Принципи дедуктивних побудов
У статті досліджується аксіоматико-дедуктивний метод побудови математики, геометрії, механіки, арифметики. Аналізується його вплив на розвиток природознавства й філософії Нового часу. Автор доходить висновку, що в різноманітті тенденцій історичного розвитку дедуктивних теорій і принципів їх побуд...
Saved in:
| Published in: | Схід |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут філософії ім. Г.С. Сковороди НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22157 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Принципи дедуктивних побудов / О. Щетиніна // Схід. — 2010. — № 5 (105). — С. 128-131. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859773071818227712 |
|---|---|
| author | Щетиніна, О. |
| author_facet | Щетиніна, О. |
| citation_txt | Принципи дедуктивних побудов / О. Щетиніна // Схід. — 2010. — № 5 (105). — С. 128-131. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Схід |
| description | У статті досліджується аксіоматико-дедуктивний метод побудови математики, геометрії,
механіки, арифметики. Аналізується його вплив на розвиток природознавства й філософії
Нового часу. Автор доходить висновку, що в різноманітті тенденцій історичного розвитку
дедуктивних теорій і принципів їх побудови визначальною є тенденція прогресуючої формалізіції, що проявляється в переходах від змістовної до напівформальної, а потім до формалізованої аксіоматичної системи. Завдяки цьому з'явилася можливість чітко визначити
синтаксис і семантику розглянутих принципів, розмежувати їхній теоретичний, інтертеоретичний і методологічний аспекти.
The axiomatic-deductive method of construction of mathematics, geometry, mechanic, arifmatic is examined. Its influence
on the development of natural science and philosophy of Modern time is analyzed.
|
| first_indexed | 2025-12-02T07:17:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
128
№ 5 (105) вересень 2010 р.
ЕКОНОМІКА
УДК 164.370
ÏÐÈÍÖÈÏÈ ÄÅÄÓÊÒÈÂÍÈÕ ÏÎÁÓÄÎÂ
ОЛЕНА ЩЕТИНІНА,
доктор фізико-математичних наук, професор кафедри вищої і прикладної математики
Донецького національного університету економіки і торгівлі ім. М. Туган-Барановського
У статті досліджується аксіоматико-дедуктивний метод побудови математики, геометрії,
механіки, арифметики. Аналізується його вплив на розвиток природознавства й філософії
Нового часу. Автор доходить висновку, що в різноманітті тенденцій історичного розвитку
дедуктивних теорій і принципів їх побудови визначальною є тенденція прогресуючої фор-
малізіції, що проявляється в переходах від змістовної до напівформальної, а потім до фор-
малізованої аксіоматичної системи. Завдяки цьому з'явилася можливість чітко визначити
синтаксис і семантику розглянутих принципів, розмежувати їхній теоретичний, інтертеоре-
тичний і методологічний аспекти.
Ключові слова: аксіоми, теореми, індукція, дедукція, редукція, математика, філософія, гео-
метрія, оптика, гідростатика.
Постановка проблеми й огляд джерел, у яких
започатковано її вирішення. У процесі історичного
розвитку людського суспільства й наукового пізнання
об'єктивної дійсності складаються умови для взаємодії
окремих наук і їх розділів. Мислителі всіх часів прагнули
виділити структуру в побудові наукового знання, ство-
рити певні елементи, із яких можливо було б побудува-
ти фундаментальні теорії. Уперше такі системи заро-
дилися в мілетців і піфагорійців: Анаксимандра, Піфа-
гора, Гіппаса, Демокрита, мислителів класичного пері-
оду: Гіппократа Хіоського, Архіта Тарентського, Евдок-
са Кнідського, Теетета Афінського, Платона, Аристо-
теля. Подальший розвиток дедуктивні побудови одер-
жали в Олександрійській школі в Евкліда, Ератосфе-
на, Конона, Архімеда, Аполлонія Пергського, Діофан-
та, Герона Олександрійського. Аксіоматико-дедуктив-
ний метод у науковому пізнанні став основним, ним ко-
ристувалися мислителі Відродження Галілей, Кавальєрі,
Кеплер, мислителі Нового часу Декарт, Ньютон,
Лейбніц. Ним успішно користуються й сучасні вчені.
У статті ставимо за мету розглянути основні етапи
застосування аксіоматико-дедуктивного методу в
різних розділах наукового знання, як у математичних,
так і в природничих науках.
Виклад основного матеріалу. Одним із про-
відних напрямків у розвитку наукового знання є взає-
мозв'язок і взаємодія математики, природознавства
й філософії. Історичний аналіз розвитку наукового знан-
ня дозволяє визначити предмет математики на кож-
ному етапі її розвитку, досліджувати проблеми не-
скінченності, дискретного й безперервного, способи
обґрунтування математичного знання й інші. Поряд із
цими проблемами, які вирішуються всередині мате-
матики, вирішуються й проблеми математизації нау-
кового знання і їх філософського обґрунтування. Це
приводить до більш раціональних методів розвитку
наукового знання.
Математика докласичного й класичного періоду
являла собою розрізнені, фундаментально не розроб-
лені розділи. Усі спроби попередників Аристотеля й
Евкліда (Анаксимандра, Феодора, Гіппія, Гіппократа)
побудувати систематичні курси не привели до успіхів,
хоча завдання систематизації математичного знання
неодноразово ставилося в процесі її викладання.
Уперше логіко-системну структурну розробку в побу-
дові наукового знання виконав Аристотель, розробив-
ши логіко-силогістичну дедуктивну побудову. "Велика
заслуга Аристотеля, - відзначає Н. Бурбакі, - полягає
не стільки в тому, навіть зовсім не в тому, що йому
вперше вдалося систематизувати й кодифікувати
прийоми розмірковування, які в його попередників
залишалися незрозумілими й несформульованими, а
в тому, що він уперше зробив ці прийоми предметом
наукових пошуків, саме прийоми розмірковування як
цілісні утворення, а не тільки ті або інші компоненти
міркування" [1, с. 5]. Далі дослідники намагаються
встановити, хто вперше поставив завдання про зна-
ходження істини, про її доказовість. Н. Бурбакі стверд-
жує: "Математикові, напевно, не віриться, що основ-
ний (якщо не єдиний) метод його науки, а саме доказ,
залучив уперше дослідницький погляд не математика,
а філософа, причому такого, який, "очевидно, не за-
надто обтяжував себе вивченням математичних до-
сягнень свого часу" [2, с. 12].
Математика стосовно філософії є окремою й час-
тинною наукою, тому її початки вироблялися у філо-
софських судженнях, положеннях і висновках. "Хоча
математик на свій лад і користується загальними по-
ложеннями, але засади математики повинна дослід-
жувати перша - філософія, - відзначає Аристотель [3,
с. 278]". Ці загальні положення для побудови науково-
го знання являють собою першооснови теорії.
У тривалому періоді зародження теоретичної на-
уки (математики зокрема) спостерігалася тенденція
накопичення індуктивних положень, емпірично отрима-
них фактів. Зі збільшенням їх кількості все більше
була потрібна їхня систематизація. Така систематиза-
ція проводилася на основі єдності застосовності на-
явних знань. Але в різних розділах знань простежуєть-
ся єдиний механізм зв'язку одних положень із іншими,
зведення більш складних положень до більш простих -
тобто редукування, істинність яких була встановлена
емпірично. Проведене багаторазово в різноманітних
формах редукування індуктивно сформованих поло-
ФІЛОСОФІЯ
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
http://www.pdffactory.com
№ 5 (105) вересень 2010 р.
ЕКОНОМІКА 129
жень до емпірично достовірних найпростішим елемен-
том мало реконструкцію складних положень із най-
простіших, тобто дедукування їх із виявлених початків.
Ці початки одержували більш абстрактний характер.
Поступово логічне дедукування з допоміжного засобу
перевірки емпіричного підтвердження стає визначаль-
ним фактором обґрунтування доказу істинності науко-
вих побудов і висновків.
Історично такий перехід відбувся в математиці
Давньої Греції, важливою особливістю якої порівняно
з математикою Вавилона і Єгипту було систематичне
використання ідеї доказу. Ця система доказу, розроб-
лена мислителями Давньої Греції, і зараз викликає зди-
вування в сучасних авторів, тому що виникнення до-
казової науки було подією величезного історичного
значення. "У культурному розвитку людства відбувся
стрибок, рівнозначний якому важко знайти протягом
усієї історії наукових знань", - відзначає Б. В. Гнеден-
ко [4, с. 53]. Настільки ж високу оцінку цій події дає інший
відомий історик математики А. Сабо: "Одним із
найбільш хвилюючих, але поки маловивчених періодів
історії математики є та епоха, під час якої практично
емпіричні знання математичного характеру перетво-
рюються в систематичну дедуктивну науку, побудова-
ну на визначеннях і аксіомах" [5, с. 321].
Важко відповісти, чому саме в цей період у мате-
матиці Давньої Греції відбувся такий стрибок. Багато
дослідників по-своєму характеризували виникнення
цього феномена. Більшість із них сходяться в тому,
що це відбулося під впливом певного укладу громадсь-
кому життя й способу мислення, характерного для дав-
ньогрецької цивілізації, внаслідок особливих суспіль-
них відносин. Ураховуючи такі відносини, М. Я. Вигодсь-
кий стверджує: "Лише в математиці давніх греків до-
казу вперше приділяється особлива увага, і це по-
трібно поставити у зв'язку з тим, що життя грецьких
держав у плині тривалого часу характеризується ла-
манням суспільних форм, у бурхливих зіткненнях між
класовими й партійними групами особливу роль зна-
ходить переконання, доказ, і це позначається не тільки
в промовах політичних ораторів, але й у судових про-
цесах, й у філософських суперечках, і в наукових здо-
бутках" [6, с. 231]. Інші аргументи виникнення доказо-
вої математики приводить В. Ф. Каган: "В умовах швид-
кого розвитку архітектури, мореплавства, цивільної й
військової техніки, а також досліджень у галузі астро-
номії, фізики, механіки, що вимагали точних вимірів,
не тільки дуже скоро виявилися протиріччя й непра-
вильності єгипетської геометрії, але й у виправленому
вигляді її вбогий матеріал перестав задовольняти
зрослим вимогам" [7, с. 358]. Це питання пошуку й зна-
ходження істини червоною ниткою проходить через
усю творчість стародавніх греків.
Ідея доказу стала конкретною формою вираження
визначальних характеристик світогляду того часу сто-
совно математики в поєднанні з внутрішніми запита-
ми цієї науки. Світогляд став своєрідним проміжним
механізмом, за допомогою якого запити виробничої
діяльності впливали на розвиток математики як дока-
зової науки.
Характеризуючи перших грецьких філософів, Ари-
стотель указував, що вони дотримувалися такої світо-
глядної установки: "…Те, із чого полягають усі речі, із
чого як першого вони виникають і в що як в останнє
вони, гинучи, перетворюються, … - це вони вважають
елементом і початком речей" [3, с. 71]. Матеріалістич-
ний принцип пояснення буття того або іншого об'єкта
як такого, що виникає з деяких начал і перетворюєть-
ся в них згодом, будучи перенесений в область обґрун-
тування математичних положень, приводить до двох
взаємозалежних логічних процедур: редукції й дедукції.
У концепціях перших мілетських філософів - Фалеса,
Анаксимандра, Анаксімена - редукція в онтології при-
водить до якісно різнорідних начал. Зводячи ці нача-
ла в математиці до її логічних начал, вони не доводять-
ся, приймаються як недовідні, як аксіоми. Виділені
аксіоми стають предметом самостійного аналізу сто-
совно дедуктивно похідних від них положень, а праг-
нення скоротити це різноманіття приводить до виді-
лення начал у множині начал, дедуктивно незалежних
аксіом серед аксіом. Той мінімум, який був достатній,
щоб дедукувати інші математичні твердження й похідні
від них положення, уважався повною аксіоматикою.
Очевидно, цей процес здійснювався багаторазово,
поки він привів до усвідомлення ідеї повноти аксіома-
тики як необхідної умови її коректного визначення.
Уже перші спроби виділення незалежної й повної су-
купності аксіом і подальше дедукування з їхньою допо-
могою доказуваних положень регламентувалися вимо-
гою їх взаємної несуперечності. Цей принцип несупереч-
ності став визначальним принципом аксіоматики, трак-
тованим як неприпустимість виведення двох взаємо-
виключних положень (А і не-А). Принцип одержав за-
гальне визнання й став основою критичного аналізу
всього різноманіття світоглядних концепцій того часу,
який найбільш докладно був проведений елеатами.
Подальший розвиток аксіоматичного методу зро-
бив Демокрит своїм атомістичним ученням. У методо-
логії Демокрита, очевидно, уперше в історії пізнання
одержує формулювання раніше переважно інтуїтивно
використовуваний і недостатньо чітко усвідомлюва-
ний аксіоматичний метод. До такої думки цілком об-
ґрунтовано прийшов А. О. Маковельський: "Відшуку-
вати найпростіші елементи й, виходячи з них, іти від
менш складного до більш складного, від основ - до
наслідків. Така ідея побудови математичних дисциплін,
уперше сформульована Демокритом" [8, с. 83]. Аксіо-
матична побудова математики, дана Демокритом,
являла собою конкретизацію його атомістичного вчен-
ня з урахуванням специфіки предмета математично-
го пізнання. Чуттєві ж предмети представляються у
вигляді ідеальних образів.
Концепція математичного атомізму Демокрита
логічно послідовно обґрунтувала існування матема-
тичних предметів і правомірність усієї системи теоре-
тичної математики, вирішуючи ті парадокси, які були
сформульовані елеатами. У межах розглянутої кон-
цепції було отримано багато видатних результатів,
серед яких особливо слід зазначити заслуги Демокри-
та як одного з фундаторів методу нескінченно малих.
Вплив математичного атомізму не обмежується
періодом античності. "Усюди, де під впливом імпорто-
ваних грецьких культурних цінностей тепліє вогнище
елінізованої науки, ми знаходимо й цей математичний
атомізм" [9, с. 9]. Його вплив простежується в арабській
науці, у науці середньовічної Європи, у творчості ви-
датних учених епохи Відродження й Нового часу.
Своєрідний поворот у стилі мислення античності був
зроблений Сократом, який одним із перших почав дос-
ліджувати індуктивні прийоми мислення. Він вважав, що
"знання є поняття про загальне, а загальне в окремих
випадках пізнається шляхом порівняння цих випадків
між собою, тобто від часткового треба йти до загаль-
ного". Відомий сократівський метод "майєвтики" ("по-
вивального мистецтва") містив у собі елементарні індук-
тивні прийоми. Аналізуючи прийоми його логічних вис-
новків, Аристотель відзначав: "… і насправді, дві речі
можна справедливо приписувати Сократу - доказ че-
рез наведення й загальні визначення: і те, й інше сто-
сується початків знання" [3, с. 327-328].
ФІЛОСОФІЯ
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
http://www.pdffactory.com
130
№ 5 (105) вересень 2010 р.
ЕКОНОМІКА
Платон синтезував сократівський метод доведен-
ня за допомогою наведення з методом Демокрита.
Його система охоплює всі основні розділи філософії:
онтологію, гносеологію, логіку, етику, естетику. У кож-
ному із цих розділів більшою або меншою мірою мож-
на знайти принципи дедуктивних побудов.
Розглядаючи проблему матеріальної дійсності,
Платон виділяє три рівні буття: світ чуттєвих об'єктів,
світ ідей і в проміжку між ними - світ математичних
об'єктів. Характеризуючи платонівську концепцію бут-
тя, Аристотель пише: "Крім чуттєво сприйманого й ей-
досів, існують як щось проміжне математичні пред-
мети, що відрізняються від чуттєво сприйманих тим,
що вони вічні й нерухомі, а від ейдосів - тим, що є ба-
гато однакових таких же предметів у той час як кож-
ний ейдос сам по собі тільки один" [3, с. 79].
В онтології Платона об'єднано чотири начала ма-
теріального буття (вогонь, вода, земля, повітря), які
представлені в пропорційному взаємозв'язку. Посере-
дині "між вогнем і землею" він помістив "воду й по-
вітря" і провів усі ці стихії в "таке пропорційне відно-
шення один до одного, у якому як вогонь відноситься
до повітря, так повітря - до води, а як повітря відно-
ситься до води, так вода - до землі" [11, с. 73-74].
Розробляючи свою гносеологічну концепцію, ос-
новним принципом якої було "пізнання - пригадуван-
ня", він використовував прийоми математичних дос-
ліджень, зокрема прийом "виходячи з передумови".
"Коли я говорю "виходячи з передумови", - пише Пла-
тон, - я маю на увазі те ж, що часто роблять у своїх
дослідженнях геометри" [11, с. 73-74].
Розглянуті вище різні аспекти становлення й розвитку
математики як дедуктивної науки були систематизовані
й суттєво розвинені Аристотелем. Проведений ним
філософський аналіз основних сторін математичного
пізнання став методологічною основою для багатьох
поколінь філософів і математиків, а його розуміння
процесу дедуктивних побудов і визначення принципів
цих побудов в істотних моментах і нині є основним.
"У пізнанні всякої речі, - пише Аристотель, - ми до-
сягаємо впевненості тоді, коли усвідомлюємо її перші
причини, перші початки й розкладаємо її аж до еле-
ментів" [12, с. 61]. Отримані в результаті цього знання
розгортаються в наукову систему за допомогою до-
ведення. У доведенні виділяються три аспекти: "те,
відносно чого доводиться, те, що доводиться, і те, на
підставі чого доводиться [13, с. 275]". Перший аспект
характеризує предмет доказу, другий - доказуване
твердження про деякий предмет. Невизначеним є
третій аспект, тому що "на підставі чого" охоплює по-
силки доведення (використовувані визначення, посту-
лати, аксіоми), але він може включати попередні до-
кази й принципи здійснення цього процесу.
Сформульовані античними філософами основні
принципи побудови дедуктивних теорій знайшли своє
конкретне втілення в "Началах" Евкліда. "Начала" ґрун-
туються на визначенні фундаментальних геометрич-
них понять (точка, пряма, площина, тіло). Після визна-
чень ідуть п'ять постулатів, за постулатами ідуть ак-
сіоми, або загальні поняття. На основі визначень, по-
стулатів й аксіом доводяться всі теореми "Начал"
Евкліда. Цей аксіоматико-дедуктивний метод, уперше
застосований Евклідом у побудові знаменитих "Начал",
став універсальним, загальновизнаним і почав широ-
ко застосовуватися в інших галузях наукового знання.
Він був використаний Аполлонієм Пергським при дос-
лідженні й побудові теорії конічних перетинів, Архімед
широко використовував цей метод при побудові
інфінітизимального числення, гідростатики, оптики.
Із розвитком диференціальних методів у матема-
тиці й теоретичному природознавстві дедуктивні й
індуктивні методи збагатили свої форми, ці матема-
тичні методи стали необхідним засобом для вивчення
процесів, що перебувають у русі й зміні.
Диференціальне й інтегральне числення виявило-
ся одним із синтезуючих факторів створення єдиної
системи математичного природознавства, що поєдну-
ють механіку небесних тіл Кеплера, механіку земних
тіл Галілея, оптику й інші природничі дисципліни. Ця си-
стема була викладена Ньютоном у його "Математич-
них началах натуральної філософії". Ньютон викорис-
товує логічний каркас аксіоматичної системи Евкліда
(визначення вихідних понять, явне задання аксіом,
відділених від системи похідних положень). Вихідні
положення аксіоми - закони Ньютона - являють собою
основоположні елементи математизованої фізики.
Змістовна аксіоматична система Ньютона не є дедук-
тивно замкненою, тому що йому доводиться постійно
звертатися до емпіричних даних. "Початки" Ньютона
ознаменували новий етап розвитку теоретичного при-
родознавства й нове розуміння дедуктивних побудов.
Але побудована система аксіом 1α 2α 3α … nα
для геометрії, названої геометрією Евкліда, з її прин-
ципами незалежності, несуперечності й повноти, по-
винна була доводити істинність або спростовувати всі
твердження цієї теорії. Але вже на ранніх стадіях роз-
витку аксіоматика Евкліда зіштовхнулася з тим фак-
том, що повністю цього досягти неможливо. Спроби
Евкліда й наступних математиків довести п'ятий по-
стулат як теорему не мали успіху. Побудова аксіома-
тичної системи Гауссом, Лобачевським, Бойяї із замі-
ною п'ятого постулату на його протилежність привело
до створення неевклідової геометрії. Надалі ці абст-
рактні побудови аксіоматичних систем стали основою
створення геометричних систем Рімана, Клейна та
інших. Сьогодні аксіоматичні системи розглядаються
як абстрактні побудови, які всебічно характеризують
об'єктивний світ.
Крім зазначених принципів, побудови аксіоматичних
систем пройшли три етапи розвитку: конкретно-змістов-
ний, абстрактно-змістовний і формалізований. Усі три
види аксіоматики являли собою вираження й станов-
лення самих форм наукових знань, які були покликані
до життя практикою і розвитком наукового знання та
призначалися для вирішення протиріч, що виникають у
науковому знанні, яке весь час розвивається.
Проведемо короткий аналіз зазначених аксіоматич-
них систем. Конкретно-змістовна аксіоматика побудо-
вана на інтуїтивному рівні й не дотримується строгих
принципів побудови дедуктивних теорій: несупереч-
ності, повноти, незалежності й можливості розв'язан-
ня. Але, як було зазначено, за допомогою цієї аксіо-
матичної системи Евклід зумів упорядкувати геомет-
рію прадавніх піфагорійців, звільнити її від повторів,
неточностей і протиріч і представив геометрію у взає-
мозалежній і простій формі. Ця аксіоматика має ряд
недоліків: вона фіксує найпростіші відношення між
предметами і явищами об'єктивного світу, ці відношен-
ня стосуютьсяо однієї предметної області й не є уні-
версальними.
Із розвитком науки, проникненням людської думки
вглиб предметної області було встановлено, що струк-
турні елементи і їх відношення можуть бути загальни-
ми в різних предметних областях. На цій основі в нау-
ковому пізнанні вводиться змінна величина й інтер-
претація як логічна операція аксіоматичної системи.
Така особливість уведення змінної величини поклика-
ФІЛОСОФІЯ
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
http://www.pdffactory.com
№ 5 (105) вересень 2010 р.
ЕКОНОМІКА 131
ла до життя абстрактно-змістовну напівформальну ак-
сіоматику. У такій аксіоматиці вихідні положення пе-
рестають відігравати роль самоочевидних істин, а
первинні терміни не пов'язані з фіксованою предмет-
ною областю. Так, у "Началах геометрії" Д. Гільберт
у вихідних термінах не вказує який-небудь предметний
зміст. Вони позначають різні абстрактні елементи де-
якої системи. "Ми мислимо три різні системи речей! Речі
першої системи ми називаємо точками й позначаємо
А, В, С, …; речі другої системи ми називаємо прямими
й позначаємо а, в, с,…; речі третьої системи ми нази-
ваємо площинами й позначаємо α , β , γ ,…" [1, с. 56].
Далі в аксіоматиці задаються терміни, які позначають
певні відношення між елементами теорії. Такого роду
аксіоматична система може бути співвіднесена з кож-
ною предметною областю.
Але розвиток теорії множин у другій половині ХІХ -
початку ХХ століття показав, що абстрактно-змістовна
аксіоматика, або напівформальна, не може досить по-
вно виразити специфіку нових знань. Парадокси Кан-
тора, Рассела, Цермело, Буралі-Форті та ін. говорили
про те, що ця наука логічно не спроможна. "Треба пого-
дитися, що стан, у якому ми перебуваємо зараз віднос-
но парадоксів, на тривалий час неприйнятний, - гово-
рить Д. Гільберт. - Подумайте: у математиці - у цьому
зразку вірогідності й істинності, утворення понять і хід
умовиводів, як їх усякий вивчає, викладає й застосо-
вує, приводить до безглуздостей" [Там само, с. 349].
Д. Гільберт шукає шляху виходу із кризової ситуації.
Для виконання своєї програми Гільберт вирішив
піддати повній формалізації дедуктивну теорію, не
тільки її елементи, але й правила висновку. Але зав-
дання повної формалізації аксіоматичної системи ви-
явилося нездійсненним.
У кожній аксіоматичній системі 1α 2α 3α … nα
з'являються твердження недовідні й неспростовувані
цією системою. Якщо це твердження, що виникло в
емпірії, практиці як дійсне, але недовідне позначимо
через 1+nα і приєднаємо до попередньої системи ак-
сіом, то одержимо нову, розширену систему аксіом 1α
2α 3α … nα 1+nα , яка буде мати більші дедуктивні
можливості. Але й у цій, розширеній, системі аксіом
так само можуть з'являтися недовідні положення те-
орій. Це знову може привести до розширення системи
аксіом. У 1931 р. Курт Гедель довів свої теореми про
відносну повноту системи аксіом, якщо система аксі-
ом неповна, то вона несуперечлива, якщо ж вона по-
вна, то виникають внутрішні протиріччя про не-
довідність математичного твердження теорії.
Отже, у будь-якій аксіоматичній системі слід ста-
вити питання про відносну повноту системи аксіом. У
цьому зв'язку в теоретичних побудовах стали з'явля-
тися різного роду парадокси. Але ці парадокси націлю-
вали увагу математиків, логіків на побудову більш дос-
коналих аксіоматичних систем. Ураховуючи це, Н. Бур-
бакі пише: "З найдавніших часів критичний перегляд
основ усієї математики в цілому або будь-якого її роз-
ділу майже обов'язково змінювався періодами непев-
ності, коли виникали протиріччя, які доводилося вирі-
шувати… Але от уже двадцять п'ять століть матема-
тики мають звичай виправляти свої помилки й бачити
в цьому збагачення, а не збідніння науки; це дає їм
право дивитися в майбутнє спокійно" [2, с. 30].
Висновки
На наш погляд, щоб конкретніше оцінити сучасний
стан у галузі основ дедуктивних наук і визначити перс-
пективу їх розвитку, важливо провести аналіз принципів
несуперечності, повноти й незалежності, оскільки з
радикальною зміною змісту цих принципів пов'язані всі
кризові ситуації в основах дедуктивних наук.
У різноманітті тенденцій історичного розвитку де-
дуктивних теорій і принципів їх побудови визначальною
є тенденція прогресуючої формалізіції, що проявляєть-
ся в переходах від змістовної до напівформальної, а
потім до формалізованої аксіоматичної системи. Зав-
дяки цьому з'явилася можливість чітко визначити син-
таксис і семантику розглянутих принципів, розмежува-
ти їхній теоретичний, інтертеоретичний і методологіч-
ний аспекти.
ЛІТЕРАТУРА:
1. Микеладзе З. И. Основоположения логики Аристотеля /
З. И. Микеладзе // Аристотель. Соч. : в 4-х тт. / Аристотель. - М.
: Мысль, 1978. - Т. 2. - С. 5-6.
2. Бурбаки Н. Очерки по истории математики / Н. Бурбаки. -
М. : ИЛ, 1962. - 292 с.
3. Аристотель. Метафизика // Соч. : в 4-х тт. / Аристотель. -
М. : Мысль, 1976. - Т. 1. - 550 с.
4. Гнеденко Б. В. Математика - народному хозяйству /
Б. В. Гнеденко. - М. : Знание, 1977. - 61 с.
5. Сабо А. О превращении математики в дедуктивную науку
и о начале её обоснования / А. Сабо // Историко-математические
исследования. - 1959. - Вып. 12. - С. 321-392.
6. Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире /
М. Я. Выгодский. - М. : Наука, 1967. - 367 с.
7. Каган В. Ф. Очерки по геометрии / В. Ф. Каган. - М. : МГУ,
1963. - 570 с.
8. Маковельский А. О. Древнегреческие атомисты /
А. О. Маковельский. - Баку : АН АССР, 1946. - 401 с.
9. Лурье С. Я. Теория бесконечно малых у древнегреческих
атомистов / С. Я. Лурье.- М.-Л. : АН СССР, 1935. - 197 с.
10. Кондаков Н. И. Логический словарь / Н. И. Кондаков. -
М. : Наука, 1971. - 656 с.
11. Платон. Диалоги: "Тимей" и "Критий" // Соч. : в 3-х тт. /
Платон. - М. : Мысль, 1968. - Т. 3 (1). - 686 с.
12. Аристотель. Физика // Соч. : в 4-х тт. / Аристотель. - М. :
Мысль, 1981. - Т. 3. - 613 с.
13. Аристотель. Первая и вторая аналитика // Соч. : в 4-х тт.
/ Аристотель. - М. : Мысль, 1978. - Т. 2. - 687 с.
14. Бурбаки Н. Теория множеств / Н. Бурбаки. - М. : МИР,
1965. - 455 с.
15. Гильберт Д. Основания геометрии / Д. Гильберт. - М.-Л. :
ОГИЗ, 1948. - 491 с.
О. Shchetynina
PRINCIPLES OF DEDUCTIVE CONSTRUCTIONS
The axiomatic-deductive method of construction of mathematics, geometry, mechanic, arifmatic is examined. Its influence
on the development of natural science and philosophy of Modern time is analyzed.
Key words: axioms, theorems, induction, deduction, reduction, mathematics, philosophy, geometry, optics, hydrostatises.
© О. Щетиніна
Надійшла до редакції 07.08.2010
ФІЛОСОФІЯ
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
http://www.pdffactory.com
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-22157 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1728-9343 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-02T07:17:29Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут філософії ім. Г.С. Сковороди НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Щетиніна, О. 2011-06-20T18:56:37Z 2011-06-20T18:56:37Z 2010 Принципи дедуктивних побудов / О. Щетиніна // Схід. — 2010. — № 5 (105). — С. 128-131. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1728-9343 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22157 164.370 У статті досліджується аксіоматико-дедуктивний метод побудови математики, геометрії, механіки, арифметики. Аналізується його вплив на розвиток природознавства й філософії Нового часу. Автор доходить висновку, що в різноманітті тенденцій історичного розвитку дедуктивних теорій і принципів їх побудови визначальною є тенденція прогресуючої формалізіції, що проявляється в переходах від змістовної до напівформальної, а потім до формалізованої аксіоматичної системи. Завдяки цьому з'явилася можливість чітко визначити синтаксис і семантику розглянутих принципів, розмежувати їхній теоретичний, інтертеоретичний і методологічний аспекти. The axiomatic-deductive method of construction of mathematics, geometry, mechanic, arifmatic is examined. Its influence on the development of natural science and philosophy of Modern time is analyzed. uk Інститут філософії ім. Г.С. Сковороди НАН України Схід Філософія Принципи дедуктивних побудов Principles of deductive constructions Article published earlier |
| spellingShingle | Принципи дедуктивних побудов Щетиніна, О. Філософія |
| title | Принципи дедуктивних побудов |
| title_alt | Principles of deductive constructions |
| title_full | Принципи дедуктивних побудов |
| title_fullStr | Принципи дедуктивних побудов |
| title_full_unstemmed | Принципи дедуктивних побудов |
| title_short | Принципи дедуктивних побудов |
| title_sort | принципи дедуктивних побудов |
| topic | Філософія |
| topic_facet | Філософія |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22157 |
| work_keys_str_mv | AT ŝetinínao principideduktivnihpobudov AT ŝetinínao principlesofdeductiveconstructions |