On size effect of mechanical properties of thermoelastic solids
In this paper the principal relations of a thermoelastic solid model for the local gradient approach in thermomechanics are presented. Within the framework of such an approach the stationary stressed-strained state of a stretched isotropic thermoelastic layer is examined. On this basis using the com...
Saved in:
| Published in: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | English |
| Published: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2009
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22256 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | On size effect of mechanical properties of thermoelastic solids / T. Nahirnyj, K. Tchervinka // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 10. — С. 75-83. — Бібліогр.: 10 назв. — англ. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859769905421746176 |
|---|---|
| author | Nahirnyj, T. Tchervinka, K. |
| author_facet | Nahirnyj, T. Tchervinka, K. |
| citation_txt | On size effect of mechanical properties of thermoelastic solids / T. Nahirnyj, K. Tchervinka // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 10. — С. 75-83. — Бібліогр.: 10 назв. — англ. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| description | In this paper the principal relations of a thermoelastic solid model for the local gradient approach in thermomechanics are presented. Within the framework of such an approach the stationary stressed-strained state of a stretched isotropic thermoelastic layer is examined. On this basis using the common meaning of elasticity modules the size effects of Young’s modulus, Poisson’s ratio and bulk modulus are studied. The isotropic quality of elasticity modules size effects is confirmed. It is shown that in the considered model the shear modulus does not depend on the specific size (thickness) of the layer. The numerical results are presented as graphs.
У даній роботі наведено основні співвідношення моделі термопружного тіла за локально градієнтного підходу у термомеханіці. У рамках такого підходу досліджено стаціонарний напружено-деформований стан розтягнутого ізотропного термопружного шару. На цій основі, використовуючи загальне означення модулів пружності, вивчено розмірні ефекти модуля Юнга, коефіцієнта Пуассона та модуля всестороннього стиску. Встановлено ізотропний характер розмірного ефекту модулів пружності. Показано, що у рамках розглядуваної моделі модуль зсуву не залежить від характерного розміру (товщини) шару. Результати числових досліджень подано у вигляді графіків.
В данной работе приведены основные соотношения модели термоупругого тела при локально градиентном подходе в термомеханике. В рамках такого подхода исследовано стационарное напряженно-деформированное состояние растянутого изотропного термоупругого слоя. На этой основе, используя общее определение модулей упругости, изучены размерные эффекты модуля Юнга, коэффициента Пуассона и модуля всестороннего сжатия. Установлен изотропный характер размерного эффекта модулей упругости. Показано, что в рамках рассматриваемой модели модуль сдвига не зависит от характерного размера (толщины) слоя. Результаты числовых исследований представлены в виде графиков.
|
| first_indexed | 2025-12-02T05:57:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
75
On size effect of mechanical properties
of thermoelastic solids
Taras Nahirnyj1, Kostiantyn Tchervinka2
1 prof., Centre of mathematical modelling, Pidstrygach IAPMM NAS of Ukraine, 15 Dudaev’s str., Lviv, Ukraine,
79005; Zielena Góra University, 4 prof. Shafran st., Poland, 65-516, e-mail: tnagirny@yahoo.com
2 dr., Ivan Franko national university of Lviv, 1 Universitetska st., Lviv, Ukraine, 79000; e-mail: k.tchervinka@gmail.com
In this paper the principal relations of a thermoelastic solid model for the local gradient approach
in thermomechanics are presented. Within the framework of such an approach the stationary stressed-
strained state of a stretched isotropic thermoelastic layer is examined. On this basis using the
common meaning of elasticity modules the size effects of Young’s modulus, Poisson’s ratio and
bulk modulus are studied. The isotropic quality of elasticity modules size effects is confirmed. It is
shown that in the considered model the shear modulus does not depend on the specific size
(thickness) of the layer. The numerical results are presented as graphs.
Keywords: size effects, elasticity modules, local gradient approach.
Introduction. In the last decades in scientific literature considerable attention is paid
to the construction of mathematical models and study of physicomechanical processes
in the deformable solids taking into account the effect of local, including interface, he-
terogeneity. Such an interest is caused in particular by the wide use of thin films and
fibres, and also nanomaterials in engineering practice [1-3]. Techniques for working on
the nanoscale have become essential to electronic engineering and nanoengineered
materials began to appear in consumer products. It is known, that device elements of
the nanoscale size (traditionally defined as less than 100 nanometers) feature the increa-
sing ratio of surface to bulk volume and the influence of surface energy becomes signi-
ficant on the nanoscale. When studying the nanomaterial properties a special attention
is paid to investigation of the mechanical properties, including dependences of the elas-
ticity modules on a characteristic size [2, 3].
There are nonlocal [4, 5] and local gradient [6, 7] approaches to construction of
locally heterogeneous models of solid mechanics. Within the framework of the first
approach the dependence between stresses and deformations is adopted, in the general
case, as integral correlation on spatial coordinates and it represents conditions that stres-
ses in the considered point of a body depend on deformations both herein, and in neigh-
boring points. On the basis of nonlocal models a wide complex of researches of the de-
formable solids has been performed and presented in literature, taking into account scale
and damage effects, interface phenomena etc. It should be noted that this approach, as
well as other phenomenological approaches, meets significant difficulties when consi-
dering the influence of the nonmechanical processes, including thermal ones on body
deformation.The other mentioned approach, which allows us to take into account
УДК 539.3
Taras Nahirnyj, Kostiantyn Tchervinka
On size effect of mechanical properties of thermoelastic solids
76
heterogeneity when describing the state of a physically small element, is the local gra-
dient approach in thermomechanics [6-9]. The dependence between stresses and strain
tensors within a model of the local gradient approach in the elasticity theory can be
presented in a nonlocal form [6]. Within the framework of this approach the number of
models are built and it is shown on the example of model problems that this approach
allows us to describe deformation of bodies taking into account the interface phenomena,
scale effects, including that of tensile strength, and also to investigate the influence of
temperature, admixtures, environment etc on them [7-9].
The paper considers the principal relations of a thermoelastic solid model, the
stationary stressed-strained state of stretched isotropic thermoelastic layer and does
examine the stress-strain dependence and the proportionality coefficients (elasticity
modules) dependence on layer thickness.
1. Basic relations of local gradient thermoelasticity
Local gradient approach is based on the principles of nonequilibrium thermodynamics
and nonlinear mechanics [6]. According to the approach the local state parameters space
is expanded by chemical potential and its gradient allows us to describe varying particle
interaction conditions in the different body regions. The local gradient approach model
of one-component thermoelastic body includes in the space of local state the strain ten-
sor ê , temperature T, chemical potential H and its gradient H∇ . Conjugated parameters
are stress tensor σ̂ , entropy S, density of mass ρ and vector of elastic mass replace-
ment mπ respectively. For linear approach the state equations of the model of local
gradient thermomechanics for an isotropic solid can be written as
* te th ttS S a e a a− = − η+ θ , * eh hh tha e a aρ − ρ = − − η− θ ,
m ggaπ = − ∇η , [ ] ˆˆ ˆ2 e ee eh tea e a e a a Iσ = + + η− θ . (1)
Here subscript «*» represents the value of the parameters in the initial state which is
considered to be the state of load-free infinite isotropic media with material identical to
the material of the body; *T Tθ = − , *H Hη = − , *H H∇η =∇ −∇ , ˆ ˆ 0e e= − are the
disturbances of state parameters; ae, aee, aeh, ate, agg, ahh, ath are constants; ˆˆ :e e I= , Î is
identity tensor.
For the model of local gradient thermomechanics the key set of equations descri-
bing the steady state of a body taking as solving functions the displacement vector u ,
disturbances of temperature θ and chemical potential η is
( ) ( )2 0e e ee eh tea u a a u a a∇ + + ∇ ∇ ⋅ + ∇η− ∇θ = ,
2 0∇ θ = , 2 0gg hh eh tha a a e a∇ η− η− − θ = . (2)
If instead of u as the solving function the stress tensor σ̂ is used, the set is
ˆ 0∇ ⋅σ = , ( ) ( ) ˆˆ3 2 2 2 0ee e ee e eh e tea a a a a a a I ∇× + σ − σ + η− θ ×∇ = ,
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 10, 75-83
77
2 0∇ θ = , 2 2 2 2 0η σ θ∇ η− κ η− κ σ − κ θ = , (3)
where
2
2 31
3 2
eh
hh
gg ee e
aa
a a aη
κ = −
+
,
( )
2
3 2
eh
gg ee e
a
a a aσκ =
+
, 2 31
3 2
eh te
th
gg ee e
a aa
a a aθ
κ = + +
,
ˆˆ : Iσ = σ .
We shall use the last set to investigate the relation between mechanical load of
a body and deformations in a layer loaded at infinity and at the surface.
2. Stressed-strained state of the layer
Let us consider an isotropic thermoelastic layer (domain | |x l≤ in the Cartesian coordi-
nates {x, y, z}). At infinity y →±∞ the layer is loaded by forces of intensity 0yp ≥ .
Suppose that at the surfaces x l= ± there are the normal to surface mechanical load px,
the values of chemical potential aη and temperature aθ . The equations (3), written for
nonzero components of stresses, temperature and chemical potential are
0xd
dx
σ
= ,
2 2
2 2
y zd d
dx dx
σ σ
= ,
2 2
2 2m
d db
dx dx
σ η
= ,
2
2 0d
dx
θ
= ,
2
2 2 2
2 0d
dx η σ θ
η
− κ η− κ σ − κ θ = , (4)
where ( )4 2m e eh ee eb a a a a= + .
The boundary conditions and integral load conditions we write in the form
ax l=±θ = θ , ax l=±η = η , ( )ˆ ,0,0xln p±⋅σ = ± ,
1
2
l
y y
l
dx p
l −
σ =∫ , 0
l
z
l
dx
−
σ =∫ , 0
l
y
l
x dx
−
σ =∫ , 0
l
z
l
x dx
−
σ =∫ . (5)
Here n is the external normal vector.
The problem solution is
( )
( )
ch
( ) 1
cha
l
x
x
l
ξχ
η = η + − ζ ξ
, ( ) axθ = θ , ( )x xx pσ = ,
( )
( )
( )ch th
( ) ( )
2 ch
m
y y z
l
x lbx p x
l l
ξ ξχ
σ − = σ = − ζ ξ ξ
. (6)
Here
( ) ( )2 2 2 2
2 2 2
2 2
th
, , 1 1 ,x y a a
m l m
p p l
b D D b
l
σ η θ σ
η σ
κ + +κ η + κ θ ξ κ
ξ =κ + κ χ = ζ = − − = ξξ ξ
,
ch and th are hyperbolical cosine and tangent.
Taras Nahirnyj, Kostiantyn Tchervinka
On size effect of mechanical properties of thermoelastic solids
78
These formulas describe the state of the layer, conditioned by the external force
and temperature loading and the difference of chemical potential at the surface of the
layer to compare to its values in an infinite homogeneous media. If the characteristic
size of the body is considerably greater than the size of nearsurface heterogeneity re-
gion (ξ l >> 1) then in the free of external load body ( px = py = 0) internal areas are
practically unstressed, and heterogeneity is localized in the narrow nearsurface regions.
The uniform temperature affects the size of stresses in the body not changing the picture
of their distribution.
The stressed state described with formulas (6) causes the layer deformation. For
determining strain components on the basis of the last equation (1) we write
1 1 ˆˆ ˆ
2 3 2 2
ee
eh te
e ee e e
ae a a I
a a a a
= σ − σ + η− θ +
.
This relation alongside with solution (6) yields strain in the directions of the
stress applying
1
3 2 2
ee e ee
x x y eh a te a
ee e e e
a a ae p p a a
a a a a
+
= − − η + θ ++
3 2 2ch th1
2 ch 2
eh ee e ee
l ee e ee e
a a a ax l
a a l a a l
χ + ξ ξ
+ − + ζ + ξ + ξ
,
1 th1
3 2 2
ee ee e eh
y x y eh a te a
ee e e e l
a a a a le p p a a
a a a a l
+ χ ξ
= − + − η + θ + − + ζ ξ
. (7)
Obtained relations (7) contain the constituents of deformation caused by the ex-
ternal power loading ( px, py) as well as nonmechanical action (η a, θ a). For examining
the deformation caused by mechanical load only we consider
[ ] [ ] 0; 0
1 ( ) ( )
2 x y
l
ef
x x x p p
l
e e x e x dx
l = =
−
= −∫ ,
0; 0x y
ef
y y y p p
e e e
= =
= − . (8)
Here it is taken into account that strain ex is variable and it allows to consider its integral
characteristic. On the basis of (7), (8) we write expressions
( ) ( )1
3 2 2
ef ee e ee
x x y x y
ee e e e
a a ae p p p p l
a a a a
+
= − + + Ψ ξ +
,
( ) ( )1
3 2 2
ef ee ee e
y x y x y
ee e e e
a a ae p p p p l
a a a a
+
= − + + + Ψ ξ +
, (9)
for deformation caused by action of px and py. Here ( ) ( )
( )
12
4
lee e
e l
la al
a l
−ζ ξ+
Ψ ξ = ⋅
ζ ξ
.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 10, 75-83
79
3. Size effect of elasticity modules
Let us consider the layer under mechanical load in the direction of Y-axis ( px = 0, py > 0).
In this case strain components ef
xe and ef
ye are
( )1
3 2 2
ef ee
x y
ee e e
ae l p
a a a
= − + Ψ ξ +
,
( )1
3 2
ef ee e
y y
ee e e
a ae l p
a a a
+
= + Ψ ξ +
. (10)
The ratio of the applied stress to the fractional expanding (or contracting) of the
sample length due to axial tension (or compression) is Young’s modulus E and the ratio
of lateral strain (perpendicular to the applied stress) to the longitudinal strain (parallel
to applied stress) is Poisson’s ratio ν, in this case
yef
y
p
e
E
= , yef
x
p
e
E
= −ν ,
from (10) we get
( ) ( )
1
3 2y ee e
ee eef
ey
p a aE a a l
ae
−
+
= = + + Ψ ξ
,
( ) ( )
1
2
ef
x ee ee e
ef
e ey
e a a al l
a ae
−
+
ν = − = −Ψ ξ + Ψ ξ
. (11)
Note that neglecting interconnection in Eq. (4) that results in D = 0 we get classical
relations
( )
0
3 2ee e e
ee e
a a a
E
a a
+
=
+
,
( )0 2
ee
ee e
a
a a
ν =
+
, (12)
that coincide with expressions of E and ν through Lame constants λ, µ. Relations (11)
thus describe the size effect of elasticity modules for considered state. For such effects
the description of the interconnectivity of set (4) is essential because the equality to
zero either of the coefficients bm or κσ gives coupling parameter D turning zero. Note
that uniform temperature does not influence the received relations.
To clarify whether size effect of elasticity modules presented in (11) is implied
by geometry and conditions of specific problem or is a more general case let us consi-
der another stressed state of the layer.
Let us consider the layer under mechanical load in the direction of X-axis
( px = 0, py > 0). In this case for strains ef
xe and ef
ye we get from (9)
( )1
3 2
ef ee e
x x
ee e e
a a
e l p
a a a
+
= + Ψ ξ +
,
Taras Nahirnyj, Kostiantyn Tchervinka
On size effect of mechanical properties of thermoelastic solids
80
( )1
3 2 2
ef ee
y x
ee e e
ae l p
a a a
= − + Ψ ξ +
. (13)
Further we obtain
( ) ( )
1
3 2x ee e
ee eef
ex
p a a
E a a l
ae
−
+
= = + + Ψ ξ
,
( ) ( )
1
2
ef
y ee ee e
ef
e ex
e a a al l
a ae
−
+
ν = − = −Ψ ξ + Ψ ξ
. (14)
Comparing (11) and (14) one can see that for different load conditions we obtaine
the same type of the dependence of elasticity modules on the layer thickness. Thus the
model of thermoelastic body built for local gradient approach allows us to describe the
size effects of Young's modulus and Poisson’s ratio. In this case the isotropic quality of
the elasticity modules size effects is proved. Using formulas [10]
( )( )1 1 2
Eν
λ =
+ ν − ν
,
( )2 1
EGµ = =
+ ν
,
( )3 1 2
EK =
− ν
,
on the basis of (14) we shall write expressions for Lame constants λ, µ, shear G and
bulk K modules often used alongside with Young’s modulus and Poisson’s ratio
eG aµ = = ,
( )
( )
( )
( )
1
1 12 21 3
2 4
l lee e ee e
ee e
e l e l
l la a a aa a
a l a l
−
− ζ ξ − ζ ξ+ +
λ = − + ζ ξ ζ ξ
,
( )
( )
1
122 1 3
3 4
lee e
ee e
e l
la aK a a
a l
−
− ζ ξ+ = + + ζ ξ
.
In the considered model the shear module does not show the size effect.
One should note that in thick layers the values of Young’s modulus and Pois-
son’s ratio (11) tend to limits
( )
1
23 2
4 1
ee e ee e
ee e
e e
a a a a DE a a
a a D
−
+ +
= + + −
,
1
2 2
2 4 1 4 1
ee ee e ee e ee e
e e e e
a a a a a a aD D
a a D a a D
−
+ + +
ν = − + − −
,
respectively. Assuming D = 0 we obtain relation (12) in the case of reducing the model
relations to the classical ones.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 10, 75-83
81
Let us examine dependence of reduced Young’s modulus and Poisson’s ratio
( )
1
0 1 e
ee e
a
E E l
a a
−
= + Ψ ξ +
,
( ) ( )0
21 1e e
ee ee e
a al l
a a a
ν = ν − Ψ ξ + Ψ ξ +
,
on the body size ξ l, the model constants ratio ae / aee and the coupling parameter D.
Specified values of Young’s modulus Ep (solid line, left scale) and Poisson’s ratio
νp (dashed line, right scale) for D = 0,1, k = ae / aee = 0,4; 0,6; 0,8 (curves 1, 2, 3) decre-
ase with body size increase. This is demonstrated in Fig. 1.
Specified values of Young’s modulus Ep (solid line, left scale) and Poisson’s ra-
tio νp (dashed line, right scale) for D = 0,1, ξ l = 5, 10, 20 (curves 1, 2, 3) decrease with
parameter k = ae / aee change from 0,2 to 1,0 as demonstrated in Fig. 2.
With increase of parameter D the size effects become more evident as shown in
Fig. 3 for ξ l = 5, 10, 20 (curves 1, 2, 3), ae / aee = 0,6.
Fig. 1. Elasticity modules E, ν versus layer thickness
1
2 3
E / E0
0,97
0,96
0,95
0,93
0,87
0,80
5 15 25 35 45
ν / ν0
ξ l
Fig. 2. Elasticity modules E, ν versus parameters ae / aee ratio
1
2
3
E / E0
0,97
0,96
0,95
0,2 ae / aee
0,88
0,5 0,8
ν / ν0
0,84
0,80
Taras Nahirnyj, Kostiantyn Tchervinka
On size effect of mechanical properties of thermoelastic solids
82
Conclusions. Within the framework of local gradient approach in thermomechanics
the dependence of the elasticity modules on the characteristic body size is investigated.
The basic relations of local gradients of thermoelasticity are used to investigate the sta-
tionary state of stretched isotropic thermoelastic layer. Considering different stressed-
strained states and common definition of the elasticity modules the Young’s modulus
and Poisson’s ratio are examined. The isotropic quality of elasticity modules size effects
is proved. It is shown that in the considered model the shear modulus does not depend
on specific size (thickness) of the layer and the elasticity modules tend to constant value
with the characteristic body size increase. The change of these parameters is conside-
rable for the layers whose size is comparable to the characteristic size of nearsurface
inhomogeneous region. The obtained relations may be used as a starting point in con-
struction of the theory of nanomaterials mechanics.
References
[1] Гузь, А. Н. Наноматериалы. О механике наноматериалов / А. Н. Гузь, Я. Я. Рущицкий // Прикл.
механика. — 2003. — T. 39, № 11. — С. 36-66.
[2] Katz, Y. Implications of scale effects on the mechanical response / Y. Katz, W. W. Gerberich //
On achievements in mechanical and material engineering: 13th Int. Sci. Conf. — Poland, Gliwice-
Wisla, 16-19th May 2005. — P. 295-298.
[3] Liang, H. Size-dependent elasticity of nanowires: Nonlinear effects / H. Liang, M. Upmanyu,
H. Huang // Phys. Review. B — 2005. — Vol. 71. — P. 241403-1–241403-4.
[4] Eringen, A. C. On Nonlocal Elasticity / A. C. Eringen, D. G. Edelen // Int. J. Eng. Sci. — 1972. —
Vol. 10, Issue 3. — P. 233-248.
[5] Кунин, И. А. Теория упругих сред с микроструктурой. Нелокальная теория упругости /
И. А. Кунин. — Москва: Наука, 1975. — 416 с.
[6] Фізико-математичне моделювання складних систем / Я. Й. Бурак, Є. Я. Чапля, Т. С. Нагір-
ний та ін.; під ред. Я. Й. Бурака, Є. Я. Чаплі. — Львів: СПОЛОМ, 2004. — 264 с.
[7] Поверхностные напряжения в слое. Влияние температуры и примесей на прочность /
Я. И. Бурак, Т. С. Нагирный, О. Р. Грицина, К. А. Червинка // Проблемы прочности. — 2000. —
№ 6. — С. 35-43.
[8] Нагірний, Т. С. Поверхневі напруження в шарі. Вплив температури на приповерхневий
натяг та міцність / Т. С. Нагірний, К. А. Червінка // Доп. НАН України. — 2000. — № 10. —
C. 57-62.
Fig. 3. Elasticity modules E, ν versus parameter D
E / E0
0,9
1
2
3
0,67
0,33
0 0,125 0,250 D
0,8
ν / ν0
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2009, вип. 10, 75-83
83
[9] Nagirny, T. Thermodynamical models of continual description of the coupled processes in thin-
film systems / T. Nagirny, Y. Burak // Trends in Continuum Phys. — Poznań: Word Sci., 1999. —
P. 263-276.
[10] Новацкий, В. Теория упругости / В. Новацкий. — Москва: Мир, 1975. — 872 с.
Про розмірний ефект механічних характеристик термопружних тіл
Тарас Нагірний, Костянтин Червінка
У даній роботі наведено основні співвідношення моделі термопружного тіла за локально
градієнтного підходу у термомеханіці. У рамках такого підходу досліджено стаціонарний
напружено-деформований стан розтягнутого ізотропного термопружного шару. На цій
основі, використовуючи загальне означення модулів пружності, вивчено розмірні ефекти
модуля Юнга, коефіцієнта Пуассона та модуля всестороннього стиску. Встановлено ізо-
тропний характер розмірного ефекту модулів пружності. Показано, що у рамках розгляду-
ваної моделі модуль зсуву не залежить від характерного розміру (товщини) шару. Резуль-
тати числових досліджень подано у вигляді графіків.
О размерном эффекте механических характеристик термоупругих тел
Тарас Нагирный, Константин Червинка
В данной работе приведены основные соотношения модели термоупругого тела при локально
градиентном подходе в термомеханике. В рамках такого подхода исследовано стационарное
напряженно-деформированное состояние растянутого изотропного термоупругого слоя.
На этой основе, используя общее определение модулей упругости, изучены размерные эффекты
модуля Юнга, коэффициента Пуассона и модуля всестороннего сжатия. Установлен изо-
тропный характер размерного эффекта модулей упругости. Показано, что в рамках рас-
сматриваемой модели модуль сдвига не зависит от характерного размера (толщины) слоя.
Результаты числовых исследований представлены в виде графиков.
Отримано 14.07.09
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-22256 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1816-1545 |
| language | English |
| last_indexed | 2025-12-02T05:57:37Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Nahirnyj, T. Tchervinka, K. 2011-06-20T22:27:43Z 2011-06-20T22:27:43Z 2009 On size effect of mechanical properties of thermoelastic solids / T. Nahirnyj, K. Tchervinka // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2009. — Вип. 10. — С. 75-83. — Бібліогр.: 10 назв. — англ. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22256 539.3 In this paper the principal relations of a thermoelastic solid model for the local gradient approach in thermomechanics are presented. Within the framework of such an approach the stationary stressed-strained state of a stretched isotropic thermoelastic layer is examined. On this basis using the common meaning of elasticity modules the size effects of Young’s modulus, Poisson’s ratio and bulk modulus are studied. The isotropic quality of elasticity modules size effects is confirmed. It is shown that in the considered model the shear modulus does not depend on the specific size (thickness) of the layer. The numerical results are presented as graphs. У даній роботі наведено основні співвідношення моделі термопружного тіла за локально градієнтного підходу у термомеханіці. У рамках такого підходу досліджено стаціонарний напружено-деформований стан розтягнутого ізотропного термопружного шару. На цій основі, використовуючи загальне означення модулів пружності, вивчено розмірні ефекти модуля Юнга, коефіцієнта Пуассона та модуля всестороннього стиску. Встановлено ізотропний характер розмірного ефекту модулів пружності. Показано, що у рамках розглядуваної моделі модуль зсуву не залежить від характерного розміру (товщини) шару. Результати числових досліджень подано у вигляді графіків. В данной работе приведены основные соотношения модели термоупругого тела при локально градиентном подходе в термомеханике. В рамках такого подхода исследовано стационарное напряженно-деформированное состояние растянутого изотропного термоупругого слоя. На этой основе, используя общее определение модулей упругости, изучены размерные эффекты модуля Юнга, коэффициента Пуассона и модуля всестороннего сжатия. Установлен изотропный характер размерного эффекта модулей упругости. Показано, что в рамках рассматриваемой модели модуль сдвига не зависит от характерного размера (толщины) слоя. Результаты числовых исследований представлены в виде графиков. en Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології On size effect of mechanical properties of thermoelastic solids Про розмірний ефект механічних характеристик термопружних тіл О размерном эффекте механических характеристик термоупругих тел Article published earlier |
| spellingShingle | On size effect of mechanical properties of thermoelastic solids Nahirnyj, T. Tchervinka, K. |
| title | On size effect of mechanical properties of thermoelastic solids |
| title_alt | Про розмірний ефект механічних характеристик термопружних тіл О размерном эффекте механических характеристик термоупругих тел |
| title_full | On size effect of mechanical properties of thermoelastic solids |
| title_fullStr | On size effect of mechanical properties of thermoelastic solids |
| title_full_unstemmed | On size effect of mechanical properties of thermoelastic solids |
| title_short | On size effect of mechanical properties of thermoelastic solids |
| title_sort | on size effect of mechanical properties of thermoelastic solids |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22256 |
| work_keys_str_mv | AT nahirnyjt onsizeeffectofmechanicalpropertiesofthermoelasticsolids AT tchervinkak onsizeeffectofmechanicalpropertiesofthermoelasticsolids AT nahirnyjt prorozmírniiefektmehaníčnihharakteristiktermopružnihtíl AT tchervinkak prorozmírniiefektmehaníčnihharakteristiktermopružnihtíl AT nahirnyjt orazmernoméffektemehaničeskihharakteristiktermouprugihtel AT tchervinkak orazmernoméffektemehaničeskihharakteristiktermouprugihtel |