Енергетичні та термодинамічні аспекти математичного моделювання термомеханічних процесів у деформівних термопружних тілах з урахуванням дисипативних ефектів
Запропоновано енергетичний і термодинамічний підходи до побудови математичних моделей для опису термомеханічних процесів у пружних деформівних дисипативних системах. На цій основі отримано співвідношення як для опису локального термодинамічного стану, так і дисипативних процесів, які є базовими для...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21900 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Енергетичні та термодинамічні аспекти математичного моделювання термомеханічних процесів у деформівних термопружних тілах з урахуванням дисипативних ефектів / Я. Бурак, Г. Мороз // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 8. — С. 11-18 — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859595994084147200 |
|---|---|
| author | Бурак, Я. Мороз, Г. |
| author_facet | Бурак, Я. Мороз, Г. |
| citation_txt | Енергетичні та термодинамічні аспекти математичного моделювання термомеханічних процесів у деформівних термопружних тілах з урахуванням дисипативних ефектів / Я. Бурак, Г. Мороз // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 8. — С. 11-18 — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| description | Запропоновано енергетичний і термодинамічний підходи до побудови математичних моделей для опису термомеханічних процесів у пружних деформівних дисипативних системах. На цій основі отримано співвідношення як для опису локального термодинамічного стану, так і дисипативних процесів, які є базовими для постановки та розв’язування відповідних крайових задач.
The energy and thermodynamic approaches are proposed for constructing the mathematical models for description of thermomechanical processes in deformable thermoelastic dissipative systems. On this basis the constitutive equations of the local thermodynamical state and description of dissipative processes are formulated. The obtained relationships are basic ones for formulation and solving of the corresponding initial-boundary value problems.
Предложены энергетический и термодинамический подходы к построению математических моделей для описания термомеханических процессов в упругих деформируемых диссипативных системах. На этом основании получены соотношения локального термодинамического состояния и описания диссипативных процессов, являющиеся исходными для формулирования и решения соответствующих краевых задач.
|
| first_indexed | 2025-11-27T20:56:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
Енергетичні та термодинамічні аспекти
математичного моделювання термомеханічних процесів
у деформівних термопружних тілах
з урахуванням дисипативних ефектів
Ярослав Бурак1, Галина Мороз2
1 д. ф.-м. н., професор, член-кор. НАНУ, Центр математичного моделювання ІППММ ім. Я. С. Підстригача
НАНУ, вул. Дудаєва, 15, Львів, 79005, e-mail: burak@cmm.lviv.ua
2 к. ф.-м. н., Центр математичного моделювання ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАНУ, вул. Дудаєва, 15, Львів,
79005, e-mail: halynamoroz@yahoo.mail
Запропоновано енергетичний і термодинамічний підходи до побудови математичних моде-
лей для опису термомеханічних процесів у пружних деформівних дисипативних системах.
На цій основі отримано співвідношення як для опису локального термодинамічного стану,
так і дисипативних процесів, які є базовими для постановки та розв’язування відповідних
крайових задач.
Ключові слова: повний енергетичний функціонал Гамільтона, термодина-
мічний опис, термопружна система, дисипативні процеси.
Вступ. Для опису механічних і теплових процесів у термопружних системах у лі-
тературі використовують підходи й методи механіки деформівного твердого тіла
та термодинаміки нерівноважних процесів [1, 5-7, 9-11]. Визначальні рівняння
стану встановлюються на основі принципу локальної термодинамічної рівноваги
фізично малих підсистем. Сформульовані варіаційні принципи для задач термо-
пружності є узагальнення варіаційних принципів Лагранжа та Кастильяно для
ізотермічної теорії пружності [8].
Для побудови математичних моделей нелінійної механіки пружних систем
в ізотермічних умовах деформування можна ефективно використовувати також
енергетичний підхід [2]. Тоді у простір параметрів локального стану (локальної
ситуації) окрім тензора градієнта місця додатково вводять вектор силового ім-
пульсу — характеристику інерційного стану фізично малої підсистеми. За таким
підходом, зокрема, природно сформульовано варіаційну постановку крайових за-
дач нелінійної теорії пластин на основі повного функціонала Гамільтона [2].
Функціонал Гамільтона, за допомогою якого сформульована варіаційна по-
становка крайових задач нелінійної термопружності, наведено у роботі [3].
Енергетичний підхід до термодинамічного опису приповерхневих явищ у тер-
мопружних тілах і встановлення стаціонарного стану розглянуто у роботі [4]. У розви-
ток одержаних там результатів у даній роботі запропоновано поєднання як енергетич-
ного (з використанням повного функціоналу Гамільтона) [3], так і термодинамічного
УДК 539.3
11
Ярослав Бурак, Галина Мороз
Енергетичні та термодинамічні аспекти математичного моделювання…
12
(на основі принципу локальної термодинамічної рівноваги та мінімуму виникнення
ентропії) [5, 7, 8] підходів для опису термомеханічних процесів у деформівних
дисипативних системах. На цій основі отримано фізичні співвідношення локаль-
ного термодинамічного стану та рівняння для опису відповідних дисипативних
процесів. Одержані результати є базові для постановки та розв’язування відповід-
них крайових задач термомеханіки.
1. Енергетичний опис моделі
Розглядаємо термопружне тверде тіло * *K K∂∪ , яке у вихідній (відліковій) кон-
фігурації (t < t1) ненавантажене, однорідне та бієктивно відображається на область
* *
0 0X X∂∪ евклідового простору. Термодинамічний стан тіла у відліковій конфі-
гурації є однорідний і характеризується температурою T(0) і густиною ентропії S(0),
хімічним потенціалом µ (0) і густиною маси ρ (0). Місцерозташування довільної ма-
теріальної точки *k K∈ у відліковому стані визначає радіус-вектор 0r .
На проміжку часу [t1, t2] термопружна система перебуває під дією зовнішніх сил
(силове навантаження) в умовах теплообміну з зовнішнім середовищем. Таке на-
вантаження зумовлює термомеханічні процеси в системі і, відповідно, зміну па-
раметрів локального термодинамічного стану фізично малих підсистем *K Kδ ⊂ .
Для варіаційного формулювання крайових задач термопружності за вихід-
ний приймаємо функціонал Гамільтона 0, ,F T p u ∇ ⊗ , який записаний за під-
ходом Лагранжа, а саме
( ) ( )
2
*
1 0
0 0 0 0, , , ,
t
t X
dpF T p u H T p u f u dV
dt
+
∇ ⊗ = ∇ ⊗ + − ⋅ −
∫ ∫
( ) ( )
* *
0 0
0
0 02 2n sn
X X
u T П d dt u p dV+ + +
∂
− σ ⋅ − ⋅ Σ − ⋅
∫ ∫ . (1)
Тут ( )0 0, ,H T p u∇ ⊗ — функція Гамільтона; 0sn sП n П= ⋅ ,
1
0
t
s s
t
П J dt= ∫ ; 0
sJ —
потік ентропії; ( )
1
0 ˆ
t
t
p f dt+ ′= ∇ ⋅σ+∫ — вектор імпульсу поступального руху;
( )0 0
0 ,n n r t+ +σ = σ та ( )0 ,f f r t+ += — задані вектори поверхневого силового наван-
таження й об’ємних сил; u — вектор переміщення; Т — абсолютна температура;
( )0 ,T T r t+ += — задане температурне поле на поверхні тіла ( ) ( ) ( ) ( )*
0 0 02 2; ,X u r p r+∂ —
задані в області тіла вектори переміщення та силового імпульсу в момент часу
t = t2.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 8, 11-18
13
Тут і надалі всі адитивні параметри моделі нормовані за геометричними
характеристиками фізично малої підсистеми K Kδ ⊂ у відліковому природному
стані [2]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
0 0 * 0 * 0 0 *
0 0 0
, , , , , , , ,n n
V VH r t H r t r t r t f r t f r t
V V
+ +δ δΣ δ
= σ = σ =
δ δΣ δ
.
Перша варіація функціонала Гамільтона (1) буде
( )
2
*
1 0
T0 0 0
0
0
t
t X
H H H d pF p T u f u
p T dtu
+
∂ ∂ ∂ δ = ⋅δ + δ + ⋅⋅δ ∇ ⊗ + δ − ⋅ + ∂ ∂ ∂∇ ⊗
∫ ∫
( ) ( )
* *
0 0
0
0 0 02 2n sn
X X
d p f u dV u T П d dt u p dV
dt
+ + + +
∂
+ − ⋅δ − σ ⋅δ − ⋅δ Σ − ⋅δ
∫ ∫ . (2)
Праву частину співвідношення (2) можна подати так
2
*
1 0
0 0 0
0 0
0
ˆ
t
T
V
t X
H H HF C T v p u dV
T p u
∂ ∂ ∂ δ = − ⋅δ + − ⋅δ + −σ ⋅⋅δ∇ ⊗ + ∂ ∂ ∂∇ ⊗
∫ ∫
( ) ( )
*
0
0 0
0n n s
X
u T T П n d dt+ +
∂
+ σ − σ ⋅δ + − δ ⋅ Σ +
∫
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
*
0
02 2 2 1 1
X
u u p u p dV+ + − ⋅δ − ⋅δ ∫ . (3)
При цьому використано рівняння балансу ентропії за відсутності зовнішніх
джерел тепла
0 0 0
0 s s
TdS J J
dt T
∇
= −∇ ⋅ + ⋅ −
, (4)
а також енергетичне співвідношення для теплових процесів δq0 = CV dT та відпо-
відне до другого закону термодинаміки подання δq0 = TdS. Тут CV — питома
теплоємність за сталого питомого об’єму, q0 — кількість тепла. Одержані
результати дозволяють записати наступні співвідношення
( ) ( )0 0
0 0V s sC dT TdS T J T J dt = = − ∇ ⋅ + −∇ ⋅ ≡
( ) ( ) ( )0 0 0s s sT dП T dП TdП≡ − ∇ ⋅ + −∇ ⋅ = −∇ ⋅ .
Приймаємо також, що ( )0 s VT П C T∇ ⋅ δ = − δ .
Необхідною умовою мінімуму функціонала Гамільтона є рівність нулю його
першої варіації 0, , 0F T p u δ ∇ ⊗ = . Якщо врахувати незалежність допустимих
Ярослав Бурак, Галина Мороз
Енергетичні та термодинамічні аспекти математичного моделювання…
14
варіацій Tδ , pδ , ( )0
T
uδ ∇ ⊗ , то з необхідної умови мінімуму функціонала (3)
отримаємо визначальні співвідношення (рівняння Гамільтона)
( )0, ,
V
H T p u
C
T
∂ ∇ ⊗
=
∂
,
( )0, ,H T p u
v
p
∂ ∇ ⊗
=
∂
,
( )0
0
, ,
ˆ
H T p u
u
∂ ∇ ⊗
σ =
∂∇ ⊗
, (5)
граничні умови на поверхні тіла
0
n nX
+
∂σ = σ ,
0XT T +
∂ = (6)
та граничні умови в часовому проміжку [t1, t2]
( )
1
1 0
t t
u
=
= , ( ) ( )
2
2 2t t
u u+
=
= . (7)
У зв’язку з виконанням рівнянь Гамільтона (5) в області тіла маємо наступ-
ну диференціальну 1-форму
( ) ( )0 0 0ˆ, ,
T
VdH T p u C dT v dp d u∇ ⊗ = + ⋅ + σ ⋅⋅ ∇ ⊗ , (8)
яка є повним диференціалом функції Гамільтона ( )0 0, ,H T p u∇ ⊗ .
Достатньою умовою мінімуму функціонала Гамільтона (1) є умова його
опуклості
( ) ( ) ( ) ( )
2
* *
1 0 0
2 0
0 02 2 1 1 0
t
n sn
t X X
F u T П d dt u p u p dV
∂
δ = δσ ⋅δ −δ ⋅δ Σ + δ ⋅δ −δ ⋅δ ≥
∫ ∫ ∫ .
Ця умова може бути подана так
( ) ( )
2
*
1 0
2
0 0 0 0 0ˆ ˆ2
t
T
V
t X
F v p C T u u dV dt
δ = δ ⋅δ + δ ⋅δ + δσ ⋅⋅ ∇ ⊗δ + ∇ ⋅δσ ⋅δ ≡
∫ ∫
( ) ( )
2
*
1 0
2
0 0 0 0ˆ, , 2 0
t
t X
H p T u u dV dt
≡ δ ∇ ⊗ + ∇ ⋅δσ ⋅δ ≥
∫ ∫ . (9)
Відзначимо, що за достатні умови опуклості функціонала Гамільтона
можна прийняти, зокрема, і такі
( )
2
*
1 0
2
0 0, , 0
t
t X
H p T u dV dt
δ ∇ ⊗ >
∫ ∫ , ( )
2
*
1 0
0 0 0ˆ 0
t
t X
udV dt
∇ ⋅δσ ⋅δ ≥
∫ ∫ . (10)
Визначальні фізичні рівняння (5), граничні умови (6), (7) і достатні умови
опуклості функціонала (10) складають повну систему співвідношень енергетич-
ного опису динамічних дисипативних процесів у термопружних системах.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 8, 11-18
15
2. Термодинамічний опис. Базові співвідношення моделі
Для локального опису термомеханічних процесів за вихідну приймемо диферен-
ціальну 1-форму (8), яка отримана на основі використання енергетичного підходу
для довільної фізично малої підсистеми K Kδ ⊂ . Цій диференціальній 1-формі
для дисипативних процесів відповідає наступне енергетичне співвідношення
( ) ( ) ( )0 0 0 0ˆ ˆ, ,
T
VdH T p u C dT d u f du+∇ ⊗ = + σ ⋅⋅ ∇ ⊗ + ∇ ⋅σ + ⋅ . (11)
Згідно з законом збереження енергії маємо таке балансове співвідношення [5]
( )1
0V QC dT d J dt−= − ρ −∇ ⋅P . (12)
Тут P — тиск; 1 V−ρ ≡ — питомий об’єм; QJ — потік тепла.
Якщо додатково використати базове термодинамічне рівняння Q sJ TJ= , то
співвідношення (12) набуде вигляду
( ) ( )1
0 0V s sC dT d T J T J dt− = − ρ + − ∇ ⋅ + −∇ ⋅ P . (13)
У зв’язку з цим енергетичне співвідношення (11) запишемо так
( ) ( ) ( )( )1
0 0 0 * 0ˆ ˆ ˆ ˆ
Ta
dH d de f du d u− += − ρ + σ ⋅⋅ + ∇ ⋅σ + ⋅ + σ ⋅ ⋅ ∇ ⊗ +P
( ) ( )0 0s sT J T J dt + −∇ ⋅ + −∇ ⋅ . (14)
Тут ( )0 0ˆ 2e u u= ∇ ⊗ + ⊗∇ — симетричний тензор деформації; ( )0
a
u∇ ⊗ =
( )0 0 2u u= ∇ ⊗ − ⊗∇ — антисиметрична частина тензора градієнта переміщення;
0σ̂ , *σ̂ — симетрична й антисиметрична частини тензора напружень Піоли-Кірх-
гофа першого роду.
Згідно з другим законом термодинаміки для нерівноважних процесів рів-
няння балансу ентропії (4) набуває вигляду
0 s s
dS J
dt
= −∇ ⋅ + σ . (15)
Тут 0sσ ≥ — виникнення ентропії, яке зумовлене дисипативними процесами [5]
у термопружному тілі.
З урахуванням (15) рівняння балансу енергії (14) буде
( )1
0 0ˆ ˆdH TdS d de−= − ρ + σ ⋅ ⋅ +P
( ) ( )( ) ( )0 * 0 0ˆ ˆ
a
s sT f v v T J dt+ + − σ + ∇ ⋅σ + ⋅ + −σ ⋅⋅ ∇ ⊗ + −∇ ⋅
. (16)
Ярослав Бурак, Галина Мороз
Енергетичні та термодинамічні аспекти математичного моделювання…
16
Надалі використаємо базове твердження термодинамічного опису дефор-
мівних систем про те, що в межах фізично малої підсистеми термодинамічні
процеси є рівноважні [6, 10] dH0 = dU. У підсумку дістаємо такі базові рівняння
моделі для опису дисипативних систем
( )1
0ˆ ˆdU TdS d de−= − ρ + σ ⋅⋅P , 1
0ˆ ˆU TS e−= − ρ + σ ⋅⋅P ; (17)
( ) ( ) ( )0 * 0 0ˆ ˆ
a
s sf v v T J T+ σ = ∇ ⋅σ + ⋅ − σ ⋅⋅ ∇ ⊗ + −∇ ⋅
. (18)
Одержані результати є визначальні як для модельного опису локального
термодинамічного стану, так і дисипативних процесів.
2.1. Співвідношення локального термодинамічного стану. Для опису локаль-
ного термодинамічного стану за вихідну приймаємо диференціальну 1-форму (17)
( )1
0ˆ ˆdU TdS d de−= − ρ + σ ⋅ ⋅P .
Якщо функція внутрішньої енергії ( )1 ˆ, ,U U S e−= ρ відома, то одержуємо
такі рівняння локального термодинамічного стану
( )*T U S T B= ∂ ∂ ≡ , ( )1
*U B−− = ∂ ∂ρ ≡ −P P , ( )0 0 *ˆ ˆ ˆd d dU e Bσ = ∂ ∂ ≡ σ ,(19)
де ( )1
* ˆ, ,B S e−= ρ .
Якщо ввести хімічний потенціал
( )
0
0 02 2
0 0
1 1
1 e
ρ µ = − σ ≡ −σ ρ ρ ρρ −
PP [4],
то диференціальній 1-формі (17) можна поставити у відповідність наступну
0ˆ ˆd ddU TdS d de= + µ ρ + σ ⋅⋅ . (20)
Тоді відповідні рівняння локального термодинамічного стану запишемо так
( )*T U S T B= ∂ ∂ ≡ , ( ) ( )1
*0 U e B−µ = ρ ∂ ∂ ≡ µ , ( )0 0 *ˆ ˆ ˆd d dU e Bσ = ∂ ∂ ≡ σ ,
де ( )* ˆ, , dB s e= ρ .
2.2. Дисипативний потенціал. Перехід термопружного тіла К від вихідного рів-
новажного термодинамічного стану до відповідного неоднорідного стаціонарного
стану в системі * *K K +∪ є потенціальний. Оскільки такий перехід пов’язаний
із виникненням ентропії, то за дисипативний потенціал приймаємо
0
t
s
t
F dt′= σ∫ . (21)
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 8, 11-18
17
Для потенціалу F маємо таку диференціальну 1-форму
( ) ( ) ( ) ( )0 * 0 0ˆ ˆ
a
sdF f du d u T dП T+ = ∇ ⋅σ + ⋅ + −σ ⋅ ⋅ ∇ ⊗ + −∇ ⋅
. (22)
Тут
( ) ( )
0 0 0
0 0, ,
t t ta a
s s
t t t
u vdt u v dt П J dt′ ′ ′= ∇ ⊗ = ∇ ⊗ =∫ ∫ ∫ . (23)
Якщо дисипативний потенціал ( )( )0, ,
a
sF F u u П= ∇ ⊗ заданий, то з дифе-
ренціальної 1-форми (22) отримуємо структуру визначальних співвідношень для
опису дисипативних процесів
( )0 **ˆ f T B u+∇ ⋅σ + = ∂ ∂F ,
( ) ( )* ** 0ˆ
a
T B uσ = − ∂ ∂ ∇ ⊗F ,
( )0 ** sT T B П−∇ = ∂ ∂F . (24)
Тут ( )( )** 0, ,
a
sB u u П= ∇ ⊗ .
Одержані співвідношення локального термодинамічного стану (19) і диси-
пативних процесів (24) є базові для постановки та розв’язування відповідних
крайових задач математичної фізики.
Висновки. У роботі запропоновано підхід і методику побудови математичних моде-
лей термомеханіки деформівних пружних систем на основі як енергетичного, так і
термодинамічного підходів за урахування дисипативних ефектів. Одержані результати
є базові для постановки та розв’язування відповідних крайових задач термомеханіки.
Література
[1] Бурак Я. Й. Математична модель потенціального опису нелінійних пружних сис-
тем // Доп. НАН України.— 1995. — № 2. — С. 41-49.
[2] Бурак Я. И., Мороз Г. И. Вариационная постановка и исследование краевых задач
нелинейной теории пластин с использованием энергетического подхода // РАН.
Прикладная математика и механика. — Т. 67, вып. 6. — 2003. — С. 977-985.
[3] Бурак Я., Мороз Г. Энергетический подход к формулированию краевых задач
нелинейной термомеханики упругих систем // Прикладная механика. — 2005. —
№ 9. — С. 52-59.
[4] Бурак Я., Чапля Є. Про термодинамічні аспекти приповерхневих явищ в термопруж-
них системах // Фіз.-хім. механіка матеріалів. — 2006. — Т. 42, № 1. — С. 39-44.
[5] Гиббс Дж. В. Термодинамика. Статистическая механика. — Москва: Наука, 1982. —
584 с.
[6] Гріффітс А. А. Явища розриву і течіння в твердих тілах // Фіз.-хім. механіка мате-
ріалів. — 1993. — Т. 29, № 3. — С. 13-42.
Ярослав Бурак, Галина Мороз
Енергетичні та термодинамічні аспекти математичного моделювання…
18
[7] Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. — Москва: Мир, 1964. — 456 с.
[8] Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные прин-
ципы. — Москва: Мир, 1974. — 304 с.
[9] Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. — Москва: Наука, 1980. — 512 с.
[10] Коваленко А. Д. Основы термоупругости. — Киев: Наук. думка, 1970. — 309 с.
[11] Подстригач Я. С. , Швец Р. Н. Термоупругость тонких оболочек. — Киев: Наук.
думка, 1978. — 344 с.
The energy and thermodynamic aspects of mathematical modeling
of thermomechanical processes in deformable thermoelastic
bodies with account of the dissipative effects
Yaroslav Burak, Halyna Moroz
The energy and thermodynamic approaches are proposed for constructing the mathematical mo-
dels for description of thermomechanical processes in deformable thermoelastic dissipative sys-
tems. On this basis the constitutive equations of the local thermodynamical state and description
of dissipative processes are formulated. The obtained relationships are basic ones for formulation
and solving of the corresponding initial-boundary value problems.
Энергетические и термодинамические аспекты
математического моделирования термомеханических
процессов в деформируемых термоупругих телах
с учетом диссипативных эффектов
Ярослав Бурак, Галина Мороз
Предложены энергетический и термодинамический подходы к построению математических
моделей для описания термомеханических процессов в упругих деформируемых диссипативных
системах. На этом основании получены соотношения локального термодинамического со-
стояния и описания диссипативных процессов, являющиеся исходными для формулирования
и решения соответствующих краевых задач.
Отримано 24.06.08
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-21900 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1816-1545 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-27T20:56:13Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бурак, Я. Мороз, Г. 2011-06-20T07:26:10Z 2011-06-20T07:26:10Z 2008 Енергетичні та термодинамічні аспекти математичного моделювання термомеханічних процесів у деформівних термопружних тілах з урахуванням дисипативних ефектів / Я. Бурак, Г. Мороз // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 8. — С. 11-18 — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21900 539.3 Запропоновано енергетичний і термодинамічний підходи до побудови математичних моделей для опису термомеханічних процесів у пружних деформівних дисипативних системах. На цій основі отримано співвідношення як для опису локального термодинамічного стану, так і дисипативних процесів, які є базовими для постановки та розв’язування відповідних крайових задач. The energy and thermodynamic approaches are proposed for constructing the mathematical models for description of thermomechanical processes in deformable thermoelastic dissipative systems. On this basis the constitutive equations of the local thermodynamical state and description of dissipative processes are formulated. The obtained relationships are basic ones for formulation and solving of the corresponding initial-boundary value problems. Предложены энергетический и термодинамический подходы к построению математических моделей для описания термомеханических процессов в упругих деформируемых диссипативных системах. На этом основании получены соотношения локального термодинамического состояния и описания диссипативных процессов, являющиеся исходными для формулирования и решения соответствующих краевых задач. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Енергетичні та термодинамічні аспекти математичного моделювання термомеханічних процесів у деформівних термопружних тілах з урахуванням дисипативних ефектів The energy and thermodynamic aspects of mathematical modeling of thermomechanical processes in deformable thermoelastic bodies with account of the dissipative effects Энергетические и термодинамические аспекты математического моделирования термомеханических процессов в деформируемых термоупругих телах с учетом диссипативных эффектов Article published earlier |
| spellingShingle | Енергетичні та термодинамічні аспекти математичного моделювання термомеханічних процесів у деформівних термопружних тілах з урахуванням дисипативних ефектів Бурак, Я. Мороз, Г. |
| title | Енергетичні та термодинамічні аспекти математичного моделювання термомеханічних процесів у деформівних термопружних тілах з урахуванням дисипативних ефектів |
| title_alt | The energy and thermodynamic aspects of mathematical modeling of thermomechanical processes in deformable thermoelastic bodies with account of the dissipative effects Энергетические и термодинамические аспекты математического моделирования термомеханических процессов в деформируемых термоупругих телах с учетом диссипативных эффектов |
| title_full | Енергетичні та термодинамічні аспекти математичного моделювання термомеханічних процесів у деформівних термопружних тілах з урахуванням дисипативних ефектів |
| title_fullStr | Енергетичні та термодинамічні аспекти математичного моделювання термомеханічних процесів у деформівних термопружних тілах з урахуванням дисипативних ефектів |
| title_full_unstemmed | Енергетичні та термодинамічні аспекти математичного моделювання термомеханічних процесів у деформівних термопружних тілах з урахуванням дисипативних ефектів |
| title_short | Енергетичні та термодинамічні аспекти математичного моделювання термомеханічних процесів у деформівних термопружних тілах з урахуванням дисипативних ефектів |
| title_sort | енергетичні та термодинамічні аспекти математичного моделювання термомеханічних процесів у деформівних термопружних тілах з урахуванням дисипативних ефектів |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21900 |
| work_keys_str_mv | AT burakâ energetičnítatermodinamíčníaspektimatematičnogomodelûvannâtermomehaníčnihprocesívudeformívnihtermopružnihtílahzurahuvannâmdisipativnihefektív AT morozg energetičnítatermodinamíčníaspektimatematičnogomodelûvannâtermomehaníčnihprocesívudeformívnihtermopružnihtílahzurahuvannâmdisipativnihefektív AT burakâ theenergyandthermodynamicaspectsofmathematicalmodelingofthermomechanicalprocessesindeformablethermoelasticbodieswithaccountofthedissipativeeffects AT morozg theenergyandthermodynamicaspectsofmathematicalmodelingofthermomechanicalprocessesindeformablethermoelasticbodieswithaccountofthedissipativeeffects AT burakâ énergetičeskieitermodinamičeskieaspektymatematičeskogomodelirovaniâtermomehaničeskihprocessovvdeformiruemyhtermouprugihtelahsučetomdissipativnyhéffektov AT morozg énergetičeskieitermodinamičeskieaspektymatematičeskogomodelirovaniâtermomehaničeskihprocessovvdeformiruemyhtermouprugihtelahsučetomdissipativnyhéffektov |