Математичне моделювання конвективного сушіння матеріалів з урахуванням механотермодифузійних процесів

Наведені відомості з літературних джерел щодо моделювання та керування процесом конвективно-теплового сушіння пористих тіл. Основна увага надається висвітленню експериментальних, наближених аналітичних і числових методів досліджень. Описані моделі процесу осушення вологих матеріалів за одно- та бага...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Date:	2010
Main Author:	Гайвась, Б.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2010
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22461
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Математичне моделювання конвективного сушіння матеріалів з урахуванням механотермодифузійних процесів / Б. Гайвась // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 12. — С. 9-37. — Бібліогр.: 74 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860036134610927616
author	Гайвась, Б.
author_facet	Гайвась, Б.
citation_txt	Математичне моделювання конвективного сушіння матеріалів з урахуванням механотермодифузійних процесів / Б. Гайвась // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 12. — С. 9-37. — Бібліогр.: 74 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
description	Наведені відомості з літературних джерел щодо моделювання та керування процесом конвективно-теплового сушіння пористих тіл. Основна увага надається висвітленню експериментальних, наближених аналітичних і числових методів досліджень. Описані моделі процесу осушення вологих матеріалів за одно- та багатоконтинуумного підходів. Проаналізовані відомі моделі та зроблені висновки щодо побудови математичної моделі, адаптованої для оптимізації процесу конвективно-теплового осушення пористих тіл за нестаціонарного режиму сушильного агента. Published data on modelling and controlling the process of convective thermal drying of porous bodies is presented. The main attention is paid to the presentation of experimental, approximate analytical and numerical research methods. The models of drying wet materials are described by the one- and multi continuum approaches. The known models are analyzed and conclusions are drawn as to the construction of the more efficient mathematical model adapted for optimization of convective thermal drying process of porous bodies under nonstationary regime of a drying agent. Приведены сведения из литературных источников относительно моделирования и управления процессом конвективно-тепловой сушки пористых тел. Основное внимание уделено освещению экспериментальных, приближенных, аналитических и числовых методов исследований. Описаны модели процесса сушки влажных материалов с использованием одно- и многоконтинуумного подходов. Проанализированы известные модели и сделаны выводы относительно построения более рациональной математической модели, адаптированной для оптимизации процесса конвективно-тепловой сушки пористых тел при нестационарном режиме сушильного агента.
first_indexed	2025-12-07T16:54:03Z
format	Article
fulltext	9 Математичне моделювання конвективного сушіння матеріалів з урахуванням механотермодифузійних процесів Богдана Гайвась К. ф-м. н., с. н. с., Центр математичного моделювання інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, вул. Дудаєва, 15, Львів, 79005 Наведені відомості з літературних джерел щодо моделювання та керування процесом кон- вективно-теплового сушіння пористих тіл. Основна увага надається висвітленню експери- ментальних, наближених аналітичних і числових методів досліджень. Описані моделі про- цесу осушення вологих матеріалів за одно- та багатоконтинуумного підходів. Проаналізовані відомі моделі та зроблені висновки щодо побудови математичної моделі, адаптованої для оптимізації процесу конвективно-теплового осушення пористих тіл за нестаціонарного режиму сушильного агента. Ключові слова: конвективно-теплове сушіння, режими сушіння, агент сушки, термодифузія, капілярно-пористе тіло. Зміст Вступ ........................................................................................................................10 1. Форми зв’язку вологи з матеріалом.....................................................................11 2. Низько- та високотемпературні процеси сушіння...............................................12 3. Вплив режиму сушіння на якість матеріалу. Жорсткість, ефективність, безпечність режиму сушіння........................................................14 4. Основні моделі сушіння капілярно-пористих тіл у рамках одноконтинуумного середовища ........................................................14 4.1. Моделі сушіння в рамках підходу Ликова. Модель Луцика ........................15 4.2. Модель Соколовського для в’язко-пружного тіла. ......................................17 4.3. Процес сушіння капілярно-пористих тіл у моделі еквівалентної пори .......19 4.4. Процес сушіння з урахуванням двофазної зони............................................24 5. Визначення ефективних радіусів капілярної системи. Закономірності фільтрації рідини та газу через деревину..................................25 6. Зовнішній тепло- та вологообмін у процесі сушіння пористих тіл. Взаємодія тіла з агентом сушіння ................................................27 7. Керування процесом сушіння ..............................................................................29 8. Напружено-деформований стан капілярно-пористих матеріалів .......................30 Висновки..................................................................................................................33 УДК 517.958 Богдана Гайвась Математичне моделювання конвективного сушіння матеріалів з урахуванням ... 10 Вступ. Сушіння — це процес видалення вологи з тіла, за якого змінюються структурно-механічні, технологічні та біологічні властивості матеріалу, викликані зміною форми зв’язку вологи з матеріалом. Під час видалення вологи капілярно- пористі тіла стають крихкими, мало стискаються та можуть перетворитися в по- рошок; колоїдні тіла за зміни вмісту вологи значно змінюють свої розміри, але зберігають пластичні або пружні властивості; капілярно-пористі колоїдні тіла мають капілярно-пористу будову, а стінки капілярів мають властивості обмежено набухлих колоїдних тіл (шкіра, тканини, деревина). Конвективно-теплове сушіння розділяють на підвиди: пароповітряне, газове, парове, рідинне й інші [1]. Рівномірність осушення матеріалів у сушильних уста- новках створюється циркуляцією сушильного агента. Циркуляція сушильного агента з швидкістю  може бути природна та вимушена, одностороння та ревер- сивна [2, 3]. Сушильний агент характеризується, окрім цього, вологістю v n    і температурою t. Тут v — густина пари, n — густина насиченої пари. Пара- метри , ,t   характеризують режим сушіння. Зміна локального вологовмісту U та локальної температури t в капілярно- пористому тілі з плином часу τ залежить від взаємозв’язку механізму перенесення вологи та тепла всередині вологого матеріалу та масо- і теплообміну поверхні тіла з агентом сушіння. Строгий аналіз кінетики сушіння доволі складний. Підвищення температури збільшує інтенсивність сушіння. Збільшення вологи сушильного агента зменшує інтенсивність і критичний вологовміст. Збільшення швидкості руху сушильного агента підвищує інтенсивність сушіння на початку процесу та значно менше впли- ває наприкінці. Весь процес осушення пористих матеріалів можна розділити на три стадії:  невпорядкований іррегулярний режим, який реалізується на початку процесу. Тут вагоме значення має початковий розподіл температури та вологи в тілі;  починаючи з деякого часу, тіло вступає в регулярний режим нагрівання [4], коли початковий розподіл перестає впливати;  кінцева стадія нагрівання відповідає стаціонарному стану, за якого темпе- ратура в усіх точках тіла дорівнює температурі навколишнього середовища. У процесі сушіння в тілі можуть утворюватися три характерні зони: зовнішня газова зона, у якій всі пори осушені; середня двофазна зона, у якій співіснують осушені пори та пори, заповнені рідиною; внутрішня рідинна зона, у якій всі пори заповнені рідиною. Двофазна зона виникає у зв’язку із звільненням від рідини внаслідок випаровування, натікання рідини під дією капілярних сил із широких рідинних пор в осушені вузькі, а також переконденсації вологи. В елементарному фізичному об’ємі двофазної зони рідка фаза може існувати у вигляді зв’язної системи рідких пор і у вигляді незв’язних включень, які заблоковані газом. Їх частки залежать від питомого вологовмісту. У процесі випаровування із зменшен- ням питомого вологовмісту відбувається перерозподіл і дроблення зв’язної сис- теми. У випадку досягнення вологовмістом критичного значення відбувається повний розрив зв’язків. Капілярне натікання можливе лише через зв’язну рідку ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 9-37 11 систему. Якщо вологовміст не досягає деякого критичного значення, перенесення по рідкій фазі неможливе. Зв’язна система рідких пор також неоднорідна у зв’язку з наявністю тупикових пор [5]. Величина таких зон залежить від функції розподілу пор за радіусами, яка характеризує структуру пористого тіла. У процесі випаро- вування границі зон переміщаються всередину тіла. 1. Форми зв’язку вологи з матеріалом Швидкість переміщення вологи всередині матеріалу залежить від форми зв’язку її з матеріалом. Основними формами зв’язку вологи з тілом є адсорбційні та капіляр- ні [6, 7]. Кількість адсорбційно-зв’язаної та мікрокапілярної вологи залежить від температури та тиску навколишнього середовища. Така волога називається гігро- скопічною. Зміна розмірів матеріалу (зсихання - розбухання) пов’язана зі зміною кількості гігроскопічної вологи. Зв’язана вода впорядкована та залежить від структу- ри взаємодіючої з нею поверхні. По радіусу капіляра існує градієнт густини зв’язаної з поверхнею тіла води. Капілярні сили та сила ваги в зв’язаній воді не проявляються. Теплота випаровування зв’язаної води вища від теплоти випаровування вільної на кількість енергії зв’язку адсорбованої води з поверхнею E ≈ 280 кал/г. У макрокапілярах капілярно-пористого тіла ламінарне течіння задовольняє рівняння Пуайзеля 2 1 2 8 P Pj l    , де 1 2,P P — тиск на кінцях капіляра завдовжки l. У мікрокапілярах рівняння Пуайзеля та закон дифузії Фіка не виконуються, а потік визначається співвідношенням: 2 1 2 1 8 3 2 P Pj RT l T T          [7-10], де  — динамічна в’язкість;  — стала величина, яка називається коефіцієнтом молеку- лярної течії газу. Форми зв’язку вологи з матеріалом мають визначальну роль у механізмі перенесення тепла та вологи всередині тіла. Основними механізмами перенесення вологи в пористому середовищі є:  дифузія пароповітряної суміші в газовій зоні під дією різниці густин у на- прямку, протилежному до градієнта, та переконденсація під дією градієнта парціального тиску пари над менісками різної кривини;  термічна дифузія пари в напрямку потоку тепла від ділянок із вищою тем- пературою до ділянок із нижчою;  конвективне перенесення пари та рідини під дією зовнішнього перепаду тиску;  капілярне переміщення рідини в порах, яке залежить від структури порис- того середовища, зокрема, капілярне натікання з широких пор у вузькі, спричинене різницею капілярних тисків;  плівкове перенесення рідини під дією градієнтів розклинювального та капі- лярного тисків [5, 11]. Експериментальні дослідження цих механізмів перенесення, проведені на реальних і модельних системах, вказують на вирішальний вплив капілярних і поверхневих сил на процес масоперенесення й інтенсивність сушіння. Ці сили Богдана Гайвась Математичне моделювання конвективного сушіння матеріалів з урахуванням ... 12 регулюють взаємний розподіл фаз у просторі пор, визначають умови перенесення й обумовлюють їх механізми. Зв’язок між вологою та тілом характеризують на основі диференціальної й інтегральної кривих розподілу пор за радіусами. Площа під диференціальною кривою на довільній ділянці визначає об’єм вологи (насиченість) у межах зміни радіусів капілярів. Криві розподілу пор за радіусами визначають широке варію- вання розмірів пустот у порах тіла. Для розрахунку раціонального режиму сушіння, вибір якого визначається технологічними змінами в процесі осушення, важливим є вивчення законів пере- несення вологи з метою керування згаданим процесом. Рух вологи під дією тем- ператури (термовологопровідність) охоплює явища [7, 11-14]:  молекулярної дифузії вологи (молекулярна течія пари, що відбувається внаслідок різної швидкості молекул нагрітих і холодних шарів матеріалу);  капілярної провідності (зумовлене зміною капілярного потенціалу, що залежить від поверхневого натягу, який з підвищенням температури змен- шується. Оскільки капілярний тиск над увігнутим меніском від’ємний, то зменшення тиску підвищує всмоктуюче зусилля, внаслідок чого волога у вигляді рідини виходить із нагрітих шарів тіла до холодніших);  руху рідини в пористому тілі за напрямком потоку тепла, викликаного наявністю защемленого повітря. Під час нагрівання матеріалу тиск защем- леного повітря збільшується та бульбашки повітря розширюються. Внаслі- док цього рідина в капілярній порі протискується в напрямку потоку тепла. (Защемлене повітря проштовхує рідину до шарів із нижчою температурою). Термовологопровідність є причина переміщення вологи в напрямку потоку тепла. За конвективного сушіння створюється градієнт температури, протилежний до градієнта вологи, який перешкоджає її переміщенню зсередини до поверхні матеріалу. Потік вологи, направлений до поверхні матеріалу, зменшується на величину потоку вологи, зумовленого термодифузією. Температурний градієнт є перепоною для руху рідини з центральних шарів до поверхні. За постійної інтен- сивності сушіння створюються умови, які допомагають випаровуванню рідини всередині матеріалу. Термодифузія зменшує градієнт вологи, швидкість руху рід- кої вологи та кількість водорозчинних речовин на поверхні матеріалу. Зі зміною величини та напрямку температурного градієнта змінюються умови переміщення вологи та речовини, розчиненої у ній. Це призведе до зміни фізико-хімічних властивостей матеріалу [1]. За рівнем температури процес сушіння може бути низькотемпературний і високотемпературний. 2. Низько- та високотемпературні процеси сушіння Низькотемпературний процес [4, 7]. За низькотемпературних процесів температура матеріалу менша від температури кипіння води за існуючого тиску (< 100 0С), міграція вологи всередині матеріалу здійснюється завдяки вологопровідності та термовологопровідності. Термодифузія при цьому невелика та результуючий потік вологи співпадає з потоком концентраційної дифузії. Період прогрівання ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 9-37 13 закінчується досягненням матеріалом тем- ператури мокрого термометра. При цьому волога конденсується на поверхні і виникає деякий від’ємний градієнт (температура на поверхні більша, ніж температура в центрі зразка). Цей градієнт допомагає перенесен- ню вологи з поверхні всередину тіла. Гра- дієнт вологовмісту не викликає перенесення вологи до поверхні, доки вологовміст вищий від границі гігроскопічності. Завдяки випа- ровуючій здатності середовища, відносна вологість якого менша від одиниці, волого- вміст на поверхні досягне величини, близької до границі гігроскопічності. Випарову- вання відбувається в глибині тіла в певній зоні або усьому тілі залежно, зокрема, від густини розподілу пор за радіусами та дисперсії розмірів пор. Досягнення границі гігроскопічності викличе переміщення вологи внаслідок зміни агрегатного стану. Якщо вологовміст поверхні стає менший, ніж межа гігроскопічності, то наслідком цього буде переміщення вологи у перерізі. На рис. 1 показано зміну вологості та темпера- тури у процесі низькотемпературного сушіння. Відрізок АВ відповідає періоду сталої швидкості сушіння; Ukr — критичний вологовміст; TH — початкова температура [4]. Рушійною силою перенесення води є градієнт капілярного тиску. Він утво- рюється внаслідок того, що нижчий вологовміст у поверхневих шарах призво- дить до їх більшого зсихання, тобто до більшого звуження капілярів. Реальними рушійними силами пароподібної вологи є сили дифузії й ефузії [7]. Високотемпературні процеси. За високотемпературних процесів температура в середніх зонах більша від 100 0С. При цьому існують особливості пароутворення за різних рівнів температури. У процесі інтенсивного нагрівання всередині тіла виникає тиск парогазової суміші, який перевищує барометричний тиск у сушиль- ному агенті через опір скелета під час руху пари, яка утворюється внаслідок швид- кого випаровування рідини. Появі градієнта сумарного тиску сприяє молекулярне натікання (рух Кнудсена) повітря через мікрокапіляри в області високих темпе- ратур. Наявність градієнта загального тиску всередині капілярно-пористого тіла викликає молярне перенесення газової суміші на зразок фільтрації газу через пористі середовища. Швидкість поширення фільтраційного потоку відбувається за законом Дарсі. Для високотемпературного процесу потрібно, щоб вище 100 0С піднялася температура не тільки середовища, але й матеріалу, і щоб у вологому матеріалі містилася вільна вода, здатна кипіти. Для кипіння необхідний деякий перегрів рідини, тобто перевищення температури рідини відносно температури насичення за заданого тиску. Цей перегрів залежить від фізичних властивостей рідини, її чис- тоти, тиску та фізичних властивостей граничних твердих поверхонь. Особливістю високотемпературного процесу є інтенсивне перенесення вологи у вигляді пари з центральних зон до периферійних [7, 15-25]. Зміна градієнта вологи за швидкіс- ного високотемпературного режиму гідротермічної обробки вимагає строгого контролю жорсткості, збереження ефективності та безпечності режиму сушіння. Рис. 1. Зміна вологості та температури в процесі осушення U = f(τ) U UГГ Tm TH T A B T = Φ(τ) Ukr TH τ С Богдана Гайвась Математичне моделювання конвективного сушіння матеріалів з урахуванням ... 14 3. Вплив режиму сушіння на якість матеріалу. Жорсткість, ефективність, безпечність режиму сушіння У процесі сушіння відбувається зміна технологічних властивостей матеріалу, зокрема, зміна структурно-механічних властивостей, що може призвести до роз- тріскування та короблення. У деревині тріщинотворення відбувається в пружно- пластичній області, де закон Гука несправедливий [26, 27]. Локальне руйнування відбувається в об’ємно-напруженому стані внаслідок дії небезпечних дотичних напружень. На розвиток дотичних напружень впливають і нормальні напруження. Причиною появи поверхневих тріщин є розвиток поверхневого напруженого стану матеріалу, який перевищує граничнодопустимий. Цей напружений стан створю- ється недопустимою усадкою, яка виникає внаслідок нерівномірного розподілу вологовмісту та температури всередині матеріалу [21]. Розвиток усадки пов’язаний із появою внутрішніх напружень. Зберегти матеріал від розтріскування можна, понизивши розтягуючі напруження внаслідок зменшення перепаду вологи у перерізі. За критерій тріщиноутворення приймають відносний перепад між середнім U та локальним U вологовмістами та початковим вологовмістом 0U :   0TPK U U U  . Якщо тріщиноутворення відбувається на поверхні, то U = UΠ. Жорсткість режиму характеризується величиною психрометричної різниці Tc – Tm і є вирішальна під час високотемпературного швидкісного сушіння. Тут Tc, Tm — температура сухого та мокрого термометрів. Ефективність характеризу- ється відношенням часу нормального процесу сушіння до часу застосування високотемпературного режиму. Безпечність визначається відношенням границі міцності до максимальних напружень, які виникають за такого режиму. Спосіб підведення тепла до матеріалу впливає на механізм перенесення речовини та тепла в процесі термообробки. Знаходження вологовмісту та темпера- тури пов’язано з розв’язком системи диференціальних рівнянь тепломасоперене- сення за відповідних граничних умов, які відображають спосіб і режим сушіння. Основи теорії сушіння викладені О. В. Ликовим [2-5]. Під час побудови теорії сушіння для визначення потенціалів масоперенесення та коефіцієнтів тер- мовологопровідності О. В. Ликов використав гіпотезу локальної термодинамічної рівноваги, і прийняв, що в умовах динамічної рівноваги хімічні потенціали рідкої фази та пари повинні бути рівні. Обґрунтування цієї гіпотези наведено, зокрема, у роботі [12]. 4. Основні моделі сушіння капілярно-пористих тіл у рамках одноконтинуумного середовища Одним із важливих питань під час дослідження процесу випаровування рідини з пористих матеріалів є масоперенесення під дією капілярних і поверхневих сил. Для опису цього явища О. В. Ликов увів поруч із загальноприйнятими термоди- намічними потенціалами (температурою, тиском) потенціал масоперенесення [5, 7-10], градієнт якого є причиною виникнення потоку рідини. При цьому для опису процесів перенесення було використано квазігомогенне наближення, яке ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 9-37 15 ґрунтується на заміні реального дисперсного середовища суцільним з ефектив- ними коефіцієнтами. У рівняння перенесення тепла та вологи входять емпіричні коефіцієнти, які є функціями температури та вологи. Процеси тепловологопере- несення в капілярно-пористому середовищі розглядалися як одночасний рух води, пари та повітря в неізотермічних умовах за наявності фазових переходів, для опису яких було введено параметр — критерій фазового переходу. 4.1. Моделі сушіння в рамках підходу Ликова. Модель Луцика. Процеси сушіння капілярно-пористих тіл у рамках одноконтинуумного підходу висвітлені в працях [4, 7, 12-17, 27, 28]. Зокрема, у роботі [15] вважається, що нерівноваж- ний стан системи в довільний момент часу процесу сушіння викликано неодно- рідним розподілом температури, масовмісту, надлишкового тиску та деформаціями. Зростання ентропії в системах пов’язано з необоротними процесами теплопро- відності, дифузійного та конвективного масоперенесення, фазового переходу, вологотермічного деформування та необоротними перехресними ефектами (ефекти Дюфо, Соре). Рівняння балансу енергії отримується з рівняння балансу ентропії div q ST j I          , І — сумарна потужність джерел тепла, яка виділяється в одиниці об’єму перехресними ефектами, що можуть бути значними під час суттєвих нестаціонарних тепломасообмінних і механічних дій;  U 10 — густина вологої системи; U — вологовміст; 0 — густина абсо- лютно сухого матеріалу; τ — час; S — ентропія; ( )qj   — густина потоку тепла  gradqj T   ;  UTij ,,~~  — хімічний потенціал. Рівняння теплопровідності замикається двома рівняннями конвективно- дифузійного масоперенесення div m U j    , div p U P Uj c          , (4.1) рівнянням руху (рівноваги) деформівної системи 2 2      i i j ij uF x , (4.2) рівняннями стану  0 0 0 12 2 3ij ij kk ij TU TU ij PG E G E E                   , 0 0 0 kk kk w PS E c T T          , 0 0 0kk kk PE r U              (4.3) та геометричними співвідношеннями Богдана Гайвась Математичне моделювання конвективного сушіння матеріалів з урахуванням ... 16 1 2 ji ij j i uu x x          . (4.4) Тут 21 mmm jjj   — потік маси, викликаний градієнтом вологи та перехресними процесами; 1 gradm mj a U  — дифузійний потік маси; 2 0 grad gradp m m k j a T P     — потік, викликаний перехресними потоками; grad , ,p p m pj a P a a  — коефіцієнти молекулярної та конвективної дифузії поглинутої речовини; δ — термоградієнтний коефіцієнт; σij, εij — компоненти тензора напружень і деформацій; δij — символ Кронеккера; κp — проникливість системи;   21,, 000 EETTUU — модуль об’ємної пружності; Е — модуль пружності; ν — коефіцієнт поперечної пружної деформації;  1G    — модуль зсуву пружно-пластичної деформа- ції; μ — модуль зсуву в границях пружності; P = Pсум – P0 — надлишковий тиск пари та повітря, який викликає додаткову деформацію розтягу P / E0 і призводить до конвективного перенесення маси та зміни температури фазового переходу, впливає на інтенсивність масовмісту й усадку. Fi — компоненти зовнішньої сили, що діє на одиницю об’єму; Pсум — сумарний тиск пари та повітря; Р0 — барометричний тиск; [U0, T0] — вологовміст і температура у вихідному стані; ,Tw Tw  — середні значення коефіцієнта теплового розширення й усадки в інтер- валах температури [T0, T], вологовмісту [U0, U]; ,w wc c  — питомі теплоємності в ізобаричному процесі та за відсутності деформацій; ,r  — питома теплота та ступінь повноти фазового переходу. Система нелінійних рівнянь із початковими та граничними умовами опи- сує нестаціонарну задачу сушіння. Для записаної тут системи рівнянь необхідно долучити умови однозначності розв’язку задачі тепломасообміну, тобто почат- кові та граничні умови. Граничні умови мають вигляд  grad (1 ) ( ) 0q mпов повпов j T rj              ,      grad grad grad 0m m m m pпов пов повпов j T P               , (4.5) grad — градієнт хімічного потенціалу; mj  — густина потоку вологи, яка випа- ровується з поверхні тіла в актуальний момент часу; ε = 1 відповідає випадку, якщо випаровування рідини відбувається всередині матеріалу, ε = 0 — коли на поверхні тіла; gradT — кількість теплоти, яка підводиться теплопровідністю від поверхні всередину матеріалу;  gradm T  — потік вологи, спричинений гра- дієнтом температури;  gradm p P  — потік вологи, викликаний градієнтом тиску. Під час конвективного сушіння потік тепла на поверхні    ( ) cповj T T    , ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 9-37 17 де TПМ — температура поверхні матеріалу, а інтенсивність випаровування визна- чається співвідношенням        m р ПM с и ПМ c ПМ пповj Р Р U U            , , ,ПМ п vc n      — відповідно густина пари на поверхні тіла, густина насиченої пари та відносна насиченість пари; vc — густина пари в навколишньому середовищі. 4.2. Модель Соколовського для в’язко-пружного тіла. У рамках цього підходу в праці [27] із використанням методів термодинаміки необоротних процесів одержано систему диференціальних рівнянь, які описують взаємозв’язок дефор- маційно-релаксаційних, тепломасообмінних процесів у в’язко-пружних капілярно- пористих тілах. Для цього повний диференціал вільної енергії подано у вигляді суми зміни вільної енергії в процесах тепломасоперенесення та деформування з урахуванням можливого руйнування, за яке відповідає додатковий член lm lmd  , де lm — компоненти тензора руйнування, lm — відповідний потенціал. На основі диференціального лінійного за часом операторного зв’язку для доволі загальної реологічної моделі в’язко-пружного тіла отримано зв’язок між компонентами тензорів напружень і деформацій у вигляді 03 ij kk ij ij ij kk dVA B AK V                    , (4.6) де А, В — диференціальні оператори, лінійні за часом;  0 0 0 3 T dV T T V V        0 0v U U v v       ; 0 1 3T dV V dT        ; 0 1 3U dV V dU        ; 0 1 3 dV V d       — кое- фіцієнти лінійного теплового розширення, об’ємного набухання та структурного розширення; U — вологість; v — об’єм пошкоджень. Індексом 0 відзначено від- повідні величини у зрівноваженому стані. Встановлено вирази для ентропії, хімічного потенціалу та потенціалу руй- нування 0 20 0 2 1 3 2 T v mm ij ij mm T C V VS dT P T T V T T                          ; 0 0 20 0 2 1 3 2 T T v mm ij ij mm T T C V VdT dT P U U V U U                               ; 0 20 0 2 1 3 2lm lm kk ij ij kk lm lm lm V V P V                           , (4.7) Богдана Гайвась Математичне моделювання конвективного сушіння матеріалів з урахуванням ... 18 де   2 3; 1 2 1K E              — коефіцієнт Ламе;  ,T U    ,    , , ,E E T U T U    — модулі зсуву, Юнга та коефіцієнт Пуассона відповідно. Коефіцієнт   0 2 3 3 pv PV       визначається на основі вимірювання тиску та від- повідної зміни питомого об’єму pv для ,T const U const  внаслідок фільтра- ції рідини. Рівняння теплопровідності, масопровідності та конвективної тепломасо- провідності з урахуванням деформаційно-релаксаційних і тепломасообмінних процесів набувають вигляду       0div grad div grad div gradv TT TU TP T UC T U P t t               0 0 2 3mm V VT P t T V                      , (4.8)      0 div grad div grad div gradUT UU UP U T U P t           0 0 2 3mm V V P t U V                      ,  div gradPT P T t         div grad div grad kk PU PP B UU P P c t t           . (4.9) Тут   , , ,T U P    — термодинамічні коефіцієнти перенесення, які зале- жать від теплофізичних і структурних властивостей матеріалів; cB — питома ємність пароподібної вологи;  — критерій фазового перетворення. Система рів- нянь доповнюється рівняннями руху 2 , 2 i ij j j d uX dt      , 1,3i j  , (4.10) де ui — компоненти вектора переміщень; Xj — компоненти вектора зовнішніх сил. Початкові та граничні умови визначають єдиність розв’язку отриманої сис- теми рівнянь. Моделі Ликова (4.1)-(4.5) та Соколовського (4.6)-(4.10) відображають про- цес сушіння матеріалів у рамках одноконтинуумного підходу. Серед іноземних джерел відзначимо також роботи [48-53]. За іншого підходу процес видалення вологи розглядають як задачу Стефа- на [2-3], якщо газова зона розширюється в процесі осушення, а двофазна зона змінює свою ширину залежно від дисперсії розмірів пор. Хейфец і Неймарк вважали, що формальне введення потенціалу масопере- несення затушовує реальні механізми перенесення маси. Оскільки зв’язок між ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 9-37 19 потоком рідини, що випаровується, та питомою насиченістю має нелінійний характер, який визначається геометричними характеристиками пористого тіла, то використання співвідношень Онзагера, які постулюють лінійну залежність потоків від термодинамічних сил, є необґрунтоване [7]. В основу математичних методів моделювання процесу сушіння ними покладено опис багатофазних процесів у пористих середовищах. Взаємний роз- поділ фаз у поровому просторі — це одна з основних характеристик багатофаз- них гетерогенних процесів у пористих середовищах. У випадку процесів із фазо- вими переходами взаємний розподіл фаз встановлюється внаслідок переходу однієї фази в іншу та перерозподілу фаз в об’ємі пористого тіла за рахунок різниці капілярних властивостей. 4.3. Процес сушіння капілярно-пористих тіл у моделі еквівалентної пори. У праці [38] для пористих тіл із малою дисперсією поперечних розмірів пор у квазістаціонарному наближенні сформульовані повні системи співвідношень для опису процесів природного або стимульованого обдувом чи зовнішнім постій- ним електричним полем осушення. Показано, що під час електроосмотичного осушення необхідно розрізняти два етапи. При цьому стимулююча дія електрич- ного поля спостерігається лише на першому етапі. Враховується, що в зоні осушених пор присутні повітря та пара води. Вва- жається, що поперечний розмір пор суттєво більший від середньої довжини віль- ного пробігу наявних молекул. Середньомасова швидкість v задовольняє рів- няння Дарсі [5] g g g P K     . Тут gK — коефіцієнт проникливості, який зале- жить від радіуса та форми пор; μg — коефіцієнт динамічної в’язкості газу; Рg — тиск у порах. Прийнято, що для газової суміші виконується рівняння стану ідеального газу. Якщо використати для газової суміші рівняння стану та закон Дарсі, рів- няння Стефана-Максвелла стосовно ключових функцій ,a v  (густин повітря та пари), за нехтування потоком повітря всередину тіла, набувають вигляду 0            a v v a a g g a DRT MM K  , 0                     v v v a a g g v DRT MM K  , (4.11) де Ma, Mv — молярні маси повітря та пари; R, T — газова стала й абсолютна тем- пература, D — коефіцієнт дифузії. Записані рівняння чинні в області осушених пор, яка обмежена поверхнями (S) та (S). Система диференціальних рівнянь (4.11) є нелінійна. Приймають, що густина пари v на рухомій поверхні фазового переходу (S) дорівнює густині vn насиченої пари [5] v vn   . (4.12) Богдана Гайвась Математичне моделювання конвективного сушіння матеріалів з урахуванням ... 20 Крайові умови на поверхні (S) залежать від способу моделювання взаємодії тіла з довкіллям. За умов контакту тіла з середовищем по поверхні (S), яке є сумішшю повітря та пари, за природного сушіння приймається, що у разі відда- лення від поверхні (S) густина пари ve та повітря ae набувають властивих атмосферному повітрю сталих значень 0 0,v a  [13] 0 0lim , limve v ae a r r        , (4.13) де r — віддаль від поверхні (S). Характеристики з індексом e відповідають зов- нішньому середовищу (сушильному агенту). За умови сталості атмосферного тиску в зовнішній щодо тіла області примежо- вого шару процеси масоперенесення описують рівняннями Стефана-Максвелла 0ae ae e e v D       , 0ve ve e e v D              , (4.14) ae ve ge a v P RT const M M          . (4.15) На поверхні (S) прийнято неперервність нормального складника потоку пари з осушуваного тіла, тобто ve v ve e e n j v n D              , (4.16) а також рівність густин компонент суміші, що випливає з рівності парціальних тисків на поверхні (S), ,ae a ve v      . (4.17) Рівняння (4.11)-(4.17) складають повну систему співвідношень і описують масоперенесення за природного осушення пористого тіла [13]. Під час дослідження процесу сушіння зовнішню задачу формулюють для примежового шару деякої скінченної товщини δ [5]. При цьому масоперенесення в області примежового шару описують рівняннями (4.14), (4.15). На поверхні (S) тіла задовольняється умова спряження (4.16), а на зовніш- ній поверхні (S*) примежового шару 0 0,ae a ve v      . (4.18) У цьому випадку процес сушіння описується системою співвідношень (4.11), (4.12), (4.14)-(4.18). У праці [14] не вводять примежовий шар в околі поверхні тіла, а натомість на поверхні (S) задають умови масообміну  0v v vn j       , 0a a  . (4.19) Тут β — коефіцієнт масообміну тіла з середовищем. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 9-37 21 У цьому випадку сушіння тіла описують системою співвідношень (4.11), (4.12), (4.19). З метою опису кінетики руху межі фазового переходу вводимо поняття відносної вологості тіла f = m / m0, де m, m0 — відповідно актуальна та початкова маси рідини в тілі. Швидкість зміни маси рідини визначають рівнянням     v S dm n j dS d       (4.20) та початковою умовою 0m m для 0 . (4.21) Тут вектор vj  густини потоку пари з тіла є розв’язок сформульованих вище задач. У термінах відносної вологості рівняння (4.20), (4.21) мають вигляд    0 1 v S df n j dS d m       , (4.22) 1f  для 0  . (4.23) Наближені розв’язки задач для канонічних областей (шару та кулі) наведені, зокрема, у працях [29, 30]. Вплив зовнішнього постійного електричного поля. У роботі [31] проведено експе- риментальне дослідження електроосмотичного осушення деревини та звернуто увагу на можливість практичного використання такого методу осушування. У працях [32-35] викладені теоретичні основи явища електроосмосу та аналізу- ється можливість його практичного використання з метою видалення вологи з тіла. Силова взаємодія зарядів дифузного шару із зовнішнім електричним полем спри- чинює їх переміщення. При цьому виникає напрямлений рух порової рідини — електроосмос. Прийнято, що матеріал електродів такий, що біполярний осмос від- сутній [31]. Процес осушення є двоетапний. На 1-ому етапі осушення рівняння масоперенесення в осушеній зоні та крайові умови прийнято в тому ж наближенні, що й раніше, тобто у вигляді (4.11)-(4.19). Однак на цьому етапі відбувається рух рідини під дією електричних сил у напрямку поверхні  2S зі швидкістю  kq L L L PEK     , де LK — кое- фіцієнт проникливості тіла щодо рідини, μL — її динамічна в’язкість, Pk — тиск, спричинений викривленням поверхні на межі контакту рідина–газ. Кількість рідини в тілі таким чином буде зменшуватися, як внаслідок осушування з поверхні (S1), так і внаслідок електроосмотичного видалення вологи через поверхню (S2). Рів- няння балансу маси матиме вигляд        1 2 1 1 1 2 2 2v v S S dm n j dS n j dS d            , (4.24) Богдана Гайвась Математичне моделювання конвективного сушіння матеріалів з урахуванням ... 22 де 1 2,n n  — зовнішні нормалі до поверхонь (S1) та (S2); 1vj  — потік пари через поверхню (S1), який є розв’язком задачі (4.11)-(4.17) або (4.11), (4.12), (4.14)- (4.18); Lv jj  2 — потік води через поверхню (S2) L L Lj      ,  — пористість тіла. (4.25) На 2-ому етапі сушіння в момент часу, коли електрична та капілярна сили зрівноважуються, тобто   1 0 L q k V EdV P S     , (4.26) витік рідини припиняється та виникає осушена зона 2, яка розширюється від поверхні (S2) у глибину тіла. У рівнянні (4.26)  LV — область тіла, зайнята рідиною; * 1S — площа поверхні контакту газ–рідина. Задача осушування зони 2 формулюється аналогічно до задачі (4.11)-(4.17); (4.11)-(4.12), (4.14)-(4.18); (4.11)-(4.12), (4.19) осушування зони 1, а рівняння балансу маси вологи в тілі буде (4.24) Напруженість електричного поля визначається з відповідних задач елект- ростатики. Для першого етапу ці рівняння 0 e j , e j e jE    1,2j  , (4.27) чинні в області   1 1V j  , обмеженій поверхнями (S1) та  * 1S , і заповненій рідиною області    2jVL . До рівнянь (4.19) долучають граничні умови ee 011  на поверхні (S1), ee 022  на поверхні (S2) (4.28) та умови спряження ee 21  ,   0211  ee jjn  на поверхні  * 1S , (4.29) де e j e j e j Ej    1,2j  , (4.30) ee jj 21 ,  — вектори густин електричного струму; ee 21 , — коефіцієнти електро- провідності в областях (V1) і  fV відповідно; 1n — нормаль до поверхні  * 1S ; ee 21 , — електричні потенціали; ee 0201, — задані величини. Для другого етапу сушіння задача електростатики записується так 0 e j , e j e jE    3,1j , (4.31) ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 9-37 23 для областей   11 jV ,   2jVL й області   32 jV , обмеженої поверхнями  * 2S та (S2), за граничних умов ee 011  на поверхні (S1), ee 023  на поверхні (S2) (4.32) та умов спряження ee 21  ,   0211  ee jjn  на поверхні  * 1S , ee 32  ,   0322  ee jjn  на поверхні  * 2S , (4.33) де 2n — нормаль до поверхні  * 2S . Середню густину електричного заряду дифузного шару для бінарного роз- чину електроліту, згідно теорії подвійного електричного шару та роботи [36], визначають формулою 12 f f q p C zF fRTk T       , (4.34) де ε f — середня абсолютна діелектрична проникливість рідкої фази; TГ — зви- вистість; f — параметр форми пор; kp — коефіцієнт проникливості пористого середовища; 1 — потенціал поверхні найбільшого наближення іонів [37]; z = z+ = z–, z+, z– — валентності катіонів та аніонів; F f — стала Фарадея; C — кон- центрація електроліту. Направлену дію механізму масоперенесення, а саме дію енергетичних і фізичних полів застосовують для ефективного осушення вологого матеріалу. У праці [39] вплив середовища на тіло моделюють введенням примежового шару. Задача зводиться до розв’язування задачі спряження, що описує масоперенесення в навколишньому середовищі та пористому тілі. Визначено напружено-дефор- мований стан у пористому шарі, вплив напружень на вологовміст у порах у про- цесі осушення, зміну параметра пористості та залежність напружено-деформова- ного стану від параметра пористості. У роботах [40, 41] досліджують вплив електроосмосу на природне та кон- вективне сушіння пористого шару. Вивчено вплив кінетичних коефіцієнтів, харак- теристик електричного поля та температури на інтенсивність процесу осушення. Показано, що процес сушіння є двоетапний. Криві залежності відносної вологи від параметрів у часі мають злом. Точки злому кривих залежності відносної вологості від часу відповідають переходу від першого до другого етапу сушіння. Встановлено залежність критичного часу та відповідного значення воло- гості від характеристик матеріалу та напруженості електричного поля. Кількісне дослідження динаміки відносної вологості шару свідчить про зменшення часу сушіння порівняно з випадком, якщо електроосмос не враховано. При цьому зміна температури тіла за рахунок джоулевого розігріву є нехтовно мала. Богдана Гайвась Математичне моделювання конвективного сушіння матеріалів з урахуванням ... 24 4.4. Процес сушіння з урахуванням двофазної зони. Повну систему співвідно- шень для опису процесу осушення пористого пружного шару з урахуванням дис- персії розмірів пор на етапі процесу осушення, якщо формується двофазна зона, сформульовано в [42]. У результаті розв’язування спряженої задачі масоперене- сення для дифузної та двофазної зон встановлено, що дисперсія розмірів пор, з якою пов’язано виникнення двофазної рідинно-газової зони, може суттєво впливати на перебіг процесу осушення. Визначено область значень структурних і кінетичних характеристик пористого тіла (розмірів пор, дисперсії та коефіцієнтів проникливості), для яких необхідно враховувати вплив дисперсії розмірів пор на процес осушення. Перенесення пари та повітря в дифузному шарі описують системою нелінійних рівнянь Стефана-Максвела (4.14). Перенесення повітря та пари в газовій зоні max 0L y L  усередині шару також задовольняє рівнянням Стефана-Максвелла [5] (4.11). У випадку моделі циліндричних капілярів різних радіусів на рухомій гра- ниці газ–двофазна зона maxy L і у двофазній зоні вважають, що з огляду на велику площу контакту рідина–газ пара насичена v n   поверхні maxy L , (4.35) де n — густина насиченої пари. Без урахування дисперсії розмірів пор (у випадку моделі паралельних капі- лярів однакового радіуса) двофазна зона відсутня й y = Lmax відповідає границі розділу рідина–газ. Границя розділу насичена рідиною — двофазна зона співпа- дає з поверхнею y = Lmin. Кількісна оцінка показує, що в двофазній зоні (Lmax, Lmin) потік вологи під- смоктування визначається потоком рідини  kL L L L dP yK g dy   . Потік вологи в газовій зоні визначається потоком пари j, який отримується з розв’язку задачі (4.11)-(4.13). Задача масоперенесення в двофазній зоні (Lmax, Lmin) зводиться до такої крайової задачі  kL L L L dP yK g j dy    (4.36) за умови  0 minfr L r , (4.37) де KL — коефіцієнт проникливості відносно рідини в двофазній зоні; μL — коефі- цієнт в’язкості рідини;  2 cosk kP r   — капілярний тиск;  — кут змочування; rk — радіус капілярів; σ — поверхневий натяг рідини; функція gL( y) визначає відносну частку насичених рідиною пор у перерізі y і записується через щільність розподілу ( )r так: min ( ) ( )fr L r g y r dr  . Коефіцієнт проникності KL ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 9-37 25 відносно рідини відповідно в перерізі y: min 20 2 ( ) ( )frL L r kK y r r dr r   , де kL0 — кое- фіцієнт проникності рідиною насиченого тіла, а max min 2 2( ) r r r r r dr  . Тут fr — критичний радіус пори. Для визначення динаміки в часі зовнішньої координати двофазної зони κm сформульовано відповідну задачу Коші, яка відображає баланс зміни маси вологи з її відтоком через зовнішню границю. У результаті наближеного розв’язування нелінійної крайової задачі (4.36)- (4.37) отримано розподіл густини пари v за товщиною залежно від безрозмірної координати рухомої внутрішньої границі осушеної зони κm. Розв’язок задачі (4.36), (4.37) дозволяє знайти залежність безрозмірної координати κ f розташування критичного радіуса rf від координати κm границі контакту двофазної й осушеної зон і параметра zf = rmin / rf . Кількісний аналіз одержаного розв’язку показав, що у процесі осушення ширина двофазної зони змінюється залежно від щільності розподілу розмірів пор у тілі, коефіцієнтів проникливості вологи в порах і від- носної насиченості, тиску атмосферного повітря, коефіцієнтів дифузії, густини насиченої пари та в’язкості рідини за заданої температури, відношення мінімаль- ного та максимального радіусів пор. Найсуттєвіше цей вплив проявляється в рів- номірному розподілі, оскільки як ширина двофазної зони, так і її зміни за такого розподілу є найбільші. Нормальний і показниковий розподіли можна трактувати як граничні випадки, за яких центри розподілів розміщені відповідно в зонах великих і малих радіусів пор. При цьому ширина двофазної зони є нехтовно мала. Вплив дисперсії розмірів пор на осушення капілярно-пористих тіл дослі- джено в [43-45]. Іншою важливою технологічною властивістю матеріалу є збереження форми. Під час сушіння плоска форма згортається та приймає форму циліндричної. Екс- перименти показали, що в момент короблення вологовміст на протилежних поверхнях матеріалу різний. Поверхня, яка характеризується меншим волого- вмістом, скорочується більше. У цьому випадку, окрім деформування об’єму, змінюється форма зразка. Щоб зменшити короблення однорідного матеріалу, необхідно створити однакову швидкість вологовіддачі з обох поверхонь [7]. Питання стійкості форми ізотропних та анізотропних пластин у процесі всихання розглянуто в роботах [46, 47]. Показано, що процес сушіння призво- дить до зниження ейлерової критичної сили. Результати експериментального визначення ефективних величин радіусів пор, коефіцієнтів проникливості, коефіцієнтів дифузії капілярно-пористого мате- ріалу для деревини наведені в [10, 54]. 5. Визначення ефективних радіусів капілярної системи [10, 54]. Закономірності фільтрації рідини та газу через деревину Внаслідок складної структури капілярно-пористих матеріалів, яка характеризу- ється різною величиною та неоднаковою геометричною формою провідних еле- ментів, визначити величину радіусів капілярів, які беруть участь у перенесенні Богдана Гайвась Математичне моделювання конвективного сушіння матеріалів з урахуванням ... 26 вологи, неможливо. Капілярні моделі подають простір пор у вигляді системи каналів із певними геометричними властивостями. У роботі [10] провідна капілярно-пориста система деревини умовно приймається за капілярну та замінюється гіпотетичним капіляром, який має ту ж величину проникливості, що і дослідний зразок. Це припущення дозволяє вважати, що площа перетину капілярів зразка по проникливості буде рівновеликою з площею поперечного перетину прийнятого гіпотетичного капіляра, радіус якого називають ефективним радіусом капілярної системи. Такий підхід дозволяє з екс- периментально отриманої величини розходу рідини знайти вираз для визначення ефективного радіуса капілярної системи для нестисливої  4 1 2 8 Qlr S P P      та стисливої   0 4 2 2 1 2 16 Q P lr S P P      рідин, де Q — розхід флюїду в см3/с, який вимі- рюється експериментально; l — довжина зразка в см; P — перепад тиску в г/см с2; η — динамічна в’язкість у пуазах (пуаз = 0,1 Па·с). Ці рівняння дозволяють за наявності характеристики одномірного потоку визначити ефективні радіуси капі- лярної системи в різних напрямках фільтрації. А. Стамм, із використанням фізико-динамічних методів вивчення капілярної структури деревини, показав, що максимальні ефективні діаметри отворів у мембранах пор у сітхенської ялини складали від 63 до 174 нм, для західного червоного кедра від 11 до 23 нм, для аляскінського кедра від 14 до 21 нм. Ці отвори достатні для проходження високодисперсних колоїдних розчинів. Про- никнення мембрани залежить від її пористості, площі та товщини [54]. Однією з різновидностей капілярних моделей є системи паралельних капі- лярів різних радіусів. Врахувати вплив геометричних факторів дозволяє статис- тичний розгляд процесу в елементарному фізичному об’ємі на базі певної струк- турно-метричної моделі. Функція розподілу капілярів за радіусами корелюється з вимірюваними різними методами функціями розподілу пор за ефективними радіусами. З цим узгоджується метод вивчення фільтрації деревини за її усеред- неними характеристиками, який дозволяє не враховувати рух флюїду звивистими шляхами та перетоками і розглядати деревину як матеріал із гомогенними влас- тивостями для вибраного напрямку фільтрації. Щодо усушки та набухання рання деревина анізотропніша, ніж пізня. Різна природа ранніх і пізніх трахеїд відзначається дослідами В. Е. Москальової [54]. Н. А. Оснач встановив вищу проникливість вздовж волокон пізньої деревини порівняно з ранньою. Вплив температури на проникливість деревини визначали в роботі [54]. Перенесення вологи під дією градієнта температури вивчали у [7]. Врахувати вплив геометричних факторів дозволяє статистичний розгляд процесу в елементарному фізичному об’ємі на базі певної структурно-метричної моделі. Для опису капілярного масоперенесення приймають, що всі капіляри, незалежно від їх радіусів, зв’язані один із одним у кожному перерізі розвинутою системою мікропор [11]. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 9-37 27 6. Зовнішній тепловологообмін у процесі сушіння пористих тіл. Взаємодія тіла з агентом сушіння На першому етапі конвективного сушіння температура тіла дорівнює температурі мокрого термометра (адіабатичного насичення). Експериментальні дослідження І. М. Федорова, Ф. М. Полонської показали, що коефіцієнт теплообміну в процесі сушіння більший, ніж коефіцієнт чистого теплообміну за тих же умов. У роботах О. В. Ликова [7], П. Д. Лебедєва, Г. С. Шубіна [4] показано, що коефіцієнт тепло- обміну є стала величина тільки для періоду сталої швидкості сушіння. Для періо- ду падаючої швидкості він неперервно зменшується, наближаючись до величини теплообміну сухого тіла [56]. Тепломасообмін між осушуваним матеріалом і середовищем (сушильним агентом) є один із визначальних факторів процесу. Коефіцієнти теплообміну можна отримати безпосередньо з дослідів, аналітичним шляхом із використан- ням теорії примежового шару [55], а також із критеріальних рівнянь [7]. Теорія примежового шару [55] дає розв’язки різних задач гідродинамічного примежового шару. На основі експериментальних досліджень Н. С. Міхеєва та Б. М. Смольський вказали на вплив внутрішнього масоперенесення на поле парціальних тисків на початку процесу сушіння [7] і зробили висновок, що коефіцієнт тепловіддачі можна розрахувати на основі розв’язку задачі спряження. Для узагальнення експериментальних даних під час опису процесу сушіння ви- користовують також теорію подібності, яка дозволяє об’єднати фізичні величини, які характеризують процес, у безрозмірні комплекси. Отримані критерії розглядають як нові змінні, які відображають вплив як одиночних чинників, так і їх сукупності [7, 27]. Коефіцієнт теплообміну за вимушеного руху навколишнього середовища отримують з критерію Нуссельта Nu на основі критеріального рівняння Nu = f (Re, Pr), побудовано- го за дослідними даними. Тут Re, Pr — критерії Рейнольдса та Прандтля відповідно. Дослідами Ф. М. Полонської, А. В. Нестеренка [7, 13] встановлено, що в умо- вах вимушеної конвекції в критеріальних співвідношеннях треба ввести допо- міжне число Gu (критерій Гухмана), яке враховує специфіку тепломасообміну в процесі випаровування. У результаті обробки численних експериментів із тепло- масообміну деревини за вимушеного руху вологого газу А. В. Нестеренком вста- новлені такі співвідношення: для теплообміну 0,332 Pr Ren mNu A Gu  ; для масообміну  0,332 Pr Ren mNu A Gu     , де  c M cGu T T T  ; Tc, TM — темпе- ратура середовища та матеріалу відповідно [16]. Число Прандтля Pr = ν / a = μ / (aρ), де a — коефіцієнт температуропровід- ності, характеризує вплив фізичних властивостей середовища на конвективний теплообмін. Для масообміну Pr' = ν / D, де D — коефіцієнт дифузії. Сталі для кри- теріїв Нуссельта наведені в таблиці. Таблиця Re А n m A ́ n ́ m ́ 1 – 2·10 2 1,070 0,48 0,175 0,8300 0,53 0,135 3,15·10 3 – 2,2·10 4 0,510 0,61 0,175 0,4900 0,61 0,135 2,2·10 4 – 3,15·10 5 0,027 0,90 0,175 0,0248 0,90 0,135 Богдана Гайвась Математичне моделювання конвективного сушіння матеріалів з урахуванням ... 28 Г. С. Шубіним для деревини отримано таку залежність Nu = 0,106Pr 0,33× ×Pe 0,8Gu 0,175, для чисел Пекле в межах Pe = 3,8·10 – 3 – 1,063·10 – 5 [4]. Численними дослідами [4, 7] було виявлено, що під час сушіння тонких дерев’яних матеріалів період сталої швидкості супроводжується періодом сталої температури. Коефіцієнт теплообміну та критерій Нуссельта для цього періоду сталі. Дослідження, проведені в пароповітряному середовищі за температури 80- 245 0С, дали співвідношення 0,80,072ReNu  . (6.1) Результати обробки експериментів показали, що зміни критерію Gu, який для реальних умов сушіння є достатньо великий, його вплив на теплообмін є незначний. Зі збільшенням критерію Re критерій Nu зростає незначно. Це означає, що за доволі високих швидкостей циркуляції вплив зміни швидкості повітря на теплообмін невеликий. Отже рівняння (6.1), яке охоплює діапазон Re до 2,3·105, достатньо універсальне (ним охоплений діапазон 015 250 Cct   за швидкостей  до 8м/ с). Інтенсивності тепло- та масообміну тіла з середовищем у процесі конвек- тивного сушіння визначаються згідно закону Ньютона-Ріхмана  . g c p mq t t Nu t l       ,  . g p m cq p p Nu p l         ; g g l qlNu t       , g g l q lNu p         , де ,Nu Nu — критерії Нуссельта конвективного тепло-та масообміну; q і q — густини потоків тепла та маси речовини; .( )c p mt t t   — різниця температур газу та поверхні тіла; .( )p m cp p p   — різниця парціальних тисків пари біля поверхні тіла та в агенті сушіння; l — визначальний розмір у напрямку потоку; ,   — коефіцієнти тепло- та масопровідності; ,   — коефіцієнти тепло- та масообміну тіла з середовищем. Із врахуванням критеріальної залежності Re l   , коефіцієнт теплообміну можна визначити з рівняння 0,8 0,072 l l        , де  — кінематична в’язкість,  — швидкість обдуву. Коефіцієнт вологообміну для деревини можна визначити за формулою    0 c M U ym r t t r U U       , де rU — рівноважний вологовміст у сере- довищі, ym — умовна густина матеріалу зразка.Тут коефіцієнт теплопровідності вологого газу обчислюється за формулою 0 0,0041     , де 0 — коефіцієнт теплопровідності сухого газу, φ — відносна вологість. Коефіцієнт масопровідності ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 9-37 29 (коефіцієнт дифузії, віднесений до різниці парціальних тисків) обчислюється за формулою 0 0 2 0 v b M T Pa pRT          , де 0a — коефіцієнт дифузії за нормальних умов, для водяної пари 0 0,079a  м2/ год; Mv = 0,018 кг / моль — молекулярна вага пари; P0 = 760мм. рт. ст. — повний барометричний тиск; T0 = 273,2 K — абсолютна температура за нормальних умов; R = 0,06237 м 3·мм. рт. ст. / град·моль; T = 273 + +   2c pt t — середня абсолютна температура примежового шару; pb — парці- альний тиск сухої пари, (мм. рт. ст.). 7. Керування процесом сушіння Оптимальні режимні параметри сушіння вибираються з урахуванням технологіч- них змін матеріалу, який підлягає сушінню. Залежно від технологічних вимог визначається режим сушіння. Якщо основною вимогою до якості матеріалу є від- сутність тріщин, то режим вибирається відповідно до зміни структурно-механіч- них властивостей матеріалу. На оптимальні режими сушіння капілярно-пористих матеріалів впливає усадка матеріалу внаслідок зміни вологості. Розвиток усадки для різних матеріа- лів відбувається по різному. Є матеріали (глина), в яких усадка починається на першому періоді сушіння. Тому під час сушіння керамічних виробів за критерій поверхневого тріщиноутворення вибирають вологообмінний критерій Кірпічова 00UaRjKi mm   , який прямо пропорційний інтенсивності сушіння (випарову- вання) ( )j  , відношенню об’єму до площі поверхні R і обернено пропорційний коефіцієнту дифузії вологи am. У критерій Кірпічова входять густина сухого матеріалу 0 , початковий вологовміст U0, які вважаються заданими. На етапі сталої швидкості сушіння коефіцієнт дифузії залежить тільки від температури. Визначивши зміну коефіцієнта дифузії від температури будують сімейство кри- вих  m cKi f t для різних значень вологості  за сталої швидкості руху повітря  сушильного агента. За різних температур отримують область режимів, за яких mKi менший, ніж гранично допустимий maxmKi . Збільшення швидкості зменшує область допустимих режимних параметрів tc і  . Швидкість руху вибирається за сумісного аналізу області допустимих режимів   ,fKim із розрахунковими даними щодо розходу електроенергії [7]. Напружений стан у пористому матеріалі пов’язаний з розвитком усадки. Розвиток усадки для різних матеріалів відбува- ється по різному. Так, у цементному камені та деревині усадка зростає тільки тоді, якщо вологовміст матеріалу менший, ніж 30 %. Закон розвитку усадки може підпорядковуватися різним залежностям, наприклад, експоненціальному спаду [26]. Ефективним методом керування перенесенням речовини є зміна темпера- турного градієнта всередині матеріалу [8, 21-23, 57-59]. Оптимальний режим су- шіння визначається шляхом досліджень перенесення тепла, вологи всередині мате- ріалу, за яких напруження, що виникають у матеріалі, не перевищують гранично Богдана Гайвась Математичне моделювання конвективного сушіння матеріалів з урахуванням ... 30 допустимих. Дослідження тепломасообмінних і деформаційно-релаксаційних полів у процесі сушіння деревини проведено в [28, 29]. Вивчення граничних руйную- чих напружень і напружень тріщиноутворення проведено в [7, 9, 10, 13]. Законо- мірності теорії сушіння дозволяють зменшити витрати тепла, тривалість, розро- бити нові швидкісні способи сушіння. Підтримуючи потрібне значення поверх- невої вологості, можна забезпечити задані значення допустимих напружень. Можна визначити такі режими сушіння, за яких різниця температур і тисків на поверхні та межі фазового переходу задовольняють певним обмеженням і мінімі- зують час повного сушіння матеріалу. У праці [58] розглянуто задачу мінімізації часу повного осушення пористого шару. Вивчено етап сушіння, який відповідає сформованим осушеній та рідинній зонам. За температурою на поверхні встанов- лено тиск на поверхні та температуру на межі фазового переходу, які забезпечу- ють оптимальний час осушення шару за усталеного температурного режиму сушильного агента. Для отримання безпечного процесу сушіння необхідно визначити опти- мальні значення швидкості руху, відносної насиченості, температури агента сушіння, а також час зміни етапів керування. 8. Напружено-деформований стан капілярно-пористих матеріалів У процесі сушіння матеріалів важливими є питання міцності капілярно-пористих матеріалів. У праці [41] сформульовано незв’язану задачу несиметричного осу- шення пористого шару, розв’язування якої полягає в послідовному знаходженні поля вологовмісту з визначенням напружено-деформованого стану за заданими вологісними дисторсіями. Вплив дисперсії розмірів пор враховується на першому етапі задачі осушення, яка формулюється з урахуванням конвективного, дифузій- ного та капілярного механізмів масоперенесення в порах. Цей вплив проявляється, зокрема, у виникненні між зонами осушених і насичених рідиною пор двофазної зони. Рівень напружень з урахуванням дисперсії розмірів пор вищий, ніж без такого врахування. У монографії [62] викладені способи контролю напружень, які виникають під час осушення пиломатеріалів і зберігаються надалі у висушеному матеріалі. Визначення деформацій за змінної температури та вологості проведено в [63]. Відзначимо роботи школи професора Я. І. Соколовського, які стосуються визначення напружено-деформованого стану в’язко-пружних капілярно-порис- тих тіл, зокрема, деревини [63, 64, 66-75]. У праці [64] наведені результати експериментальних досліджень реологічних властивостей деревини з урахуванням анізотропії залежно від зміни температури та вологи. Для реологічної моделі деревини використовують рівняння лінійної в’язкопружності, яке включає безперервний розподіл релаксаційного спектра                  i U n i i aUTRURUTR 1,,, 00 1 00 , (8.1) ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 9-37 31 де 0U — базова вологість матеріалу, 0,iR R — тривалий і миттєвий модулі релак- сації. Для побудови узагальнених кривих повзучості деревини вздовж волокон на основі експериментально визначених деформацій значення модулів релаксації визначаються з співвідношення    )(,, UTR , де  — задане значення; ( )  — усереднене значення деформації повзучості. Модулі миттєвої пружності )(ME для 0  уздовж волокон із ростом вологи U в інтервалі від 0 до 30 % зменшується за лінійним законом. Для UU миттєві модулі пружності практично не змінюються. Зміна кількості вільної вологи не впливає на розміри взірця, а зв’язана гігроскопічна волога становить 30 %. Зміна температурно-воло- гісного поля зумовлює паралельне зміщення кривих повзучості вздовж осі ln t , а це виражає сутність температурно-вологочасової аналогії для дослідження реологіч- них властивостей деревини вздовж волокон. Криві повзучості апроксимуються співвідношенням з ядром повзучості у вигляді суми    n i ib n 1 1                    Utai , exp1 0 , де 0i — дискретний спектр часів релаксації для базових значень 00 ,Ut ; ib — деякі коефіцієнти; ),( Uta — функція релаксаційного зсуву. Апроксимаційну залежність a(t, U) для температури t = 40 ºC для порід сосни, ялини, берези, дуба подано у вигляді    0, ba t U U U            0 0ln 50 1 ln 50 1 E U E U E U E U            , де b — коефіцієнт, який залежить від породи деревини та виду навантаження. Подані значення коефіцієнта bi для різних порід деревини. Рівняння регресії a(t, W) прийнято у вигляді   2 2 1 2 3 4 5ln a t U t t U U tU         , 0t t t  , 0U U U  , 1 2 3 4 50,167715; 0,00375; 2,97143; 0,73584; 0,01796           . Наведені результати експериментальних досліджень реологічної поведінки деревини впоперек волокон для широкого діапазону зміни температурно-вологіс- ного поля. Метод розрахунку напружень, зумовлених наявністю вологи у деревині в процесі її сушіння, наведено в роботі [65]. Задача зводиться до розв’язування рівняння вологоперенесення 0 m U UC a t z z           . Коефіцієнт вологоперенесення am і термодинамічна характеристика С зале- жать від вмісту вологи та температури. Розподіл вологи задовольняє граничні Богдана Гайвась Математичне моделювання конвективного сушіння матеріалів з урахуванням ... 32 умови  m R pa dU dz U U   , де ,ma  — коефіцієнти вологопровідності та вологообміну; UR — вологість поверхні; Up — рівноважний вологовміст. В’язкопружне деформування описано лінійним інтегральним рівнянням    00 , ( , ) ( , ) ( , ) t ij ijkl kl ijR t U t d x U t x U         , де ,ij kl  — тензори дефор- мацій і напружень у шарі,  ,ijklR t U — функція повзучості,  0,ijkl ijklR U A — тензор піддатливості. Вважаючи пластину в’язкопружним матеріалом, викорис- тано метод вологісно-часової аналогії. Ядро повзучості з урахуванням вологісно- часової аналогії прийнято у вигляді      0 0 0 0 1 , , , exp N u ii R T U aR T U R U N N                , де             0,65 0 0 0 0 ln 1 ln 110ln ln ln 1 ln 1u E U E E U a U E U E E U           , (8.3) 0 1,63;E     0,6 1,63exp 0,5E U U   ;  0R U — значення миттєвої піддат- ливості;  0 0,R T U — значення рівноважної піддатливості; au — коефіцієнт воло- гочасової редукції; N — кількість членів релаксаційного дискретного ряду   iua  exp1 , i — час релаксації. Враховуючи умови рівноваги й умови сумісності деформацій 2 2 1 ( , ) 0 h ijh t z dz h    , ( , ) ( , )ij ijt z t z   , задача в’язко- пружності зводиться до задачі пружності шаруватого середовища [66]. Показано, що величина диференціальної усадки залежить від НДС для капілярно-пористих тіл ізотропних матеріалів [62]. Аналітичний розрахунок i дослідження впливу анізотропії фізико-механічних властивостей деревини на зв’язок диференціальної усадки з напружено-деформованим станом для пилома- теріалів у різних температурно-вологісних умовах наведено у працях [67, 68, 73]. Вологовміст на етапі регулярного процесу приймають параболічним  0 2 2 0,1 / 2 / 21 1 / 2 / 2F ц ц х a y bU U U U a b                             , Uц, UП — вологовміст у центрі та на поверхні матеріалу, а, b — ширина та тов- щина тіла. Ядро реологічної поведінки деревини взято у вигляді * ( )( )R e        , де  — параметр релаксації; * — реологічний параметр ядра. Параметри ядра R(t) отримані з експериментів. Узагальнено метод скінченних елементів для визначення плоского напружено-деформованого стану з урахуванням анізотропії ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 9-37 33 властивостей і реологічної поведінки деревини в нестаціонарних температурно- вологісних умовах. Наведені результати числового експерименту динаміки роз- поділу НДС i диференціальної усадки залежно від геометричних розмірів та ані- зотропії фізико-механічних властивостей деревини. У роботі [74] метод скінченних елементів застосовано для послідовного розв’язування двох двовимірних задач. Перша задача моделює зміну температурно- вологісних полів у процесі сушіння, а друга враховує результати обчислень пер- шої та моделює розподіл деформаційно-релаксаційних полів, зумовлених зміною температури та вмісту вологи. Сформульовано та визначено двовимірний напру- жено-деформований стан деревини з урахуванням реологічних властивостей матеріалу й анізотропії фізико-механічних характеристик в умовах неізотерміч- ного тепломасоперенесення, досліджено вплив розподілу гігроскопічної вологи, геометричних розмірів і структурної анізотропії на величини нормальних і тан- генціальних напружень. Висновки. Під час побудови математичної моделі процесу конвективно-теплового сушіння пористих матеріалів необхідно: встановити тип пористого тіла, підвид сушіння, взаємодію тіла з агентом сушіння, взаємозв’язок процесів зміни вологи та тепла в тілі. Вибираючи модель слід врахувати форми зв’язку вологи з мате- ріалом залежно від величини пор і функції розподілу пор за радіусами; термо- чутливість тіла. Характеристики моделі повинні бути узгоджені з відповідними експериментальними результатами. Під час вибору режиму сушіння врахувати механізми перенесення вологи, зокрема, молекулярну течію пароповітряної сумі- ші шляхом дифузії й ефузії (якщо радіус капілярів тіла менший, ніж 10 – 5 см) та відповідні потенціали. Якщо в тілі є капіляри радіуса, більшого від 10 – 5 см, то переважає дифузійно-ефузійний механізм перенесення. За наявності макрокапі- лярів дифузійне перенесення пари ускладнюється тепловим ковзанням. Враху- вання цих фактів відобразиться на виборі кінетичних ефективних коефіцієнтів. Від поверхні тіла в навколишнє середовище перенесення відбувається, в основному, молярним шляхом. У зв’язку з цим коефіцієнт масопровідності в зоні випарову- вання — примежовий шар значно більший від молекулярного коефіцієнта. Залежно від типу тіла, його механічних і міцнісних властивостей необхідно вибрати оптимальні критерії перенесення вологи в процесі сушіння. У зв’язку з різ- ними підходами відносно вибору критеріїв міцності пористих матеріалів, необ- хідне аналітично-числове дослідження напружено-деформованого стану, як в пруж- ній, так і в пружно-пластичній області деформування. За змінної у часі температури агента сушіння вологість і швидкість руху впливають, як на час сушіння, так і на якість матеріалу. Тому потрібно знайти такий режим, щоб за мінімальної тривалості сушіння та найменших витрат тепла отримати найкращі технологічні властивості матеріалу. Ці фактори можна врахувати, якщо задачу конвективно-теплового сушіння ставити та розв’язувати як задачу зі змінними границями з урахуванням фазових переходів. Богдана Гайвась Математичне моделювання конвективного сушіння матеріалів з урахуванням ... 34 Література [1] Білей, П. В. Конвективний спосіб сушки. Сушка деревини: довідник / П. В. Білей. — Київ: Тристан, 2004. — С. 111-114. [2] Воронов, В. Г. Автоматическое управление процессами сушки / В. Г. Воронов, З. Н. Михай- лецкий. — Киев: Техника, 1982. — 111 с. [3] Воронов, В. Г. Автоматизация тепловых процессов в производстве строительных материалов / В. Г. Воронов, В. А. Сафаров. — Киев: Техника, 1975. — 143 с. [4] Шубин, Г. С. Физические основы и расчет процессов сушки древесины / Г. С. Шубин. — Москва: Лесная промышленность, 1973. — 248 с. [5] Неймарк, А. В. О взаимном распределении жидкости и газа в капиллярно-пористых мате- риалах / А. В. Неймарк, Л. И. Хейфец // Доклады АН СССР. — 1976. — Т. 228, № 1. — С. 135-139. [6] Горобцова, Н. Е. Общие уравнения адсорбции для различных материалов, водных растворов солей и кислот. Интенсификация сушильно-термических процессов / Н. Е. Горобцова. — Минск: 1986. — С. 30-41. [7] Лыков, А. В. Теория сушки / А. В. Лыков. — Москва: Энергия, 1968. — 471 с. [8] Муштаев, В. И. Основные теоретические положения конвективной сушки и уточненный метод расчета сушильных аппаратов / В. И. Муштаев. — Москва: Наука, 1971. — 81 с. [9] Журавлева, В. П. Массоперенос при термообработке и сушке капиллярно-пористых строи- тельных материалов / В. П. Журавлева. — Минск: 1972. — 189 с. [10] Оснач, Н. А. Проницаемость и проводимость древесины / Н. А. Оснач. — Москва: Лесная промышленность, 1965. — 181 с. [11] Хейфец, Л. И. Многофазные процессы в пористых средах / Л. И. Хейфец, Ф. М. Неймарк. — Москва: Химия, 1982. — 20 с. [12] Лыков, А. В. Явления переноса в капиллярно-пористых телах / А. В. Лыков. — Москва: Гос. издат. техн.-теорет. лит., 1954. — 296 с. [13] Лыков, А. В. Тепломассообмен в процессах сушки / А. В. Лыков. — Москва-Ленинград: Гос- энергоиздат, 1956. — 64 с. [14] Лыков, А. В. Теоретические основы теоретической теплофизики / А. В. Лыков. — Минск: Изд. АН БССР, 1961. — 32 с. [15] Луцик, П. П. Уравнения теории сушки деформируемых твердых тел / П. П. Луцик // Про- мышленная теплотехника. — 1985. — Т. 7, № 6. — С. 8-20. [16] Луцик, П. П. Массотермическое деформирование капиллярно-пористых коллоидных тел в процессах сушки / П. П. Луцик // Тепломассообмен-VII. — Минск: 1984. — С. 90-93. [17] Луцик, П. П. Исследование процессов тепломассопереноса при сушке капиллярно-пористых тел с учетом внутренних напряжений / П. П. Луцик // Тепломассообмен ММФ. Проблемные доклады, секц. 6, 7. — Минск: 1988. — С. 184-197. [18] Кречетов, И. В. Сушка древесины перегретым паром / И. В. Кречетов, Б. С. Царев // Дере- вообрабатывающая промышленность. — 1955. — № 12. — С. 21-24. [19] Леонтьев, Н. Л. Влияние высокотемпературных режимов на физико-механические свойства древесины / Н. Л. Леонтьев // Деревообрабатывающая промышленность. — 1956. — № 10. — С. 21-25. [20] Леонтьев, Н. Л. Влияние высокотемпературной сушки древесины сосны на ее физико-меха- нические свойства / Н. Л. Леонтьев // Деревообрабатывающая промышленность. — 1957. — № 6. — С. 15-23. [21] Микит, Э. А. Интенсификация сушки пиломатериалов в камерах периодического действия / Э. А. Микит, К. К. Уиманис. — Москва-Ленинград: Гослесбумиз, 1967. — 105 с. [22] Краткое руководство по внедрению высокотемпературной сушки пиломатериалов, ЦНИИМОД. — Архангельск, 1961. — 60 с. [23] Серговский, П. С. О рациональных режимах сушки пиломатериалов в высокотемператур- ных сушилках / П. С. Серговский // Деревообрабатывающая промышленность. — 1962. — № 1. — С. 3-7. — № 2. — С. 5-9. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 9-37 35 [24] Ананьин, П. И. Высокотемпературная сушка древесины / П. И. Ананьин, В. Н. Петри. — Москва: Гослесбумиздат, 1963. — 125 с. [25] Уголев, Б. Н. Контроль напряжений при сушке древесины / Б. Н. Уголев, Ю. Г. Лапшин, Е. В. Кротов. — Москва: Лесн. пром-сть, 1980. — 208 с. [26] Уголев, Б. Н. Деформативность древесины и напряжения при сушке / Б. Н. Уголев. — Москва: Лесн. пром-сть, 1971. — 176 с. [27] Соколовський, Я. І. Взаємозв’язок деформаційно-релаксаційних процесів у капілярно-порис- тих тілах / Я. І. Соколовський // Доповіді НАНУ. Математика, природознавство, технічні науки. — 1998. — № 9. — С. 76-80. [28] Соколовський, Я. І. Дослідження вологісних і залишкових напружень у деревині / Я. І. Соко- ловський, Б. П. Поберейко // Наук. вісник: УкрДЛТУ. — Львів, 1998. — Bип. 8.1. — С. 196- 207. [29] Бурак, Я. До математичного моделювання процесу сушки пористих тіл / Я. Бурак, В. Конд- рат, Б. Гайвась // Інформативно-математичне моделювання складних систем. — Львів: Сплайн, 2002. — C. 153-159. [30] Кинетика сушки пористой частицы с учетом капиллярных свойств / Ф. В. Неймарк, Л. М. Письмен, В. Е. Бабенко, Л. И. Хейфец // Теоретические основы химической технологии. — 1975. — T. 9, № 3. — С. 369-374. [31] Электроосмос в капиллярно-пористых телах / В. И. Патякин, С. М. Базаров, С. В. Авдашке- вич, У. У. Сугаипов // Материалы 4-ого Минского международного форума по тепло- и массообмену. Тепломассообмен в капиллярно-пористых телах. — T. 8. — С. 170-174. [32] Бернацкий, А. Ф. Электрические свойства бетона / А. Ф. Бернацкий, Ю. В. Целебровский, В. А. Чунчин. — Москва: Энергия, 1980. — 88 с. [33] Духин, С. С. Электропроводность и электрокинетические свойства дисперсных систем / С. С. Духин. — Киев: Наук. думка, 1975. — 245 с. [34] Liapis, F. I. Film mass transfer coefficient expression for electroosmotics flows / F. I. Liapis, B. A. Grimes // J. Colloid and Interface Sci. — 2000. — Vol. 229, No 2. — Р. 540-543. [35] Минин, О. В. Теоретическое обоснование возможности индицирования пондеромоторной термодинамической силы в твердом теле и газе / О. В. Минин // ИФЖ. — 2003. — T. 76, № 5. — C. 11-16. [36] Фізико-математичне моделювання складних систем / Я. Бурак, Є. Чапля, Т. Нагірний та інші; під ред. Я. Бурака та Є. Чаплі. — Львів: СПОЛОМ, 2004. — 264 с. [37] Фридрихсберг, Д. А. Курс коллоидной химии / Д. А. Фридрихсберг. — Ленинград: Химия, 1974. — 352 с. [38] Гайвась, Б. І. До математичного моделювання та вивчення процесу осушення пористих тіл / Б. І. Гайвась, Я. Й. Бурак, В. Ф. Кондрат // Фіз.-мат. моделювання та інформаційні техноло- гії. — 2005. — Вип. 1. — С. 20-29. [39] Бурак, Я. Й. Математична модель сушки пористого шару з врахуванням обмежень на пара- метри напружено-деформованого стану / Я. Й. Бурак, Б. І. Гайвась // Механіка середовища, методи комп’ютерних наук. — 2004. — С. 12-26. [40] Гайвась, Б. І. Про вплив електроосмосу на двостороннє конвективне осушення пористого шару / Б. І. Гайвась // Волинський математичний вісник. Серія А. — 2004. — Вип. 2(11). — С. 74-85. [41] До вивчення впливу зовнішнього електричного поля на сушіння пористих тіл / В. Ф. Конд- рат, Б. І. Гайвась, Ю. М. Губер, Б. М. Гнідець // Наук. вісник. — Львів: УкрДЛТУ, 2006. — Bип. 16.2. — С. 97-107. [42] Бурак, Я. Вплив дисперсії розмірів пор на початковий етап процесу осушення пористих тіл / Я. Бурак, Б. Гайвась, В. Кондрат // Фіз.-мат. моделювання та інформаційні технології. — 2005. — Вип. 2. — С. 7-17. [43] Гайвась, Б. Урахування впливу дисперсії розмірів пор на процес осушення пористого шару / Б. Гайвась // Прикладні проблеми механіки і математики. — 2007. — Вип. 7. — С. 103-112. [44] Гайвась, Б. Вплив дисперсії розмірів пор на напружено-деформований стан при несимет- ричному осушенні / Б. Гайвась // Фіз.-мат. моделювання та інформаційні технології. — 2007. — Bип. 5. — С. 19-28. Богдана Гайвась Математичне моделювання конвективного сушіння матеріалів з урахуванням ... 36 [45] Гайвась, Б. І. Вплив дисперсії розмірів пор на напружено-деформований стан пористого ша- ру при симетричному та несиметричному осушенні / Б. І. Гайвась // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур. — Львів: 2006. — С. 67-68. [46] Гайвась, Б. Напружений стан та стійкість пористих пластин при великих прогинах у процесі всихання / Б. Гайвась, І. Гайвась // Машинознавство. — 2006. — Вип. 9-10. — С. 43-48. [47] Гайвась, Б. Про напружений стан та стійкість пористої анізотропної пластини в процесі осу- шення / Б. Гайвась // Фіз.-мат. моделювання та інформаційні технології. — 2006. — Вип. 4. — C. 12-24. [48] Kowalski, S. J. Problemy matematycznego modelowania procesu suszenia zawilżonych ośrodków kapilarno-porowatych na przykładie suszonej konwekcyjnie płyty / S. J. Kowalski, G. Musielak // Engng Transactions. — 1988. — v. 36, No 2. — S. 239-252. [49] Musielak, G. Modelowanie i symulacja numeryczna zjawisk transportu oraz naprężeń suszarni- czych w materiałach kapilarno-porowatych / G. Musielak. — Poznań: Wyd-wo Politechniki Poz- nańskiej, 2004. — 150 s. [50] Сажин, Б. С. .Основы теории сушки / Б. С. Сажин. — Москва: Химия, 1989. — 20 с. [51] Акулич, А. В. Моделирование тепломассопереноса в капиллярно-пористых материалах / А. В. Акулич, Н. Н. Гринчик // ИФЖ. — 1998. — Т. 71, № 1. — С. 225-233. [52] Павлюкевич, Н. В. О кинетической теории процессов переноса в пористых средах / Н. В. Павлюкевич // ИФЖ. — 1993. — T. 4, № 6. — C. 763-766. [53] Мартыненко, О. Г. Тепло- и масоперенос в пористых средах / О. Г. Мартыненко, Н. В. Пав- люкевич // ИФЖ. — 2003. — T. 76, № 1. — C. 5-11. [54] Харук, Е. В. Проницаемость древесины газами и жидкостями. — Новосибирск: Наука, 1976. — 188 с. [55] Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг. — Москва: Наука, 1974. — 308 с. [56] Куц, П. С. Изменение критериев тепломассообмена в процессе сушки капиллярно-пористых материалов. Процессы сушки капиллярно-пористых материалов / П. С. Куц. — Минск: 1990. — С. 3-8. [57] Микит, Э. А. Интенсификация камерной сушки пиломатериалов / Э. А. Микит, К. К. Уима- нис. — Москва: Лесная промышленность, 1967. — 305 с. [58] Гайвась, Б. Оптимізація процесу осушення пористого шару / Б. Гайвась // Фіз.-мат. моде- лювання та інформаційні технології. — 2007. — Вип. 6. — C. 44 -52. [59] Пижурин, А. А. Оптимизация технологических процессов деревообработки / А. А. Пижурин. — Москва: Лесная промышленность, 1975. —312 с. [60] Егоров, А. И. Математические методы оптимизации процессов теплопроводности и диффу- зии / А. И. Егоров, Р. Р. Рафатов. — Фрунзе, 1990. — 336 с. [61] Муштаев, В. И. Основные теоретические положения конвективной сушки и уточненный метод расчета сушильных аппаратов / В. И. Муштаев. — Москва, 1971. — 81 с. [62] Уголев, Б. Н. Контроль напряжений при сушке древесины / Б. Н. Уголев, Ю. Г. Лапшин, Е. В. Кротов. — Москва: Лесн. пром-сть, 1980. — 208 с. [63] Лапшин, Ю. Г. Некоторые задачи деформирования материалов при переменной температуре и влажности / Ю. Г. Лапшин // Известия вузов. Лесной журнал. — 1970. — T. 1. — С. 45-50. [64] Соколовський, Я. І. Методика та результати експериментальних досліджень реологічної поведінки деревини / Я. І. Соколовський, Й. В. Андрашек // Науковий вісник УДЛТУ. — 1999. — Bип. 9.13. — С. 15-26. [65] Соколовський, Я. І. Розрахунок вологісних напружень в деревині / Я. І. Соколовський // Нау- ковий вісник УДЛТУ. — 1997. — Bип. 6. — С. 45-49. [66] Штраус, В. Д. Вычисление временных функций наследственности путем применения обрат- ного преобразования Лапласа / В. Д. Штраус // Механика композитных материалов. — 1980. — № 1. — С. 148-152. [67] Дендюк, М. В. Аналіз напружено-деформівного стану та диференціальної усадки в період регулярного режиму сушіння пиломатеріалів / М. В. Дендюк, Б. П. Поберейко, Я. І. Соколов- ський // Науковий вісник УДЛТУ. — 2002. — Bип. 12.8. — С. 140-146. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 9-37 37 [68] Поберейко, Б. П. Вплив анізотропії деревини на залежність диференціальної усадки з напру- жено-деформівним станом у висушуваних пиломатеріалах / Б. П. Поберейко, Я. І. Соколов- ський // Науковий вісник УДЛТУ. — 2002. — Bип. 12.5. — С. 162-167. [69] Соколовський, Я. І. Дослідження плоского напружено-деформативного стану деревини в процесі сушіння / Я. І. Соколовський // Науковий вісник УДЛТУ. — 1997. — Bип. 8. — С. 161-168. [70] Соколовський, Я. І. Аналіз напружено-деформативного стану пиломатеріалів в процесі су- шіння / Я. І. Соколовський // Науковий вісник УДЛТУ. — 1998. — Bип. 8.1. — C. 156-165. [71] Кулешик, Я. Ф. Дослідження повних поверхневих напружень, що виникають при сушінні букових заготовок / Я. Ф. Кулешик, В. М. Ганцюк // Науковий вісник УДЛТУ. — 2000. — Bип. 9.13. — С. 75-78. [72] Соколовський, Я. І. Результати експериментальних досліджень оберненої повзучості та скла- дових деформацій деревини поперек волокон / Я. І. Соколовський, М. В. Дендюк // Лісове господарство, лісова та паперова промисловість. — 2002. — Bип. 27. — С. 73-77. [73] Соколовський, Я. І. Моделювання деформаційно-релаксаційних процесів у деревині під час сушіння / Я. І. Соколовський, М. В. Дендюк, Б. П. Поберейко // Науковий вісник УДЛТУ. — 2004. — Bип. 14.1. — С. 48-57. [74] Соколовський, Я. І. Чисельне моделювання деформаційно-релаксаційних і тепломасообмін- них полів у висушуваній деревині методом скінченних елементів / Я. І. Соколовський, А. В. Бакалець // Науковий вісник УДЛТУ. — 2005. — Вип. 15.4. — С. 148-155. Mathematical modelling of materials convective drying with allowance for coupled mechanical, thermal and diffusive processes Bogdana Hayvas Published data on modelling and controlling the process of convective thermal drying of porous bodies is presented. The main attention is paid to the presentation of experimental, approximate analytical and numerical research methods. The models of drying wet materials are described by the one- and multi continuum approaches. The known models are analyzed and conclusions are drawn as to the construction of the more efficient mathematical model adapted for optimization of convective thermal drying process of porous bodies under nonstationary regime of a drying agent. Математическое моделирование конвективной сушки материалов с учетом механотермодиффузионных процессов Богдана Гайвась Приведены сведения из литературных источников относительно моделирования и управ- ления процессом конвективно-тепловой сушки пористых тел. Основное внимание уделено освещению экспериментальных, приближенных, аналитических и числовых методов иссле- дований. Описаны модели процесса сушки влажных материалов с использованием одно- и многоконтинуумного подходов. Проанализированы известные модели и сделаны выводы относительно построения более рациональной математической модели, адаптированной для оптимизации процесса конвективно-тепловой сушки пористых тел при нестационар- ном режиме сушильного агента. Отримано 7.12.09
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-22461
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1816-1545
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T16:54:03Z
publishDate	2010
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
record_format	dspace
spelling	Гайвась, Б. 2011-06-22T20:26:23Z 2011-06-22T20:26:23Z 2010 Математичне моделювання конвективного сушіння матеріалів з урахуванням механотермодифузійних процесів / Б. Гайвась // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 12. — С. 9-37. — Бібліогр.: 74 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22461 517.958 Наведені відомості з літературних джерел щодо моделювання та керування процесом конвективно-теплового сушіння пористих тіл. Основна увага надається висвітленню експериментальних, наближених аналітичних і числових методів досліджень. Описані моделі процесу осушення вологих матеріалів за одно- та багатоконтинуумного підходів. Проаналізовані відомі моделі та зроблені висновки щодо побудови математичної моделі, адаптованої для оптимізації процесу конвективно-теплового осушення пористих тіл за нестаціонарного режиму сушильного агента. Published data on modelling and controlling the process of convective thermal drying of porous bodies is presented. The main attention is paid to the presentation of experimental, approximate analytical and numerical research methods. The models of drying wet materials are described by the one- and multi continuum approaches. The known models are analyzed and conclusions are drawn as to the construction of the more efficient mathematical model adapted for optimization of convective thermal drying process of porous bodies under nonstationary regime of a drying agent. Приведены сведения из литературных источников относительно моделирования и управления процессом конвективно-тепловой сушки пористых тел. Основное внимание уделено освещению экспериментальных, приближенных, аналитических и числовых методов исследований. Описаны модели процесса сушки влажных материалов с использованием одно- и многоконтинуумного подходов. Проанализированы известные модели и сделаны выводы относительно построения более рациональной математической модели, адаптированной для оптимизации процесса конвективно-тепловой сушки пористых тел при нестационарном режиме сушильного агента. uk Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Математичне моделювання конвективного сушіння матеріалів з урахуванням механотермодифузійних процесів Mathematical modelling of materials convective drying with allowance for coupled mechanical, thermal and diffusive processes Математическое моделирование конвективной сушки материалов с учетом механотермодиффузионных процессов Article published earlier
spellingShingle	Математичне моделювання конвективного сушіння матеріалів з урахуванням механотермодифузійних процесів Гайвась, Б.
title	Математичне моделювання конвективного сушіння матеріалів з урахуванням механотермодифузійних процесів
title_alt	Mathematical modelling of materials convective drying with allowance for coupled mechanical, thermal and diffusive processes Математическое моделирование конвективной сушки материалов с учетом механотермодиффузионных процессов
title_full	Математичне моделювання конвективного сушіння матеріалів з урахуванням механотермодифузійних процесів
title_fullStr	Математичне моделювання конвективного сушіння матеріалів з урахуванням механотермодифузійних процесів
title_full_unstemmed	Математичне моделювання конвективного сушіння матеріалів з урахуванням механотермодифузійних процесів
title_short	Математичне моделювання конвективного сушіння матеріалів з урахуванням механотермодифузійних процесів
title_sort	математичне моделювання конвективного сушіння матеріалів з урахуванням механотермодифузійних процесів
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22461
work_keys_str_mv	AT gaivasʹb matematičnemodelûvannâkonvektivnogosušínnâmateríalívzurahuvannâmmehanotermodifuzíinihprocesív AT gaivasʹb mathematicalmodellingofmaterialsconvectivedryingwithallowanceforcoupledmechanicalthermalanddiffusiveprocesses AT gaivasʹb matematičeskoemodelirovaniekonvektivnoisuškimaterialovsučetommehanotermodiffuzionnyhprocessov

Математичне моделювання конвективного сушіння матеріалів з урахуванням механотермодифузійних процесів

Institution

Similar Items