Контроль вимушених коливань круглих в’язкопружних пластинок за допомогою п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів з урахуванням вібророзігріву
Розглядається зв’язана задача про вимушені згинні коливання та дисипативний розігрів круглої в’язкопружної пластинки з п’єзоелектричними актуаторами та сенсорами. Враховується температурна залежність комплексних характеристик пасивного та п’єзоактивного матеріалів. Нелінійна задача розв’язується іте...
Saved in:
| Published in: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2009
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21909 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Контроль вимушених коливань круглих в’язкопружних пластинок за допомогою п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів з урахуванням вібророзігріву / І. Киричок, Т. Карнаухова // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 9. — С. 67-78. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860249259468652544 |
|---|---|
| author | Киричок, I. Карнаухова, Т. |
| author_facet | Киричок, I. Карнаухова, Т. |
| citation_txt | Контроль вимушених коливань круглих в’язкопружних пластинок за допомогою п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів з урахуванням вібророзігріву / І. Киричок, Т. Карнаухова // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 9. — С. 67-78. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| description | Розглядається зв’язана задача про вимушені згинні коливання та дисипативний розігрів круглої в’язкопружної пластинки з п’єзоелектричними актуаторами та сенсорами. Враховується температурна залежність комплексних характеристик пасивного та п’єзоактивного матеріалів. Нелінійна задача розв’язується ітераційним методом у поєднанні з чисельним методом дискретної ортогоналізації. Досліджується вплив температури дисипативного розігріву на показники електричного потенціалу сенсора за дії гармонічного поперечного тиску на пластинку й активне демпфування її резонансних коливань за допомогою п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів.
A coupled problem on the forced vibrations and dissipative heating of circular viscoelastic plate with piezoelectric sensors and actuators is considered. Complex characteristics of passive and piezoactive materials depend on the temperature. Nonlinear problem is solved by the iterative method, using of the numerical method of a discrete orthogonalization. The influence of dissipative heating temperature on the potential difference of the sensor under action of transverse harmonic pressure on the plate and active damping of its resonance vibrations by piezoelectric sensors and actuators is investigated.
Рассматривается связанная задача о вынужденных изгибных колебаниях и диссипативном разогреве круглой вязкоупругой пластины с пьезоэлектрическими актуаторами и сенсорами. Учитывается температурная зависимость комплексных характеристик пассивного и пьезоактивного материалов. Нелинейная задача решается итерационным по времени методом с использованием численного метода дискретной ортогонализации. Исследуется влияние температуры виброразогрева на показатели электрического потенциала сенсора при действии поперечного гармонического давления на пластину и на активное демпфирование ее резонансных колебаний с помощью пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:40:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
67
Контроль вимушених коливань
круглих в’язкопружних пластинок за допомогою
п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів
з урахуванням вібророзігріву
Іван Киричок1, Тетяна Карнаухова2
1 д. ф.- м. н., с. н. с., Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України, вул. Несторова, 3, Київ,
e-mail: Karn@inmech.kiev.ua
2 к. ф.-м. н., доцент, Національний технічний університет України «КПІ», пр. Перемоги, 37, Київ,
e-mail: Karn@inmech.kiev.ua
(Представлено доктором фіз.-мат. наук В. Кондратом)
Розглядається зв’язана задача про вимушені згинні коливання та дисипативний розігрів
круглої в’язкопружної пластинки з п’єзоелектричними актуаторами та сенсорами. Врахову-
ється температурна залежність комплексних характеристик пасивного та п’єзоактивного
матеріалів. Нелінійна задача розв’язується ітераційним методом у поєднанні з чисельним
методом дискретної ортогоналізації. Досліджується вплив температури дисипативного
розігріву на показники електричного потенціалу сенсора за дії гармонічного поперечного
тиску на пластинку й активне демпфування її резонансних коливань за допомогою п’єзо-
електричних сенсорів та актуаторів.
Ключові слова: кругла пластина, дисипативний розігрів, демпфування ко-
ливань, сенсори, актуатори.
Вступ. В останні роки у різних галузях сучасної техніки для демпфування стаціо-
нарних і нестаціонарних коливань тонкостінних елементів конструкцій, окрім
традиційного застосування покриттів із пасивних (без п’єзоефекту) дисипативних
матеріалів [2, 10], почали широко застосовувати активні способи з включенням
у конструктивний елемент компонентів із п’єзоелектричних матеріалів [13, 14].
П’єзоелектричні шари можуть покривати тонкостінний елемент або бути внут-
рішніми включеннями та служити актуаторами, до яких підводиться різниця
електричних потенціалів відповідної фази й амплітуди для компенсації механіч-
ного навантаження. Вони можуть бути також сенсорами, які дають інформацію
про інтенсивність механічних коливань. Для керування коливаннями до п’єзоак-
тивної системи підключають контури оберненого зв’язку. Варіанти математич-
ного моделювання визначальних співвідношень оберненого зв’язку приведені,
зокрема, у працях [5, 14]. Поряд із впливом структурно-конструктивних особли-
востей і властивостей матеріалу п’єзовключень одним із важливих факторів, що
впливають на ефективність керування коливаннями об’єкта та працездатність
п’єзоелектричних сенсорів і актуаторів, є температурні ефекти, які зумовлені
УДК 539.3
Іван Киричок, Тетяна Карнаухова
Контроль вимушених коливань круглих в’язкопружних пластинок ...
68
вібророзігрівом внаслідок дисипативних втрат у матеріалі або теплообміном із
зовнішнім середовищем [3, 5-9].
Метою цієї роботи є дослідження впливу температури дисипативного розі-
гріву на ефективність контролю вимушених згинних коливань в’язкопружних
круглих пластинок за допомогою п’єзоелектричних сенсорів і актуаторів із вра-
хуванням температурної залежності електромеханічних властивостей пасивного
та п’єзоактивного матеріалів.
1. Постановка задачі
Розглядається кругла пластинка товщини h і радіуса R, яка віднесена до цилінд-
ричної системи координат r, θ, z. Пластинка виготовлена з ізотропного в’язко-
пружного матеріалу. Її поверхні z = ± h / 2 жорстко скріплені з протилежно поля-
ризованими за товщиною п’єзоелектричними накладками однакової товщини δ
та радіуса r0 ≤ R. Зовнішні поверхні п’єзонакладок, а також внутрішні поверхні,
що межують із пасивним шаром, покриті нескінченно тонкими суцільними
електродами. На пластинку діє осесиметричний рівномірно розподілений уздовж
радіуса поверхневий тиск P = P0cos (ωt), який змінюється в часі t з коловою
частотою ω, близькою до власної частоти. Окрім того, якщо п’єзонакладки ви-
конують функції актуаторів, то до їх зовнішніх електродів підводиться різниця
електричних потенціалів ψ(h / 2 + δ) – ψ(– h / 2 – δ) = Re(2VAeiωt) із частотою меха-
нічного навантаження, де A A AV V iV′ ′′= + . Потенціал внутрішніх електродів дорівнює
нулю. Якщо п’єзонакладки є сенсорами, то на розімкнутих електродах виникає
різниця електричних потенціалів s sV iV′ ′′+ , обумовлена механічним навантаженням.
В’язкопружні властивості пасивного та п’єзоактивного матеріалів враховуються
комплексними модулями, які залежать від температури.
Моделювання електротермомеханічної поведінки пластинки ґрунтується
на гіпотезах Кірхгофа-Лява для механічних польових величин. Приймаємо, що в
площині пластинки компонентами векторів індукції Dr, Dθ та напруженості Er, Eθ
електричного поля можна знехтувати. При цьому з рівняння електростатики ви-
пливає, що компонента вектора індукції Dz у напрямку поляризації не залежить
від товщинної координати. Вважаємо, що температура дисипативного розігріву
постійна по товщині пластинки.
На основі прийнятих припущень у силу симетричності геометрії пластинки
та способу навантаження задача про електротермомеханічну поведінку пластинки
зводиться до розв’язування звичайних диференціальних рівнянь гармонічних
згинних коливань відносно комплексних амплітудних величин
( ) 2
0ˆ 0r
d rQ r w rP
dr
+ ρω + = , ( ) 0r r
d rM M rQ
dr θ− − = ; (1)
визначальних рівнянь для моментів
11 12r r EM D D Mθ= κ + κ + , 12 11r EM D D Mθ θ= κ + κ + ; (2)
виразів, що пов’язують амплітуди згинних деформацій і переміщень,
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 9, 67-78
69
, ,r
d dw
dr r drθ
ϑ ϑ
κ = κ = ϑ = − ; (3)
співвідношень електростатики
33 31 ,
2
A
z r
V hD b b θ
+ δ
= − + κ κ = κ + κ
δ
,
31
33
, ;
2 2 2 2 2
A
z
bV h h h h hE z z z
b
+ δ = − + ± κ − −δ ≤ ≤ − ≤ ≤ + δ δ
; (4)
усередненого за циклом коливань і товщиною пластинки рівняння теплопровідності
( )
2
2
21 1 1s
c
T T T T T W
a t r r H Hr
α∂ ∂ ∂
= + − − +
∂ ∂ λ λ∂
(5)
з дисипативною функцією
( ) ( )2 2 2 2
11 122
2 r r r rW D Dθ θ θ θ
ω ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′′ ′ ′ ′′ ′′= κ + κ + κ + κ + κ κ + κ κ +
( ) ( )2 2
31 332( ) 2 /A A A Ah b V V b V V ′′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ ′ ′′+ + δ κ + κ + + δ . (6)
Граничні механічні умови мають вигляд:
жорстке закріплення
0, 0w = ϑ = , якщо r R= ; (7)
шарнірне опирання
0, 0rw M= = , якщо r R= . (8)
Теплові граничні та початкові умови приймаємо такими
( )r
c
T T T
r
∂ α
= − −
∂ λ
, якщо r R= ; 0T T= , якщо 0t = . (9)
У рівняннях (1)-(9) введено позначення
( )
23
3 3 331
11 11 11 1 2
3312
E
D D
bhD c c k k
b∗∗ ∗ ∗∗= + δ + δ + δ ;
( )
23
3 3 331
12 12 12 1 2
3312
E
D D
bhD c c k k
b∗∗ ∗ ∗∗= + δ + δ + δ ;
11 12 12 11 12 112 2
11
1; ; ;
1 (1 )
E E
EE
E
Ec c c c c c
s
= = = ν = ν
−ν −ν
;
2
2 3 331 3112
31
11 11 33 11
2 1; ; ;
6(1 ) (1 )
E
E pE E T E
E E
d ds b k
s s s ∗ν = − = = δ = δ
−ν ε −ν
;
Іван Киричок, Тетяна Карнаухова
Контроль вимушених коливань круглих в’язкопружних пластинок ...
70
( ) ( )2 3 3 2 2
33 33 31 11 ; ( ) ; 4 6 3 6T
p E A vb k M b h V k h h∗∗= ε − = + δ δ = δ + δ + δ ;
( ) ( )11 11 11ˆ 2 ; 2 ; 1Eh H h s s T i T∗ ′ρ = ρ + ρ δ = δ + = − δ ;
( ) ( ) ( ) ( )31 31 31 33 33 331 ; 1Td d T i T T i T′ ′= − δ ε = ε = − δ ; (10)
w = w' + iw'' — комплексна амплітуда прогину пластинки; Qr, Mr, Mθ — комп-
лексні величини перерізуючої сили, радіального та колового моментів; E =
= E '(T) + iE ''(T) — в’язкопружний комплексний модуль; ν = const — коефіцієнт
Пуассона пасивного матеріалу; 11 31 33, ,E Ts d ε — відповідно комплексні податли-
вість, п’єзомодуль і діелектрична проникливість п’єзокераміки; ρ, ρ* — густини
пасивного та п’єзоактивного матеріалів; αs, αr — коефіцієнти теплообміну на
зовнішніх поверхнях; λ, a — коефіцієнти тепло- та температуропровідності.
У виразах (4), (6) враховано, що в силу прийнятої поляризації п’єзонакладок їхні
п’єзомодулі d31 мають протилежні знаки. Відзначимо, що в співвідношеннях (10)
треба покласти kν1 = 1, kD1 = 1, kD2 = 0, якщо п’єзонакладки є актуаторами, і
kν1 = 0, kD1 = 0, kD2 = 1, якщо п’єзонакладки виконують функцію сенсорів. Тут і далі
приймаємо стандартні позначення для комплексних величин і параметрів b =
= b' + ib'', |b| = (b'2 + b''2) 1 / 2, 1i = − .
2. Побудова розв’язку задачі
За врахування температурної залежності в’язкопружних властивостей матеріалів
пластинки та п’єзонакладок система рівнянь (1)-(6) буде взаємозв’язаною і неліній-
ною. Для її розв’язування використовують метод покрокового інтегрування за часом
[4]. З цією метою рівняння електромеханіки (1)-(3) з граничними умовами (7), (8)
записують у формі звичайних диференціальних рівнянь нормального вигляду
dY Y B
dr
= +A (11)
з граничними умовами
0 ( 0); 0 ( )Y r Y r R= = = =1 2B B , (12)
де 1 2 3 4{ , , , } { , , , }T
r rY y y y y Q w M= = ϑ — шукана комплексно-значна вектор-функ-
ція; A — комплекснозначна квадратна матриця, ненульовими елементами якої є
2
11 13 22 24 32 41ˆ1/ ; ; / ; ; 1; 1D Da r a a r a J a a= − = −ρω = ν = = − = ;
2 2
42 11 44 11 11(1 ) / ; (1 ) / ; 1/ ;D D D D Da D r a r J D J D= −ν = − + ν = ν = − ; (13)
0{ ; ; 0; (1 ) / }T
D E EP J M M r= − − − + νB — комплекснозначний вектор-стовпчик;
B1, B2 — комплекснозначні прямокутні матриці, ненульові елементи яких визна-
чаються граничними умовами (7), (8). Комплекснозначна система (11), (12) на кож-
ному кроці за часом ∆t інтегрується з використанням чисельного методу дискретної
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 9, 67-78
71
ортогоналізації та типової програми розв’язування звичайних диференціальних
рівнянь [1]. При цьому на першому кроці розв’язується задача за ізотермічних
електромеханічних характеристик матеріалів. Після обчислення дисипативної
функції (6) задача теплопровідності розв’язується методом кінцевих різниць із
застосуванням явної схеми. Потім, залежно від розподілу температури, обчислю-
ються жорсткісні характеристики в коефіцієнтах (13) і процес повторюється.
Розглянемо випадок механічного гармонічного навантаження пластинки,
якщо скріплені з нею п’єзоелектричні накладки виконують функції актуаторів
(зовнішні електроди закорочені). Після розв’язування задачі про вимушені коли-
вання пластинки значення електричного потенціалу VA, який необхідно підвести
до електродів для компенсації механічного навантаження, можна визначити на
основі варіаційної постановки задачі за формулою [3, 9]
( ) ( )
0
0
31
0
R
o
A r
r
P wrdr
V
h b rdrθ
= −
+ δ κ + κ
∫
∫
, (14)
яка справджується на резонансних частотах згинних коливань. Знаком «–» у
співвідношенні (14) враховано протифазне відносно механічного навантаження
підведення потенціалу VA до електродів актуатора. Цей метод доцільно викорис-
товувати, якщо відоме поверхневе навантаження на пластину.
Нехай тепер п’єзонакладки виконують функції сенсорів, а їхні зовнішні
електроди розімкнуті. Для розімкнутих електродів різницю потенціалів, яка обу-
мовлена механічним гармонічним навантаженням P0, визначаємо з умови рівності
нулю струму
( )
0z
s
I i D ds= ω =∫∫ так, що
( ) ( )
0
0
31
0
33
0
.
2
r
r
S r
h b rdr
V
b rdr
θδ + δ κ + κ
= −
∫
∫
(15)
Окрім згаданого вище методу демпфування коливань за допомогою актуа-
торів, широко застосовують інший метод активного демпфування коливань плас-
тин з одночасним використанням сенсорів та актуаторів. При цьому до актуатора
підводиться різниця потенціалів, яка пропорційна різниці потенціалів сенсора,
першій чи другій похідній від цієї різниці. Коефіцієнти пропорційності називають
коефіцієнтами оберненого зв’язку. Нехай прогин пластини представлено у вигляді
добутку залежної від часу амплітуди коливань і функції координат. Тоді у зв’язку
з тим, що різниця потенціалів сенсора пропорційна до амплітуди резонансних ко-
ливань, підведена до актуатора різниця потенціалів буде пропорційна амплітуді
коливань, першій чи другій похідній по часу від цієї амплітуди. Своєю чергою,
Іван Киричок, Тетяна Карнаухова
Контроль вимушених коливань круглих в’язкопружних пластинок ...
72
різниця потенціалів актуатора входить у рівняння стану для згинних моментів.
Після підстановки цих моментів у рівняння руху та використання варіаційних
методів або методу Бубнова-Гальоркіна для розділення змінних, одержуємо звичайне
диференціальне рівняння відносно амплітуди згинних коливань із деякими інерцій-
ними, дисипативними та жорсткісними характеристиками, якими можна керувати
шляхом вибору вказаних вище коефіцієнтів оберненого зв’язку. У результаті змі-
нюються динамічні характеристики пластини та суттєво зменшується амплітуда
коливань. Найчастіше для демпфування коливань використовують рівняння обер-
неного зв’язку, які пов’язують різницю потенціалів актуатора та першу похідну
від показника сенсора, завдяки чому можна керувати величиною коефіцієнта за-
гасання. При цьому не потрібно знати величину механічного навантаження.
Якщо зовнішнє навантаження невідоме, то можна використати інший метод
демпфування резонансних коливань пластин. Пояснимо його суть на прикладі
задачі про демпфування круглої пластини, яка перебуває під дією поверхневого
тиску постійної амплітуди. З формули (15) бачимо, що у разі використання одно-
модового наближення показники сенсора будуть пропорційні до амплітуди меха-
нічного навантаження. При чисельному розв’язуванні задачі для знаходження
тиску за показником сенсора спочатку розв’язуємо задачу механіки за дії меха-
нічного навантаження одиничної інтенсивності P0 = 1 Па. Нехай цей показник дорів-
нює 1
SV . Тоді за довільної інтенсивності P механічного навантаження показник
сенсора буде дорівнювати 1
0S SV P V= . Таким чином, інтенсивність механічного
навантаження визначається формулою: 1
0 S SP V V= . Звідси робимо висновок, що
для визначення амплітуди механічного навантаження потрібно знати еталонний по-
казник сенсора за дії одиничного навантаження та показники цього ж сенсора
у випадку навантаження поверхневим тиском із невідомою амплітудою. Тоді ве-
личину навантаження визначаємо за наведеною вище формулою, а різницю по-
тенціалів, яку потрібно підвести до актуатора, обчислюємо за формулою (14)
шляхом підстановки в неї уже відомого механічного навантаження. Вказаний
підхід особливо ефективний при аналітичному розв’язуванні задачі варіаційними
методами чи методом Бубнова-Гальоркіна. Під час розв’язування задачі з вико-
ристанням чисельних методів для визначення тієї різниці потенціалів, яку потріб-
но підвести до актуатора для компенсації відомого механічного навантаження,
спочатку потрібно визначити різницю потенціалів 1
AV для компенсації механіч-
ного навантаження одиничної амплітуди P0 = 1 Па. Тоді для компенсації механіч-
ного навантаження інтенсивності P до актуатора потрібно підвести різницю по-
тенціалів 1
A AV PV= . Після підстановки в цей вираз визначеного вище механічного
навантаження одержимо формулу для розрахунку величини різниці потенціалів,
яку необхідно прикласти до актуатора для компенсації невідомого поперечного тиску
A s sV G V= − , (16)
де
( ) ( ) ( )1 1
0 0 0/s A sG r V r V r= . (17)
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 9, 67-78
73
Знак «–» у формулі (16) вибрано тому, що до актуатора потрібно підвести різни-
цю потенціалів зі знаком, протилежним дії механічного навантаження.
Зауважимо, що при чисельному інтегруванні рівнянь електромеханіки та
теплопровідності особливу точку r = 0 виключали, а в її околі приймали умови
регулярності та симетрії [1] Qr = 0, ϑ = 0, dT / dr = 0, якщо r = r1 = 10 –5 м. При
цьому використовували безрозмірні просторову x = (r – r1) / L, L = R – r1 і часову
τ = at / L2 координати та параметри теплообміну / ,s sLγ = α λ /r r Lγ = α λ .
3. Числові результати
Результати розрахунків приведені для пластинки з полімера [9], для якого скла-
дові комплексного модуля зсуву G = E / [2(1 + ν)] у діапазоні температур від 20°C
до 80°C характеризуються такими лінійними співвідношеннями: G '(T) = 968 –
– 8,69T (МПа); G ''(T) = 87,1 – 0,7T (МПа). Решта параметрів приймали такими:
ρ = 929 кг/м3, ν = ν ' = 0,3636; (ν '' = 0), λ = 0,47 вт/(м·град). П’єзоактивні шари ви-
готовлені з п’єзокераміки ЦТСтБС-2. Згідно експериментальних даних [10] за-
лежність властивостей п’єзокераміки від температури у діапазоні температур від
20°C до 160°C характеризується співвідношеннями
( ) ( )0 3 0 3 4 2
11 11 11 111 0,3077 10 ; 1 0,6155 10 0,41575 10s s T T T− − −′ = + ⋅ δ = δ + ⋅ + ⋅ ;
( ) ( )0 2 0 2 4 2
31 31 31 311 0,219 10 ; 1 1,198 10 1,823 10d d T T T− − −′ = + ⋅ δ = δ + ⋅ + ⋅ ;
( )0 4 5 2
33 33 1 1,11 10 8,4256 10T T− −′ε = ε + ⋅ + ⋅ ;
( )0 2 4 2
33 33 1 1,19 10 1,19 10T T− −δ = δ + ⋅ + ⋅ ;
0; 20 Cr rT T T T= − = ,
де
0 12 2 0 10
11 3112,5 10 м /Н; 1,6 10 Кл/мs d− −= ⋅ = − ⋅ ; 0 2
33 021 10 ;ε = ⋅ ε
0 2
11 0,16 10−δ = ⋅ ; 0 2 0 2
31 330,4 10 ; 0,35 10 ; 0,37; 0;E E E
− − ′ ′′δ = ⋅ δ = ⋅ ν = ν = ν =
12 4 3
0 8,854 10 Ф/м; 0,752 10 кг/м−
∗ε = ⋅ ρ = ⋅ .
Розміри пластинки та параметри теплообміну такі: R = 0,2 м, h = 0,04 м, T0 =
= Tc = 20°C, δ = 10 – 4 м, γs = γr = 0,851.
Розглянемо вплив розмірів актуатора та сенсора на показники електричних
потенціалів VA та Vs, які обчислені за формулами (14) і (15) відповідно. Криві на рис. 1
ілюструють залежності першої резонансної частоти ωpA й амплітуди показника │VA│
на цій частоті від безрозмірного радіуса x0 = x(r0) п’єзонакладок за ізотермічних
(T = Tr) умов деформування та механічних навантажень з амплітудою P0 = 1 Па.
При цьому п’єзонакладки виконують функцію актуатора. Якщо п’єзонакладки
виконують функцію сенсора, то залежність від радіуса x0 = x(r0) ілюструють
криві ωps і │Vs│. Графіки на рис. 1а відповідають граничним умовам жорсткого (7),
а на рис. 1б — шарнірного (8) закріплення зовнішнього краю пластинки.
Іван Киричок, Тетяна Карнаухова
Контроль вимушених коливань круглих в’язкопружних пластинок ...
74
Проведені розрахунки та результати відомих публікацій [7, 11] свідчать,
що найефективнішим є актуатор, який реалізує максимальну амплітуду прогинів
пластинки за мінімальних значень підведеного до його електродів електричного
потенціала VA. Центр такого актуатора співпадає з просторовою координатою x = 0,
в якій амплітуда прогину круглої пластинки є максимальна. Бачимо, що криві VA
на рис. 1 є нелінійні функції безрозмірного радіуса x0 актуатора. При цьому розміри
оптимального актуатора відповідають 0,6 < x0 < 0,8 у випадку жорсткого закріплення
(рис. 1а) та 0,8 < x0 ≤ 1 — у випадку шарнірного опирання (рис. 1б) краю круглої
пластинки. Показники сенсора (криві Vs) за розглядуваних умов закріплення
краю пластинки монотонно зменшуються зі збільшенням розмірів сенсора.
Залежність величини Gs від безрозмірного радіуса x0, визначену на основі
формули (17), показано на рис. 2. Тут криві 1 і 2 відповідають жорсткому та шар-
нірному закріпленню краю пластинки. Ці результати можна використати для ви-
значення в ізотермічному наближенні величини електричного потенціалу VA актуатора
з метою компенсації механічного навантаження на основі показника сенсора.
На рис. 3 показано залежність від частоти амплітуди максимального проги-
ну wm = |w(0)| · 10 4 м жорстко закріпленої пластинки з актуатором радіуса x0 = 0,6
(крива 1) і таких же ж розмірів сенсором (крива 2) за дії механічного навантаження
амплітуди P0 = 0,25 · 10 4 Па. При цьому приймали, що характеристики матеріалу
не залежать від температури. Штрихова лінія відповідає частотній залежності мо-
дуля |Vs | електричного потенціалу, що виникає на електродах сенсора. Можливість
демпфування амплітуди основної моди згинних коливань пластинки за допомогою
п’єзоактуатора, до електродів якого протифазно підведено електричний потенціал |VA |,
визначений згідно формули (16) і показника |Vs | = 20,85B на частоті ωs = 0,545 · 10 4 c –1,
ілюструють криві 1' (Gs = 1) та 1'' (Gs = 1,09). При цьому коефіцієнт Gs = 1,09 від-
повідає значенню ординати точки x0 = 0,6 на кривій 1 (рис. 2).
Рис. 1
a б
VA
Vs
ωps ωpA
ωpA ωps
Vs
VA
x0 x0 0,50
0,02
0,04
0,06
0,5 0
0,02
0,04
0,06
1 2
5 1
; ,B;
10 ,c
A AV V
− −ω⋅
1 2
5 1
; ,B;
10 ,c
A AV V
− −ω⋅
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 9, 67-78
75
На рис. 4 показано залежність усталеної максимальної температури дисипатив-
ного розігрівання Tm = T(0) °C та показника амплітуди електричного потенціалу |Vs |
на електродах кругового сенсора від безрозмірного радіуса x0 за дії механічного
навантаження амплітуди P0 = 0,25 · 10 4 Па у випадках жорсткого (рис. 4а) та шар-
нірного (рис. 4б) закріплень краю пластинки. Криві обчислені згідно формули (15)
за ізотермічного наближення на резонансних частотах ωs з урахуванням темпера-
турної залежності електромеханічних властивостей матеріалів (суцільні лінії) і
без такого врахування (штрихові лінії). Бачимо, що під час вимушених механіч-
них коливань пластинки з вказаною амплітудою P0 і частотами ωs, величини амп-
літуди показника електричного потенціалу Vs і максимальної стаціонарної темпе-
ратури Tm саморозігріву є нелінійні функції параметра x0, що характеризує площу
кругового сенсора. Врахування температурної залежності властивостей матеріалу
(суцільні лінії) зумовлює зменшення показників Vs і Tm, що більшою мірою про-
являється у разі шарнірного закріплення зовнішнього краю пластинки (рис. 4б).
Рис. 4
а
30
20
10
0 0,5 x0
20
40
60
Tm
Tm
Tm
Vs
Vs
│Vs│,
B б
x0 0,50
40
20
60
40
80
120
Tm
Tm
Tm
Vs
Vs
│Vs│,
B
Gs
4
2
0 0,5 x0
2
1
0,44 0,48 0,52 0,56 ω·10 – 4, с – 1
0
0,2
0,4
Wm; │Vs│·10 – 2,
1
2
1' 1''
Vs
Рис. 2 Рис. 3
Іван Киричок, Тетяна Карнаухова
Контроль вимушених коливань круглих в’язкопружних пластинок ...
76
За розглядуваної зовнішньої дії на жорстко закріплену пластинку з сенсором
безрозмірного радіуса x0 = 0,6 частотні залежності максимальних значень амплі-
туди прогину ( ) 40 10 мmw w= ⋅ та стаціонарної температури Tm = T(0) °C дисипа-
тивного розігріву та показника сенсора │Vs│ приведені на рис. 5. Для порівняння
штриховими лініями показано характеристики для лінійної системи за нехтування
температурною залежністю властивостей матеріалу (T = Tr). Бачимо, що враху-
вання температурної залежності характеристик матеріалу приводить до ефектів,
які типові для в’язкопружних матеріалів із нелінійністю м’якого типу, коли час-
тотні характеристики амплітуд прогину та температури розігріву при цьому змі-
щуються вліво від резонансу лінійної системи та трансформуються в нелінійні,
з появою нижньої ab та верхньої cd віток, яким можуть відповідати свої режими
коливань і дисипативного розігріву. Аналогічна залежність від частоти властива
амплітуді Vs показників сенсора. Зауважимо, що термомеханічний процес, який
відповідає вітці cd, реалізується за зменшення частоти вимушених коливань плас-
тинки в температурному режимі, який відповідає точці с на рисунку. При цьому в роз-
рахунках використовуємо методику продовження за параметром навантаження [13].
Аналіз кривих на рис. 4 і 5 показує, що врахування температурної залежності
характеристик пасивного та п’єзоактивного матеріалів пластинки може суттєво
впливати на величину електричного потенціалу (15), що виникає на електродах сен-
сора під час вимушених коливань пластинки. Водночас на величину потенціалу (14)
актуатора, який потрібно підвести до його електродів для компенсації дії механіч-
ного навантаження під час коливань пластинки, температурна залежність пасивного
матеріалу не впливає. Це випливає з формули (14) і обґрунтовано в низці наукових
праць, зокрема в [5, 7]. Вплив температурної залежності властивостей п’єзоак-
тивного матеріалу актуатора незначний через малу товщину п’єзонакладок [5].
Проте розрахунки температурного поля під час вимушених коливань в’язкопружних
Рис. 6
Wmi, Vsi
0,8
0,6
0,4
0,2
0 0,25 P0·10 – 4, Па
Tmi
Tm1
Tm2
Tm2Tm1
Wm2
Wm1
Vs1
Vs1
Vs2
Vs2
160
120
80
40
Рис. 5
20
0
0,44 0,48 0,52 0,56 ω·10 – 4, с – 1
|Vs |, B;
Tm
40
a
b
Vs
Wm
Tm
0
0,4
0,8
Wm
c
d
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 9, 67-78
77
пластинок за наявності сенсорів і актуаторів необхідні навіть при слабкій темпера-
турній залежності властивостей її матеріалу. Це зумовлено тим, що температура
вібророзігрівання може досягти точки Кюрі, коли п’єзоматеріал деполяризується
та сенсор (актуатор) втрачає працездатність.
Вплив амплітуди поверхневого тиску P0 на максимальні значення амплітуд
прогину wmi = │w(0)│ · 10 4 м шарнірно закріпленої пластинки, показник сенсора
Vsi = │Vs│ · 10 2 B і максимальну стаціонарну температуру дисипативного розігріву
Tmi = T(0)° C показано на рис. 6. Розрахунки проведено для сенсора з радіусами
x0 = 0,4 на ізотермічній резонансній частоті ωs = 0,262·10 4 c – 1 (i = 1) та x0 = 1,0 і
ωs = 0,316·10 4 c – 1 (i = 2). Суцільні лінії відповідають випадку врахування залежності
від температури електромеханічних характеристик матеріалів пластинки, а штри-
хові — ізотермічному деформуванню. Зірочкою позначено значення температури
T* = 160° C, вище якої для розглядуваної п’єзокераміки [10] спостерігається різке
падіння до нуля значення п’єзомодуля d31, що характеризує деполяризацію п’єзо-
матеріалу. Бачимо також, що ізотермічне наближення розрахунку термомеханічних
параметрів і показника сенсора за вимушених резонансних коливань розглядуваної
в’язкопружної пластинки можна використовувати лише у випадку порівняно малих
амплітуд механічного навантаження (P0 ≤ 0,1·10 4 Па). Ізотермічне наближення при-
водить до занижених значень амплітуди механічного навантаження, коли досягається
температура Кюрі або величина потенціалу електричного пробою п’єзонакладок.
Висновки. Запропоновано метод активного демпфування вимушених згинних
коливань круглої пластини за допомогою п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів
при невідомому зовнішньому навантаженні з урахуванням впливу температури
дисипативного розігріву. Для розв’язування нелінійної крайової задачі викорис-
товується ітераційний метод у поєднанні з чисельними методами дискретної
ортогоналізації та кінцевих різниць. На основі чисельних розрахунків показано
ефективність запропонованого методу та досліджено вплив температури дисипа-
тивного розігріву на активне демпфування вимушених резонансних коливань
круглої пластини.
Література
[1] Григоренко, Я. М. Розв’язання лінійних і нелінійних задач теорії оболонок на ЕОМ / Я. М. Гри-
горенко, А. П. Мукоїд. — Київ: Либідь, 1992. — 150 с.
[2] Дубенец, В. Г. Колебания демпфируемых композитных конструкций. Т. 1 / В. Г. Дубенец,
В. В. Хильчевский. — Київ: Вища школа, 1995. — 226 с.
[3] Карнаухов, В. Г. Вплив температури дисипативного розігріву на активне демпфірування ви-
мушених осесиметричних коливань круглої пластини за допомогою п’єзоелектричного акту-
атора / В. Г. Карнаухов, Т. В. Карнаухова, О. В. П’ятецька // Вісник Київського ун-ту. Сеp.
фіз.-мат. науки. — 2004. — Вип. 3. — С. 107-114.
[4] Карнаухов, В. Г. Механика связанных полей в элементах конструкций: в 5-ти т. Т. 4. Электро-
термовязкоупругость / В. Г. Карнаухов, И. Ф. Киричок. — Київ: Наук. думка, 1988. — 320 с.
[5] Карнаухов, В. Г. Влияние температуры диссипативного разогрева на активное демпфирование
вынужденных изгибных колебаний неупругих тонких пластин при помощи пьезоэлектрических
сенсоров и актуаторов: в книге «Актуальні аспекти фізико-механічних досліджень. Акустика і
хвилі» / В. Г. Карнаухов, И. Ф. Киричок, В. И. Козлов. — Київ: Наук. думка, 2007. — С. 127-152.
Іван Киричок, Тетяна Карнаухова
Контроль вимушених коливань круглих в’язкопружних пластинок ...
78
[6] Карнаухов, В. Г. Нелинейная термомеханика пьезоэлектрических неупругих тел при моно-
гармоническом нагружении / В. Г. Карнаухов, В. В. Михайленко. — Житомир: 2005. — 426 с.
[7] Киричок, И. Ф. Изгибные колебания и разогрев круглой биморфной пьезопластины при под-
воде электрического возбуждения к неоднородно электродированным плоскостям / И. Ф. Ки-
ричок // Прикл. механика. — 2005. — Т. 41, № 9. — С. 94-100.
[8] Киричок, И. Ф. Об изгибных колебаниях и виброразогреве кольцевой пластинки с пьезоке-
рамическими тонкими накладками при одночастотном электрическом и механическом на-
гружении / И. Ф. Киричок // Прикл. механика. — 2007. — Т. 44, № 2. — С. 99-108.
[9] Киричок, И. Ф. Одночастотные колебания и виброразогрев трехслойной пьезоактивной круг-
лой пластины при электромеханическом моногармоническом нагружении / И. Ф. Киричок,
М. В. Карнаухов // Прикл. механика. — 2008. — Т. 44, № 1. — С. 79-89.
[10] Нашиф, А. Демпфирование колебаний / А. Нашиф, Д. Джонс, Дж. Хендерсон. — Москва:
Мир, 1988. — 448 с.
[11] Нестеренко, М. П. Моделирование ультразвукового разогрева структурных элементов поли-
мерных волокнистых композитов / М. П. Нестеренко, О. П. Червинко, И. К. Сенченков //
Вест. Национального технического ун-та «ХПИ». — 2002. — № 9. — С. 3-8.
[12] Шульга, Н. А. Колебания пьезоэлектрических тел / Н. А. Шульга, А. М. Болкисев. — Київ:
Наук. думка, 1990. — 228 с.
[13] Tzou, H. S. Intelligent structural Systems / H. S. Tzou, G. L. Anderson (Eds.). — Dordrecht-Bos-
ton-London: Kluwer Academic Pyblishers, 1992. — 453 p.
[14] Tzou, H. S. Piezoelectric Shells (Distributed Sensinq and Control of Continua) / H. S. Tzou. — Dordrecht-
Boston London: Rluwer Acfdemic Publshers, 1993. — 400 p.
Control of forced vibrations of circular viscoelastic plates
by piezoelectric sensors and actuators
with account of vibroheating
Ivan Kyrychok, Tetiana Karnaukhova
A coupled problem on the forced vibrations and dissipative heating of circular viscoelastic plate
with piezoelectric sensors and actuators is considered. Complex characteristics of passive and
piezoactive materials depend on the temperature. Nonlinear problem is solved by the iterative
method, using of the numerical method of a discrete orthogonalization. The influence of dissipative
heating temperature on the potential difference of the sensor under action of transverse harmonic
pressure on the plate and active damping of its resonance vibrations by piezoelectric sensors and
actuators is investigated.
Контроль вынужденных колебаний круглых вязкоупругих
пластинок при помощи пьезоэлектрических сенсоров
и актуаторов при учете виброразогрева
Иван Киричок, Татьяна Карнаухова
Рассматривается связанная задача о вынужденных изгибных колебаниях и диссипативном
разогреве круглой вязкоупругой пластины с пьезоэлектрическими актуаторами и сенсора-
ми. Учитывается температурная зависимость комплексных характеристик пассивного и
пьезоактивного материалов. Нелинейная задача решается итерационным по времени ме-
тодом с использованием численного метода дискретной ортогонализации. Исследуется
влияние температуры виброразогрева на показатели электрического потенциала сенсора
при действии поперечного гармонического давления на пластину и на активное демпфиро-
вание ее резонансных колебаний с помощью пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов.
Отримано 13.05.08
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-21909 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1816-1545 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:40:53Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Киричок, I. Карнаухова, Т. 2011-06-20T07:38:16Z 2011-06-20T07:38:16Z 2009 Контроль вимушених коливань круглих в’язкопружних пластинок за допомогою п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів з урахуванням вібророзігріву / І. Киричок, Т. Карнаухова // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 9. — С. 67-78. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21909 539.3 Розглядається зв’язана задача про вимушені згинні коливання та дисипативний розігрів круглої в’язкопружної пластинки з п’єзоелектричними актуаторами та сенсорами. Враховується температурна залежність комплексних характеристик пасивного та п’єзоактивного матеріалів. Нелінійна задача розв’язується ітераційним методом у поєднанні з чисельним методом дискретної ортогоналізації. Досліджується вплив температури дисипативного розігріву на показники електричного потенціалу сенсора за дії гармонічного поперечного тиску на пластинку й активне демпфування її резонансних коливань за допомогою п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів. A coupled problem on the forced vibrations and dissipative heating of circular viscoelastic plate with piezoelectric sensors and actuators is considered. Complex characteristics of passive and piezoactive materials depend on the temperature. Nonlinear problem is solved by the iterative method, using of the numerical method of a discrete orthogonalization. The influence of dissipative heating temperature on the potential difference of the sensor under action of transverse harmonic pressure on the plate and active damping of its resonance vibrations by piezoelectric sensors and actuators is investigated. Рассматривается связанная задача о вынужденных изгибных колебаниях и диссипативном разогреве круглой вязкоупругой пластины с пьезоэлектрическими актуаторами и сенсорами. Учитывается температурная зависимость комплексных характеристик пассивного и пьезоактивного материалов. Нелинейная задача решается итерационным по времени методом с использованием численного метода дискретной ортогонализации. Исследуется влияние температуры виброразогрева на показатели электрического потенциала сенсора при действии поперечного гармонического давления на пластину и на активное демпфирование ее резонансных колебаний с помощью пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Контроль вимушених коливань круглих в’язкопружних пластинок за допомогою п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів з урахуванням вібророзігріву Control of forced vibrations of circular viscoelastic plates by piezoelectric sensors and actuators with account of vibroheating Контроль вынужденных колебаний круглых вязкоупругих пластинок при помощи пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов при учете виброразогрева Article published earlier |
| spellingShingle | Контроль вимушених коливань круглих в’язкопружних пластинок за допомогою п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів з урахуванням вібророзігріву Киричок, I. Карнаухова, Т. |
| title | Контроль вимушених коливань круглих в’язкопружних пластинок за допомогою п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів з урахуванням вібророзігріву |
| title_alt | Control of forced vibrations of circular viscoelastic plates by piezoelectric sensors and actuators with account of vibroheating Контроль вынужденных колебаний круглых вязкоупругих пластинок при помощи пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов при учете виброразогрева |
| title_full | Контроль вимушених коливань круглих в’язкопружних пластинок за допомогою п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів з урахуванням вібророзігріву |
| title_fullStr | Контроль вимушених коливань круглих в’язкопружних пластинок за допомогою п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів з урахуванням вібророзігріву |
| title_full_unstemmed | Контроль вимушених коливань круглих в’язкопружних пластинок за допомогою п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів з урахуванням вібророзігріву |
| title_short | Контроль вимушених коливань круглих в’язкопружних пластинок за допомогою п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів з урахуванням вібророзігріву |
| title_sort | контроль вимушених коливань круглих в’язкопружних пластинок за допомогою п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів з урахуванням вібророзігріву |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/21909 |
| work_keys_str_mv | AT kiričoki kontrolʹvimušenihkolivanʹkruglihvâzkopružnihplastinokzadopomogoûpêzoelektričnihsensorívtaaktuatorívzurahuvannâmvíbrorozígrívu AT karnauhovat kontrolʹvimušenihkolivanʹkruglihvâzkopružnihplastinokzadopomogoûpêzoelektričnihsensorívtaaktuatorívzurahuvannâmvíbrorozígrívu AT kiričoki controlofforcedvibrationsofcircularviscoelasticplatesbypiezoelectricsensorsandactuatorswithaccountofvibroheating AT karnauhovat controlofforcedvibrationsofcircularviscoelasticplatesbypiezoelectricsensorsandactuatorswithaccountofvibroheating AT kiričoki kontrolʹvynuždennyhkolebaniikruglyhvâzkouprugihplastinokpripomoŝipʹezoélektričeskihsensoroviaktuatorovpriučetevibrorazogreva AT karnauhovat kontrolʹvynuždennyhkolebaniikruglyhvâzkouprugihplastinokpripomoŝipʹezoélektričeskihsensoroviaktuatorovpriučetevibrorazogreva |