Комп’ютерне моделювання локально нелінійних задач на основі методу декомпозиції області

Розглянуто гетерогенну математичну модель теорії пластичності та теорії пружності. Запропоновано чисельний спосіб розв’язування локально нелінійних задач методом декомпозиції області. Для моделювання нелінійної поведінки матеріалу використано співвідношення теорії пластичного течіння Губера-Мізеса,...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Datum:	2009
Hauptverfasser:	Дияк, І., Макар, І.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainisch
Veröffentlicht:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2009
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21908
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Комп’ютерне моделювання локально нелінійних задач на основі методу декомпозиції області / І. Дияк, І. Макар // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 9. — С. 55-66. — Бібліогр.: 13 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859899965497671680
author	Дияк, І. Макар, І.
author_facet	Дияк, І. Макар, І.
citation_txt	Комп’ютерне моделювання локально нелінійних задач на основі методу декомпозиції області / І. Дияк, І. Макар // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 9. — С. 55-66. — Бібліогр.: 13 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
description	Розглянуто гетерогенну математичну модель теорії пластичності та теорії пружності. Запропоновано чисельний спосіб розв’язування локально нелінійних задач методом декомпозиції області. Для моделювання нелінійної поведінки матеріалу використано співвідношення теорії пластичного течіння Губера-Мізеса, які дискретизовано методом скінченних елементів. Наближений розв’язок нелінійної задачі знайдено методом Ньютона-Рафсона. У підобластях, в яких напружено-деформований стан описується лінійною теорією пружності, застосовано симетричний варіант прямого методу граничних елементів. Поєднання двох методів здійснено за допомогою ітераційних схем методу декомпозиції області. У роботі наведено результати чисельного експерименту, який демонструє працездатність розробленого алгоритму й ефективність створеного програмного забезпечення для розв’язування пружно-пластичних задач. heterogeneous model of the theory of plasticity and the theory of elasticity is considered. Numerical method for solving locally nonlinear problems by the domain decomposition method is proposed. Nonlinear material behavior is modeled using Huber-Mises flow theory of plasticity. The finite element method and the Newton-Raphson procedure are used to solve nonlinear problem. Symmetric Galerkin boundary element method is utilized in linear elastic subdomains. Coupling of both methods is performed by iterative schemes of the domain decomposition method. Numerical experiment is included to demonstrate the operability of proposed algorithm and the effectiveness of developed computer program for solving elastic-plastic problems. Рассмотрена гетерогенная математическая модель теории пластичности и теории упругости. Предлагается численный способ решения локально нелинейных задач методом декомпозиции области. Для моделирования нелинейного поведения материала использованы соотношения теории пластического течения Губера-Мизеса, для дискретизации которых используется метод конечных элементов. Приближенное решение нелинейной задачи получено методом Ньютона-Рафсона. В подобластях, где напряженно-деформированное состояние описывается уравнениями линейной теории упругости, применяется симметрический вариант прямого метода граничных элементов. Объединение обеих методов осуществляется с помощью итерационных схем метода декомпозиции области. В работе приведены результаты численного эксперимента, демонстрирующего работоспособность разработанного алгоритма и эффективность созданного программного обеспечения решения задач упругопластичности.
first_indexed	2025-12-07T15:56:22Z
format	Article
fulltext	55 Комп’ютерне моделювання локально нелінійних задач на основі методу декомпозиції області Іван Дияк1, Ігор Макар2 1 к. ф.-м. н., Львівський національний університет імені Івана Франка, вул. Університетська, 1, Львів, e-mail: dyyak@lnu.edu.ua 2 Львівський національний університет імені Івана Франка, вул. Університетська, 1, Львів, e-mail: i_makar@lnu.edu.ua (Представлено професором Я. Савулою) Розглянуто гетерогенну математичну модель теорії пластичності та теорії пружності. Запропоновано чисельний спосіб розв’язування локально нелінійних задач методом декомпо- зиції області. Для моделювання нелінійної поведінки матеріалу використано співвідношення теорії пластичного течіння Губера-Мізеса, які дискретизовано методом скінченних елемен- тів. Наближений розв’язок нелінійної задачі знайдено методом Ньютона-Рафсона. У під- областях, в яких напружено-деформований стан описується лінійною теорією пружності, застосовано симетричний варіант прямого методу граничних елементів. Поєднання двох методів здійснено за допомогою ітераційних схем методу декомпозиції області. У роботі наведено результати чисельного експерименту, який демонструє працездатність розроб- леного алгоритму й ефективність створеного програмного забезпечення для розв’язування пружно-пластичних задач. Ключові слова: метод декомпозиції області, прямий симетричний метод граничних елементів, метод скінченних елементів, пластичність, метод Ньютона-Рафсона. Вступ. Комбіновані методи скінченних (МСЕ) та граничних елементів (МГЕ) — один із найпопулярніших напрямків досліджень у сучасній комп’ютерній механі- ці [1, 4, 9, 11-13]. Кожен із методів має свої характерні переваги та недоліки, що зумовлюють область його застосування. МСЕ ефективний для дослідження неод- норідних об’єктів і нелінійних задач, тоді як МГЕ має переваги при розв’язуванні задач для необмежених областей і областей із великими градієнтами функції, що апроксимується. МГЕ ефективніший, з точки зору обчислювальних затрат, завдяки дискретизації лише границі області, та точніший, оскільки апроксимують лише граничні умови, а диференціальні рівняння всередині області задовольняють точно, внаслідок використання фундаментальних розв’язків. Відтак, для розв’язування задач, які містять підобласті з різними фізичними чи геометричними характерис- тиками та властивостями, доцільно використовувати комбіновані методи скінчен- них і граничних елементів у рамках однієї чисельної моделі, що поєднує переваги обох методів. Це здійснюють шляхом декомпозиції розглядуваної області на де- кілька підобластей із врахуванням специфіки геометрії та фізико-механічних влас- тивостей. На межі підобластей задають умови ідеального механічного контакту. УДК 17.958:519.65 Іван Дияк, Ігор Макар Комп’ютерне моделювання локально нелінійних задач на основі методу декомпозиції області 56 Найчастіше використовують два основні способи реалізації методу деком- позиції області (МДО), тобто методів поділу області без накладання. Прямі методи [7, 11] передбачають формування єдиної глобальної системи рівнянь для загальної області. Альтернативою є побудова ітераційних алгоритмів [1, 8, 9], у яких рівняння для підобластей розв’язуються окремо. Впродовж ітераційного процесу, граничні умови на спільній межі підобластей оновлюються, доки не виконається умова збіжності [1]. У статтях [1, 9] досліджено ефективність скінченно-граничноелементних ітераційних схем МДО для задач теорії пружності. У праці [4] розглянуто гетеро- генну чисельну схему для задач пластичності, які розв’язуються методом змін- них пружних параметрів. Метою цієї роботи є використання чисельних алгорит- мів на основі МДО для розв’язування задач із врахуванням фізичної нелінійності матеріалу на основі теорії течіння [2]. Скінченно-елементна модель задачі теорії пластичного течіння побудована з використанням методу Ньютона-Рафсона. У підобластях із пружними характеристиками застосовано симетричний варіант прямого методу граничних елементів. Реалізовано послідовну схему Діріхле- Неймана [9], яка є найзручнішою для врахування природи обох методів. Наведено результати чисельного експерименту. 1. Метод декомпозиції області МДО дозволяє застосовувати різні чисельні методи для окремих підобластей, ви- користовувати переваги паралельних обчислень і технології об’єктно-орієнтова- ного програмування, що робить цей підхід одним із найефективніших для розв’я- зування складних різномасштабних задач [11-13]. У даній роботі використано ітераційні схеми МДО [1, 8, 9] для розв’язуван- ня пружно-пластичних задач із використанням скінченно-граничноелементних апроксимацій. У такій гетерогенній чисельній моделі МСЕ використовується у підобластях із високою концентрацією напружень, де є прогнозоване пластичне течіння матеріалу. Для підобластей, у яких напружено-деформований стан опи- сується лінійною теорією пружності, застосовується симетричний варіант прямо- го МГЕ. Такий підхід є ефективний, оскільки забезпечує використання переваг кожного з методів у своїй підобласті. Рис.1. Поділ області на підобласті для МСЕ та МГЕ x2 x1 ΩBx ΓB S ΓF ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2009, вип. 9, 55-66 57 Розглядаємо задачу гетерогенного моделювання, в якій для підобласті ΩF використовуємо співвідношення теорії пластичного течіння, а для ΩB — граничні інтегральні рівняння теорії пружності (рис. 1). На спільній границі S задано умо- ви ідеального механічного контакту. Застосувавши МСЕ та СПМГЕ до розв’язу- вання задач у ΩF та ΩB, відповідно, на кожній ітерації МДО знаходимо нев’язки переміщень (чи напружень) на S і задаємо нові граничні умови для підобластей. Процес продовжується до досягнення бажаної точності. На рис. 2 наведено блок-схему алгоритму розв’язування задач про плас- тичну деформацію об’єкта з використанням послідовної схеми Діріхле-Неймана МДО [9]. Зауважимо, що підобласті для МСЕ та МГЕ є визначені апріорі. У роботах [1, 13] досліджено збіжність ітераційних схем МДО, запропоно- вано способи вибору параметра релаксації αk. 2. Скінченно-елементна модель для задачі теорії пластичного течіння. Метод Ньютона-Рафсона Для моделювання фізично нелінійної поведінки розглядаємо деформівне тверде тіло, яке займає область 2 F RΩ ⊂ із границею ΓN і перебуває під дією масових f і поверхневих h сил, що спричиняють внутрішні напруження σ, переміщення δd та деформації δε. За принципом віртуальних робіт [10] маємо 0 F F N T T T F F Nd d d Ω Ω Γ δ Ω − δ Ω − δ Γ =∫ ∫ ∫ε σ d f d h . (1) Розв’язування крайової задачі ПСМГЕ в ΩB та знаходження зусилля k Bp на S Ні Розв’язування крайової задачі МСЕ в ΩF і знаходження переміщення k Fu на S Задання нових граничних умов на S ( )1 , : 1k k k k B B k B F k k+ = − α − = +u u u u Умова збіжності ? k k k B F B− ≤ εu u u Так Задання початкового наближення для переміщень на S 0 0: 0, ,B Bk x S= = ∈u u Кінець Рис. 2. Схема Діріхле-Неймана МДО Іван Дияк, Ігор Макар Комп’ютерне моделювання локально нелінійних задач на основі методу декомпозиції області 58 Застосувавши апроксимацію МСЕ, отримаємо ( ) 0 F N T T T T T F Nd d Ω Γ δ − Ω − δ Γ =∫ ∫u B σ N f u N h , (2) де ,δ = δ δ = δd N u ε B u , N — матриця базисних функцій, B — матриця диферен- ціювання переміщень. Оскільки (2) виконується для довільних Tδu , то 0 F F N T T T F F Nd d d Ω Ω Γ    Ω − Ω + Γ =     ∫ ∫ ∫B σ N f N h . (3) Внаслідок фізичної нелінійності матеріалу, напруження σ є, взагалі кажу- чи, нелінійна функція деформацій ε і, як наслідок, рівняння рівноваги (3) є нелі- нійні. У теорії пластичного течіння приймають лінійний зв’язок між нескінченно малими приростами напружень і деформацій [2, 3, 10] epd d=σ D ε , (4) де Dep — матриця пружно-пластичності, вигляд якої сконкретизуємо нижче. Роз- глядаємо асоціативний закон пластичного течіння з використанням умови плас- тичності фон Мізеса. Поверхня течіння описується функцією Мізеса [3] 2 2( ) 3 0yf J= − σ =σ , (5) де J2 — другий інваріант девіатора тензора напружень; σy — напруження течіння, відоме для конкретного матеріалу. За виконання рівності (5) у даній точці тіла виникають пластичні деформації. Для пружної області ( ) 0f <σ . Дослідження проведено без урахування зміцнення матеріалу. Побудова аналітичних розв’язків задач про пластичне течіння у загальному випадку є надзвичайно складна проблема. На відміну від пружного, пластичний стан матеріалу залежить не лише від значення кінцевої величини навантаження, а також від всієї передісторії навантаження. У пластичній області приріст повної деформації складається з приросту пружної та пластичної деформацій [8], тобто e pd d d= +ε ε ε . (6) Приймаємо, що пружні деформації задовольняють співвідношення закону Гука: ed d=ε E σ , де E — матриця пружності. Приріст пластичних деформацій визначається рівняннями асоціативного закону течіння [3] p fd d ∂ = λ ∂ ε σ , (7) де dε p — приріст пластичних деформацій, dλ — пластичний множник. Напрямок пластичного течіння «асоціюється» з поверхнею течіння, а саме — є перпендику- ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2009, вип. 9, 55-66 59 лярний до f(σ) = 0. Пластичний множник dλ визначаємо з умови сумісності 0 Tfdf d∂ = = ∂  σ σ . Використавши (7) і (6), можна записати T epT f f d d d f f  ∂ ∂       ∂ ∂    = − = ∂ ∂   ∂ ∂   E E σ σσ E ε D ε E σ σ . (8) Докладніше теорія пластичного течіння викладена у роботах [2, 3]. Для чисельного розв’язування задач теорії пластичного течіння найчастіше використовують ітераційні методи [8, 10], у яких послідовними наближеннями задовольняється умова рівноваги (3), записана у формі вектора нев’язки внутріш- ніх і зовнішніх сил ( )T T T int extd d d Ω Ω Γ   = Ω − Ω + Γ = −     ∫ ∫ ∫Ψ B σ N f N h F u F . (9) Напруження ( )=σ σ u є нелінійна функція переміщень. Застосуємо метод Ньютона-Рафсона до розв’язування нелінійного рівняння ( ) =Ψ u 0 . (10) Отримаємо ітераційний процес: 1i i i+ = + ∆u u u . Використавши (9), а також зв’язок між приростами напружень і деформацій (4), i∆u на i-ій ітерації визнача- ємо з рівняння i i i i T int ext∆ = − =K u F F Ψ , (11) де i T i T ep d Ω = Ω∫K B D B — матриця дотичної жорсткості. За знайденим прирос- том переміщень обчислюємо відповідні значення напружень у тілі. Це здійснює- мо за алгоритмом радіального повернення на поверхню течіння [10]. Еквівалент- ні внутрішні вузлові сили обчислюємо за формулою: 1 1i T i int d+ + Ω = Ω∫F B σ . Далі формується вектор нев’язки 1i+Ψ . Норма вектора нев’язки 1i+Ψ повинна бути достатньо малою величиною для зупинки ітераційного процесу. Під час чисельного розв’язування практичних задач, як правило, розгляда- ють покроковий процес навантаження тіла силами fn та hn, де n — номер кроку. Процес починається з деякого рівноважного стану, за який природно вибирати стан нульових внутрішніх переміщень за відсутності зовнішніх сил. На кожному наступному кроці ітераційного процесу методу Ньютона-Рафсона визначаємо Іван Дияк, Ігор Макар Комп’ютерне моделювання локально нелінійних задач на основі методу декомпозиції області 60 внутрішні переміщення та напруження, які відповідають рівноважному стану системи. Чисельні експерименти підтверджують, що така процедура забезпечує збіжність методу Ньютона-Рафсона за невелику кількість ітерацій (3-4 ітерації для відносної точності εNR = 10 – 3). Описаний алгоритм розв’язування неліній- ної задачі зображено на рис. 3. У використаних позначеннях нижній індекс, n + 1, позначає номер кроку для зовнішніх сил, а верхній, i + 1 — номер ітера- ції методу Ньютона-Рафсона. Ініціалізація: 0 0 0, ,= = =u 0 σ 0 ε 0 Обчислення зовнішньої сили , 1 1 1 F N T T ext n n F n Nd d+ + +Ω Γ = Ω + Γ∫ ∫f N f N h Цикл для приросту зовн. навантажень n + 1 = 1, 2, … , NSTEP i = 1, 2, 3, … , MAXITER Обчислення внутрішньої сили , 1 1 F F i T i int n n dΩ+ +Ω = ∫f B σ Обчислення матриці дотичної жорстості , 1 1 F i T i T n ep n Fd+ +Ω = Ω∫K B D B Розв’язування: , 1 , 1 , 1 i i T n ext n int n+ + +∆ = ∆ = −K u f f f 1 1 1 i i n n + + += + ∆u u u Обчислення 1 1 i n + +σ Умова збіжності ? NR , 1 , 1 i ext n int n+ +− < εf f Ні Так Рис. 3. Алгоритм розв’язування нелінійної задачі методом Ньютона-Рафсона ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2009, вип. 9, 55-66 61 3. Симетричний прямий метод граничних елементів (СПМГЕ) Для розв’язування задачі лінійної теорії пружності розглянемо побудову симет- ричного варіанта прямого МГЕ. СПМГЕ є ефективний, оскільки приводить до СЛАР із симетричною матрицею. Граничне інтегральне рівняння для задачі теорії пружності має вигляд [11] ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ,k kj j kj ju G d F u d Γ Γ = τ −∫ ∫P P Q Q Q P Q Q Q , (12) де u j(Q) і τ j(Q) — переміщення та навантаження відповідно, U kj(P, Q) — фунда- ментальний розв’язок для переміщень, Т kj(P, Q) — фундаментальний розв’язок для зусиль, k, j = 1, 2. Граничне інтегральне рівняння (12) вірне для внутрішніх і граничних точок [11]. Продиференціюємо інтегральне рівняння для переміщень (12) відносно P, припустивши, що P є внутрішня точка ( ) ( ) ( ) ( ), , ( ) ,k L kjL j kjL ju S d W u d Γ Γ = τ −∫ ∫P P Q Q Q P Q Q Q , (13) де S kjL = G kj,L, W kjL = F kj,L , k, j, L = 1, 2. Граничне інтегральне рівняння для зусиль отримуємо з комбінації рівнянь (13) для часткових похідних від переміщень ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )k kj j kj jS u d W d Γ Γ τ = − τ∫ ∫P P Q Q Q P Q Q Q , (14) де S kj, W kj — лінійні комбінації S kjL і W kjL відповідно. Рівняння (14) є точне для внутрішніх точок P. У роботі [11] доведено його справедливість у випадку, якщо P∈Γ. Для розв’язування рівнянь (13) і (14) використаємо метод Бубнова-Гальор- кіна. За вагові функції вибираємо ті ж базисні функції iψ , що і для апроксимації переміщень і зусиль на границі. Отримаємо таку систему парних граничних інте- гральних рівнянь ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) 0, ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) 0. l k l kj j l kj j l k l kj j l kj j u d F u d d G d d d S u d d W d d Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ  ψ + ψ −   − ψ τ =   ψ τ + ψ −   − ψ τ =  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ P P P P Q Q Q P P Q Q Q P P P P P Q Q Q P P Q Q Q P (15) Для отримання симетричної матриці коефіцієнтів СЛАР перше рівняння в (15) використовуємо на частині границі Γu, де відомі переміщення, а друге — на частині границі Γτ, де задані зусилля. Вважаємо, що для коректно сформульо- ваної задачі ,u uτ τΓ = Γ + Γ Γ Γ =∅∩ . Іван Дияк, Ігор Макар Комп’ютерне моделювання локально нелінійних задач на основі методу декомпозиції області 62 Отриману систему інтегральних рівнянь запишемо у матричній формі Hu = Gτ або в блочному вигляді 11 12 11 12 21 22 21 22 bv bv        =                τH H u G G τH H u G G . (16) Перший рядок представляє граничні інтегральні рівняння (15), які визначені на Γu, другий — гіперсингулярні граничні інтегральні рівняння на Γτ. Індекс «bv» озна- чає, що величина є відома, а «» — шукана. Приведемо систему рівнянь (16) до вигляду Ax = b та домножимо гіперсингулярні рівняння на − 1. Маємо 11 1211 12 21 2121 22 * bv bv bv bv − +−      =      −−      H u G τG H τ H u G τG H u . (17) Завдяки симетричним властивостям ядер G, F, S, W й описаному вище способі дискретизації на основі методу Бубнова-Гальоркіна отримуємо симет- ричну матрицю коефіцієнтів ( )11 11 22 22 12 21, ,T T T= = =G G H H H G . Під час формування матриці СЛАР СМГЕ необхідно ефективно обчислю- вати подвійні гіперсингулярні інтеграли. Для їх обчислення використовуємо схе- ми чисельного інтегрування, які описано у [5]. 4. Результати чисельного експерименту Ітераційну схему МДО (рис. 2) застосовано до розв’язування задачі про плоску пластичну деформацію об’єкта, зображеного на рис. 4. Рівномірне нормальне на- вантаження p = 3 kH/м2. З лівого краю задано умови жорсткого защемлення. Механічні характеристики матеріалу: ν = 0,3; E = 21000 kH/м2; σ Т = 24 kH / м 2. Розв’язавши задачу теорії пластичного течіння в усій області Ω = Ω F ∪Ω B отримано розподіл пластичних зон. На рис. 5 зображено ізолінії величини 23 TJ σ , яка дорівнює одиниці в точці тіла, що перейшла в пластичний стан. Тут J2 — другий інваріант тензора девіатора напружень. Як видно, у пластичний стан переходить частина тіла з лівого краю. Тому, доцільно здійснити поділ області на ΩF та ΩB як показано на рис. 4. y 2 ΩF Рис. 4. Геометрична схема задачі p x10 1 ΩB ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2009, вип. 9, 55-66 63 За початкові наближення МДО вибиралися 0 .(0,0)T Bu = У підобласті ΩF ви- користовувалася скінченно-елементна сітка з 128 квадратичних трикутних еле- ментів, а в ΩB — сітка з 16 × 16 × 16 × 16 граничних елементів і лінійною апрок- симацією переміщень і зусиль. Для МДО вибрано відносну точність ε = 10 – 4, для методу Ньютона-Рафсона — εNR = 10 – 3. У МСЕ використано 256 квадратичних 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 x 0.2 0.4 0.6 0.8 y 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0,2 y x 0,6 1,0 1,4 1,8 Рис. 5. Розподіл пластичних зон ux x 0,0012 0,0008 0,0004 0 0 0,4 0,8 1,2 1,6 Рис. 6. Розподіл переміщення ux, y = 1 y σx 20 0 – 20 – 40 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Рис. 8. Розподіл напруження σx, x = 0,11 σxy y 0 0,2 0,4 0,6 0,8 – 12 – 8 – 4 0 4 Рис. 9. Розподіл напруження σxy, x = 0,11 uy Рис. 7. Розподіл переміщення uy, y = 1 – 0,001 – 0,002 – 0,003 – 0,004 – 0,005 0 0,4 0,8 1,2 1,6 x Іван Дияк, Ігор Макар Комп’ютерне моделювання локально нелінійних задач на основі методу декомпозиції області 64 трикутників у всій області Ω. На рис. 6 і 7 зображено графіки переміщень ux та uy у перетині y = 1, на рис. 8 і 9 — напружень σx і σxy у перетині x = 0,11. Наведені вище графіки засвідчують, що результати, отримані MДО та МСЕ, добре узгоджуються між собою. Крива на рис. 10 ілюструє збіжність ітераційного процесу МДО. Бачимо, що використана ітераційна схема МДО володіє стійким характером збіжності. Точність ε = 10 – 4 досягнуто за 19 ітерацій у разі статичного вибору параметра релаксації. Варто відзначити, що використання гетерогенної моделі дозволяє значно зменшити завантаженість оперативної пам’яті та цент- рального процесора при розв’язуванні задач про пластичне деформування [8]. Висновки. Гетерогенні математичні моделі дозволяють ефективно розв’язувати складні задачі математичної фізики, оскільки враховують специфічні фізичні та геометричні властивості підобластей, і використовують гібридні апроксимації різними чисельними методами. У роботі запропоновано розв’язування задач про пластичне деформування з використанням схем МДО. Наведений чисельний приклад підтверджує добру збіжність ітераційного процесу. Подальші дослі- дження буде спрямовано на вдосконалення обчислювальної ефективності алго- ритму МДО, який, у даному випадку, є значно трудомісткіший, ніж у випадку розв’язування задач теорії пружності, оскільки матриця дотичної жорсткості в МСЕ обчислюється декілька разів на кожній ітерації МДО в ході ітерацій методу Ньютона-Рафсона. Застосування змінного параметра релаксації ітераційного алго- ритму та передумовлювача дозволило б зменшити процесорний час виконання програми. 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 4 12 16 20 8 В ід но сн а по хи бк а М Д О Номер ітерації Рис. 10. Збіжність МДО ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2009, вип. 9, 55-66 65 Література [1] Дияк, І. Числова ефективність гібридних скінченно-граничноелементних апроксимацій задач теорії пружності на підставі методу декомпозиції області / І. Дияк, І. Макар, І. Прокопишин // Вісник Львівського університету. Сер. прикладна математика та інформатика. — 2007. — № 12. — С. 93-100. [2] Качанов, Л. М. Основы теории пластичности / Л. М. Качанов. — Москва: Наука, 1969. — 420 c. [3] Малинин, Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести / Н. Н. Малинин. — Москва: Машиностроение, 1975. — 400 с. [4] Савула, Я. Г. Гетерогенна чисельна схема методу декомпозиції області для дослідження за- дач пластичності / Я. Г. Савула, І. І. Дияк, O. І. Дудаш // Математичні методи та фіз.-мех. поля. — 2002. — T. 43. — С. 85-90. [5] Numerical Integration Schemes for Evaluation the (hyper) Singular Integrals in 2D BEM / A. Aimi, A. Carini, M. Diligenty, G. Monegato // Computational Mechanics. — 1998. — Vol. 22. — P. 1-12. [6] Dubois-Pelerin, Y. Object Oriented Finite Element Programming. III. An Efficient Implementation in C++ / Y. Dubois-Pelerin, T. Zimmermann // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 1993. — Vol. 108. — P. 165-183. [7] Elleithy, W. Analysis of Problems in Elasto-Plasticity via an Adaptive FEM-BEM Coupling Method / W. Elleithy // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2008. — Vol. 197, Issues 45-48. — P. 3687-3701. [8] Elleithy, W. M. Interface Relaxation FEM-BEM Coupling Method for Elasto-Plastic Analysis / W. M. Elleithy, M. Tanaka, A. Guzik // Engineering Analysis with Boundary Elements. — 2004. — Vol. 28, Issue 7. — P. 849-857. [9] El-Gebeily, M. Convergence of Domain Decomposition Finite Element-boundary Element Coup- ling Methods / M. El-Gebeily, W. Elleithy, H. J. Al-Gahtani // Computer Methods in Applied Mecha- nics and Engineering. — 2002. — Vol. 191. — P. 4851-4867. [10] Crisfield, M. A. Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures / M. A. Crisfield. — Chichester: John Wiley & Sons, 2000. — P. 362. [11] Hsiao, G. C. Hybrid Coupled Finite-boundary Element Methods for Elliptic Systems of Second Order / G. C. Hsiao, E. Schnack, W. L. Wendland // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2000. — Vol. 190. — P. 431-485. [12] Coupled Boundary and Finite Element Analysis of a Special Class of Two-dimensional Problems of the Theory of Elasticity / Y. Savula, H. Mang, I. Dyyak, N. Pauk // Computers & Structures. — 2000. — Vol. 75. — P. 157-165. [13] Toselli, A. Domain Decomposition Methods — Algorithms and Theory / A. Toselli, O. Widlund. — Berlin: Springer-Verlag, 2005. — P. 450. Computer modelling of locally nonlinear problems using domain decomposition method Ivan Dyyak, Ihor Makar A heterogeneous model of the theory of plasticity and the theory of elasticity is considered. Numerical method for solving locally nonlinear problems by the domain decomposition method is proposed. Nonlinear material behavior is modeled using Huber-Mises flow theory of plasticity. The finite ele- ment method and the Newton-Raphson procedure are used to solve nonlinear problem. Symmetric Galerkin boundary element method is utilized in linear elastic subdomains. Coupling of both methods is performed by iterative schemes of the domain decomposition method. Numerical experiment is included to demonstrate the operability of proposed algorithm and the effectiveness of developed computer program for solving elastic-plastic problems. Іван Дияк, Ігор Макар Комп’ютерне моделювання локально нелінійних задач на основі методу декомпозиції області 66 Компьютерное моделирование локально нелинейных задач на основе метода декомпозиции области Иван Дыяк, Игорь Макар Рассмотрена гетерогенная математическая модель теории пластичности и теории упру- гости. Предлагается численный способ решения локально нелинейных задач методом де- композиции области. Для моделирования нелинейного поведения материала использованы соотношения теории пластического течения Губера-Мизеса, для дискретизации которых используется метод конечных элементов. Приближенное решение нелинейной задачи полу- чено методом Ньютона-Рафсона. В подобластях, где напряженно-деформированное со- стояние описывается уравнениями линейной теории упругости, применяется симметрический вариант прямого метода граничных элементов. Объединение обеих методов осуществля- ется с помощью итерационных схем метода декомпозиции области. В работе приведены результаты численного эксперимента, демонстрирующего работоспособность разрабо- танного алгоритма и эффективность созданного программного обеспечения решения за- дач упругопластичности. Отримано 10.05.08
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-21908
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1816-1545
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T15:56:22Z
publishDate	2009
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
record_format	dspace
spelling	Дияк, І. Макар, І. 2011-06-20T07:37:17Z 2011-06-20T07:37:17Z 2009 Комп’ютерне моделювання локально нелінійних задач на основі методу декомпозиції області / І. Дияк, І. Макар // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 9. — С. 55-66. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21908 17.958:519.65 Розглянуто гетерогенну математичну модель теорії пластичності та теорії пружності. Запропоновано чисельний спосіб розв’язування локально нелінійних задач методом декомпозиції області. Для моделювання нелінійної поведінки матеріалу використано співвідношення теорії пластичного течіння Губера-Мізеса, які дискретизовано методом скінченних елементів. Наближений розв’язок нелінійної задачі знайдено методом Ньютона-Рафсона. У підобластях, в яких напружено-деформований стан описується лінійною теорією пружності, застосовано симетричний варіант прямого методу граничних елементів. Поєднання двох методів здійснено за допомогою ітераційних схем методу декомпозиції області. У роботі наведено результати чисельного експерименту, який демонструє працездатність розробленого алгоритму й ефективність створеного програмного забезпечення для розв’язування пружно-пластичних задач. heterogeneous model of the theory of plasticity and the theory of elasticity is considered. Numerical method for solving locally nonlinear problems by the domain decomposition method is proposed. Nonlinear material behavior is modeled using Huber-Mises flow theory of plasticity. The finite element method and the Newton-Raphson procedure are used to solve nonlinear problem. Symmetric Galerkin boundary element method is utilized in linear elastic subdomains. Coupling of both methods is performed by iterative schemes of the domain decomposition method. Numerical experiment is included to demonstrate the operability of proposed algorithm and the effectiveness of developed computer program for solving elastic-plastic problems. Рассмотрена гетерогенная математическая модель теории пластичности и теории упругости. Предлагается численный способ решения локально нелинейных задач методом декомпозиции области. Для моделирования нелинейного поведения материала использованы соотношения теории пластического течения Губера-Мизеса, для дискретизации которых используется метод конечных элементов. Приближенное решение нелинейной задачи получено методом Ньютона-Рафсона. В подобластях, где напряженно-деформированное состояние описывается уравнениями линейной теории упругости, применяется симметрический вариант прямого метода граничных элементов. Объединение обеих методов осуществляется с помощью итерационных схем метода декомпозиции области. В работе приведены результаты численного эксперимента, демонстрирующего работоспособность разработанного алгоритма и эффективность созданного программного обеспечения решения задач упругопластичности. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Комп’ютерне моделювання локально нелінійних задач на основі методу декомпозиції області Computer modelling of locally nonlinear problems using domain decomposition method Компьютерное моделирование локально нелинейных задач на основе метода декомпозиции области Article published earlier
spellingShingle	Комп’ютерне моделювання локально нелінійних задач на основі методу декомпозиції області Дияк, І. Макар, І.
title	Комп’ютерне моделювання локально нелінійних задач на основі методу декомпозиції області
title_alt	Computer modelling of locally nonlinear problems using domain decomposition method Компьютерное моделирование локально нелинейных задач на основе метода декомпозиции области
title_full	Комп’ютерне моделювання локально нелінійних задач на основі методу декомпозиції області
title_fullStr	Комп’ютерне моделювання локально нелінійних задач на основі методу декомпозиції області
title_full_unstemmed	Комп’ютерне моделювання локально нелінійних задач на основі методу декомпозиції області
title_short	Комп’ютерне моделювання локально нелінійних задач на основі методу декомпозиції області
title_sort	комп’ютерне моделювання локально нелінійних задач на основі методу декомпозиції області
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21908
work_keys_str_mv	AT diâkí kompûternemodelûvannâlokalʹnonelíníinihzadačnaosnovímetodudekompozicííoblastí AT makarí kompûternemodelûvannâlokalʹnonelíníinihzadačnaosnovímetodudekompozicííoblastí AT diâkí computermodellingoflocallynonlinearproblemsusingdomaindecompositionmethod AT makarí computermodellingoflocallynonlinearproblemsusingdomaindecompositionmethod AT diâkí kompʹûternoemodelirovanielokalʹnonelineinyhzadačnaosnovemetodadekompoziciioblasti AT makarí kompʹûternoemodelirovanielokalʹnonelineinyhzadačnaosnovemetodadekompoziciioblasti

Комп’ютерне моделювання локально нелінійних задач на основі методу декомпозиції області

Institution

Ähnliche Einträge