Surface tension and strength of local nonhomogeneous cylinder in the process of heating
Within the framework of local gradient approach the stressed state of a cylinder is examined during the process of its heating. The obtained relations are used for the study of surface tension and dependence of tensile strength of cylinder on temperature and size of the body. It is shown that dep...
Saved in:
| Published in: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | English |
| Published: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22097 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Surface tension and strength of local nonhomogeneous cylinder in the process of heating / T. Nahirnyj, K. Tchervinka // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 7. — С. 30-39. — Бібліогр.: 6 назв. — англ. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859981659208679424 |
|---|---|
| author | Nahirnyj, T. Tchervinka, K. |
| author_facet | Nahirnyj, T. Tchervinka, K. |
| citation_txt | Surface tension and strength of local nonhomogeneous cylinder in the process of heating / T. Nahirnyj, K. Tchervinka // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 7. — С. 30-39. — Бібліогр.: 6 назв. — англ. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| description | Within the framework of local gradient approach the stressed state of a cylinder is examined during
the process of its heating. The obtained relations are used for the study of surface tension and
dependence of tensile strength of cylinder on temperature and size of the body. It is shown that
dependence of tensile strength breaking point and surface tension on the uniform temperature of
the body is linear. The values of nearsurface stresses are changing in the process of heating causing
the change of parameters of strength and surface tension. The results agreement with those
known in literature is shown.
У рамках локально градієнтного підходу досліджено напружений стан необмеженого циліндра у процесі його нагрівання. Отримані співвідношення використано для вивчення поверхневого натягу та залежності межі міцності циліндра від його розмірів і температури. Показано, що залежність межі міцності та поверхневого натягу від однорідної температури тіла є лінійною. У процесі нагрівання змінюються значення приповерхневих напружень, що призводить до зміни параметрів міцності та поверхневого натягу. Вказано на узгодженість одержаних результатів із відомими у літературі.
В рамках локально градиентного подхода исследовано напряженное состояние бесконечного цилиндра в процессе его нагрева. Полученные соотношения использованы для изучения поверхностного натяжения и зависимости предела прочности цилиндра от его размеров и температуры. Показано, что зависимость предела прочности и поверхностного натяжения от однородной температуры тела является линейной. В процессе нагрева изменяются значения поверхностных напряжений, что ведет к изменению параметров прочности и поверхностного натяжения. Показано согласованность полученных результатов с известными в литературе.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:26:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
30
Surface tension and strength of local
nonhomogeneous cylinder in the process of heating
Taras Nahirnyj1, Kostiantyn Tchervinka2
1 prof., Centre of mathematical modeling, Pidstrygach IAPMM NAS of Ukraine, 15 Dudaev’s str., Lviv, Ukraine,
79005; Zielena Góra University, prof. Shafran st., 4, Poland, 65-516, e-mail: tnagirny@yahoo.com
2 dr., Ivan Franko national university of Lviv, Universitetska st., 1, Lviv, Ukraine, 79000;
e-mail: k.tchervinka@gmail.com
Within the framework of local gradient approach the stressed state of a cylinder is examined du-
ring the process of its heating. The obtained relations are used for the study of surface tension and
dependence of tensile strength of cylinder on temperature and size of the body. It is shown that
dependence of tensile strength breaking point and surface tension on the uniform temperature of
the body is linear. The values of nearsurface stresses are changing in the process of heating cau-
sing the change of parameters of strength and surface tension. The results agreement with those
known in literature is shown.
Keywords: interconnected thermomechanical processes, local gradient approach
in thermomechanics, surface tension, strength, size effects, cylinder.
Introduction. The elements of real constructions and devices are usually found in the
complex conditions of interaction with surroundings which to a great extent can chan-
ge their operating characteristics, including strength parameters. Therefore it is impor-
tant to develop models with account for materials structure and adequate describing of
the behavior of the real bodies. Local gradient approach in thermomechanics [1, 2, 4, 6]
allows description of tensile strength dependence on temperature and admixtures. Wi-
thin the framework of this approach [1, 2, 4] the dependence of tensile strength on
a steady over time temperature is studied and the matching of obtained results with the
known experimental data is shown. There exists a considerable practical and scientific
interest to research of the influence of variable over time temperature on the stressed-
strained state and strength properties of bodies, including thin films and fibers that are
widely used in modern mechanical engineering. It is known, that in such elements the
contribution of surface and volume factors to internal energy is rateable and they feature
size effects. It is practically impossible to conduct the proper experimental researches
in the case of variable temperature.
The paper considers the local gradient approach in thermomechanics of the stres-
sed-strained state of an infinite solid cylinder in the process of its heating. On this basis
the influence of temperature on surface tension, tensile strength breaking point and
proper size effects is investigated.
УДК 539.3
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 7, 30-39
31
1. Problem formulation
Let us consider an isotropic thermoelastic cylinder (domain r ≤ R in the cylindrical co-
ordinates {r, φ, z}). At infinity z → ± ∞ cylinder is loaded by effort 2(0,0, )p R p= π .
Suppose that at the free of force load surface r = R the value of chemical potential
ηa ≠ 0 is stated. In the initial moment of time τ = 0 the temperature of the cylinder is
uniform and equal T*. For time τ > 0 at the body surface r = R there is stated the tem-
perature value Ta different from the initial (Ta ≠ T*).
For considered external action the one-dimensional over spatial coordinate r si-
tuation in the body is realized
),(),,(),,(ˆˆ τθ=θτη=ητσ=σ rrr ,
where σ̂ is the stress tensor, θ = T – T* is the temperature T disturbance with respect to
the initial value T*.
Accept as wanted functions the nonzero components of stress tensor σ̂ , chemi-
cal potential η and temperature θ. The complete set of linearized equations for a ther-
moelastic cylinder at local gradient approach describing quasistatical situation in the
body has the form [2]
0=
σ−σ
+
∂
σ∂ ϕ
rr
rr ,
θµα−ηµα+
µ+λ
λσ
∂
∂
=
∂
σ∂
tm
z
rr
22
23
,
θµα−ηµα+
µ+λ
λσ
∂
∂
∂
∂
=
∂
σ∂
−
∂
σ∂
+
∂
σ∂ ϕϕ
tm
r
r
r
rrrr
r 22
23
22
2
,
01 2
3
2
2
2
12
2
=θκ−σκ−ηκ−
∂
η∂
+
∂
η∂
rrr
,
∂
θ∂
+
∂
θ∂
=
τ∂
θ∂
rrr
a 1
2
2
, (1)
where σr, σφ, σz are stresses; Î:σ̂=σ , Î is identity tensor; λ, µ, αm, αt, κj are the con-
stants ( )1, 3j = . Denote neglecting of the stresses and chemical potential effects
on temperature in the last equation of (1).
The initial and boundary conditions for the temperature are written in the form
*),(,0)0,( TTRx aa −≡θ=τθ=θ . (2)
Chemical potential and stresses should satisfy the conditions
aRr η=η
=
, 0ˆ =σ⋅
=Rrn (3)
at the body surface r = R with external normal vector n and the condition
prdrd
R Rr
z =ϕσ
π ∫∫
<
2
1 (4)
in the arbitrary cross-section z = const of the cylinder.
Taras Nahirnyj, Kostiantyn Tchervinka
Surface tension and strength of local nonhomogeneous cylinder in the process of heating
32
2. Problem solution
From (1) it is easy to see that at the first stage the temperature can be found with
following determining of the stresses and chemical potential.
According to [3] temperature in the cylinder is described by formula
( )
τν−
νν
ν
−θ=τθ ∑
∞
=1
2
1
0 )exp(
)(
)(21,
n
n
nn
n
a a
RJR
rJr , (5)
where νn are real zeros of equation J0(Rν) = 0, n = 1, 2, ..., J0 and J1 are Bessel func-
tions of the first kind.
Taking temperature in the form (5) the chemical potentials and nonzero stresses
find from first four equations of (1) and conditions (3), (4)
τν−
∞
=
∑ νν
ν
α
α
−θ+
−
ξ
ξ
+η=τη a
n nn
n
m
t
na
m
c
a
ne
RJR
rJc
RI
rI
b
Ar
2
1 1
0
0
0
)(
)(21
)(
)(2),( ,
τν−
∞
=
∑
ν
−
νν
ν
ν
θ+
ξξ
ξ
−
ξξ
ξ
=τσ a
n nnn
n
n
nm
acr
ne
RRrJ
rJ
R
cb
RRI
RI
RrI
rI
Ar
2
1 1
1
0
1
0
1 1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
),( ,
+
ξξ
ξ
−
ξξ
ξ
−
ξ
ξ
=τσϕ )(
)(
)(
)(
)(
)(),(
0
1
0
1
0
0
RRI
RI
RrI
rI
RI
rIAr c
∑
∞
=
τν−
ν
−
νν
ν
−
ν
ν
ν
θ+
1 1
1
1
0 21
)(
)(
)(
)(
n
a
nnn
n
n
n
n
nm
a
ne
RRJr
rJ
RJ
rJ
R
cb ,
τν−
∞
=
∑
ν
−
ν
ν
ν
θ+
ξξ
ξ
−
ξ
ξ
+=τσ a
n nn
n
n
nm
acz
ne
RRJ
rJ
R
cb
RRI
RI
RI
rI
Apr
2
1 1
0
0
1
0
0 2
)(
)(
)(
)(2
)(
)(
),( . (6)
Here Jk and Ik are Bessel and modified Bessel functions of the first kind (k = 0, 1),
ν
τν−
θ−
ξ
θκ+κ+ηκ
ξχ
= ∑
∞
=1
2
2
2
2
3
2
2
2
1
)(
)exp(
4
)(2 n n
nn
a
aam
c
R
ac
D
p
R
b
A ,
mmb α
µ+λ
µ+λ
µ=
2
234 , 2
2
2
ξ
κ
= mb
D ,
ξξ
ξ
−−=ξχ
)(
)(2
11)(
0
1
RRI
RI
DR ,
ttb α
µ+λ
µ+λ
µ=
2
234 , 22
2
n
t
m
t
nc
ν+ξ
ξ
+
α
α
= , 2
2
2
1
2 κ+κ=ξ mb , 2
2
2
3
2 κ−κ=ξ tt b .
With increase of the radius R for «thick» cylinders (ξR >> 1), considering that
I1(ξR) / (ξRI0(ξR)) vanishes as (ξR) – 1, for stresses we obtain
τν−
∞
=
∑
ν
−
νν
ν
ν
θ+
ξξ
ξ
=τσ a
n nnn
n
n
nm
a
h
r
ne
RRrJ
rJ
R
cb
RrI
rIA
r
2
1 1
1
0
1 1
)(
)(
)(
)(
),( ,
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 7, 30-39
33
+
ξξ
ξ
−
ξ
ξ
=τσϕ )(
)(
)(
)(
),(
0
1
0
0
RrI
rI
RI
rI
Ar h
∑
∞
=
τν−
ν
−
νν
ν
−
ν
ν
ν
θ+
1 1
1
1
0 21
)(
)(
)(
)(
n
a
nnn
n
n
n
n
nm
a
ne
RRJr
rJ
RJ
rJ
R
cb ,
τν−
∞
=
∑
ν
−
ν
ν
ν
θ+
ξ
ξ
+=τσ a
n nn
n
n
nm
ahz
ne
RRJ
rJ
R
cb
RI
rIApr
2
1 1
0
0
0 2
)(
)(
)(
)(),( , (7)
where
ν−
θ
−
κ
θκ+κ+ηκ
= ∑
∞
=
τν−
1
22
1
2
3
2
2
2
1
)(1
4
2
2
n n
a
naaam
h R
ec
D
Dpb
A
n
.
For τ → ∞ cylinder approaches equilibrium state, in which stresses are expres-
sed by formulas
ξξ
ξ
−
ξξ
ξ
ξχξ
θκ+κ+ηκ
=∞σ
)(
)(
)(
)(
)(2
),(
0
1
0
1
2
2
3
2
2
2
1
RRI
RI
RrI
rI
R
pbr aam
r ,
ξξ
ξ
−
ξξ
ξ
−
ξ
ξ
ξχξ
θκ+κ+ηκ
=∞σϕ )(
)(
)(
)(
)(
)(
)(2
),(
0
1
0
1
0
0
2
2
3
2
2
2
1
RRI
RI
RrI
rI
RI
rI
R
pbr aam ,
ξξ
ξ
−
ξ
ξ
ξχξ
θκ+κ+ηκ
+=∞σ
)(
)(2
)(
)(
)(2
),(
0
1
0
0
2
2
3
2
2
2
1
RRI
RI
RI
rI
R
pbpr aam
z . (8)
Nonzero stressed-strained state of the considered body at equilibrium without external
force load is brought about by nearsurface nonhomogeneity caused by different particles
interaction conditions the in inner and nearsurface regions. In this case parameter ξ – 1 is
characteristic size of the nearsurface nonhomoheneity region. Note also that relations (8)
describe the stressed state in the initial moment of time τ = 0, if replaced by θa = 0.
Specific values ( )* ( )2 x
w w mbσ = σ η , { , }w r∈ ϕ , ( )* ( )2( ) x
z z mp bσ = σ − η of stresses dist-
ribution, where ( )( ) 2 2 2 2
1 2 3
x
a apη = κ η + κ + κ θ ξ , for parameters αtθa / αmη (x) = 0,2, ξl = 10,
D = 0,25, 1/22
3 =ακα tm R , are shown in Fig. 1 for relative time 1/ 2* =τ=τ Ra .
From above formulas we arrive to conclusion that temperature does not have an
influence on the characteristic size of the nearsurface nonhomogeneity region, however
can substantially change the quantitative values of chemical potential and stresses.
3. Surface tension
Use the obtained solution for determination of surface tension that is the integral cha-
racteristic of the nearsurface stretching stresses in the unloaded cylinder. The nearsur-
face stresses σφ, σz in the cylinder are stretching. They decrease with distance from sur-
face r = R and vanish to zero at ϕ= arr and z
arr = , correspondingly. In the inner regions
ϕ< arr and z
arr < of the body stresses are negative (see Fig. 1).
Taras Nahirnyj, Kostiantyn Tchervinka
Surface tension and strength of local nonhomogeneous cylinder in the process of heating
34
In [2] it is shown that the point in which stresses change their sign does not de-
pend on the uniform body temperature. On this base for ϕ
ar and z
ar determining we get
equations
0)()()( 11
0 =
ξ
ξ
−
ξ
ξ
−ξ ϕ
ϕ
ϕ
R
RI
r
rIrI
a
a
a , 0)(2)( 10 =ξ
ξ
−ξ RI
R
rI z
a . (9)
The second equation disregarding notation is the same as the one obtained in [2].
Solution of (9) we find approximately in the form
ξ
ξ
−=ϕ
R
RRra
)ln(1 ,
ξ
ξ
−
ξ
+
ξ
ξ
−= 2)(2
)ln()2ln()ln(1
R
R
RR
RRr z
a . (10)
Take into account that the point where stresses change the sign is close to the
surface r = R of the cylinder and the value of dimensionless radius ξR for the real bo-
dies is considerably greater than 1
1<<
−
R
Rra , 1>>ξR ,
and use well-known asymptotic for the Bessel functions
( ) ( )
++
π
=
r
o
rr
rrI 1
8
11
2
exp
0 , ( ) ( )
+−
π
=
r
o
rr
rrI 1
8
31
2
exp
1 .
On the base of above approximations and solution (6) for surface tension we obtain
relations
Fig. 1. Specific stresses distribution in cylinder,
curves 1-3 represent σ*
r, σ*
φ and σ*
z
-0,4
0,0
0,4
0,8
1,2
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
σ*
r /R
1
2
3
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 7, 30-39
35
+
ξ
ℜ
−
+
+ℜ+
ξ
−
+−ℜ−= κϕ RD
D
RD
Dff
1
1
2
11
1
2
2
51 2
∑
∞
=
τν−
νν
ℜ−ν
−ℜ+
ν
ℜ−ν
−ℜ−
ν
θ+
1
2
1
02
1
1
2 )exp(
)(
)]1([
2
1
)(
)]1([1)1(
n
n
nn
n
n
n
n
nm
a a
RJR
RJ
RJ
RJ
R
cb . (11)
+
ℜ−
ξ
ℜ
−
+
+
ξ
+
−
+−ℜ−= κ
2
2
1
1
112ln2
1
2
2
521
RD
D
RD
Dffz
∑
∞
=
τν−
νℜ−
ℜ−ν
−ℜ−
ν
θ+
1
2
1
12
2 )exp(
)()1(
)]1([1)1(
n
n
n
n
n
nm
a a
RJ
RJ
R
cb
. (12)
where
ν
τν−
θ−
ξ
κ
θ+
ξ
κ
η
−ξ
= ∑
∞
=
κ
1
2
2
2
2
3
2
2
1
)(
)exp(4
)1(2 n n
nn
aaa
m
R
acD
D
bf ,
R
R
ξ
ξ
=ℜ
)ln( .
For surface tension in cylinders of sufficiently large radius we write
ξ
ξ
−
ν
τν−
θ−
ξ
κ
θ+
ξ
κ
η
−ξ
= ∑
∞
=
ϕ R
R
R
acD
D
bf
n n
nn
aaa
m )ln(1
)(
)exp(4
)1(2 1
2
2
2
2
3
2
2
1 , (13)
ξ
ξ
−
ν
τν−
θ−
ξ
κ
θ+
ξ
κ
η
−ξ
= ∑
∞
= R
R
R
acD
D
bf
n n
nn
aaa
m
z
)ln(21
)(
)exp(4
)1(2 1
2
2
2
2
3
2
2
1 . (14)
From formulas (13), (14) follow that surface tension fφ is larger than fz and the
difference vanishes with cylinder radius increase. With R → ∞ these tensions tend to
the value of surface tension in the half-space. Note also, that dependence of fφ on R is
of same kind as the dependence of surface tension in a layer on its thickness [2].
With time increase (τ → ∞) surface tension fφ, fz tends to
ξ
ξ
−
ξ−
κθ+κη
=ϕ R
R
D
bf aam )ln(1
)1(2
)(
3
2
3
2
1 ,
ξ
ξ
−
ξ−
κθ+κη
=
R
R
D
bf aam
z
)ln(21
)1(2
)(
3
2
3
2
1 .
Here we see that in the stationary state the dependence of surface tension on temperature
is linear.
Size effect of surface tension is illustrated in Fig. 2 as reduced surface tensions
* 0f f fϕ ϕ κ= and * 0
z zf f fκ= dependence on specific dimensionless cylinder radius ξR
for such parameters values D = 0,25, αt bmθa / αm f κ = 0,2, 2 2
3 / 1, 1m tRα κ α = τ = . Here
( )0 2m af bκ = η ξ is the value of tension f κ in the initial moment of time.
In the process of heating due to temperature influence on stresses the surface tension
changes. In Fig. 3 reduced surface tension dependence on specific time t = aτ / R2 for
parameters D = 0,25, αt bmθa / αm f κ = 0,2, 1/22
3 =ακα tm R , ξR = 50 is shown.
Taras Nahirnyj, Kostiantyn Tchervinka
Surface tension and strength of local nonhomogeneous cylinder in the process of heating
36
4. Strength of the cylinder during heating
In the case of stretching force load ( p > 0) the surface value of stresses σz(R, τ) is the
largest stresses in the cylinder. During heating process they are changing from value
ξξ
ξ
−
ξχξ
κ+ηκ
+=σ
)(
)(21
)(2
)0,(
0
1
2
2
2
2
1
RRI
RI
R
pbpR am
z ,
at the initial moment of time to value
ξξ
ξ
−
ξχξ
θκ+κ+ηκ
+=∞σ
)(
)(21
)(2
),(
0
1
2
2
3
2
2
2
1
RRI
RI
R
pbpR aam
z ,
that is arrived at τ → ∞ according to formula
∑
∞
= ν
ν
θ−
ξξ
ξ
−+=τσ
1
1
0
1 )(2
2)(
)(21),(
n
c
n
c
n
nna
m
cz R
RJ
ca
b
RRI
RIApR .
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,0 0,3 0,5 0,8 1,0
2
1
t
f φ , f z
Fig. 3. Surface tension dependence
on time ( *fϕ curve 1, *
zf curve 2)
Fig. 2. Surface tension dependence
on cylinder size ( *fϕ curve 1, *
zf curve 2)
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
10 30 50 70 90
2
1
ξR
f φ , f z
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 7, 30-39
37
The above relations will be used for investigation of strength of the cylinder du-
ring heating (θa > 0). As a criterion we accept the criterion of the first classical theory
of strength [5]. Suppose that the body will fracture instantly if at any point of the body
maximum stresses reach critical for the body material value σkr. Using above formulas
for critical value pkr of the intensity of external force loading causing fracture we obtain
∑
∞
=
τν−
νξχ+
θ
+
κ
θκ+ηκ
ξχ+
ξχ−
−σ
ξχ+
ξχ
=
1
22
2
2
3
2
1
)()(1
4
)(1
)(1
)(1
)(2
2
n n
a
namaakrkr
R
ec
R
b
R
R
R
Rp
n
. (15)
Denoting σ+ the intensity of critical loading causing fracture of large radius cy-
linders (ξR >> 1) at initial temperature (θ = 0)
2
2
2
1
22
)1(2
κ
ηκ
−
−σ
−
−
=σ+
akr
D
D
D
D
,
the formula (15) takes the form
−η
κ
κ
ξχ+
ξχ−
−
ξχ+
ξχ
−
+σ
ξχ+
ξχ
−
−
= + a
kr
R
R
R
R
D
D
R
R
D
Dp 2
2
2
1
)(1
)(1
)(1
)(
1)(1
)(
1
2
a
n n
a
nm
R
ec
R
b
R
R n
θ
νξχ+
−
κ
κ
ξχ+
ξχ−
− ∑
∞
=
τν−
1
22
2
2
3
)()(1
4
)(1
)(1
2
. (16)
For large radius cylinders neglecting the size effects at arbitrary temperature this
relation becomes
a
n n
a
nmkr
R
ec
D
b
D
Dp
n
θ
ν−
−
κ
κ
−
−σ=τ ∑
∞
=
τν−
+
1
22
2
2
3
)(2
4
2
)(
2
. (17)
Right hand side of formulas (16), (17) may be interpreted as relations describing
cylinder strength during heating with and without account for size effect respectively.
For τ → ∞ intensity of critical load for thin fibers (Fig. 4) tends to
aa
kr
R
R
R
R
R
R
D
D
R
R
D
D
p θ
κ
κ
ξχ+
ξχ−
−η
κ
κ
ξχ+
ξχ−
−
ξχ+
ξχ
−
+σ
ξχ+
ξχ
−
−
=∞ + 2
2
2
3
2
2
2
1
)(1
)(1
)(1
)(1
)(1
)(
1)(1
)(
1
2
)( ,
and for cylinders with radius being far greater than the characteristic size of the near-
surface nonhomogeneity region, the intensity of the critical load tends to
a
kr
D
Dp θ
κ
κ
−
−σ=∞ + 2
2
2
3
2
)( .
Right hand side of the last two formulas may be interpreted as relations describing the
strength of the cylinder under uniform temperature.
Taras Nahirnyj, Kostiantyn Tchervinka
Surface tension and strength of local nonhomogeneous cylinder in the process of heating
38
One can see that the force loading intensity causing brittle fracture of the cylin-
der nonmonotonously decreases with time. Relation (17) may be used for finding the
time of body fracture for given intensity of loading in the case this would happen due
to temperature factor. Accepting pkr(τ) = p and using (17) we get the following trans-
cendental equation for finding the time of cylinder fracture
p
R
ec
D
b
D
D
a
n n
a
nm
n
=θ
ν−
−
κ
κ
−
−σ ∑
∞
=
τν−
+
1
22
2
2
3
)(2
4
2
2
.
If solution τ of this equation exists, it will be the moment of the time when cylinder
fractures. In opposite case (the equation has no solution) breaking point will not be reached.
The dependence of some parameters of the body mechanical state on the tempe-
rature was considered above. The reason for its change over time lays in the change of
temperature described by (5). So there exists a correlation of the processes of surface
tension and breaking point limit change over time. This dependence may be written
using (13), (14), (16).
Conclusions. On the basis of carried out investigations we can state the following:
• The value of force loading causing brittle fracture of the cylinder is determined by
its physical-mechanical properties, surface values of chemical potential and
temperature and quality of its change in time.
• Within the framework of the considered model the dependence of the breaking
point and surface tension on the body homogeneous temperature is linear.
• The temperature change in the course of time (heating, cooling) causes the change
of nearsurface stresses in a cylinder and thus affects strength parameters, surface
tension and their size effects.
0,85
1,00
1,15
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
2
1
t
p *k
Fig. 4. Dependence on time of the force loading intensity causing
cylinder fracture (ξR = 10 curve 1, ξR = 25 curve 2)
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2008, вип. 7, 30-39
39
References
[1] Burak Ya. Yo., Nahirniy T. S., Hrytsyna O. R, Tchervinka K. A. Surface stresses in a layer.
Effect of temperature and impurities on strength // Strength of Materials, Vol. 32, № 6,
12 November 2000, pp. 517-522.
[2] Burak Ya., Chaplia Ye., Nahirniy T. etc. Physical-mathematical modelling of the complex
systems. — Lviv: SPOLOM, 2004. — 264 p. [In ukr.].
[3] Lykov A. D. Theory of heat conductivity. — Moscow: Visshaya shkola, 1967. — 599 p.
[In rus.].
[4] Nahirniy T. S., Tchervinka K. A. Surface stresses in a layer. Temperature influence on near-
surface tension and strength // Dop. NAN of Ukraine. — 2000. — № 10. — P. 57-62. [In ukr.].
[5] Panasyuk V. V., Andreykiv A. E., Parton V. S. Basics of mechanics of fracture of mate-
rials // Mechanics of fracture and strength of materials: Handbook / red. Panasyuk V. —
in 4 v. — Kyiv: Nauk. dumka, 1988. — V. 1. — 488 p. [In rus.].
[6] Nagirny T., Burak Ya. Thermodynamical models of continual description of the coupled
processes in thin-film systems // Trends in Continuum Phys. — Poznań: Word Sci.,
1999. — P. 263-276.
Поверхневий натяг і міцність локально
неоднорідного циліндра у процесі нагрівання
Тарас Нагірний, Костянтин Червінка
У рамках локально градієнтного підходу досліджено напружений стан необмеженого циліндра
у процесі його нагрівання. Отримані співвідношення використано для вивчення поверхневого
натягу та залежності межі міцності циліндра від його розмірів і температури. Показано,
що залежність межі міцності та поверхневого натягу від однорідної температури тіла є
лінійною. У процесі нагрівання змінюються значення приповерхневих напружень, що призво-
дить до зміни параметрів міцності та поверхневого натягу. Вказано на узгодженість
одержаних результатів із відомими у літературі.
Поверхностное натяжение и прочность локально
неоднородного цилиндра в процессе нагрева
Тарас Нагирный, Константин Червинка
В рамках локально градиентного подхода исследовано напряженное состояние бесконечного
цилиндра в процессе его нагрева. Полученные соотношения использованы для изучения по-
верхностного натяжения и зависимости предела прочности цилиндра от его размеров и
температуры. Показано, что зависимость предела прочности и поверхностного натяжения
от однородной температуры тела является линейной. В процессе нагрева изменяются значения
поверхностных напряжений, что ведет к изменению параметров прочности и поверхностного
натяжения. Показано согласованность полученных результатов с известными в литературе.
Отримано 14.02.08
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-22097 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1816-1545 |
| language | English |
| last_indexed | 2025-12-07T16:26:05Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Nahirnyj, T. Tchervinka, K. 2011-06-20T15:40:51Z 2011-06-20T15:40:51Z 2008 Surface tension and strength of local nonhomogeneous cylinder in the process of heating / T. Nahirnyj, K. Tchervinka // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 7. — С. 30-39. — Бібліогр.: 6 назв. — англ. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22097 539.3 Within the framework of local gradient approach the stressed state of a cylinder is examined during the process of its heating. The obtained relations are used for the study of surface tension and dependence of tensile strength of cylinder on temperature and size of the body. It is shown that dependence of tensile strength breaking point and surface tension on the uniform temperature of the body is linear. The values of nearsurface stresses are changing in the process of heating causing the change of parameters of strength and surface tension. The results agreement with those known in literature is shown. У рамках локально градієнтного підходу досліджено напружений стан необмеженого циліндра у процесі його нагрівання. Отримані співвідношення використано для вивчення поверхневого натягу та залежності межі міцності циліндра від його розмірів і температури. Показано, що залежність межі міцності та поверхневого натягу від однорідної температури тіла є лінійною. У процесі нагрівання змінюються значення приповерхневих напружень, що призводить до зміни параметрів міцності та поверхневого натягу. Вказано на узгодженість одержаних результатів із відомими у літературі. В рамках локально градиентного подхода исследовано напряженное состояние бесконечного цилиндра в процессе его нагрева. Полученные соотношения использованы для изучения поверхностного натяжения и зависимости предела прочности цилиндра от его размеров и температуры. Показано, что зависимость предела прочности и поверхностного натяжения от однородной температуры тела является линейной. В процессе нагрева изменяются значения поверхностных напряжений, что ведет к изменению параметров прочности и поверхностного натяжения. Показано согласованность полученных результатов с известными в литературе. en Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Surface tension and strength of local nonhomogeneous cylinder in the process of heating Поверхневий натяг і міцність локально неоднорідного циліндра у процесі нагрівання Поверхностное натяжение и прочность локально неоднородного цилиндра в процессе нагрева Article published earlier |
| spellingShingle | Surface tension and strength of local nonhomogeneous cylinder in the process of heating Nahirnyj, T. Tchervinka, K. |
| title | Surface tension and strength of local nonhomogeneous cylinder in the process of heating |
| title_alt | Поверхневий натяг і міцність локально неоднорідного циліндра у процесі нагрівання Поверхностное натяжение и прочность локально неоднородного цилиндра в процессе нагрева |
| title_full | Surface tension and strength of local nonhomogeneous cylinder in the process of heating |
| title_fullStr | Surface tension and strength of local nonhomogeneous cylinder in the process of heating |
| title_full_unstemmed | Surface tension and strength of local nonhomogeneous cylinder in the process of heating |
| title_short | Surface tension and strength of local nonhomogeneous cylinder in the process of heating |
| title_sort | surface tension and strength of local nonhomogeneous cylinder in the process of heating |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22097 |
| work_keys_str_mv | AT nahirnyjt surfacetensionandstrengthoflocalnonhomogeneouscylinderintheprocessofheating AT tchervinkak surfacetensionandstrengthoflocalnonhomogeneouscylinderintheprocessofheating AT nahirnyjt poverhneviinatâgímícnístʹlokalʹnoneodnorídnogocilíndrauprocesínagrívannâ AT tchervinkak poverhneviinatâgímícnístʹlokalʹnoneodnorídnogocilíndrauprocesínagrívannâ AT nahirnyjt poverhnostnoenatâženieipročnostʹlokalʹnoneodnorodnogocilindravprocessenagreva AT tchervinkak poverhnostnoenatâženieipročnostʹlokalʹnoneodnorodnogocilindravprocessenagreva |