Побудова розв’язку одного рівняння термопружності кусково-однорідних циліндричних оболонок
Пропонується методика розв’язування рівняння для визначення прогинів пружної кусково-однорідної в осьовому напрямку циліндричної оболонки, яка перебуває під дією осесиметричного сталого за товщиною температурного поля. Методика базується на використанні функції, неперервно-диференційовної на множині...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
|---|---|
| Дата: | 2009 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2009
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22252 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Побудова розв’язку одного рівняння термопружності кусково-однорідних циліндричних оболонок / Ю. Гнатів // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 10. — С. 46-49. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860154185287204864 |
|---|---|
| author | Гнатів, Ю. |
| author_facet | Гнатів, Ю. |
| citation_txt | Побудова розв’язку одного рівняння термопружності кусково-однорідних циліндричних оболонок / Ю. Гнатів // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 10. — С. 46-49. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| description | Пропонується методика розв’язування рівняння для визначення прогинів пружної кусково-однорідної в осьовому напрямку циліндричної оболонки, яка перебуває під дією осесиметричного сталого за товщиною температурного поля. Методика базується на використанні функції, неперервно-диференційовної на множині дійсних чисел. Вихідне рівняння зводиться до диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами та сингулярною правою частиною. Для побудови його розв’язку використовується інтегральне перетворення Фур’є.
The method of solution of equation for determination of bends of elastic piecewise-homogeneous in axial direction cylindrical shell, subjected to the action of the axisymmetrical thickness-constant temperature field, is proposed. The method is based on the use of function, that is continuously differentiated for the real numbers plurality. The initial equation is reduced to a differential equation with constant coefficients and singular right part. For the construction of its solution the integral Fourier transformation is used.
Предлагается методика решения уравнения для определения прогибов упругой кусочно-однородной в осевом направлении цилиндрической оболочки, которая находится под воздействием осесимметричного постоянного по толщине температурного поля. Методика базируется на использовании функции, непрерывно-дифференцируемой на множестве действительных чисел. Исходное уравнение сводится к дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами и сингулярной правой частью. Для построения его решения используется интегральное преобразование Фурье.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:52:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
46
Побудова розв’язку одного рівняння термопружності
кусково-однорідних циліндричних оболонок
Юрій Гнатів
К. ф.-м. н., Львівська філія Дніпропетровського національного університету залізничного транспорту
ім. акад. В. Лазаряна, вул. І. Блажкевич, 12а, Львів, 79052
Пропонується методика розв’язування рівняння для визначення прогинів пружної кусково-
однорідної в осьовому напрямку циліндричної оболонки, яка перебуває під дією осесимет-
ричного сталого за товщиною температурного поля. Методика базується на використанні
функції, неперервно-диференційовної на множині дійсних чисел. Вихідне рівняння зводиться
до диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами та сингулярною правою части-
ною. Для побудови його розв’язку використовується інтегральне перетворення Фур’є.
Ключові слова: кусково-однорідна циліндрична оболонка, рівняння для
визначення прогинів, побудова розв’язку.
Вступ. Для побудови розв’язків диференціальних рівнянь термопружності кусково-
однорідних тіл, зокрема оболонок, у роботі [1] застосовується співвідношення,
яке зв’язує класичну й узагальнену похідні. У цій праці для розв’язування такого
рівняння замість співвідношення, яке пов’язує класичну й узагальнену похідні,
використаємо функцію, яка неперервно-диференційовна на множині дійсних чи-
сел. Розв’язки, які отримуються на основі пропонованої у роботі [1] і цій праці
методик, задовольняють умови ідеального механічного контакту сусідніх різно-
рідних елементів тіл.
Постановка задачі та методика побудови розв’язку
Розглянемо пружну кусково-однорідну циліндричну оболонку, віднесену до ци-
ліндричної системи координат. Нехай модуль пружності та коефіцієнт лінійного
теплового розширення оболонки залежать від осьової координати, а коефіцієнт
Пуассона — стала величина. Приймаємо, що оболонка перебуває під дією осеси-
метричного сталого за товщиною температурного поля. Рівняння термопружності
цієї оболонки зводяться до рівняння для визначення прогинів, яке можна подати
у вигляді [2-4]
[ ] [ ]0 0( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 0.E x w x E x w x x t x″′′ + − α = (1)
Тут ( ) ( )4 2 2 2
0; 3 1 4 ; ( ) ( ) ;x az R a R h w x w x R= = −ν = z — осьова координата; w(x) —
УДК 517.9:539.3
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 10, 46-49
47
прогин; E(x) — модуль пружності; α(x) — коефіцієнт лінійного теплового розши-
рення; ν — коефіцієнт Пуассона; 2h — товщина оболонки; R — радіус серединної
поверхні; t(x) — температурне поле.
Нехай
( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 1
1 1
( ) , ( ) ,
n n
i i i i i i
i i
E x E E E S x x x S x x− − − −
= =
= + − − α = α + α −α −∑ ∑
де ( )
1, якщо ,
0, якщо .
i
i
i
x x
S x x
x x−
≥
− = <
Із метою спрощення рівняння (1) уведемо функцію
0( ) ( ) ( ).z x E x w x′′= (2)
Подамо рівняння (1) таким чином
[ ]0( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 0.z x E x w x x t x′′ + − α = (3)
Зі співвідношень (2), (3) видно, що функції w0(x) і z(x) неперервно-дифе-
ренційовні на множині дійсних чисел. Із цієї властивості функцій w0(x) і z(x) ви-
пливають умови ідеального механічного контакту сусідніх різнорідних елементів
оболонки.
Використавши тотожність [1]
( ) ( ) ( )
1
0 1
0 11 1
1 1 1 ,
n n
i i i i
i ii i
E E E S x x S x x
E E E
−
− − −
−= =
+ − − = + − −
∑ ∑
співвідношення (2) перетворимо до вигляду
( )0
0 11
1 1 1( ) ( ).
n
i
i ii
w x S x x z x
E E E −
−=
′′ = + − −
∑ (4)
Диференціюючи рівняння (4) по x і беручи до уваги, що z(x) — неперервна
функція, отримаємо
( )0
0 11
1 1 1( ) ( )
n
i
i ii
w x S x x z x
E E E −
−=
′′′ ′= + − − +
∑
( )
11
1 1 ( ) .
n
i i
i ii
z x x x
E E −
−=
+ − δ −
∑ (5)
Тут ( )ix x−δ − — асиметрична дельта-функція.
Диференціюючи рівняння (5) по x і враховуючи, що z(x) — неперервно-
диференційовна функція, одержуємо
Юрій Гнатів
Побудова розв’язку одного рівняння термопружності кусково-однорідних циліндричних оболонок
48
( )(4)
0
0 11
1 1 1( ) ( )
n
i
i ii
w x S x x z x
E E E −
−=
′′= + − − +
∑
( ) ( )
11
1 1 ( ) ( ) .
n
i i i i
i ii
z x x x z x x x
E E − −
−=
′ ′ + − δ − + δ −
∑ (6)
Визначимо з (3) функцію z''(x) і підставимо її у вираз (6). Тоді отримаємо
наступне рівняння зі сталими коефіцієнтами та сингулярною правою частиною
(4)
00 ( ) 4 ( ) 4 ( ) ( )w x w x x t x+ = α +
( ) ( )
11
1 1 ( ) ( ) .
n
i i i i
i ii
z x x x z x x x
E E − −
−=
′ ′ + − δ − + δ −
∑ (7)
Використовуючи те, що функція ( )z x неперервно-диференційовна, а також
співвідношення (2), знайдемо
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 00 , 0 1,i i i i i iz x E w x z x E w x i n− −′′ ′ ′′′= − = − = . (8)
Ураховуючи формули (8), рівняння (7) подамо таким чином
(4)
00 ( ) 4 ( ) 4 ( ) ( )w x w x x t x+ = α +
( ) ( )1
0 0
1
1 ( 0) ( 0) .
n
i
i i i i
ii
E w x x x w x x x
E
−
− −
=
′′′ ′′ ′ + − − δ − + − δ −
∑ (9)
Розв’язок рівняння (9), обмежений при ,x →∞ знайдений за допомогою
інтегрального перетворення Фур’є, має вигляд
0
1( ) ( ) ( ) cos( ) sin
2
xw x t e x x d
∞
− −ξ
−∞
= α ξ ξ − ξ + − ξ ξ + ∫
( ){1
0
1
1 1 ( 0) cos sin
8
i
n
x xi
i i i
ii
E e w x x x x x
E
− −−
=
′′′ + − − − + − −
∑
( )}02 ( 0)sini iw x x x′′− − − . (10)
Визначивши другу та третю похідні функції 0 ( )w x і послідовно поклавши
1 20, 0,..., 0nx x x x x x= − = − = − в отриманих формулах, дістанемо систему рівнянь
для знаходження величин ( )0 0iw x′′′ − і ( )( )0 0 1,iw x i n′′ − = . Якщо n = 1, а x1 = 0, то
ця система складається з рівнянь
( ) ( )0 1 0 0 1 0 1 1( 0) 2 ( 0) ,E E w E E w E F′′′ ′′− − + + − =
( ) ( )0 1 0 0 1 0 1 2( 0) ( 0) ,E E w E E w E F′′′ ′′+ − + − − = (11)
де
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 10, 46-49
49
[ ] ( )1 0 1
0
4 ( ) ( ) sin cosF t t e d
∞
−ξ= α −ξ + α ξ ξ − ξ ξ∫ ,
[ ]2 0 1
0
4 ( ) ( ) cosF t t e d
∞
−ξ= α −ξ − α ξ ξ ξ∫ .
Висновки. Показано ефективність застосування неперервно-диференційовної на
множині дійсних чисел функції для розв’язування диференціального рівняння
термопружності для кусково-однорідних тіл. Запропонована методика дозволяє
отримати розв’язок для всієї оболонки як єдиного цілого.
Література
[1] Подстригач, Я. С. Термоупругость тел неоднородной структуры / Я. С. Подстригач,
В. А. Ломакин, Ю. М. Коляно. — Москва: Наука, 1984. — 368 с.
[2] Бурак, Я. Й. Аналітична механіка локально навантажених оболонок / Я. Й. Бурак, Ю. К. Ру-
давський, М. А. Сухорольський. — Львів: Інтелект-Захід, 2007. — 240 с.
[3] Григолюк, Э. И. Оптимизация нагрева оболочек и пластин / Э. И. Григолюк, Я. С. Подстри-
гач, Я. И. Бурак. — Киев: Наук. думка, 1979. — 364 с.
[4] Moguillen, E. J. Dynamic Thermoelastic Response of Cylindrical Shells / E. J. Moguillen, M. A. Brull. —
Trans. ASME. Ser. E. J. App. Mech. — 1970. — Vol. 37, No 3. — P. 88-97.
Solution construction of one equation of thermoelasticity
of piecewise-homogeneous cylindrical shells
Yuriy Hnativ
The method of solution of equation for determination of bends of elastic piecewise-homogeneous
in axial direction cylindrical shell, subjected to the action of the axisymmetrical thickness-constant
temperature field, is proposed. The method is based on the use of function, that is continuously dif-
ferentiated for the real numbers plurality. The initial equation is reduced to a differential equation
with constant coefficients and singular right part. For the construction of its solution the integral
Fourier transformation is used.
Построение решения одного уравнения термоупругости
кусочно-однородных цилиндрических оболочек
Юрий Гнатив
Предлагается методика решения уравнения для определения прогибов упругой кусочно-
однородной в осевом направлении цилиндрической оболочки, которая находится под воз-
действием осесимметричного постоянного по толщине температурного поля. Методика
базируется на использовании функции, непрерывно-дифференцируемой на множестве
действительных чисел. Исходное уравнение сводится к дифференциальному уравнению
с постоянными коэффициентами и сингулярной правой частью. Для построения его реше-
ния используется интегральное преобразование Фурье.
Представлено професором Т. Нагірним
Отримано 19.02.09
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-22252 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1816-1545 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:52:43Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гнатів, Ю. 2011-06-20T22:21:24Z 2011-06-20T22:21:24Z 2009 Побудова розв’язку одного рівняння термопружності кусково-однорідних циліндричних оболонок / Ю. Гнатів // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 10. — С. 46-49. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22252 517.9:539.3 Пропонується методика розв’язування рівняння для визначення прогинів пружної кусково-однорідної в осьовому напрямку циліндричної оболонки, яка перебуває під дією осесиметричного сталого за товщиною температурного поля. Методика базується на використанні функції, неперервно-диференційовної на множині дійсних чисел. Вихідне рівняння зводиться до диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами та сингулярною правою частиною. Для побудови його розв’язку використовується інтегральне перетворення Фур’є. The method of solution of equation for determination of bends of elastic piecewise-homogeneous in axial direction cylindrical shell, subjected to the action of the axisymmetrical thickness-constant temperature field, is proposed. The method is based on the use of function, that is continuously differentiated for the real numbers plurality. The initial equation is reduced to a differential equation with constant coefficients and singular right part. For the construction of its solution the integral Fourier transformation is used. Предлагается методика решения уравнения для определения прогибов упругой кусочно-однородной в осевом направлении цилиндрической оболочки, которая находится под воздействием осесимметричного постоянного по толщине температурного поля. Методика базируется на использовании функции, непрерывно-дифференцируемой на множестве действительных чисел. Исходное уравнение сводится к дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами и сингулярной правой частью. Для построения его решения используется интегральное преобразование Фурье. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Побудова розв’язку одного рівняння термопружності кусково-однорідних циліндричних оболонок Solution construction of one equation of thermoelasticity of piecewise-homogeneous cylindrical shells Построение решения одного уравнения термоупругости кусочно-однородных цилиндрических оболочек Article published earlier |
| spellingShingle | Побудова розв’язку одного рівняння термопружності кусково-однорідних циліндричних оболонок Гнатів, Ю. |
| title | Побудова розв’язку одного рівняння термопружності кусково-однорідних циліндричних оболонок |
| title_alt | Solution construction of one equation of thermoelasticity of piecewise-homogeneous cylindrical shells Построение решения одного уравнения термоупругости кусочно-однородных цилиндрических оболочек |
| title_full | Побудова розв’язку одного рівняння термопружності кусково-однорідних циліндричних оболонок |
| title_fullStr | Побудова розв’язку одного рівняння термопружності кусково-однорідних циліндричних оболонок |
| title_full_unstemmed | Побудова розв’язку одного рівняння термопружності кусково-однорідних циліндричних оболонок |
| title_short | Побудова розв’язку одного рівняння термопружності кусково-однорідних циліндричних оболонок |
| title_sort | побудова розв’язку одного рівняння термопружності кусково-однорідних циліндричних оболонок |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22252 |
| work_keys_str_mv | AT gnatívû pobudovarozvâzkuodnogorívnânnâtermopružnostíkuskovoodnorídnihcilíndričnihobolonok AT gnatívû solutionconstructionofoneequationofthermoelasticityofpiecewisehomogeneouscylindricalshells AT gnatívû postroenierešeniâodnogouravneniâtermouprugostikusočnoodnorodnyhcilindričeskihoboloček |