Варіаційний метод розв’язування оберненої бігармонічної задачі в прямокутнику

Запропоновано варіаційний метод розв’язування оберненої бігармонічної задачі. Розглядається прямокутник, на бічних сторонах якого діють неоднорідні крайові умови, що апріорі невідомі. На сторонах , натомість, задано по чотири умови — однорідні умови для шуканої функції та її нормальної похідної , а...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Date:	2009
Main Authors:	Чекурін, В., Постолакі, Л.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2009
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22093
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Варіаційний метод розв’язування оберненої бігармонічної задачі в прямокутнику / В. Чекурін, Л. Постолакі // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 9. — С. 145-159. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859708378204340224
author	Чекурін, В. Постолакі, Л.
author_facet	Чекурін, В. Постолакі, Л.
citation_txt	Варіаційний метод розв’язування оберненої бігармонічної задачі в прямокутнику / В. Чекурін, Л. Постолакі // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 9. — С. 145-159. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
description	Запропоновано варіаційний метод розв’язування оберненої бігармонічної задачі. Розглядається прямокутник, на бічних сторонах якого діють неоднорідні крайові умови, що апріорі невідомі. На сторонах , натомість, задано по чотири умови — однорідні умови для шуканої функції та її нормальної похідної , а також неоднорідні умови і , де — лінійні інтегро-диференціальні оператори, — задані функції. Розв’язок задачі подано у вигляді розвинення за незалежними повними системами бігармонічних функцій, що тотожно задовольняють однорідні умови на сторонах . Введено квадратичний функціонал, який за нормою L2 визначає відхилення розв’язку задачі від заданих на сторонах неоднорідних умов. Умови мінімуму функціонала приводять до безмежної системи лінійних рівнянь стосовно коефіцієнтів розвинення розв’язку. Розглянуто приклад застосування розробленого методу для визначення двовимірного напружено-деформованого стану тіла прямокутного перерізу за даними вимірювань нормальної та дотичної компонент вектора переміщень на його поверхні. A variational method for solving inverse biharmonic problem has been introduced. The rectangle has been considered. The inhomogeneous boundary conditions acting on the pair of opposite rectangle legs are a priory unknown. On each leg of the other pair four boundary conditions are given: the homogeneous conditions for the desired function and their normal derivative and the conditions , , where — linear integro-differential operators, — given functions. The solution is represented as expansion in terms of full systems of biharmonic functions each of which satisfies identically the given homogeneous conditions on the legs . The quadratic functional determining in the L2 norm the deviation of the solution from the given on the legs inhomogeneous conditions has been built. The functional minimum conditions lead to infinite system of linear algebraic equations. As an example the method has been applied to determine 2-D stress-strained state of rectangular cross-section solid on the base of data gathered by measuring of the displacements on the body surface. Предложен вариационный метод решения обратной бигармонической задачи. Рассматривается прямоугольник , на боковых сторонах которого действуют априори неизвестные неоднородные граничные условия. Вместе с тем на каждой из сторон задано четыре граничных условия: однородные условия для искомой функции и ее нормальной производной , а также неоднородные условия вида и , где — линейные интегро-дифференциальные операторы, — заданные функции. Решение задачи представляется в виде разложения по полным системам бигармонических функций, тождественно удовлетворяющих заданные на сторонах однородные условия. Построен квадратический функционал, который определяет в норме L2 отклонение решения задачи от заданных на сторонах неоднородных условий. Условия минимума этого функционала приводят к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения решения. Рассмотрен пример применения разработанного метода для определения двумерного напряженно-деформированного состояния тела прямоугольного сечения по данным измерений нормальной и тангенциальной компонент вектора перемещений на его поверхности.
first_indexed	2025-12-01T03:48:27Z
format	Article
fulltext	145 Варіаційний метод розв’язування оберненої бігармонічної задачі в прямокутнику Василь Чекурін1, Леся Постолакі2 1 д. ф.-м. н., професор, Інститут прикладних проблем механіки і математики НАН України, вул. Наукова, 3б, Львів, 79060, Україна, e-mail: chekurin@iapmm.lviv.ua; Політехніка Лодзька, вул. Жеромського, 116, Лодзь, 90-924, Польща 2 Інститут прикладних проблем механіки і математики НАН України, вул. Наукова, 3б, Львів, 79060, Україна Запропоновано варіаційний метод розв’язування оберненої бігармонічної задачі. Розгляда- ється прямокутник    1 1a x a y      , на бічних сторонах x a  якого діють не- однорідні крайові умови, що апріорі невідомі. На сторонах 1y   , натомість, задано по чотири умови — однорідні умови для шуканої функції  та її нормальної похідної y  , а також неоднорідні умови  1u yL x   і  1yL x  v , де ,uL Lv — лінійні інтегро- диференціальні оператори,    ,x x  — задані функції. Розв’язок задачі подано у вигляді розвинення за незалежними повними системами бігармонічних функцій, що тотожно задо- вольняють однорідні умови на сторонах 1y   . Введено квадратичний функціонал, який за нормою L2 визначає відхилення розв’язку задачі від заданих на сторонах 1y   неоднорід- них умов. Умови мінімуму функціонала приводять до безмежної системи лінійних рівнянь стосовно коефіцієнтів розвинення розв’язку. Розглянуто приклад застосування розробленого методу для визначення двовимірного напружено-деформованого стану тіла прямокутного перерізу за даними вимірювань нормальної та дотичної компонент вектора переміщень на його поверхні. Ключові слова: бігармонічні задачі, обернені задачі, варіаційні методи, напружено-деформований стан, неруйнівні методи Вступ. Бігармонічні задачі для двовимірних плоских областей виникають у різ- них наукових дисциплінах, зокрема, в плоскій теорії пружності [1, 2], теорії плас- тин [1], гідромеханіці [3]. Класичне формулювання [4] прямої задачі для бігармо- нічного рівняння 4 4 4 4 2 2 4 ( , ) ( , ) ( , )2 0x y x y x y x x y y              (1) передбачає задання на межі D області D значень шуканої функції та її нор- мальної похідної    ,m s t s n      D D . (2) УДК 539.3 Василь Чекурін, Леся Постолакі Варіаційний метод розв’язування оберненої бігармонічної задачі в прямокутнику 146 Тут s — дійсний параметр, що визначає довільну точку ( , )x y D на кривій D ;    ,m s t s m(s), t(s) — задані функції. Так сформульована бігармонічна задача є коректна, тобто вона має єдиний розв’язок, неперервний у замкненій області D D . Для забезпечення виконання умов (2) контур D , очевидно, повинен бути достатньо гладкий. Разом із тим у багатьох застосуваннях важливими є задачі для областей із кутовими точками [5]. У таких задачах доводиться відходити від вимог неперерв- ності, а за певних умов і обмеженості розв’язку в цих точках. Звичайно, це не може бути причиною відмови від розгляду подібних некласичних бігармонічних задач, адже вони, здебільш, доволі точно моделюють конкретні фізичні об’єкти, а поведінка їх розв’язків в околах кутових точок цілком узгоджується з відомими фізичними уявленнями та результатами експериментальних досліджень. Інший тип некласичних бігармонічних задач виникає внаслідок застосуван- ня крайових умов, відмінних від умов (2). Крайові умови в математичних моде- лях є відображення певних фізичних закономірностей, які визначають взаємодію об’єкта з довкіллям через його поверхню. Ці закономірності можна виражати математично в термінах різних фізичних параметрів. Так, наприклад, у теорії пружності розглядають формулювання крайових задач, у яких на межі області задано компоненти вектора переміщень чи вектора напружень, або ж мішані за- дачі [2]. Зводячи їх до бігармонічних шляхом використання функції напружень [2], отримуємо крайові умови, істотно відмінні від (2). Із трьох названих, лише граничні умови другого роду можна звести до виду (2). Окремим класом є обернені бігармонічні задачі. Для рівнянь виду (1) можна розглядати лише один тип обернених задач — із невизначеними крайовими умова- ми. Це задачі, в яких умови, що діють на межі D , невідомі цілком, задані лише частково або ж визначені лише на частині контуру D . Оскільки такі задачі є недо- означені, то для побудови розв’язку їх слід доповнити іншими даними. Зокрема, важливе практичне значення мають дані, які можна отримати шляхом фізичних вимірювань параметрів стану об’єкта, який моделюють. У статті [6] запропоновано варіаційне формулювання оберненої задачі для півбезмежної прямокутної області (0 ) ( 1 1)x y     , на сторонах 1y   якої задано однорідні умови на взі- рець (2), а на торці x = 0 діють неоднорідні умови, які невідомі. Як додаткові дані у цій задачі використано значення інтеграла  1 2 2 1 ,x y dy x    , задані для різних значень змінної x . Задача виникає за неруйнівного визначення двовимірного напружено- деформованого стану призматичного тіла на основі даних, отриманих із викорис- танням методу фотопружності. Для її розв’язування функцію  ,x y у праці [6] подають у вигляді розвинення за повними системами бігармонічних функцій, які тотожно задовольняють задані однорідні умови на сторонах 1y   . Збудовано функціонал, який за квадратичною нормою визначає відхилення розв’язку ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2009, вип. 9, 145-159 147 від заданих значень інтеграла  21 21 ,x y dy x    . Умови мінімуму цього функціонала приводять до безмежної системи алгебраїчних рівнянь стосовно коефіцієнтів роз- винення розв’язку  ,x y . Метою цієї роботи є розвиток методу, запропонованого в [6], для випадку скінченної прямокутної області та числове дослідження ефективності його засто- сування для розв’язування обернених задач визначення двовимірного напру- жено-деформованого стану тіл відповідної геометрії на основі даних вимірюван- ня параметрів поля переміщень на його поверхні. 1. Формулювання оберненої задачі Розглянемо тривимірне тверде тіло B , що займає область V , утворену трансля- цією плоскої двовимірної області ( , )x yD вздовж деякого відрізка осі Oz, нор- мальної до площини xOy. Нехай довжина l цього відрізка значно перевищує діа- метр D області D . Якщо на бічній поверхні тіла задані умови навантаження та/чи закріплення, які не залежать від координати Oz, то у значній частині тіла B , за винятком малих крайових областей, розміри яких у напрямку осі Oz є су- мірні з діаметром D, реалізується двовимірний напружено-деформований стан плос- кої деформації [2]. Наслідком трансляційної інваріантності напружено-деформо- ваного стану стосовно осі Oz є те, що лише компоненти тензорів напружень          , , , , , , ,xx yy xy yx zz xx yyx y x y x y x y          i деформацій  ,xx x y ,  ,yy x y ,    , ,xy yxx y x y   відмінні від нуля. Решта компонент цих тензорів тотожно дорівнюють нулю. Тут  — коефіцієнт Пуассона матеріалу. За таких умов компоненти тензорів напружень і деформацій задовольняють у відкритій області ( , )x yD такі диференціальні рівняння [2] 0, 0xy xy yyxx x y x y            , (3) 2 22 2 2 2 0yy xyxx x yx y            . (4) Беручи до уваги співвідношення, що пов’язують компоненти тензора де- формації з компонентами тензора напружень [2],        2 21 11 1 , 1 1xx xx yy yy yy xxE E                         , (1 ) xy xy E      , (5) (де E — модуль Юнга матеріалу), можемо переписати рівняння (4) стосовно ком- понент тензора напружень [2] Василь Чекурін, Леся Постолакі Варіаційний метод розв’язування оберненої бігармонічної задачі в прямокутнику 148   2 2 2 2 0xx yyx y             . (6) Отримали систему трьох рівнянь (3), (6), які визначають у відкритій області D три невідомі функції    , , ,xx yyx y x y  і    , ,xy yxx y x y   . Якщо ввести функцію напружень [2]  ,x y таку, що 2 2 ( , ) xx x y y      , 2 2 ( , ) yy x y x      , 2 ( , ) xy x y x y        , (7) то рівняння (3) задовольнятимуться тотожно, а з (6) отримаємо бігармонічне рів- няння (1). Поведінка функцій    , , ,xx yyx y x y  і  ,xy x y на межі D області D визначається, як зазначалося, взаємодією тіла з зовнішніми об’єктами. Зокрема, якщо відомий розподіл поверхневих сил       ,x ys p s p sp , що діють на тіло ззовні, то функція  ,x y справджуватиме на межі D умови (2), в яких функції ( )m s і ( )t s визначаються через компоненти поверхневих сил ( ), ( )x yp s p s [2]. Інші крайові умови на функцію  ,x y отримаємо у випадку, коли на по- верхні B тіла B задано компоненти вектора переміщень [1]  xu u s V ,  yu s   v V , де  u s ,  sv — задані функції. Враховуючи співвідношення, які пов’язують компоненти тензора деформації та вектора переміщень [2] x xx u x     , y yy u y     , 1 2 yx xy uu y x         , (8) співвідношення пружності (5) і формули (7), отримуємо такі подання для компо- нент переміщень через функцію  ,x y           2 2 02 1 , 1 , x x y x y u dx u y E E xy             ,           2 2 02 1 , 1 , y x y x y u dy x E E yx             v . (9) Тут 0 ( )u y , 0 ( )xv — невизначені лінійні функції, які слід вибрати так, щоб знай- дене в результаті розв’язування задачі поле переміщень     , , ,x yu x y u x y не містило трансляції та поворот тіла B як абсолютно жорсткого [2]. Формули (9) визначають і крайові умови, яким слід підпорядкувати функ- цію Φ(x, y) у випадку, коли на поверхні B тіла B задано компоненти вектора переміщень. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2009, вип. 9, 145-159 149 Нехай тіло B має прямокутний переріз:      , 1 1x y a x a y      D . Тіло перебуває у рівноважному напружено-деформованому стані, зумовленому самозрівноваженими апріорі невідомими      , , 1,1x yp y p y y  силами чи пере- міщеннями    ,u y yv , що діють на гранях x a  . Натомість відомо, що грані 1y   є вільні від зовнішніх навантажень. Окрім того, задані функції  x ,  x і  x ,  x , які визначають компоненти вектора переміщень xu та yu на гранях 1y  і 1y   відповідно. Ці функції можна встановити шляхом фізичних вимірювань, наприклад, використовуючи метод голографічної спекл-інтерферо- метрії [7]. Необхідно визначити напружено-деформований стан тіла, тобто вста- новити функції              , , , , , , , , , , , , ,xx yy xy xx yy xy xx y x y x y x y x y x y u x y      ,  ,yu x y у тілі B та на його поверхні B . Відповідно до цього сформулюємо обернену бігармонічну задачу: знайти функцію  ,x y , яка у відкритій прямокутній області D задовольняє рівняння (1), а на її сторонах 1y   умови 1 1 0, 0y yy       , (10)       2 2 02 11 1 1 , yy dx u x E E xy                       2 2 02 11 1 1 yy dy x x E E yx               v . (11) Розв’язавши цю задачу, за формулами (7)-(9) знайдемо параметри напру- жено-деформованого стану в тілі B , а за ними визначимо умови навантаження, які діють на гранях x a  . Зазначимо, що сформульована задача є некоректно поставлена, оскільки крайові умови на сторонах x a  прямокутника є невідомі, а на кожній зі сторін 1y   задано по чотири умови замість двох. Відповідна їй задача теорії пруж- ності є обернена, оскільки прикладені до граней x a  навантаження невідомі, натомість задано деякі параметри, спричиненого ними напружено-деформовано- го стану, які використовуються як вхідні дані. Розв’язок цієї задачі дозволяє встановити напружено-деформований стан об’єкта та відновити навантаження, що його зумовлюють. 2. Варіаційний метод розв’язування задачі Зазначимо, що сформульовану задачу (1), (10), (11) можна звести до розв’язування двох незалежних задач — симетричної й антисиметричної стосовно серединної Василь Чекурін, Леся Постолакі Варіаційний метод розв’язування оберненої бігармонічної задачі в прямокутнику 150 лінії прямокутника y = 0. Для кожної з них достатньо задовольнити крайові умо- ви (10), (11) лише на одній стороні 1 1 0, 0y yy       , (12)       2 2 02 11 1 1 yy dx u x E E xy              ,       2 2 02 11 1 1 ( ) yy dy x x E E yx              v , (13) що дозволяє істотно знизити громіздкість кожної з цих двох задач. Функції правих частин у крайових умовах (13) для симетричної задачі визначаємо формулами            1 1, 2 2 x x x x x x                  , (14) а для антисиметричної —            1 1, 2 2 x x x x x x                   . (15) Легко переконатися, що сума розв’язків симетричної й антисиметричної за- дач дає розв’язок задачі (1), (10), (11). Для розв’язування сформульованої задачі подамо її розв’язок у вигляді [8]   2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1( , ) exp ( ) exp ( ) 2 k k k k k k x y C x a D x a F                   . (16) Тут використано позначення (1) kkC C , (2) kkC C , (1) kkD D , (2) kkD D , kC , kD — невизначені комплексні сталі (риска над буквою вказує на операцію комплекс- ного спряження); (1) kk   , (2) kk   , k — комплексні корені рівнянь  sin 2 2 0 ( )k k симетрія    ,  sin 2 2 0 ( )k k антисиметрія    , (17) (1) (2)( ), ( ), ( )k k kk kF F y F F y F y  — комплекснозначні функції дійсного аргументу      cos sink k k k kF y y y y      , ( )k k ktg симетрія    ,      sin cosk k k k kF y y y y      , ( )k k kctg антисиметрія    . (18) Функція Φ(x, y) у поданні (16) задовольняє рівняння (1) та однорідні умови (12) за будь-яких значень коефіцієнтів Ck, Dk. Тож для встановлення розв’язку ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2009, вип. 9, 145-159 151 задачі залишилося підпорядкувати його крайовим умовам (13), вибираючи на- лежним чином коефіцієнти Ck, Dk. Для цього використаємо функціонал     22 1 1 1 a x yy y a F u x u x dx                   , (19) де ( , )xu x y і ( , )yu x y виражаються через ( , )x y згідно формул (9). Функціонал (19) визначає відхилення за квадратичною нормою розв’язку  ,x y від заданих умов (13). Підставляючи в функціонал (19) подання розв’яз- ку (16) i застосовуючи до нього необхідні умови мінімуму 0, 0, 0, 0 k k k k F F F F C C D D             , (20) отримуємо безмежну систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) стосовно безмежних послідовностей коефіцієнтів , , , , 1,...k k k kC C D D k  2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 mmk k mk k k mmk k mk k k M C N D K O C P D L                            , 1,2  . (21) Коефіцієнти цієї системи знаходимо через корені трансцендентних рівнянь (17), а праві частини — ще й через функції крайових умов  x і  x . Наведемо їх тут для випадку симетрії ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ( )1 1 11 1 ( ) ( )( ) ( ) 1 1 1 42 m mk k mm mmk k k k mkmk e e u u M u u e e a                                   v v , (22) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 1( )( )2 mk m mmk k k m k e e N u u                   v v ( ) ( ) ( )1 ( )1 ( ) ( ) 1 1 4 mk mk mk u u e e a                , k m , (23)           2 2( ) ( ) 2 2 1( ) ( )( ) ( ) 1 1 2( ) 1 4 mm mm m m m m u e N ae u a              v , (24) ( ) ( ) mk mkP M  , ( ) ( ) mk mkO N  , (25) ( ) ( )( ) ( ) 1 1exp ( ) ( ) ( ) a m m m m a K x a x x u dx                v Василь Чекурін, Леся Постолакі Варіаційний метод розв’язування оберненої бігармонічної задачі в прямокутнику 152 ( ) ( )1 exp ( ) ( ) 2 a a m m a a u x a dx x dx a            , (26) ( ) ( )( ) ( ) 1 1exp ( ) ( ) ( ) a m m m m a L x a x x u dx                v ( ) ( )1 exp ( ) ( ) 2 a a m m a a u x a dx x dx a            . (27) У формулах (22)-(27) використано позначення  ( ) ( ) ( ) 1 2 cosk k ku       , ( ) 1k  v  ( ) ( )2 sink k     ,  1 exp 2k ke a   ,  2 exp 2k ke a   . Таким чином, знаходження розв’язку оберненої задачі (1), (10), (11) зведено до розв’язування безмежної СЛАР (21). 3. Моделювання вхідних даних Функції ( )x і ( )x , які є вхідними даними для оберненої задачі, можна отримати, як зазначалося раніше, шляхом фізичних вимірювань компонент вектора перемі- щень на поверхні реальних об’єктів. Проте, для дослідження ефективності запропо- нованого методу можна застосувати числовий експеримент для моделювання цих даних. Для цього необхідно розв’язати відповідну пряму задачу, що моделює ре- альні умови навантаження тіла, та за її розв’язком обчислити компоненти перемі- щень 1x yu  та 1y y u  , які діють на сторонах 1y   прямокутника, як функції коор- динати x. Одержані так залежності можна використовувати як функції ( )x і ( )x . Щоб врахувати вплив випадкових похибок на процес вимірювання, можна засто- сувати метод статистичного моделювання [9]. Цей підхід дозволяє на основі роз- рахованих залежностей 11 ( ) ( , ) , ( ) ( , )x y yy x u x y u x u x y    v отримувати з на- перед заданими параметрами статистичного розкиду реалізації випадкових полів ( )x і ( )x , що моделюють виміряні з відповідною точністю дані. Розглянемо для прикладу пряму задачу двовимірної теорії пружності для тіла прямокутного поперечного перерізу за умов навантаження        , , ,x y xx xyx a x ax a x a u u y u y y y           v , (28) 1 1 0yy xyy y      , (29) де  u y , ( )yv ,  y ,  y — задані функції. Симетрична задача такого типу виникає, зокрема, в дослідженні концент- рації напружень у тілі, грань x = – a якого є жорстко закріплена, а до протилеж- ної грані прикладені розподілені нормальні сили p( y) [8]. У цьому випадку ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2009, вип. 9, 145-159 153   0u y  ,  y Py E       v ,    y p y P   ,   0y  ,   1 1 1 2 P p y dy    . (30) Варіаційний метод розв’язування прямих бігармонічних задач для прямокут- ника розглянуто у статті [8]. За цим методом шуканий розв’язок подають у ви- гляді (16), який справджує крайові умови (29), а умови (28) задовольняють за нор- мою L2, шляхом мінімізації середньоквадратичного відхилення розв’язку від функ- цій правих частин рівностей (28). Із цією метою використовували функціонал     1 22 1 xx xyx a x a F y y                    22 0 0 ( )x yx x u u y u y dy             v . (31) Застосовуючи до функціонала (31) умови (20) і беручи до уваги формули (7), (9), (16), прийдемо до безмежної СЛАР виду (21), у якій        2 2( ) ( ) ( )( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 3( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 4 cos cos cos cos m m mk k k mk m m mk k k M                                    2( ) ( )( ) ( )1 1 m mk k                          2 2( ) ( )( ) ( )exp 2 m mk ka              ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )( ) ( ) 4 sin 4 , cos cos m mk k mk m mk k                             4 2( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )2 exp 4 3cos 3mm m m m mM a                   22 2( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 22 6 (1 ) , 3 cosm m m                    (32)         2 2( ) ( ) ( )( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 3 3( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 4 cos cos cos cos m m mk k k mk m m mk k k N                                       2 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 exp 2 1m m mk k k ka                            Василь Чекурін, Леся Постолакі Варіаційний метод розв’язування оберненої бігармонічної задачі в прямокутнику 154        2 22( ) ( )( ) ( ) ( )exp 2 m m mk ka                ( ) ( ) 2 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) sin 4 exp 2 , cos cos mk mk k m mk k a                              2( ) ( ) ( )exp 2mm m mN a             22 22( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 4cos 6 1 , 3 cosm m m m                       (33) ( ) ( ) mk kmO N  , (34)        2 2( ) ( ) ( )( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 3( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 4 cos cos cos cos m m mk k k mk m m mk k k P                                      2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 exp 2 1m m mk k ka                                   2 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )4 exp 2m m mk k ka                   ( ) ( ) 2 ( ) ( )( ) ( ) sin , cos cos mk m mk k                        4 2( ) ( ) 2 ( ) ( )2 3cos 3mm m m mP                    22 ( ) 22( ) ( ) 2 ( ) 6 1 22 exp 4 , 3 cos m m m m a                    (35)    1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 exp 2 ( ) ( )m m m m mK a y F y F                1 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1( ) ( ) ( ) 2m m mu y u y dy u y dy u dy         v v ,      1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) exp 2 ( ) ( )m m m m m m mL y F y F a u y u y dy                    v v   1 1 ( ) ( ) 1 1 1 exp 2 ( ) 2 m ma u y dy u dy         . (36) ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2009, вип. 9, 145-159 155 Таким чином, задавшися функціями  u y , ( )yv ,  y ,  y можемо роз- в’язати пряму задачу теорії пружності та за отриманим розв’язком обчислити компоненти вектора переміщень ux, uy на поверхні y = 1, зумовлені прикладеним навантаженням. Систему (21) для прямої задачі розв’язували методом редукції [9], обме- жившися при цьому скінченною кількістю N членів розвинення в сумі (16). Середньо- квадратичну точність отриманого розв’язку оцінювали за значенням функціонала (31). Проведеними числовими дослідженнями встановили, що для N = 20 середньо- квадратична похибка розв’язку, обчислена за нев’язкою заданих на сторонах x = ± a крайових умов, не перевищує 2 · 10 – 3. Навантаження вибирали у вигляді    2 0 3 2 1 2p y y   , для якого    2 0 0, 3 1 2P y y      . На рис. 1 показано розраховані за розв’язком прямої задачі для σ0 = 0,005E залежності нормованих на a компонент переміщень на поверхні y = 1 від без- розмірної координати. Розв’язування прямих задач дозволяє дослідити множини вхідних даних обер- неної задачі та вплив на них геометрії об’єкта й умов навантаження. Зокрема, наве- дені на рис. 1 графіки показують, що значення параметрів, які використовуються як вхідні дані для оберненої задачі, є достатні для їх вимірювання фізичними методами, істотно залежать від координати x і змінюються зі зміною геометрії області. Тому їх можна використовувати як достатньо інформативні параметри для оберненої задачі. 4. Числове дослідження розв’язку оберненої задачі Для розв’язування оберненої задачі (1), (12), (13) як вхідні дані використовували залежності   1 ( ) ,x y x u x y    ,     1 ,y y x u x y    , розраховані за розв’язком пря- мої задачі. Ця задача є істотно недоозначена, оскільки за двома заданими функ- ціями ( )x і  x , слід визначити чотири невідомі функції        , , ,y y u y y  v . Рис. 1. Розподіли нормальних (a) та дотичних (б) переміщень на поверхні 1y  для різних значень половинної ширини прямокутника: 1; 0,5; 0,25; 0,125a  (криві 1-4 відповідно) ux 0 – 0,005 x – 1 – 0,5 – 0,010 – 0,015 0 0,5 1 2 3 4 uy 0 – 0,005 – 0,010 – 0,015 – 1 – 0,5 0 0,5 x 1 2 3 4 а б Василь Чекурін, Леся Постолакі Варіаційний метод розв’язування оберненої бігармонічної задачі в прямокутнику 156 Для підвищення інформативності вхідних даних можна використовувати додат- кову апріорну інформацію. Наприклад, нехай додатково відомо, що   0y  і   0u y  , або відоме навантаження    ,y y  , прикладене до сторони x = a. У та- кому разі замість F1 використаємо такі функціонали    22 2 1 1 ( ) ( ) a x yy y a F u x u x dx                     1 2 22 1 xy x x ax a a u dy         , (37)    22 3 1 1 ( ) ( ) a x yy y a F u x u x dx                       1 22 1 xx xyx a x a a y y dy              . (38) Систему (21) розв’язували методом редукції та досліджували залежність точності отриманого числового розв’язку від утримуваних у розвиненні (16) кількості доданків N. Точність розв’язку оцінювали двома способами — за зна- ченнями функціоналів (37), (38) inv 0 1 , 1,2,3 8 F a      , (39) та за «істинною похибкою»       1 2 2 inv inv true 0 1 1 8 xx xyx a x a y y                      1 2 2 2inv inv ( )x yx a x a u u y u y dy         v . (40) Тут inv inv,xx xy  та inv inv,x yu u — компоненти тензора напружень і вектора переміщень, визначені за формулами (7), (9) на основі розв’язку  ,x y оберненої задачі. Ця похибка визначає середньоквадратичне відхилення розв’язку оберненої задачі на сторонах x a  прямокутника від крайових умов, які використовували у прямій задачі. Результати проведених числових експериментів подано у таблиці. Точність розв’язку оберненої задачі спочатку зростає зі зростанням кіль- кості доданків у розвиненні (16), а відтак зменшується, що є проявом обчислю- вальної нестійкості. Тож, існує певне граничне значення точності, яку можна досягнути, застосовуючи запропонований метод. Це значення залежить від умов, ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2009, вип. 9, 145-159 157 Таблиця N 1 2 3 4 δinv δtrue δinv δtrue δinv δtrue δinv δtrue a = 0,5 0,004 0,033 0,001 0,029 0,000 0,124 0,000 0,840 F1 a = 1 0,003 0,024 0,001 0,015 0,000 0,042 0,000 0,154 a = 0,5 0,042 0,034 0,021 0,025 0,023 0,026 0,024 0,032 F2 a = 1 0,025 0,020 0,004 0,008 0,002 0,005 0,001 0,007 a = 0,5 0,038 0,024 0,006 0,018 0,003 0,016 0,002 0,133 F3 a = 1 0,034 0,020 0,005 0,012 0,003 0,025 0,001 0,060 що діють на сторонах x = ± a. У прикладі, який досліджували, внаслідок розрив- ності функцій крайових умов кутові точки , 1x a y    є сингулярні для шука- ного розв’язку, що спричинює обчислювальну нестійкість вже для N = 3, а відтак і порівняно низьку граничну точність. В інших задачах, у яких функції крайових умов є більш гладкі, ця нестійкість проявляється за більших значень N, завдяки чому граничне значення точності буде значно вище. Це питання досліджено у статті [6]. Граничну точність можна підвищити, використовуючи додаткову апріорну чи апостеріорну інформацію. Це ілюструють розрахунки, проведені для функціоналів F2 та F3. Реальна точність відтворення напружено-деформованого стану на основі емпі- ричних даних залежатиме ще й від похибок вимірювання. Методику проведення числових досліджень впливу випадкових похибок, неминучих під час фізичних вимірювань, на точність розв’язування обернених задач запропоновано у праці [9]. Висновки. Сформульовано некоректно поставлену бігармонічну задачу у прямокут- нику, яка виникає в задачах відновлення двовимірного напружено-деформованого стану тіл прямокутного перерізу за даними вимірювань компонент переміщень на його поверхні. Розроблено варіаційний метод розв’язування цієї задачі, який приводить до безмежної лінійної системи алгебраїчних рівнянь, аналогічної тій, що виникає під час розв’язування відповідної прямої задачі варіаційним методом, запропонованим авторами раніше [8]. Завдяки цьому числова реалізація оберненої задачі вимагає обчислювальних затрат того ж порядку, що й пряма. Це створює перспективи застосування методу для розроблення математичного забезпечення програмних систем реального часу, призначених, наприклад, для моніторингу напружено-деформованого стану інженерних об’єктів. Запропонований варіаційний підхід є доволі універсальний, його можна розвинути й для випадків вхідних даних інших типів, отриманих із застосуван- ням відомих фізичних методів відбору інформації про параметри напружено-де- формованого стану твердих тіл. Наприклад, застосовуючи п’єзомагнітний метод, можна вимірювати розподіл різниці головних напружень на поверхні тіла, а за допомогою методу акустопружності — визначати середньоінтегральні параметри напружено-деформованого стану вздовж деяких напрямків у тілі [10] і т. д. Вико- ристовуючи ці дані прийдемо до інших типів некоректно поставлених бігармо- нічних задач, розв’язок яких можна шукати у вигляді подання (16). Василь Чекурін, Леся Постолакі Варіаційний метод розв’язування оберненої бігармонічної задачі в прямокутнику 158 Література [1] Уфлянд, Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости / Я. С. Уфлянд. — Ленинград, 1968. — 576 с. [2] Тимошенко, С. П. Теория упругости / С. П. Тимошенко, Дж. Гудьер. — Москва: Наука, 1975. — 508 с. [3] Мелешко, В. В. Змішування в’язкої рідини у прямокутній порожнині / В. В. Мелешко, Г. Я. Ф. ван Хейст // Мат. методи та фіз.-мех. поля. — 2006. — T. 49, № 1. — С. 43-52. [4] Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. — Москва: Наука, 1972. — 735 с. [5] Гринченко, В. Т. О локальных особенностях в математических моделях физических полей / В. Т. Гринченко, А. Ф. Улитко // Мат. методи та фіз.-мех. поля. — 1998. — T. 41, № 1. — С. 12-34. [6] Чекурин, В. Ф. Вариационный метод решения прямых и обратных задач теории упругости для полубесконечной полосы / В. Ф. Чекурин // Изв. РАН. Механика твердого тела. — 1999. — № 2. — С. 58-70. [7] Розробка технології і апаратури для діагностики конструкцій з металевих та композиційних мате- ріалів на основі методу електронної ширографії / Л. М. Лобанов, В. А. Півторак, В. В. Савицький, І. В. Киянець // Проблеми ресурсу і безпеки експлуатації конструкцій, споруд та машин. — Київ: ІАЕ ім. Є. О. Патона НАНУ, 2006. — C. 67-72. [8] Чекурін, В. Ф. Варіаційний метод розв’язування бігармонічних задач для прямокутної області / В. Ф. Чекурин, Л. І. Постолакі // Мат. методи та фіз.-мех. поля. — 2008. — T. 51, № 1. — С. 88-98. [9] Чекурин, В. Ф. Обратная задача неразрушающего контроля уровня закалки листового стекла / В. Ф. Чекурин // Изв. РАН. Механика твердого тела. — 1998. — № 3. — С. 86-97. [10] Чекурін, В. Ф. Пружні збурення в неоднорідно деформованих твердих тілах / В. Ф. Чекурін, О. З. Кравчишин. — Львів: «Сполом». — 2008. — 154 с. Variational method for solving of inverse biharmonic problems in rectangle Vasyl Chekurin A variational method for solving inverse biharmonic problem has been introduced. The rectangle    1 1a x a y      has been considered. The inhomogeneous boundary conditions acting on the pair of opposite rectangle legs x a  are a priory unknown. On each leg of the other pair 1y   four boundary conditions are given: the homogeneous conditions for the desired function  and their normal derivative y  and the conditions  1u yL x   ,  1v yL x   , where ,u vL L — linear integro-differential operators,    ,x x  — given functions. The solution is represented as expansion in terms of full systems of biharmonic functions each of which satisfies identically the given homogeneous conditions on the legs 1y   . The quadratic functional determining in the L2 norm the deviation of the solution from the given on the legs 1y   inhomogeneous conditions has been built. The functional minimum conditions lead to infinite system of linear algebraic equations. As an example the method has been applied to determine 2-D stress-strained state of rectangular cross-section solid on the base of data gathered by measuring of the displacements on the body surface. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2009, вип. 9, 145-159 159 Вариационный метод решения обратной бигармонической задачи в прямоугольнике Василь Чекурин, Леся Постолаки Предложен вариационный метод решения обратной бигармонической задачи. Рассматри- вается прямоугольник    1 1a x a y      , на боковых сторонах x a  которого действуют априори неизвестные неоднородные граничные условия. Вместе с тем на каждой из сторон 1y   задано четыре граничных условия: однородные условия для искомой функции  и ее нормальной производной y  , а также неоднородные условия вида  1u yL x   и  1v yL x   , где ,u vL L — линейные интегро-дифференциальные опе- раторы,    ,x x  — заданные функции. Решение задачи представляется в виде разложе- ния по полным системам бигармонических функций, тождественно удовлетворяющих заданные на сторонах 1y   однородные условия. Построен квадратический функционал, который определяет в норме L2 отклонение решения задачи от заданных на сторонах 1y   неоднородных условий. Условия минимума этого функционала приводят к беско- нечной системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разло- жения решения. Рассмотрен пример применения разработанного метода для определения двумерного напряженно-деформированного состояния тела прямоугольного сечения по данным измерений нормальной и тангенциальной компонент вектора перемещений на его поверхности. Отримано 31.03.09
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-22093
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1816-1545
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-01T03:48:27Z
publishDate	2009
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
record_format	dspace
spelling	Чекурін, В. Постолакі, Л. 2011-06-20T15:34:46Z 2011-06-20T15:34:46Z 2009 Варіаційний метод розв’язування оберненої бігармонічної задачі в прямокутнику / В. Чекурін, Л. Постолакі // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 9. — С. 145-159. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22093 539.3 Запропоновано варіаційний метод розв’язування оберненої бігармонічної задачі. Розглядається прямокутник, на бічних сторонах якого діють неоднорідні крайові умови, що апріорі невідомі. На сторонах , натомість, задано по чотири умови — однорідні умови для шуканої функції та її нормальної похідної , а також неоднорідні умови і , де — лінійні інтегро-диференціальні оператори, — задані функції. Розв’язок задачі подано у вигляді розвинення за незалежними повними системами бігармонічних функцій, що тотожно задовольняють однорідні умови на сторонах . Введено квадратичний функціонал, який за нормою L2 визначає відхилення розв’язку задачі від заданих на сторонах неоднорідних умов. Умови мінімуму функціонала приводять до безмежної системи лінійних рівнянь стосовно коефіцієнтів розвинення розв’язку. Розглянуто приклад застосування розробленого методу для визначення двовимірного напружено-деформованого стану тіла прямокутного перерізу за даними вимірювань нормальної та дотичної компонент вектора переміщень на його поверхні. A variational method for solving inverse biharmonic problem has been introduced. The rectangle has been considered. The inhomogeneous boundary conditions acting on the pair of opposite rectangle legs are a priory unknown. On each leg of the other pair four boundary conditions are given: the homogeneous conditions for the desired function and their normal derivative and the conditions , , where — linear integro-differential operators, — given functions. The solution is represented as expansion in terms of full systems of biharmonic functions each of which satisfies identically the given homogeneous conditions on the legs . The quadratic functional determining in the L2 norm the deviation of the solution from the given on the legs inhomogeneous conditions has been built. The functional minimum conditions lead to infinite system of linear algebraic equations. As an example the method has been applied to determine 2-D stress-strained state of rectangular cross-section solid on the base of data gathered by measuring of the displacements on the body surface. Предложен вариационный метод решения обратной бигармонической задачи. Рассматривается прямоугольник , на боковых сторонах которого действуют априори неизвестные неоднородные граничные условия. Вместе с тем на каждой из сторон задано четыре граничных условия: однородные условия для искомой функции и ее нормальной производной , а также неоднородные условия вида и , где — линейные интегро-дифференциальные операторы, — заданные функции. Решение задачи представляется в виде разложения по полным системам бигармонических функций, тождественно удовлетворяющих заданные на сторонах однородные условия. Построен квадратический функционал, который определяет в норме L2 отклонение решения задачи от заданных на сторонах неоднородных условий. Условия минимума этого функционала приводят к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения решения. Рассмотрен пример применения разработанного метода для определения двумерного напряженно-деформированного состояния тела прямоугольного сечения по данным измерений нормальной и тангенциальной компонент вектора перемещений на его поверхности. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Варіаційний метод розв’язування оберненої бігармонічної задачі в прямокутнику Variational method for solving of inverse biharmonic problems in rectangle Вариационный метод решения обратной бигармонической задачи в прямоугольнике Article published earlier
spellingShingle	Варіаційний метод розв’язування оберненої бігармонічної задачі в прямокутнику Чекурін, В. Постолакі, Л.
title	Варіаційний метод розв’язування оберненої бігармонічної задачі в прямокутнику
title_alt	Variational method for solving of inverse biharmonic problems in rectangle Вариационный метод решения обратной бигармонической задачи в прямоугольнике
title_full	Варіаційний метод розв’язування оберненої бігармонічної задачі в прямокутнику
title_fullStr	Варіаційний метод розв’язування оберненої бігармонічної задачі в прямокутнику
title_full_unstemmed	Варіаційний метод розв’язування оберненої бігармонічної задачі в прямокутнику
title_short	Варіаційний метод розв’язування оберненої бігармонічної задачі в прямокутнику
title_sort	варіаційний метод розв’язування оберненої бігармонічної задачі в прямокутнику
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22093
work_keys_str_mv	AT čekurínv varíacíiniimetodrozvâzuvannâobernenoíbígarmoníčnoízadačívprâmokutniku AT postolakíl varíacíiniimetodrozvâzuvannâobernenoíbígarmoníčnoízadačívprâmokutniku AT čekurínv variationalmethodforsolvingofinversebiharmonicproblemsinrectangle AT postolakíl variationalmethodforsolvingofinversebiharmonicproblemsinrectangle AT čekurínv variacionnyimetodrešeniâobratnoibigarmoničeskoizadačivprâmougolʹnike AT postolakíl variacionnyimetodrešeniâobratnoibigarmoničeskoizadačivprâmougolʹnike

Варіаційний метод розв’язування оберненої бігармонічної задачі в прямокутнику

Institution

Similar Items