Інтерполяція сумою полінома та нелінійного виразу

Встановлено необхідні та достатні умови існування інтерполяції сумою полінома та нелінійного виразу. Вказано функції, що задовольняють цим умовам. Запропоновано й обґрунтовано схему обчислення значення параметрів інтерполяції сумою полінома й експоненти, а також полінома та степеня. The necessary an...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Datum:	2010
Hauptverfasser:	Андруник, В., Малачівський, П.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainisch
Veröffentlicht:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2010
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22272
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Інтерполяція сумою полінома та нелінійного виразу / В. Андруник, П. Малачівський // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 11. — С. 9-18. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859722253684441088
author	Андруник, В. Малачівський, П.
author_facet	Андруник, В. Малачівський, П.
citation_txt	Інтерполяція сумою полінома та нелінійного виразу / В. Андруник, П. Малачівський // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 11. — С. 9-18. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
description	Встановлено необхідні та достатні умови існування інтерполяції сумою полінома та нелінійного виразу. Вказано функції, що задовольняють цим умовам. Запропоновано й обґрунтовано схему обчислення значення параметрів інтерполяції сумою полінома й експоненти, а також полінома та степеня. The necessary and sufficient conditions of existence of interpolation by the sum of polynomial and nonlinear expression are set. Functions which satisfy these conditions are indicated. The calculation scheme for calculation of the value of interpolation parameters by the sum of polynomial and exponential and also polynomial and power function are proposed and grounded. Установлены необходимые и достаточные условия существования интерполяции суммой многочлена и нелинейного выражения. Указаны функции, которые удовлетворяют этим условиям. Предложена и обоснована схема вычисления значения параметров интерполяции суммой многочлена и экспоненты, а также многочлена и степени.
first_indexed	2025-12-01T10:21:31Z
format	Article
fulltext	9 Інтерполяція сумою полінома та нелінійного виразу Василь Андруник1, Петро Малачівський2 1 Національний університет «Львівська політехніка», вул. С. Бандери, 12, Львів, e-mail: aprox@complex.lviv.ua 2 д. т. н., с. н. с., Центр математичного моделювання ІППММ НАН України, вул. Дж. Дудаєва, 15, Львів, 79005, e-mail: psmal@cmm.lviv.ua Встановлено необхідні та достатні умови існування інтерполяції сумою полінома та нелінійного виразу. Вказано функції, що задовольняють цим умовам. Запропоновано й обґрун- товано схему обчислення значення параметрів інтерполяції сумою полінома й експоненти, а також полінома та степеня. Ключові слова: інтерполяція нелінійним виразом, умови існування. Вступ. Труднощі інтерполяції нелінійними виразами зумовлені двома причина- ми: така інтерполяція не завжди існує, а в разі існування — обчислення значень параметрів, що входять у вираз нелінійно, здебільшого доволі трудомістке. У цій праці встановлено необхідні та достатні умови існування інтерполя- ції сумою полінома та нелінійного виразу з одним параметром     0 ; ; n i n i i V a x a x A p x     , 0A  , 1 2p p p  , 0,1,2,...n  . (1) Такі вирази використовують для опису різних фізичних процесів [1-3] та наближення деяких спеціальних функцій, зокрема, еліптичних інтегралів [4]. Розроблено також електронні схеми [1, 2, 5], які реалізують обчислення значень виразу (1). 1. Існування інтерполяції сумою полінома та нелінійного виразу Нехай у виразі вигляду (1) нелінійна функція φ(p, x) із параметром p має такі властивості: u1) функція φ(p, x) неперервна на відрізку [α, β] разом із (n + 1)-ою похід- ною      ,; 1nCxp ; u2) функція φ(p, x) та її похідні    ;i p x , 1,i n , є строго монотонні функції від x на відрізку [α, β] для будь-яких p( p1, p2); u3) відношення (n + 1)-их похідних φ(p, x) по x        1 1 2 1; ;n np p     є строго монотонна функція від р для p( p1, p2) та будь-яких різних χ 1, χ 2[α, β]. Розглянемо неперервні на [α, β] функції f (x), що справджують нерівності       1 20 n nnW W W     , (2) УДК 518.5 Василь Андруник, Петро Малачівський Інтерполяція сумою полінома та нелінійного виразу 10 де      1 2 3 3 1 1 2 2; , ,..., ; , ,...,n n n n nW D f z z z D f z z z      , (3)       1 1 2 1 1 1 1 2 ; , ,..., ; , ,..., ; , ,.., k j j j k k j j j k k k j j j k D U z z z D U z z z D s z z z                     1 1 1 1 1 1 1 ; , ,..., , 2, 1, 1, 3 ; , ,..., k j j j k k k j j j k D U z z z k n j n k D s z z z                  , (4)      1 1 1; ,j j j jD U z z U z U z   , 1, 2j n  , (5)   k ks x x ,       1 1 2min ,n n nW r r ;       2 1 2max ,n n nW r r ; (6)      1 2 3 3 1 1 2 2lim ; , ,..., ; , ,..., i n i n n n np p r D z z z D z z z         , 1,2i  ; (7) а  1, 3jz j n  — будь-які, впорядковані за зростанням, числа з відрізка [α, β]. Умови існування інтерполяції функції f (x) виразом (1) на множині точок  1, 3jz j n  з відрізка [α, β] сформулюємо у вигляді теореми 1. Теорема 1. Нехай функція f (x) неперервна на відрізку [α, β], а функція φ(p, x) задовольняє вимогам u1, u2 й u3. Тоді необхідною та достатньою умовою існування інтерполяції функції f (x) виразом (1) на множині різних впорядкованих за зростанням точок  3,1  njz j з [α, β] є справдження нерівностей (2). Доведення. Нехай функція f (x) задовольняє умови теореми. Тоді для існу- вання інтерполяції функції f (x) виразом (1) на множині різних точок zj  1, 3j n  з відрізка [α, β] необхідно та достатньо, щоб система рівнянь     0 ; 0 n i j i j j i f z a z A p z      , 1, 3j n  , (8) мала єдиний розв’язок щодо невідомих параметрів  0,ia i n , А та р. Покажемо, що в разі справдження умов (2) система рівнянь (8) має єдиний розв’язок. Припустимо, що точки  1, 3jz j n  впорядковані за зростанням. Після вилучення з системи (8) невідомого a0 отримаємо           1 1 1 1 ; ; n i i i j j j j j j i a z z A p z p z f z f z          , 1, 2j n  . (9) З урахуванням співвідношень (4)-(5) система рівнянь (9) набуває такого вигляду      1 1 1 1 1 1 1 ; , ; , ; , n i i j j j j j j i a D s z z AD z z D f z z          , 1, 2j n  . (10) ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 11, 9-18 11 З отриманої системи виключимо невідомі  1,ia i n і А, що входять лінійно. Виключення параметрів  1,ia i n проводитимемо в порядку зростання індексу таким чином. Для i = 1 спочатку з кожного рівняння системи (10) визначимо a1, а потім, попарно віднімаючи j-ті рівняння від (j + 1)-их, отримаємо систему    2 1 2 2 1 2 2 ; , , ; , , n i i j j j j j j i a D s z z z A D z z z           2 1 2; , , , 1, 1j j jD f z z z j n    , (11) щодо невідомих  2,ia i n , A і p. Таке виключення з системи рівнянь (10) неві- домого a1 допустиме, тому що коефіцієнти біля нього  1 1 1 1; ,j j j jD S z z z z   , 1, 2j n  , не набувають нульового значення — числа  1, 3iz i n  впорядковані за зростан- ням. Для продовження виключення решти параметрів  2,ia i n необхідно поперед- ньо переконатися, що коефіцієнти біля них також відмінні від нуля. Справді, ці коефіцієнти для будь-яких упорядкованих за зростанням чисел  1, 3iz i n  з [α, β] не дорівнюють нулю. Щоб переконатися в цьому розглянемо вирази    1 1 1; , ,..., ; , ,...,k k j j j k k k j j j kD s z z z D s z z z       , 1,1  nk . (12) Для k = 1 значення цього виразу дорівнює відношенню приросту функції s2(z) = z 2 до приросту аргументу        2 2 1 2 1 1 1 1 1 1; , ; ,j j j j j j j jD s z z D s z z z z z z       . За теоремою Лагранжа [6] про кінцеві прирости, значення цього відношення дорівнює значенню похідної функції s2(z) = z 2 в деякій середній точці ζ j відрізка  1 1, ,j j j j jz z z z         . Аналогічно, застосувавши теорему Лагранжа та послідовно (k – 1) раз тео- рему Коші про відношення приростів функцій [6], можна переконатись у спра- ведливості рівності  1 1; , ,...,k k j j j k j jD s z z z      , (13) де ξ j[zj, zj + k]. Оскільки (k – 1)-а похідна степеневої функції sk(z) = z k строго мо- нотонна та точки  1, 3jz j n  різні й упорядковані за зростанням, то числа ξ j  1, 4j n k   відповідно до [1] також будуть упорядковані за зростанням, тобто ξ j < ξ j + 1. Звідси випливає, що коефіцієнти біля невідомого ak в усіх рівнян- нях відповідної системи рівнянь набувають лише додатних значень. Василь Андруник, Петро Малачівський Інтерполяція сумою полінома та нелінійного виразу 12 Отже, у запропонований спосіб із системи рівнянь (11) можна виключити решта невідомих параметрів  2,ia i n . У результаті, щодо невідомих A і p, отримаємо систему рівнянь         1 2 3 3 1 2 3 3 1 1 2 2 1 1 2 2 ; , ,..., ; , ,..., , ; , ,..., ; , ,..., . n n n n n n n n AD z z z D f z z z A D z z z D f z z z                   (14) Дослідимо вільні члени рівнянь цієї системи та коефіцієнти біля невідомо- го А. Для цього розглянемо вираз    1 1; , ,..., ; , ,...,n j j j n n n j j j nD U z z z D s z z z      . (15) Аналогічно, як і для співвідношення (12), застосувавши теорему Лагранжа та послідовно (n – 1) раз теорему Коші, можна показати, що вираз (15) є розділена різниця n-го порядку функції U(z), помножена на n! на множині точок   1j n i i jz    . А тому він дорівнює n-ій похідній функції U(z) у деякій середній точці ς j з відрізка  , ,j j n j j j nz z z z                1 1; , ,..., ; , ,..., n n j j j n n n j j j n jD U z z z D s z z z U       . (16) Звідси випливає, що коефіцієнти біля невідомого A в системі рівнянь (14) дорівнюють приросту n-ої похідної функції φ( p, x) за аргументом x, яка за умовою теореми строго монотонна. Отже, коефіцієнти біля невідомого A в системі (14) не набувають нульових значень. Тому система (14) матиме дійсний відмінний від нульового розв’язок щодо невідомого A, якщо ще й вільні члени рівнянь (14) та- кож не набувають нульового значення. Згідно рівності (16) вільні члени рівнянь системи (14) дорівнюють приростам n-ої похідної функції f (x)          1 1 1 1; , ,..., n n n j j j n j jD f z z z f f        , 1,2j  , (17) де ,j j j nz z     . Оскільки згідно з умовою (2)   0nW  (18) відношення приростів n-их похідних функції f (x) додатне за умовою теореми, то відповідно й самі прирости відмінні від нуля. Це означає, що вільні члени рів- нянь системи (14) також не набувають нульових значень. Поділивши перше спів- відношення системи (14) на друге, отримаємо щодо p трансцендентне рівняння    n n p W   , (19) де      1 2 3 3 1 1 2 2; , ,..., ; , ,...,n n n n np D z z z D z z z        . (20) Згідно формули (16) ліву частину рівняння (19) можна подати у вигляді ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 11, 9-18 13                    3 2 2 1; ; ; ;n n n n n p p p p p           , (21) де  ,i i i nz z   . За умовою теореми n-на похідна φ (n)( p, x) є строго монотонна функція від x на відрізку [α, β] для будь-яких p( p1, p2), тому згідно [7] справджуються спів- відношення τ1 < τ2 < τ3. Отже, в лівій частині рівняння (19) можна сформувати від- ношення розділених різниць приростів n-ої похідної функції φ( p; x). Для цього ліву частину рівняння (19) помножимо та поділимо на відповідні різниці приростів аргументу (τ2 – τ1) / (τ3 – τ2). Замінивши в (21) отримані розділені різниці відповід- ними похідними в середніх точках, одержуємо          1 1 2 1; ;n n n p K p p       , (22) де    3 2 2 1K        ,  1 1 2, nz z   ,  2 2 3, nz z   . Оскільки за умовою теореми відношення (n + 1)-их похідних        1 1 2 1; ;n np p     є строго монотонна функція від p ( p1 < p < p2) для будь- яких χ 1, χ 2[α, β], то з (22) випливає, що ліва частина рівняння (19) є строго мо- нотонна функція від p для p( p1, p2). Таким чином, для будь-яких упорядкованих за зростанням чисел  1, 3iz i n  з відрізка [α, β], ліва частина рівняння (19) для p( p1, p2) набуває значення з інтервалу     1 2,n nW W  . Отже, у разі виконання умов теореми, система рівнянь (8) має єдиний розв’язок щодо невідомих  0,ia i n , A та p для будь-яких упорядкованих за зростанням чисел  1, 3jz j n  з [α, β]. Таким чином, умови (2) є необхідні та достатні для існування інтерполяції функції f (x) виразом (1) на множині точок zj  1, 3j n  з відрізка [α, β]. Теорему доведено. Вираз (1) задовольняє вимоги u1, u2 й u3, зокрема, з такими φ( p, x): 1) φ( p; x) = e px на всій числовій осі  ,  і відмінних від нуля значень p; 2) φ( p; x) = x p на [0, ∞) і p ≠ j для 0,j n ; 3) φ( p; x) = ln (x + p) на [α, ∞) для p > – α. Подані приклади функцій φ( p; x) справджують вимоги u1, u2 й u3, оскільки всі похідні цих функцій для вказаних обмежень монотонні по x, а їхнє відно- шення монотонне по p. 2. Визначення параметрів інтерполяції сумою полінома та нелінійного виразу Якщо функції f (x) і φ( p; x) задовольняють умови теореми 1 на відрізку [α, β], то параметри  0,ia i n і A інтерполяції функції f (x) виразом (1) на множині різних упо- рядкованих за зростанням точок  1, 3jz j n  з [α, β] визначаються за формулами Василь Андруник, Петро Малачівський Інтерполяція сумою полінома та нелінійного виразу 14    1 1 2 2 1 1 2 2; , ,..., ; , ,...,n n n nA D f z z z D z z z      ; (23)         1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 ; , ,..., ; , ,..., ; , ,..., ; , ,..., n k k i k i k k k i k k k k k D f z z z a D s z z z AD z z z a D s z z z               , 1,k n ; (24)           0 1 2 1 2 1 2 1 1 ; ; 2 n i i i i a f z f z a z z A p z p z                . (25) Значення параметра p визначається як розв’язок рівняння (19). Способи розв’язування цього рівняння залежать від функції φ( p; x). 3. Інтерполяція сумою полінома й експоненти Умови існування інтерполяції функції f (x) сумою полінома й експоненти   0 ; n i px n i i E a x a x Ae    , 0A  , 0p  , 0,1,2,...n  . (26) встановлює теорема 2. Теорема 2. Нехай функція f (x) неперервна на відрізку [α, β], тоді необхід- ною та достатньою умовою існування інтерполяції функції f (x) сумою многочле- на й експоненти (26) на множині різних, упорядкованих за зростанням, точок zj  1, 3j n  з відрізка [α, β] є справдження нерівностей       00,n n nW W W    , (27) де      1 1 2 3 3 1 1 1 2 20 ; , ,..., ; , ,...,n n n n n n nW D s z z z D s z z z        , (28) вирази    1і ; , ,...,n k i i i kW D U z z z    визначаються за формулами (3)-(5), а φ( p; x) = e px. Доведення. Сума полінома й експоненти (26) для від’ємних і додатних зна- чень параметра p задовольняє умови теореми 1. Розглянемо спочатку випадок від’ємних значень параметра p ( p < 0). Для функції φ( p; x) = e px величини   1 nW і   2 nW набувають таких значень    1 lim 0n np W p     ,       2 00 limn n np W p W      , де  n p визначається за формулою (20),   0 nW — за формулою (28), а значення  1; , ,...,k j j j kD U z z z   — за формулами (4), (5). Отже, на підставі теореми 1 необхідною та достатньою умовою існування інтерполяції функції f (x) виразом (26) із від’ємним значенням параметра р на множині точок  1, 3jz j n  з відрізка [α, β] є справдження нерівностей ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 11, 9-18 15     00 nnW W   . (29) Аналогічно, у випадку додатних значень параметра p ( p > 0)       1 00 limn n np W p W      і    2 limn np W p      . Відповідно до теореми 1 це означає, що необхідною та достатньою умовою існування інтерполяції функції f (x) виразом (26) із додатним значенням парамет- ра р на множині точок  1, 3jz j n  з відрізка [α, β] є справдження нерівності     0 nnW W  . (30) Отже, необхідною та достатньою умовою існування інтерполяції функції f (x) сумою полінома й експоненти (26) із відмінним від нуля значенням парамет- ра p ( p ≠ 0) на множині точок  1, 3jz j n  з відрізка [α, β] є виконання однієї з нерівностей (29) або (30), що еквівалентно умовам (27). Теорему доведено. Проаналізуємо умови (27). Неважко переконатися (шляхом підстановки), що для полінома (n + 1)-го степеня, величина  nW набуває значення рівного   0 nW . Отже, друга нерівність     0 n nW W  умови (27) справджується, зокрема, для функцій f (x), відмінних від полінома (n + 1)-го степеня. Виконання першої нерівності   0nW  умови (27) вимагає співпадання зна- ків величин  1 1 1; , ,..., , 1, 2n i i i nD f z z z i     . Під час доведення теореми 1 було встановлено (16), що вони дорівнюють приросту n-ої похідної функції f (x). Отже, нерівність   0nW  виконується, зокрема, для функцій f (x) неперервно диферен- ційовних до n-го порядку, n-на похідна яких строго монотонна на відрізку [α, β]. Таким чином, необхідній і достатній умові існування на відрізку [α, β] інтерполяції функції f (x) виразом (26) задовольняють, зокрема, неперервно дифе- ренційовні до n-го порядку функції, n-на похідна яких строго монотонна на [α, β], за винятком полінома (n + 1)-го степеня. Якщо функція f (x) задовольняє умови теореми 1 на відрізку [α, β], то пара- метри  0,ia i n і A інтерполяції f (x) виразом (26) на множині різних упорядкова- них за зростанням точок  1, 3jz j n  з [α, β] визначаються за формулами (23)-(25), у яких φ( p; x) = e px. Значення параметра p визначається як розв’язок рівняння (19). Ліва частина рівняння (19) для φ( p; x) = e px є експоненційна функція. Це ви- пливає з рівності (22), яка в цьому випадку має такий вигляд    2 1p n p Ke    , (31) де K, ζ 1, ζ 2 визначаються так само, як і у формулі (22). Враховуючи експонен- ційний характер залежності лівої частини рівняння (19) від p, його розв’язок доцільно шукати як корінь рівняння    n ng p V , (32) Василь Андруник, Петро Малачівський Інтерполяція сумою полінома та нелінійного виразу 16 де     lnn ng p p  ,     lnn nV W  . Розв’язок рівняння (32) можна обчислити за ітераційним методом Ньютона       1 n i i n i n ip p g p V g p    , 0, 1, 2,...i  , (33) де           1 2 3 3 1 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2 2 ; , ,..., ; , ,..., ; , ,..., ; , ,..., n n n n n n n n n D z z z D z z z g p D z z z D z z z                    ; (34)  ; pzp z ze  ;  ; pzp z e  ;          0 3 20sign 1n n n np W W n V z z     . (35) Початкове значення наближення p0 до шуканого кореня рівняння (32) ви- значено, виходячи з вигляду (31) лівої частини цього рівняння. За такого вибору значення p0 його знак завжди співпадатиме зі знаком шуканого розв’язку. Спів- падання знаків необхідне для забезпечення стійкості ітераційного методу (33), тому що функція gn(p) має розрив у точці p = 0. Під час розв’язування тестових задач ітераційний процес (33) збігався за три-чотири ітерації. 4. Інтерполювання сумою полінома та степеня Умови існування інтерполяції функції f (x) сумою полінома та степеня     0 ; , 0, 0, 0, , 0,1,2,... n i p n i i S a x a x Ax x A p k k n n         (36) встановлює теорема 3. Теорема 3. Нехай функція f (x) неперервна на відрізку [α, β], тоді необхід- ною та достатньою умовою існування інтерполяції функції f (x) виразом (36) на множині точок  1, 3jz j n  з відрізка [α, β] є справдження нерівностей   0nW  ,    n n rW W   , 0,r n , (37) де       1 1 1 2 3 3 1 1 1 2 2 1 0, якщо 0, ; , ,..., ; , ,..., , якщо 0, n r n n n n n n z W D l z z z D l z z z z            (38) ( ) ln( )k kl x x x , величина  nW визначається за формулою (3), а значення виразів  1; , ,...,k j j j kD U z z z   — за формулами (4), (5). Доведення. Доведення цієї теореми аналогічне доведенню теореми 2. Сума многочлена та степеня (36) для значень параметра р, відмінних від 0, 1, ..., n, задовольняє умови теореми 1. Умові (37) існування інтерполяції виразом (36) на відрізку [α, β] задоволь- няють, зокрема, функції f (x), неперервно диференційовні до n-го порядку, n-на ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 11, 9-18 17 похідна яких строго монотонна на [α, β], за винятком функцій вигляду   0 ln n i r i i b x Bx x   для x > 0, де  1,ib i n і B — довільні дійсні числа. Якщо функція f (x) задовольняє умовам теореми 3, то параметри  0,ia i n і A інтерполяції f (x) виразом (36) на множині точок  1, 3jz j n  з відрізка [α, β] визначаються за формулами (23)-(25), у яких φ( p; x) = x p, а значення параметра p знаходиться як розв’язок рівняння (19). Розв’язування рівняння (19) для φ( p; x) = x p проводиться з врахуванням того, що у випадку виконання нерівностей       0 n n n nW W W     , (39) його розв’язок знаходиться в одному з інтервалів (k, k + 1), де 0, 1k n  . Тому спочатку необхідно перевірити чи не попадає корінь рівняння в один із цих інтервалів. Якщо значення параметра p належить одному iз цих інтервалів, то його можна визначити за методом хорд або ділення навпіл. Якщо значення величини  nW не задовольняє нерівностям (39), то значен- ня параметра p знаходиться в одному з інтервалів (– ∞, 0) або (n, ∞). У цьому випадку визначення значення параметра p ґрунтується на таких міркуваннях. Із рівності (22) випливає, що ліва частина рівняння (19) для φ( p; x) = x p є степене- ва функція    1 2 1 p n nK W     , де K, ζ 1, ζ 2 і  nW визначаються так само, як і у формулі (22). Враховуючи степене- вий характер залежності лівої частини рівняння (19) від р, його розв’язок доцільно шукати як корінь рівняння (32) за ітераційним методом Ньютона (33), в якому         * 0 0 * , якщо ; 1 , якщо ; nn n n n p W W p n p W W            (40)            * 3 2 2 1; ln ; ; ; ln ln lnnp p n np x x x p x x p W z z z z            . Вибір початкового значення p0 є достатньо близький до розв’язку рівняння та забезпечує співпадання їхніх знаків, що необхідно для дотримання стійкості ітераційного методу (33). Функція gn(p) для φ( p; x) = x p має розриви в точках 0,p n і перехід проміжних значень pi через одну з цих точок може порушити збіжність методу (33). Попередня перевірка умови (39) і вибір початкового зна- чення p0 за формулою (40) забезпечують обминання згаданих точок розриву лівої частини рівняння (19) під час знаходження його розв’язку за ітераційною схемою (33). Запропонована комбінація застосування ітераційних методів для розв’язу- вання рівняння (19) забезпечує достатньо швидку їхню збіжність. Василь Андруник, Петро Малачівський Інтерполяція сумою полінома та нелінійного виразу 18 Висновок. Необхідною та достатньою умовою існування інтерполяції сумою по- лінома та нелінійного виразу (1) є справдження нерівностей (2). У разі виконання цих умов параметри такої інтерполяції визначаються за формулами (23)-(25). Значення параметра, що входить у вираз нелінійно, знаходиться як розв’язок трансцендентного рівняння (19). У випадку інтерполяції сумою полінома й екс- поненти (26) для визначення значення показника експоненти можна застосувати метод Ньютона (33), а для визначення показника степеня в разі інтерполювання сумою полінома та степеня (36) — комбінацію ітераційних методів. Література [1] Попов, Б. А. Наилучшие чебышевские приближения суммой многочлена и нелинейных фун- кций / Б. А. Попов, П. С. Малачивский. — Львов, 1984. — 79 c. — (Пpепp. / АН УССP, Физ.- мех. ин-т им. В. Г. Карпенко, № 85). [2] Попов, Б. А. Приближение функций для технических приложений / Б. А. Попов, Г. С. Теслер. — Киев: Наук. думка, 1980. — 352 с. [3] Meglinu, R. J. Approximation by Exponential Sums on Discrete and Continous Domains / R. J. Meglinu // J. Approximation Theory. — 1979. — V. 25, No 1. — P. 65-88. [4] Kobayashi, Y. Fractional power approximations of elliptic integrals and Bessel functions / Y. Ko- bayashi, M. Ohkita, M. Inoue // Math. Comput. Simulation. — 1978. — V. 20, No 4. — P. 285-290. [5] Попов, Б. А. Равномерное приближение сплайнами / Б. А. Попов. — Киев: Наук. думка, 1989. — 272 с. [6] Корн, Г. Справочник по математике для научных работников / Г. Корн, Т. Корн. — Москва: Мир, 1977. — 831 с. [7] Малачівський, П. Чебишовське наближення сумою многочлена і функції з одним неліній- ним параметром // Фіз.-мат. моделювання та інформаційні технології. — 2005. — Вип. 1. — C. 134-145. Interpolation by sum of polynomial and nonlinear expression Vasyl Andrunyk, Petro Malachivskyj The necessary and sufficient conditions of existence of interpolation by the sum of polynomial and nonlinear expression are set. Functions which satisfy these conditions are indicated. The calcu- lation scheme for calculation of the value of interpolation parameters by the sum of polynomial and exponential and also polynomial and power function are proposed and grounded. Интерполирование суммой многочлена и нелинейного выражения Васыль Андрунык, Петро Малачивский Установлены необходимые и достаточные условия существования интерполяции суммой многочлена и нелинейного выражения. Указаны функции, которые удовлетворяют этим условиям. Предложена и обоснована схема вычисления значения параметров интерполяции суммой многочлена и экспоненты, а также многочлена и степени. Представлено кандидатом фізико-математичних наук М. Дзюбачиком Отримано 21.10.09
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-22272
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1816-1545
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-01T10:21:31Z
publishDate	2010
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
record_format	dspace
spelling	Андруник, В. Малачівський, П. 2011-06-20T22:54:46Z 2011-06-20T22:54:46Z 2010 Інтерполяція сумою полінома та нелінійного виразу / В. Андруник, П. Малачівський // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 11. — С. 9-18. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22272 518.5 Встановлено необхідні та достатні умови існування інтерполяції сумою полінома та нелінійного виразу. Вказано функції, що задовольняють цим умовам. Запропоновано й обґрунтовано схему обчислення значення параметрів інтерполяції сумою полінома й експоненти, а також полінома та степеня. The necessary and sufficient conditions of existence of interpolation by the sum of polynomial and nonlinear expression are set. Functions which satisfy these conditions are indicated. The calculation scheme for calculation of the value of interpolation parameters by the sum of polynomial and exponential and also polynomial and power function are proposed and grounded. Установлены необходимые и достаточные условия существования интерполяции суммой многочлена и нелинейного выражения. Указаны функции, которые удовлетворяют этим условиям. Предложена и обоснована схема вычисления значения параметров интерполяции суммой многочлена и экспоненты, а также многочлена и степени. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Інтерполяція сумою полінома та нелінійного виразу Interpolation by sum of polynomial and nonlinear expression Интерполирование суммой многочлена и нелинейного выражения Article published earlier
spellingShingle	Інтерполяція сумою полінома та нелінійного виразу Андруник, В. Малачівський, П.
title	Інтерполяція сумою полінома та нелінійного виразу
title_alt	Interpolation by sum of polynomial and nonlinear expression Интерполирование суммой многочлена и нелинейного выражения
title_full	Інтерполяція сумою полінома та нелінійного виразу
title_fullStr	Інтерполяція сумою полінома та нелінійного виразу
title_full_unstemmed	Інтерполяція сумою полінома та нелінійного виразу
title_short	Інтерполяція сумою полінома та нелінійного виразу
title_sort	інтерполяція сумою полінома та нелінійного виразу
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22272
work_keys_str_mv	AT andrunikv ínterpolâcíâsumoûpolínomatanelíníinogovirazu AT malačívsʹkiip ínterpolâcíâsumoûpolínomatanelíníinogovirazu AT andrunikv interpolationbysumofpolynomialandnonlinearexpression AT malačívsʹkiip interpolationbysumofpolynomialandnonlinearexpression AT andrunikv interpolirovaniesummoimnogočlenainelineinogovyraženiâ AT malačívsʹkiip interpolirovaniesummoimnogočlenainelineinogovyraženiâ

Інтерполяція сумою полінома та нелінійного виразу

Institution

Ähnliche Einträge