Optimization of infectious disease processes modelled by nonlinear delay differential equations
In this paper the numerical approach to the solution of optimization problems of processes which are modelled by nonlinear delay differential equations (DDEs) with constant delays is presented. Based on DDEs solution the different characteristics of the modelled process are calculated. One of them i...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Englisch |
| Veröffentlicht: |
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2010
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22400 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Optimization of infectious disease processes modelled by nonlinear delay differential equations / Y. Savula, M. Shcherbatyi, H. Shcherbata // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 11. — С. 169-178. — Бібліогр.: 10 назв. — англ. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860253460913455104 |
|---|---|
| author | Savula, Y. Shcherbatyi, M. Shcherbata, H. |
| author_facet | Savula, Y. Shcherbatyi, M. Shcherbata, H. |
| citation_txt | Optimization of infectious disease processes modelled by nonlinear delay differential equations / Y. Savula, M. Shcherbatyi, H. Shcherbata // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 11. — С. 169-178. — Бібліогр.: 10 назв. — англ. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології |
| description | In this paper the numerical approach to the solution of optimization problems of processes which are modelled by nonlinear delay differential equations (DDEs) with constant delays is presented. Based on DDEs solution the different characteristics of the modelled process are calculated. One of them is selected as the objective functional. Other characteristics can play a role of constraints. The control is made by the functions, which define the coefficients of DDEs. As a result of piecewise-linear approximation of control function the non-linear mathematical programming problems are obtained. The efficiency of the software developed for solution of nonlinear DDEs and optimization of DDE systems is illustrated on the infectious disease process model.
У роботі запропоновано числовий підхід до розв’язування задач оптимізації процесів, поведінка яких моделюється нелінійними диференціальними рівняннями із запізненням (ДРЗ) з постійним кроком запізнення. На основі отриманого розв’язку для ДРЗ обчислюються відповідні характеристики процесу, що розглядається. Одна з цих характеристик вибирається за критерій оптимізації, а інші виконують роль обмежень. За керуючі вибрано функції, від яких залежать коефіцієнти ДРЗ. У результаті апроксимації функцій керування кусково-лінійними функціями отримуємо задачі нелінійного математичного програмування. Ефективність створеного програмного забезпечення для розв’язування нелінійних ДРЗ і задач оптимізації систем, поведінка яких моделюється ДРЗ, проілюстровано на прикладі моделі інфекційного захворювання.
В работе предложен численный подход к решению задач оптимизации процессов, поведение которых моделируется нелинейными дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом (ДУЗ) с постоянным шагом запаздывания. На основе полученного решения для ДУЗ исчисляются соответствующие характеристики рассматриваемого процесса. Одна из этих характеристик выбирается критерием оптимизации, а другие выполняют роль ограничений. В качестве управляющих выбрано функции, от которых зависят коэффициенты ДУЗ. В результате аппроксимации функций управления кусочно-линейными функциями получаем задачи нелинейного математического программирования. Эффективность созданного программного обеспечения для решения нелинейных ДУЗ и задач оптимизации систем, поведение которых моделируется ДУЗ, проиллюстрировано на примере модели инфекционного заболевания.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:46:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
169
Optimization of infectious disease processes modelled
by nonlinear delay differential equations
Yarema Savula1, Mykhaylo Shcherbatyi2, Halyna Shcherbata3
1 D-r S., Prof., Ivan Franko National University of Lviv, 1, Universitetska St., Lviv, 79000, Ukraine,
e-mail: savula@franko.lviv.ua
2 Ph. D., Assoc. Prof., Ivan Franko National University of Lviv, 1, Universitetska St., Lviv, 79000, Ukraine,
e-mail: shcherbatyy@gmail.com
3 Ivan Franko National University of Lviv, 1, Universitetska St., Lviv, 79000, Ukraine, e-mail: shhelenka@gmail.com
In this paper the numerical approach to the solution of optimization problems of processes which
are modelled by nonlinear delay differential equations (DDEs) with constant delays is presented.
Based on DDEs solution the different characteristics of the modelled process are calculated. One
of them is selected as the objective functional. Other characteristics can play a role of constraints.
The control is made by the functions, which define the coefficients of DDEs. As a result of piece-
wise-linear approximation of control function the non-linear mathematical programming prob-
lems are obtained. The efficiency of the software developed for solution of nonlinear DDEs and
optimization of DDE systems is illustrated on the infectious disease process model.
Keywords: delay differential equation, optimization, non-linear programming
problem, infectious disease process.
Introduction. Delay differential equations (DDEs) are used to model a variety of phe-
nomena in the physical and natural sciences. Also time delays which occur in the mo-
delling of biological systems can be modelled using DDEs. Successful application of
mathematical models of real-life processes is closely connected with development of the
appropriate algorithms and software.
The mathematical models, developed by Marchuk [1] for modelling of the pro-
cesses in the immune system of an organism infected with infectious diseases are con-
sidered in the paper. Mathematical model of a disease, data bases of the clinical and
laboratory observation of the disease process dynamics for another patient with the sa-
me disease and data base of the patient (which permanently is filled up during the treat-
ment process) are the basis for prediction of the disease process dynamics. In addition
to the prediction of disease process dynamics the problems connected with optimal cont-
rol of these processes and with substantiating the recommendations for optimal therapy
of the patient remain actual. The aim of this paper is formulation of optimal control
problems of the treatment process of an infectious disease, creating appropriate algo-
rithm and software.
1. Mathematical models of an infectious disease
In general the process of a disease is described by the system of nonlinear differential
equations with delay [1-3]
УДК 519.6
Yarema Savula, Mykhaylo Shcherbatyy, Halyna Shcherbata
Optimization of infectious disease processes modelled by nonlinear delay differential equations
170
( ) , ( ), ( ), , ( )y t f t y t y t g u t , 0 ,et t t (1)
where T1( ) ( ),..., ( )ky t y t y t is state function; 1
T
1 ,...,
ri i ry t y t y t ,
11 ,..., ; , 1
jr ii i k y j r is component of the state function defined in the interval
of delay T0 0 1, ; ,...,j rt t is vector of the delay interval; r is number of
intervals of delay; T1( ) ,..., lg t g g vector of given parameters of the model; u(t) =
T1( ),..., ( )su t u t is control function; T1,..., kf f f is given function of the system.
System of equations (1) is added by initial conditions
0 0y t y , ( ) ( )
ji jy t p t , 0 0,jt t t , 1,j r , (2)
where ( )jp t is a given function in the interval of delay.
Note, that the state function y depends on both independent variable t (usually
time) and parameters of model g and control parameters u.
System of nonlinear differential equation with delay (1), (2) is solved by Dor-
mand and Prince variable step method [4].
Let us consider the so-called simple mathematical model [1, 2]. Model of the di-
sease in this case in dimensionless form can be presented as a system of four differen-
tial equations with delay
1 9 2( ) 1V t g g u V g FV ,
4 8( )F t g C F g FV ,
3 10 5 0( ) ( ) 1 1 , , eC t m g g u V t F t g C t t t ,
6 7( )m t g V g m . (3)
Here V(t), F(t), C(t) are concentrations of viruses (antigens), antibodies and plasma
cells; m(t) is relative characteristic of the damaged organ; g1, ..., g10 are parameters of
the model; u(t) is control function which has an effect on the rate of virus multi-
plication (parameter g1) and on the coefficient of the immune system stimulation (para-
meter g3); τ is interval of delay, , 1R r . Function u(t) can be treated as the
temperature of the patient body. The increase of temperature leads to reduction of the
rate of virus multiplication. At the same time the temperature increase stimulates
generation of plasma cells.
Multiplier ξ(m) is the continuous non-increasing function which is chosen in the
following form
1
2 1
1, ,
( )
1 , 1,
m
m m
m g
m
g m g m
(4)
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2010, вип. 11, 169-178
171
where gm1, gm2 are parameters of the model. Function ξ(m) describes the dysfunction of
the immune system due to the substantial organ damage.
System of equations (3) is supplemented with initial conditions
0 0 0 0, C t C m t m ,
1 2( ) ( ), ( ) ( )V t t F t t , 0 0,t t t . (5)
2. Formulation of optimization problem
To construct the optimization model along with constructing the disease model it is ne-
cessary to select the control parameters among the model input parameters , to determine
functional which explains the characteristics of the disease, to select the objective of
the therapy and constraints which can not be disturbed during the treatment.
2.1. Characteristics of the disease. Denote by k1, k2, k3 numbers of components of
vector y which defines a concentration of viruses, antibodies and relative characteristic
of the damaged organ, respectively. The following functionals [5-8] are calculated in
this paper
2
3
1
1
t
k
t
u y t dt ,
3 31 2
2
3 4
ln lnk ky t y t
u
t t
,
1 2
0 0
3 max 0 0
e et t
k k
t t
u y t dt t t y t dt S
,
3
5 6
4 ,
max kt t t
u y
,
5 7u t , 6 9 8u t t ,
11
1
10
7
t
k
t
u y t dt , (6)
where 1 defines the total damage of the organ in the interval [t1, t2]; 2 is average rate
of functional recovery in the interval [t3, t4]; 3 is index of status of the immune sys-
tem of the organism, which characterizes the rate of synchronization of several links of
the immune system (S0 is given parameter, tmax is time of achieving the maximum value
of antibody concentration); 4 is maximum value of the damaged organ in the interval
[t5, t6]. 5 is moment of recovery time,
1
15
7 , 10ky t (complete elimination of
viruses from the body); 6 is interval of remission between regular stresses in case of
chronic disease (t9, t8 are moments of the time when viruses achieve the maximum va-
lue; t9 > t8); 7 is total amount of viruses in the interval [t10, t11].
2.2. Optimization problem. One of the functional 1 7,..., is selected as the objecti-
ve of the therapy
0 ( ) ( )iu u , 1,...,7i .
Yarema Savula, Mykhaylo Shcherbatyy, Halyna Shcherbata
Optimization of infectious disease processes modelled by nonlinear delay differential equations
172
Other functionals can play the role of constraints
( ) ( )j k ku u , 1,...,7k , ,k i 1,j M ,
where k
is feasible value of functional k , M is quantity of constrains. Denote by
: , ( ) 0, 1,jU u u U u j M a set of feasible value of control function, U is a
set of control function.
Optimal control of the problems of the immunotherapy consists of finding such a
control function u*(t) of the treatment process which is the best (in sense of choosing
the objective of the therapy) among feasible variants of the therapy
0 * 0( ) inf ( )
u U
u u
. (7)
2.3. Optimization problem as non-linear programming problem. In this paper the
optimal control problem (7) using approximation of control function by piecewise
polynomial function is transformed to the mathematical programming problem. Each
of the components ( ), 1,iu t i s of control function in the result of approximation can
be presented as function T( ) ( )
1( ) , , ,...,
i
i i i i
i i nu t u t b b b b . Denote by T1,..., nb b b
the vector of optimization parameters consisting of the components of vectors ( ) ,ib
11, , ... si s n n n . Let us assume that : , , , nU b b b b b b b R is a fea-
sible region. The value b –, b + can be found from region U . Due to the approximation
of control function the functionals (6) are functionals of optimization vector b. Then
the optimal control problem (7) is formulated as a non-linear mathematical program-
ming problem: find the vector of optimization parameters b U such that
0 0( ) min ( )
b U
b b
, (8)
where : , 0, 1,jU b U b j M is a feasible region.
Optimization problem (8) is solved by the combined method of penalty function and
different direct search methods, gradient methods and conjugate gradient methods [9, 10].
Based on an algorithms elaborated for the solution of the direct problem (1)-(2)
and the optimization problem (8), proper software for optimization of DDEs systems
has been created in Delphi environment.
3. Results of optimization
Choosing different values of parameters , 1,10ig i model (3)-(5) simulate four pos-
sible forms of infectious disease: acute form with recovery, chronic form, subclinical
form and lethal outcome [1, 5]. In this paper the results of some optimization problems
for acute form with recovery and chronic form of disease are presented.
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2010, вип. 11, 169-178
173
3.1. Acute form of disease. The problems were solved for the following values of input
parameters of the model (3)-(5) [1, 5]: τ = 0,5; t0 = 0; te = 100; g1 = 2; g2 = 0,8; g3 = 10000;
g4 = 0,17; g5 = 0,5; g6 = 10; g7 = 0,12; g8 = 8; g9 = 1; g10 = 25; gm1 = 0,1; gm2 = 10 / 9;
C(0) = 1; (0) 0;m p1(t) = max(0, t + 10 – 6), p2(t) = 1, 0 0[ , ]t t t .
Variation of V, C, F, m with time in case u(t) = 0 (without control of the disease
process) is presented in Fig. 1. Since high concentration of viruses is located in some
interval [ta, tb] it is advisable to search nonzero control function in this interval. In the
examples of optimization problems presented in this paper, the interval [0; 20] is divided into
n = 4 equal parts. In each part control function u is approximated by constant function.
The following optimal control problems are considered:
a) minimization of characteristic of the damaged organ 1 in interval [t0, te]
0 1( ) ( ) minuu u ,
: 0 ( ) 1U u u t ; (9)
b) minimization of time recovery 5
0 5( ) ( ) minuu u ,
: 0 ( ) 1U u u t ; (10)
c) minimization of the characteristic of the damaged organ 1 in interval
0 , et t t with constraint on time of recovery 5
0 1( ) ( ) minuu u ,
1 5 5:0 ( ) 1, ( ) ( )U u u t u u
, 5 10 . (11)
In Table 1 the initial values of functionals , 1,4,5,7i i (in this case u(t) = 0)
and values of these functionals obtained as the result of the solution of optimization
problems (9)-(11) are given. A sign (*) is placed next to the optimal value of functional
25
20
15
10
5
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1
2
3
4
3 – F
1 – 10000V
2 – 0,5 C
4 – 100 m
Fig. 1. Variation of V, C, F, m with time (acute form, u(t) = 0)
t, days
Yarema Savula, Mykhaylo Shcherbatyy, Halyna Shcherbata
Optimization of infectious disease processes modelled by nonlinear delay differential equations
174
i if it is the objective functional. If functional i is included in the feasible region U∂
the value of this functional is marked as (+). As a result of the problem (9) solution the
value of the total damage of the organ (functional 1 ) is considerably decreased. At the
same time the moment of time recovery (functional 5 ) is increasing.
In the issue of solution of optimal problem (10) the moment of the time of reco-
very (functional 5 ) decreases from 11,2 to value 7,5. At the same time (as expected)
the value of 1 is greater than the optimal value of this functional when the problem
(9) is solved.
We put the result of the solution of the optimization problem (11) in the last co-
lumn of Table 1. Consequently the value of 1 is substantially lower to compare with
the initial value of this functional (this value, as expected, is greater than the optimal
value of this functional in problem (9)). At the same time the moment of the time of
recovery is lower than its initial value.
Also in Table 1 the values of functionals 4 7, are given. As expected, the
values of these functionals are lower to compare with their initial values.
Table 1
Initial and optimal values of functionals i , i = 1, 4, 6, 7 (acute form )
Number
of functional,
i
Initial value
of functional i
Optimal value
of functional i ,
problem (9)
Optimal value
of functional i ,
problem (10)
Optimal value
of functional i ,
problem (11)
1 2,57·10 – 1 5,66·10 – 3 (*) 5,11·10 – 2 1,26·10 – 2 (*)
4 2,49·10 – 2 4,93·10 – 4 5,19·10 – 3 1,19·10 – 3
5 11,2 16,4 7,15 (*) 10,0 (+)
7 3,08·10 – 3 6,79·10 – 5 6,13·10 – 4 1,52·10 – 4
In Table 2 the optimal values of optimization parameters , 1,4ib i are presen-
ted. The values of b2, b3 are close to its upper bound. So it is necessary to increase the
value of control function u(t) (temperature) during the time of the acute condition of
the disease (close to the peak of the disease).
Table 2
Optimal values of optimization parameters , 1,4ib i (acute form )
optimization
parameter
Optimal value
of bi,
problem (9)
Optimal value
of bi,
problem (10)
Optimal value
of bi,
problem (11)
b1 0,365 0,000 0,189
b2 1,000 0,939 1,000
b3 0,983 0,900 0,921
b4 0,400 0,200 0,000
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2010, вип. 11, 169-178
175
3.2. Chronic form of disease. In this case the values of all the parameters of the model
(3)-(5) were the same as in the case of the acute form except the parameter g6:
g6 = 300. Variation of V, C, F, m with time and without control of the disease process
is presented in Fig. 2. In case of chronic disease the periodic process is obtained.
It becomes obvious that the treatment of the chronic form should widen the inter-
val between the disease peaks. So, the optimization problem consists of maximization
of the interval of remission between regular stresses of chronic disease
0 6 minuu u ,
: 0 1U u u t .
At the beginning interval [t0, te] is divided into n = 10 equal parts. On each part
control function u is approximated by constant function. Choosing different initial va-
lues of optimization parameters , 1,10ib i we usually obtain such values optimization
Fig. 2. Variation of V, C, F, m with time
(chronic form, u(t) = 0)
15
10
5
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1
4
2
3
3 – F
4 – 10 m
2 – 0,5 C
1 – 10000 V
Fig. 3. Variation of V, C, F, m with time
(optimal solution of problem (11))
4 – 100 m
1 – 100000 V
2 – 0,5 C
3 – 3F
16
14
12
10
8
6
4
2
0
2
3
4 1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
t, days
t, days
Yarema Savula, Mykhaylo Shcherbatyy, Halyna Shcherbata
Optimization of infectious disease processes modelled by nonlinear delay differential equations
176
parameters which lead to the acute form of the disease. As in the previous case of the
acute form of the disease we can choose nonzero control function only in interval
[ta, tb] which includes the first peak of the disease. Therefore the optimization problems
(9)-(11) can be formulated.
The results of problems (9)-(11) solution are presented in Table 3, Table 4. Interval
[0; 20] is divided into n = 4 equal parts. In each part the control function u is approximated
by the constant function. In interval [20; 100] the control function u(t) is equal to zero.
Table 3
Initial and optimal values of functionals , 1,4,6,7i i (chronic form)
Number
of
functional,
i
Initial value
of functional
i
Optimal value
of functional
i ,
problem (9)
Optimal value
of functional
i ,
problem (10)
Optimal value
of functional
i ,
problem (11)
1 2,42·10 – 1 1,77·10 – 1 (*) 9,58·10 – 1 3,79·10 – 1 (*)
4 8,77·10 – 1 1,55·10 – 2 9,58·10 – 2 3,57·10 – 2
5 — 15,8 8,09 (*) 10,0 (+)
6 40,9 — — —
7 1,09·10 – 2 7,10·10 – 5 3,84·10 – 4 1,51·10 – 4
Table 4
Optimal values of optimization parameters , 1,4ib i (chronic form)
optimization
parameter
Optimal value
of bi,
problem (9)
Optimal value
of bi,
problem (10)
Optimal value
of bi,
problem (11)
b1 0,354 0,051 0,189
b2 1,000 0,978 1,000
b3 0,843 0,900 0,883
b4 0,208 0,001 0,010
Variation of V, C, F, m with time of the disease process using optimal values of
the optimization parameters is presented in Fig. 3. Therefore the chronic form of the
disease can be treated by changing temperature.
Conclusions. The obtained results of computer simulation demonstrate the capabilities
of the created software environment for solving urgent optimization problems for the
processes that are modelled by DDEs. It is necessary to note that usually functionals
, 0,i i M (in DDEs optimal control problem) are non-unimodal and have deeply
curved valley forms. They are very sensitive to small variation of a control function.
Therefore to obtain the optimal solution it is necessary to solve repeatedly the optimal
control problem choosing different initial values of the control function.
The results presented in this paper for infectious disease processes have in many
cases a theoretical character. Working out practical recommendations connected with
ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
2010, вип. 11, 169-178
177
the optimization of the individual therapy and their introduction into clinical practice
requires the joint efforts of mathematicians, immunologists and clinicians.
Availability of a set of parameters g in the mathematical model of the disease
leads to a necessity to determine their values (or some part of them) based on clinical
and laboratory observed data [1, 5, 7]. This simulation tool enables us to solve the opti-
mization problem (and correct therapy) taking into account the data of clinical and la-
boratory observation which is obtained during the treatment process [7].
References
[1] Марчук, Г. И. Математические модели в иммунологии / Г. И. Марчук. — Москва: Наука,
1991. — 304 с.
[2] Погожев, И. Б. Применение математических моделей заболеваний в клинической практике /
И. Б. Погожев. — Москва: Наука, 1988. — 192 с.
[3] Baker, C. T. H. Computational Aspects of Time-Lag Models of Marchuk Type that Arise in Immu-
nology / C. T. H. Baker, G. A. Bocharov // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. — 2005. —
Vol. 20. — P. 247-262.
[4] Dormand, J. R. A Family of Embedded Runge-Kutta Formulae / J. R. Dormand, P. J. Prince //
J. Comp. Appl. Math. — 1980. — Vol. 6. — P. 19-26.
[5] Булдаев, А. С. Теоретическая оптимизация иммунного процесса с помощью температуры и
биостимуляции / А. С. Булдаев. — Вычислительный центр СО АН СССР. — 1985. — 34 с.
(Препр. / 603).
[6] Сергиенко, И. В. Оптимальное управление иммунным ответом, синхронизирующие отдель-
ные регуляторные звенья иммунной системы. ІІ. Идентификация параметров модели и вос-
становление пропущенных данных / И. В. Сергиенко, В. М. Яненко, К. Л. Атоев // Киберне-
тика и системный анализ. — 1997. — № 1. — С. 161-176.
[7] Іванків, К. С. До питання оптимального керування процесами інфекційних захворювань /
К. С. Іванків, М. В. Щербатий // Вісник Львів. ун-ту. Серія мех.-матем. — 1998. — Вип. 50. —
С. 103-106.
[8] Shcherbatyy, M. V. Formulation and Algorithm of Solution of Optimal Control Problems of Infectious
Disease Processes Using Clinical and Laboratory Observed Data / M. V. Shcherbatyy, K. S. Ivankiv //
Вісник Львів. ун-ту. Серія прикл. матем. та інф. — 1999. — Вип. 1. — С. 296-299.
[9] Bazaraa, M. S. Nonlinear Programming: Theory and Algorithms / M. S. Bazaraa, H. D. Sherali,
C. M. Shetty. — John Wiley & Sons, 2006. — 853 p.
[10] Sun, W. Optimization Theory and Methods: Nonlinear Programming / W. Sun, Y-X. Yuan. —
Springer, 2006. — 687 p.
Оптимізація процесів інфекційних захворювань, які моделюються
нелінійними диференціальними рівняннями із запізненням
Ярема Савула, Михайло Щербатий, Галина Щербата
У роботі запропоновано числовий підхід до розв’язування задач оптимізації процесів,
поведінка яких моделюється нелінійними диференціальними рівняннями із запізненням (ДРЗ)
з постійним кроком запізнення. На основі отриманого розв’язку для ДРЗ обчислюються
відповідні характеристики процесу, що розглядається. Одна з цих характеристик виби-
рається за критерій оптимізації, а інші виконують роль обмежень. За керуючі вибрано
функції, від яких залежать коефіцієнти ДРЗ. У результаті апроксимації функцій керування
кусково-лінійними функціями отримуємо задачі нелінійного математичного програму-
вання. Ефективність створеного програмного забезпечення для розв’язування нелінійних
ДРЗ і задач оптимізації систем, поведінка яких моделюється ДРЗ, проілюстровано на
прикладі моделі інфекційного захворювання.
Yarema Savula, Mykhaylo Shcherbatyy, Halyna Shcherbata
Optimization of infectious disease processes modelled by nonlinear delay differential equations
178
Оптимизация процессов инфекционных заболеваний,
моделирующихся нелинейными дифференциальными
уравнениями с запаздыванием
Ярема Савула, Михаил Щербатый, Галина Щербата
В работе предложен численный подход к решению задач оптимизации процессов, поведение
которых моделируется нелинейными дифференциальными уравнениями с запаздывающим
аргументом (ДУЗ) с постоянным шагом запаздывания. На основе полученного решения для
ДУЗ исчисляются соответствующие характеристики рассматриваемого процесса. Одна
из этих характеристик выбирается критерием оптимизации, а другие выполняют роль
ограничений. В качестве управляющих выбрано функции, от которых зависят коэффициен-
ты ДУЗ. В результате аппроксимации функций управления кусочно-линейными функциями
получаем задачи нелинейного математического программирования. Эффективность создан-
ного программного обеспечения для решения нелинейных ДУЗ и задач оптимизации систем,
поведение которых моделируется ДУЗ, проиллюстрировано на примере модели инфек-
ционного заболевания.
Отримано 26.01.10
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-22400 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1816-1545 |
| language | English |
| last_indexed | 2025-12-07T18:46:12Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Savula, Y. Shcherbatyi, M. Shcherbata, H. 2011-06-21T22:25:45Z 2011-06-21T22:25:45Z 2010 Optimization of infectious disease processes modelled by nonlinear delay differential equations / Y. Savula, M. Shcherbatyi, H. Shcherbata // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 11. — С. 169-178. — Бібліогр.: 10 назв. — англ. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22400 519.6 In this paper the numerical approach to the solution of optimization problems of processes which are modelled by nonlinear delay differential equations (DDEs) with constant delays is presented. Based on DDEs solution the different characteristics of the modelled process are calculated. One of them is selected as the objective functional. Other characteristics can play a role of constraints. The control is made by the functions, which define the coefficients of DDEs. As a result of piecewise-linear approximation of control function the non-linear mathematical programming problems are obtained. The efficiency of the software developed for solution of nonlinear DDEs and optimization of DDE systems is illustrated on the infectious disease process model. У роботі запропоновано числовий підхід до розв’язування задач оптимізації процесів, поведінка яких моделюється нелінійними диференціальними рівняннями із запізненням (ДРЗ) з постійним кроком запізнення. На основі отриманого розв’язку для ДРЗ обчислюються відповідні характеристики процесу, що розглядається. Одна з цих характеристик вибирається за критерій оптимізації, а інші виконують роль обмежень. За керуючі вибрано функції, від яких залежать коефіцієнти ДРЗ. У результаті апроксимації функцій керування кусково-лінійними функціями отримуємо задачі нелінійного математичного програмування. Ефективність створеного програмного забезпечення для розв’язування нелінійних ДРЗ і задач оптимізації систем, поведінка яких моделюється ДРЗ, проілюстровано на прикладі моделі інфекційного захворювання. В работе предложен численный подход к решению задач оптимизации процессов, поведение которых моделируется нелинейными дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом (ДУЗ) с постоянным шагом запаздывания. На основе полученного решения для ДУЗ исчисляются соответствующие характеристики рассматриваемого процесса. Одна из этих характеристик выбирается критерием оптимизации, а другие выполняют роль ограничений. В качестве управляющих выбрано функции, от которых зависят коэффициенты ДУЗ. В результате аппроксимации функций управления кусочно-линейными функциями получаем задачи нелинейного математического программирования. Эффективность созданного программного обеспечения для решения нелинейных ДУЗ и задач оптимизации систем, поведение которых моделируется ДУЗ, проиллюстрировано на примере модели инфекционного заболевания. en Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Optimization of infectious disease processes modelled by nonlinear delay differential equations Оптимізація процесів інфекційних захворювань, які моделюються нелінійними диференціальними рівняннями із запізненням Оптимизация процессов инфекционных заболеваний, моделирующихся нелинейными дифференциальными уравнениями с запаздыванием Article published earlier |
| spellingShingle | Optimization of infectious disease processes modelled by nonlinear delay differential equations Savula, Y. Shcherbatyi, M. Shcherbata, H. |
| title | Optimization of infectious disease processes modelled by nonlinear delay differential equations |
| title_alt | Оптимізація процесів інфекційних захворювань, які моделюються нелінійними диференціальними рівняннями із запізненням Оптимизация процессов инфекционных заболеваний, моделирующихся нелинейными дифференциальными уравнениями с запаздыванием |
| title_full | Optimization of infectious disease processes modelled by nonlinear delay differential equations |
| title_fullStr | Optimization of infectious disease processes modelled by nonlinear delay differential equations |
| title_full_unstemmed | Optimization of infectious disease processes modelled by nonlinear delay differential equations |
| title_short | Optimization of infectious disease processes modelled by nonlinear delay differential equations |
| title_sort | optimization of infectious disease processes modelled by nonlinear delay differential equations |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22400 |
| work_keys_str_mv | AT savulay optimizationofinfectiousdiseaseprocessesmodelledbynonlineardelaydifferentialequations AT shcherbatyim optimizationofinfectiousdiseaseprocessesmodelledbynonlineardelaydifferentialequations AT shcherbatah optimizationofinfectiousdiseaseprocessesmodelledbynonlineardelaydifferentialequations AT savulay optimízacíâprocesívínfekcíinihzahvorûvanʹâkímodelûûtʹsânelíníinimidiferencíalʹnimirívnânnâmiízzapíznennâm AT shcherbatyim optimízacíâprocesívínfekcíinihzahvorûvanʹâkímodelûûtʹsânelíníinimidiferencíalʹnimirívnânnâmiízzapíznennâm AT shcherbatah optimízacíâprocesívínfekcíinihzahvorûvanʹâkímodelûûtʹsânelíníinimidiferencíalʹnimirívnânnâmiízzapíznennâm AT savulay optimizaciâprocessovinfekcionnyhzabolevaniimodeliruûŝihsânelineinymidifferencialʹnymiuravneniâmiszapazdyvaniem AT shcherbatyim optimizaciâprocessovinfekcionnyhzabolevaniimodeliruûŝihsânelineinymidifferencialʹnymiuravneniâmiszapazdyvaniem AT shcherbatah optimizaciâprocessovinfekcionnyhzabolevaniimodeliruûŝihsânelineinymidifferencialʹnymiuravneniâmiszapazdyvaniem |