Nσ = +v дає емпіричну оцінку ймовірності руйнування скла за дії заданого напруження розтягу σ упродовж часу [0, τі]. Для побудови статистичної моделі руйнування скла за зовнішніх статичних навантажень розтягу виходитимемо з таких припущень: • домінуючий вплив на тривалу міцність скла має поверхня об’єкта. Це під- тверджують численні експериментальні дослідження та пояснюють значно вищою за об’ємну концентрацією поверхневих неоднорідностей і впливом довкілля на утворення та розвиток дефектів; • руйнування відбувається шляхом зародження на поверхневих неоднорід- ностях і розвитку вглиб об’єкта гострокінцевих дефектів; • довговічність об’єкта визначається за принципом «слабкої ланки», який ви- ражає формула (5); • неоднорідності, які є концентраторами напружень, статистично рівномірно розподілені по всій поверхні об’єкта, а статистичні функції розподілу пара- метрів k, U0 і γ, які згідно формули (4) визначають час розвинення дефекту до критичних розмірів, є однакові для всіх точок поверхні об’єкта. 2. Методика статистичних випробувань Оскільки довготривала міцність залежить від розмірів зони, в якій діють напру- ження, то для реалізації цього способу необхідно вибрати схему навантаження зразків, яка забезпечує високу однорідність напруженого стану в достатньо вели- кій області зразка, а також визначитися з розмірами та формою зразка, об’ємом вибірки та тривалістю випробувань. Під час випробувань на міцність крихких матеріалів використовують різні схеми навантаження — розтягування стрижнів круглого поперечного перерізу, поперечне згинання вільно опертих пластинок або круглих стрижнів, а також осесиметричне згинання тонких пластин. Традиційна схема випробувань на міцність — розтягування спеціальних виготовлених зразків із робочою зоною у формі кругових циліндрів дає можливість створювати одновісний напружений стан із високим ступенем однорідності у достат- ньо великому об’ємі робочої зони. Однак, виготовляти такі зразки зі скла техно- логічно досить складно, а внаслідок крихкості матеріалу вони можуть руйнуватися від найменших перекосів ще під час їх встановлення в пристрій навантаження. Василь Чекурін, Василь Лазар, Василь Дяків Статистична модель довговічності скла за статичного навантаження … 190 Тому широкого застосування при випробуваннях на міцність скла набули методи навантаження зразків шляхом їх згинання. Недоліком такої схеми є те, що розтя- гувальні напруження зменшуються в глибину зразка. Проте для скла така схема навантаження є прийнятна, оскільки, як зазначалося, переважальний вплив на дов- готривалу міцність цього матеріалу має поверхня, на якій зосереджена основна кількість концентраторів напружень. Згинання вузьких прямокутних пластинок за чотириточковою схемою [2] дозволяє створити однорідні напруження одновісного розтягу на одній із повер- хонь зразка. Однак при цьому поздовжні краї цієї поверхні, які є концентраторами напружень, також перебувають під дією напружень розтягу, тому значна кіль- кість зразків руйнується внаслідок розвитку тріщин, які зароджуються на гострих краях зразка. Це призводить до систематичної похибки, що проявляється у зани- женні значень довговічності, визначених за такою схемою. Осесиметричне згинання круглих пластинок (дисків) [2] дозволяє створю- вати однорідне навантаження розтягу на достатньо великій площі поверхні зразка, забезпечуючи при цьому достатньо малі значення розтягувальних напружень на краю пластинки. Для реалізації цієї схеми зразок 1 (рис. 1) у вигляді круглої пластинки тов- щини h і діаметра 2r3 встановлювали на призматично-кільцеву опору 2. На проти- лежну поверхню диска 1 співвісно з опорою встановлювали призматичний кіль- цевий пуансон 3, який через кульовий шарнір навантажували зусиллям F. Щоб запобігти руйнуванню в зонах контакту опори та пуансона зі зразком і частково знівелювати вплив можливих порушень площинності зразка застосовують полі- хлорвінілові прокладки 4. Щоб зразки після руйнування не розсипалися на окремі осколки, їх поверхню зі сторони пуансона покривали липкою поліхлорвініловою плівкою. За такого навантаження у зразку виникає осесиметричний напружено-де- формований стан, за якого на базовій площинці 5 радіуса r1 діють однорідні на- пруження всебічного розтягу σrr = σφφ = σ, рівень яких, згідно теорії згинання тонких пластин, визначають за формулою [2] 2 FB h σ = , (6) де F — прикладене до пуансона зусилля, h — товщина диска, B — стала, що залежить від розмірів 1 2 3, ,r r r та пружних властивостей матеріалу зразка. Рис. 1. Схема навантаження зразків для випробувань 4 2 5 3 4 2 1F h r2 r1 r3 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 8, 186-197 191 Внаслідок цього усі поверхневі концентратори напружень на базовій пло- щинці будуть навантажені однаковими нормальними силами розтягу σ, тому швид- кість розвинення дефекту за тривалого навантаження не залежатиме від його орієн- тації в площині зразка. До того ж, вибираючи радіус r3 диска достатньо великий, можна досягнути як завгодно малих значень напружень на краю пластини та за- побігти в такий спосіб зародженню тріщин на гострих кромках зразка. Для апостеріорної оцінки залежності параметрів довготривалої міцності скла від зовнішнього навантаження здійснювали випробування декількох серій v = 1 ... V ідентичних зразків, вибираючи для кожної з них інше значення прикла- деного навантаження σ. Точність і достовірність статистичних висновків, зробле- них на основі проведених випробувань, залежатиме від кількості інформативних зразків nv у серії v — тобто кількості зразків, що зруйнувалися під дією прикла- деного навантаження за обраний час випробування одного зразка ∆t. Зрозуміло, що nv зростатиме зі збільшення об’єму вибірки N і періоду випробувань ∆t. Однак при цьому зростатиме також і сумарний час проведення випробувань ( ) =1 1 =1 1 =1 =1 N nV V V V i i i i t N n t N = = τ = τ = τ + ∆ − ≤ ∆∑∑ ∑∑ ∑ ∑ v v v v v v v v v v v v v , (7) де ∆tv — проміжок часу, впродовж якого здійснюють випробування одного зразка в серії v, Nv — кількість зразків у цій серії. Тому параметри Nv та ∆tv доводиться вибирати на основі компромісу між бажаними точністю та рівнем достовірності отриманих даних i можливістю практичної реалізації запланованих випробувань за більш-менш реальні проміжки часу. Попередніми дослідженнями [4] встановлено, що за низьких рівнів наванта- ження (σ = 30-40 МПа) для оцінки медіанної міцності скла з точністю 5% і досто- вірністю 0,9 достатньо мати 7-8 інформативних зразків. Якщо обмежити час випро- бування одного зразка однією годиною ∆tv = 3600 с, то об’єм серії Nv повинен складати 50 … 100 зразків. Якщо ці значення параметрів Nv та ∆tv прийняти і для се- рій, які випробовують за більших рівнів навантаження, то кількість інформативних зразків у них зростатиме відповідно до збільшення рівня прикладених напружень. 3. Результати випробувань Досліджували електровакуумне скло С52-7 за сталої вологості середовища Hc = = 90% [5, 6]. Для проведення випробувань використовували ідентичні шліфовані та поліровані зразки у формі круглих пластин із розмірами: r3 = 28 мм, h = 2,0 мм. Розміри пристроїв навантаження: радіус циліндрично-призматичного пуансона r1 = 4 мм, радіус циліндрично-призматичної опори r2 = 8 мм. Отже площа s0 базової площинки 5, на якій реалізується однорідний напружений стан всебічного розтягу, становитиме 50,26 мм2. Проведено шість серій випробувань по Nv = N = 50 ідентичних зразків у кожній. Серії відрізнялися лише прикладеним навантаженням розтягу (50, 60, 70, 80, 90 та 100 МПа). Кожен зразок серії витримували при заданому статичному навантаженні Василь Чекурін, Василь Лазар, Василь Дяків Статистична модель довговічності скла за статичного навантаження … 192 не більше однієї години. Якщо зразок серії руйнувався в процесі випробувань, то фіксували момент його руйнування τi. Емпіричні оцінки ймовірностей руйнування на проміжках [0, τi] за дії напружень σv визначали за формулою ( )1i iW N N= +v . (8) Отриманий для кожної серії в такий спосіб дискретний набір емпіричних ймовірностей Wi апроксимували логарифмічно нормальним законом [7]. Із цією метою для кожного Wi визначали квантиль gi незміщеного нормального розподілу шляхом чисельного розв’язування рівняння 2 21 2 ig ie d W−ξ −∞ ξ = π ∫ . (9) Отримані дискретні залежності параметра gi від lg τi (див. рис. 2) апрокси- мували методом найменших квадратів лінійною функцією ˆˆ ˆ lgg a b= + τ . У результаті отримали значення коефіцієнтів апроксимації для кожної серії випробувань ( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 2 1 1 lg lg lg ˆ lg lg N N N N i i i i i i i i i N N i i i i g g a N = = = = = = τ − τ τ =   τ − τ    ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ v , (10) ( ) 1 1 1 2 2 1 1 lg lg ˆ lg lg N N N i i i i i i i N N i i i i N g g b N = = = = = τ − τ =   τ − τ    ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ v . (11) Таким чином були встановлені неперервні функції розподілу ймовірності Wv логарифма довговічності lg τ для всіх серій (рис. 3) ( ) ( ) ( ) 2lg 2 ˆˆˆ exp 2 ˆ2 1 W v a bbW d b τ −∞  ξ + = − ξ π    ∫ v v v v . (12) Із формули (12) випливає, що математичне сподівання для логарифма довго- вічності ( )lg 0,5lgτµ = τv і стандартне відхилення Dv визначаються за коефіцієнтами апроксимації результатів проведених статистичних випробувань âv та b̂v на- ступним чином lg lg ˆ 1,ˆ ˆ a D b bτ τµ = − =v vv v v . (13) Отримані шляхом статистичних випробувань дискретні залежності коефіцієнтів ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 8, 186-197 193 âv та b̂v , а також значень математичного сподівання lg τµv та дисперсії 2 lgD τ від на- пруження розтягу σ можна апроксимувати неперервними функціями ( )â σ , ( )b̂ σ , ( )lg ˆâ b τµ ≡ − =µ σ , ( )2 2 lg lg ˆ1D b Dτ τ≡ = σ . На рис. 4 та 5 наведено графіки залеж- ностей ( )lg τµ σ та ( )2 lgD τ σ (суцільні лінії), які отримані шляхом апроксимації методом найменших квадратів дискретних залежностей lg τµ та 2 lgD τ (точки), обчис- лених за формулами (13), від прикладених напружень σ. Дискретні дані апрокси- мували лінійними функціями 2 2 lg 0 lg 0, DK D D Kτ µ τµ = µ − σ = − σ , (14) де 2 0 0, , , DK D Kµµ — сталі. Знайдена функція ( )lg τµ σ визначає залежність медіанного значення лога- рифма довговічності від прикладених напружень. Використовуючи так встановлені функції ( )lg τµ σ та ( )2 lgD τ σ , отримуємо функцію розподілу ймовірності руйнування для lg τ за дії стаціонарного напру- ження розтягу σ ( ) ( ) ( ) ( ) 2lg lg 2 lg lg 1lg exp 2 2 W d D D τ τ σ τ τ−∞   ξ −µ σ  τ = − ξ  σ π σ   ∫ . (15) При цьому залежна від прикладених напружень функція надійності Pσ(lg τ) для логарифма довговічності за статичного навантаження σ визначиться формулою -4 -2 0 2 4 6 8 10 lgτ 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 W 70 MPa 60 MPa 50 MPa 100 MPa 80 MPa 90 MPa -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 lgτ g 1.6 1.2 0.8 0.4 0.0 -0.4 -0.8 -1.2 -1.6 -2.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 0.3 0.2 0.1 W 60 MPa 80 MPa 70 MPa 50 MPa 90 MPa 100 MPa Рис. 2. Залежності значень квантилі логариф- мічно нормального розподілу для емпіричних оцінок ймовірності руйнування Wi зразків від логарифма виміряних значень моментів часу руйнування для різних навантажень розтягу σ та їх апроксимації прямими лініями Рис. 3. Залежності емпіричних оцінок ймовір- ності руйнування Wi зразків від логарифма виміряних значень моментів часу руйнування за різних навантажень розтягу σ та їх апрок- симації логарифмічно нормальним законом розподілу ймовірності (суцільні криві) g W 1,2 0,4 – 0,4 – 1,2 – 2,0 – 2 0 2 4 6 8 lg τ lg τ – 4 40 8 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 W100 МПа 50 МПа 60 МПа 70 МПа 80 МПа 90 МПа 50 МПа 60 МПа 70 МПа 80 МПа 90 МПа 100 МПа – 2 2 6 10 0,9 0,8 0,6 0,4 0,2 0,1 10 lg τ Василь Чекурін, Василь Лазар, Василь Дяків Статистична модель довговічності скла за статичного навантаження … 194 ( ) ( )lg 1 lgP Wσ στ = − τ . (16) Таким чином, щоб знайти залежність логарифма довговічності від прикла- деного напруження розтягу σ зі заданою надійністю 0 < P < 1, необхідно розв’я- зати стосовно (lg τ)P наступне рівняння ( ) ( ) ( ) ( ) 2lg lg 2 lg 1 exp 1 2 2 P d P D D τ τ τ−∞   ξ −µ σ  − ξ = −  σ π σ   ∫ . (17) Виходячи з функції розподілу (15) для lg τ, неважко встановити функцію розпо- ділу для часу руйнування τ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 lg 2 lg lg0 lg1 exp 2 2 mW d D D τ τ σ τ τ   η−µ σ  τ = − η  ησ π σ   ∫ , (18) де m — коефіцієнт переходу від натуральних до десяткових логарифмів m = lg e ≈ ≈ 0,4343. Математичне сподівання ττ = µ для часу руйнування τ (середня довговіч- ність зразків) обчислюємо, використовуючи функцію розподілу (18) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 lg 2 lg lg0 lg exp 2 2 m d D D ∞ τ τ τ τ   η−µ σ  µ σ = − η  σ π σ   ∫ . (19) Виконуючи інтегрування, отримуємо залежність середньої довговічності від величини прикладених напружень σ 40 50 60 70 80 90 σ,MPa 0 2 4 6 8 10 lgτ C52-7, Hc=90% µ 40 50 60 70 80 90 σ,MPa 0 5 10 15 20 lgτ C52-7, Hc=90% D2 Рис. 4. Залежність медіанного значення логарифма довговічності µ1gτ від прикладених напружень σ Рис. 5. Залежність дисперсії 2 lgD τ від прикладених напружень σ µlg τ 10 8 6 4 2 0 40 50 60 70 80 90 σ, МПа 40 50 60 70 80 90 σ, МПа С52-7, Hc = 90 % С52-7, Hc = 90 % 2 lgD τ 20 10 15 5 0 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 8, 186-197 195 ( ) ( ) ( )2 lg lg 2exp 2 D m m τ τ τ  µ σ σ µ σ = +     . (20) Беручи до уваги співвідношення (14), з формули (20) отримуємо ( )expAτ µ µµ = −α σ , (21) де 2 0 0 2 2exp , 2 2 DKD KA m mm m µ µ µ  µ = + α = +     . (22) Таким чином, виходячи з логарифмічно нормального закону, отримано фор- мулу (21) для середньої довговічності зразків, яка цілком узгоджується з експе- риментально встановленою залежністю (1) довговічності зразків від прикладеного навантаження розтягу. Формули (22) при цьому дозволяють визначити сталі, що входять до емпіричного закону (1) залежності довговічності від напружень. Визначимо також дисперсію часу руйнування 2Dτ . Використовуючи функ- цію розподілу (18), отримуємо ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 lg2 2 lg lg0 lg exp 2 2 mD d D D ∞ ττ τ τ τ   η−µ ση−µ   σ = − η  ησ π σ   ∫ . (23) Звідси, враховуючи формулу (20), після інтегрування отримуємо ( ) ( ) ( ) ( )2 2 lg lg lg2 2 2 2 exp exp 1 D D D m m m τ τ τ τ     µ σ σ σ σ = + −              . (24) Медіанне значення часу руйнування τ0,5 = τM визначаємо як розв’язок рівняння ( ) ( ) ( ) 2 lg 2 lg lg0 lg1 exp 0,5 2 2 Mm d D D τ τ τ τ   η−µ σ  − η =  ησ π σ   ∫ , (25) звідки знаходимо ( )lgexpM m τµ σ  τ =      . (26) Беручи до уваги перше співвідношення (14), отримуємо формулу, що ви- значає залежність медіанної довговічності зразків від прикладених напружень σ ( )expM M MAτ = −α σ , (27) де Василь Чекурін, Василь Лазар, Василь Дяків Статистична модель довговічності скла за статичного навантаження … 196 0exp ,M M K A m m µµ = α =    . Функція розподілу надійності Pσ(τ), яка визначає ймовірність того, що упродовж проміжку часу [0, τ] тіло не зруйнується, визначаємо як ( ) ( )1P Wσ στ = − τ . Для знаходження довговічності τP з заданою надійністю 0 < P < 1 необхідно роз- в’язати таке рівняння ( ) ( ) ( ) 2 lg 2 lg lg0 lg1 exp 1 2 2 Pm d P D D τ τ τ τ   η−µ σ  − η = −  ησ π σ   ∫ . (28) Висновки. На основі проведених за методикою [6] статистичних випробувань зразків скла за дії зовнішнього навантаження розтягу σ встановлено залежності від величини σ параметрів логарифмічно нормального закону розподілу ймовір- ності — математичного сподівання ( )lg τµ σ та дисперсії ( )2 lgD τ σ . Виходячи з вста- новленого закону розподілу ймовірності (15) для логарифма довговічності lg τ, встановлено закон розподілу (18) для довговічності τ, який враховує вплив при- кладеного навантаження розтягу σ на ймовірність руйнування. Отриманий закон розподілу дозволяє розраховувати довговічність зразків τP з заданою надійністю P шляхом розв’язування рівняння (28). Тому цей закон можна використати для ство- рення методики оцінювання довговічності та надійності тонкостінних елементів зі скла [4]. Встановлені на основі отриманого закону розподілу ймовірності фор- мули (21) і (27), які описують залежність середньої µτ та медіанної τM довговічності від величини прикладених навантажень σ цілком узгоджуються з експериментально встановленою залежністю (1). Отримані результати дають доволі значний розкид довговічності зразків. Це можна пояснити декількома причинами. По-перше, для матеріалу, який досліджу- вали, можливо, і властивий такий розкид параметрів. По-друге, істинний закон розподілу ймовірності логарифма довговічності може різнитися від логарифмічно нормального. По-третє, діапазон навантажень, у якому проводили випробування σ = = 50 … 100 МПа, є занадто широкий, тож апроксимація даних випробувань ліній- ною функцією в цілому діапазоні напружень дає значні відхилення. Зокрема, аналі- зуючи рис. 4 та 5, можна виділити три діапазони напружень σ < 60 МПа, σ = = 60 … 80 МПа та σ = 80 … 100 МПа, для яких, можливо, властиві різні закони розподілу ймовірності для довговічності. Література [1] Бартенев Г. М. Прочность и механизм разрушения полимеров. — Москва: Химия, 1984. — 280 с. [2] Пух В. П. Прочность и разрушение стекла. — Ленинград: Наука, 1973. — 156 с. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 8, 186-197 197 [3] Регель В. Р., Слуцкер В. И., Томашевский Э. Е. Кинетическая природа прочности твердых тел. — Москва: Наука, 1974. — 560 с. [4] Подстригач Я. С., Осадчук В. А., Марголин А. М. Остаточные напряжения, длительная прочность и надежность стеклоконструкций. — Киев: Наук. думка, 1991. — 289 с. [5] К статистической теории длительной прочности стекла / Марголин А. М., Мар- тынова В. П., Осадчук В. А., Чекурин В. Ф. // Проблемы прочности. — 2005. — № 3. — С. 75-85. [6] Марголін А. М., Осадчук В. А., Чекурін В. Ф. Спосіб визначення міцності скла. Де- клараційний патент 65681А. Україна 7G01N11/00 // Заявлено 30.07.2002. Опублі- ковано 15.04.2004. Бюл. № 4. [7] Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. А. Математические методы в теории надежности. — Москва: Наука, 1965. — 524 с. [8] Брест В. А., Шелюбский В. И. Прочность стекла при длительном нагружении // Стекло и керамика. — 1991. — № 6. — С. 14-16. Statistical model for glass durability under static loading. The lognormal probability distribution Vasyl Chekurin, Vasyl Lazar, Vasyl Dyakiv Statistical parameters of long-term strength of C52-7 glass under static loading at constant envi- ronment temperature and humidity have been determined with use of the previously suggested the- oretical-experimental method. Statistical tests of several sets of glass samples have been conducted. On the basis of these data the quantitative estimations for the parameters of lognormal probability distribution — the mathematical expectation and the variance — have been obtained and empi- rical dependences of these parameters on the applied tensile stresses determined. The results can be used to develop a methodology for estimation of thin-walled glass elements durability under external loading. Статистическая модель долговечности стекла при статическом нагружении. Логарифмически нормальное распределение вероятности Василь Чекурин, Василь Лазар, Василь Дякив С использованием предложенного ранее теоретико-экспериментального метода установ- лены статистические параметры длительной прочности стекла С52-7 при статических нагрузках, постоянных температуре и влажности среды. На основе проведенных статис- тических испытаний нескольких серий образцов полученные количественные оценки пара- метров логарифмически нормального закона распределения вероятности для логарифма долговечности стекла при внешних статических нагрузках — математического ожидания и дисперсии, а также установлены эмпирические зависимости этих параметров от прило- женных растягивающих напряжений. Полученные результаты могут быть использованы для создания методологии оценки долговечности тонкостенных стеклянных элементов конструкций и приборов при внешних силовых нагрузках. Отримано 17.06.08
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-21897
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1816-1545
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T16:28:13Z
publishDate	2008
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
record_format	dspace
spelling	Чекурін, В. Лазар, В. Дяків, В. 2011-06-20T07:23:06Z 2011-06-20T07:23:06Z 2008 Статистична модель довговічності скла за статичного навантаження. Логарифмічно нормальний розподіл ймовірності / В. Чекурін, В. Лазар, В. Дяків // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 8. — С. 186-197. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21897 539.4 Із використанням запропонованого раніше теоретико-експериментального методу встановлено статистичні параметри довготривалої міцності скла С52-7 за статичних навантажень, сталих температурі та вологості середовища. На основі проведених статистичних випробувань кількох серій зразків отримано кількісні оцінки параметрів (математичного сподівання та дисперсії) для логарифмічно нормального закону розподілу довговічності скла за дії зовнішнього статичного навантаження. Встановлено емпіричні залежності цих параметрів від прикладених напружень розтягу. Отримані результати можна використати для оцінки довговічності тонкостінних елементів конструкцій і приладів зі скла за дії на них зовнішнього навантаження. Statistical parameters of long-term strength of C52-7 glass under static loading at constant environment temperature and humidity have been determined with use of the previously suggested theoretical-experimental method. Statistical tests of several sets of glass samples have been conducted. On the basis of these data the quantitative estimations for the parameters of lognormal probability distribution — the mathematical expectation and the variance — have been obtained and empirical dependences of these parameters on the applied tensile stresses determined. The results can be used to develop a methodology for estimation of thin-walled glass elements durability under external loading. С использованием предложенного ранее теоретико-экспериментального метода установлены статистические параметры длительной прочности стекла С52-7 при статических нагрузках, постоянных температуре и влажности среды. На основе проведенных статистических испытаний нескольких серий образцов полученные количественные оценки параметров логарифмически нормального закона распределения вероятности для логарифма долговечности стекла при внешних статических нагрузках — математического ожидания и дисперсии, а также установлены эмпирические зависимости этих параметров от приложенных растягивающих напряжений. Полученные результаты могут быть использованы для создания методологии оценки долговечности тонкостенных стеклянных элементов конструкций и приборов при внешних силовых нагрузках. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Статистична модель довговічності скла за статичного навантаження. Логарифмічно нормальний розподіл ймовірності Statistical model for glass durability under static loading. The lognormal probability distribution Статистическая модель долговечности стекла при статическом нагружении. Логарифмически нормальное распределение вероятности Article published earlier
spellingShingle	Статистична модель довговічності скла за статичного навантаження. Логарифмічно нормальний розподіл ймовірності Чекурін, В. Лазар, В. Дяків, В.
title	Статистична модель довговічності скла за статичного навантаження. Логарифмічно нормальний розподіл ймовірності
title_alt	Statistical model for glass durability under static loading. The lognormal probability distribution Статистическая модель долговечности стекла при статическом нагружении. Логарифмически нормальное распределение вероятности
title_full	Статистична модель довговічності скла за статичного навантаження. Логарифмічно нормальний розподіл ймовірності
title_fullStr	Статистична модель довговічності скла за статичного навантаження. Логарифмічно нормальний розподіл ймовірності
title_full_unstemmed	Статистична модель довговічності скла за статичного навантаження. Логарифмічно нормальний розподіл ймовірності
title_short	Статистична модель довговічності скла за статичного навантаження. Логарифмічно нормальний розподіл ймовірності
title_sort	статистична модель довговічності скла за статичного навантаження. логарифмічно нормальний розподіл ймовірності
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21897
work_keys_str_mv	AT čekurínv statističnamodelʹdovgovíčnostísklazastatičnogonavantažennâlogarifmíčnonormalʹniirozpodílimovírností AT lazarv statističnamodelʹdovgovíčnostísklazastatičnogonavantažennâlogarifmíčnonormalʹniirozpodílimovírností AT dâkívv statističnamodelʹdovgovíčnostísklazastatičnogonavantažennâlogarifmíčnonormalʹniirozpodílimovírností AT čekurínv statisticalmodelforglassdurabilityunderstaticloadingthelognormalprobabilitydistribution AT lazarv statisticalmodelforglassdurabilityunderstaticloadingthelognormalprobabilitydistribution AT dâkívv statisticalmodelforglassdurabilityunderstaticloadingthelognormalprobabilitydistribution AT čekurínv statističeskaâmodelʹdolgovečnostisteklapristatičeskomnagruženiilogarifmičeskinormalʹnoeraspredelenieveroâtnosti AT lazarv statističeskaâmodelʹdolgovečnostisteklapristatičeskomnagruženiilogarifmičeskinormalʹnoeraspredelenieveroâtnosti AT dâkívv statističeskaâmodelʹdolgovečnostisteklapristatičeskomnagruženiilogarifmičeskinormalʹnoeraspredelenieveroâtnosti

Статистична модель довговічності скла за статичного навантаження. Логарифмічно нормальний розподіл ймовірності

Institution

Similar Items