Поперечні коливання циліндричної ортотропної панелі з круговим масивним включенням
Розглядаємо задачу про власні коливання циліндричної шарнірно опертої ортотропної панелі з круговим масивним включенням. Напружено-деформований стан панелі описуємо модифікованими рівняннями теорії оболонок Тимошенка. Числовий розв’язок задачі будуємо непрямим методом граничних інтегральних рівнянь,...
Saved in:
| Published in: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2009
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22095 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Поперечні коливання циліндричної ортотропної панелі з круговим масивним включенням / Т. Шопа // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 9. — С. 170-179. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859461750851633152 |
|---|---|
| author | Шопа, Т. |
| author_facet | Шопа, Т. |
| citation_txt | Поперечні коливання циліндричної ортотропної панелі з круговим масивним включенням / Т. Шопа // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 9. — С. 170-179. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| description | Розглядаємо задачу про власні коливання циліндричної шарнірно опертої ортотропної панелі з круговим масивним включенням. Напружено-деформований стан панелі описуємо модифікованими рівняннями теорії оболонок Тимошенка. Числовий розв’язок задачі будуємо непрямим методом граничних інтегральних рівнянь, який ґрунтується на послідовнісному зображенні сингулярних розв’язків. Досліджено вплив маси включення на власні частоти панелі.
The problem on proper vibrations of the loosely leant cylindrical orthotropic panel with a circular massive rigid inclusion is considered in this paper. The stress-strain state of the panel is described by modified equations of Tymoshenko's theory of shells. Numerical solution of the problem is found by the indirect method of boundary elements based on the sequential approach to constructing generalized functions and on the collocation method. The influence of the inclusion mass on the natural frequencies of the panel is investigated.
Рассматривается задача о собственных колебаниях цилиндрической шарнирно закрепленной ортотропной панели с круговым массивным включением. Напряженно-деформируемое состояние панели описывается модифицированными уравнениями теории оболочек Тимошенко. Численное решение этой задачи построено непрямым методом граничных интегральных уравнений, базирующимся на секвенциальном изображении сингулярных решений. Исследуется влияние массы включения на собственные частоты колебаний оболочки.
|
| first_indexed | 2025-11-24T05:18:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
170
Поперечні коливання циліндричної ортотропної панелі
з круговим масивним включенням
Тетяна Шопа
Інститут прикладних проблем механіки та математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Наукова, 3б, Львів,
79060, e-mail: tetyana.sh@gmail.com
(Представлено професором О. Гачкевичем)
Розглядаємо задачу про власні коливання циліндричної шарнірно опертої ортотропної па-
нелі з круговим масивним включенням. Напружено-деформований стан панелі описуємо моди-
фікованими рівняннями теорії оболонок Тимошенка. Числовий розв’язок задачі будуємо
непрямим методом граничних інтегральних рівнянь, який ґрунтується на послідовнісному
зображенні сингулярних розв’язків. Досліджено вплив маси включення на власні частоти панелі.
Ключові слова: циліндрична ортотропна панель, масивне включення, мо-
дель Тимошенка, метод граничних інтегральних рівнянь, послідовнісний
підхід, узагальнений метод Фур’є, дельтоподібні функції.
Вступ. Коливання суцільних анізотропних і багатошарових тонкостінних елемен-
тів конструкцій широко досліджено в літературі, зокрема, у роботах [1-5], у яких
для вивчення власних і вимушених коливань цих елементів застосовано метод
скінченних елементів. У праці [6] проаналізовано вплив розтягу композитних
оболонок на власні частоти поперечних коливань із використанням рівнянь руху
типу Доннела та методу Гальоркіна. На основі рівнянь руху класичної теорії Лява
у роботі [7] для визначення частот власних коливань ламінованих оболонок ви-
користано загальний метод квадратур. Праця [8, 9] узагальнює попередні резуль-
тати щодо вивчення поширення хвиль у ламінованих оболонках із перехресними
шарами. Нелінійні деформації нескінченної циліндричної композитної оболонки
досліджено у праці [10]. Метод колокацій із використанням сплайн-функцій
використано в роботі [11] для розрахунку власних коливань циліндричної компо-
зитної оболонки. Для відшукання власних коливань некругових композитних ци-
ліндричних оболонок у [12] застосовано метод еквівалентних кривин.
У роботах [13-16] у рамках класичної теорії розглядали коливання композит-
них оболонок, ламінованих оболонок і пластин із прямокутним і круговим отворами.
У пропонованій роботі у межах рівнянь теорії оболонок Тимошенка розгля-
даємо коливання циліндричної панелі з круговим масивним абсолютно жорстким
включенням. Використовуючи метод Фур’є і підхід до побудови узагальнених
функцій, запропонований у роботі [18], відповідну крайову задачу зведено до сис-
теми інтегральних рівнянь, які розв’язуємо методом колокацій.
УДК 539.3
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 9, 170-179
171
1. Постановка задачі та ключові рівняння
Розглянемо усталений режим коливань циліндричної ортотропної панелі з жорстко
приєднаним круговим масивним абсолютно жорстким включенням маси m0 і ра-
діуса R0. Панель має скінченну довжину l1, радіус кривини R, а її зовнішні краї
шарнірно оперті. Циліндричну систему координат вибрано так, що вісь α1 напрям-
лено вздовж осі панелі, а колова координата α2 = Rφ, де φ — центральний кут.
По осі симетрії включення вздовж нормалі до поверхні панелі діє сила P =
( )0 0sinP t= θ , яка змінюється за гармонічним законом із частотою θ0 та амплітудою P0.
Граничні умови на краях панелі 1 0,α = 1 1,lα = 2 0,α = 2 ,kα = π що відпові-
дають шарнірному опиранню, такі
0, 0, 0, 0, 0n nw M N uτ τ= = = = γ = , (1)
де , , , ,n nu w M Nτ τγ — дотичні компоненти осьового переміщення, кута повороту
та прогин, нормальні компоненти моменту й осьової сили.
Крайові умови на контурі L, що відповідають жорсткому контакту панелі
та включення, такі
( )0 00, 0, sinn nu w w t= γ = = θ . (2)
Тут n = {n1(ξ), n2(ξ)} — одиничний нормальний вектор до лінії L; w0 — амплітуда
переміщення включення; ,n nu γ — нормальні компоненти осьового переміщення
та кута повороту.
Рівняння руху масивного включення має вигляд
( ) ( )
2
0 2 ,
L
wm P p t d
t
∂
= − ξ ξ
∂ ∫ , (3)
де ( ),p tξ — сили взаємодії панелі та включення.
Якщо у рівняннях теорії оболонок Тимошенка знехтувати поворотами на-
вколо нормалі до серединної поверхні, то можна ввести потенціали осьових пере-
міщень і кутів повороту [18]
Рис. 1
h
R
R0
α 2
α 1
0
Тетяна Шопа
Поперечні коливання циліндричної ортотропної панелі з круговим масивним включенням
172
( ) ( ) ( )1 2 1 2; 1,2 ; , ; ,i i
i i
uu i u u∂ ∂γ
= − γ = − = = α α γ = γ α α
∂α ∂α
.
Для ортотропного матеріалу, ґрунтуючись на співвідношеннях теорії обо-
лонок Тимошенка, рівняння руху набувають вигляду
( ) ( ) ( ) 1 2
11 12 13
1 2
q qL u L w L ∂ ∂
+ + γ = +
∂α ∂α
,
( ) ( ) ( ) 1 2
31 32 33
1 2
m mL u L w L ∂ ∂
+ + γ = +
∂α ∂α
,
( ) ( ) ( )
2
21 22 23 32
2h wL u L w L q
B t
ρ ∂
+ + γ − =
∂
, (4)
де
( ) ( ) ( )3 5 51 2 1
11 22 0 0 33; 2 ;B DL L k h L= ∆ − ∆ = −∆ + − ρθ = ∆ − ∆ ;
( ) ( ) ( ) ( )2 4 4 5
12 21 13 31 32 23; ;L L L L L L= = −∆ − ∆ = = ∆ = = ∆ ;
( )
4 4 4
1
1 1 12 12 2 21 24 2 2 4
1 1 2 2
4 ;B B B B B B∂ ∂ ∂
∆ = + ν + + ν +
∂α ∂α ∂α ∂α
( )
4 4 4
1
1 1 12 12 2 21 24 2 2 4
1 1 2 2
4 ;D D D D D D∂ ∂ ∂
∆ = + ν + + ν +
∂α ∂α ∂α ∂α
( ) ( ) ( )
2 2
2
1 1 2 12 2 2 2 1 21 12 2
1 2
B k B k B k B k∂ ∂
∆ = + ν + + ν
∂α ∂α
;
( ) ( )
2 2 2 2
3 42 2
1 1 2 2 1 1 2 22 2 2 2
1 2 1 2
; ;k k k k∂ ∂ ∂ ∂
∆ = Λ + Λ ∆ = Λ + Λ
∂α ∂α ∂α ∂α
( )
2 2 2 2
5
1 22 2 2 2
1 2 1 2
; ;∂ ∂ ∂ ∂
∆ = Λ + Λ ∆ = +
∂α ∂α ∂α ∂α
( ) ( )0 1 1 1 12 2 2 2 2 21 1k k B k k k B k k= + ν + + ν ;
( )
3 3
12
12 3
12 21
2 2; ; 2 ;
3 1 3
i
i i i
h E h GD D hG= = Λ =
− ν ν
12 13
12 12
2 ; 2 ;
1
i
i
hEB B hG= =
− ν ν
ν12; ν21 — характеристики матеріалу панелі; k1 = 0, k2 =
= 1 / R — кривини поверхні; 2h — товщина панелі, а R — радіус її серединної по-
верхні; ρ — густина матеріалу; u1, u2, w, γ1, γ2 — компоненти вектора переміщення,
прогин і кути повороту нормалі до серединної поверхні; qi, mi — зовнішнє наван-
таження. Відзначимо, що у рівняннях (4) з огляду на характер зовнішньої дії вра-
ховано інерційний складник лише у напрямку нормалі до серединної поверхні.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 9, 170-179
173
Нормальні та дотичні компоненти переміщень і зусиль уздовж деякої гладкої
кривої C з одиничним нормальним {n1(α1, α2); n2(α1, α2)} і тангенціальним {τ1(α1, α2);
τ2(α1, α2)} векторами визначаються за формулами
1 2 1 2
1 2 1 2
,n
u u u uu n n uτ
∂ ∂ ∂ ∂
= − + = − τ + τ ∂α ∂α ∂α ∂α
,
1 2 1 2
1 2 1 2
,n n n τ
∂γ ∂γ ∂γ ∂γ
γ = − + γ = − τ + τ ∂α ∂α ∂α ∂α
,
2 2 2 2
11 1 12 1 2 22 2 11 1 12 1 2 22 22 , 2n nM M n M n n M n N N n N n n N n= + + = + + ,
1 1 2 2nQ Q n Q n= + ,
де Qi, Mij, Nij — внутрішні зусилля в панелі.
Таким чином, для визначення невідомих функцій u, w, γ й амплітуди w0 ма-
ємо систему рівнянь (3), (4), граничні та контактні умови (1), (2).
2. Побудова функції Гріна системи
Для побудови фундаментального розв’язку системи (4) приймаємо, що зовнішнє
навантаження у правих частинах цих рівнянь має вигляд [18]
( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 0, , sinr r r r
i iq n tε ε= Τ δ α α δ α α θ (i = 1, 2),
( ) ( ) ( )3 1 1 1 2 2 2 0, , sinr r r r
i im n tε ε= Τ δ α α δ α α θ (i = 1, 2),
( ) ( ) ( )3 2 1 1 1 2 2 2 0, , sinr r rq tε ε= Τ δ α α δ α α θ , (5)
де індекс r відповідає значенням відповідних величин у точці ( )1 2,r r rα α α .
1 , ,
2( , )
0, ,
r
r
r
i
r
g
ε
ξ − ξ
ξ − ξ ≤ ε ε εδ ξ ξ =
ξ − ξ > ε
g(ξ) (0 ≤ ξ ≤ 1) — дельтоподібна функція (спадна гладка функція; g(1) = 0;
1
0
( ) 1g dξ ξ =∫ ), ε — довжина відрізка локалізації дельтоподібної функції.
Функцію Гріна системи рівнянь (1) шукаємо у вигляді
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )00 0 1 1
,
lim , lim sin ,
,
r
km
r
km km
k m
r
km
uu u
t
w w w
ε
∞ ∞
ε
ε→ ε→ = =
ε
α α α ε
γ α = γ α ε = γ α Φ α θ
α α ε α
∑∑ (6)
Тетяна Шопа
Поперечні коливання циліндричної ортотропної панелі з круговим масивним включенням
174
де ( ) ( ) ( )1 1 2 2sin sinkm k mΦ α = λ α λ α , 1kλ = k lπ або 2m m Rλ = .
Формули (6) задовольняють умови (1) шарнірного опирання на краях панелі.
Подамо дельтоподібні функції у формулах (5) таким чином [17, 18]
( ) ( ) ( ) ( )
1
2, sin sinr r
k k k
kl
∞
ε
=
δ ξ ξ = ϕ λ ε λ ξ λ ξ∑
або
( ) ( ) ( ) ( )
1
2 1, cos cos ,
2
r r
k k k
kl
∞
ε
=
δ ξ ξ = + ϕ λ ε λ ξ λ ξ
∑
де ( ) ( ) ( )
1
0
, cosk kg s s dsϕ λ ε = λ ε∫ , λk дорівнює λ1k або λ2m.
Із формул (5), (6) і рівнянь (4) одержимо систему алгебраїчних рівнянь від-
носно коефіцієнтів розкладу ключових функцій, розв’язок якої має вигляд
( )
( )
( )
( ) ( ) { }
r
km
r r
km km km km
r
km
u
w C
ε
ε
ε
α
α = ε α
γ α
rU Ω T , (7)
( )
( )
( )
( )
0 0
0 0
0 0
r
km
r r
km km
r
km
n
n
∂Φ α
∂
α = Φ α
∂Φ α
∂
Ω ,
{ } ( ) ( ) ( )
11 2 3
1 2 3 2 1 2
1 2
1 2 3 3
4, ,
r
km km km
r r
km km km km km k m
r
km km km
Tu u u
w w w T C
l l
T
= = ε = ϕ λ ε ϕ λ ε
γ γ γ
U T ,
( ) ( )5 51 3 2 33 1
11 22 0 0; 2 ; ;km B km D
km km km kmkm kmL L k h L= ∆ − ∆ = −∆ + + ρθ = ∆ − ∆
( ) ( ) ( ) ( )2 4 4 512 21 13 31 23 32; ; ;km km km km km kmkm km km kmL L L L L L= = −∆ − ∆ = = ∆ = = ∆
( )1 4 2 2 4
1 1 1 12 12 2 21 1 2 2 24 ;B
km k k m mB B B B B∆ = λ + ν + + ν λ λ + λ
( )1 4 2 2 4
1 1 1 12 12 2 21 1 2 2 24 ;D
km k k m mD D D D D∆ = λ + ν + + ν λ λ + λ
( ) ( ) ( )2 2 2
1 1 2 12 2 1 2 2 1 21 1 2 ;k mkm B k B k B k B k∆ = − + ν λ − + ν λ
( )3 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 ;k mkm k k∆ = −Λ λ −Λ λ ( )4 2 2
1 1 1 2 2 2 ;k mkm k k∆ = −Λ λ − Λ λ
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 9, 170-179
175
( )5 2 2
1 1 2 2 ;k mkm∆ = −Λ λ − Λ λ 2 2
1 2 ;km k m∆ = −λ − λ
( ) ( )0 1 1 1 12 2 2 2 2 21 1 ;k k B k k k B k k= + ν + + ν
( ) ( )1 22 33 23 32 0 2 32 13 12 33 0;km km km km km km km km
km kmu L L L L u L L L L= − Ω = − Ω ;
( ) ( )3 12 23 13 22 0 1 23 31 21 33 0;km km km km km km km km
km kmu L L L L w L L L L= − Ω = − Ω ;
( ) ( )2 11 33 13 31 0 3 21 13 11 23 0;km km km km km km km km
km kmw L L L L w L L L L= − Ω = − Ω ;
( ) ( )1 21 32 22 31 0 2 11 22 12 21 0;km km km km km km km km
km kmL L L L L L L Lγ = − Ω γ = − Ω ;
( )3 13 31 11 32 0 0, detkm km km km
km ijL L L L Lγ = − Ω Ω = .
Подвійні ряди у розв’язку (7) рівномірно збіжні для ε ≠ 0 і тому можна зро-
бити граничний перехід: ε → 0. Із співвідношень (7) за граничного переходу ε → 0
отримаємо функції Гріна крайової задачі (1)-(4).
3. Інтегральне подання розв’язку. Метод колокацій
Узагальнений розв’язок задачі (1), (4) подамо у вигляді інтегральних згорток фік-
тивних зусиль і моментів T1(ξ) sin (θ0t), T2(ξ) sin (θ0t), T3(ξ) sin (θ0t) та функції Гріна
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 20 , 1
, lim km
km km km km
k mL
w t C w T w T
n
∞
ε→ =
∂Φ ξ
α = ε ξ + Φ ξ ξ + ∂
∑∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 0sinkm
km kmw T dl t
n
∂Φ ξ
+ ξ Φ α ξ θ∂
,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 20 , 1
, lim km
km km km km
k mL
u t C u T u T
n
∞
ε→ =
∂Φ ξ
α = ε ξ + Φ ξ ξ + ∂
∑∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 0sinkm
km kmu T dl t
n
∂Φ ξ
+ ξ Φ α ξ θ∂
,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 20 , 1
, lim km
km km km km
k mL
t C T T
n
∞
ε→ =
∂Φ ξ
γ α = ε γ ξ + γ Φ ξ ξ + ∂
∑∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 0sinkm
km kmT dl t
n
∂Φ ξ
+ γ ξ Φ α ξ θ∂
.
Звідси, врахувавши крайові умови (2), після граничного переходу при α → α0,
α0 ∈ L, прийдемо до системи трьох інтегральних рівнянь та одного інтегрального
співвідношення
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 20 , 1
lim km
km km km km
k mL
C w T w T
n
∞
ε→ =
∂Φ ξ
ε ξ + Φ ξ ξ + ∂
∑∫
Тетяна Шопа
Поперечні коливання циліндричної ортотропної панелі з круговим масивним включенням
176
( ) ( ) ( ) ( )3 3 0
km
km kmw T dl w
n
∂Φ ξ
+ ξ Φ α ξ =∂
,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 20 , 1
lim km
km km km km
k mL
C u T u T
n
∞
ε→ =
∂Φ ξ
ε ξ + Φ ξ ξ + ∂
∑∫
( ) ( ) ( ) ( )3 3 0km km
kmu T dl
n n
∂Φ ξ ∂Φ α
+ ξ ξ =∂ ∂
,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 20 , 1
lim km
km km km km
k mL
C T T
n
∞
ε→ =
∂Φ ξ
ε γ ξ +γ Φ ξ ξ + ∂
∑∫
( ) ( ) ( ) ( )3 3 0km km
km T dl
n n
∂Φ ξ ∂Φ α
+γ ξ ξ =∂ ∂
,
( ) ( )2
0 0 0 0 n
L
m w P Q dθ = − ξ ξ∫ . (8)
Тут
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2 , ( 1,2)km km
km km ikm
i
n n i
n
∂Φ α ∂Φ α
= Φ α + Φ α Φ α = =
∂ ∂α
.
Наближений розв’язок системи рівнянь (8) шукаємо методом колокацій.
Лінію L наближаємо ламаною лінією L*, складеною з прямолінійних відрізків
, 1,rL r N= , уздовж кожного з яких невідомі густини набувають значень ( )iT ξ =
( ) ( ), 1,3r r
iT iε= δ ξ ξ = . Відрізок rL задаємо довжиною 2 rl , середньою точкою
( )1 2,r r rξ ξ ξ і напрямним одиничним вектором { }1 2,r rτ τ ( ) ( ){ }1 2,r r= τ ξ τ ξ . Границі
за ε → 0 сум тригонометричних рядів у (8) наближаємо відповідними частковими
сумами порядку К за достатньо малого ε ≠ 0.
Обчисливши інтеграли в системі рівнянь (8) з урахуванням зроблених припу-
щень і наблизивши нев’язку розв’язку в контрольних точках 1 2( ; ), 1,q qq q Nα α α =
до нуля, зведемо (8) до такої системи алгебраїчних рівнянь
11 2 3
1 2 3 2
1
01 2 3 3
( , ) ( , ) ( , ) 0
( , ) ( , ) ( , ) 0 , 1,
( , ) ( , ) ( , )
rr q r q r q
N
r q r q r q r
r r q r q r q r
Tu u u
q NT
ww w w T
=
α ε α ε α ε
γ α ε γ α ε γ α ε = =
α ε α ε α ε
∑ ,
3
2
0 0 0 0
1 1
N
rq r
ns s
s r
Q T m w P
= =
= θ +∑∑ . (9)
Тут
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 9, 170-179
177
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2, , ,
r q q
r q r q r
i km ikm km kmu C u u C u
n n n
∂Φ α ∂Φ α ∂Φ α
α ε = ε α ε = ε Φ α
∂ ∂ ∂
,
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2, , ,
r q q
r q r q r
i km ikm km kmC C
n n n
∂Φ α ∂Φ α ∂Φ α
γ α ε = ε γ γ α ε = ε γ Φ α
∂ ∂ ∂
,
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2, , ,
r
r q q r q r q
i km ikm km kmw C w w C w
n
∂Φ α
α ε = ε Φ α α ε = ε Φ α Φ α
∂
,
( ) ( )2 2
( )( , ) ( ) , ( , ) ( ) ( )
r
r q q r q q r
i km ikm km kmQ C Q Q C Q
n
∂Φ α
α ε = ε α α ε = ε α Φ α
∂
,
( ) ( ) ( )11 1 1 1 kmikm ikm ikm ikm kQ w k u nα = Λ −γ + + λ Φ α +
( ) ( )2 2 2 2 2ikm ikm ikm m kmw k u n +Λ −γ + + λ Φ α ( 1,3)i = .
Дискретні аналоги нормальних до кривої L компонент переміщень і зусиль
одержимо у вигляді
( )
( )
( )
( )
11 2 3
1 2 3 02
1
1 2 3 3
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) sin
( , ) ( , ) ( , )
rr r r
N
r r r r
n
r r r r r
n
w Tw w w
tT
u u uu T
=
α α ε α ε α ε
γ α = γ α ε γ α ε γ α ε θ
α ε α ε α εα
∑ ,
( )
( )
( )
( )
1 11 2 3
1 2 3 02 2
1
1 2 33 3
( , ) ( , ) ( , )
1 ( , ) ( , ) ( , ) sin
2
( , ) ( , ) ( , )
r rr r r
n N
r r rr r
n
r r r rr r
n
Q T TQ Q Q
M M M M tT T
N N NN T T
=
α α ε α ε α ε
α = + α ε α ε α ε θ
α ε α ε α εα
∑ . (10)
Таким чином, знайшовши з системи (9) значення параметрів k
iT та підста-
вивши їх у формули (10), визначимо напружено-деформований стан оболонки.
Частоти власних коливань оболонки знаходимо з умови рівності нулю ви-
значника системи рівнянь (9).
4. Числовий приклад
Числові дані отримані для випадку трансверсальної ізотропії за таких значень від-
носних параметрів 12 00,3; 1м; / 1/ ; 0,1; 0,005; 20; 400;l R l R R l N Kν = = = π = ε = = =
11
1 13 121; 10 Pa; 5E E E G G= = = .
Криві на рис. 2 ілюструють залежність приведених частот 0 12h Dθ = θ ρ
власних коливань панелі від відношення маси включення до маси елемента па-
нелі радіуса 0R , яке позначено m . Криві 1, 2, 3 відповідають значенням приве-
деної товщини оболонки h /l = 0,0125; 0,025; 0,05 відповідно.
Тетяна Шопа
Поперечні коливання циліндричної ортотропної панелі з круговим масивним включенням
178
Висновки. Показано, що зі збільшенням густини включення основна частота
власних коливань зменшується. Збільшення товщини панелі призводить до збіль-
шення частоти власних коливань. За наявності включення частота є менша, ніж
частота для суцільної панелі без включення. У випадку наближення густини
включення до густини матеріалу панелі власна частота прямує до власної частоти
суцільної панелі, що підтверджує правильність обчислень і добру збіжність методу.
Таку якісну залежність частоти власних коливань від маси включення отримано
також у роботі [17, 18].
Література
[1] Lakshminarayana, H. Free vibration characteristics of cylindrical shells made of composite mathe-
rials / H. Lakshminarayana, V. Dwarakanath // J. of Sound and Vibration. — 1992. —Vol. 154. —
P. 431-439.
[2] Ramesh, T. C. A finite element based on a discrete layer theory for the free vibration analysis of
cylindrical shells / T. C. Ramesh, N. Genesan // Computer Structures. — 1992. —Vol. 43. —
P. 137-143.
[3] Sun, G. An investigation of fundamental frequencies of laminated circular cylinders given by shear
deformable finite elements / G. Sun, P. N. Benne, F. W. Williams // J. of Sound and Vibration. —
1997. —Vol. 205. — P. 265-273.
[4] Григоренко, Я. М. Численно-аналитическое решение задач механики оболочек на основе
различных моделей / Я. М. Григоренко, Г. Г. Влайков, А. Я. Григоренко. — Киев: НАН Укра-
ины. Ин-т механики им. С. П. Тимошенко. Техн. центр Академпериодика, 2006. — 472 с.
[5] Hufenbach, W. Vibration and damphing behavior of multi-layered composite cylindrical shells /
W. Hufenbach, C. Holste, L. Kroll // Composite Structures. — 2002. —Vol. 58. — P. 165-174.
[6] Soldatos, K. P. On the buckling and vibration of anti-symmetric angle-ply laminated circular shells /
K. P. Soldatos // Int. J. Engng. Sci. — 1983. — Vol. 21. — P. 217-222.
[7] Shu, C. Free vibration analysis of laminated composite cylindrical shells by DQM / C. Shu, H. Du //
Composite. Part B. — 1997. — Vol. 28B. — P. 267-274.
[8] Zang, X. M. Vibration analysis of cross-ply laminated composite cylindrical shells using the wave
propagation approach / X. M. Zang // Applied coustics. — 2001. — Vol. 62. — P. 1221-1228.
[9] Hu, H.-T. Maximization of the fundamental frequencies of laminated cylindrical shells with respect
to fiber orientation / H.-T. Hu, J.-Y. Tsai // J. of Sound and Vibration. — 1999. —Vol. 225. —
P. 723-740.
Рис. 2. Власні частоти коливань панелі
θ
70
m 2 10
50
30
10
18 26 34 42
1
2
3
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 9, 170-179
179
[10] Moussaoui, F. The effects of large vibration amplitudes on the mode shapes and natural frequen-
cies of thin elastic shells. A new approach for free transverse constrained vibration of cylindrical
shells / F. Moussaoui, R. Benamar, R. G. White // J. of Sound and Vibration. — 2002. — Vol. 255. —
P. 931-963.
[11] Viswanathan, K. K. Free vibration study of layered cylindrical shells by collocation with splines /
K. K. Viswanathan, P. V. Navaneethakrishnan // J. of Sound and Vibration. — 2003. — Vol. 260. —
P. 807-827.
[12] Narisava, T. A study on refined analytical method for free vibration analysis of laminated compo-
site cylindrical shells using equivalent curvatures / T. Narisava // JSME Int. J. — 2002. —
Vol. 45. — P. 32-39.
[13] Biscos, S. Vibration characteristics of composite panels with and without cutout / S. Biscos,
G. Springer // AIAA Journal. — 1989. — Vol. 27. — P. 1116-1122.
[14] Toda, S. Vibrations of circular cylindrical shells with cutouts / S. Toda, K. Komatsu // J. of Sound
and Vibration. — 1977. — Vol. 52, Issue 4. — P. 497-510.
[15] Ramamurti, V. Free vibrations of circular cylindrical shells / V. Ramamurti, J. Pattabiraman // J.
of Sound and Vibration. — 1977. — Vol. 52, Issue 2. — P. 193-200.
[16] Poore, A. L. Free vibration of laminated cylindrical shells with a circular cutout / A. L. Poore, A. Barut,
E. Madenci // J. of Sound and Vibration. — 2008. — Vol. 312, Issue 1-2. — P. 55-73.
[17] Sukhorolsky, M. The Vibration of rectangular orthotropic plate with massive inclusions / M. Su-
khorolsky, T. Shopa // CAMES Journal. — 2008. — Vol. 15. — P. 369-377.
[18] Бурaк, Я. Й. Аналітична механіка локально навантажених оболонок / Я. Й. Бурaк, Ю. К. Ру-
давський, М. А. Сухорольський. — Львів: Інтелект-Захід, 2007. — 240 с.
Transverse vibration of a cylindrical orthotropic panel
with circular massive inclusions
Tetyana Shopa
The problem on proper vibrations of the loosely leant cylindrical orthotropic panel with a circular
massive rigid inclusion is considered in this paper. The stress-strain state of the panel is described by
modified equations of Tymoshenko's theory of shells. Numerical solution of the problem is found by
the indirect method of boundary elements based on the sequential approach to constructing gene-
ralized functions and on the collocation method. The influence of the inclusion mass on the natural
frequencies of the panel is investigated.
Поперечные колебания цилиндрической ортотропной панели
с круговым массивным включением
Татьяна Шопа
Рассматривается задача о собственных колебаниях цилиндрической шарнирно закрепленной
ортотропной панели с круговым массивным включением. Напряженно-деформируемое со-
стояние панели описывается модифицированными уравнениями теории оболочек Тимошенко.
Численное решение этой задачи построено непрямым методом граничных интегральных
уравнений, базирующимся на секвенциальном изображении сингулярных решений. Исследу-
ется влияние массы включения на собственные частоты колебаний оболочки.
Отримано 23.02.09
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-22095 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1816-1545 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-24T05:18:32Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шопа, Т. 2011-06-20T15:36:25Z 2011-06-20T15:36:25Z 2009 Поперечні коливання циліндричної ортотропної панелі з круговим масивним включенням / Т. Шопа // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 9. — С. 170-179. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22095 539.3 Розглядаємо задачу про власні коливання циліндричної шарнірно опертої ортотропної панелі з круговим масивним включенням. Напружено-деформований стан панелі описуємо модифікованими рівняннями теорії оболонок Тимошенка. Числовий розв’язок задачі будуємо непрямим методом граничних інтегральних рівнянь, який ґрунтується на послідовнісному зображенні сингулярних розв’язків. Досліджено вплив маси включення на власні частоти панелі. The problem on proper vibrations of the loosely leant cylindrical orthotropic panel with a circular massive rigid inclusion is considered in this paper. The stress-strain state of the panel is described by modified equations of Tymoshenko's theory of shells. Numerical solution of the problem is found by the indirect method of boundary elements based on the sequential approach to constructing generalized functions and on the collocation method. The influence of the inclusion mass on the natural frequencies of the panel is investigated. Рассматривается задача о собственных колебаниях цилиндрической шарнирно закрепленной ортотропной панели с круговым массивным включением. Напряженно-деформируемое состояние панели описывается модифицированными уравнениями теории оболочек Тимошенко. Численное решение этой задачи построено непрямым методом граничных интегральных уравнений, базирующимся на секвенциальном изображении сингулярных решений. Исследуется влияние массы включения на собственные частоты колебаний оболочки. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Поперечні коливання циліндричної ортотропної панелі з круговим масивним включенням Transverse vibration of a cylindrical orthotropic panel with circular massive inclusions Поперечные колебания цилиндрической ортотропной панели с круговым массивным включением Article published earlier |
| spellingShingle | Поперечні коливання циліндричної ортотропної панелі з круговим масивним включенням Шопа, Т. |
| title | Поперечні коливання циліндричної ортотропної панелі з круговим масивним включенням |
| title_alt | Transverse vibration of a cylindrical orthotropic panel with circular massive inclusions Поперечные колебания цилиндрической ортотропной панели с круговым массивным включением |
| title_full | Поперечні коливання циліндричної ортотропної панелі з круговим масивним включенням |
| title_fullStr | Поперечні коливання циліндричної ортотропної панелі з круговим масивним включенням |
| title_full_unstemmed | Поперечні коливання циліндричної ортотропної панелі з круговим масивним включенням |
| title_short | Поперечні коливання циліндричної ортотропної панелі з круговим масивним включенням |
| title_sort | поперечні коливання циліндричної ортотропної панелі з круговим масивним включенням |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22095 |
| work_keys_str_mv | AT šopat poperečníkolivannâcilíndričnoíortotropnoípanelízkrugovimmasivnimvklûčennâm AT šopat transversevibrationofacylindricalorthotropicpanelwithcircularmassiveinclusions AT šopat poperečnyekolebaniâcilindričeskoiortotropnoipaneliskrugovymmassivnymvklûčeniem |